Ïè÷óãèí Áîðèñ Þðüåâè

Íà ïðàâàõ ðóêîïèñè
Ïè÷óãèí Áîðèñ Þðüåâè÷
ÑÒÀÒÈÑÒÈ×ÅÑÊÎÅ ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈÅ ÑÎÎÁÙÅÑÒÂÀ
ÂÇÀÈÌÎÄÅÉÑÒÂÓÞÙÈÕ ÎÑÎÁÅÉ
Ñ Ó×ÅÒÎÌ ÈÕ ÈÍÄÈÂÈÄÓÀËÜÍÛÕ ÏÀÐÀÌÅÒÐÎÂ
05.13.18 Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå,
÷èñëåííûå ìåòîäû è êîìïëåêñû ïðîãðàìì
ÀÂÒÎÐÅÔÅÐÀÒ
äèññåðòàöèè íà ñîèñêàíèå ó÷åíîé ñòåïåíè
êàíäèäàòà ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê
Íîâîñèáèðñê 2004
Ðàáîòà âûïîëíåíà íà êàôåäðå ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ Îìñêîãî
ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà èì. Ô. Ì. Äîñòîåâñêîãî
Íàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü:
äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê,
ïðîôåññîð Ïåðöåâ Íèêîëàé Âèêòîðîâè÷
Îôèöèàëüíûå îïïîíåíòû:
äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê,
ïðîôåññîð Àíòþôååâ Âèêòîð Ñòåïàíîâè÷
êàíäèäàò ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê,
ñòàðøèé íàó÷íûé ñîòðóäíèê
Êëîêîâ Ñåðãåé Àëåêñàíäðîâè÷
Âåäóùàÿ îðãàíèçàöèÿ:
Ìîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé òåõíè÷åñêèé
óíèâåðñèòåò èì. Í.Ý. Áàóìàíà
Çàùèòà ñîñòîèòñÿ 22 äåêàáðÿ 2004 ãîäà â 15 ÷àñîâ íà çàñåäàíèè äèññåðòàöèîííîãî ñîâåòà Ä 003.061.02 ïðè Èíñòèòóòå âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è
ìàòåìàòè÷åñêîé ãåîôèçèêè ÑÎ ÐÀÍ ïî àäðåñó: 630090, ã. Íîâîñèáèðñê, ïðîñïåêò àêàäåìèêà Ëàâðåíòüåâà, ä. 6.
Ñ äèññåðòàöèåé ìîæíî îçíàêîìèòüñÿ â ÷èòàëüíîì çàëå áèáëèîòåêè Èíñòèòóòà âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è ìàòåìàòè÷åñêîé ãåîôèçèêè ÑÎ ÐÀÍ.
Àâòîðåôåðàò ðàçîñëàí ¾
¿ íîÿáðÿ 2004 ã.
Ó÷åíûé ñåêðåòàðü
äèññåðòàöèîííîãî ñîâåòà,
äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê
Ñ.Á. Ñîðîêèí
ÎÁÙÀß ÕÀÐÀÊÒÅÐÈÑÒÈÊÀ ÐÀÁÎÒÛ
Àêòóàëüíîñòü òåìû. Îäíèì èç ñîâðåìåííûõ íàïðàâëåíèé ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ÿâëÿåòñÿ èçó÷åíèå çàêîíîìåðíîñòåé ñîöèàëüíîäåìîãðàôè÷åñêèõ è ýïèäåìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ, èññëåäîâàíèå ïðîöåññîâ ýâîëþöèè âèäîâ è ïðîáëåì áèîëîãè÷åñêîãî ðàçíîîáðàçèÿ, àíàëèç îñîáåííîñòåé
ðàçâèòèÿ ðàçëè÷íûõ ýêîñèñòåì.  êà÷åñòâå îáúåêòîâ èññëåäîâàíèÿ çäåñü âûñòóïàþò ðàçëè÷íûå ñîîáùåñòâà îñîáåé (ïîä îñîáüþ èëè èíäèâèäóóìîì ïîíèìàåòñÿ íàèìåíüøàÿ íåäåëèìàÿ åäèíèöà áèîëîãè÷åñêîãî âèäà). Îá àêòóàëüíîñòè ýòîãî íàïðàâëåíèÿ ñâèäåòåëüñòâóåò áîëüøîå êîëè÷åñòâî ïóáëèêóåìûõ
ðàáîò è åæåãîäíî ïðîâîäèìûõ íàó÷íûõ êîíôåðåíöèé, ïîñâÿùåííûõ óêàçàííûì âîïðîñàì.
 ðÿäå ïðèêëàäíûõ çàäà÷ ðàññìàòðèâàþòñÿ ñîîáùåñòâà ñ äîñòàòî÷íî ñëîæíîé ñòðóêòóðîé, êîòîðàÿ îáóñëîâëåíà ïàðàìåòðàìè, õàðàêòåðèçóþùèìè êàæäóþ îòäåëüíóþ îñîáü. Ê òàêèì ïàðàìåòðàì ìîãóò îòíîñèòüñÿ âîçðàñò, ìàññà,
ðàçìåð îñîáè, åå ïðèíàäëåæíîñòü ê ôèêñèðîâàííîé ãðóïïå è ò.ä. Âçàèìîäåéñòâèå îñîáåé è èçìåíåíèÿ èõ èíäèâèäóàëüíûõ ïàðàìåòðîâ ìîãóò ñóùåñòâåííî
âëèÿòü íà ñòðóêòóðó ñîîáùåñòâà (÷èñëåííîñòü, âîçðàñòíîé ñîñòàâ, êëàññèôèêàöèÿ ïî çàäàííûì ïðèçíàêàì è ïð.).  ñâÿçè ñ ýòèì ïîñòðîåíèå ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé òàêèõ ñîîáùåñòâ äîëæíî îïèðàòüñÿ íà îòäåëüíî âçÿòûõ îñîáåé
è èõ ïàðàìåòðè÷åñêîå îïèñàíèå (individual-based models, ñì. îáçîð Ï.Â. Ôóðñîâîé, À.Ï. Ëåâè÷à, 2002 ã.).
Îäèí èç íàèáîëåå àäåêâàòíûõ ñïîñîáîâ èçó÷åíèÿ ñîîáùåñòâà îñîáåé ñ ó÷åòîì èõ âçàèìîäåéñòâèÿ è èçìåíåíèÿ èíäèâèäóàëüíûõ ïàðàìåòðîâ ñîñòîèò â
ïðèìåíåíèè âåðîÿòíîñòíûõ ìîäåëåé è ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ ÌîíòåÊàðëî. Â
ïðèëîæåíèÿõ øèðîêî èñïîëüçóþòñÿ îáùèå âåòâÿùèåñÿ ïðîöåññû (Ì.Ñ. Áàðòëåòò, 1958 ã., Ò. Õàððèñ, 1966 ã., À.Ò. Áàðó÷à-Ðèä, 1969 ã., Á.À. Ñåâàñòüÿíîâ,
1971 ã., P. Jagers, 1975 ã., 1997 ã., S. Asmussen, H. Hering, 1983 ã., V.A. Vatutin,
A.M. Zubkov, 1993 ã.), âåòâÿùèåñÿ ïðîöåññû ñ âçàèìîäåéñòâèåì ÷àñòèö, ïðîöåññû ðîæäåíèÿ è ãèáåëè (Kostitzin V.A., 1937 ã., P.H. Leslie, 1958 ã., Ã. Íèêî1
ëèñ, È. Ïðèãîæèí, 1979 ã., Á.À. Ñåâàñòüÿíîâ, À.Â. Êàëèíêèí, 1982 ã., Aagaard
Hansen H., Yeo G.F., 1984 ã., Í.Â. Ïåðöåâ, 1998 ã., Íàãàåâ Ñ.Â., Íåäîðåçîâ Ë.Â.,
Âàõòåëü Â.È., 1999 ã., À.Â. Êàëèíêèí, 2000 ã., 2002 ã.), ñòîõàñòè÷åñêèå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ (Þ.Ì. Ñâèðåæåâ, 1987 ã., Ì.Ô. Äèìåíáåðã, 1989 ã.,
Â.Á. Êîëìàíîâñêèé, À.Â. Òèõîíîâ, 1996 ã.), à òàêæå ñòîõàñòè÷åñêàÿ ìîäåëü
ÐàéòàÔèøåðà è åå ìîäèôèêàöèè (A. Polanski, et.al., 1998 ã., A. Bobrowski,
et.al., 2002 ã., M. M
ohle, S. Sagitov, 2003 ã.). Âìåñòå ñ òåì, äëÿ ìíîãèõ ñîîáùåñòâ âçàèìîäåéñòâèå îñîáåé ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò èõ èíäèâèäóàëüíûõ
ïàðàìåòðîâ (âêëþ÷àÿ âîçðàñò), ðàñïðåäåëåíèå âðåìåíè æèçíè îñîáåé îòëè÷àåòñÿ îò ýêñïîíåíöèàëüíîãî, ïåðâîíà÷àëüíî ñóùåñòâóþùèå îñîáè èìåþò äîñòàòî÷íî ñëîæíûå ðàñïðåäåëåíèÿ è ïî âîçðàñòó, è ïî èíäèâèäóàëüíûì ïàðàìåòðàì. Âñå ýòè îñîáåííîñòè ïðèâîäÿò ê çíà÷èòåëüíûì ñëîæíîñòÿì ïðè
èñïîëüçîâàíèè óêàçàííîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî àïïàðàòà êàê íà ýòàïå ñîçäàíèÿ,
òàê è ïðè èññëåäîâàíèè ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé òàêèõ ñîîáùåñòâ.
Öåëü è çàäà÷è ðàáîòû ñîñòîÿò â ïîñòðîåíèè âåðîÿòíîñòíîé ìîäåëè, îïèñûâàþùåé ñîîáùåñòâà âçàèìîäåéñòâóþùèõ îñîáåé ñ ó÷åòîì èõ èíäèâèäóàëüíûõ
ïàðàìåòðîâ, ðàçðàáîòêå àëãîðèòìà ìîäåëèðîâàíèÿ è ñòðóêòóð äàííûõ, ñîçäàíèè ÿçûêà îïèñàíèÿ ìîäåëè íà ÝÂÌ è ìîäåëèðóþùåé ïðîãðàììû.
Ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ. Ïðè ïîñòðîåíèè ìîäåëåé ïðèìåíÿëèñü: òåîðèÿ îáùèõ âåòâÿùèõñÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ, ïðîöåññû ðîæäåíèÿ è ãèáåëè, à òàêæå
ìàðêîâñêèå ñëó÷àéíûå ïðîöåññû. Ïðè ðàçðàáîòêå ìîäåëèðóþùåé ïðîãðàììû èñïîëüçîâàëèñü ðàçëè÷íûå àëãîðèòìû ìåòîäà ÌîíòåÊàðëî è òåõíîëîãèÿ
ïðåäñòàâëåíèÿ äàííûõ â âèäå ñáàëàíñèðîâàííûõ äåðåâüåâ. Àíàëèç ðåçóëüòàòîâ âû÷èñëåíèé îñóùåñòâëÿëñÿ ìåòîäàìè ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè.
Íàó÷íàÿ íîâèçíà. Ïðîâåäåííîå èññëåäîâàíèå ÿâëÿåòñÿ ïðîäîëæåíèåì ðàáîò ïî ðàçâèòèþ òåîðåòè÷åñêèõ îñíîâ è ìåòîäîâ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ äèíàìèêè ïîïóëÿöèé.  ðàáîòå ïîñòðîåí íîâûé êëàññ ñòîõàñòè÷åñêèõ
ìîäåëåé, ïîçâîëÿþùèõ ó÷èòûâàòü äëÿ êàæäîé îñîáè ñîîáùåñòâà ñëó÷àéíîñòü
âðåìåíè æèçíè è äèíàìè÷åñêîå èçìåíåíèå åå èíäèâèäóàëüíûõ ïàðàìåòðîâ, à
2
òàêæå îïèñûâàòü ðàçëè÷íûå âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó îñîáÿìè. Äëÿ èçó÷åíèÿ
ìîäåëåé äàííîãî êëàññà ðàçðàáîòàíû àëãîðèòì èìèòàöèîííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ, ÿçûê îïèñàíèÿ ìîäåëè è ìîäåëèðóþùàÿ ïðîãðàììà.
Îñíîâíûå ïîëîæåíèÿ, âûíîñèìûå íà çàùèòó. 1) Óñëîâèÿ âûðîæäåíèÿ èçîëèðîâàííîé ïîïóëÿöèè ñ ñåçîííûì ðàçìíîæåíèåì, ñàìîëèìèòèðîâàíèåì è
ïðîèçâîëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì âðåìåíè æèçíè îñîáåé. 2) Ñòîõàñòè÷åñêàÿ ìîäåëü ñîîáùåñòâà âçàèìîäåéñòâóþùèõ îñîáåé ñ ó÷åòîì èõ èíäèâèäóàëüíûõ
ïàðàìåòðîâ. 3) Àëãîðèòì èìèòàöèîííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ. 4) Ïðîãðàììíûé
êîìïëåêñ, ñîñòîÿùèé èç ÿçûêà îïèñàíèÿ ìîäåëè íà ÝÂÌ è ìîäåëèðóþùåé
ïðîãðàììû.
Òåîðåòè÷åñêàÿ è ïðàêòè÷åñêàÿ çíà÷èìîñòü.  ðàáîòå ïðåäëîæåí ïîäõîä ê
ïîñòðîåíèþ ñòîõàñòè÷åñêèõ ìîäåëåé ñîîáùåñòâ, ó÷èòûâàþùèõ èíäèâèäóàëüíûå ïàðàìåòðû îñîáåé. Ðàçðàáîòàííûå àëãîðèòìû ìîäåëèðîâàíèÿ, ñòðóêòóðû äàííûõ, ÿçûê îïèñàíèÿ ìîäåëè è ìîäåëèðóþùàÿ ïðîãðàììà ïîçâîëÿþò
ýôôåêòèâíî ïðîâîäèòü âû÷èñëèòåëüíûå ýêñïåðèìåíòû ïî èññëåäîâàíèþ ñîîáùåñòâ ñ äîñòàòî÷íî ñëîæíîé ñòðóêòóðîé è ÷èñëåííîñòüþ â äåñÿòêè è ñîòíè
òûñÿ÷ îñîáåé.
Àïðîáàöèÿ ðàáîòû. Ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè äîêëàäûâàëèñü íà 39 ìåæäóíàðîäíîé íàó÷íîé ñòóäåí÷åñêîé êîíôåðåíöèè ¾Ñòóäåíò è íàó÷íî-òåõíè÷åñêèé ïðîãðåññ¿ (ã. Íîâîñèáèðñê, 2001 ã.), íà ìåæäóíàðîäíûõ êîíôåðåíöèÿõ
ìîëîäûõ ó÷åíûõ ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó ìîäåëèðîâàíèþ è èíôîðìàöèîííûì
òåõíîëîãèÿì (ã. Íîâîñèáèðñê, 2002 ã., ã. Êðàñíîÿðñê, 2003 ã.), íà ìåæäóíàðîäíûõ êîíôåðåíöèÿõ ïî âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêå ICCM 2002, ÌÊÂÌ 2004
(ã. Íîâîñèáèðñê, 2002 ã., 2004 ã.), íà ïåðâîì áàéêàëüñêîì ðàáî÷åì ñîâåùàíèè
ïî ýâîëþöèîííîé áèîëîãèè (ã. Èðêóòñê, 2004 ã.), íà ñåìèíàðàõ îòäåëà ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ ÌîíòåÊàðëî Èíñòèòóòà âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è ìàòåìàòè÷åñêîé ãåîôèçèêè ÑÎ ÐÀÍ (ã. Íîâîñèáèðñê, 2003 ã., 2004 ã.), íà ñåìèíàðå
¾Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå è ÷èñëåííûå ìåòîäû¿ êàôåäðû ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ Îìñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà è Îìñêîãî
3
ôèëèàëà èíñòèòóòà ìàòåìàòèêè ÑÎ ÐÀÍ èì. Ñ.Ë. Ñîáîëåâà (ã. Îìñê, 2003 ã.,
2004 ã.), íà ñåìèíàðå ëàáîðàòîðèè òåîðèè âåðîÿòíîñòåé Îìñêîãî ôèëèàëà èíñòèòóòà ìàòåìàòèêè ÑÎ ÐÀÍ èì. Ñ.Ë. Ñîáîëåâà (ã. Îìñê, 2004 ã.).
Ïóáëèêàöèè. Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû ïî òåìå äèññåðòàöèè îïóáëèêîâàíû â
8 ðàáîòàõ.
Ñòðóêòóðà è îáúåì äèññåðòàöèè. Ðàáîòà ñîñòîèò èç ââåäåíèÿ, òðåõ ãëàâ,
çàêëþ÷åíèÿ è ñïèñêà ëèòåðàòóðû, âêëþ÷àþùåãî 51 íàèìåíîâàíèå. Ìàòåðèàë
èçëîæåí íà 122 ñòðàíèöàõ òåêñòà, âêëþ÷àÿ 13 ðèñóíêîâ è 7 òàáëèö.
ÑÎÄÅÐÆÀÍÈÅ ÐÀÁÎÒÛ
Âî ââåäåíèè èçëîæåíû ïîñòàíîâêà öåëè è çàäà÷ èññëåäîâàíèÿ.
Ïåðâàÿ ãëàâà ïîñâÿùåíà ïîñòðîåíèþ è ÷èñëåííîìó àíàëèçó ìîäåëè èçîëèðîâàííîé ïîïóëÿöèè ñ ñåçîííûì ðàçìíîæåíèåì. Îñîáåííîñòü äàííîé ìîäåëè
çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùèõ ïîëîæåíèÿõ: 1) ðàñïðåäåëåíèå ïðîäîëæèòåëüíîñòè æèçíè îñîáè äî ìîìåíòà åå ãèáåëè â ðåçóëüòàòå ñòàðåíèÿ ìîæåò áûòü
ïðîèçâîëüíûì; 2) ïðîèçâîäñòâî ïîòîìñòâà îñóùåñòâëÿåòñÿ â ôèêñèðîâàííûå
ìîìåíòû âðåìåíè (ñåçîíû); 3) èíòåíñèâíîñòü ñàìîëèìèòèðîâàíèÿ ÿâëÿåòñÿ
ïðîèçâîëüíîé íåóáûâàþùåé ôóíêöèåé ÷èñëåííîñòè ïîïóëÿöèè. Ïðåäñòàâëåííàÿ íèæå ìîäåëü ÿâëÿåòñÿ ðàçâèòèåì íåïðåðûâíî-äèñêðåòíîé ìîäåëè, ïðåäëîæåííîé Íàãàåâûì Ñ.Â., Íåäîðåçîâûì Ë.Â. è Âàõòåëåì Â.È., 1999 ã.
 Ÿ1.1 ïðèâîäèòñÿ îïèñàíèå ìîäåëè. Ïóñòü X óíèâåðñàëüíîå ñ÷åòíîå
ìíîæåñòâî îñîáåé è x ∈ X íåêîòîðàÿ îñîáü. Ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ: σx ìîìåíò ðîæäåíèÿ îñîáè x; δx ìîìåíò ãèáåëè îñîáè x; x (t) =
1{σx 6 t < δx } èíäèêàòîð ñóùåñòâîâàíèÿ îñîáè x (1 èíäèêàòîðíàÿ
ôóíêöèÿ, ðàâíàÿ 1, êîãäà óñëîâèå â ñêîáêàõ âûïîëíåíî, è 0 â ïðîòèâíîì
ñëó÷àå); ξx (t) ÷èñëî ïîòîìêîâ, ïðîèçâåäåííûõ îñîáüþ x çà âðåìÿ [0; t];
Z(t) =
P
x (t) ÷èñëåííîñòü ïîïóëÿöèè â ìîìåíò t; X(t) = {x ∈ X :
x∈X
x (t) = 1} îñîáè, ñóùåñòâóþùèå â ìîìåíò t. Ïðîöåññû x (t), x ∈ X , êóñî÷íî ïîñòîÿííû è íåïðåðûâíû ñïðàâà. Ñëåäîâàòåëüíî, Z(t) è X(t) òàêæå
êóñî÷íî ïîñòîÿííû è íåïðåðûâíû ñïðàâà. Ïðîöåññû Z(t) è X(t) ñâÿçàíû ðà4
âåíñòâîì Z(t) = card(X(t)).  íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè t = 0 ÷èñëåííîñòü
ïîïóëÿöèè Z(0) íåñëó÷àéíà è ìíîæåñòâî X(0) ôèêñèðîâàíî. Ïîëîæèì σx = 0
äëÿ âñåõ x ∈ X(0).
Îïèøåì ïðîöåññ ðàçìíîæåíèÿ. Ïðèìåì, ÷òî ðàçìíîæåíèå îñîáåé ïðîèñõîäèò ëèøü â ôèêñèðîâàííûå ìîìåíòû âðåìåíè tk = kT , T = const > 0,
k = 1, 2, . . . . Åñëè îñîáü x ñóùåñòâóåò â ìîìåíò tk − 0, òî â ìîìåíò tk îíà
(k)
ïðîèçâîäèò πx
(k)
ïîòîìêîâ, ãäå âåëè÷èíû πx , k ∈ N, x ∈ X , íåçàâèñèìû,
(1)
(1)
îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû, P{πx = n} = pn , n = 0, 1, . . . , Eπx = m < +∞.
Ñëåäîâàòåëüíî, ïðîöåññ ξx (t) îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì
ξx (t) =
X
x (tk − 0) πx(k) ,
t > 0.
k : tk 6t
Îïèøåì ïðîöåññ ãèáåëè. Ïîëîæèì δx = σx + min{`x , ρx }, ãäå `x ïðîäîëæèòåëüíîñòü æèçíè îñîáè x äî ãèáåëè âñëåäñòâèå ñòàðåíèÿ, ρx ïðîäîëæèòåëüíîñòü æèçíè îñîáè x äî ãèáåëè âñëåäñòâèå ñàìîëèìèòèðîâàíèÿ.
Ïðèìåì, ÷òî âåëè÷èíû `x íåçàâèñèìû â ñîâîêóïíîñòè, íå çàâèñÿò îò âåëè(k)
÷èí πy , k ∈ N, y ∈ X , P{`x > a} = L◦ (a) äëÿ x ∈ X(0), P{`x > a} = L(a)
äëÿ x 6∈ X(0) (àðãóìåíò a îáîçíà÷àåò âîçðàñò). Ôóíêöèè L◦ è L îáëàäàþò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: L1) L◦ (0) = L(0) = 1; L2) L◦ (T − 0) > 0, L(T − 0) > 0;
L3) ∃τ ∈ [T ; ∞) : L◦ (τ ) = L(τ ) = 0 è L◦ (a) > 0, L(a) > 0 ïðè a ∈ [0; τ ).
Ñâîéñòâî L3 îçíà÷àåò, ÷òî `x ∈ (0; τ ] ï.í..
Ýôôåêò ñàìîëèìèòèðîâàíèÿ îïèñûâàåòñÿ ïðîöåññîì ÷èñòîé ãèáåëè. Ïóñòü
â ìîìåíò t ïîïóëÿöèÿ íàñ÷èòûâàåò z îñîáåé. Äëÿ êàæäîé îñîáè x ∈ X òàêîé,
÷òî σx 6 t, ïîëîæèì, ÷òî íåçàâèñèìî îò îñòàëüíûõ îñîáåé è èñòîðèè ðàçâèòèÿ
ïîïóëÿöèè äî ìîìåíòà t
P{σx + ρx 6 t + h | σx + ρx > t, Z(t) = z} = λ(z)h + o(h),
P{σx + ρx > t + h | σx + ρx > t, Z(t) = z} = 1 − λ(z)h + o(h).
Âåðîÿòíîñòü ãèáåëè âñëåäñòâèå ñàìîëèìèòèðîâàíèÿ çà âðåìÿ (t; t + h] äâóõ
è áîëåå îñîáåé ïîëîæèì ðàâíîé o(h), âåðîÿòíîñòü ãèáåëè õîòÿ áû îäíîé èç
5
ñóùåñòâóþùèõ â ìîìåíò t îñîáåé ðàâíîé zλ(z)h + o(h) è âåðîÿòíîñòü îòñóòñòâèÿ ãèáåëè îñîáåé âñëåäñòâèå ñàìîëèìèòèðîâàíèÿ 1 − zλ(z)h + o(h).
Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ôóíêöèÿ λ(z) îïðåäåëåíà íà Z+ è íå óáûâàåò. Ôóíêöèþ
λ(z) áóäåì íàçûâàòü èíòåíñèâíîñòüþ ñàìîëèìèòèðîâàíèÿ.
Óñòàíîâëåíî, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíîé îñîáè x âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
−
σxR+a
P{ρx > a | σx , Zx } = e
λ(Zx (u))du
σx
(ï.í.),
(1)
a > 0,
ãäå ñëó÷àéíûé ïðîöåññ Zx (t) = 1{σx 6 t < σx + `x } +
P
y (t) ïîêàçûâà-
y6=x
åò, êàê áóäåò ðàçâèâàòüñÿ ïîïóëÿöèÿ, åñëè îñîáü x íå ïîãèáíåò âñëåäñòâèå
ñàìîëèìèòèðîâàíèÿ.
 Ÿ1.2 èññëåäóåòñÿ ñëó÷àé λ(z) ≡ γ , γ = const > 0. Èç (1) âûòåêàåò, ÷òî ïðè
λ(z) ≡ γ âåëè÷èíû ρx , à ñëåäîâàòåëüíî, è òðîéêè (`x , ρx , ξx (t)), íåçàâèñèìû
äëÿ ðàçíûõ îñîáåé. Ïîýòîìó ïðîöåññ Z(t) âåòâÿùèéñÿ. Òèï ïðîöåññà Z(t)
îïðåäåëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì êîðíåì γ ∗ óðàâíåíèÿ
g(γ) = m
∞
X
e−γtk L(tk − 0) = 1.
(2)
k=1
Ïðîöåññ Z(t) áóäåò äîêðèòè÷åñêèì ïðè γ > γ ∗ (g(γ) < 1), êðèòè÷åñêèì ïðè
γ = γ ∗ (g(γ) = 1) è íàäêðèòè÷åñêèì ïðè γ < γ ∗ (g(γ) > 1). Ïðîöåññ Z(t) ï.í.
âûðîæäàåòñÿ, åñëè îí äîêðèòè÷åñêèé èëè åñëè îí êðèòè÷åñêèé è âûïîëíåíî
õîòÿ áû îäíî èç íåðàâåíñòâ: p1 < 1, L(T − 0) < 1, L(2T − 0) > 0, γ 6= 0.
 Ÿ1.3 ïðèâîäèòñÿ ïîñòðîåíèå è îáîñíîâàíèå àëãîðèòìà ïðÿìîãî ìîäåëèðîâàíèÿ äëÿ âû÷èñëåíèÿ îòäåëüíûõ ðåàëèçàöèé ïðîöåññà Z(t).  îñíîâó àë(k)
ãîðèòìà ïîëîæåíû ìåòîäû ÌîíòåÊàðëî. Ìîäåëèðîâàíèå âåëè÷èí πx
è `x
îñóùåñòâëÿëîñü ìåòîäîì îáðàòíîé ôóíêöèè. Äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ âçàèìîäåéñòâèé áûëè ïîëó÷åíû ðàñïðåäåëåíèÿ
Rt
− Zs (u)λ(Zs (u))du
P{ζs > t | Zs } = e
s
P{κs = x | ζs = t, Xs (t − 0), Zs } =
1{x∈Xs (t−0)}
Zs (t−0)
6
(ï.í.),
(ï.í.),
t > s,
(3)
x ∈ X, t > s, (4)
ãäå ζs ìîìåíò áëèæàéøåé ãèáåëè âñëåäñòâèå ñàìîëèìèòèðîâàíèÿ, ñ÷èòàÿ
îò ìîìåíòà t = s, κs îñîáü, ïîãèáàþùàÿ â ìîìåíò ζs âñëåäñòâèå ñàìîëèìèòèðîâàíèÿ, ïðîöåññû Zs (t) è Xs (t) ïîñòðîåíû â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî, íà÷èíàÿ
ñ ìîìåíòà t = s, â ïîïóëÿöèè íå ïðîèçîéäåò íè îäíîé ãèáåëè âñëåäñòâèå
ñàìîëèìèòèðîâàíèÿ. Ðàâåíñòâî (3) îçíà÷àåò, ÷òî âåëè÷èíó ζs ìîæíî ìîäåëèðîâàòü êàê ñâîáîäíûé ïðîáåã íåéòðîíà â êóñî÷íî-ïîñòîÿííîé ñðåäå (çäåñü â
êà÷åñòâå ñðåäû âûñòóïàåò ïðîöåññ Zs (t)). Èç (4) âûòåêàåò, ÷òî îñîáü, ïîãèáàþùàÿ â ìîìåíò ζs , âûáèðàåòñÿ íàóäà÷ó.
 Ÿ1.4 èññëåäóåòñÿ ñëó÷àé λ(z) 6≡ const.  ýòîì ñëó÷àå íàðóøàåòñÿ óñëîâèå
âåòâëåíèÿ: âåëè÷èíû ρx ñòàíîâÿòñÿ çàâèñèìûìè. Ïîêàçàíî, ÷òî äëÿ âûðîæäåíèÿ Z(t) ï.í. íåîáõîäèìî, ÷òîáû áûëî âûïîëíåíî õîòÿ áû îäíî èç óñëîâèé:
a) λ(1) > 0 (z ∗ = 0);
b) p0 > 0
èëè
L(T − 0) < 1;
ñ)
ôóíêöèÿ
L(·)
íå ÿâëÿåòñÿ
T -ðåøåò÷àòîé
è
p1 < 1;
d)
ôóíêöèÿ
L(·)
íå ÿâëÿåòñÿ
T -ðåøåò÷àòîé
è
λ(2) > 0 (z ∗ 6 1);
e)
ôóíêöèÿ
L(·)
íå ÿâëÿåòñÿ
T -ðåøåò÷àòîé
è
L(2T − 0) > 0.
 ñâîþ î÷åðåäü, ⠟1.5 ÷èñëåííî óñòàíîâëåíî, ÷òî
1)
åñëè
lim λ(z) > γ ∗ ,
z→+∞
ÿòíîñòü âûðîæäåíèÿ
2)
åñëè
òî ïðè âûïîëíåíèè ëþáîãî èç óñëîâèé
Z(t)
lim λ(z) < γ ∗ ,
z→+∞
∗
÷èñëåííî íåîòëè÷èìà îò
òî âåðîÿòíîñòü âûðîæäåíèÿ
(a)(e)
âåðî-
1;
Z(t)
ìåíüøå
1.
Çäåñü γ ýòî êîðåíü óðàâíåíèÿ (2). Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ L(·) íàçûâàåòñÿ
T -ðåøåò÷àòîé, åñëè
∞
P
L(kT − 0) − L(kT ) = 1.
k=1
Âî âòîðîé ãëàâå ñòðîèòñÿ áîëåå îáùàÿ ìîäåëü ñîîáùåñòâà íà îñíîâå ñëåäóþùèõ ïîëîæåíèé: 1) âñå ñîîáùåñòâî ïîäåëåíî íà íåñêîëüêî ïîïóëÿöèé;
2) êàæäàÿ îñîáü ñîîáùåñòâà îõàðàêòåðèçîâàíà íàáîðîì ïàðàìåòðîâ, èçìåíÿþùèõñÿ ñ âîçðàñòîì; 3) ýòè íàáîðû îäèíàêîâû äëÿ îñîáåé îäíîé ïîïóëÿöèè
è îòëè÷àþòñÿ ó îñîáåé ðàçëè÷íûõ ïîïóëÿöèé; 4) îñîáè ìîãóò ïðîèçâîäèòü
ïîòîìñòâî, âçàèìîäåéñòâîâàòü äðóã ñ äðóãîì è ïîäâåðãàòüñÿ âîçäåéñòâèþ
âíåøíèõ ôàêòîðîâ; 5) ðåïðîäóêòèâíûå ñâîéñòâà îñîáè, à òàêæå èíòåíñèâ7
íîñòü, ñ êîòîðîé îíà âñòóïàåò â òå èëè èíûå âçàèìîäåéñòâèÿ, çàâèñÿò îò åå
ïàðàìåòðîâ; 6) îñîáè ìîãóò ïîãèáàòü ëèáî â ðåçóëüòàòå âçàèìîäåéñòâèé ñ äðóãèìè îñîáÿìè, ëèáî âñëåäñòâèå ñòàðåíèÿ. Ìîäåëü ñòðîèòñÿ íà îñíîâå îáùåãî
âåòâÿùåãîñÿ ïðîöåññà è ïðîöåññà ñ âçàèìîäåéñòâèåì ÷àñòèö.
 Ÿ2.1 ïðèâîäèòñÿ îïèñàíèå ìîäåëè. Äëÿ ïðîñòîòû îïèñàíèå ïðèâîäèòñÿ
äëÿ ñëó÷àÿ îäíîé ïîïóëÿöèè, è óêàçûâàåòñÿ, êàê îò ýòîãî îïèñàíèÿ ïåðåéòè
ê ñëó÷àþ íåñêîëüêèõ ïîïóëÿöèé. Ïóñòü (Ω, F , P) äîñòàòî÷íî áîãàòîå âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî, íà êîòîðîì îïðåäåëåíû âñå ââîäèìûå íèæå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû è ïðîöåññû, X óíèâåðñàëüíîå ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî îñîáåé è x ∈ X íåêîòîðàÿ îñîáü. Îáîçíà÷èì: σx ìîìåíò ðîæäåíèÿ îñîáè
x; δx ìîìåíò ãèáåëè îñîáè x; x (t) = 1{σx 6 t < δx } èíäèêàòîð ñóùåñòâîâàíèÿ îñîáè x; ξx (t) ÷èñëî ïîòîìêîâ, ïðîèçâåäåííûõ îñîáüþ x çà
âðåìÿ [0; t]; ϕx (t) = (ϕx,1 (t), . . . , ϕx,q (t)) ∈ Rq , q ∈ N, ïàðàìåòðû îñîáè
x; θx (t) = (x (t), ξx (t), ϕx (t)) ðàñøèðåííûé âåêòîð ïàðàìåòðîâ îñîáè x;
Θ = {0, 1} × Z+ × Rq , B áîðåëåâñêàÿ σ -àëãåáðà íà Θ, (Θ, B) ôàçîâîå
S
ïðîñòðàíñòâî äëÿ θx (t); Ft = σ { x σ{θx (u), u < t}} ⊂ F σ -àëãåáðà, ïîðîæäåííàÿ èñòîðèåé ïîïóëÿöèè äî ìîìåíòà t; X(t) = {x ∈ X : x (t) = 1} îñîáè, ñóùåñòâóþùèå â ìîìåíò t; w(ϕ) = (w1 (ϕ), . . . , wr (ϕ)) íåîòðèöàòåëüíûå èçìåðèìûå âåñîâûå ôóíêöèè; Z(t) =
P
w(ϕx (t)) = (Z1 (t), . . . , Zr (t))
x∈X(t)
âåêòîð èíòåãðàëüíûõ õàðàêòåðèñòèê ïîïóëÿöèè.
Ñ÷èòàåì, ÷òî ïðîöåññû ϕx (t) êóñî÷íî ïîñòîÿííû è íåïðåðûâíû ñïðàâà.
Òîãäà θx (t) è Z(t) òàêæå êóñî÷íî ïîñòîÿííû è íåïðåðûâíû ñïðàâà. Ïðîöåññ
θx (t) îïèñûâàåò âñå âîçìîæíûå èçìåíåíèÿ â æèçíè îñîáè. Ðàññìîòðèì ñêà÷îê
ïðîöåññà θx (t) â ìîìåíò t. Åñëè x (t−0) < x (t), òî îñîáü x ðîäèëàñü â ìîìåíò
t, åñëè x (t − 0) > x (t), òî ïîãèáëà. Åñëè ξx (t − 0) < ξx (t), òî ïðîèçâåëà
ξx (t) − ξx (t − 0) ïîòîìêîâ. Åñëè ϕx (t − 0) 6= ϕx (t), òî èçìåíèëà ïàðàìåòðû.
 íà÷àëüíûé ìîìåíò t = 0 ïîïóëÿöèÿ íàñ÷èòûâàåò Z◦ ∈ Z+ îñîáåé, ìíîæåñòâî X(0) ôèêñèðîâàíî. Äëÿ âñåõ x ∈ X(0) âåëè÷èíû σx îòðèöàòåëüíû,
íåçàâèñèìû â ñîâîêóïíîñòè è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû. Ïðîöåññû θx (t) íà
8
îòðåçêàõ [σx ; 0) ñòðîÿòñÿ â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî ïðè t < 0 îñîáè íå âçàèìîäåéñòâóþò è íå ïðîèçâîäÿò ïîòîìñòâî.
Îïèøåì êîíñòðóêöèþ ïðîöåññà θx (t) äëÿ ïðîèçâîëüíîé îñîáè x ∈ X . Ïðè
t < σx ïîëîæèì θx (t) = 0. Èç îïðåäåëåíèÿ ïðîöåññîâ x (t) è ξx (t) èìååì, ÷òî
x (σx ) = 1 è ξx (σx ) = 0. Ïðèìåì, ÷òî
P{ϕx (σx ) < ϕ | σx = t, y → x, Ft } = F◦ ϕ; t, ϕy (t − 0) (ï.í.),
(5)
ãäå ϕ ∈ Rq , çàïèñü y → x îçíà÷àåò, ÷òî x ÿâëÿåòñÿ ïðÿìûì ïîòîìêîì y ,
F◦ (ϕ; t, ϕy ) çàäàííàÿ ôóíêöèÿ, îïðåäåëåííàÿ íà Rq × R+ × Rq , èçìåðèìàÿ
ïî âòîðîìó è òðåòüåìó àðãóìåíòàì è ÿâëÿþùàÿñÿ q -ìåðíîé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ ïî ïåðâîìó àðãóìåíòó, åñëè îñòàëüíûå àðãóìåíòû ôèêñèðîâàíû.
Ðàâåíñòâî (5) îçíà÷àåò, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå ïàðàìåòðîâ íîâîðîæäåííîé îñîáè
çàâèñèò òîëüêî îò ìîìåíòà ðîæäåíèÿ è çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ ðîäèòåëüñêîé
îñîáè íà ìîìåíò ðîæäåíèÿ.
Ñêà÷êè ïðîöåññà θx (t) ìîãóò áûòü âûçâàíû ëèáî ïåðåõîäàìè, ëèáî âçàèìîäåéñòâèåì
îñîáè x ñ äðóãèìè îñîáÿìè ñîîáùåñòâà. Ïåðåõîäû ýòî ñêà÷êè,
îáóñëîâëåííûå ïðè÷èííî-ñëåäñòâåííîé ñâÿçüþ è ÿâëÿþòñÿ ¾çàïëàíèðîâàííûìè¿ èçìåíåíèÿìè â æèçíè îñîáè, òåì ñàìûì îòðàæàÿ åå âíóòðåííåå ðàçâèòèå. Âçàèìîäåéñòâèÿ èçìåíÿþò ñîñòîÿíèå îñîáè â ðåçóëüòàòå åå ñïîíòàííîãî ñòîëêíîâåíèÿ ñ íåêîòîðîé ãðóïïîé îñîáåé, ëèáî ñ îêðóæàþùåé ñðåäîé, è
îñíîâíîå èõ îòëè÷èå îò ïåðåõîäîâ çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî îíè ¾íå çàïëàíèðîâàíû¿. Âìåñòå ñ òåì âçàèìîäåéñòâèå ìîæåò âûñòóïàòü â êà÷åñòâå íà÷àëà
îòñ÷åòà äëÿ ñåðèè ïåðåõîäîâ.
Ïðèìåì, ÷òî â æèçíè îñîáåé ìîãóò ïðîèñõîäèòü ïåðåõîäû òèïîâ E1 , . . . , El .
Ââåäåì ñëó÷àéíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {(tx,k , αx,k )}k , â êîòîðîé σx < tx,1 <
tx,2 < · · · ïîñëåäîâàòåëüíûå ìîìåíòû îñóùåñòâëåíèÿ ïåðåõîäîâ, à öåëî÷èñëåííûé âåêòîð αx,k = (αx,k,1 , . . . , αx,k,l ) ∈ Zl+ ,
αx,k 6= 0, óêàçûâàåò,
ñêîëüêî êàêèõ òèïîâ ïåðåõîäîâ ïðîèçîøëî â ìîìåíò tx,k . Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
{(tx,k , αx,k )}k ïîñòðîèì ïðè ïîìîùè l-ìåðíîãî ïðîöåññà ηx (t) ïðåâðàùåíèÿ
9
ôèêòèâíûõ ÷àñòèö
, òèïàìè ÷àñòèö äëÿ êîòîðîãî áóäóò ñëóæèòü òèïû ïåðå-
õîäîâ E1 , . . . , El . Ïðîöåññ ηx (t) ñòàðòóåò â ìîìåíò t = σx . Êàæäàÿ ÷àñòèöà
ýòîãî ïðîöåññà æèâåò ñëó÷àéíîå âðåìÿ, à çàòåì ïðåâðàùàåòñÿ â íåêîòîðóþ
ñëó÷àéíóþ ñîâîêóïíîñòü íîâûõ ÷àñòèö. Íîâûå ÷àñòèöû ðàçâèâàåòñÿ àíàëîãè÷íî. Ðàñïðåäåëåíèå ÷àñòèö â íà÷àëüíûé ìîìåíò t = σx îïðåäåëÿåòñÿ êàê
ðåçóëüòàò ïðåâðàùåíèÿ îäíîé ÷àñòèöû òèïà E1 . Ïóñòü íåêîòîðàÿ ÷àñòèöà òèïà Ef ïîÿâèëàñü â ìîìåíò σ â ðåçóëüòàòå ïðåâðàùåíèÿ ÷àñòèöû òèïà Ej è ñàìà ïðåòåðïåëà ïðåâðàùåíèå â ìîìåíò δ > σ , îáðàçóÿ ïðè ýòîì π = (π1 , . . . , πl )
íîâûõ ÷àñòèö. Òîãäà ïðèìåì, ÷òî
P{δ − σ < s | σ, Fσ } = Fj,f (s; σ, ϕx (σ − 0), Z(σ − 0)) (ï.í.),
P{π = α | δ, Fδ } = pf (α; δ, ϕx (δ − 0), Z(δ − 0)) (ï.í.),
s > 0,
(6)
α ∈ Zl+ ,
(7)
ãäå Fj,f (s; t, ϕ, Z) è pf (α; t, ϕ, Z) çàäàííûå, èçìåðèìûå ïî t, ϕ è Z , ôóíêöèè;
Fj,f ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ ïî ïåðâîìó àðãóìåíòó ïðè ôèêñèP
ðîâàííûõ t, ϕ è Z , Fj,f (0+; t, ϕ, Z) = 0,
pf (α; t, ϕ, Z) = 1. Ðàâåíñòâî
α∈Zl+
Fj,f (0+; t, ϕ, Z) = 0 îçíà÷àåò, ÷òî ïðîäîëæèòåëüíîñòü æèçíè ëþáîé ôèêòèâíîé ÷àñòèöû ï.í. ïîëîæèòåëüíà, òî åñòü ïåðåõîä-ñëåäñòâèå íå âîçíèêàåò ìîìåíòàëüíî.
Ïðîöåññ ηx (t) îòðàæàåò ïðè÷èííî-ñëåäñòâåííóþ ñâÿçü ìåæäó ïåðåõîäàìè.
Ïðåâðàùåíèå ôèêòèâíîé ÷àñòèöû òèïà Ej â ìîìåíò δ îçíà÷àåò, ÷òî â ýòîò
ìîìåíò îñîáü x îñóùåñòâëÿåò ïåðåõîä òèïà Ej , à íàëè÷èå ïîòîìêîâ îçíà÷àåò,
÷òî ïåðåõîä Ej ïîâëåê íàñòóïëåíèå íîâûõ ïåðåõîäîâ. Ñàìè ôèêòèâíûå ÷àñòèöû ìîæíî ñ÷èòàòü ïîòåíöèàëüíûìè ïåðåõîäàìè. Òàêèì îáðàçîì, {tx,k }k åñòü
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìîìåíòîâ ïðåâðàùåíèé ÷àñòèö ïðîöåññà ηx (t), à αx,k,i ÷èñëî ÷àñòèö òèïà Ei , òåðïÿùèõ ïðåâðàùåíèå â ìîìåíò tx,k .
Êàæäîìó òèïó ïåðåõîäîâ Ei ñîïîñòàâèì ïàðàìåòðèçîâàííîå ðàñïðåäåëåíèå
µi (B; t, θ, Z) íà èçìåðèìîì ïðîñòðàíñòâå (Θ, B), çàâèñÿùåå îò ïàðàìåòðîâ
t ∈ R, θ ∈ Θ è Z ∈ Rr . Äëÿ âñåõ k = 1, 2, . . . è B ∈ B ïîëîæèì
P{θx (tx,k ) ∈ B | tx,k , αx,k , x (tx,k − 0) = 0, Ftx,k } = 1{θx (tx,k − 0) ∈ B}, (8)
10
P{θx (tx,k ) ∈ B | tx,k , αx,k , x (tx,k − 0) = 1, Ftx,k } =
µ(αx,k ) (B; tx,k , θx (tx,k − 0), Z(tx,k − 0)), (9)
ãäå
α
α
µ(αx,k ) := µ1 x,k,1 ◦ · · · ◦ µl x,k,l ,
α
µi x,k,i := µi ◦ · · · ◦ µi ,
| {z }
i = 1, . . . , l,
αx,k,i
Z
(µi ◦ µj )(B; t, θ, Z) :=
µj (B; t, θ0 , Z) µi (dθ0 ; t, θ, Z), t ∈ R, θ ∈ Θ, Z ∈ Rr+ .
B
Ðàâåíñòâî (8) îçíà÷àåò, ÷òî åñëè îñîáü x ïîãèáëà äî ìîìåíòà tx,k , òî ïåðåõîä íå
âûçûâàåò ñêà÷êà ïðîöåññà θx (t).  ïðîòèâíîì ñëó÷àå, ñîãëàñíî ðàâåíñòâó (9),
ìåæäó θx (tx,k − 0) è θx (tx,k ) óñòðàèâàåòñÿ ìàðêîâñêàÿ öåïü èç |αx,k | = αx,k,1 +
· · · + αx,k,l çâåíüåâ, äëÿ êîòîðîé ðàñïðåäåëåíèÿ µi ÿâëÿþòñÿ ïåðåõîäíûìè.
Äëÿ êîððåêòíîñòè ðàâåíñòâà (9) îò ðàñïðåäåëåíèé µi (B; t, θ, Z) íåîáõîäèìî ïîòðåáîâàòü èçìåðèìîñòü ïî θ ïðè ôèêñèðîâàííûõ B ∈ B è Z ∈ Rr+ ,
ïåðåñòàíîâî÷íîñòü: µi ◦ µj = µj ◦ µi , i, j = 1, . . . , l, è âûïîëíåíèå
óñëîâèÿ
: äëÿ âñåõ θ = (, ξ, ϕ) ∈ Θ è Z ∈ Rr+
ñîãëàñîâàíèÿ
µi ({ξ 6}; t, θ, Z) = 1,
è
µi ({ = 0}; t, θ, Z) = 1, åñëè = 0,
ãäå {ξ 6} := {θ0 = (0 , ξ 0 , ϕ0 ) ∈ Θ | ξ 6 ξ 0 } ∈ B . Ïåðâîå ðàâåíñòâî â óñëîâèè ñîãëàñîâàíèÿ îçíà÷àåò, ÷òî ξx (t) ïîñëå ïåðåõîäà ï.í. ñîõðàíèò ñâîéñòâî
íåóáûâàíèÿ, à âòîðîå ÷òî ïîãèáøàÿ îñîáü íå ìîæåò âîñêðåñíóòü. Òàê êàê
ïåðåõîä E1 îñóùåñòâëÿåòñÿ â ìîìåíò ðîæäåíèÿ îñîáè, òî äëÿ ðåãóëÿðíîñòè
ïðîöåññà íåîáõîäèìî ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû â ðåçóëüòàòå ýòîãî ïåðåõîäà íîâûå
îñîáè íå ïðîèçâîäèëèñü: µ1 ({θ0 ∈ Θ | ξ 0 = ξ}; t, θ, Z) = 1.
Âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó îñîáÿìè ñîîáùåñòâà ìîãóò áûòü m ðàçëè÷íûõ òèïîâ I1 , . . . , Im . Ïðèìåì, ÷òî íåçàâèñèìî îò Ft âåðîÿòíîñòü îñóùåñòâëåíèÿ
âçàèìîäåéñòâèÿ òèïà Ik çà âðåìÿ (t; t + h], h → 0+, ðàâíà λk (Z(t))h + o(h),
âåðîÿòíîñòü îòñóòñòâèÿ âçàèìîäåéñòâèé òèïà Ik ðàâíà 1 − λk (Z(t))h + o(h),
âåðîÿòíîñòü âîçíèêíîâåíèÿ äâóõ è áîëåå âçàèìîäåéñòâèé ðàâíà o(h), à âåðîÿòíîñòü îòñóòñòâèÿ âçàèìîäåéñòâèé âñåõ òèïîâ ðàâíà 1 − λ(Z(t))h + o(h),
ãäå λ(Z) := λ1 (Z) + · · · + λm (Z). Ôóíêöèè λ1 (Z), . . . , λm (Z) îïðåäåëåíû
11
íà Rr+ , íåîòðèöàòåëüíû, ëîêàëüíî îãðàíè÷åíû è èçìåðèìû. Ôóíêöèþ λk (Z),
k = 1, . . . , m, íàçîâåì
èíòåíñèâíîñòüþ âçàèìîäåéñòâèé
(k)
Çàôèêñèðóåì s > 0 è îáîçíà÷èì ζs
òèïà Ik .
ìîìåíò ïåðâîãî âîçíèêíîâåíèÿ
âçàèìîäåéñòâèÿ òèïà Ik , ñ÷èòàÿ îò ìîìåíòà s. Ââåäåì ñëó÷àéíûé ïðîöåññ
(k)
(k)
(k)
(k)
Zs (t) = (Zs,1 (t), . . . , Zs,r (t)) è ôèëüòðàöèþ (Fs,t )t>0 , ïîñòðîåííûå â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî íà÷èíàÿ ñ ìîìåíòà s íå âîçíèêàåò âçàèìîäåéñòâèé òèïà Ik .
Òîãäà
(k)
P{ζs
>t|
(k)
Zs }
Rt
(k)
− λk (Zs (u))du
=e
s
, t > s.
Äëÿ òèïà âçàèìîäåéñòâèé Ik çàôèêñèðóåì ÷èñëî v (k) åãî ó÷àñòíèêîâ è ïî(k)
(k)
(k)
ñëåäîâàòåëüíîñòü íîìåðîâ j1 , . . . , jv(k) ∈ {1, . . . , r}, ãäå ji
ýòî íîìåð âåñà,
ïðîïîðöèîíàëüíî êîòîðîìó áóäåò îñóùåñòâëÿòüñÿ âûáîð i-ãî ó÷àñòíèêà âçà(k)
èìîäåéñòâèÿ. Â ìîìåíò ζs
= t î÷åðåäíîãî âîçíèêíîâåíèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ
òèïà Ik èç ñîîáùåñòâà âûáèðàåòñÿ ñëó÷àéíûé íàáîð V (k) = (x1 , . . . , xv(k) )
îñîáåé-ó÷àñòíèêîâ. Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îñîáü x ∈ X(t) áóäåò âûáðàíà iì ó÷àñòíèêîì (xi = x), åñëè ïåðâûõ i − 1 ó÷àñòíèêà óæå âûáðàíû, ïðèìåì
(k)
ðàâíîé (îïóñêàÿ âåðõíèé èíäåêñ ó ji
(k)
è Zs,ji )
wji (ϕx (t−0))
Zs,ji (t−0)−wji (ϕx1 (t−0))−···−wji (ϕxi−1 (t−0)) ,
(10)
x 6= x1 , . . . , xi−1 ,
÷òî ñîîòâåòñòâóåò èçâëå÷åíèþ áåç âîçâðàùåíèé ñ âåðîÿòíîñòüþ, ïðîïîðöèîíàëüíîé âåñó.
Åñëè íàáîð V (k) âûáðàí, òî îñóùåñòâëÿåòñÿ âçàèìîäåéñòâèå: ïàðàìåòðû
ϕx1 (t), . . . , ϕxv(k) (t) ó÷àñòíèêîâ âçàèìîäåéñòâèÿ òåðïÿò ñîâìåñòíûé ñêà÷îê â
(k)
òî÷êå ζs
è êàæäàÿ èç îñîáåé-ó÷àñòíèêîâ x1 , . . . , xv(k) îñóùåñòâëÿåò ñåðèþ
(k)
(k)
ïåðåõîäîâ â ñîîòâåòñòâèè ñ âåêòîðàìè α1 , . . . , αv(k) ∈ Zl+ , ñîîòâåòñòâåííî.
Ñîâìåñòíûé ñêà÷îê ïàðàìåòðîâ îïèñûâàåòñÿ ïàðàìåòðèçîâàííûì ðàñïðåäå(k)
ëåíèåì νk ( · ; t, ϕ1 , . . . , ϕv(k) , Z) (îïóñêàÿ âåðõíèé èíäåêñ ó V (k) , ζs
è v (k) ):
P{ϕV (t) ∈ B | ζs = t, Ft , V } = νk (B; t, ϕV (t − 0), Z(t − 0)),
ϕV (t) = (ϕx1 (t), . . . , ϕxv (t)),
(11)
B ∈ Bv .
Ðàñïðåäåëåíèå νk äîëæíî áûòü èçìåðèìûì ïî âñåì ñâîèì ïàðàìåòðàì ïðè
12
ôèêñèðîâàííîì B ∈ B v . Îñóùåñòâëåíèå ïåðåõîäîâ îñóùåñòâëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì.  ïðîöåññû ηxi , i = 1, . . . , v (k) , íåçàâèñèìî îò óæå ñóùåñòâóþùèõ ôèêòèâíûõ ÷àñòèö ïðîèçâîäèòñÿ ýìèãðàöèÿ è íåìåäëåííîå ïðåâðàùåíèå
(k)
êîðòåæà èç αi
(k)
(k)
íîâûõ ôèêòèâíûõ ÷àñòèö. Âåêòîðà α1 , . . . , αv(k) ôèêñèðî-
âàíû äëÿ âçàèìîäåéñòâèé òèïà Ik . Îñóùåñòâëåíèå âçàèìîäåéñòâèÿ íå âëèÿåò
íà óæå ñóùåñòâóþùèå ïîòåíöèàëüíûå ïåðåõîäû.
Åñëè íàáîð V (k) âûáðàòü íå óäàëîñü (íàïðèìåð, êîãäà ÷èñëåííîñòü ïîïóëÿöèè â ìîìåíò t ìåíüøå, ÷åì v (k) ), òî âçàèìîäåéñòâèå íå îñóùåñòâëÿåòñÿ, ìîìåíò ζs ñ÷èòàåòñÿ ôèêòèâíûì. Çà÷àñòóþ ôóíêöèþ λk (Z) óäàåòñÿ ïîäîáðàòü
òàê, ÷òîáû íàáîð V (k) ï.í. ìîæíî áûëî âûáðàòü â ëþáîé ìîìåíò t (íàïðèìåð,
(k)
ïðè v (k) = 1, j1 = 1 è λk (Z) = Z1 ), íî â îáùåì ñëó÷àå ýòîãî ñäåëàòü íåëüçÿ.
Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî ñîîáùåñòâî ñîñòîèò èç íåñêîëüêèõ ïîïóëÿöèé.
Òîãäà ïðèìåì, ÷òî êàæäàÿ ïîïóëÿöèÿ ðàçâèâàåòñÿ òàê æå, êàê èçîëèðîâàííàÿ
ïîïóëÿöèÿ, íî åå îñîáè ìîãóò ïðîèçâîäèòü ïîòîìñòâî â äðóãèõ ïîïóëÿöèÿõ,
è âî âçàèìîäåéñòâèÿõ ìîãóò ó÷àñòâîâàòü îñîáè èç ðàçíûõ ïîïóëÿöèé.
 Ÿ2.2 ïðèâîäèòñÿ ïîñòðîåíèå è îáîñíîâàíèå àëãîðèòìà ïðÿìîãî ìîäåëèðîâàíèÿ äëÿ âû÷èñëåíèÿ îòäåëüíûõ ðåàëèçàöèé ïðîöåññà Z(t). Ìîäåëèðîâàíèå ðàñïðåäåëåíèé (5)(11) îñóùåñòâëÿëîñü ñòàíäàðòíûìè ìåòîäàìè Mîíòå
Êàðëî. Äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ âçàèìîäåéñòâèé áûëè ïîëó÷åíû ðàâåíñòâà
Rt
− λ(Zs (u))du
P{ζs > t | Zs } = e
P{κs = k | ζs = t, Zs } =
s
λk (Zs (t−0))
λ(Zs (t−0)) ,
,
t > s,
k = 1, . . . , m,
(12)
(13)
ãäå ζs ìîìåíò áëèæàéøåãî îñóùåñòâëåíèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ, ñ÷èòàÿ îò ìîìåíòà t = s, κs íîìåð òèïà âçàèìîäåéñòâèÿ, îñóùåñòâëÿåìîãî â ìîìåíò ζs , à
ñëó÷àéíûé ïðîöåññ Zs (t) ïîñòðîåí â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî, íà÷èíàÿ ñ ìîìåíòà
t = s, îòñóòñòâóþò âñÿêèå âçàèìîäåéñòâèÿ.
Ÿ2.3 ïîñâÿùåí ïðîáëåìå ïðåäñòàâëåíèÿ ìîäåëè â ìîäåëèðóþùåé ïðîãðàììå. Äëÿ åå ðåøåíèÿ áûë ðàçðàáîòàí ñïåöèàëüíûé ÿçûê îïèñàíèÿ ìîäåëè,
13
ñèíòàêñèñ êîòîðîãî ïîäðîáíî èçëîæåí â ýòîì ïàðàãðàôå.  êà÷åñòâå èëëþñòðàöèè ïðèâåäåì îïèñàíèå ìîäåëè, ðàññìîòðåííîé ⠟1.1.
CountOfRealizations 1E+5; //êîëè÷åñòâî âû÷èñëÿåìûõ ðåàëèçàöèé
Population X //îïèñàíèå ïîïóëÿöèè
{
InitSize
{ 10; } //íà÷àëüíàÿ ÷èñëåííîñòü ïîïóëÿöèè
InitAge
{ [rnd(0,3)]; } //âîçðàñò ïåðâîíà÷àëüíûõ îñîáåé
Weight A { 1; } //åäèíè÷íûé âåñ => Z_1=÷èñëåííîñòü ïîïóëÿöèè
Event Ðîæäåíèå //ïåðåõîä, âîçíèêàþùèé â ìîìåíò ðîæäåíèÿ îñîáè
{ SequentEvent Ðåïðîäóêöèÿ //ïåðåõîä Ðîæäåíèå âëå÷åò
{ Quantity
{ 1; }
//íàñòóïëåíèå ïåðåõîäà Ðåïðîäóêöèÿ
TimeToExecute { 1; }
}
SequentEvent Ãèáåëü
//ïåðåõîä Ðîæäåíèå âëå÷åò
{ Quantity
{ 1; }
//íàñòóïëåíèå ïåðåõîäà Ãèáåëü
TimeToExecute { rnd(max(0,-Time),3); }
}
}
Event Ãèáåëü //åñëè ïðîèçîøåë ïåðåõîä Ãèáåëü, òî îñîáü ïîãèáàåò
{ ProbabilityOfDeath {1;} } //ñ âåðîÿòíîñòüþ 1
Event Ðåïðîäóêöèÿ //åñëè ïðîèçîøåë ïåðåõîä Ðåïðîäóêöèÿ, òî îñîáü
{ GenerateOffspring X { rnd(0,4); } } //ïðîèçâîäèò [rnd(0,4)]
}
//ïîòîìêîâ
Interaction Ñàìîëèìèòèðîâàíèå //îïèñàíèå âçàèìîäåéñòâèÿ
{
Intensity { 0.05*(X.s - 1)*X.s; } //èíòåíñèâíîñòü
Participant x as X.A; //âûáîð ó÷àñòíèêà
ExecuteEvent x.Ãèáåëü; //ïåðåõîä, âîçíèêàþùèé â ìîìåíò
}
//âçàèìîäåéñòâèÿ
Statistica ×èñëåííîñòü //ñáîð ñòàòèñòèêè ïî ðåçóëüòàòàì âû÷èñëåíèé
{
Expression { X.s; } //íàáëþäàåì çà ÷èñëåííîñòüþ ïîïóëÿöèè
BeginTime 0; EndTime 500; //íà÷àëî, êîíåö, è êîëè÷åñòâî
Intervals 5000;
//ìîìåíòîâ íàáëþäåíèÿ
}
Ðàçðàáîòàííûé ⠟2.2 àëãîðèòì ðåàëèçîâàí â âèäå êîíñîëüíîãî ïðèëîæåíèÿ pm.exe äëÿ ïëàòôîðìû Win32.  ìîäåëèðóþùåé ïðîãðàììå ðåàëèçîâàíû: 1) êîìïèëÿòîð ÿçûêà ìîäåëèðîâàíèÿ; 2) ýôôåêòèâíûé àëãîðèòì âûáîðà
ó÷àñòíèêîâ âçàèìîäåéñòâèé; 3) ýôôåêòèâíûé ñïîñîá ïðåäñòàâëåíèÿ äàííûõ,
ïîçâîëÿþùèé ñîêðàòèòü ñëîæíîñòü ìíîãèõ îïåðàöèé äî O(ln(z)), ãäå z ÷èñëåííîñòü îñîáåé; 4) âû÷èñëåíèå ìîìåíòîâ ñêà÷êîâ ïðîöåññà áåç íàêîïëåíèÿ îøèáîê îêðóãëåíèÿ; 5) ìóëüòèïëèêàòèâíûé ãåíåðàòîð ïñåâäîñëó÷àéíûõ
14
÷èñåë ñ ìíîæèòåëåì 517 , ìîäóëåì 240 è ïåðèîäîì 238 ; 6) äèàãíîñòèêà ñèíòàêñè÷åñêèõ îøèáîê è îøèáîê âûïîëíåíèÿ (ïðè âîçíèêíîâåíèè îøèáêè âûâîäèòñÿ
èíôîðìàöèÿ î íåé ìåñòî âîçíèêíîâåíèÿ, òèï è îïèñàíèå); 7) êîíòðîëü çà
îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ ôóíêöèé è äîïóñòèìûìè çíà÷åíèÿìè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí; 8) êîíòðîëü çà ðåñóðñàìè ïàìÿòè; 9) ýëåìåíòàðíàÿ
ñòàòèñòè÷åñêàÿ îáðàáîòêà ðåçóëüòàòîâ âû÷èñëåíèé (îöåíêà ìàòåìàòè÷åñêîãî
îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè ôóíêöèé âèäà f (Z(t)) â çàäàííûõ òî÷êàõ).
 Ÿ2.4 ïðîèçâîäèòñÿ òåñòèðîâàíèå ðàçðàáîòàííîãî ìîäåëèðóþùåãî êîìïëåêñà, ñîñòîÿùåãî èç ÿçûêà îïèñàíèÿ ìîäåëè è ìîäåëèðóþùåé ïðîãðàììû.
Òåñòèðîâàíèå ïðîèçâîäèëîñü íà èçâåñòíûõ ìîäåëÿõ, äîïóñêàþùèõ â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ àíàëèòè÷åñêîå âûðàæåíèå òàêèõ õàðàêòåðèñòèê, êàê ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå, åãî àñèìïòîòèêà, âåðîÿòíîñòü âûðîæäåíèÿ è ò.ï.  êà÷åñòâå
òåñòîâûõ ìîäåëåé áûëè âûáðàíû âåòâÿùèéñÿ ïðîöåññ ÁåëëìàíàÕàððèñà, îáùèé âåòâÿùèéñÿ ïðîöåññ, ïðîöåññ ïåðåäà÷è ñëó÷àéíîãî ñèãíàëà, ìîäåëü ïðîöåññà ðåãóëèðóåìîãî ðàçìíîæåíèÿ íåéòðîíîâ. Ðåçóëüòàòû âñåõ ïðîâåäåííûõ
ðàñ÷åòîâ ñîãëàñóþòñÿ ñ àíàëèòè÷åñêèìè âûðàæåíèÿìè.
 òðåòüåé ãëàâå ïîñòðîåíû ÷åòûðå ìîäåëè, êîòîðûå èëëþñòðèðóþò âîçìîæíîñòè ðàçðàáîòàííîãî ïðîãðàììíîãî êîìïëåêñà äëÿ ïðîâåäåíèÿ âû÷èñëèòåëüíîãî ýêñïåðèìåíòà â íåêîòîðûõ çàäà÷àõ äåìîãðàôèè è ýêîëîãèè.
 Ÿ3.1 ñòðîèòñÿ ñòîõàñòè÷åñêèé àíàëîã äåòåðìèíèðîâàííîé ìîäåëè Ìåÿ
Àíäåðñîíà ðàñïðîñòðàíåíèÿ ýïèäåìèè ñ ïðèîáðåòåíèåì èììóíèòåòà. Äåòåðìèíèðîâàííàÿ ìîäåëü ÌåÿÀíäåðñîíà ïîñòðîåíà â ïðåäïîëîæåíèè ýêñïîíåíöèàëüíîñòè ðàñïðåäåëåíèé ïðîäîëæèòåëüíîñòè æèçíè îñîáåé, ïðîäîëæèòåëüíîñòè çàáîëåâàíèÿ è äëèòåëüíîñòè èììóíèòåòà. Ïîêàçàíî, ÷òî îòêàç îò ýòîãî
ïðåäïîëîæåíèÿ ïðèâîäèò ê ñóùåñòâåííûì èçìåíåíèÿì â àñèìïòîòè÷åñêîì
ïîâåäåíèè ÷èñëåííîñòè ñîîáùåñòâà.
 Ÿ3.2 ïîñòðîåíà ìîäåëü äâóïîëîé ïîïóëÿöèè ñ ôîðìèðîâàíèåì è ðàñïàäîì
ñåìåéíûõ ïàð. Ìîäåëü ñòðîèòñÿ íà ñëåäóþùèõ ïðåäïîëîæåíèÿõ: 1) êàæäàÿ
îñîáü ïîïóëÿöèè ïî èñòå÷åíèè íåêîòîðîãî âðåìåíè ïîãèáàåò âñëåäñòâèå ñòà15
ðåíèÿ; 2) â îïðåäåëåííîì âîçðàñòå êàæäàÿ îñîáü ïåðåõîäèò â ïîëîâîçðåëóþ
ñòàäèþ (âçðîñëååò), äî ýòîãî ìîìåíòà îíà íå ó÷àñòâóåò â îáðàçîâàíèè ñåìåéíûõ ïàð; 3) êàæäàÿ âçðîñëàÿ îñîáü ïîïóëÿöèè èìååò ïîë; 4) íîâûõ îñîáåé
ìîãóò ïðîèçâîäèòü òîëüêî ñåìåéíûå ïàðû; 5) ñåìåéíûå ïàðû îáðàçóþòñÿ â
ðåçóëüòàòå âçàèìîäåéñòâèÿ äâóõ ñâîáîäíûõ âçðîñëûõ îñîáåé ðàçíûõ ïîëîâ; 6)
ñåìåéíàÿ ïàðà ðàñïàäàåòñÿ â ðåçóëüòàòå ãèáåëè îäíîãî èç ÷ëåíîâ ñåìüè èëè â
ñëó÷àéíûé ìîìåíò âðåìåíè; 7) ïîñëå ðàñïàäà ñåìåéíîé ïàðû îáðàçóþùèå åå
îñîáè ñòàíîâÿòñÿ ñâîáîäíûìè; 8) îñîáè ìîãóò ïîãèáàòü â ðåçóëüòàòå ïàðíûõ
ñòîëêíîâåíèé, êîíêóðèðóÿ çà æèçíåííûå ðåñóðñû.
Íà ïðèìåðå äàííîé ìîäåëè ïîêàçàíà âîçìîæíîñòü èçó÷åíèÿ ñëîæíûõ ñîîáùåñòâ íàñ÷èòûâàþùèõ äî 700 òûñÿ÷ îñîáåé. Âðåìÿ ðàñ÷åòà ðåàëèçàöèè,
ïðåäñòàâëåííîé íà ðèñ. 1, íà êîìïüþòåðå ñ ïðîöåññîðîì AMD Athlon XP
2600+ ñîñòàâèëî 1 ÷àñ 23 ìèíóòû.
Ðèñ. 1. ×èñëåííîñòü äåòåé, ìóæñêèõ è æåíñêèõ îñîáåé
 Ÿ3.3 ðàññìàòðèâàåòñÿ ìîäåëü òðåõñòàäèéíîãî ðàçâèòèÿ îñîáåé ñ èñòðåáëåíèåì. Çäåñü ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî 1) îñîáè â âîçðàñòå äî 20 èëè ñòàðøå 60
ñëàáûå, à â âîçðàñòå îò 20 äî 60 ñèëüíûå; 2) â âîçðàñòå 100 îñîáè ïîãèáàþò
îò ñòàðîñòè; 3) ïðîèçâîäñòâî ïîòîìñòâà îïðåäåëÿåòñÿ ïðîöåññîì ξx (t) âèäà
ξx (σx + a) =
bx
X
x (σx + ai − 0)1{ai 6 a},
a ∈ [−σx ; ∞),
(14)
i=1
ãäå öåëî÷èñëåííàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà bx ðàâíîâåðîÿòíî ïðèíèìàåò îäíî èç
çíà÷åíèé îò 0 äî 5 âêëþ÷èòåëüíî, à âåëè÷èíû ai íåçàâèñèìû è ðàâíîìåðíî
16
ðàñïðåäåëåíû íà (18; 50); 4) ïðè ñòîëêíîâåíèè ñëàáîé îñîáè ñ äðóãîé îñîáüþ
ïîïóëÿöèè, ñëàáàÿ îñîáü ïîãèáàåò, èíòåíñèâíîñòü êàæäîãî òàêîãî ñòîëêíîâåíèÿ ïîñòîÿííà è ðàâíà 2 · 10−7 ; 5) â îïðåäåëåííûå ïðîìåæóòêè âðåìåíè
ïðîèñõîäèò èñòðåáëåíèå ñëàáûõ îñîáåé.
Äëÿ äàííîé ìîäåëè èññëåäóåòñÿ äèíàìèêà ÷èñëåííîñòè ïîïóëÿöèè ïðè ðàçëè÷íûõ ðåæèìàõ åå èñòðåáëåíèÿ. Íàëè÷èå â ìîäåëè ìåõàíèçìà ñàìîðåãóëèðîâàíèÿ îáåñïå÷èâàåò ñòàáèëèçàöèþ ÷èñëåííîñòè ïîïóëÿöèè íà óðîâíå 320
òûñÿ÷ îñîáåé.  ïåðèîäû èñòðåáëåíèÿ ÷èñëåííîñòü ïîïóëÿöèè ðåçêî ñíèæàåòñÿ ñ èçìåíåíèåì ñîîòíîøåíèÿ ñèëüíûõ è ñëàáûõ îñîáåé. Ïîñëå îêîí÷àíèÿ
èñòðåáëåíèÿ ÷èñëåííîñòü ïîïóëÿöèè âûõîäèò íà ïðåæíèé óðîâåíü. Ïåðèîäè÷åñêîå èñòðåáëåíèå ïðèâîäèò ê ñëîæíûì êîëåáàòåëüíûì ðåæèìàì (ðèñ. 2).
Ðèñ. 2. Òðàåêòîðèÿ ïðîöåññà Z(t) = (Z1 (t), Z2 (t)) ñ ïåðèîäè÷åñêèì
èñòðåáëåíèåì
 Ÿ3.4 ñòðîèòñÿ ìîäåëü èçîëèðîâàííîé ïîïóëÿöèè, îñîáè êîòîðîé ìåíÿþò
ñâîé âèä ïî ïðèíöèïó åñòåñòâåííîãî îòáîðà. Êàæäàÿ îñîáü x îáëàäàåò îäíèì ïàðàìåòðîì ϕx ∈ [0; 1], êîòîðûé îíà íàñëåäóåò îò ðîäèòåëüñêîé îñîáè
ñ íåáîëüøèì èçìåíåíèåì. Ïàðàìåòð îñîáè îïðåäåëÿåò åå ñïîñîáíîñòü âûæèâàòü ïðè ñòîëêíîâåíèÿõ: â ìîìåíò ñòîëêíîâåíèÿ ïàðû îñîáåé x è y âû÷èñëÿþòñÿ âåëè÷èíû sx = s(ϕx ) è sy = s(ϕy ), ãäå s(ϕ) = 1{ϕ < 21 }ϕ + 1{ϕ >
17
1
2 }(2ϕ−1).
Åñëè îêàæåòñÿ, ÷òî sx < sy , òî ïîãèáíåò îñîáü x, à åñëè sy < sx , òî
y . Ñêà÷îê ôóíêöèè s(ϕ) â òî÷êå 0.5 èíòåðïðåòèðóåòñÿ êàê èçìåíåíèå âèäà
îñîáè. Îñîáåé, äëÿ êîòîðûõ ϕx ∈ [0; 0.5), íàçîâåì îñîáÿìè ïåðâîãî âèäà, à
âñåõ îñòàëüíûõ îñîáÿìè âòîðîãî âèäà. Ïðîèçâîäñòâî íîâûõ îñîáåé îïèñûâàåòñÿ ïðîöåññîì (14), ãäå P{bx = 1} = · · · = P{bx = 4} = 1/4, à âåëè÷èíû ai
ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíû íà (0.2; 0.8). Â âîçðàñòå 1 êàæäàÿ îñîáü ïîãèáàåò â
ðåçóëüòàòå ñòàðåíèÿ. ×èñëåííî ïîêàçàíî, ÷òî åñëè ϕx = 0 äëÿ âñåõ x ∈ X(0),
òî äàëüíåéøåå ðàçâèòèå ïîïóëÿöèè ïðîèñõîäèò ïî ñëåäóþùåé ñõåìå: ñíà÷àëà â ïîïóëÿöèè ñóùåñòâóþò òîëüêî îñîáè ïåðâîãî âèäà, çàòåì ïîÿâëÿþòñÿ
îñîáè âòîðîãî âèäà è â òå÷åíèå äîñòàòî÷íî äëèòåëüíîãî âðåìåíè (íåñêîëüêî
äåñÿòêîâ ïîêîëåíèé) íàõîäÿòñÿ â êîíêóðåíòíîì ðàâíîâåñèè ñ îñîáÿìè ïåðâîãî
âèäà, è, íàêîíåö, âòîðîé âèä öåëèêîì âûòåñíÿåò ïåðâûé (ðèñ. 2).
Ðèñ. 3. ×èñëåííîñòè âèäîâ: 1 ÷èñëåííîñòü ïåðâîãî âèäà, 2 âòîðîãî.
 çàêëþ÷åíèè ïðèâîäÿòñÿ îñíîâíûå ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèîííîé ðàáîòû.
1. Ïîñòðîåíà è èññëåäîâàíà ìîäåëü èçîëèðîâàííîé ïîïóëÿöèè ñ ñåçîííûì
ðàçìíîæåíèåì, ñàìîëèìèòèðîâàíèåì è ïðîèçâîëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì âðåìåíè æèçíè îñîáåé. Ïîëó÷åíû óñëîâèÿ âûðîæäåíèÿ ïîïóëÿöèè ï.í..
2. Íà îñíîâå îáùèõ âåòâÿùèõñÿ ïðîöåññîâ è ïðîöåññîâ ñî âçàèìîäåéñòâèåì ÷àñòèö ïîñòðîåíà íîâàÿ âåðîÿòíîñòíàÿ ìîäåëü, îïèñûâàþùàÿ ñîîáùåñòâà
âçàèìîäåéñòâóþùèõ îñîáåé ñ ó÷åòîì èõ èíäèâèäóàëüíûõ ïàðàìåòðîâ.
3. Íà îñíîâå ìåòîäîâ ÌîíòåÊàðëî ïîñòðîåí àëãîðèòì èìèòàöèîííîãî
ìîäåëèðîâàíèÿ. Ðàçðàáîòàíû ñòðóêòóðû äàííûõ, ïîçâîëÿþùèå çíà÷èòåëüíî
18
ñíèçèòü âû÷èñëèòåëüíûå çàòðàòû ïðè ðåàëèçàöèè ïîëó÷åííîãî àëãîðèòìà íà
ÝÂÌ.
4. Ñîçäàí è ïðîòåñòèðîâàí ìîäåëèðóþùèé êîìïëåêñ, ñîñòîÿùèé èç ÿçûêà
îïèñàíèÿ ìîäåëè íà ÝÂÌ è ìîäåëèðóþùåé ïðîãðàììû.
5. Ðàáîòîñïîñîáíîñòü ìîäåëèðóþùåãî êîìïëåêñà ïðîäåìîíñòðèðîâàíà íà
ïðèìåðàõ ñîîáùåñòâ äîñòàòî÷íî ñëîæíîé ñòðóêòóðû, âîçíèêàþùèõ â çàäà÷àõ
äåìîãðàôèè è ýêîëîãèè.
ÑÏÈÑÎÊ ÐÀÁÎÒ, ÎÏÓÁËÈÊÎÂÀÍÍÛÕ ÏÎ ÒÅÌÅ
ÄÈÑÑÅÐÒÀÖÈÈ
1. Ïè÷óãèí Á.Þ., Ïåðöåâ Í.Â. Ñòàòèñòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå ïîïóëÿöèé
âçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö ñ ïðîèçâîëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì âðåìåíè
æèçíè // Ìàòåìàòè÷åñêèå ñòðóêòóðû è ìîäåëèðîâàíèå. Îìñê: ÎìÃÓ,
2001. Âûï. 7. Ñ. 6778.
 ýòîé ñîâìåñòíîé ðàáîòå Í.Â. Ïåðöåâó ïðèíàäëåæàò ïîñòàíîâêà çàäà÷è
è ïðèìåðû äëÿ òåñòèðîâàíèÿ ìîäåëèðóþùåé ïðîãðàììû, Á.Þ. Ïè÷óãèíó ôîðìàëèçàöèÿ ìîäåëè, àëãîðèòì ìîäåëèðîâàíèÿ è ÷èñëåííûå
ðàñ÷åòû.
2. Ïè÷óãèí Á.Þ. Òî÷å÷íûå ðàñïðåäåëåíèÿ â ìîäåëè âçàèìîäåéñòâèÿ ÷àñòèö // Ìàòåðèàëû 39 ìåæäóíàðîäíîé íàó÷íîé ñòóäåí÷åñêîé êîíôåðåíöèè ¾Ñòóäåíò è íàó÷íîòåõíè÷åñêèé ïðîãðåññ¿: Ìàòåìàòèêà. Íîâîñèáèðñê: ÍÃÓ, 2001. Ñ. 80.
3. Pertsev N.V., Pichugin B.J. Stochastic modeling of the individual's
community with their transformation and interaction // Proceedings of
the International Conference on Computational Mathematics. Part I. Novosibirsk: ICM&MG Publisher, 2002. P. 249253.
 ýòîé ñîâìåñòíîé ðàáîòå Í.Â. Ïåðöåâó ïðèíàäëåæàò èäåÿ ïîñòðîåíèÿ
ñòîõàñòè÷åñêîãî âàðèàíòà ìîäåëè ýïèäåìè÷åñêîãî ïðîöåññà, Á.Þ. Ïè÷óãèíó ôîðìàëèçàöèÿ ìîäåëè ñîîáùåñòâà îñîáåé ñ ó÷åòîì èõ âçàèìî19
äåéñòâèé è ïðåâðàùåíèé, ïðîâåäåíèå âû÷èñëèòåëüíîãî ýêñïåðèìåíòà ñ
ìîäåëüþ ýïèäåìè÷åñêîãî ïðîöåññà è ìîäåëüþ èçîëèðîâàííîé ïîïóëÿöèè.
4. Ïè÷óãèí Á.Þ. Ñòîõàñòè÷åñêèå ìîäåëè ïîïóëÿöèé ñ ñåçîííûì ðàçìíîæåíèåì è ñàìîëèìèòèðîâàíèåì // Ïðîãðàììà è òåçèñû äîêëàäîâ ìåæäóíàðîäíîé êîíôåðåíöèè ìîëîäûõ ó÷åíûõ ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó ìîäåëèðîâàíèþ è èíôîðìàöèîííûì òåõíîëîãèÿì. Íîâîñèáèðñê, 2002. Ñ. 34.
5. Ïè÷óãèí Á.Þ. ×èñëåííûé àíàëèç îäíîé ñòîõàñòè÷åñêîé ìîäåëè èçîëèðîâàííîé ïîïóëÿöèè ñ ñåçîííûì ðàçìíîæåíèåì // Ïðîãðàììà è òåçèñû
äîêëàäîâ ìåæäóíàðîäíîé êîíôåðåíöèè ìîëîäûõ ó÷åíûõ ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó ìîäåëèðîâàíèþ è èíôîðìàöèîííûì òåõíîëîãèÿì. Êðàñíîÿðñê,
2003. Ñ. 3839.
6. Ïè÷óãèí Á.Þ. Ñòîõàñòè÷åñêàÿ ìîäåëü èçîëèðîâàííîé ïîïóëÿöèè ñ ñåçîííûì ðàçìíîæåíèåì è ñàìîëèìèòèðîâàíèåì // Ñèá. æóðí. èíäóñòð.
ìàòåìàòèêè. 2003. Ò. 6.  4(16). Ñ. 7581.
7. Ïåðöåâ Í.Â., Ïè÷óãèíà À.Í., Ïè÷óãèí Á.Þ. Ïîâåäåíèå ðåøåíèé äèññèïàòèâíîé èíòåãðàëüíîé ìîäåëè ËîòêèÂîëüòåððà // Ñèá. æóðí. èíäóñòð. ìàòåìàòèêè. 2003. Ò. 6.  2(14). Ñ. 95106.
 ýòîé ñîâìåñòíîé ðàáîòå Í.Â. Ïåðöåâó ïðèíàäëåæèò ïîñòàíîâêà çàäà÷è, À.Í. Ïè÷óãèíîé èññëåäîâàíèå ñâîéñòâ íåëèíåéíîé èíòåãðàëüíîé
ìîäåëè, Á.Þ. Ïè÷óãèíó äîêàçàòåëüñòâî íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèé, âõîäÿùèõ â ïàðàìåòðû èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ âîññòàíîâëåíèÿ è ïîëîæèòåëüíîñòè ðåøåíèÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ.
8. Ïè÷óãèí Á.Þ. Ñòîõàñòè÷åñêàÿ ìîäåëü ñîîáùåñòâà âçàèìîäåéñòâóþùèõ
îñîáåé, îõàðàêòåðèçîâàííûõ íàáîðîì ïàðàìåòðîâ // Òðóäû ìåæäóíàðîäíîé êîíôåðåíöèè ïî âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêå ÌÊÂÌ-2004. ×. I
/ Ïîä ðåä. Ã.À. Ìèõàéëîâà, Â.Ï. Èëüèíà, Þ.Ì. Ëàåâñêîãî. Íîâîñèáèðñê: Èçä. ÈÂÌèÌà ÑÎ ÐÀÍ, 2004. C. 303309.
20
Ïè÷óãèí Áîðèñ Þðüåâè÷
ÑÒÀÒÈÑÒÈ×ÅÑÊÎÅ ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈÅ ÑÎÎÁÙÅÑÒÂÀ
ÂÇÀÈÌÎÄÅÉÑÒÂÓÞÙÈÕ ÎÑÎÁÅÉ
Ñ Ó×ÅÒÎÌ ÈÕ ÈÍÄÈÂÈÄÓÀËÜÍÛÕ ÏÀÐÀÌÅÒÐÎÂ
Àâòîðåôåðàò äèññåðòàöèè íà ñîèñêàíèå ó÷åíîé
ñòåïåíè êàíäèäàòà ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê
Ïîäïèñàíî â ïå÷àòü 15.11.2004 ã. Ôîðìàò áóìàãè
Ïå÷. ë.
1,2.
Ó÷.-èçä. ë
1,2.
60 × 84 1/16.
Òèðàæ 100 ýêç. Çàêàç 559.
Èçäàòåëüñòâî Îìñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà
644077, ã. Îìñê, ïð. Ìèðà, 55À, ãîñóíèâåðñèòåò