дифракция нестационарных волн цилиндрической оболочки в

Труды Международной конференции RDAMM–2001
2001 Т. 6, Ч. 2, Спец. выпуск
337
ДИФРАКЦИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ВОЛН ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ
ОБОЛОЧКИ В ЖИДКОСТИ
Ш.Н.НОСИРОВА, М.Б. БОЗОРОВ
НавГГИ, Узбекистан
И.И. САФАРОВ
БухИТЛП, Узбекистан
Рассмотрим взаимодействие ударной волны с бесконечно длинной цилиндрической оболочкой.
Следует указать, что закономерности взаимодействия ударной волны с абсолютно твердым телом рассмотрены
[1]. В данной работе основное внимание уделяется изучению процесса деформации вязкоупругой оболочки.
Будем, решать задачу в цилиндрической системе координат, ось которой совместим с осью оболочки.
Так как параметры ударной волны вдоль образующей цилиндра постоянны, то задача становится плоской и все
функции, описывающей движение оболочки и жидкости, будут зависеть только от угловой координаты 0,
радиальной координаты r и временной Т. Выпишем уравнения движения оболочки и жидкости.
Воспользовавшись технической теорией тонких оболочек, для плоского случая деформации, будем иметь [2].
1 ∂N
∂ 2v
= p 0 h0
r1 ∂ 0
∂t
1 ∂M 1
∂2w
+ N = p 0 h0
− P (0, t )
r1 ∂ 0 r
∂t
(1)
Здесь
h0, rj – толщина и радиус средней поверхности оболочки ;
N – поперечное усилие, отнесенное к единице длины сечения;
M – поперечный изгибающий момент;
v, w – тангенциальное и нормальное перемещение точек средней поверхности оболочки;
p0 – плотность материала;
P(0,t) – внешняя нагрузка.
Усилия и момент выражаются через перемещения по следующим формулам:
N=
E 0 h0
∂v
( − w),
2
(1 − v 0 )r1 ∂ 0
3
∂w
M =
( + w).
2
2
12(1 − v 0 )r1 ∂ 0
E 0 h0
(2)
где Е0 – модуль Юнга; v0-коэффициент Пуассона.
Так как в дальнейшем нас будут интересовать прежде всего усилие N и нормальный прогиб w, то
исключим из системы момент М и перемещение ν. Для этого продифференцируем первое уравнение этой
системы по углу 0 и выразим производную δ ν/δ0 с помощью зависимости (2) через N и W. Вычтя затем из
полученного уравнения системы (2) и исключив момент с помощью формулы (1), придем к следующей системе
уравнений :
2
∂2w
∂2N
∂2N
2
4 ∂ w
2
0
(
)
*
(
) = C 2 P(0, t )
C
N
m
k
C
+
−
+
−
2
1
2
2
2
4
2
∂0
∂0
∂0
∂
2
4
2
1
1
∂ w ∂ w
∂ w
2
N=
P(0, t ) /
+ C 2 k1 * ( 4 + 2 ) −
2
m0
m0
∂0
∂0
∂t
(3)
Уравнения (3) записаны в безразмерном виде, причем за основные единицы измерения приняты
радиус оболочки r1, плотность жидкости h и скорость звука в жидкости с0. Таким образом, перемещение
отнесено к радиусу, нагрузка – к произведению рс02, усилие – к величине р с02 r1, время измеряется в единицах
r1/с0, коэффиценты имеют следующие значения:
ã Ш.Н. Носирова, М.Б. Бозоров, И.И. Сафаров, 2001
338
2001, Vol. 6, Pt 2, Special Issue
Proceedings of International Conference RDAMM–2001
2
p 0 h0
E0
h
,(
, k1 * 0 2 .
m =
2
2 0
pr1 (1 − v0 ) p c0
12r1
0
(4)
Нагрузка на оболочку состоит из дифракционного давления, возникающего при воздействии ударной
волны на жесткий неподвижный цилиндр, и давления, вызванного деформацией и движением оболочки;
P(0, t ) = P 0 (0, t ) + P + (0, t )
(5)
Дифракционное и излучаемое давление находится по формулам
P 0 (0, t ) = [ Pb ] r =1 − [
∂Φ 1
] r =1
∂t
∂Φ
P (0, t ) = −[ 2 ] r =1
∂t
(6)
+
где Рb – давление в прямой ударной волне.
Потенциал скорости жидкости описывается волновым уравнением, которое в цилиндрических
координатах при плоском движении имеет вид
∂ 2 Φ 1 ∂Φ 1 ∂Φ ∂ 2 Φ
= 2
+
+
∂t
∂r 2 r ∂r r 2 ∂ 0 2
(7)
(потенциал ф отнесен к величине r1c0, координата r – к радиусу r1).
На поверхности оболочки необходимо выполнить следующие граничные условия:
для потенциала ф1
[
∂Φ 1
] r =1 = [vbr ] r =1
∂t
(8)
∂Φ 2
∂w
] r =1 = −
∂t
∂t
(9)
для потенциала ф2
[
при t→0 должно выполняться условие затухания
ф1,2 →0
(10)
Начальные условия примем для всех функций нулевыми. Решение задачи начнем с определения
внешних сил. Прежде всего найдём выражение для потенциала ф. Применив к уравнению (7) преобразование
Лапласа по времени, получим
∂ 2 Φ 2 1 ∂Φ 2 1 ∂ 2 Φ 2
− S 2ф2 = 0
+
+ 2
2
2
r
r
∂
r ∂0
∂r
(11)
Решение этого уравнения будем искать в виде
ф 2 = f 1 (0) + f 2 (r , s )
(12)
Поставляя (12) в уравнение (13), придем к двум уравнениям
d 2 f1
+ y f1 = 0
d 02
d 2 f1
df
r2
+ r 2 − (s 2 r 2 + y 2 ) f 2 = 0
2
dr
dr
(13)
(14)
где y-соnst.
Решение первого из этих уравнений имеет вид
f 1 (0) = c1 cos y 0 + c 2 sin y 0
(15)
Так как физике процесса функции f1(0) должна быть четной и иметь период 2π, то следует положить
с2=0, y=n, (n=0,1,2,…)
Тогда
f 1 (0) = c1 cos n0
(16)
Решение уравнения (14) при y=n, (n=0,1,2,…) записывается в следуюшей формуле [1]
f 2 (rs ) = c3 I n (rs ) + K n (r , s )
(17)
Где In и Kn – цилиндрические функции манимого аргумента.
Труды Международной конференции RDAMM–2001
2001 Т. 6, Ч. 2, Спец. выпуск
339
Для удовлетворения условия затухания (10) необходимо принять с3=0. В итоге придем к следующей
формуле для изображения потенциала:
Φ L = å C n K n (rs ) cos n0
(18)
n =0
(Cn –произвольная постоянная )
Найдем потенциал дифракционного давления. Для этого представим радиальную составляющую
скорости в падающей на волне на поверхности цилиндра в виде ряда
[vbr ] r =1 = å bn (1) cos n0
n =0
1
= [vbr ] r =1 d 0
π
2
b0 = [vbr ] r =1 cos n0d 0, (n ≥ 1).
π
b0
(19)
Применив к граничному условию (8) преобразования Лапласа, с учетом зависимости (19) будем иметь
L
[
∂Φ 1
2
] r =1 = −å b cos n0.
∂t
n =0 n
(20)
Поставив сюда выражения для потенциала (18), найдем производительную постоянную, после чего
придем к следующей формуле:
bn L K n (rs )
ф1 = å
L
cos n0.
(21)
sKn − 1( s )
]
K n ( s )[n +
Kn( s )
Давление на поверхности изображений будет
[ P1 ] = − s[ϕ 1 ] r −1 = å sbn ( s )m n ( s ) cos n0
L
Здесь
L
L
(22)
Кn(s)
mn ( s) =
K (s)
1
= − n1
n + sK n −1 ( s) / K n (a) sK n ' ( s )
sK n ( s )
(23)
С целью определения дифракционного давления представим нагрузку на цилиндр от действия ударной
волны в виде ряда
[ Pb ] r =1 = å ∂ n (t ) cos n0
(24)
n =0
где
а0 =
1
2
[ Pb ] r =1 d 0; аn = [ Pb ] r =1 cos n0d 0; (n ≥ 1)
η
η
(25)
Применив к (24) преобразование Лапласа, получим
[ Pb ] r =1 = å ∂ n (a ) cos n0
L
L
(26)
n =0
Суммируя теперь формулы (22) и (26), найдем зависимость для изображения дифракционного давления
P OL = [ Pb ] r =1 + [ P1 ] r =1 = å Pn
L
где
ОL
L
L
OL
cos n0
L
P0 (a ) = a n ( s ) − sbn ( s )mn ( s ).
(27)
(28)
В области действительной переменной результирующее давление
Р 0 (0, t ) = å Pn (t ) cos n0
0
n=0
Оригинал функции (28) можно найти с помощью интеграла Меллина
(29)
340
2001, Vol. 6, Pt 2, Special Issue
Proceedings of International Conference RDAMM–2001
1
OL
Pn ( s )e st ds
2ηi
0
Pn =
(30)
Определим дифракционное давление в случае воздействия на цилиндр плоской единичной ступенчатой
волны. Давление и радиальная скорость жидкости на поверхности цилиндра при такой волне будут
[ Pb ] r =1 = ∂ (t − 1 + сos0),
(31)
[vbr ] r =1 = − cos 0∂ (t − 1 + сos0).
Изображения данных функций имеют вид
1
[ Pb ] r =1 = e −(1− cos 0) s
s
1
[vbr ] r =1 = − cos 0 e −(1− cos 0) s
s
(32)
Поставляя эти зависимости в формулы (20 и 25), получим изображения соответствующих рядов [1].
L
a0 =
an
e − s cos 0
e −s
e d0 =
I 0 ( s );
s
ηs
2e − s s cos 0
2e − s
e
=
cos n0d 0 =
I n ( s ); (n ≥);
s
ηs
L
L
b0 = −
bn
L
e − s s cos 0
e −s
e−s 1
I 0 ( s );
e
I 1 (s) =
cos 0d 0 = −
s
s
ηs
2e − s s cos 0
2e − s 1
e
=−
cos 0 cos n0d 0 = −
I n ( s ); (n ≥);
s
ηs
(33)
(34)
Если теперь учесть известное из теории цилиндрических функций соотношение [2].
1
1
1
I n (s) K n ( s) I n ( s) = − ;
s
(35)
То формулу (28) можно привести к следующему, внешне весьма простому виду:
P0
OL
P0
OL
=
e−s
1
s 2 K 0 ( s)
(36)
2e − s
=− 2 1
s K 0 (s)
Прежде всего выясним асимптотическое поведение функции Рn0(t). Так как при s→0
πe − s
, то в случае t→0
2s
23 2
25 2
0
O
P0 (t ) = −
t ; Pn (t ) = −
π
π
1
K n ( s) =
t;
(37)
Учитывая, что
1
2 n −1 n
1
1
limK 0 ( s ) = , limK 0 ( s ) = − n+1
s
s
(38)
при больших значениях времени будем иметь
0
0
limP0 (t ) = 1; limPn (t ) = 0; (n ≥ 1)
Следует, что в пределе дифракционное давление в любой точке цилиндра
давлению в прямой волне.
становится равным
Труды Международной конференции RDAMM–2001
2001 Т. 6, Ч. 2, Спец. выпуск
341
Список литературы
[1]
[2]
Замышляев Б.В., Яковлев Ю.С. Динамические нагрузки при подводном взрыве. Л., Судостроение,
1968, 386 с.
Кубенко В.Д. Нестационарное взаимодействие элементов конструкции со средой. –Киев: Наумова и
думка. 183 с.