14 (С2) ТР № 146

14 (С2) ТР № 146. Треугольная призма ABCA1 B1C1 с нижним основанием ABC и боковыми
ребрами AA1 , BB1 , CC1 рассечена плоскостью, проходящей через точки E, F,C ,
где точка Е является серединой ребра AA1 , точка F лежит на ребре BB1 , причем BF : FB1  1 : 2.
А) Докажите, что объем части призмы ABCA1 B1C1 , заключенный между секущей
плоскостью и нижним основанием этой призмы составляет
5
объема призмы.
18
Б) Найдите угол между нижним основанием призмы и плоскостью сечения, если
призма ABCA1 B1C1 – правильная, и все ее ребра равны между собой.
Ответ: Б) arccos
3 102
.
34
Решение:
Рис.1
А) Пусть в грани AA1 B1 B заданной призмы AB  a, AA1  6b , A1 AB   , d  расстояние
от грани AA1 B1 B до ребра CC1 .
1
6ab sin   d
S ( AA1 B1 B)  d 
 3abd sin  .
2
2
Часть призмы ABCA1 B1C1 , заключенная между секущей плоскостью и нижним основанием
призмы, есть четырехугольная пирамида CEABF , основанием которой служит трапеция с
основаниями, равными 3b и 2b , высотой h  a sin  . А высотой пирамиды будет d .
1
AE  BF
5b  a sin   d
Тогда V (CEABF )  S ( AEFB )  d ;
;
S ( AEFB ) 
h 
3
2
2
5abd sin 
V (CEABF )
5abd sin 
5
;
, что и требовалось доказать.
V (CEABF ) 


6
V ( ABCA1 B1C1 ) 6  3abd sin  18
Тогда: V ( ABCA1 B1C1 ) 
Б) Поместим правильную призму в систему координат, как показано на рисунке 2 . Пусть
длины всех ребер равны 6.
Рис. 2
Выпишем координаты нужных точек. C (0;3;0), E (0;3;3), F (3 3;0;2).
Составим уравнение плоскости FEC . В искомом уравнении вида ax  by  cz  d  0 :
3b  d  0

d
2d

 2d 
; 3 3a  2 
  d  0;
3 3a  2c  d  0 . b   ; 3c  2d  0; c  
3
3
3


  3b  3c  d  0

d
4d
.
3 3a 
 d  0; 9 3a  d  0; a 
3
9 3
d
d
2d
Искомое уравнение:
x y
z  d  0 или x  3 3 y  6 3z  9 3  0 .
3
3
9 3
Уравнение нижнего основания призмы: z  0.
Если искомый угол  , то cos  
1 0  3 3  0  6 3 1
1  27  108  0  0  1

6 3
136

6 3
2 34

3 102
.
34