Моделирование поведения производителя

Моделирование
поведения
производителя
 Оценки
предельной
производительности факторов
производства выступают как
полезностные оценки и
непосредственно связаны с
производительностью
конкретных видов труда и
средств производства.
 Математическое
выражение
зависимости результатов
производственной
деятельности от
обуславливающих эти
результаты показателей
факторов (ресурсов)
называется ПФ.

Чаще всего встречаются
многофакторные ПФ.
Уравнение многофакторной ПФ
имеет вид:
y  f ( x1 , x2 ,..., xn )
или в неявном виде .
F (a, y, x1 , x2 ,..., xn )  0

Среди ПФ наиболее часто применяются
линейные функции вида
n
y  a0   a j x j
и степенные ПФ
j 1
n
y  a0  x j
j
j 1
для которых задача нахождения
параметров сводится к оцениванию
параметров соответствующей линейной
формы, полученной путём
логарифмирования.
 ПФ
n
y  a0  x j
j
1
2
n
 a 0 x1  x 2    x n
j 1
называется канонической,
a0,a1…an - параметры, их
конкретные числовые значения
определяются на основе
статистических данных с
помощью корреляционных
методов.
Предельная производительность и
эластичность факторов производства

Предельной производительностью
i-го ресурса или предельным
выпуском по i-му ресурсу называют
первую частную производную ПФ и
обозначают
y
MYi 
xi
Предельная производительность и
эластичность факторов производства
(продолжение)

Эта величина показывает на сколько
единиц изменится объём выпускаемой
продукции (предельный продукт), если
затраты соответствующего i-го ресурса
изменится на единицу (при неизменном
объёме других ресурсов).
 Частная
эластичность выпуска
по i-му ресурсу
MYi xi Y
Ei 
 
AYi
y xi
показывает на сколько
процентов изменится объём
выпускаемой продукции, если
затраты соответствующего
ресурса изменятся на 1% .
Эластичность ресурсов
относительно цены
 Характеризует
процентное
изменение величины спроса на
какой-либо ресурс при
изменении цены этого ресурса
на 1%.
Pi xi
E Pi ( xi )  
xi pi
Свойства производственных
функций

Без ресурсов выпуск невозможен ,
f 0,0  0

При отсутствии хотя бы одного из
ресурсов выпуск невозможен
f 0, x2   f x1 ,0  0
Свойства производственных
функций (продолжение).

Предполагается, что по крайней
мере дважды дифференцируема,
т.е. переменные х 1 и х2 меняются
непрерывно и результат
производственной деятельности
достаточно гладко меняется при
изменении количества
используемых ресурсов.
Свойства производственных
функций (продолжение).

При увеличении затрат ресурсов выпуск
продукции не уменьшается,
т.е y  f x1 , x2 не убывает. Это значит,
что
f
0 и
x1
f
0
x 2
т.е. предельные производительности всех
ресурсов положительны.
Свойства производственных
функций (продолжение).

Предельная производительность данного ресурса
падает, если объём его затрат растёт, т.е.
эффективность использования дополнительной
единицы этого ресурса падает. Др. словами:
величина
прироста
продукта
на
каждую
дополнительную единицу i-го ресурса не растёт. Это
закон убывающей эффективности.
 f
2
x1
2
0
 f
2
и
x 2
2
0
Свойства производственных
функций (продолжение).

Предельная производительность
данного ресурса возрастает с ростом
затрат другого ресурса, т.е.
эффективность использования
единицы данного ресурса возрастает с
ростом затрат данного ресурса.
 f
0
x1x 2
2
и
2 f
0
x 2 x1
Свойства производственных
функций (продолжение).
 Отдача
от расширения
масштабов производства.
Характеризует ПФ с точки
зрения выпуска продукции при
пропорциональном изменении
затрат.

1. ПФ характеризуется постоянной
отдачей от расширении масштаба
производства, если выпуск возрастает в
той же пропорции, что и затраты, т.е.
увеличение, например, ресурсов в m
раз приводит к увеличению продукции в
m раз.
f mx1 , mx2   mf ( x1 , x2 )

2. ПФ характеризуется возрастающей отдачей
от расширения масштаба производства, если
она возрастает в большей степени, чем все
затраты. Например, увеличение ресурсов в m
раз приводит к росту объёма продукции
более чем в m раз.
f mx1 , mx2   mf ( x1 , x2 )
Экономически в этом случае можно
говорить
о
положительном
эффекте
расширения масштабов производства
3. ПФ хар-ся убывающей отдачей от
расширения масштаба производства,
если она возрастает в меньшей
степени, чем все затраты. Например,
увеличение ресурсов в m раз
приводит к росту объёма продукции
менее чем в m раз.
f mx1 , mx2   mf ( x1 , x2 )
В
этом
случае
отрицательный
расширения
производства.
имеет
место
эффект
от
масштабов
Производственная функция
Кобба-Дугласа

Для моделирования решения задач на
микро- и макро- экономическом уровне
часто используется ПФ вида
1
2
y  a0 k  L
где K – объём используемого основного
капитала (основные фонды);
L – затраты труда.
 Дроби
Y/K и Y/L называют
соответственно
производительностью капитала
и производительностью труда.
Y/K называют ещё
фондоотдачей или
капиталоотдачей (-показатель,
характеризующий уровень
эффективности использования
производственных фондов).
 Обратные
дроби K/Y и L/Y
называются соответственно
капиталоёмкостью и
трудоёмкостью выпуска. Дробь
K/L называется
капиталовооружённостью
труда. ПФ КД относится к
классу мультипликативных
функций.
Рассмотрим мультипликативную ПФ

Имеет вид
1
2
n
y  a 0 x1  x 2  ...  x n

(*)
Здесь ресурсы взаимозамещаемы.
Эластичность замещения меньше,
и ценность ресурса уменьшается,
когда пропорции его в общих
затратах растут.
(продолжение)
В логарифмической форме (*)
имеет вид
n
ln y  ln a 0    i ln xi
i 1
Эластичность выпуска по
ресурсам
xi y
 ln y
i 

y xi  ln xi
n
   i
i 1
- эластичность
производства.
при A>1 имеет место
возрастающая,
при A=1 - постоянная,
при A<1 - убывающая отдача
масштабов производства.
 Из
выражения
xi y
i 
y xi
найдём предельную
производительность ресурсов
y
y
 i
xi
xi
и предельную норму замещения
ресурсов
 ij  
y / x j
y / xi

 j y i y
xj
 j xi


xi
i x j
Эластичность замещения ресурсов
 ij 
Из выражения

d ln x i / x j
d ln  ij
 1
n
ln y  ln a0    i ln xi
i 1
видим, что если производство описывается
мультипликативной функцией, то темп роста
производства
x n
x1
y
 1
 ...   n
y
x1
xn
линейно зависит от темпов роста затрат
xi
факторов
xi
(продолжение)
 Если
все факторы возрастут на
один и тот же процент, прирост
выпуска составит тот же
процент.
(продолжение)
С
учётом выполнения a1+a2=1
запишем a1=-a2+1, (a1=1-a2) и
тогда
1 2
0 1
ya x
2
 x2
(продолжение)
 Изокванта
этой функции
описывается уравнением
1 2
0 1
yc  a x
2
x2
2
 x2
yc

a0 x11 2

(продолжение)

где
y c  сonst
2
x2
y c  2 1

x1
a0

1
 y c  2 1   2
x 2   x1 
 a0

(продолжение)

Получим функцию

На изокванте y
 yc выполняется утверждение
lim f ( x1 )  0 lim f ( x1 )  
x1 

x2  f ( x1 )
x1 0
Т.е. изокванты имеют асимптотами оси
координат.
Изокванты показывают
как изменяется сочетание
ресурсов, необходимых для
получения некоторых
фиксированных объёмов
продукции. Стремление к
координатным осям изоквант
lim f ( x1 )  
x 0
lim f ( x1 )  0
x  
(продолжение)
 означает,
что любое данное
количество продукта y=yc const может быть произведено
при сколь угодно малом
количестве одного из ресурсов,
был бы в достаточном
количестве другой.
Предельная норма замещения.

Если x1 - затраты труда, а x2- ОФ, то предельная
норма замещения γ по абсолютной величине
равна частному от деления предельной
производительности труда на предельную
фондоотдачу
dx2
f / x1
 

dx1
f / x2

Знак (-) означает, что при фиксированном
объёме производства, увеличению одного
ресурса соответствует уменьшение другого, и
наоборот.
Рассчитаем для функции
величину γ
y
2
1 1
 a 1 x1  x 2
x1
1
y  a 0 x1  x 2
y
 2 1
1
 a 1 x1  x 2
x 2
1 1  2
a1 x1 x2
1 x2
   1



 2 1
 2 x1
ax1  2 x2
1 x2
  
 2 x1
2
(продолжение)
или с учетом
 2  1  1
1 x2
 

1   1 x1
(продолжение)
 Видно,
что предельная норма
замещения ресурсов γ для
функции К-Д зависит не только
от параметров a1 и a2, но и от
соотношения объёмов ресурсов
x2/x1 (x2/x1 - средняя норма
замещения ресурсов или
фондовооружённость).

Предельная норма замещения ресурсов
1 x2
 

 2 x1
является линейной функцией
фондовооружённости x2/x1 и:
1) при пропорциональном росте факторов
производства не изменяется
2) чем выше фондовооружённость труда
x2/x1, тем выше и норма замещения
затрат живого труда основными фондами.
Эластичность замещения ресурсов.

Эластичность замещения ресурсов
определяется как предел относительных
приращений фондовооружённости труда
 x 2 / x1 


 x 2 / x1 
и предельной нормы замещения ресурсов
∆γ/γ.
x2 / x1  dx2 / x1 d dx2 / x1

lim





 0 x / x

x2 / x1

d
x2 / x1
2
1

На изокванте фондовооружённость x2/x1
как функция предельной нормы
замещения имеет вид
x2
2
  
x1
1
 2 

   
x2 / x1  1 


т.к.
'
dx 2 / x1   2 
2
  
   
d
1
 1 
(продолжение)
и
то
x2
2
 
x1
1


2
 
1
 2 
2
     
1
 1 
 1
 2 
     1
 1 

Эластичность замещения ресурсов для
ПФ
1
2
y  ax1  x2
постоянна и равна единице, и показывает,
что изменению фондовооружённости
труда на 1% соответствует изменению
предельной нормы замещения тоже на
1%.