Выбор в условиях неопределенности

НИУ ВШЭ, 2012 - 2013 уч.г.
модуль 2, 17.12 – 21.12
Мини домашнее задание к семинарам 29 – 30
Темы: свойства технологии, задача максимизации прибыли.
Задача 1. Технология производства может быть описана производственной функцией вида КоббаДугласа f ( x1 , x2 )  x1 x2 , где   0,   0 .
(а) Найдите предельный продукт каждого фактора производства. При каких значениях  и 
предельный продукт первого фактора возрастает с ростом использования первого фактора?
(б) Найдите предельную норму технологического замещения первого фактора вторым ( MRTS12 ). При
каких значениях  и  данная технология будет обладать убывающей нормой технологического
замещения при росте использования первого фактора производства? Какой вывод о характере
отношений между рассматриваемыми факторами производства, с точки зрения замещаемости и/или
дополняемости, можно сделать на основе полученного выражения?
(в) При каких значениях  и  технология характеризуется возрастающей отдачей от масштаба;
постоянной отдачей от масштаба; убывающей отдачей от масштаба?
(г) Может ли технология характеризоваться одновременно убыванием предельного продукта каждого
фактора производства и возрастающей отдачей от масштаба?
Задача 2. Охарактеризуйте отдачу от масштаба технологий, производственные функции которых
(а) f ( x1 , x2 )  x1  x2 ,  ,   0 ;
(б) f ( x1 , x2 )  min x1 , x2 ,  ,   0 ;
(в) f ( x1 , x2 ) 
x1  x22 .

(г) f ( x1 , x2 )  min x1 , x22

Задача 3. Приведите определение изокванты. Могут ли изокванты пересекаться? Может ли изокванта
иметь положительный наклон? Может ли изокванта быть «толстой линией»?
Задача 4. Изобразите схематично изокванты, найдите предельную норму технологического замещения
MRTS LK для следующих технологий и объясните, почему найденное значение не зависит от объема
выпускаемой продукции.
K
(а) f L, K   2L  K ;
2/3
2/3
(б) f L, K   3L K ;
(в) f L, K  
L K.
Задача
5.
На
рисунке
изображены
изокванты,
соответствующие некоторой производственной функции.
Выбранный по осям масштаб остается неизменным. Может ли
1
2
функция qL, K   2 L K
Обоснуйте свой ответ.
1
2
q  40
представлять данную технологию?
q  30
q  20
0
Задача 6. Рассмотрим технологию, заданную дифференцируемой производственной функцией
y = f(L). Будем считать, что средний продукт труда – также дифференцируемая функция при L > 0.
(а) Докажите, что на участке, где средний продукт труда возрастает, предельный продукт труда больше
среднего.
L
НИУ ВШЭ, 2012 - 2013 уч.г.
модуль 2, 17.12 – 21.12
(б) Покажите, что предельный продукт труда равен среднему в точке, где средний продукт труда
достигает своего максимума.
Задача 7. Производственная функция имеет вид f ( K , L)  L / 2  K , где L – количество
используемого труда (в человеко-часах), K – количество используемого капитала (в машино-часах).
(а) Какой отдачей от масштаба обладает данная технология?
(б) Чему равна предельная производительность труда, и как она меняется с увеличением количества
нанимаемого труда? Что можно сказать о предельной производительности капитала?
(в) Полагая, что в краткосрочном периоде количество используемого капитала фиксировано и равно 4,
изобразите графически объем производства как функцию от использованного труда. Изобразите на этом
же графике предельный продукт труда и средний продукт труда.
Задача 8. Фирма, не имеющая рыночной власти ни на одном рынке, используя труд как единственный
фактор производства и производя с его помощью товары A и B, нанимала 5 рабочих по ставке оплаты
труда, равной 10, и продавала 23 единицы товара A по цене 3 рубля за штуку и 15 единиц товара B по
цене 2 рубля за штуку. В результате роста спроса цены товаров выросли: товар A теперь стоит 4 рубля за
штуку, а товар B — 3 рубля за штуку. Ставка заработной платы также повысилась и составила 12. В
новых условиях фирма решила нанять 7 рабочих и продать 25 единиц товара A и 19 единиц товара B,
при этом ее технология производства не изменилась.
Если считать, что цель фирмы — получение наибольшей прибыли, то можно ли сделать вывод,
рационально ли она поступила после изменения цен?
Задача 9. Не предполагая дифференцируемость производственной функции, докажите
следующее утверждение: «Выручка фирмы, максимизирующей прибыль в условиях
совершенной конкуренции, производящей один продукт и использующей в производстве два
фактора производства, не убывает по цене готовой продукции». Будет ли данное утверждение
справедливо для любой фирмы, выпускающей любое количество продуктов и использующей
любое количество факторов производства при изменении цены данного продукта?
Задача 10. (если будет время) Пусть при ценах ( p, w1 , w2 )  (3, 2, 4) фирма выпускала 16 единиц
готовой продукции, затрачивая факторы производства в количестве ( x1 , x2 )  (5, 7) . Затем цены
~ ,w
~ )  (2, 3, 2) фирма произвела 13 единиц готовой продукции,
p, w
изменились, и при новых ценах ( ~
1
2
затратив факторы в количестве ( x1 , x2 )  (4, 6) . Совместимы ли подобные наблюдения с
максимизацией прибыли?
Задача 11. Производственная функция имеет вид f L, K   LK , где L – количество используемого
труда (в человеко-часах), K – количество используемого капитала (в машино-часах). Пусть в
краткосрочном периоде объем капитала фиксирован на уровне 25. Найдите оптимальный выбор фирмы.
Задача 12. Фирма производит продукт, используя два фактора производства, согласно технологии,
производственная функция которой y  f ( L, K ) характеризуется убывающими предельными
продуктами каждого фактора производства. В краткосрочном периоде объем капитала зафиксирован на
уровне K . Пусть фирма осуществляет продажу своей продукции на рынке совершенной конкуренции
по цене p , а фактор приобретает на конкурентном рынке по цене w .
(а) Запишите задачу максимизации прибыли фирмы. Выпишите условия первого порядка,
характеризующие внутреннее решение поставленной задачи. Проиллюстрируйте внутреннее решение
задачи фирмы графически.
(б) Пусть теперь правительство субсидирует используемый в производстве данного товара труд. В
результате политики субсидирования цена труда, используемого фирмой, снизилась на величину s
( s  w ). Как изменится используемый объем труда, объем выпускаемого продукта и прибыль фирмы?
Приведите графическое и аналитическое решение.
НИУ ВШЭ, 2012 - 2013 уч.г.
модуль 2, 17.12 – 21.12
Задача 13. Пусть производственная функция максимизирующей прибыль фирмы имеет вид
y  x1  2 x2 . Пусть цена продукции равна p , а цены факторов производства, соответственно, w1 и
w2 . Известно, что при данных ценах, сложившихся на рынках совершенной конкуренции факторов
производства и продукции фирмы данная фирма выпускает положительный объем продукции.
(а) Выпишите задачу фирмы и условия первого порядка, характеризующие ее решение.
(б) Найдите объем спроса на факторы производства и объем предложения готовой продукции в
долгосрочном периоде.
Задача 14 (если будет время). Рассмотрите
фирму,
которая
производит
готовую
продукцию, используя единственный фактор
производства. При цене выпуска p  и цене
фактора w объем спроса фирмы на фактор
составил x  и объем выпуска составил y  , а
при ценах p  и w фирма выбрала x  и y  .
На рисунке изображены соответствующие
изопрофиты. Можно ли утверждать, что
фирма максимизировала прибыль?
y
Изопрофиты
y 
y
Задача 15 (если будет время). Чтобы
произвести один хот-дог, нужна булочка
x
x
x 
( x1), сосиска ( x2 ), горчица ( x3 ), кетчуп
( x4 ), особая приправа (секрет фирмы, x5 ),
свежий лук ( x6 ), продавец ( x7 ) и стойка, за которой он стоит ( x8 ). Ниже представлена таблица затрат
на единицу каждого ингредиента:
Ресурс
Цена ресурса
1 булочка
4,5 р.
1 сосиска
15 р.
1 порция горчицы
1,5 р.
1 порция кетчупа
1,5 р.
1 порция особой приправы
3 р.
1 порция свежего лука
4,5 р.
1 час продавца (зарплата)
180 р.
1 час стойки (арендная плата)
270 р.
Один продавец, стоя за одной стойкой в течение часа, готовит 30 хот-догов.
(а) Составьте производственную функцию производителя хот-догов. Какой отдачей от масштаба
обладает технология?
(б) Сформулируйте задачу максимизации прибыли фирмы, если цена хот-дога равна 50 р. Имеет ли эта
задача решение?