Эластичность и темп изменения функции

1) Для производственной функции y  x ln  x  1 найти эластичность E x  y  ресурса x и темп роста
объёма выпуска продукции при x  1 .
3
Эластичность функции E x  y  
x
 y ;
y
темп изменения функции T x  y    ln y  

y
.
y
Вычисляем производную y   x ln  x  1
3
  ln  x 3  1  x 
В произвольной точке:
E x  y 
Tx  y 
T
1
x3 1
 3 x 2  ln  x 3  1 
3x 3
x3 1
.

x
1
3x 3 
3x 3
 y 
  ln  x 3  1  3
 1

y
 x 3  1  ln  x 3  1
x 1
ln  x 3  1 
y

y
3x 3
3x 2
x3 1  1 
x  x 3  1  ln  x 3  1
x ln  x 3  1
ln  x 3  1 
При x  1 :
3
3
 1
 3, 2
 1  1  ln  1  1
2  ln 2
3
1
3
T1  y   
 1
 3, 2




2  ln 2
1 1  1  ln 1  1
E1  y  1 
- в данном случае численно при x  1 эластичность функции равна темпу изменения функции. Но это
равенство абстрактно, т.к. и по смыслу и по размерности эти величины разной природы (несопоставимы):
▪ эластичность безразмерна; в данном случае, эластичность объёма выпуска y относительно ресурса x
характеризует влияние запасов ресурса на объём выпуска продукции; это коэффициент, показывающий
приближённо относительное изменение объёма выпуска продукции при изменении запаса ресурса на 1%;
▪ темп изменения функции - величина, имеющая в этом случае размерность, обратную размерности
измерения ресурса x .
1