Семинары 6-7

Семинары по теории игр 2012 год
Семинары №6-7. Бесконечно повторяемые игры. Статические
Байесовские игры и Байесовское равновесие по Нэшу в таких играх.
На семинаре 6 состоится просмотр контрольных работ!
На семинаре 7 будет вторая контрольная работа!
Задача №1.
Матрица базовой игры имеет вид:
t1
l1
l2
t2
 4;1  4;0  .
 6;5  3;1
а) Изобразите графически, какие платежи достижимы в повторяемой игре;
б) Являются ли достижимыми в повторяемой игре платежи  4; 2  ,  3,5;0,5 ,  5; 2 
и  5;3 ?
в) Какие из указанных платежей могут быть реализованы на множестве смешанных
стратегий в отдельной базовой игре?
Задача №2. Домашнее задание.
Задана бесконечно повторяемая игра G(; ):
t1
t2
s1 (2;1) (8;-2)
s2 (-1;5) (5;2)
Сформулировать стратегии жесткого переключения, при которых игроки будут
играть s2 и t 2 во всех играх. При каких значениях  эти стратегии составляют равновесие
по Нэшу?
Задача №3. Модель Курно с неполной информацией.
Рассмотрим модель дуополии Курно с обратной функцией спроса PQ  a  Q , где
Q  q1  q2 -
суммарный рыночный спрос на товар. Издержки первой фирмы равны
C1 q1   cq1 . Издержки второй фирмы равны C2 q2   c H q2
с вероятностью 1/3,
C2 q2   c L q2 с вероятностью 1/3, С 2 q 2   c M q 2 с вероятностью 1/3, где c L  c m  c H (
c L , c M , c H - низкие (Low), средние (Medium) и высокие (High) предельные издержки).
Информация в модели асимметрична: фирма 2 знает как свои собственные издержки, так
и издержки фирмы 1. Фирма 1 знает свои собственные издержки, однако не знает точно
издержки фирмы 2. Ей известно лишь, что издержки фирмы 2 составят c H с вероятностью
1/3, c L с вероятностью 1/3 и c M с вероятностью 1/3.
1
Семинары по теории игр 2012 год
Найти равновесие по Нэшу в такой игре.
Задача №4. Модель Штакельберга с неполной информацией.
Пусть предельные издержки лидера с = 1. Предельные издержки последователя
равны cH = 3 или cL = 2 с верояностью 1/3 и 2/3 соответственно. Издержки лидера известны
и лидеру и последователю. Издержки последователя известны только последователю.
Вероятности известны обоим игрокам. Обратная функция спроса P = 10 – Q, где Q –
общий выпуск продукции. Найти Байесовское равновесие Нэша.
Задача №5.
Задана биматричная статическая игра с неполной информацией:
2-й игрок
1-й игрок
z1
z2
s1
(0; 0)
(1 + t1; 2)
s2
(1; 6 + t2)
(0; 0)
в которой первый игрок знает только t1 , а второй – только t2 . Случайные величины t1 и
t 2 независимы и равномерно распределены на отрезках t1  0; 4 , t2  0;10 .
разделяющее равновесие по Нэшу
 x; y  , x  0; 4 ,
Найти
y  0;10 , для которого игрок 1
выбирает s1 , если t1  x и s 2 в противном случае; игрок 2 выбирает z1 , если t 2  y и z 2
в противном случае.
Задача №6.
Два игрока
одновременно
выбирают
действительные
числа
x1
и
x2 ,
соответственно. Платежные функции могут иметь один из двух видов:
 u1    x12  2 x 2 x1  4 x1 
, с p = 0,4 или
    2

 u 2    x 2  x1 x 2  4,5 x 2 
 u1    x12  6 x 2 x1 
 , с p = 0,6.
   
2

 u 2    x2  x2 
Первый игрок точно знает, какой вид имеют платежные функции, второй знает
только закон распределения.
Найдите равновесие по Нэшу в чистых стратегиях.
Задача №7.
Саша (первый игрок) не совсем уверен, предпочитает ли Маша его компанию, или
склонна избегать его. С точки зрения Саши:
2
Семинары по теории игр 2012 год
F
с p=
F
2
игра имеет вид:
3
T
F
T
 2;1  0;0  ; с
 0;0  1; 2 
p=
F
1
игра имеет вид:
3
T
T
 2;0   0; 2 
 0;1 1;1
Маша в отличие от Саши точно знает, в какую игру она играет.
а) Укажите количество типов каждого игрока; сформулируйте чистые стратегии
Саши и Маши;
б) Найдите равновесие по Нэшу в чистых стратегиях и (*) в смешанных
Задача №8. Домашнее задание.
Значение 1 известно первому игроку, а значение  2 - второму.
F
T
F  3; 2   2 
 2;1 , общеизвестно, что  U 0; 2 ,  : U [0,3] . U –
  2
1
T
1;0   4  1;1
обозначение равномерного распределения.
Найдите равновесие по Нэшу (если это возможно), в котором все четыре исхода
играются с положительной вероятностью, а игроки используют стратегии вида: «если
известное мне  выше определенного порога, то я сделаю один ход, если ниже, то
другой».
3