хсь рвв ж ж аа аа хсь рвв ж ж к ьв ½ к ьв ¾ к ьв

Pass 10
Potensserier II
II Potensserier
Def
En serie av formen P a x , där ~a = ha i är en
talföljd, kallas för en potensserie med koeientföljden ~a = ha i.
Sats 1
P
Antag att en potensserie
a z konvergerar för z =
z 6= 0, då konvergerar serien för alla z : |z| < |z |.
Sats 2
P
a z divergerar för z =
Antag att en potensserie
z 6= 0, då divergerar serien för alla z : |z| > |z |.
Sats 3
För varje potensserie P a z existerar det ett reellt
tal R (= konvergensradien) , 0 ≤ R ≤ ∞, sådant att
• potensserien konvergerar absolut för |z| < R;
• potensserien divergerar för |z| > R.
Konvergensradien
∞
k=0
k
k
k
k
∞
k=0
k
k
0
0
∞
k=0
k
0
k
0
∞
k=0
k
k
|an+1|
1
= lim
n→∞ |an |
R
(om gränsvärdet existerar)
1
III Analytiska funktioner oh potensserier
Sats 7.6
En funktion f (z) är summan av en potensserie i en
skiva |z| < r då oh endast då den är en analytisk
funktion i denna skiva.
Sats (7.7)
f (z) - analytisk i |z| < r
⇒ f (z) =
∞
X
f (k) (0)
k=0
k!
zk.
IV Utvekling i potensserie
Malaurinutvekling
• Tabellmetod
• Partialbråksuppdelning
Räkneregler för potensserier:
•
f (x) + g(x)
cf (x)
xf (x)
df
Z x dx
f (t)dt
↔
↔
↔
f~ + ~g
cf~
h0, f0 , f1 , ....i
hf1 , 2f2 , 3f3 , ...i
f0 f1 f2
↔ h0, , , , ...i
1 2 3
0
∞
X
f (k) (0)
j
fj z
↔
fk =
f (z) =
k!
j=0
~h = f~ ∗ ~g
h(x) = f (x)g(x) ↔
↔
2
Serieutveklingar av elementära funktioner
∞
X
1 k
e
=
x
k!
k=0
∞
X
(−1)k 2k
x
cos x
=
(2k)!
k=0
∞
X
(−1)k
x2k+1
sin x
=
(2k + 1)!
k=0
∞
X
(−1)k+1 k
ln(1 + x) =
x
k
k=1
∞
X
(−1)k 2k+1
x
arctan x =
2k + 1
k=1
∞
X
α(α − 1)...(α − k + 1) k
(1 + x)α =
x
k!
k=0
x
De tre första har R = +∞ medan de tre sista har
R = 1.
3