л рь я р × ж ь я ь я ь

Linköpings Universitet
Kurskod: TATA65
Matematiska institutionen
Provkod: TEN1
Carl Johan Casselgren
Tentamen i Diskret matematik
2016-01-05 kl. 1419
Inga hjälpmedel är tillåtna. Skriv din anonyma kod på varje ark som lämnas in. Skriv bara på
ena sidan oh bara en uppgift på varje ark. Alla lösningar ska motiveras väl oh förenklas så
långt som möjligt. Varje uppgift ger maximalt 3 poäng oh för betyg 3/4/5 krävs 8/12/16 poäng
totalt.
1. Visa att
a + aq + aq 2 + aq 3 + · · · + aq n−1 = a
qn − 1
,
q−1
för alla heltal
n≥1
oh
a, q ∈ R,
q 6= 1.
(3p)
2. (a) Ange samtliga heltalslösningar till
87x + 105y = 3000.
(b) Bestäm alla heltalslösningar till ekvationen
3. (a) Låt
där
B
(2p)
4x ≡ 7 mod 11.
(1p)
vara mängden som innehåller alla ord (d.v.s. följder av bokstäver) som kan
bildas med fem av bokstäverna i ordet DANSALAMBADA (så t.ex. ordet DANSA tillhör
mängden
B ).
Bestäm
|B|.
(2p)
(b) Visa att det på varje fest nns (minst) två personer som har lika många bekanta bland
festdeltagarna. (Du kan anta att varje festdeltagare är bekant med minst en annan person
på en fest oh att det på varje fest nns minst
4. Hur många av heltalen från oh med
följderna
123, 456
eller
100000
2
deltagare.)
till oh med
500000
(1p)
innehåller inte någon av
789?
(3p)
C = {30, 31, . . . , 50} oh deniera en ekvivalensrelation på C genom att för x, y ∈ C
sätta xRy om primtalsfaktoriseringarna av x oh y innehåller lika många skilda primtalsfaktorer. Ange den partition av C som R ger upphov till. Speiellt ska elementen i varje
5. Låt
ekvivalensklass anges.
6. Bestäm antalet ykler av längd
Bestäm även kromatiska talet för
7. Låt
om
(3p)
4 som
K7,8 .
den kompletta bipartita grafen
K7,8
innehåller.
(3p)
E = {1, 2, . . . , 20} oh deniera relationen R2 på E genom att för x, y ∈ E sätta xR2 y
x − y är ett ike-negativt heltal som är delbart med 3. Visa att R2 är en partialordning
oh rita dess Hassediagram.
(3p)
Lösningsskisser för TATA65 2016-01-05
1. Använd t.ex. induktion över
n.
2. (a) Euklides algoritm ger att sgd(87, 105)
oh Euklides algoritm baklänges ger
En lösning är således
oh
y = 5000 − 29n,
(b) Alla heltal
x
= 3, så ekvationen
5 · 35 − 6 · 29 = 1.
x = −6000 oh y = 5000,
n är ett heltal.
kan skrivas
29x + 35y = 1000
oh alla lösningar ges av
x = −6000 + 35n
där
sådana att
x ≡ 10 mod 11.
3. (a) Ordet DANSALAMBADA innehåller 5 st A oh 2 st D oh 5 st andra bokstäver som
endast förekommer en gång i ordet.
Genom falluppdelning fås att
|B| = 1 +
6
5!
6 5!
5 5!
6 5!
6 5!
7
5+
+
+
+
+
+
5!,
1
3!2!
2 3!
1 2!2!
3 2!
3 2!
5
där första termen räknar antalet ord med 5 st A, andra termen antalet ord med 4 st A,
tredje termen antalet ord med 3 st A oh 2 st D, fjärde termen antalet ord med 3 st A oh
2 st andra olika bokstäver, femte termen antalet ord med 2 st A oh 2 st D, sjätte termen
antalet ord med 2 st A oh 3 st andra olika bokstäver, sjunde termen antalet ord med 2 st
D oh 3 st andra olika bokstäver, oh åttonde termen antalet ord med 5 st olika bokstäver.
(b) Betrakta en godtyklig fest oh antag att denna har
person känner minst
1
oh maximalt
n−1
n ≥ 2 festdeltagare. Eftersom varje
personer på festen, så följer påståendet från
lådprinipen.
|U | = 400001.
vara antalet heltal i U som innehåller följden 123, B vara antalet heltal i U som
Låt
innehåller följden 456 oh C vara antalet heltal i U som innehåller följden 789. Vi söker
|U \ (A ∪ B ∪ C)|.
4. Låt
U
A
vara antalet heltal från oh med 100000 till oh med 500000. Då är
Vi har att
med
123,
|A| = 103 + 3 · 4 · 102 − 1,
U som börjar
123 förekommer någon annanstans, oh sista
123123 två gånger.
där första termen räknar antalet tal i
andra termen räknar antalet tal där
termen kompenserar för att vi räknat talet
|B| = 103 +3·4·102 −1, oh |C| = 3·4·102 . Vidare gäller |A∩B| = 2,
|A ∩ C| = |B ∩ C| = 1 oh |A ∩ B ∩ C| = 0.
På samma sätt fås att
Inklusion-exklusion ger att
|A ∪ B ∪ C| = 103 + 3 · 4 · 102 − 1 + 103 + 3 · 4 · 102 − 1 + 3 · 4 · 102 − 4 = 5594.
Därmed gäller att
|U \ (A ∪ B ∪ C)| = 400001 − 5594 = 394407.
[31] = {31, 32, 37, 41, 43, 47, 49} (en primtalsfaktor),
[33] = {33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 44, 45, 46, 48, 50} (två olika primtalsfaktorer),
[30] = {30, 42} (tre olika primtalsfaktorer), oh partitionen av C är därmed
C = [31] ∪ [33] ∪ [30].
5. Ekvivalensklasserna är
6. Antag
V (K7,8 ) = V1 ∪ V2 där alla kanter i K7,8 har en ändpunkt i V1 oh en i V2 . En ykel
4 är unikt denierad
av två hörn i V1 oh två st hörn i V2 . Således är antalet
7 8
av längd 4 i K7,8
2 2 . Kromatiska talet för K7,8 är 2.
av längd
ykler
oh
R2 är reexiv, antisymmetrisk oh transitiv. R2 är reexiv eftersom x − x = 0
x ∈ E . R2 är antisymmetrisk, ty om xR2 y oh yR2 x så gäller att x − y = 3k1
oh y − x = 3k2 där k1 , k2 ∈ N. Alltså gäller att k1 = k2 = 0 oh x = y . Vi visar nu att
R2 är transitiv. Antag att xR2 y oh yR2 z . Då gäller att x − y = 3k1 oh y − z = 3k2 ,
där k1 , k2 ∈ N. Genom att addera dessa ekvationer fås att x − z = 3(k1 + k2 ), oh således
xR2 z .
7. Visa att
för alla
Hassedigrammet ser ut som följer:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20