Типы связей. 1. Нить (гибкая, невесомая, нерастяжимая) Рассматривается светильник, который подвешен на нити, он отклонен от своего вертикального положения равновесия на некоторый угол α силой F. Положим необходимо найти силу натяжения нити. Для этого необходимо освободиться от связи (разрезать нить и ввести силу, равную еѐ натяжению). Здесь и ниже реакция связи обозначается красным цветом. Кстати, значение силы натяжения в рассматриваемом случае равно T = P/ cos α Сила F, необходимая для отклонения светильника от вертикали будет равна F =P . Эти результаты получены из уравнений равновесия светильника, освобожденного от связи (правый рисунок). ΣХ = − F + T sin α = 0 ; ΣY = − P + T cos α = 0 Используемая здесь система координат имеет стандартную ориентацию осей (ось абсцисс – ось x , ось ординат – ось у ) 2. а) Невесомый, ненагруженный стержень Рассматривается светильник, который подвешен на изогнутом стержне. Этот стержень является абсолютно твердым телом, он невесомый и ненагруженный, представляет собой связь реакция, которой направлена вдоль прямой соединяющей его концы. На рисунке, справа она изображена красным цветом. В рассматриваемом случае стержень “работает” на растяжение. Кстати, форма стержня при этом никакого значения не имеет. Предположим, что стержень отклонен силой F от вертикального положения на угол α . Из уравнений равновесия для стержня, освобожденного от связи (правый рисунок). ΣХ = − F + R A sin α = 0 ; ΣY = − P + R A cos α = 0 Несложно получить значение силы реакции R A = P / cos α и F = P . 2. б) Невесомый, ненагруженный стержень Рассматривается светильник, который опирается на изогнутый стержень, удерживается в равновесии заданной силой F . Этот стержень является абсолютно твердым телом, он невесомый и ненагруженный, поэтому представляет собой связь, реакция которой направлена вдоль прямой соединяющей его концы (и снова она изображена красным цветом). В этом случае стержень “работает” на сжатие. Как и в предыдущем случае, форма стержня никакого значения не имеет. Уравнения равновесия имеют аналогичный вид, как в выше рассмотренном случае а). 3. Гладкая опора «Карандаш в стакане». Точки контакта карандаша: с вертикальной стенкой стакана – А; с дном – В; с верхним краем – С. Предполагается, что стенки стакана и его дно абсолютно гладкие. Гладкой является также поверхность самого карандаша. Поэтому ввиду отсутствия сил трения реакции связей будут направлены по нормали к опорной поверхности. В точке А контакта карандаша с вертикальной стенкой реакция будет горизонтальной. В точке В контакта с дном – вертикальной. Наконец, в точке С контакта карандаша с верхним краем, реакция будет направлена по нормали к поверхности самого карандаша. В рассматриваемом случае, освобожденный от связей карандаш содержит три неизвестные реакции и традиционных уравнений проекций сил на координатные оси уже недостаточно ΣХ = − R С sin α + R A = 0 ; ΣY = RВ + R С cos α − P = 0 Необходимо ещѐ одно уравнение. Таким уравнением может быть уравнение моментов всех сил, приложенных к рассматриваемому телу, относительно любой точки. Но чтобы уравнение не оказалось слишком громоздким, возьмем точку А. Σ MА = − P l cos α + R С b = 0 Здесь через b обозначена длина части стержня BC и через l обозначена половина всей его длины (вес карандаша P приложен посредине). Из этого уравнения получаем R С = P l cos α b Из проекций сил на координатные оси можно получить значения реакций R A и R В. 4. Опора на катки Горизонтальная балка АВ в точке А имеет катковую опору, а в точке В свободно опирается на гладкую наклонную плоскость. Поскольку справа балка опирается на абсолютно гладкую поверхность наклонной плоскости, то реакция будет направлена по нормали к этой плоскости. Реакция катковой опоры также направлена по нормали к поверхности, на которую опираются катки, составляющая вдоль опорной поверхности отсутствует (так как в противном случае катки бы откатились). Реакция R A образует угол ( 90 − α ) со стержнем, а реакция R В образует с горизонтом угол ( 90 − β). Уравнения равновесия в проекциях на координатные оси имеют вид Σ Х = R A sin α − R В sin β = 0, ΣY = R A cos α + R В cos β − G = 0 Представленная система линейных алгебраических уравнений относительно R A и R В легко разрешима. 5. Цилиндрический шарнир Наклонная балка АС имеет цилиндрический шарнир в точке А и свободно опирается в точке В на выступ. Поверхность балки считается абсолютно гладкой, весит она G, а ещѐ на неѐ действует пара сил с моментом М. Реакция в точке В будет направлена по нормали к поверхности балки (поскольку еѐ поверхность является абсолютно гладкой ). Для введения реакции в цилиндрическом шарнире следует отметить, что в общем случае она неопределена, т.е. неизвестна ориентация вектора реакции и еѐ модуль. В таких ситуациях реакцию представляют в виде двух составляющих заданной ориентации (как правило, взаимно ортогональных), но неизвестных по своему значению. При найденных значениях составляющих модуль реакции находится как корень квадратный из суммы квадратов составляющих. – RA = X A2 + Y A2 Уравнения равновесия в рассматриваемом случае имеют вид Σ Х = Х A − R В sin α Σ MА = M−G = 0, AC 2 ΣY = YA + R В cos α − G = 0 cos α + R В AB = 0 При заданных геометрических соотношениях, система линейных алгебраических уравнений относительно Х A , Y A и R В легко разрешима. AC 2 R В = G Х A = R В sin α , cos α − M / AB Y A = G − R В cos α . 6.”Заделка” Консольная балка АС концом А заделана в вертикальную стенку. Реакция в точке А (в общем случае) представляется тремя составляющими, две из которых проекции силы реакции на координатные оси – --RA = X A i + Y A j а третья – пара сил с моментом M z , называемым моментом заделки. Уравнения равновесия в рассматриваемом случае имеют вид ΣХ = ХA Σ MА − P = 0, ΣY = YA = M + Mz − G AC 2 − G = 0 cos α + P AС sin α = 0 Из первых двух уравнений находятся Х A = P и Y A = G. Модуль силы реакции вычисляется по формуле – RA = X A2 + Y A2 = P2 + G2 Третья составляющая реакции заделки определяется из уравнения моментов Mz = G AC 2 cos α − M − P AС sin α Типы связей (пространственная система сил). Приведенные выше примеры связей с 1 по 5 (освобождение от связи и введение соответствующих реакций) целиком и полностью распространяется и на пространственный случай (предполагается, что пространственная декартовая система координат Oxyz плоскость Oxy имеет такую же, как и в рассмотренном выше случае), отличие будет, имеет место лишь в случае “Заделка”. Рассмотрим ниже помимо “заделки” и ещѐ два примера – “шаровой шарнир” и “подпятник”. На рисунке изображен фонарный столб с его проводами, растяжками и т.п. Не вдаваясь в подробности приложенных к нему сил, рассмотрим лишь реакцию связи – “заделка”. Реакция закопанного столба определяется шестью неизвестными, три из них проекции силы реакции относительно координатных осей и три осевых момента. -– --RA = X A i + Y A j + Z A k , – -- -- -- MA = Mx i + My j + Mz k Модули силы реакции и момента находится как обычно – RA = – MA = 2 X A2 + Y A2 + Z A M x2 + M у2 + M z2 7. Сферический шарнир Это устройство, в отличие от цилиндрического шарнира, имеет подвижную часть сферическую и делает неподвижным центр этой сферы. Если сферическая поверхность контакта идеально гладкая, то реакция такого шарнира направлена по нормали к поверхности. Поэтому единственное, что достоверно известно об этой реакции, что она проходит через центр шарнира, а ориентация реакции может быть любой. Освобождая тело от такой связи необходимо ввести три неизвестных составляющих ( X A , Y A , Z A ). – ---RA = X A i + Y A j + Z A k Модуль силы реакции находится по формуле – RA = 2 X A2 + Y A2 + Z A 8. Подпятник Это устройство состоит из двух частей: цилиндрический стакан и собственно цилиндр, в него установленный и опирающийся на дно стакана, с цилиндром связана какая-либо подвижная часть, например, тяжелая дверь. В отличие от цилиндрического шарнира эта связь имеет неизвестную ещѐ третью составляющую, от дна стакана. Поэтому освобождая тело от такой связи, необходимо ввести три составляющие. Модуль же реакции находится как обычно – RA = 2 X A2 + Y A2 + Z A