Стохастическая модель сообщества взаимодействующих

Ñòîõàñòè÷åñêàÿ ìîäåëü ñîîáùåñòâà
âçàèìîäåéñòâóþùèõ îñîáåé,
îõàðàêòåðèçîâàííûõ íàáîðîì
ïàðàìåòðîâ
Á.Þ. Ïè÷óãèí
∗
†
Àííîòàöèÿ
Ðàññìîòðåíà ñòîõàñòè÷åñêàÿ ìîäåëü ñîîáùåñòâà îñîáåé, ñîñòîÿùåãî
èç íåñêîëüêèõ ïîïóëÿöèé. Êàæäàÿ îñîáü îõàðàêòåðèçîâàíà íàáîðîì ïàðàìåòðîâ, èçìåíÿþùèõñÿ ñ âîçðàñòîì.  òå÷åíèå æèçíè îñîáè â çàâèñèìîñòè îò ñâîèõ ïàðàìåòðîâ ìîãóò ïðîèçâîäèòü ïîòîìñòâî è âçàèìîäåéñòâîâàòü ñ äðóãèìè îñîáÿìè ñîîáùåñòâà. Èññëåäîâàíèå ìîäåëè ïðîâîäèòñÿ ìåòîäîì Ìîíòå-Êàðëî. Äëÿ íàõîæäåíèÿ îòäåëüíûõ ðåàëèçàöèé
ïðåäëîæåí ýôôåêòèâíûé àëãîðèòì ïðÿìîãî ìîäåëèðîâàíèÿ, ïîçâîëÿþùèé âû÷èñëÿòü äèíàìèêó ñîîáùåñòâà â íåñêîëüêî ñîòåí òûñÿ÷ îñîáåé.
1
Îïèñàíèå ìîäåëè
Ðàññìîòðèì ñîîáùåñòâî îñîáåé, óäîâëåòâîðÿþùåå ñëåäóþùèì óñëîâèÿì. Âñå
ñîîáùåñòâî ïîäåëåíî íà íåñêîëüêî ïîïóëÿöèé. Êàæäàÿ îñîáü ñîîáùåñòâà îõàðàêòåðèçîâàíà íàáîðîì ïàðàìåòðîâ, èçìåíÿþùèõñÿ ñ âîçðàñòîì. Ýòè íàáîðû
îäèíàêîâû äëÿ îñîáåé îäíîé ïîïóëÿöèè è îòëè÷àþòñÿ ó îñîáåé ðàçëè÷íûõ
ïîïóëÿöèé.  òå÷åíèå æèçíè îñîáè ìîãóò ïðîèçâîäèòü ïîòîìñòâî, âçàèìîäåéñòâîâàòü ñ äðóãèìè îñîáÿìè ñîîáùåñòâà è ïîäâåðãàòüñÿ âîçäåéñòâèþ âíåøíèõ
ôàêòîðîâ. Ðåïðîäóêòèâíûå ñâîéñòâà îñîáè, à òàêæå èíòåíñèâíîñòü, ñ êîòîðîé
îíà âñòóïàåò â òå èëè èíûå âçàèìîäåéñòâèÿ, çàâèñÿò îò åå ïàðàìåòðîâ. Îñîáè
ìîãóò ïîãèáàòü ëèáî â ðåçóëüòàòå âçàèìîäåéñòâèé ñ äðóãèìè îñîáÿìè, ëèáî
âñëåäñòâèå ñòàðåíèÿ.
Äëÿ ðàññìàòðèâàåìîãî ñîîáùåñòâà ïðåäëàãàåòñÿ ñòîõàñòè÷åñêàÿ ìîäåëü, â
îñíîâó êîòîðîé ïîëîæåí îáùèé âåòâÿùèéñÿ ïðîöåññ ÊðàìïàÌîäàßãåðñà [1].
Ïîïóëÿöèè, ñîñòàâëÿþùèå ñîîáùåñòâî, îáîçíà÷èì ÷åðåç A1 , . . . , An . Êàæäàÿ
îñîáü x ïîïóëÿöèè Ai (äàëåå áóäåì ïèñàòü x ∈ Ai ) ðîæäàåòñÿ â ìîìåíò σx è
ïîãèáàåò â âîçðàñòå `x . Ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå `x ñîïîñòàâèì ñëó÷àéíûé ïðîöåññ
ex (a) = 1{0 6 a < `x }, ãäå 1 èíäèêàòîðíàÿ ôóíêöèÿ. Çäåñü è äàëåå ïåðåìåííóþ a ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü äëÿ îáîçíà÷åíèÿ âîçðàñòà îñîáè. Ïðîöåññ ex
∗ Ðàáîòà
âûïîëíåíà ïðè ôèíàíñîâîé ïîääåðæêå Ðîññèéñêî-Ãîëëàíäñêîãî ãðàíòà ÐÔÔÈ-
NWO, 2003 ã.
† Îìñêèé
ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò. E-mail: [email protected].
1
ÿâëÿåòñÿ èíäèêàòîðîì ñóùåñòâîâàíèÿ, òî åñòü îñîáü x ñóùåñòâóåò â ìîìåíò t
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ex (t−σx ) = 1. Ïîòîìñòâî îñîáè x îïèñûâàåò ñ÷èòàþùèé ïðîöåññ ξx (a) = (ξx1 (a), . . . , ξxn (a)). Âåëè÷èíà ξxj (a) ðàâíà ÷èñëó îñîáåé
ïîïóëÿöèè Aj , ïðîèçâåäåííûõ îñîáüþ x â âîçðàñòå [0; a). Äëÿ âñåõ a > `x ïî÷òè
íàâåðíîå (ï.í.) âûïîëíåíî ðàâåíñòâî ξx (a) = ξx (`x ). Îñîáü x â âîçðàñòå a îáëàäàåò íàáîðîì ïàðàìåòðîâ ρx (a) = (ρx1 (a), . . . , ρxri (a)), ãäå ri êîëè÷åñòâî ïàðàìåòðîâ ó îñîáåé ïîïóëÿöèè Ai . Îáîçíà÷èì ÷åðåç θx (a) = (ex (a), ξx (a), ρx (a))
ðàñøèðåííûé âåêòîð ïàðàìåòðîâ îñîáè x. Ôàçîâûì ïðîñòðàíñòâîì äëÿ θx ÿâëÿåòñÿ äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå Θi = {0, 1}×Zn+ ×Rri ñ áîðåëåâñêîé σ -àëãåáðîé
Bi . Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ïðîöåññû θx êóñî÷íî-ïîñòîÿííû, íåïðåðûâíû ñïðàâà,
íà ëþáîì êîíå÷íîì ïðîìåæóòêå [0; a) ï.í. îãðàíè÷åíû è èìåþò êîíå÷íîå ÷èñëî
ñêà÷êîâ.
Ïàðàìåòðèçàöèÿ îñîáåé ïîçâîëÿåò äåòàëüíî îïèñàòü ñòðóêòóðó ïîïóëÿöèè. Êàæäàÿ îñîáü ïîïóëÿöèè Ai ìîæåò îáëàäàòü si ñòàòóñàìè Si1 , . . . , SisI .
Îñîáü x âîçðàñòà a â ñòàòóñå Sij èìååò âåñ wij (θx (a)), ãäå wij (θ) íåîòðèöàòåëüíàÿ, èçìåðèìàÿ è îïðåäåëåííàÿ äëÿ âñåõ θ ∈ Θi ôóíêöèÿ òàêàÿ, ÷òî
wij (0, ξ, ρ) = 0. Âåëè÷èíà âåñà çàäàåò àêòèâíîñòü îñîáè â äàííîì ñòàòóñå. Ðàâåíñòâî wij (θx (a)) = 0 îçíà÷àåò, ÷òî x íå îáëàäàåò ñòàòóñîì Sij . Ñóììàðíûé
âåñ îñîáåé ñòàòóñà Sij ñóùåñòâóþùèõ â ìîìåíò t ðàâåí
X
Zij (t) =
wij (θx (t − σx )).
x∈Ai
Åñëè îïðåäåëèòü ñòàòóñ Sij ôóíêöèåé wij (e, ξ, ρ) ≡ e, òî âåëè÷èíà Zij (t) áóäåò
ðàâíà ÷èñëåííîñòè ïîïóëÿöèè Ai â ìîìåíò t. Îáîçíà÷èì
Z(t) = (Z11 (t), . . . , Z1s1 (t), . . . , Zn1 (t), . . . , Znsn (t)) ∈ Rs+ ,
s = s1 + · · · + sn .
Ïðîöåññ Z(t) êóñî÷íî-ïîñòîÿíåí è íåïðåðûâåí ñïðàâà. Îí îòðàæàåò ñòðóêòóðó
âñåãî ñîîáùåñòâà â ìîìåíò
S t è ÿâëÿåòñÿ îáúåêòîì èññëåäîâàíèÿ.
Îáîçíà÷èì F<t = σ ( x σ{θx (a), 0 6 a < t − σx }) σ -àëãåáðó, ïîðîæäåííóþ èñòîðèåé ñîîáùåñòâà äî ìîìåíòà t.  ñèëó èçìåðèìîñòè ôóíêöèé wij
èìååì, ÷òî σ{Z(s), s < t} ⊂ F<t .
Ðàññìîòðèì îñîáü x ∈ Ai . Îïèøåì ïîäðîáíåå ïîâåäåíèå θx (a). Ïðîöåññ
θx (a) ìîæåò îñóùåñòâëÿòü ñêà÷êè òîëüêî ëèáî çà ñ÷åò âçàèìîäåéñòâèé x ñ
äðóãèìè îñîáÿìè ñîîáùåñòâà, ëèáî çà ñ÷åò ðàçâèòèÿ ñàìîé îñîáè (òàêèå ñêà÷êè
áóäåì íàçûâàòü ñîáûòèÿìè). Ïóñòü íà èçìåðèìîì ïðîñòðàíñòâå (Θi , Bi ) çàäàí
íàáîð ðàñïðåäåëåíèé
Pij (B; θ, Z),
B ∈ Bi , θ ∈ Θi , Z ∈ Rs+ ,
j = 1, . . . , ci ,
(1)
çàâèñÿùèõ îò ïàðàìåòðîâ θ è Z . Êàæäîå òàêîå ðàñïðåäåëåíèå îïðåäåëÿåò âèä
ñîáûòèé Eij , âîçíèêàþùèõ â æèçíè îñîáåé ïîïóëÿöèè Ai . À èìåííî, åñëè â
ìîìåíò t ñ îñîáüþ x ïðîèñõîäèò ñîáûòèå âèäà Eij , òî
P{θx (a) ∈ B | F<t , Eij (t)} = P{θx (a) ∈ B | θx (a − 0), Z(t − 0), Eij (t)} =
Pij (B; θx (a − 0), Z(t − 0)),
2
a = t − σx .
(2)
Äëÿ òîãî, ÷òîáû ðàâåíñòâî (2) ñîõðàíÿëî ñâîéñòâà íåâîçðàñòàíèÿ ex (a) è íåóáûâàíèÿ ξx (a), ðàñïðåäåëåíèÿ Pij äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ ñîãëàñîâàíèÿ
Pij ({(e0 , ξ 0 , ρ0 ) ∈ Θi : e0 6 e, ξ 0 > ξ}; θ, Z) = 1,
äëÿ âñåõ θ = (e, ξ, ρ) ∈ Θi è Z ∈ Rs+ . Íåðàâåíñòâî ξ 0 > ξ äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ
ïîêîìïîíåíòíî. Ââåäåì ñëó÷àéíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {(axn , jxn )}, ãäå axn âîçðàñò, â êîòîðîì ñ îñîáüþ x ïðîèñõîäèò î÷åðåäíîå ñîáûòèå, à jxn íîìåð
âèäà ýòîãî ñîáûòèÿ. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {(axn , jxn )} âìåñòå ñ (2) îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò ðàñïðåäåëåíèå ïðîöåññà θx (a) ïðè îòñóòñòâèè âçàèìîäåéñòâèé.
Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {axn } âîçðàñòàåò, axn → +∞ ï.í.
ïðè n → ∞, ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {(axn , jxn )} íåçàâèñèìû â ñîâîêóïíîñòè è
îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû äëÿ îñîáåé îäíîé ïîïóëÿöèè.
Âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó îñîáÿìè ñîîáùåñòâà ìîãóò áûòü m ðàçëè÷íûõ òèïîâ I1 , . . . , Im . Âåðîÿòíîñòü îñóùåñòâëåíèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ Ik çà ìàëûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè [t; t + h), h → +0, ðàâíà λk (Z(t))h + o(h), ãäå λk (Z) íåîòðèöàòåëüíàÿ, îãðàíè÷åííàÿ, èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ, îïðåäåëåííàÿ äëÿ âñåõ
Z ∈ Rs+ . Ôóíêöèþ λk (Z) áóäåì íàçûâàòü èíòåíñèâíîñòüþ äàííîãî òèïà âçàèìîäåéñòâèé. Â ìîìåíò t âîçíèêíîâåíèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ Ik èç ñîîáùåñòâà
âûáèðàåòñÿ ñëó÷àéíûé íàáîð Vk = {x1 , . . . , xvk } îñîáåé-ó÷àñòíèêîâ ñòàòóñîâ
Si1 j1 , . . . , Sivk jvk . ×èñëî vk ó÷àñòíèêîâ âçàèìîäåéñòâèÿ è èõ ñòàòóñû ôèêñèðîâàíû äëÿ äàííîãî òèïà âçàèìîäåéñòâèé Ik . Ðàñïðåäåëåíèå íàáîðà Vk èìååò
âèä
wi j (θx (ax − 0))
,
P{xs = x | x1 , . . . , xs−1 , F<t } = s s(s)
Zis js (t − 0)
X
(s)
wis js (θy (t − σy )),
Zis js (t) =
y∈Ai \{x1 ,...,xs−1 }
s = 1, . . . , vk ,
x ∈ Ais \ {x1 , . . . , xs−1 }, ax = t − σx .
Ðåçóëüòàòîì âçàèìîäåéñòâèÿ ÿâëÿåòñÿ ñêà÷îê ïðîöåññîâ θx äëÿ âñåõ x ∈ Vk â
òî÷êå ax . Óñëîâíîå ðàñïðåäåëåíèå ñêà÷êà
P{θx1 (ax1 ) ∈ B1 , . . . , θxvk (axvk ) ∈ Bvk | F<t , Vk } =
Pk {B1 , . . . , Bvk ; θx1 (ax1 − 0), . . . , θxvk (axvk − 0), Z(t − 0)},
Bs ∈ Bis , s = 1, . . . , vk
ôèêñèðîâàíî äëÿ äàííîãî òèïà âçàèìîäåéñòâèÿ è óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ ñîãëàñîâàíèÿ
Pk {B1 , . . . , Bvk ; θ1 , . . . , θvk , Z} = 1,
åñëè Bs = {θ = (e, ξ, ρ) ∈ Θis : e 6 es , ξ > ξs }, s = 1, . . . , vk , ãäå θs = (es , ξs , ρs ).
Òàêèì îáðàçîì, â ðåçóëüòàòå âçàèìîäåéñòâèÿ êàæäàÿ èç îñîáåé-ó÷àñòíèêîâ
ìîæåò èëè ïðîèçâåñòè ïîòîìñòâî, èëè èçìåíèòü ñâîè ïàðàìåòðû, èëè ïîãèáíóòü.
Îáîçíà÷èì τk (t) ìîìåíò ïåðâîãî âîçíèêíîâåíèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ òèïà Ik ,
ñ÷èòàÿ îò ìîìåíòà t. Èç îïðåäåëåíèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ñëåäóåò, ÷òî ïðè τ > t
P{τk (t) > τ | F<τ } = e−
3
Rτ
t
λk (Z(s))ds
.
(3)
Âåëè÷èíà τ (t) = min{τ1 (t), . . . , τm (t)} îïðåäåëÿåò ìîìåíò âîçíèêíîâåíèÿ êàêîãî-íèáóäü âçàèìîäåéñòâèÿ, ñ÷èòàÿ îò ìîìåíòà t. Ðàñïðåäåëåíèå âåëè÷èíû
τ (t) èìååò âèä
P{τ (t) > τ | F<τ } = e−
Rτ
t
λ(Z(s))ds
,
(4)
τ > t,
P
ãäå λ(Z) = k λk (Z). Ïîëîæèì κ(t) íîìåð òèïà òîãî âçàèìîäåéñòâèÿ, êîòîðîå âîçíèêàåò â ìîìåíò τ (t): τ (t) = τκ(t) (t). Èç (3) è (4) ñëåäóåò âèä ðàñïðåäåëåíèÿ âåëè÷èíû κ(t)
P{κ(t) = k | τ (t), F<τ (t) } =
λk (Z(τ (t) − 0))
,
λ(Z(τ (t) − 0))
k = 1, . . . , m.
(5)
 íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè t = 0 ïîïóëÿöèè íàñ÷èòûâàþò X1 , . . . , Xn
îñîáåé. Äëÿ âñåõ ïåðâîíà÷àëüíî ñóùåñòâóþùèõ îñîáåé âåëè÷èíû σx îòðèöàòåëüíû, íåçàâèñèìû â ñîâîêóïíîñòè è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû äëÿ îñîáåé
îäíîé ïîïóëÿöèè. Ïðîöåññû θx (a) íà ïðîìåæóòêàõ [0; −σx ) ñòðîÿòñÿ â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî ïðè t < 0 íå áûëî âçàèìîäåéñòâèé. Ïðè ýòîì íîâûå îñîáè íå
ïðîèçâîäÿòñÿ, äàæå åñëè îêàæåòñÿ, ÷òî ξx (−σx ) 6= 0.
2
Àëãîðèòì ìîäåëèðîâàíèÿ
Èññëåäîâàíèå ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà Z(t) ïðîèçâîäèëîñü ìåòîäîì Ìîíòå-Êàðëî.
Îòäåëüíûå ðåàëèçàöèè ïðîöåññà Z(t) íàõîäèëèñü àëãîðèòìîì ïðÿìîãî ìîäåëèðîâàíèÿ. Èç (4) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ âñåõ t1 < t2 < τ âûïîëíåíî ðàâåíñòâî
−
P{τ (t1 ) > τ | τ (t1 ) > t2 , F<τ } = e
−
e
Rτ
t2
λ(Z(s))ds
Rτ
t1
λ(Z(s))ds
·e
R t2
t1
λ(Z(s))ds
=
= P{τ (t2 ) > τ | F<τ }.
Èñïîëüçóÿ ýòî ñâîéñòâî, âåëè÷èíó τ (t) ìîæíî ìîäåëèðîâàòü ïî ðåêóððåíòíîé
ôîðìóëå:
τ (t) = 1{t + ε < s}(t + ε) + 1{t + ε > s}τ (s),
ãäå ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ε èìååò ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðîì λ(Z(t)), à s ìîìåíò áëèæàéøåãî ê t ñêà÷êà ïðîöåññà Z(t). Òàê êàê îòðåçîê [0; T ], íà êîòîðîì ïðîèñõîäèò ìîäåëèðîâàíèå, îãðàíè÷åí, òî êàæäàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {(axn , jxn )} ï.í. áóäåò ñîäåðæàòü ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî ýëåìåíòîâ, ÷òî ïîçâîëÿåò çàïîìèíàòü ýòó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äëÿ êàæäîé îñîáè
â ïàìÿòè êîìïüþòåðà. Ñõåìàòè÷íî àëãîðèòì ìîäåëèðîâàíèÿ íà îòðåçêå [0; T ]
ìîæíî îïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì.
Ñôîðìèðîâàòü íà÷àëüíûé íàáîð îñîáåé.
Ðàçûãðàòü ïåðâîíà÷àëüíûå ÷èñëåííîñòè ïîïóëÿöèé X1 , . . . , Xn ;
äëÿ êàæäîé ïåðâîíà÷àëüíî ñóùåñòâóþùåé îñîáè x ∈ Ai ðàçûãðàòü σx ,
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {(axn , jxn )} è íàéòè θx (−σx );
ïîëîæèòü t := 0.
Øàã 0.
1.
2.
3.
Øàã 1.
Ïîêà t < T , âûïîëíÿòü:
4
îïðåäåëèòü ìîìåíò ϕ áëèæàéøåãî ê t ñîáûòèÿ, êàê ìèíèìóì èç âåëè÷èí
σx +axνx (t) ïî âñåì ñóùåñòâóþùèì â ìîìåíò t îñîáÿì, ãäå νx (t) = min{n :
axn > t − σx };
2. ðàçûãðàòü ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó ε, ðàñïðåäåëåííóþ ýêñïîíåíöèàëüíî ñ
ïàðàìåòðîì λ(Z(t));
3. âû÷èñëèòü ìîìåíò s = min{ϕ, t + ε} áëèæàéøåãî ê t ñêà÷êà;
4. ïîëîæèòü Z(u) := Z(t) äëÿ âñåõ u ∈ [t; s);
5. åñëè s = ϕ, òî äëÿ òåõ îñîáåé x, äëÿ êîòîðûõ σx +axνx (t) = ϕ, âû÷èñëèòü
θx (axνx (t) ), èñïîëüçóÿ ðàñïðåäåëåíèå Pijxνx (t) (B; θx (t − σx ), Z(t));
6. åñëè s = t + ε, òî
6.1. â ñîîòâåòñòâèè ñ ðàñïðåäåëåíèåì (5) ðàçûãðàòü íîìåð κ(t) òèïà îñóùåñòâëÿåìîãî âçàèìîäåéñòâèÿ;
6.2. îòîáðàòü îñîáåé â íàáîð Vκ(t) ;
6.3. äëÿ âñåõ x ∈ Vκ(t) âû÷èñëèòü θx (ax ), ax = s − σx , â ñîîòâåòñòâèè ñ
ðàñïðåäåëåíèåì Pκ(t) ;
P
7. ïðîèçâåñòè íîâûõ îñîáåé â êîëè÷åñòâå
x [ξx (s − σx ) − ξx (t − σx )]; äëÿ
âñåõ íîâîðîæäåííûõ îñîáåé ïîëîæèòü σx = s, ðàçûãðàòü è çàïîìíèòü
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {(axn , jxn )}.
8. ïåðåéòè ê ðàññìîòðåíèþ ìîìåíòà t := s.
Ìîäåëèðîâàíèå ýêñïîíåíöèàëüíîãî è äðóãèõ ðàñïðåäåëåíèé îñóùåñòâëÿëîñü ñòàíäàðòíûìè ìåòîäàìè [2]. Äëÿ ñîêðàùåíèÿ çàòðàò ïàìÿòè ìåæäó ñîáûòèÿìè áûëà ââåäåíà ïðè÷èííî-ñëåäñòâåííàÿ ñâÿçü. Åñëè ñîáûòèå E 0 íàñòóïàåò
â ìîìåíò t0 , à ñîáûòèå E 00 ñ íåêîòîðîé âåðîÿòíîñòüþ â ìîìåíò t00 > t0 , è ïðè
ýòîì ðàçíîñòü è t00 − t0 íå çàâèñèò îò ìîìåíòîâ íàñòóïëåíèÿ äðóãèõ ñîáûòèé è
èìååò èçâåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå, òî áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ñîáûòèå E 0 âëå÷åò ñîáûòèå E 00 . Òàêèå ñâÿçè ìåæäó ñîáûòèÿìè ïîçâîëÿþò âû÷èñëÿòü íå ñðàçó âñþ
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {(axn , jxn )}, à ïî ìåðå âîçíèêíîâåíèÿ ñîáûòèé-ïðè÷èí.
Äëÿ îïèñàíèÿ ìîäåëè ðàçðàáîòàí ñïåöèàëüíûé ÿçûê, ïîçâîëÿþùèé çàäàâàòü âñå åå ïàðàìåòðû. Ê îñîáåííîñòÿì ïðîãðàììíîé ðåàëèçàöèè ìîäåëè ìîæíî îòíåñòè: 1) áûñòðîå âû÷èñëåíèå âåëè÷èíû ϕ (ñ ëîãàðèôìè÷åñêîé ñêîðîñòüþ
ïî ÷èñëó îñîáåé); 2) âû÷èñëåíèå ìîìåíòîâ ñêà÷êîâ áåç íàêîïëåíèÿ îøèáêè
îêðóãëåíèé; 3) èñïîëüçîâàíèå ìóëüòèïëèêàòèâíîãî äàò÷èêà ïñåâäîñëó÷àéíûõ
÷èñåë ñ ìíîæèòåëåì 517 ; 4) ýëåìåíòàðíûé ñòàòèñòè÷åñêèé àíàëèç ðåçóëüòàòîâ
ðàñ÷åòîâ (îöåíêà ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè ôóíêöèîíàëîâ âèäà
f (Z(t)) â çàäàííûõ òî÷êàõ).
1.
3
3.1
Ïðèìåðû ðàñ÷åòîâ
Âåòâÿùèéñÿ ïðîöåññ.
Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ ìîäåëü. Ñîîáùåñòâî ñîñòîèò èç îäíîé ïîïóëÿöèè.
Êàæäàÿ îñîáü x æèâåò âðåìÿ `x , ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííîå íà èíòåðâàëå (0; 1). Ïðîöåññ ξx (a), ñ÷èòàþùèé ÷èñëî ïîòîìêîâ, îïðåäåëåí ðàâåíñòâîì
ξx (a) = 1{a1 6 `x è a1 6 a} + 1{a2 6 `x è a2 6 a}, ãäå âåëè÷èíû a1 è a2
íåçàâèñèìû è ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíû íà ( 31 ; 1). Òî åñòü îñîáü ïðîèçâîäèò
äâóõ ïîòîìêîâ â âîçðàñòå a1 è a2 , è åñëè a1 > `x èëè a2 > `x , òî ñîîòâåòñòâóþùèé ïîòîìîê íå ïðîèçâîäèòñÿ. Íå ââîäÿ ïàðàìåòðîâ è âçàèìîäåéñòâèé è
5
îïðåäåëÿÿ åäèíñòâåííûéPñòàòóñ S11 ôóíêöèåé w11 ≡ 1, ïîëó÷àåì âåòâÿùèéñÿ
ïðîöåññ Z(t) = Z11 (t) = x ex (t − σx ).
Îáîçíà÷èì µ(a) = Mξx (a). Èçâåñòíî [1], ÷òî m(t) = MZ(t) ∼ zeβt , t → +∞,
ãäå
−1
Z ∞
Z ∞
−βu
−βu
ue
µ(du)
> 0,
e
P{`x > u}du
z=
0
0
à β (ìàëüòóñîâñêèé ïàðàìåòð) ÿâëÿåòñÿ êîðíåì óðàâíåíèÿ
Z ∞
e−βa µ(da) = 1.
(6)
0
Äëÿ ðàññìîòðåííîãî ïðîöåññà µ(a) = 2P{a1 6 `x è a1 6 a} = 61 (5 − 3a)(3a − 1)
ïðè a ∈ [ 31 ; 1], µ(a) = 0 ïðè a < 13 è µ(a) = 32 ïðè a > 1. Ðåøàÿ óðàâíåíèå (6),
íàõîäèì β = −0.7181 è α = ln(z) = 0.1164.
Îñðåäíÿÿ N = 106 ðåàëèçàöèé ïðîöåññà Z(t), ïîëó÷åííûõ îïèñàííûì àëãîðèòìîì, áûëè íàéäåíû îöåíêè m∗ (t) ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ m(t) â òî÷êàõ
tk = 0.01k , k = 1, . . . , 1900. Ìåòîäàìè ëèíåéíîãî ðåãðåññèîííîãî àíàëèçà óðàâíåíèÿ ln(m(t)) = α + βt + ïîëó÷åíû òî÷å÷íûå α∗ = 0.1098, β ∗ = −0.7185 è íà
óðîâíå äîâåðèÿ 0.95 èíòåðâàëüíûå (0.0984; 0.1213), (−0.7193; −0.7171) îöåíêè
ïàðàìåòðîâ α è β . Îáà äîâåðèòåëüíûõ èíòåðâàëà íàêðûâàþò ðåàëüíûå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ.
3.2
Çàòóõàþùèå êîëåáàíèÿ
Äàëåå ðàññìîòðèì ìîäåëü, â ðåàëèçàöèÿõ êîòîðîé ìîæíî íàáëþäàòü çàòóõàþùèå êîëåáàíèÿ. Âíîâü îãðàíè÷èìñÿ îäíîé ïîïóëÿöèåé. Ïðîöåññ ξx (a) îïðåPbx
äåëèì ôîðìóëîé ξx (a) =
i=1 1{ai 6 `x è ai < a}, ãäå ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà bx ðàâíîâåðîÿòíî ïðèíèìàåò îäíî èç çíà÷åíèé 8, 9, . . . , 14, à âåëè÷èíû ai íåçàâèñèìû è ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíû íà (7; 13). ×èñëî bx åñòü
ìàêñèìàëüíî âîçìîæíàÿ ÷èñëåííîñòü ïîòîìñòâà îñîáè x. Äëÿ êàæäîé îñîáè x çàäàäèì ïàðàìåòð ρx , èçìåíÿþùèéñÿ ïî äåòåðìèíèðîâàííîìó çàêîíó
ρx (a) = 1{5 6 a < 10}. Ïàðàìåòð ρx ðàâåí íóëþ ó ìîëîäûõ è ñòàðûõ îñîáåé,
è ðàâåí 1 ó çðåëûõ îñîáåé. Ôóíêöèÿìè w11 (θ) = ρ è w12 (θ) = 1 − ρ îïðåäåëèì
ñòàòóñû S11 è S12 . Òîãäà Z11 (t) ÷èñëåííîñòü çðåëûõ îñîáåé, Z12 (t) ÷èñëåííîñòü ìîëîäûõ è ñòàðûõ îñîáåé â ìîìåíò t, à Z11 (t) + Z12 (t) ÷èñëåííîñòü
âñåé ïîïóëÿöèè.
Ïðîèçâîäñòâî ïîòîìñòâà è ñìåíà ïàðàìåòðà ρ îïðåäåëÿþò äâà âèäà ñîáûòèé E11 è E12 ñîîòâåòñòâåííî. Ñîáûòèÿ âèäà E11 ïðîèñõîäÿò â âîçðàñòå a1 ,
. . . , abx è èìåþò âûðîæäåííîå ðàñïðåäåëåíèå P11 ({(e, ξ + e, ρ)}, (e, ξ, ρ), Z) =
1. Ñîáûòèÿ âèäà E12 ïðîèñõîäÿò â âîçðàñòå 5 è 10 è èìåþò ðàñïðåäåëåíèå
P12 ({(e, ξ, 1 − ρ)}, (e, ξ, ρ), Z) = 1. Äîáàâèì åùå îäèí âèä ñîáûòèé E13 ñ ðàñïðåäåëåíèåì P13 ({(0, ξ, ρ)}, (e, ξ, ρ), Z) = 1. Ñîáûòèå âèäà E13 âîçíèêàåò îäèí
ðàç â âîçðàñòå a = 15 è âûçûâàåò ãèáåëü îñîáè âñëåäñòâèå ñòàðåíèÿ.
Îïðåäåëèì îäèí òèï âçàèìîäåéñòâèé I1 , âîçíèêàþùèõ ñ èíòåíñèâíîñòüþ
λ1 (Z) = 4 · 10−6 (Z11 Z12 + 21 Z12 (Z12 − 1)). Â ìîìåíò âîçíèêíîâåíèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ýòîãî òèïà â ïîïóëÿöèè ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 ïîãèáàåò ðîâíî îäíà îñîáü
ñòàòóñà S12 . Âåëè÷èíà Z11 Z12 + 12 Z12 (Z12 − 1) ðàâíà ÷èñëó ïàð îñîáåé, îäíà
6
èç êîòîðûõ èìååò ñòàòóñ S12 . Ïîýòîìó âçàèìîäåéñòâèÿ òèïà I1 ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê ñòîëêíîâåíèå îñîáè ñòàòóñà S12 ñ äðóãîé îñîáüþ ñîîáùåñòâà,
âåäóùåå ê åå ãèáåëè. Èíòåíñèâíîñòü ñòîëêíîâåíèÿ êàæäîé îòäåëüíîé ïàðû
ðàâíà 4 · 10−6 . Âçàèìîäåéñòâèÿ òèïà I1 âûñòóïàþò â ðîëè ìåõàíèçìà ñàìîðåãóëÿöèè, ïðåäïîëàãàþùåãî, ÷òî â ñòû÷êàõ çà æèçíåííûå ðåñóðñû çðåëûå
îñîáè âñåãäà âûõîäÿò ïîáåäèòåëÿìè.
Íà ðèñ. 1 ïðåäñòàâëåíà îäíà èç òðàåêòîðèé ïðîöåññà Z11 (t) + Z12 (t). Íà÷àëüíàÿ ÷èñëåííîñòü ïîïóëÿöèè X1 = 1.8·105 , âîçðàñò ïåðâîíà÷àëüíûõ îñîáåé
ðàñïðåäåëåí ðàâíîìåðíî íà (0; 15). Ïî îñè àáñöèññ îòëîæåíî âðåìÿ, à ïî îñè
îðäèíàò ÷èñëåííîñòü ïîïóëÿöèè.  äàííîé òðàåêòîðèè îò÷åòëèâî âèäíû
çàòóõàþùèå êîëåáàíèÿ ñî ñòàáèëèçàöèåé îêîëî îòìåòêè â 1.8 · 105 îñîáåé.
Ðèñ. 1: Äèíàìèêà ïîïóëÿöèè ñ çàòóõàþùèìè êîëåáàíèÿìè
Åñëè, íà÷èíàÿ ñ ìîìåíòà t = 70, íà÷àòü èñòðåáëåíèå îñîáåé ñòàòóñà S12 ñ
èíòåíñèâíîñòüþ λ2 (Z) = γZ12 , òî â çàâèñèìîñòè îò γ ïîïóëÿöèÿ ëèáî âûðîæäàåòñÿ, ëèáî åå ÷èñëåííîñòü ñòàáèëèçèðóåòñÿ íà ìåíüøèõ çíà÷åíèÿõ. Äèíàìèêà ÷èñëåííîñòè ïîïóëÿöèè äëÿ γ = 1, 0.5, 0.1, 0.05 è 0.01, îòîáðàæåíà íà
ðèñ. 2.
Ðèñ. 2: Äèíàìèêà ïîïóëÿöèè ñ èñòðåáëåíèåì ìîëîäûõ è ñòàðûõ îñîáåé
Âðåìÿ ðàñ÷åòà ïðåäñòàâëåííûõ òðàåêòîðèé íà êîìïüþòåðå ñ ïðîöåññîðîì
Athlon XP 2600+ ñîñòàâëÿëî îò 7 äî 13 ìèíóò.
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
[1] Jagers P. Branching
Sons, 1975.
processes with biological applications
[2] Åðìàêîâ Ñ.Ì., Ìèõàéëîâ Ã.À. Êóðñ
Íàóêà, 1976.
. London: Wiley and
. Ì.:
ñòàòèñòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ
[3] Ñåâàñòüÿíîâ Á.À., Êàëèíêèí À.Â. Âåòâÿùèåñÿ ñëó÷àéíûå ïðîöåññû ñ âçàèìîäåéñòâèåì ÷àñòèö // Äîêë. ÀÍ ÑÑÑÐ. 1982. Ò.264. N.2. Ñ.306308.
[4] Pertsev N.V., Pichugin B.J. Stochastic
modeling of the individual's community
// Proceedings of the International
Conference on Computational Mathematics. Novosibirsk: ICM&MG Publisher,
2002. Part I. P. 249253.
with their transformation and interaction
[5] Ïè÷óãèí Á.Þ.
Ñòîõàñòè÷åñêàÿ ìîäåëü èçîëèðîâàííîé ïîïóëÿöèè ñ ñå-
çîííûì ðàçìíîæåíèåì è ñàìîëèìèòèðîâàíèåì
ìàòåìàòèêè. 2003. Ò.6. N.4(16). Ñ.7581.
7
// Ñèá. æóðí. èíäóñòð.