НОВОЕ В ЭФФЕКТАХ ШТАРКА И ЗЕЕМАНА ДЛЯ АТОМА

539.187.27/.28
НОВОЕ В ЭФФЕКТАХ ШТАРКА И ЗЕЕМАНА
ДЛЯ АТОМА ВОДОРОДА
В. С. Лисица
СОДЕРЖАНИЕ
1 . Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 . Эффект Штарка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1. Водородоподобные атомы в электрическом поле. Общие соотношения.
2.2. Радиационные времена жизни состояний. 2.3. Интенсивности штарковских
компонент. 2.4. Слабое поле. Асимптотическая теория распада атома. 2.5. Клас*
сическая теория распада атома в электрическом поле. 2.6. Распад уровней
вблизи критического значения электрического поля. 2.7. Квазиклассическая
теория для атомных состояний в электрическом поле. 2.8. Результаты числен*
ных расчетов.
3 . Эффект Зеемана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1. Атом в магнитном поле. 3.2. Адиабатическая теория. 3.3. Пересечение тер*
мов и «скрытая» симметрия атома в магнитном поле. 3.4. Силы осцилляторов
переходов. 3.5. Классические траектории атомного электрона в магнитном
поле. 3.6. Стохастизация движения электрона в кулоновском и магнитном
полях. 3.7. Численные расчеты спектров атома в магнитном поле. 3.8. Одновре*
менное воздействие полей F и В на атом.
4 . Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. ВВЕДЕНИЕ
Исследование расщепления энергетических уровней атомов в электриче*
ском F (штарк*эффект, 1913 г.) и магнитном В (зееман*эффект, 1896 г.) полях
явилось одним из важных подтверждений справедливости основных положе*
ний созданной квантовой теории. Основы квантовой теории эффектов Штарка
и Зеемана подробно изложены в известной монографии Бете и Солпитера
а также в курсах по квантовой механике и теоретической спектроскопии 2, 3.
В последующие годы интерес к этим эффектам переместился в область
прикладных исследований. При этом обнаружилось, что многие результаты
теории оказываются либо малопригодными для конкретных расчетов, либо
вообще незавершенными вплоть до последнего времени. Дальнейшее разви*
тие теории связано в основном с исследованиями атомных спектров в доста*
точно сильных полях В и F и для высоковозбужденных состояний с
Интерес к этим проблемам связан с широким кругом приложений: ионизаци*
ей в электрическом поле ридберговских атомных состояний, селективно
4,5
заселяемых лазерным
излучением , спектрами поглощения экситонов
6,7
в магнитном поле , структурой атомов в сверхсильных магнитных полях
на поверхности нейтронных звезд
расщеплением и уширением атомных
3, 11,12
спектральных линий в электрических и магнитных полях плазмы
,
структурой радиолиний,
излучаемых
высоковозбужденными
атомами
в
меж*
13,14
звездной среде
, и др.
Современные эксперименты с ридберговскими атомами связаны с широ*
ким
кругом теоретических проблем, включающих метод квантового дефек*
15
та , вопросы динамических эффектов Штарка и Зеемана в переменных
16
17
полях F и В (см. ) и другие вопросы (см. монографию ). Среди этих проблем
важное место занимают исследования простейшей атомной системы — атома
водорода, которому и посвящен данный обзор.
В лабораторных условиях регистрируется селективное заселение водо*
родных состояний с п ~ 10—50 (см. обзор Коча в 17, с. 445). Эти опыты откры*
вают принципиальную возможность прецизионных измерений фундамен*
тальных атомных постоянных. Атом водорода представляет большой интерес
и для астрофизических исследований, где достижимы величины п ~ 100—400
(см. обзор Далгарно в 17, с. 9). Для интерпретации как лабораторных, так
и астрофизических данных требуется детальная информация о зависимости
атомных параметров как от величин внешних полей, так и от индивидуальных
квантовых чисел атомных состояний. Поэтому изложение материала ниже
рассчитано не только на введение в общие принципы теории, но и на получе*
ние конкретных аналитических и численных результатов, пригодных к ис*
пользованию в многочисленных приложениях. Одновременно мы старались
не упустить и проблемы принципиального характера. К ним относится,
прежде всего, вопрос о существовании дополнительного интеграла движения
для электрона, движущегося в кулоновском и магнитном полях, а также
возможность стохастизации его движения в этом случае. Эти вопросы тесно
связаны с фундаментальной проблемой квантования систем с неразделяю*
щимися переменными.
Удивительно, что, несмотря на традиционность вопросов, связанных
с эффектами Штарка и Зеемана, здесь обнаружен целый ряд новых резуль*
татов и явлений. При этом выявились большие возможности квазиклассиче*
ских и чисто классических методов решения. Успех классических подходов
обусловлен, по*видимому, известной незавершенностью классических мето*
дов описания атома, вытесненных «слишком ранним» созданием аппарата
квантовой теории. Квантовомеханические расчеты, основанные на теории
возмущений, асимптотическом подходе, а также путем численного решения
17
уравнения Шрёдингера подробно отражены в монографии . Поэтому ниже
мы основное внимание уделяем именно полуклассическим методам.
Ниже нередко без оговорок используется атомная система единиц (а.е.).
Вместе с тем, в ряде случаев удобно сохранить размерные единицы. Поэтому
сразу укажем характерные масштабы полей F и В. Так, внутриатомное элек*
трическое поле FA равно
где е, т — заряд и масса электрона,
боровский радиус.
Для магнитного поля удобно ввести величину поля В0 такого, в котором
магнитное взаимодействие
магнетон Бора) сравнимо
с масштабом энергии атома
Магнитное поле внутри атома ВА в действительности меньше в
раз вследствие нерелятивистского характера движения электрона:
Значения (1.1) — (1.3) величин FA, B0 весьма велики и достижимы в доста*
точно экзотических условиях. Следует, однако, иметь в виду, что соответ*
ствующие значения резко уменьшаются с ростом главного квантового числа п
атома. Так, критическое значение Fc электрического поля, при котором
пропадает потенциальный барьер для атомного электрона, равно
что при
на пять порядков меньше величины атомного поля FA.
Аналогично, водородоподобные образования в твердом теле (экситоны)
вследствие уменьшения эффективной массы электрона и большой величины
диэлектрической
проницаемости
отвечают эффективным
значениям
В0 ~ 10 — 102 Тл. Таким образом, многие из рассматриваемых ниже эффектов,
отвечающих значениям F и В вблизи критических, оказываются реально наб*
людаемыми.
2. ЭФФЕКТ ШТАРКА
2.1. В о д о р о д о п о д о б н ы е а т о м ы
в э л е к т р и ч е с к о м поле. О б щ и е с о о т н о ш е н и я
2.1.1. Основы теории для водородоподобного атома в электрическом поле
F хорошо известны и подробно изложены, например, в 1–3. Вместе с тем,
с точки зрения практических приложений многие вопросы этой теории оста*
вались, как отмечалось, незавершенными вплоть до последнего времени.
Это, в первую очередь, относится к интерпретации спектров высоковозбуж*
денных атомов, где высокая кратность
вырождения водородных уровней приво*
дит к чрезмерному усложнению расчетов,
основанных на прямом использовании
общих формул для интенсивностей перехо*
дов и т.п. Ниже излагается ряд новых
результатов теории для спектра водород*
ного атома в электрическом поле, приво*
дящих к простым и надежным аналитиче*
ским результатам для практически инте*
ресных случаев.
2.1.2. В основе теории штарк*эффекта
лежит возможность разделения перемен*
ных в уравнении Шрёдингера для водо*
родного атома в параболических коорди*
натах
Рис. 1.
Потенциалы
для движения электрона
с энергией Е в электрическом поле
в параболических координатах
и
приведенные волновые функции
(см. 2 ), Е — энергия;
постоянные разделения переменных
= 1, т — магнитное квантовое число.
Уравнения (2.1) — (2.2) имеют вид одномерных уравнений с эффектив*
ными потенциалами
определяемыми на малых расстояниях кулоновским и центробежным чле*
нами, а на больших — членом, содержащим поле F (рис. 1). Как видно
из рис. 1, потенциальный барьер по переменной обладает конечной прони*
цаемостью, что обусловливает возможность выхода атомного электрона
в непрерывный спектр — распад атома.
Удобно переписать уравнения (2.1) — (2.2) в безразмерных переменных
эффективное главное квантовое число уровня,
учитывающее его смещение в электрическом поле F:
Вводя далее приведенную напряженность поля
и новые константы
разделения
получим уравнения для приведенных волно*
вых функций
Состояния водородного атома в поле F характеризуются, как извест*
но 1–3, параболическими квантовыми числами n1, n2 и магнитным квантовым
числом т, связанными соотношением
Удобно ввести так называемое «электрическое» квантовое число k = п2 — п1,
определяющее величину проекции дипольного момента атома еr на направ*
ление электрического поля F:
Уровни энергии вплоть до второго порядка по интенсивности поля F
записываются (в а.е.) в виде
Параболические волновые функции
отвечают определенной
проекции на направление электрического поля F векторов дипольного d
и орбитального I моментов атома. Специфические свойства симметрии куло*
новского поля позволяют простым образом выразить параболические функции
через сферические
отвечающие определенным значениям l2 и т2 (§ 37):
коэффициенты Клебша —
Гордана.
Интенсивности I штарковских компонент определяются матричными
элементами координаты r атомного электрона:
невозмущенная частота перехода
В зависимости от поляризации (линейная,
или круговая,
штарковские компоненты делятся на
Интенсив*
ности
определяются матричными элементами zкомпоненты
r, а интенсивности
(или y)*компонентами r. Общие формулы
для матричных элементов были получены Гордоном (см.1, § 65) и выражаются
через гипергеометрическую функцию
Для параболических квантовых чисел
(в отличие от сферического
квантового числа l) не существует строгих правил отбора для дипольного
излучения. Тем не менее распределение интенсивности штарковских
подчиняется определенным закономерностям, на которых мы
остановимся ниже (раздел 2.3). Формулы Гордона весьма громоздки и при*
годны, по существу, для расчетов лишь в немногих частных случаях (см. 1).
Соответствующие формулы для интенсивностей в сферических координатах
могут быть существенно упрощены в квазиклассической области 20. Посколь*
ку связь параболического и сферического базисов определяется коэффициен*
тами Клебша — Гордана (см. 2.10)), свойства которых известны, можно
рассчитывать на получение хороших квазиклассических выражений для
матричных элементов и в параболических координатах. Эта программа, одна*
ко, пока не была реализована.
2.2. Р а д и а ц и о н н ы е в р е м е н а ж и з н и с о с т о я н и й
Рассмотрим простейшую радиационную характеристику подуровней —
их времена жизни, обусловленные всевозможными радиационными перехода*
ми в нижележащие состояния.
Вероятность радиационных переходов
и времена жизни Tnl возбуж*
денных атомных состояний анализируются обычно для сферических кванто*
1
19
вых чисел атомов nl (см. ). Буреевой были получены общие квазикласси*
ческие формулы, для расчетов вероятностей радиационных переходов
Гореславский, Делоне и Крайнов 20 вывели простые аналитические резуль*
таты для
дающие высокую точность даже при не слишком больших
значениях чисел п и l. Структура этих формул тесно связана с известными
выражениями для классической интенсивности излучения в кулоновском
21
22,23
поле (см. , § 70). Квантовые поправки к этим вероятностям найдены в
.
24
В работе приведены простые зависимости вероятностей Anl от орби*
тального момента l в диапазоне
где численный коэффициент а подобран так, чтобы совпадать с точным резуль*
татом для l = п — 1:
Если воспользоваться точным результатом для вероятности перехода
при l = п — 1 (см.
то для l > 0 получим выражение
Формула (2.15) обеспечивает высокую точность: максимальные отклонения
в несколько процентов происходят при l < n/2.
25
Для l = 0 численные данные хорошо аппроксимируются формулой
24
Определим теперь, следуя
Херрику ,
В (nkm, п') из параболического состояния
надлежащие уровню п':
вероятность
перехода
во все состояния, при*
Тогда полная вероятность перехода В (k, т) из данного штарковского под*
уровня на все нижние уровни равна
Соответствующее время жизни равно
Формулы (2.19), (2.20) являются «параболическими» аналогами соот*
ветствующих сферических величин
Используя известную
Из свойств коэффициентов Клебша — Гордана С (n,k | lт) следуют свойства
симметрии
Суммирование по всем значениям k и т дает, очевидно, полное время
жизни уровня A (n), не зависящее от выбора базиса суммирования:
Важное правило сумм получается из (2.21), если просуммировать по
всем k и m так, чтобы оставалось постоянным значение либо k + т, либо
24
k—т :
Если просуммировать (2.24) по всем п значения числа k = п — 1, n — 3, ...
. . ., — (п — 1), то вернемся к (2.23).
Из (2.24) следует, что распределение вероятностей перехода при m = 0
однозначно определяется распределениями В (k, т) при т
0. Эти послед*
ние оказываются слабо зависящими от «электрического» квантового числа k.
Удобно поэтому ввести средние (по «k») значения В (k, т), равные
Поскольку для
с хорошей точностью В (k, m) =
(k, 0) из (2.24), что дает
(т), можно найти
Для k = п — 1 это соотношение сводится к
Для меньших значений k < п — 1 величины
рекурсивного соотношения
(k, 0) определяются из
Величины
могут быть найдены из (2.25) с помощью аппроксимационных
формул (2.13) для A (п, l):
Сравнение результатов для
(k, 0), основанных на использовании
аппроксимации (2.28), (2.29), с результатами точных расчетов представлено
в табл. I. Как видно из табл. I, использованные аппроксимации обеспечивают
высокую точность. Таким образом, изложенный метод позволяет определить
Таблица I
Сравнение вероятностей радиационных переходов
и B(i, 0), полученных
на основе аппроксимационных
формул (2.28), (2.29) (столбцы А) 24
25
с точными данными (столбцы В) для уровня п = 10 водорода (по )
времена жизни В (k, т) штарковских подуровней водородного атома на
основе простых аналитических формул, избегая тем самым прямого сумми*
рования рядов (2.21) с коэффициентами Клебша — Гордана.
2.3. И н т е н c ив н о с т и ш т а р к о в с к и х к о м п о н е н т
Интенсивности штарковских компонент определяются общими форму*
лами Гордона (см.
для матричных элементов компонент радиуса*вектора
атомного электрона в параболических координатах. Использование этих
формул, однако, требует весьма громоздких численных расчетов, особенно
для высоковозбужденных уровней. Ситуация усложняется также отсутстви*
ем строгих правил отбора для параболических квантовых чисел.
Для больших значений
можно установить простые закономерности
распределения интенсивности компонент для переходов с небольшим изме*
нением квантового числа
представляющих практический
интерес. Мы остановимся, следуя Гуляеву 14,26 , на этих закономерностях
для высоковозбужденных линий
наблюдае*
мых в астрофизических условиях.
Изменение частоты
перехода в электрическом поле F, отвечающее
штарковской компоненте
согласно (2.9), равно
Параметр К, меняющийся от
группирует
компоненты в
серий, в каждую из которых входит
компонент, нумеруемых параметром i. На рис. 2, 3
показана группировка компонент для линий
Видно, что чет*
ность (или нечетность) числа К отвечает
поляризации компонент
линий
Расстояние между компонентами внутри серии
и рас*
стояние
между центрами серий равны
Рассмотрим характер изменения интенсивностей с увеличением номера
К. Для этого используем тот факт, что аргументы гипергеометрических
функций (2.12), входящих в формулы Гордона
ока*
зываются велики, так что эти функции можно заменить последними (наиболь*
шими) членами:
(для определенности принято
и вместо
| т | здесь и ниже будем писать
просто т).
Приближение (2.33) позво*
ляет получить простые анали*
тические выражения для мат*
Рис. 2. Штарковское расщепление линий
(Брэкетт
Bерхние линии отвечают
нижние —
Рис. 3. Распределение интен*
сивности
в зависимости
от сдвига частоты
(в еди*
ницах 3/2
для линий
Тонкие линии — огибающие
(внизу)*компонент, жир*
ная линия — суммарный контур
линии
ричных элементов координаты, определяющих интенсивности
понент. Рассмотрим конкретные переходы
2.3.1. Линии
(переходы с
Центральную серию (К = 0) здесь образуют
дов которых справедливы соотношения
Следующая серия (К = ±1) отвечает
логичные условия имеют вид
для перехо*
для которых ана*
Используя приближение (2.33) и соотношения (2.34), (2.35), получаем из
формулы Гордона простые выражения для матричных элементов:
Спад интенсивности с увеличением номера К определяется соотношением
которое, по крайней мере, меньше величины 2 – 8 ~ 4·10 – 3 (аналогичная
оценка справедлива и для
Таким образом, практический интерес пред*
ставляют ближайшие
отвечающие нескольким первым значе*
ниям К *).
Для вычисления интенсивности линии, смещенной на заданное значение
нужно просуммировать квадраты матричных элементов
с учетом остающегося вырождения по т. Такое суммирование для централь*
ной
(К = 0) и заданного i дает
Аналогично для ближайшей
(К = 1) имеем
На рис. 3 показана схема расщепления линии
при
Указаны центральная (К = 0)
ближайшие к ней (К = ±1)
и распределение полной (суммарной по К) интенсивности. Интен*
сивность
уменьшается вдвое на ширине
Макси*
мум интенсивности
достигается на частите
и составляет при*
мерно 40 % максимальной интенсивности центральной
2.3.2. Линии
(переходы с
Для нечетных п компоненты
для этих линий нигде не совпадают
с компонентами
(см. рис. 2). Начиная с линии
члены серий
с К = +1 и —1, отвечающие
начинают перекрываться. Это
перекрытие определяет ненулевую интенсивность в центре линии
поскольку интенсивность
центральной (К = 0) серии при
обращается в нуль.
Аналогично проведенной выше для линии
процедуре, рассчитывают*
ся последовательно интенсивности серий
(К = ±2) и т. д. Структура линий
приведена на рис. 4,
где показан также вклад отдельных
Положения максимумов
линий отвечают частотам
Их ширина на половине высоты
равна
Интенсивность в центре независимо от номера п составляет
Полуширина линии
2.4. С л а б о е п о л е .
Асимптотическая теория распада атома
Поведение атома в электрическом поле F зависит от отношения величи*
4
ны F к критической напряженности Fc ~ 1/16n (см. (1.4)), при которой
барьер по координате для данного уровня п исчезает и становится возмож*
ным классическое надбарьерное движение электрона (см. рис. 1). При
ширина барьера достаточно велика и энергетические уровния электрона
хорошо локализованы, т.е. их ширина Г экспоненциально мала. Для этого
*) Справедливость приближений (2.33), (2.36) — (2.39) была обоснована Гуляе*
вым 14,16 путем их прямого сравнения с результатами численных расчетов по формулам
Гордона. Вместе с тем, остается проблема аналитического обоснования этих приближе*
ний с помощью классического метода.
**) Интенсивность
серий численно малы и потому не приведены на рис. 4.
случая Смирновым и Чибисовым 27 был развит асимптотический метод расче*
28
та атомных параметров. Дамбург и Колосов предложили метод, в основе
которого лежит сходство задач распада с рассеянием электрона на квази*
дискретном уровне. В обоих случаях мы имеем дело с резонансным энерге*
тическим уровнем, лежащем на фоне непрерывного спектра (континуума).
При приближении энергии электрона E к энергии дискретного уровня Е0
фаза
волновой функции испыты*
вает резкий скачок *):
Рис. 4.
Структура
линий
Обозначения те же, что и на рис. 3. Точки: а —
уровень половинной интенсивности
максимальная интенсивность, с — центральный
провал
Определив волновую функцию, мож*
но затем найти параметр Г и Е0 из
формулы (2.42).
Нахождение волновой функции
атомного электрона в пределе малых
28
значений F основано в на сшивке
решений в областях малых и боль*
ших значений координаты
(вдоль
которой возможен выход электрона
в континуум).
Детали метода подробно изложе*
ны в обзоре Дамбурга и Колосова
(см. 17, с. 42). Результат имеет вид
3/2
где R = (—2E0) /F. Результат (2.43)
был получен впервые в 27, где, однако,
в качестве Е использовалось невозмущенное значение. В действительности,
члены порядка F в разложении энергии существенны в показателе экспонен*
ты, а члены более высокого порядка — в поправочных членах. В 17, 27, 28
приведены разложения Г вплоть до членов порядка F2. Результаты асимпто*
тической теории хорошо подтверждаются численными расчетами в области
(см.17,28).
2.5. К л а с с и ч е с к а я т е о р и я р а с п а д а а т о м а
в электрическом поле
Увеличение электрического поля F приводит к понижению эффективного
потенциального барьера
по координате
Для высоковозбужденных состо*
яний атома возможна ситуация, когда уровень энергии совпадает с макси*
мумом потенциального барьера, т.е.
(см. рис. 1). Это критиче*
ское значение энергии отвечает определенному критическому значению элек*
трического поля Fc, в котором две точки пересечения прямой
тенциалом
совпадут (корни
на рис. 1 сливаются). В этом случае,
очевидно, становится возможным надбарьерный выход электрона из атома,
разрешенный законами классической механики. Отсюда ясно, что критиче*
ские значения параметров Ec, Fc можно определить на основе чисто класси*
ческих расчетов. Это было сделано Бэнксом и Леопольдом 31, которым мы
следуем ниже.
Разделение переменных в параболических координатах
для элек*
трона в кулоновском поле
и внешнем электрическом поле F приводит,
*) Отметим, что впервые трансформация волновой функции при приближении
энергии Е к энергии Е0 анализировалась Л. И. Мандельштаммом и М. А. Леонтовичем
в 1928 г. (см.30).
как отмечалось в разделе 2.1, к его движению в эффективных потенциалах
(2.3).
Удобно ввести импульсы
ляемые формулами
по каждой переменной
опреде*
где Е — полная энергия электрона в атоме. Для связанных состояний значе*
ние Е заключено в диапазоне (см. рис. 1)
Для данного значения Е точки пересечения прямой Е = const с кривыми
эффективного потенциала
определяются кубичными у равнениями,
имеющими по три корня каждое:
Нашей задачей является определить зависимость критических пара*
метров
от классических переменных действия
характери*
зующих состояния электрона в атоме. Эту связь удобно искать в параметри*
ческом виде, выражая все зависимости через корни уравнений
и требуя затем совпадения корней
для критического значе*
ния параметров Ес, Fc.
Выражения для классических действий
выраженные через
корни
имеют вид
Формулы (2.46) — (2.48) совместно с уравнениями для корней и условием
дают параметрическую связь критических параметров Ec, Fc с пере*
менными действия. Эта связь может быть записана в виде
где введены полное действие
и параметры
значения которых заключены в треугольной области:
Функции
в общем случае определяются путем числен*
ного решения указанных выше уравнений. Для наиболее интересных пре*
дельных случаев классические значения критических параметров равны
Изложенный классический метод расчета эффективен для оценок иониза*
ции атома из высоковозбужденных состояний
где применение
общей квантовомеханической теории связано со значительными вычисли*
тельными трудностями. Найденные критические значения параметров (2.52)
хорошо согласуются с квантовомеханическими расчетами в соответствующей
области параметров (см. ниже, раздел 2.6).
2.6. Р а с п а д у р о в н е й
вблизи критического значения
электрического поля
Классические результаты раздела 2.5 для характеристик атома в поле F
могут быть обобщены с учетом квантовых (туннельных) эффектов в квази*
классическом приближении. Согласно правилам квантования Бора — Зом*
мерфельда величины действий (2.46), (2.47) связаны с параболическими кван*
товыми числами соотношениями
Условия (2.53) неоднократно использовались в литературе, см. 17. Так,
Зарецкий и Крайнов 32 применили (2.53) для определения поведения атома
33
в низкочастотном электрическом поле. Кадомцев и Смирнов исследовали
атомные параметры вблизи
критического поля Fc.
33
Определим, следуя ,
поле Fc, при котором про*
падает барьер, на основе
квазиклассических усло*
вий квантования (2.53),
уравнений (2.1), (2.2) и до*
полнительного условия
импульс электро*
на в
правая точка поворота,
совпадающая при F = Fc
с максимумом эффективной потенциальной энергии. Перечисленные уравне*
ния устанавливают однозначную связь между константами разделения
энергией электрона Е и критической напряженностью Fc.
Решение этой системы уравнений наиболее просто при т = 0. Так, при
это решение дает 33
Рис. 5. Приведенные значения критической напряжен*
ности электрического поля
и энергии уровня
на плоскости квантовых чисел
Видно, что нулевые члены разложения в точности совпадают с результа*
тами классического рассмотрения (2.52). При
получаем:
Эти результаты в предельном случае также согласуются с (2.52). Приве*
денные в квадратных скобках поправочные множители получены Друкаре*
вым 18; см. также раздел 2.7.
Решение системы квазиклассических уравнений в общем случае
оказывается достаточно громоздким и было проведено 32 численно. Для слу*
чая т = п результаты квазиклассического рассмотрения совпадают с клас*
сическими формулами (2.52).
Проведенное рассмотрение позволяет построить значения критической
напряженности Fc и соответствующие им энергии | Ес| на всей плоскости
переменных n1, n2 (рис. 5). Соответствующие классические результаты (2.52)
отвечают углам треугольников на рис. 5 и области
Развитый метод позволяет рассчитать скорость распада Г атома вблизи
критического значения33 поля
В основе расчета лежит аппроксимация барьера параболой вблизи
его максимума с последующим вычислением коэффициента подбарьерного
прохождения. Не останавливаясь на деталях, приведем значение скорости
распада Г для F = Fc и n2 = п:
Видно, что скорость распада отнюдь не экспоненциально мала (как в слабом
тюле
и, более того, сравнима с периодом движения электрона по
орбите.
Интересно оценить отношение ширины уровня Г к его энергии Ес в кри*
тической точке. Согласно (2.57) и (2.58), имеем
Таким образом, отношение неопределенности энергии уровня к самой энергии
составляет 1,8·10–3 для п = 50 и 5,5·10–3 для п = 20.
2.7. К в а з и к л а с с и ч е с к а я т е о р и я
для атомных состояний
в электрическом поле
2.7.1. Основы квазиклассического метода
Рассмотрим более общую квазиклассическую теорию распада уровней
в электрическом поле, позволяющую проследить плавный переход от случая
слабых полей
к полям, сравнимым с критическим. Следует отметить,
что, хотя основы квазиклассической теории были заложены Ланчосом 34 еще
в 30*х годах, конкретные расчеты оставались в значительной мере незавер*
шенными. В последние годы такие расчеты были выполнены, как отмечалось,
более точными методами; см. 17, 18, 31, 32. Ниже мы следуем результатам
работ Друкарева 18, проведшего последовательный расчет энергий и ширин
уровней квазиклассическим методом.
В основе квазиклассической теории лежат правила квантования (2.46) —
(2.48), (2.53). При достаточно малых
интегралы (2.46), (2.47)
представляются в виде
где мы используем обозначения (2.5), (2.6) для констант разделения пере*
менных
В этом приближении энергия Е (или эффективное главное квантовое
число v) оказываются функциями двух параметров
Для нахождения v заметим, что интегралы (2.60), (2.61) выражаются
через гипергеометрическую функцию
что
где
Учитывая условия квантования (2.60), (2.61), найдем
Отсюда видно, что
Выразим далее
ния (2.65) для
через z1 и z2 с помощью (2.64) и подставим выраже*
что дает
Из последнего соотношения следует, что максимальное значение достигается
при z2 = 1 и равно
Величина
определяет, очевидно, критическое значение поля Ec, для нахо*
ждения которого надо найти энергию Е (параметр v).
С помощью (2.69) соотношение (2.68) принимает вид
2.7.2. Уровни энергии
Найдем уравнения для определения эффективного главного квантового
числа v = (—2E)1/2. Для этого воспользуемся связью
констант
разделения и формулами (2.65), что дает связь v/n с параметром S (2.62)
и переменными
(2.64).
Далее, соотношения (2.67), (2.68) дают два других уравнения, связы*
вающих параметры Т, S и v с комбинациями функций
три уравнения с помощью несложных преобразований дают параметриче*
18
скую связь v/n с параметрами S и Т :
Процедура нахождения v с помощью уравнений (2.71) сводится к следующе*
му: по данным S и Т из (2.7) находятся параметры
подставив затем их
в выражение для v/n, находим искомую величину. Эта процедура в общем
18
случае проводится численно. В представлена зависимость
от Т при
различных S. Некоторые численные данные для параметра v/n приводятся
ниже в табл. II.
Сравним результаты квазиклассической теории (2.71) с данными клас*
18
сического расчета (2.52) для m = 0, п2 = п и F = Fc, см. . Для этого поло*
жим параметр z2 в (2.71) равным единице, что соответствует согласно (2.64)
критическому значению поля
Учитывая, что F (z2 = 1) =
из (2.71), получаем
откуда энергия Е = —v2/2 оказы*
вается в точности совпадающей с соответствующей классической величиной
(2.52). Находя из (2.69) величину критического поля
ся, что она также совпадает с классической оценкой (2.52).
убеждаем*
Сравнение квантовомеханических
28
и квазиклассических
18
Т а б л и ц а II
расчетов
2.7.3. Скорости распадов
Расчет скорости распадов Г в 18 основан на нахождении асимптотического
36
вида волновой функции на основе квазиклассического метода . Нахождение
асимптотики квазиклассической функции связано с задачей об определении
проницаемости потенциального барьера V (у) в y*пространстве. Эта задача
может быть решена точно либо для барьера параболической формы, либо
в предельном случае малой проницаемости (большой ширины) барьера.
В нашем случае форма барьера близка к параболической вблизи его вершины,
тогда как вдали от нее проницаемость барьера мала. В итоге, можно постро*
ить единое аналитическое выражение, приближенно справедливое при про*
извольной проницаемости барьера.
Если К и Ф — параметры, определяющие проницаемость барьера и фазу
волновой функции,
точки поворота слева и справа от барьера (р (у) — импульс в y*
пространстве), то приближенное выражение для Г принимает вид
Физический смысл (2.73) ясен: скорость распада Г пропорциональна
частоте движения электрона в потенциальной яме
умноженной
на вероятность распада е–2K при подходе к барьеру. Оба эти параметра могут
быть выражены аналогично в разделе 2.7.1 через аналитические функции
h (z 2 ) и g (z2), связанные с гипергеометрическими функциями:
Общий вид функций h и g приведен в 18. При слабых полях
поль*
зуясь связью (2.64) между параметром z2 и полем
легко найти асимптотиче*
ское выражение для параметра распада Г, совпадающее, как и должно быть,
с результатами асимптотической теории.
При полях F, близких к критическому полю
пара*
метр z2 близок к единице:
В этом случае
Предельное значение функции h(1) равно
логарифмическая производная Г*функции).
Интересно сравнить значение Г в точке F = Fc с результатами (2.58)
в разделе 2.6. Подставляя (2.75), (2.76) в формулу (2.74), убеждаемся, что
оба результата для ширины линии расходятся примерно в 2,5 раза. Это рас*
хождение может быть вполне обусловлено различием аналитических аппро*
18
ксимаций (см. ).
18
В табл. II из приведено сравнение результатов квазиклассической тео*
18
рии для параметров v и Г с квантовомеханическими расчетами 28.
2.8. Р е з у л ь т а т ы
численных
расчетов
29, 36–38
Численные методы расчетов были развиты в ряде работ
, причем
их результаты в целом неплохо согласуются друг с другом и заметно отли*
чаются от результатов расчетов по более раннему методу Ланчоса, (см. 17).
Численные результаты удобно представить, имея в виду многочисленные
приложения, в полуаналитической форме, основанной на теории возмуще*
ний по величине поля 37. Энергии
и ширины
штарковских подуровней записываются в виде степенных рядов по пара*
метру
37
где коэффициенты ср вычисляются методами возмущений . Первые три
из них имеют вид
Первые два отвечают, очевидно, хорошо известным линейному и квадратич*
ному эффектам Штарка. В 37 коэффициенты ср приведены вплоть до 9*го
порядка *).
Аналитические выражения для ширин Г уровней тесно связаны с частотой
движения электрона в потенциальной яме, определяемой производной
дE/дn2:
Функция
определяет, очевидно, проницаемость барьера.
Производная дЕ/дп2 находится дифференцированием ряда (2.77).
Функция К, определяющая проницаемость барьера, находится с помо*
щью асимптотического ряда для Г вида (ср. раздел 2.4)
где коэффициенты
дисперсионного соотношения
выражаются через коэффициенты (2.77) из
Соотношение (2.81) устанавливается из условия аналитичности энергии
в плоскости комплексных значений поля F (подробнее см. 17, с. 78).
*) Полное разложение (2.77) с учетом (2.78) идет, конечно, по степеням класси*
ческого параметра
Сравнение коэффициентов
с коэффициентами ср из (2.81) позволяет
получить следующее соотношение для функции К:
Таким образом, табулированные в 37 коэффициенты ср позволяют найти
уровни энергии (2.77) частоты движения внутри барьера и, наконец, шири*
ны распадов из формул (2.79) и (2.82).
Т а б л и ц а III
Скорости ионизации Г состояний, относящихся
к уровню п=10,
37
в электрическом поле (по )
В табл. III из 37 представлено сравнение результатов численных расче*
37
36
тов и для скоростей ионизации уровня п = 10, а также данные ,
28
37
основанные на теории Ланчоса. Видно хорошее согласие данных и
36
и существенное отличие их от более ранних данных , основанных на
теории Ланчоса.
28
Рис. 6. Штарковское расщепление высоковозбужденногo атома лития (по данным38)
На рис. 6 показана рассчитанная штарковская структура высоковоз*
бужденного атома лития 38. Показан массив штарковских компонент, отве*
чающих проекции магнитного квантового числа | т | = 1. Этот массив (в силу
малости квантового дефекта р*состояний) оказывается очень близким к кар*
тине штарковского расщепления в водороде. Отличие наблюдается лишь
для самых малых полей, где заметен квантовый дефект р*уровня. Ясно
видна картина пересечения штарковских компонент различных уровней.
Расталкивание пересекающихся термов обусловлено отличием от нуля кван*
тового дефекта и в целом растет с его ростом *). В отличие от неводородных
атомов, в нерелятивистской теории водородного атома возможно точное
пересечение уровней. Такая возможность связана с наличием дополнитель*
ного вырождения: пересекающиеся уровни, помимо параболических кванто*
вых чисел
могут иметь разные значения дополнительного интеграла
движения — константы разделения переменных
(см. (2.1), (2.2)).
В целом рассчитанная картина штарковского расщепления очень хоро*
17,38
шо подтверждается экспериментально
.
3. ЭФФЕКТ ЗЕЕМАНА
3.1. А т о м
в
магнитном
поле
3.1.1. Вводные замечания
Воздействие магнитного поля В на атом приводит к хорошо известному
зеемановскому расщеплению атомных уровней на отдельные компоненты,
отвечающие определенным значениям проекции орбитального момента атома
т на направление поля В.
Особенности эффекта Зеемана, обусловленные, в частности, спин*
орбитальным взаимодействием, подробно изложены в целом ряде учебников
и монографий 1–3. Поэтому ниже мы остановимся на менее известных аспек*
тах при больших значениях напряженности поля В.
Наложение магнитного поля на атом приводит к дополнительному огра*
ничению движения электрона поперек поля, а при дальнейшем увеличении
напряженности поля — к резкому уменьшению поперечного движения элек*
трона и, как следствие, — превращению трехмерной потенциальной ямы
атома в одномерную. Следствием этого может быть сильное изменение энер*
гетического спектра атома.
Рассмотрим вначале эффект Зеемана первого порядка для простейшего
бесспинового одноэлектронного (водородного) атома. Гамильтониан возму*
щения V, обусловленный взаимодействием орбитального момента I электро*
на с полем В, имеет вид
магнетон Бора.
Для определения собственных значений энергий, т. е. диагонализации
возмущения (3.1), достаточно выбрать волновые функции, отвечающие опре*
деленной проекции I на направление В. Обычно в качестве таких функций
выбираются сферические волновые функции
отвечающие определенным
значениям полного момента l2 = l (l + 1) и его проекции
Для
водородного атома зеемановские подуровни, отвечающие определенному т,
остаются вырожденными по квантовому числу l. Эта специфика кулоновско*
го вырождения проявляется также в том, что в качестве диагонализирующих
(3.1) волновых функций можно выбрать параболические волновые функции
с осью Oz вдоль поля В. Эти состояния в силу соотношения п1 + n2 +
+ | т | = п — 1 при данном т остаются вырожденными по значениям п1
и n2, отвечающим их одинаковой сумме п1 + n2. Таким образом, зееманов*
ская компонента водородного уровня характеризуется не одной, а, вообще
*) Видимые на рис. 6 большие величины расталкивания термов в действительность
38
иллюзорны и обусловлены неточностью численной процедуры расчета (см. ).
товоря, несколькими волновыми функциями. Интенсивность компоненты
определяется суммой по вырожденным состояниям, причем эта сумма уже
не должна зависеть от выбора базиса (сферическое или параболическое кван*
тование).
В простейшем случае линии
(переход
состоянию с т = 0
отвечают две параболические функции с n1 + n2 = 1 и двумя значениями
равными +1 и —1, которые отвечают двум различным проекциям
дипольного момента атома на направление поля В. Ясно, что сумма интен*
сивностей переходов из этих двух состояний равна интенсивности перехода
из одного «сферического» р*состояния с l = 1, m = 0. В общем случае пере*
ход от параболического к сферическому базису определяется формулами
(2.10).
3.1.2. Спектр энергии нижних состояний
Рассмотрим кратко вопрос об эволюции нижних состояний энергетиче*
ского спектра водородоподобного атома при увеличении напряженности В
магнитного поля до величин, сравнимых (и превышающих) с величиной вну*
триатомного электрического поля. Этот вопрос приобрел, как отмечалось,
интерес в связи со спектром поглощения экситонов — образований «элек*
трон — дырка» с весьма малой (вследствие большой диэлектрической про*
ницаемости и малой эффективной массы электрона в среде) энергией связи,
сравнимой с энергией электрона в магнитном поле умеренной напряженности
(10—102 Тл). В качестве меры напряженности поля введем параметр
13,6 эВ — постоянная Ридберга.
Гамильтониан атома в поле В имеет вид *)
В силу инвариантности
относительно вращения вокруг оси Oz, параллель*
лой полю В и проходящей через ядро атома, z*компонента орбитального
момента
является сохраняющейся величиной. Вводя цилиндриче*
скую систему координат с осью Oz || В и учитывая, что зависимость волновой
функции
от угла поворота
вокруг оси z тривиальна:
запишем
уравнение Шрёдингера в виде
Двумерное уравнение (3.4) не решается аналитически в общем виде, посколь*
ку член кулоновского взаимодействия, содержащий
пре*
пятствует разделению переменных. Поэтому мы продемонстрируем характер
решения при
и некоторые аппроксимационные формулы для
переходной области
В области
члены, содержащие
можно учесть по теории возму*
40
щений. Для основного состояния атома водорода это дает
Выражение (3.5) хорошо совпадает с численными расчетами вплоть до
~ 0,1 (т. е. В ~ 104 Тл). Аналогичные результаты были получены в 40 для
п = 2.
*) Спин электрона не учитывается, поскольку его учет приведет лишь к сдвигу
энергии уровней на постоянную величину. Отметим также, что понятие «сильное
маг*
нитное поле» модифицируется при переходе к многоэлектронному атому 39.
В области
движение электрона поперек магнитного поля опреде*
ляется размером его циклотронной орбиты
а вдоль поля —
кулоновским взаимодействием. При этом потенциал этого «продольного»
кулоновского взаимодействия может быть получен путем усреднения полного
кулоновского потенциала
по малому размеру поперечного
движения. Таким образом, учитывая, что в среднем
про*
дольное движение электрона происходит в одномерном кулоновском потен*
циале.
Последовательное разделение поперечного и продольного движений
в уравнении (3.4) при
достигается с помощью представления волно*
вой функции
в виде произведения волновой функции
попе*
речного движения электрона в магнитном поле на функцию
его про*
дольного движения в одномерном «продольном» потенциале.
Поперечное движение электрона в магнитном поле эквивалентно, как
видно из (3.4), движению осциллятора, волновые функции которого хорошо
2,7
известны
:
где N = 0, 1, 2, . . . — целые числа, определяющие номер энергетического
уровня (уровня Ландау) в магнитном поле,
полиномы
Лагерра,
Соответственно, уровни энергии поперечного (осцил*
ляторного) движения электрона равны
Уравнение для волновых функций
продольного движения
получается из (3.4) после усреднения по функциям (3.6) поперечного движе*
ния 6, 7:
где энергия продольного движения
должна быть добавлена к энергии
поперечного движения (3.7), а усредненный потенциал определяется фор*
мулой
Явный вид потенциала (3.9) достаточно сложен для того, чтобы уравнение
(3.8) допускало аналитическое решение. Однако его хорошо аппроксимируют
функции вида 7
где размер
и коэффициенты А подбираются для каждого NM так
чтобы лучше аппроксимировать истинный потенциал (3.9).
При достаточно малых значениях параметра а потенциал V (z) близок,
как видно из (3.10), к одномерному кулоновскому потенциалу e2/| z |. Поэто*
му, по аналогии с трехмерной кулоновской задачей, запишем продольную
энергию
в виде
где эффективное «главное квантовое число» п* определится из граничных
условий.
Вводя далее переменную
и ограничиваясь
первым членом в потенциале (3.10), приведем уравнение (3.8) к виду
решением которого являются функции Уиттекера Wn,1/2 (x). Учитывая далее,
что потенциал V (z) не меняется при замене
найдем, что решения
(3.12) должны быть либо четными, либо нечетными по z. Требование непре*
рывности функций и их производных при z = 0 приводит для нечетных
состояний к условию
а для четных — к условию
Условия (3.13), (3.14) дают значения чисел n*, определяющих число
узлов волновых функций и последовательность энергетических уровней.
В пределе
все энергетические уровни продольного движения водо*
родоподобны, т. е. n* = 1, 2, . . ., за исключением основного состояния,
энергия которого логарифмически убывает с ростом (см.2, задача 3 к § 112),
а также ниже, формулы (3.70), (3.71).
Существует однозначная связь между состояниями в слабом и сильном
магнитных полях. Эта связь устанавливается с помощью подсчета числа
узлов волновой функции в обоих пределах. Действительно, увеличение
магнитного поля деформирует сферическую симметрию водородного атома
в цилиндрическую. Учитывая, что у свободного атома имеется
— 1 узлов радиальной волновой функции, отвечающих
узловым сферам,
и l — | М | узлов угловой функции, отвечающих конусам с осью z, а в силь*
ном магнитном поле — соответственно N — [ ( | M | + М)/2] узловых цилин*
дров
(для четных) или 2n* — 1 (для нечетных состояний)
узловых плоскостей, пересекающих ось Oz, найдем, следуя Праддо 41,
Например, нижнее четное состояние N = 0, М = 0, n* = 0 соответствуют
n = 1, l = 0, М = 0 атома водорода.
Поведение энергии Е с изменением параметра определяется формулой
40
Для расчета поведения первых нескольких уровней Галиндо были пред*
ложены аппроксимациоцные формулы, основанные на интерполяции между
пределами
Следует отметить, что вопрос о соответствии термов и возможности их
точных пересечений все еще остается открытым. Дело в том, что в магнитном
поле переменные не разделяются (в отличие от электрического), и единствен*
ными сохраняющимися величинами наряду с энергией являются проекция
момента и четность. В этом случае казалось бы применима теорема о непере*
2
сечении Вигнера — Неймана (см. , § 79). Однако для атома в магнитном поле
существует, по*видимому, дополнительный приближенный интеграл движе*
ния (см. раздел 3.3), что может приводить, очевидно, к возможности точных
(или исчезающе мало расталкивающихся) пересечений термов. Вплоть до
окончательного выяснения этого вопроса мы придерживаемся изложенной
схемы идентификации термов. Обсуждение этого вопроса содержится в 42.
3.2. А д и а б а т и ч е с к а я т е о р и я
Результаты раздела 3.1 допускают интересное обобщение для больших
квантовых чисел n, отвечающих движению в кулоновской яме, или при
быстром вращении в магнитном поле
Оно было сделано Жиличем
и Монозоном 44, которым мы следуем ниже.
44
В основе подхода лежит использование медленности (адиабатичности)
движения электрона вдоль магнитного поля (оси z) по сравнению с его враще*
нием в поперечной плоскости. Сравнивая классическую частоту движения
в кулоновском поле
с ларморовской частотой
приходим к условию
Условие (3.17) медленности движения по координате z позволяет сохранить
параметрическую зависимость от z в волновых функциях поперечного движе*
ния, т. е. считать
Тогда для RN и WNn из (3.4) следуют уравнения
где собственные значения
можно при
квантования Бора — Зоммерфельда
определить из условий
классические точки поворота — корни подынтегрального
выражения).
Простые результаты получаются из (3.21) в двух предельных случаях
(0) из (3.21) следует разложение для собственных значений
определяющее вид эффективного потенциала в (3.20). Удобно заменить этот
потенциал более общим потенциалом вида
совпадающим при разложении в области
с (3.22) с точностью до чле*
нов | z |–3. После этой замены уравнение (3.20) принимает вид
При
уравнение (3.24) сводится, очевидно, к уравнению (3.12) с о дно*
мерным кулоновским потенциалом, имеющему решения (3.13), (3.14). Пара*
метр bN определяет размер той области по z, в которой потенциал близок
к кулоновскому. Видно, что с ростом числа N размер кулоновской ямы все
более сужается.
Учет поправок следующего порядка по параметру адиабатичности
(3.17) позволяет найти квантовые дефекты
для уровней, обусловленные
отклонением поля от чисто кулоновского:
Нахождение величин
для четных и нечетных состояний основано
на решении уравнения (3.24) (сводящегося после замены
к уравнению для функций 44Уиттекера) с условиями квантования (3.13),
(3.14). Результат имеет вид
Таким образом, каждый дублетный уровень водородоподобного атома
в магнитном поле расщепляется на два, соответствующие квантовым дефек*
там (3.27), (3.28). В пределе
оба условия сливаются в двукратно вы*
рожденный водородоподобный уровень (3.16).
В случае
в условии квантования (3.21) можно воспользо*
ваться разложением по прямым степеням
Наиболее просто получить
решение для М = 0 (когда
(0) = 0), считая параметр
(пропорциональ*
ный N) большим:
Решая (3.29) методом последовательных приближений, найдем
Как видно, эффективный потенциал по оси z совпадает в данном случае
с осцилляторным потенциалом. Уравнение для движения по оси z приобре*
тает вид
где характерная частота
рона по оси z равна
движения элект*
Спектр энергетических уровней Е совпа*
дает в рассматриваемом
случае со спектром
44
осциллятора ;
Рис. 7. Схема энергетических
уровней возбужденного атома
в сильном магнитном поле на до*
статочно высоком уровне Ландау
Условием реализации спектра (3.34) служит
требование малости частоты
по сравнению с ларморовской частотой, т. е.
Таким образом, спектр связанных электронов на достаточно высоком
уровне Ландау
плавно меняется от низколежащих уровней осцилля*
торного типа до высоковозбужденных водородоподобных уровней
сгущающихся к границе серии (рис. 7).
3.3. П е р е с е ч е н и е т е р м о в и « с к р ы т а я » с и м м е т р и я
атома в м а г н и т н о м поле
Гамильтониан
водородного атома в магнитном поле В, направленном
вдоль оси z, имеет вид
где lz — оператор проекций орбитального момента l на направление магнит*
ного поля В (ось (Oz),
Уравнения движения атомного электрона в магнитном поле не допуска*
ют (в отличие от электрического поля) разделения переменных в какой*либо
Рис. 8. Пересечение зеемановских по*
дуровней энергии Е (см–1) атома с уве*
личением магнитного поля В для малых
значений главных квантовых чисел 45
Рис. 9. Изменение величины расщеп*
ления
в точках пересечения зее*
мановских подуровней с ростом глав*
ного квантового числа п 45
системе координат и, следовательно, не содержат дополнительных интегра*
лов движения типа констант разделения переменных. Поэтому при перекры*
тии зеемановской структуры одного из уровней с другой в точках пересече*
ния не следует ожидать точного совпадения значений энергии (как это было
в электрическом поле). Тем не менее, при численных расчетах зеемановской
45
структуры Циммерманом и др. была обнаружена приближенная симметрия
атома водорода в магнитном поле. Она проявляется в резком (экспоненци*
альном) убывании величины расщепления
в точках пересечения зеема*
новских подуровней от величины главного квантового числа п. На рис. 8
45
из
показана картина пересечения зеемановских подуровней для малых
и больших значений квантовых чисел п. Видно, что «антипересечение» при
небольших п сменяется картиной почти полного пересечения при увеличе*
нии п. Изменение величины
с ростом п показано на рис. 9 для пересече*
ний крайних (сплошная линия) и крайней со средней зеемановских компо*
нент. Видна явная экспоненциальная зависимость от номера уровня.
Среди ряда предложенных объяснений 45–49 приближенной симметрии
остановимся на результатах Соловьева 47, связывающих обнаруженное изме*
нение
с наличием дополнительного интеграла движения
для атома
48
водорода в магнитном поле (см. также работу Херрика ). Интеграл
мож*
но получить, следуя 47, на основе классических уравнений движения для
50
орбитального момента и вектора Рунге — Ленца А = [pl] — (r/r) (см. )
в магнитном поле
Усредняя (3.37) по периоду движения на невозмущенной траектории (кепле*
ровскому эллипсу), приходим к системе уравнений, описывающих измене*
ние траектории под действием магнитного поля.
С помощью этих уравнений можно убедиться в наличии интеграла дви*
жения
сохраняющегося наряду с энергией Е и проекцией орбитального момента lz.
Сохранение
справедливо вплоть до членов порядка
Учитывая, что A2
меняется в интервале
найдем область изменения
Наличие интеграла движения
приводит к дополнительным условиям
квантования по угловым переменным.
Действительно, пусть
угол между
векторами В и А; тогда
При
0 вектор А находится на
двойной конической поверхности,
задаваемой условием
хранение
означает, что все траек*
тории движения разбиваются на два Рис. 10. Эффективный угловой потенциал
класса: траектории внутри двойного
для различных значений интег*
рала движения
конуса (при
либо вне его (при
Для записи условия квантования необходимо ввести обобщенный
импульс, канонически сопряженный координате
Таковым является, оче*
видно, компонента орбитального момента
перпендикулярная плоскости
векторов В и А. Выражая
через интегралы движения т, Е (п =
найдем 47
Эффективный «угловой» потенциал
изображен на рис. 10
Видно, что наличие дополнительного
движения приводит к резко разделенным областям классического
определяемых корнями эффективного потенциала
условия квантования Бора — Зоммерфельда записываются для
в верхней и нижней частях двойного конуса раздельно так:
для случа*
интеграла
движения,
движения
Поскольку потенциалы в этом случае одинаковы, получающиеся состояния
оказываются двукратно вырожденными. Из этих состояний, локализованных
в верхней и нижней частях конуса, можно построить волновые функции, сим*
метричные и антисимметричные относительно плоскости x, у.
При
состояния невырождены и условие квантования имеет вид
Интегралы (3.41) — (3.43) не вычисляются в аналитическом виде в общем
случае. Максимальное значение
достигается при
0 и определяет
полное число состояний
совпадающее с точным квантовым значением числа состояний с данными п
и т.
В первом (по
порядке теории возмущений энергия выражается через
среднее по периоду значение
Вычисляя его с помощью урав*
нений для невозмущенной траектории, найдем 47
Наибольший интерес представляют крайние зеемановские компоненты,
первыми испытывающие пересечения. Эти подуровни отвечают нижним уров*
ням в эффективных потенциалах на рис. 10, и для их определения можно
воспользоваться параболической аппроксимацией потенциала вблизи его
минимума. Это дает
При переходе к квантовой механике интеграл движения
заменяется
оператором
который коммутирует с гамильтонианом в подпространстве
волновых функций с данным п. В этом можно убедиться, выражая оператор
входящий в гамильтониан, через
Такая связь позволяет построить
также волновые функции, диагонализирующие гамильтониан (3.36) в под*
пространстве состояний с данным п. Это построение оказывается возможным
благодаря разделению переменных в эллипсо*цилиндрических координатах
для водородного атома в том случае, когда в качестве независимых перемен*
ных используются операторы lz и квадратичные комбинации вектора Рунге —
Ленца. Мы не будем останавливаться на явном виде этих функций, отсылая
читателя к 47, 48 и цитируемым там работам.
Найденная в 47 приближенная симметрия атома водорода, связанная
с наличием дополнительного интеграла движения
позволяет дать объяс*
нение закономерностям, наблюдавшимся в численных расчетах (см. рис. 8, 9).
Действительно, как видно из рис. 10, для состояний с различным знаком
расщепление в точках квазипересечения уровней определяется проницаемо*
стью классического барьера и при
должно быть экспоненциально
мало. Расчеты расщепления
проведенные по указанной схеме, приво*
47
дят к результату *):
Результат (3.47) действительно дает экспоненциальный спад расщепления
с ростом n, близкий к расчетным данным на рис. 9, 10.
Интересный подход к расчету квадратичного эффекта Зеемана был раз*
вит Брауном 51, а также Казанцевым и др. 52. Он основан на следующем
свойстве матричных элементов оператора возмущения V = x2 + y2 в пара*
болических координатах (ось Oz || В):
*) В расчетах необходимо учесть изменение параметра
в области
равного —1 в области
Записывая волновую функцию с данным п в виде разложения по параболиче*
ским функциям
с коэффициентами
и используя свойство (3.48),
найдем рекуррентные соотношения для коэффициентов
где собственные значения
связаны с энергией атома Е соотношением
Получим, следуя 51, квазиклассическое решение (3.49) при больших кванто*
вых числах
Для этого представим
в виде произведения:
где функции П s играют роль классического импульса в пространстве парабо*
лических квантовых чисел.
Подставляя (3.51) в (3.49) и пользуясь условием
приводим
рекуррентные соотношения к квадратному уравнению вида
дискриминант
которого имеет приближенный вид
Функции
играют роль, аналогичную потенциальной энергии в уравне*
нии Шрёдингера, и с учетом (3.48) равны
Если энергия
сические импульсы
лежит в интервале
в (3.51) принимают вид
и клас*
Найденные выражения для «импульсов»
позволяют воспользоваться для
нахождения энергии
правилами квантования Бора — Зоммерфельда:
где N = 0, 1, 2, ... — целое число.
Характер спектра зависит от вида потенциальных кривых
опре*
деляемых значением проекции момента т. Так, при т = 0 эти кривые
имеют вид
т.е. представляют собой две перевернутые параболы с центром в точке п1 =
= а. Классическое движение происходит в области, ограниченной верхней
параболами. При значениях энергии
меньших макси*
мума нижней параболы
движение происходит
в двух симметричных потенциальных ямах, разделенных максимумом
В силу этой симметрии зеемановские подуровни оказываются в этом случае
двукратно вырожденными. Разность энергий этих уровней
опре*
деляется проницаемостью барьера и определяется, как и в обычном коорди*
натном пространстве, фазовым интегралом между точками поворота в под*
барьерной области. Дублетное расщепление уровней исчезает при достаточно
большом значении | т
|
отвечающем области движения без макси*
мумов.
Расчеты 51 энергии
и расщепления
для случая т = 0
приводят к следующим результатам: д л я энергии нижних (дублетных) уров*
ней из (3.56) получается (N = 0, 1, 2, . . .)
Соответствующее расщепление равно
Формулы (3.58), (3.59) справедливы, строго говоря, при
однако,
как показывает сравнение с численными расчетами 51, они обладают высо*
кой точностью даже при N ~ n.
3.4. С и л ы о с ц и л л я т о р о в п е р е х о д о в
Расчет сил осцилляторов в слабом магнитном поле был проведен Клар*
ком и Тейлором 46 методами теории возмущений. Эволюция сил осцилляторов
зеемановских компонент при увеличении напряженности магнитного
поля В такова, что при перекрытии зеемановской структуры различных
уровней не происходит существенного изменения в величинах
компо*
ненты свободно «проникают» друг через друга. Это обстоятельство является,
как отмечалось в разделе 3.3, одним из свидетельств наличия дополнительной
симметрии для атома в магнитном поле.
Силы осцилляторов в сверхсильном магнитном поле обладают резкой
анизотропией, обусловленной выделенным направлением В || Oz (связанным
с направлением вращения электрона). Расчет сил осцилляторов при
Тл основан на общей адиабатической теории в разделах 3.1,
3.2 и был проведен Хасегавой и Ховардом 7. Рассмотрим, следуя 7, силы
осцилляторов для поглощения и излучения циркулярно поляризованного
в плоскости XY:
волновые функции вида (3.18),
Удобно ввести обобщенные импульсы
циклотронной орбиты электрона:
энергии уровней.
и координаты X, Y центра
радиус циклотронной орбиты.
Переменные
X, Y подчиняются коммутационным соотношениям
Волновая функция основного состояния
вариационных расчетах) имеет структуру
(обычно используемая при
поперечный размер орбиты, стремящейся к величине
продольный размер порядка боровского радиуса а0.
Используя операторы
и полноту системы функций
легко получить
правило сумм для сил осцилляторов:
Для основного состояния (i = 0), используя функцию (3.64), найдем
Видно, что при
сумма сил осцилляторов для левоциркулярной
поляризации (ЛЦП) стремится к единице, а для правоциркулярной (ПЦП) —
к нулю.
Взятие матричных элементов по волновым функциям ФNM электрона
в магнитном поле производится на основе стандартных свойств операторов
через которые выражается координата:
Остающиеся множители при fij определяются интегралами перекрытия вол*
новых функций F NMn одномерного квазикулоновского движения по оси z.
Так, для переходов из основного состояния 0 (N = М = п = 0) в первые
7
возбужденные состояния N = 1, М = 1, п получается
энергии продольного движения,
интегралы пе*
рекрытия «продольных» волновых функций.
Расчеты функций FNMn (и связанных с ними интегралов перекрытия)
основаны на общей схеме сшивки решений в области больших и малых зна*
чений координаты z. При больших z функции
совпадают, согласно
данным раздела 3.1, с функциями в одномерной кулоновской яме. При малых
z их можно найти методом возмущений, причем при интегрировании куло*
ловского потенциада здесь возникает характерная для задачи логарифмиче*
ская особенность. Сшивая оба решения, найдем уровни энергии
и соответствующий им вид волновых функций.
Энергия основного состояния
логарифмически убывает с ро*
стом В:
причем это убывание универсально для любого уровня Ландау, зависимость
от которого входит лишь через постоянные
Волновые функции на основном уровне п = 0 сосредоточены вблизи
начала координат, поэтому их интегралы перекрытия велики:
Рис. 11. Схема различ*
ных переходов для ато*
ма в сверхсильном7 маг*
нитном поле .
Указаны квантовые числа N,
М, п состояний — право* и
левоциркулярные переходы
(ПЦП и ЛЦП)
Рис. 12. Изменение сил осцилляторов
переходов между низшими состояниями атома
водорода с увеличением магнитного поля (параметра
Штриховые линии отвечают приближению бесконечной массы протона. Схема переходов при
'
указаны на рис. а
Подстановка (3.72) в (3.68) дает для силы осциллятора основного пере*
хода
что находится в соответствии с правилом сумм (3.66).
Силы осцилляторов для переходов в п > 1 находятся аналогичным
образом. Для больших
величины
оказываются пропорциональ*
–3
ными нормировочному фактору n . Удобно поэтому использовать силы
осцилляторов на единичный интервал энергий dn/dE. Волновые функции
с п > 0 имеют логарифмически малые интегралы перекрытия с функцией
F000, сосредоточенной в области
Поэтому малы и соответствующие силы осцилляторов
Силы осцилляторов для ПЦП*переходов имеют дополнительный малый
степенной множитель.
Общая схема переходов показана на рис. 11 7. Наиболее интенсивны
переходы типа А, далее — логарифмически подавленные переходы типа В,
и, наконец, переходы типа С, подавленные степенным образом.
Детальные расчеты сил осцилляторов для атома водорода в магнитном
поле, включая переходную область В ~ В0, были выполнены Форстером
53
53
и др. . На рис. 12 приведено поведение сил осцилляторов
для раз*
личных переходов между низшими состояниями водорода. Видно, что пере*
ходы, разрешенные в отсутствие магнитного поля (типа 1—8) слабо меняют
величины
тогда как для других переходов (9—12) силы осцилляторов
меняются на несколько порядков величины.
3.5. К л а с с и ч е с к и е т р а е к т о р и и а т о м н о г о э л е к т р о н а
в магнитном поле
При увеличении напряженности магнитного поля В энергетический
спектр атома меняется от чисто кулоновского (ридберговского) к осцилля*
торному спектру Ландау с примыкающим к нему одномерным квазикулонов*
ским спектром. Последовательно проследить такой переход в рамках кван*
товой теории оказывается, как это видно из разделов 3.1—3.3, достаточна
сложно. Можно, однако, проследить такой переход в рамках классической
механики, справедливой для достаточно высоко возбужденных атомных
состояний. Здесь траектория атомного электрона должна эволюционировать
по мере увеличения В от кеплеровского эллипса к ларморовским кружкам.
В разделе 2.5 мы видели, что классическая картина движения электрона
в электрическом поле F, близком к критическому Fc, давала хорошие резуль*
таты для вероятностной ионизации. Можно поэтому надеяться, что и в слу*
чае магнитного поля классическое описание послужит хорошей основой
будущей квантовой теории.
Картина классического движения была подробно исследована Делосом,
54
Кнудсоном и Нойдом путем численного решения классических уравнений
движения электрона в кулоновском и магнитном полях. Ниже мы следуем
этой работе.
Уравнения классических траекторий в цилиндрических координатах
(ось Oz || В) получаются с помощью гамильтониана H, содержащего
кулоновский потенциал
центробежный потенциал
и «диамагнитный» член
Оказывается, что гамильтоновы уравнения движения для канонически
сопряженных координат
и импульсов
могут быть приведены к без*
размерной форме, содержащей только один параметр
являющийся комбинацией параметров кулоновского (e2) и магнитного
2
(~B ) взаимодействий.
Такая форма уравнений получается после замены переменных *)
В новых переменных гамильтониан
содержит единственный пара*
метр — эффективную z*компоненту углового момента L.
Соответствующие уравнения движения имеют вид
Траектории электрона в переменных
являются все еще
сложными. Можно, однако, получить достаточно полное представление
о них, рассматривая их сечение плоскостью z = 0 (сечение Пуанкаре 55).
Действительно, из (3.79) видно, что
и z имеют всегда противополож*
ные знаки. Поэтому система обязательно пересечет плоскость z = 0 за все
время движения
Численные расчеты траекторий в про*
водились по следующей схеме: полагалось z = 0, для данных значений
Н и L выбиралось двадцать случайных значений переменных
ходилось из гамильтониана, после чего решались уравнения движения
54
(3.79).
Рассмотрим вначале общую картину движения. Электрон движется
в эффективном потенциале
обладающем двумя характерными значениями — минимумом при z0 = 0
в точке
и энергией Es отрыва электрона от ядра при
Для описания движения электрона с энергией E удобно ввести безразмер*
ную энергию
равную нулю при Е = Emin и единице при E = Es.
*) Для упрощения последующей записи мы изменили по сравнению с 54 обозначе*
ния размерных
и безразмерных
переменных.
На рис. 13 показана схема областей движения электрона на плоскости
f, L. Эллиптический режим при малых L (малые поля В) переходит
Рис. 13. Схема областей движения электрона
на плоскости безразмерных энергий f =
мента L 54.
Отмечены области проявления различных типов дви*
жения
в спиральный режим движения при больших L (больше В). Вид фазовых
траекторий в плоскости z = 0 для ряда значений f и L показан на рис. 14.
Охарактеризуем, следуя 54, движения электрона в каждой из областей
на плоскости f, L.
Рис. 14. Вид фазовых траекторий
электрона в плоскости z = 0 для ряда значе*
ний f и L
Столбцам слева направо отвечают соответственно значения L = 0,50; 1,51 и 5,03, строкам снизу вверх —
значения f = 0,1, 0,4 и 0,8. Темные области отвечают стохастическим траекториям
а) Область эллиптических траекторий отвечает обычному движению
но кеплеровским эллипсам. Среди этих траекторий следует выделить эллипсы,
вытянутые вдоль положительной или отрицательной оси (так называемые
«либраторы»). Движение по «либраторам» реализуется при условии
т. е. в узкой области (f — L) на рис. 13. Эти траектории играют,
по*видимому, важную роль при переходе к неустойчивому режиму движения
(см. ниже). Основная часть траекторий (так называемые «ротаторы») отве*
чают движению по эллипсам, близким к плоскости x, у.
б) Область спиральных траекторий реализуется в сильном магнитном
поле и отвечает, как и в квантовой теории раздела 3.2, резкому разделению
периодов движений вдоль (ось Oz) и поперек магнитного поля. Здесь, как
и в разделе 3.2, можно прибегнуть к «адиабатическому» разделению движе*
ний в уравнении Гамильтона — Якоби, сохраняя параметрическую зависи*
мость от z потенциала
Вид энергетического спектра, получаемый с помощью квазиклассиче*
ских условий квантования, соответствует приведенному ранее на рис. 7.
в) Нерегулярный режим движения реализуется при сравнимой величине
взаимодействия электрона с кулоновским и магнитным полем и проявляется
в том, что траектория сплошным образом заполняет фазовое
странство (см. рис. 14, е — и). Механизм возникновения стохастического
движения в данном случае до конца не ясен, хотя он, очевидно, связан с ре*
зонансами двух имеющихся периодических движений: по кеплеровскому
эллипсу и ларморовской окружности.
г) Переходной режим реализуется также при сравнимых взаимодей*
ствиях, но при меньших энергиях f и отвечает устойчивому движению. При
L ~ 1,5, однако, это движение резко отлично как от эллипсов, так и от
окружностей. Для малых энергий f движение происходит вблизи минимума
эффективного потенциала и может быть исследовано с помощью квадратич*
ного разложения этого потенциала
В результате потен*
циал становится осцилляторным как по переменной
так и по z; при этом
траектории оказываются вблизи траекторий двумерного осциллятора.
В заключение изложенных классических расчетов приведем оценки
области проявления переходных эффектов для атома водорода в магнитном
поле. Выражая параметр L через исходные параметры В (в Тл) и Lz (в еди*
1/3
ницах
найдем: L2В = 61,7L. При поле В ~ 10 Тл и переходном зна*
чении L ~ 1,5 найдем
Эти значения Lz, однако, могут уменьшиться
до нескольких единиц для водородоподобных экситонов в среде с диэлектри*
ческой постоянной ~10 и эффективной массой электрона 0,1 mе.
3.6. С т о х а с т и з а ц и я д в и ж е н и я э л е к т р о н а
в кулоновском и магнитном полях
Рассмотрим, следуя Робнику 49, более детально картину возникновения
неустойчивого движения электрона в кулоновском и магнитном полях. Такое
движение обусловлено, как отмечалось выше, резонансным взаимодействием
мод, отвечающих движению в этих полях, причем область его проявления
сужается при увеличении того или иного взаимодействия. Таким образом,
существует определенная область параметров (проекции орбитального мо*
мента L, энергии Е и поля В/В0), в которой траектория электрона равномерно
(хаотически) покрывает область разрешенного движения в фазовом про*
странстве (см. рис. 14).
Переход к хаотическому движению исследовался в 49, как и в 5 4 , чис*
ленно в рамках классической механики. На рис. 15 показано поведение
точек пересечения траекторий электрона плоскостью z = 0 (сечение Пуан*
55
каре; см. ) при различных значениях энергии Е для параметров L = 1
Движению по траектории отвечает отображение точек на
фазовой плоскости
получаемое периодическим пересечением траек*
тории с плоскостью z = 0. Интерес представляют неподвижные точки и инва*
риантные кривые, не меняющиеся при последовательных отображениях.
Минимальное и максимальное значения энергии на рис. 15 соответственно
равны: Emln = —0,394... и Emax = 0,5. Видно, что при малой энергии (слу*
чай рис. 15, а) фазовое пространство состоит из инвариантных кривых, отве*
чающих периодическому движению электрона по траекториям. Наличие та*
ких кривых свидетельствует о существовании дополнительного (третьего)
Рис. 15. Поведение фазовых траекторий электрона для значений параметров L = 1
и
при различной энергии Е.
Е (а.е.) = —0,3 (a), —0,1 (б), —0,05 (в), —0,04 (г), —0,04 (д) и 0 (е)
движения I3 (р, q), задающего инвариантную поверхность
const, точки пересечения которой с плоскостью
и образуют инвариантные кривые. В центре этих кривых находится неподвиж*
ная точка отображения, отвечающая строго периодическому движению.
С увеличением энергии Е (рис. 15, в) возникает бифуркация, приводящая
к появлению второй неподвижной точки, окруженной семейством замкнутых
кривых. При энергии Е = —0,04 (рис. 15, г) структура траекторий резко
меняется: появляются кривые с многократным пересечением, причем в углах
таких пересечений происходит накапливание точек (с мерой, не равной
нулю), так что указанные кривые уже не являются обычными линиями и при
дальнейшем увеличении Е (рис. 15, д) размываются в некоторый равномерно
заполненный слой. Дальнейшее увеличение Е приводит к более или менее
равномерному расширению этого слоя (перемежающегося с областями регу*
лярного движения) и в дальнейшем — к равномерному заполнению всей
области разрешенного движения в фазовом пространстве. Значение Е =
= Ес = —0,04, при котором резко изменяется характер траекторий, назы*
вается критическим. Таким образом, при Е < Ес движение происходит,
в основном, по инвариантным кривым, отвечающим различным значениям
«сохраняющегося инварианта I3 (р, q). При Е > Ес этот инвариант разру*
шается, и движение точек внутри разрешенной области некоррелировано —
хаотично. Детальный механизм стохастизации (типа перекрытия резонан*
сов 55) окончательно не выяснен, как не найден и явный вид интеграла
Поэтому остается открытым также и вопрос о соответствии этого
интеграла
интеграла движения с приближенным классическим интегралом
найден*
47, 48
ным в
(см. раздел 3.3).
Тем не менее, численные расчеты 49 позволяют определить область
неустойчивого режима. Для этого заметим, что гамильтониан Н и соответ*
ственно параметры Emin, Es после обезразмеривания всех переменных с по*
мощью L зависят лишь от комбинации
что позволяет из расчетов для
49
L = 1 извлечь результаты для любых L. В отношение f (3.83) рассчитано
вблизи критических полей Е = Ес. Минимальное значение fmin оказывается
равным 0,22 при значениях параметра
Выше кривой
реализуется, как отмечалось, нерегулярный стохастический режим движе*
ния электрона, ниже — регулярное квазипериодическое движение (см.
рис. 13). В соответствии с параметром подобия
значения магнитных
полей, при которых наступает стохастичность, быстро
убывают
с ростом L. При уменьшении либо увеличении параметра
начинает
преобладать либо кулоновское, либо магнитное взаимодействие. При этом
область стохастического режима сужается. Связь описанной классической
картины движения электрона с квантовыми численными расчетами остается
в настоящее время во многом неясной. Это относится как к области регуляр*
ного классического движения, так и (в еще большей мере) к области стоха*
стического движения. Во всяком случае, здесь мы имеем дело с принципиаль*
но важным и практически реализующимся случаем квантования движения
с неразделяющимися переменными.
3.7. Ч и с л е н н ы е р а с ч е т ы с п е к т р о в а т о м а
в магнитном поле
41–43, 45, 47, 53, 56–58
Многочисленные численные расчеты
спектров атома
водорода в сильном магнитном поле проведены либо методом теории воз*
мущений, либо на основе асимптотических разложений по величине поля В.
Рис. 16. Сравнение поведения атомных термов, полученных прямым сопряжением 60ре*
зультатов при
с результатами более точных численных расчетов .
Точками отмечены места сопряжения термов
Выше в разделе 3.1 уже приводились некоторые результаты расчетов и ука*
зывались основанные на них интерполяционные формулы для низших воз*
бужденных уровней.
В целом в настоящее время достаточно удобные универсальные данные
для произвольных атомных уровней при любых значениях полей В отсут*
ствуют, хотя результаты расчетов, проведенные для ряда состояний в раз*
личных областях изменения В, хорошо согласуются друг с другом *).
*) Мы не касаемся области очень сильных полей
где становятся суще*
ственными вопросы разделения переменных центра инерции и относительного движения 59.
60
Здесь уместно отметить, следуя , простое обстоятельство, связанное
с поведением атомных термов в области перехода от сверхсильных полей В
к слабым. Оно сводится к тому, что прямое сопряжение расчетов при слабых
полях в сферическом базисе с диамагнитным возмущением с расчетами при
сильных магнитных полях дает результаты, очень близкие к более точным
численным расчетам.
На рис. 16 показано сравнение результатов, полученных прямым сопря*
жением результатов, отвечающих двум предельным случаям малых и боль*
ших В с результатами более точных расчетов 41–43. Видно хорошее совпаде*
ние кривых во всем диапазоне изменения В. Это обстоятельство указывает
на то, что перестройка атомного базиса состояний от кеплеровских орбит
к циклотронному вращению происходит в узком диапазоне изменения В.
На это же указывают результаты классического расчета траекторий элек*
трона (см. раздел 3.5), показывающие возможность одновременного сосуще*
ствования орбит кеплеровского и циклотронного типов. Наглядные пред*
ставления о трансформации волновых функций состояний дают детальные
численные расчеты Резнера и др. 61.
3.8. О д н о в р е м е н н о е
воздействие
на а т о м
полей
F
и
В
3.8.1. Эффекты первого порядка
Воздействие на атом одновременно электрических и магнитных полей
часто встречается в приложениях. В частности, такое воздействие харак*
терно для атома в замагниченной плазме, где поле F создается окружаю*
62, 63
щими заряженными частицами
.
Скрещенные F — В*поля возникают также при движении атомов поперек
магнитного поля вследствие появления в системе координат атома электри*
ческого (лоренцовского) поля Fл = [vB]/c. Этот эффект приводит к зависи*
мости энергетических уровней атома от его скорости, что представляет
существенный интерес как для атома в плазме, так и для экситонов в твердом
теле. Зависимость энергетических уровней экситона в сильном магнитном
поле от его импульса поперек магнитного поля впервые исследована в 64.
Часто возникновение эффективного магнитного поля связано с перехо*
дом во вращающуюся систему координат. Такой переход удобен в целом ряде
физических задач, таких как магнитный резонанс 65, атом во вращающемся
электрическом поле 66, 67 или поле циркулярно поляризованного света 68,
атом в поле движущегося заряда 69, 70 и др. В этой связи следует различать
задачи, содержащие собственно взаимодействие с магнитным полем, и эффек*
тивное взаимодействие, обусловленное вращением системы координат. В пер*
вом случае всегда присутствует диамагнитное возмущение, а во втором —
только квадратичные поправки к эффекту Зеемана. Это различие, однако,
несущественно в первом порядке теории возмущений.
Задача о поведении атома в F, В*полях рассматривалась еще в рамках
классической механики (см. 71).
Рассмотрим усредненные по периодам характеристики движения элек*
трона в полях F и В. Для этого воспользуемся дополнительным интегралом
движения в кулоновском поле — вектором Рунге — Ленца, связанным со
средним по периоду значением координаты
соотношением
Для усредненных по периоду значений орбитального момента атома М
и вектора А в постоянном электрическом поле F получаются уравнения 72
В однородном магнитном поле классическая частица вращается с угловой
скоростью
что соответствует уравнениям
Если частица испытывает одновременное воздействие F*и В*полей, то соот*
ветствующие уравнения движения для М и А получаются сложением (3.85)
и (3.86). Вводя новые векторы момента
и частоты
перепишем уравнения движения в виде
71, 72
Из (3.89) видно, что введенные новые моменты J 1 и J 2 прецессируют с ча*
стотами
независимо друг от друга. Поправка V1 к энергии частицы
в F*, В*полях в переменных J и
равна
Таким образом, изменение энергии определяется проекцией векторов
J l,2 на направления
Запись (3.90) открывает простую возможность квантового обобщения
результатов. Они связаны с независимым квантованием проекций моментов
J1 и J 2 , обозначаемых квантовыми числами п' и п":
Числа п и п" принимают, в соответствии с определением
полуцелые
значения:
Последовательное квантовомеханическое обобщение классических ре*
73
зультатов было дано Демковым и др. . «Правильные» волновые функции
отвечающие диагонализованному гамильтониану (3.90), могут быть
получены из параболических волновых функций
отвечающих опре*
деленным проекциям i1, i2 векторов J 1 , J 2 на направление электрического
поля путем вращений на углы
составляемые векторами
с направ*
73
лением F :
здесь
роты на углы
матрицы вращения Вигнера 73, описывающие пово*
задаваемые соотношениями (для
и функции
совпадают с обычными
параболическими функциями
отвечающими эффекту Штарка. При
и функции
переходят в параболические функ*
ции, ориентированные вдоль магнитного поля В. Их связь со сферическими
функциями обсуждалась в разделе 3.1.1.
Особый интерес представляет случай взаимно*перпендикулярных полей
F и В, когда изменение энергии равно
Здесь возникает дополнительное вырождение уровней, связанное с тем, что
энергия
зависит лишь от суммы квантовых чисел п' + n", а не от каж*
дого из чисел n', п" в отдельности.
3.8.2. Поправки второго порядка
Расчеты второго порядка теории возмущений для атома водорода
в F — В*полях оказываются гораздо более сложными. Они были рассмот*
74
рены Соловьевым . Здесь необходимо учесть как поправки второго порядка
от возмущения V1 (3.90), так и первый порядок диамагнитного возмущения
V2 = [Вr]2/8с2. При этом магнитное взаимодействие, входящее в V1, не дает
вклада, так как возникающие не диагональные по п матричные элементы от
него обращаются в нуль. В результате, эффективный оператор
учитываю*
74
щий возмущения второго порядка, равен
где Gn — кулоновская функция Грина, включающая суммирование по всем
промежуточным состояниям атома.
Оператор
связанный с диамагнитным взаимодействием, уже был
47
выше (см. и раздел 3.3) выражен через оператор момента L и вектор Рун*
ге — Ленца А:
где LВ, АВ — проекции этих операторов на направление магнитного поля.
Аналогичное выражение в пространстве состояний с данным п удается
получить и для W (ось Oz параллельна полю F):
Выражая далее операторы L и А через новые операторы момента J 1 и J
и пользуясь волновыми функциями
(3.92), отвечающими определен*
ным проекциям этих операторов, найдем поправку второго порядка к энер*
74
гии :
углы между вектором В и векторами
Результат справедлив только при том условии, что вырождение уровней
полностью снято в первом порядке теории возмущений. Это условие нару*
шается для взаимно перпендикулярных полей F и B, когда частоты
равны между собой:
и поправка первого порядка зависит толь*
ко от суммы квантовых чисел п' + п". Таким образом, формула (3.98) дает
правильный результат, если разность величин
превосходит поправ*
Случай
во втором порядке теории возмущений не удается рас*
смотреть в аналитическом виде. Общая схема расчета в этом случае сводится
к численной диагонализации билинейных комбинаций моментов J 1 и J 2
в подпространстве квантовых чисел п', п" и приведена в 74.
Поведение основного состояния атома водорода при одновременном воз*
действии электрического и магнитного полей рассматривались Турбинeром 75
методами теории возмущений. Разложение для энергии удобно представить
в виде
где Esz — сумма энергий полей F и В по отдельности:
содержит ранее не известные перекрестные члены для взаимно па*
раллельных
и перпендикулярных
направлений полей F и В
Результат (3.99) — (3.102) позволяет понять качественные особенности
поведения атома в полях F и В. Действительно, полагая величину электри*
75
ческого поля F постоянной, найдем магнитную восприимчивость атома :
Видно, что член с электрическим полем
имеет знак, противоположный
обычному «диамагнитному» члену
Таким образом, наличие электри*
ческого поля увеличивает магнитную восприимчивость атома. Отметим, что
этот эффект оказывается более сильным для случая
С другой стороны, фиксируя значение B, можно найти его влияние
75
на поляризуемость атома в поле F :
Видно, что магнитное поле эффективно уменьшает поляризуемость атома.
3.8.3. Атом в электрическом и сильном магнитном полях
Случай сильного магнитного
и слабого электрического
полей рассматривался в 64, применительно к упоминавшейся проблеме энер*
гетических уровней экситона, движущегося поперек магнитного поля.
Детальное описание структуры таких спектров выходит за рамки настоя*
щего обзора. Ниже мы остановимся лишь на интересной особенности спектра
водородного атома в скрещенных полях F и В, исследованной Бурковой
76
и др. .
Особенности движения свободного заряда в полях F и В связаны, как
известно, с его дрейфом со скоростью
причем эта скорость одинакова как для иона (с массой тi), так и для элек*
трона (с массой mе).
Наличие дрейфа электрона приводит к возможности появления его
новых связанных состояний в атоме, локализованных на некотором расстоя*
нии y0, равном дрейфовому смещению за эффективный период циклотрон*
76
ных колебаний :
Для нахождения спектра атомного электрона в этом случае удобно
преобразовать волновую функцию в систему координат, связанную с дрейфо*
64
вым движением :
Направляя ось z вдоль В, а ось у — вдоль F и сдвигая начало координат
вдоль оси у на величину у0, преобразуем уравнение Шрёдингера к виду 76
приведенная масса.
Рассмотрим эффективную потенциальную энергию U вдоль оси у:
Видно, что потенциал U может иметь две ямы: одну кулоновскую при
а вторую — при у = 0. Такая структура потенциала реализуется
при достаточно большом значении параметра
когда дно ямы при у = 0 оказывается больше кулоновской энергии связи
Для расчета энергетического спектра при условии (3.110) можно, как
и выше в разделе 3.1, разделить переменные продольного (по z) и попереч*
ного движений и свести уравнение Шрёдингера (3.108) к одномерному урав*
нению с эффективным потенциалом и (x, y, z), получаемым после усреднения
исходного потенциала по поперечным координатам
где
волновая функция поперечного движения с характерным мас*
штабом аB (см. разделы 3.1, 3.2).
Ориентируясь на связанные состояния вблизи у = 0 и учитывая условие
можно положить в (3.111)x = у = 0, что дает
В результате уравнение Шрёдингера для движения по оси z принимает
вид
где
— энергия, отвечающая границе сплошного спектра.
Для низших энергетических уровней в яме эффективные значения
малы по сравнению с у0, так что можно воспользоваться разложением (3.112),
что приводит, очевидно, к осцилляторному
потенциалу. Определяемый отсюда
энергетический спектр имеет вид 76
Численно для атома водорода при В ~ В0 в значениях F, совместимых
с (3.110), энергия связи оказывается порядка 0,55 эВ при расстоянии между
уровнями ~0,1 эВ.
4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В обзоре указывается на бурный рост интереса к эффектам Штарка
и Зеемана в последние годы. Это обусловлено, с одной стороны, развитием
многочисленных практических приложений, а с другой — проблемами
принципиального характера, связанными с динамикой систем с неразделяю*
щимися переменными.
В прикладных исследованиях, посвященных эффектам Штарка и Зее*
мана, как правило, оказывается необходимым знать не один параметр,
а весь комплекс характеристик атома в полях F и В: расщепление уровней,
интенсивности линий, вероятности радиационных и автоионизационных рас*
падов и др. Диапазон изменения напряженностей полей F и B, а также кван*
товых чисел п атомов весьма широк. Очень часто значения F и В обусловлены
параметрами окружающей среды, например температурой Т и плотностью N
плазмы, также меняющимися в очень широких пределах. Поэтому весьма
важно иметь аналитические результаты для параметров атома в полях F
и B, причем в достаточно обозримом виде, допускающем использование для
практических приложений.
Многие из рассмотренных вопросов не получили к настоящему времени
окончательного решения. Это относится прежде всего к атому в магнитном
поле, где отсутствие разделения переменных резко усложняет ситуацию.
Исследования поведения электрона в этом случае методами классической
механики и обнаружение стохастических областей движения оставляют
открытыми вопросы о характере квантового движения и его соответствии
классическому движению. Можно надеяться, что данная обзорная статья
будет способствовать привлечению внимания к этим проблемам.
Институт атомной энергии им. И. В. Курчатова,
Москва