Методические указания и варианты РГР по теме “Функция

Методические указания и варианты РГР по теме “Функция
нескольких переменных” для студентов специальности “Дизайн”.
Если величина однозначно определяется заданием значений величин и ,
независимых друг от друга, то говорят, что является функцией двух переменных и .
Обозначение этого соответствия: Возможны другие обозначения: и тому подобные. Соответствие между величинами может
быть также записано как уравнение: Пара заданных значений и определяет на плоскости точку . Множество
всех допустимых пар образует область определения. Можно записать Множество всех точек пространства с абсциссой , ординатой и аппликатой является поверхностью. Она есть график функции двух переменных.
Для функции нескольких переменных определяются понятия предела, непрерывности,
дифференцируемости.
Производная функции по переменной обозначается как или
или
.
Она находится в предположении, что является постоянным и называется частной
производной по Производная функции по переменной обозначается как
или
или
Она находится в предположении, что является постоянным и
называется частной производной по Заметим, что если есть константа, то выражения,
содержащие только , также являются постоянными по отношению к . Если константа
есть , то и все функции от постоянны по отношению к Пример 1. ! *
Пример 2. "#$ %&" ' () %&" ' . Здесь !, а сомножитель
*
является константой. Берем производную по : %&" ' ( ) %&" ' (+
производная от
*
есть +
*
,
,
). Здесь
, а является постоянным и остается как сомножитель.
Пусть независимые переменные и получают приращения - и - Тогда
./ -/.0 -0
Дифференциал находится по формуле:
.1 2/ ./ 20 .0 . При этом -1 3 .1
Геометрически существование частных производных в точке 4 4 4 означает
возможность провести касательные прямые в точке 4 4 4 поверхности к
линиям пересечения этой поверхности с плоскостями 4 и 4 . Значения частных
производных в точке 4 численно равны тангенсам углов наклона этих касательных к
положительным направлениям соответственно осей Существование
дифференциала в этой точке означает возможность провести касательную плоскость в
67 8 +!9 Производные
этой точке. Вектор нормали к этой плоскости есть 5
вычислены в точке 4 Для поверхности вектор нормали имеет координаты
67 8 9 При вычислении этих производных переменные рассматриваются
5
как независимые. Среди всевозможных поверхностей выделяют канонические
поверхности второго порядка.
Производная по направлению : вычисляется по формуле: 1; 2/ <=> ? 20 <=> @ .
Зададим направление вектором 666666666667
4 * . Находим направляющие косинусы этого вектора
%&" и %&" , вычисляем частные производные в точке 4 . Затем по формуле находим A
. Можно сказать, что эта производная характеризует скорость изменения функции в точке
4 в направлении : , тогда как производные и характеризуют скорость изменения
этой функции в точке 4 в направлении координатных осей и Направление наибольшего возрастания функции определяет вектор + градиент.
Координаты градиента есть частные производные функции по независимым аргументам.
Для функции градиент в точке 4 есть вектор: BCDE1 2/ 20 , при этом
производные вычислены в точке 4 Условие F , где F - некоторая константа, определяет линию уровня. Уравнение этой
кривой: 2/ 0 G Если задавать различные значения F то получим семейство, то есть
набор кривых на каждой из которых величина принимает значение F
Пример 3: . Уравнение линий уровня: F Задаем значения F
Если F то уравнение определяет точку Для других значений
F H линии уровня являются окружностями радиуса IF . Очевидно, кривых другого вида
нет.
Вектор градиент, вычисленный в точке 4 , всегда направлен перпендикулярно к линии
уровня, проходящей через через эту точку.
Задача 1. Пусть дано: ' %&" J 4 ! * - !- +
1.1. Найти дифференциал заданной функции в указанной точке 4 и при заданных
приращениях -K-
Решение: Находим, считая величины %&" KJ постоянными, производную :
%&" ! . Рассматривая величины K как постоянные, находим :
+ "#$ J . Вычисляем производные в заданной точке, подставляя ! L M*4 ' ! ' %&" ! NL O
+! ' "#$ J 4 ! Так как P - !
*4
и P - + то получаем: P P P N ' ! ! ' + !
Результат можно прокоментировать: при переходе от точки ! к точке !! +
величина меняется примерно на 0,1 , так как - 3 P
1.2. Найти производную заданной функции в точке 4 по направлению, заданному
вектором 666666666667
4 * .
Решение: в пункте 1.1 найдено, что NK ! Найдем направляющие косинусы
вектора 666666666667
4 * .
666666666667
666666666667
4 * ! O4 * O I! Q IR %&" Составим выражение для A :
*
IS
%&" *
A %&" %&" N '
IS
IS
!'
IS
S
IS
IR
Можно сделать вывод: при малом смещении в направлении от точки 4 к точке *
величина возрастает, так как A H Значение IR есть скорость возрастания в точке
4 1.3. Найти градиент заданной функции в точке 4 . Найти величину градиента, сравнить с
найденной в пункте 1.2 абсолютной величиной производной по направлению.
Решение: в пункте 1.1 найдено, что NK ! Тогда LTUVWM*4 N !
Длина этого вектора: MTUVWM IX ! I! . Сравниваем с A : I! H IR .
Действительно, так и должно быть. Модуль градиента есть наибольшая скорость
возрастания величины в данной точке , а направление градиента есть направление
наибольшего возрастания.
Задача 2. Определить каноническое название поверхности.
Пусть дано: + + +! . Преобразуем, выделяя полный квадрат: + ! + . Это конус с вершиной ! и осью симметрии, параллельной оси Производные второго и более высоких порядков определяются как производные от
производных. Если функция имеет частные производные и , то
производные второго порядка есть:
Y
Y
Y
Y
8
9 8
9
Y
Y
и называются смешанными производными второго порядка. При
Производные условии непрерывности они равны:
ZY/0 ZY0/
Другое обозначение: , [
,
, [
,
, [
]
\
\
высокого порядка: . Примеры обозначения производных более
^ [
, _ При условии непрерывности
^ все смешанные производные не зависят от порядка дифференцирования.
Задача 3. Проверить подстановкой, что заданная функция удовлетворяет указанному
уравнению в частных производных.
Пусть дана функция Y
Y
Y
и уравнение ' ' ' . Находим
*
производные первого порядка: +
* ,
Дифференцируем эти выражения:
* *
Y
Y
Y
() (+ , ) + ' ` ' `a ^ ( ) + , .
Подставляем найденные выражения в уравнение:
*
' ' (+ , ) ' ^ ; + ;
. Получили верное равенство.
Решить задачи 1-3 для данных своего варианта.
Вариант 1.
1. J %&" 4 * ! !- !- !
2. Q + 3. %&" b "#$ b,
, c ,
, b ,
Вариант 2.
1. Q R "#$ !4 ! * !- !- 2. + + !
d
3. J `,8
, e , 9
Y
Вариант 3.
e
1. e 4 +N* ! +Q- !- +
2. + *
Y
Y
Y
3. ' + 8
9 ]
Вариант 4.
1. *S
f , e ,
4 +Q N* +R Q , - +!- !
2. Q
3. ,
Y
Y
Y
' ' ' Вариант 5.
1. f N4 g N* X Q- - !
2.
,
h
,
]
!
, , 3. i$ , , Вариант 6.
1. ' J 4 * ! !- R-j N
2. Q X + Nk 3. ,,
e
Y
Y
' ' Вариант 7.
l
l
1. ' "#$ 4 ! * ( )- !- R
2. + 3. *
Ilc
J
`
m,
_n
c
, ,
Вариант 8.
1. ' i$ 4 ! !* - - !
2. *
*
*
Y
Y
3. i$ ( + c )c
,
Вариант 9.
1. J , e ,
4 ! ! - !- 2. , [
, [
3. VU%oT + , c Вариант 10.
1. VU%oT4 ! !* ! +!- !R- 2. + N Y
Y
3. ' J `p ' 8
9 ' Вариант 11.
1. f 4 ! * !- !- 2. + + Y
3. J p ' + Вариант 12.
1. VU%"#$ 4 Q R* R R- N- +N
2. + + !
Y
Y
Y
3. i$ + Вариант 13.
*
1. VU%"#$ + 4 ( )* (
I
*
I
)- !- +!
2. s
s
s
3. %&" qrr
+ rt
tt
Вариант 14.
l
l
1. ' "#$a 4 ! * ( )- !R- !
2. , , 3. J `c + c , + Q , Вариант 15.
1. J ' %&" 4 * ! !- R- 2. + Q Q Y
Y
Y
3. J p ' ' ' Вариант 16.
l
1. "#$ 4 ! * (
]
l
]
)- !- 2. + Y
Y
3. J ` + + + Вариант 17.
l
l
1. %&"J 4 ( )* (! )- +!- 2.
+ + Y
Y
Y
`
3. ` Вариант 18.
1. fQ 4 ! * N- !- 2. c
, , 3. %&" + c , c Вариант 19.
1. ' f! a 4 ! * N- !- 2. + Y
Y
+ vv
+%&" + 3. %&" + "#$ + uu
Вариант 20.
1. k ' f + a 4 N Q* Q N- !- 2. ,
]
Y
Y
3. J `r %&" + qrr
+ tt
+ w Вариант 21.
1. + ' VU%oT4 ! * !- !- +!
2. Y
Y
Y
3. f ' ' ' Вариант 22.
1. ' J p 4 !* 8! ! IN9- - !
2. + Q + X 3. I
]
a
Y
Y
' Вариант 23.
1. ' i$ + !4 ! !* - !- +Q
2. Q + + !
Y
Y
+ ' 3. %&" Вариант 24.
1. f 4 k* ! R- !- 2. Q + Y
+ 3. '