Эластичность производственной функции, отдача от масштаба

XIII. Ýëàñòè÷íîñòü ïðîèçâîäñòâåííîé ôóíêöèè
PV3 =
T
∫ 100e − ρ tdt = 100 ⋅
0
639
1 − e−ρ
.
ρ
Ïîäñòàâëÿÿ ñþäà çíà÷åíèå ρ = ln 1.5 ≈ 0.4055 ãîä –1 , ïîëó÷èì
PV3 = 82.21 ìëí ð.
 ðàññìîòðåííîì ïðèìåðå â êà÷åñòâå åäèíèöû âðåìåíè âûáðàí ãîä.
Ðåçóëüòàò íå èçìåíèòñÿ, åñëè âûáðàòü ëþáóþ äðóãóþ åäèíèöó. Åñëè áû
ìû âûáðàëè êâàðòàë, íàì ïðèøëîñü áû â ñîîòâåòñòâóþùèõ åäèíèöàõ
âûðàçèòü è èíòåíñèâíîñòü ïîòîêà: v (t) = 25 ìëí ð./êâ., è ñèëó ðîñòà:
ρ = 0.4055 4 = 0.1014 êâ–1 (çàìåòèì, ÷òî åäèíèöà ñèëû ðîñòà èìååò
ðàçìåðíîñòü, è ïåðåñ÷åò ýòîé âåëè÷èíû èç îäíèõ åäèíèö â äðóãèå
ïðîèçâîäèòñÿ îáû÷íûì îáðàçîì). Èòàê,
4
PV3 = ∫ 25e−ρ tdt = 25
0
1 − e−4ρ
= 82.21 ìëí ð.
ρ
Ïåðåõîä îò ãîäè÷íîãî ïåðèîäà ê êâàðòàëüíîìó èçìåíÿë âðåìåíí›å
õàðàêòåðèñòèêè ïîòîêà: â ïåðâîì ñëó÷àå ðàññ÷èòûâàëàñü ñåãîäíÿøíÿÿ
öåííîñòü ñóììû, îäíîêðàòíî ïîëó÷àåìîé â êîíöå ãîäà, âî âòîðîì —
÷åòûðåõêðàòíîãî ïîñòóïëåíèÿ âûðó÷êè â êîíöå êàæäîãî êâàðòàëà.
Ïåðåõîä îò îäíîé åäèíèöû âðåìåíè ê äðóãîé â íåïðåðûâíîé ìîäåëè
îñòàâëÿåò ñâîéñòâà ïîòîêà íåèçìåííûìè: â îáîèõ ñëó÷àÿõ ãîäîâàÿ ñóììà
ðàñïðåäåëåíà íà èíòåðâàëå ïðîäîëæèòåëüíîñòüþ â ãîä ñ ïîñòîÿííîé
èíòåíñèâíîñòüþ.
XIII. Ýëàñòè÷íîñòü ïðîèçâîäñòâåííîé ôóíêöèè,
îòäà÷à îò ìàñøòàáà è ðàñïðåäåëåíèå äîõîäà
 íàñòîÿùåì ðàçäåëå áóäåò èçëîæåíà è äîêàçàíà îäíà âàæíàÿ òåîðåìà, îòíîñÿùàÿñÿ ê ðàñïðåäåëåíèþ äîõîäà. Íî ýòî áóäåò â ñàìîì
êîíöå. Ïðåæäå ïðèäåòñÿ îáñóäèòü íåêîòîðûå ñâîéñòâà ïðîèçâîäñòâåííûõ ôóíêöèé è ôóíêöèé çàòðàò.
Ïîïóòíî ó ÷èòàòåëÿ áóäåò âîçìîæíîñòü óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî
ýëàñòè÷íîñòè ðàçëè÷íûõ çàâèñèìîñòåé — íå òîëüêî ñðåäñòâî ýìïèðè÷åñêîãî îïèñàíèÿ íàáëþäàåìûõ ÿâëåíèé, íî è âåñüìà ýôôåêòèâíûé
èíñòðóìåíò òåîðåòè÷åñêîãî àíàëèçà.
Ïåðåä ÷òåíèåì íàñòîÿùåé ñòàòüè, âîçìîæíî, ïîëåçíî áóäåò âñïîìíèòü îïðåäåëåíèå è îñíîâíûå ñâîéñòâà ýëàñòè÷íîñòåé — îíè èçëîæåíû
â Ìàòåìàòè÷åñêîì ïðèëîæåíèè II.
640
Ìàòåìàòè÷åñêîå ïðèëîæåíèå
Äâå îòäà÷è îò ìàñøòàáà
Ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðîèçâîäñòâåííàÿ ôóíêöèÿ ôèðìû
q = f (x1, x2, ..., xn ),
ñâÿçûâàþùàÿ îáúåì ïðîèçâîäñòâà ïðîäóêòà q ñ îáúåìàìè èñïîëüçîâàíèÿ ðåñóðñîâ x1, x2, ..., xn. Ïîä ÷àñòíîé ýëàñòè÷íîñòüþ ïðîèçâîäñòâåííîé
ôóíêöèè ïî îáúåìó i-òîãî ðåñóðñà ïîíèìàåòñÿ âåëè÷èíà
ei =
ä f xi
⋅ .
ä xi f
Èçìåíåíèå îáúåìà âûïóñêà ïðè ïðîïîðöèîíàëüíîì èçìåíåíèè
îáúåìîâ èñïîëüçîâàíèÿ âñåõ ðåñóðñîâ õàðàêòåðèçóåòñÿ îáùåé ýëàñòè÷íîñòüþ ïðîèçâîäñòâåííîé ôóíêöèè
E=
n
ei .
∑
i =1
Ïðè èçëîæåíèè òåîðèè ïðîèçâîäñòâà â ÷àñòè III ìû ôàêòè÷åñêè
ïîëüçîâàëèñü äâóìÿ ðàçëè÷íûìè ïîíÿòèÿìè îòäà÷è îò ìàñøòàáà.
Ãîâîðÿ î ïðîèçâîäñòâåííîé ôóíêöèè, ìû ñâÿçûâàëè ìàñøòàá
ïðîèçâîäñòâà ñ èñïîëüçîâàíèåì âñåõ ðåñóðñîâ ïðè ñîõðàíåíèè ïðîïîðöèé ìåæäó íèìè: íàïðèìåð, «óâåëè÷èòü ìàñøòàá â äâà ðàçà» îçíà÷àëî
óâåëè÷èòü èñïîëüçîâàíèå êàæäîãî ðåñóðñà âäâîå. Åñëè ïðè ýòîì âûïóñê
ïðîäóêöèè âîçðàñòàåò áîëåå ÷åì â äâà ðàçà, ãîâîðÿò î âîçðàñòàþùåé
îòäà÷å îò ìàñøòàáà, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå — îá óáûâàþùåé, à åñëè
âûïóñê óâåëè÷èòñÿ ðîâíî â äâà ðàçà, òî î ïîñòîÿííîé îòäà÷å îò ìàñøòàáà.
Èìåííî ýòî ñâîéñòâî ïðîèçâîäñòâåííîé ôóíêöèè îòðàæàåò îáùàÿ ýëàñòè÷íîñòü: îòäà÷ó îò ìàñøòàáà íàçûâàþò âîçðàñòàþùåé, ïîñòîÿííîé èëè
óáûâàþùåé â çàâèñèìîñòè îò çíàêà ñîîòíîøåíèÿ
>
E = 1.
<
(1)
Îïðåäåëÿåìóþ òàêèì îáðàçîì îòäà÷ó îò ìàñøòàáà áóäåì íàçûâàòü
îòäà÷åé îò ìàñøòàáà â ñìûñëå ïðîèçâîäñòâåííîé ôóíêöèè (ÏÔ-îòäà÷åé îò ìàñøòàáà).
Äðóãîå îïðåäåëåíèå ñâÿçàíî ñ ôóíêöèåé çàòðàò äëèòåëüíîãî ïåðèîäà.
Åñëè ñðåäíèå çàòðàòû LAC ñ ðîñòîì îáúåìà âûïóñêà óáûâàþò, òî ãîâîðÿò
î âîçðàñòàþùåé îòäà÷å îò ìàñøòàáà, à åñëè âîçðàñòàþò — îá óáûâàþùåé.
(Ïîñêîëüêó â äàëüíåéøåì ðå÷ü áóäåò èäòè òîëüêî î çàòðàòàõ äëèòåëüíîãî
ïåðèîäà, áóêâó L â îáîçíà÷åíèè çàòðàòíûõ ôóíêöèé ìû áóäåì îïóñêàòü).
Îòäà÷ó îò ìàñøòàáà, ñîîòâåòñòâóþùóþ ýòîìó îïðåäåëåíèþ, áóäåì
íàçûâàòü îòäà÷åé îò ìàñøòàáà â ñìûñëå ôóíêöèè çàòðàò (ÔÇ-îòäà÷åé
îò ìàñøòàáà). ÔÇ-îòäà÷à îò ìàñøòàáà ñîîòâåòñòâåííî ñâÿçàíà ñ ýëàñòè÷íîñòüþ ôóíêöèè çàòðàò.
XIII. Ýëàñòè÷íîñòü ïðîèçâîäñòâåííîé ôóíêöèè
641
Ôóíêöèÿ îáùèõ çàòðàò TC(q) èìååò åäèíñòâåííûé àðãóìåíò —
îáúåì âûïóñêà, ïîýòîìó ìîæíî ãîâîðèòü îá åå ýëàñòè÷íîñòè, íå óòî÷íÿÿ,
ïî êàêîìó àðãóìåíòó. Ñðåäíèå çàòðàòû îïðåäåëÿþòñÿ êàê îòíîøåíèå
AC(q) = TC(q) q . Èç îáùèõ ñâîéñòâ ýëàñòè÷íîñòè ñëåäóåò, ÷òî
ýëàñòè÷íîñòü îòíîøåíèÿ ðàâíà ðàçíîñòè ýëàñòè÷íîñòåé ÷èñëèòåëÿ è
çíàìåíàòåëÿ; íî Εq [q ] = 1 , òàê ÷òî
Ε [ AC ] = Ε [TC ] − 1.
Âîçðàñòàþùàÿ ôóíêöèÿ èìååò ïîëîæèòåëüíóþ ýëàñòè÷íîñòü, óáûâàþùàÿ — îòðèöàòåëüíóþ. Òàêèì îáðàçîì, çíàê ñîîòíîøåíèÿ
<
>
Ε[TC] = 1
(2)
ïîêàçûâàåò, áóäåò ëè ÔÇ-îòäà÷à îò ìàñøòàáà âîçðàñòàþùåé, ïîñòîÿííîé
èëè óáûâàþùåé ñîîòâåòñòâåííî.
Íàïîìíèì, ÷òî ýëàñòè÷íîñòü ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíîé õàðàêòåðèñòèêîé
ôóíêöèè: åå çíà÷åíèÿ èçìåíÿþòñÿ ïðè ïåðåõîäå îò îäíîãî çíà÷åíèÿ
àðãóìåíòà ê äðóãîìó (èëè îò îäíîé êîìáèíàöèè àðãóìåíòîâ, åñëè èõ
íåñêîëüêî, ê äðóãîé). Ïðè îáñóæäåíèè çàòðàò äëèòåëüíîãî ïåðèîäà ìû
ðàññìàòðèâàëè êàê òèïè÷íûé U-îáðàçíûé õàðàêòåð èçìåíåíèÿ ñðåäíèõ
çàòðàò. Ïðè ìàëûõ çíà÷åíèÿõ q ôóíêöèÿ AC óáûâàëà, çàòåì ïðîõîäèëà
ñâîå ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå, à ïðè áîëüøèõ q — âîçðàñòàëà. Ýòî îçíà÷àåò,
÷òî ìàëûì çíà÷åíèÿì q îòâå÷àþò çíà÷åíèÿ Ε [TC ] < 1, ïðè áîëüøèõ —
èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî Ε [TC ] > 1. Ýôôåêòèâíîìó ðàçìåðó ôèðìû
ñîîòâåòñòâóåò ìèíèìóì AC, ò. å. òàêîé îáúåì ïðîèçâîäñòâà, ïðè êîòîðîì
Ε [TC ] = 1.
Îäíà îòäà÷à îò ìàñøòàáà
 ýòîì ïóíêòå ìû ðàññìîòðèì ñâÿçü ìåæäó ýëàñòè÷íîñòÿìè ïðîèçâîäñòâåííîé ôóíêöèè è ôóíêöèè çàòðàò. Èç âûïîëíåííîãî àíàëèçà áóäåò,
â ÷àñòíîñòè, ñëåäîâàòü, ÷òî îáà ïðèâåäåííûõ âûøå îïðåäåëåíèÿ îòäà÷è
îò ìàñøòàáà ýêâèâàëåíòíû, ÷òî ïîçâîëèò íàì â äàëüíåéøåì ãîâîðèòü
îá îòäà÷å îò ìàñøòàáà, íå óòî÷íÿÿ, â êàêîì ñìûñëå ìû óïîòðåáëÿåì
ýòîò òåðìèí.
Ðàññìîòðèì âíà÷àëå ñëó÷àé, êîãäà ïðîèçâîäñòâî ïîòðåáëÿåò åäèíñòâåííûé ðåñóðñ â êîëè÷åñòâå x, òàê ÷òî ïðîèçâîäñòâåííàÿ ôóíêöèÿ çàâèñèò
îò îäíîãî àðãóìåíòà: q = f (x). Ñ÷èòàÿ öåíó ðåñóðñà ïîñòîÿííîé, ìîæíî
äëÿ ïîòðåáëÿåìîãî êîëè÷åñòâà ðåñóðñà èñïîëüçîâàòü íå íàòóðàëüíîå, à
äåíåæíîå âûðàæåíèå; â òàêîì ñëó÷àå ïðîèçâîäñòâåííóþ ôóíêöèþ ìîæíî
ïðåäñòàâèòü â âèäå q = f * ( px) = f * (C), ãäå p — öåíà ðåñóðñà; C — çàòðàòû.
Ôóíêöèÿ çàòðàò C = TC (q) ÿâëÿåòñÿ îáðàòíîé ïî îòíîøåíèþ ê f *,
è â ñèëó èçâåñòíîãî ñâîéñòâà ýëàñòè÷íîñòè Εq [TC ] = 1 ΕC [f * ] . Òàê êàê
642
Ìàòåìàòè÷åñêîå ïðèëîæåíèå
ôóíêöèÿ f * îòëè÷àåòñÿ îò f ëèøü ïîñòîÿííûì ìíîæèòåëåì p ïðè
àðãóìåíòå, ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
1
Εq [TC ] =
.
Εx [f ]
Òàê êàê x — åäèíñòâåííûé ïîòðåáëÿåìûé ðåñóðñ, ýëàñòè÷íîñòü
Εx [f ] — ýòî ïîëíàÿ ýëàñòè÷íîñòü ïðîèçâîäñòâåííîé ôóíêöèè, êîòîðóþ
ìû îáîçíà÷àåì áóêâîé E. Îáîçíà÷åíèå åäèíñòâåííîãî àðãóìåíòà ôóíêöèè
ìîæíî îïóñòèòü, òàê ÷òî äëÿ ñëó÷àÿ åäèíñòâåííîãî ðåñóðñà ìû ïîëó÷èëè
óòâåðæäåíèå:
Ε [TC] = 1 .
E
Òåïåðü ïðåäñòîèò äîêàçàòü, ÷òî ýòî ðàâåíñòâî ñïðàâåäëèâî è â ñëó÷àå
ïðîèçâîëüíîãî ÷èñëà ðåñóðñîâ.
Ïðåæäå âñåãî çàìåòèì, ÷òî ýëàñòè÷íîñòü îáùèõ çàòðàò óäîâëåòâîðÿåò
ñîîòíîøåíèþ
Ε [TC ] =
dTC (q )
MC (q )
q
⋅
=
.
TC (q )
dq
AC (q )
(3)
Âñïîìíèì, ÷òî çíà÷åíèåì ôóíêöèè çàòðàò äëÿ êàæäîãî îáúåìà
âûïóñêà q ÿâëÿåòñÿ íàèìåíüøàÿ âåëè÷èíà çàòðàò, ïîçâîëÿþùàÿ
ïðîèçâîäèòü ïðîäóêò â êîëè÷åñòâå q. Èíûìè ñëîâàìè, çíà÷åíèå TC (q)
åñòü ðåøåíèå çàäà÷è
n
TC (q) = min ∑ pi xi
i =1
ïðè óñëîâèè
f (x1, x2, ..., xn ) = q .
Èìåííî ýòîìó òðåáîâàíèþ ïîä÷èíÿþòñÿ âûáèðàåìûå ôèðìîé êîìáèíàöèè ðåñóðñîâ, îïðåäåëÿþùèå ýêîíîìè÷åñêè ýôôåêòèâíûå ñïîñîáû
ïðîèçâîäñòâà.
Ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà äëÿ ýòîé çàäà÷è èìååò âèä
L ( x1, x2 , ..., xn ; λ ) =
n
∑ pi xi − λ[f (x1, x2, ..., xn ) − q ],
i =1
ãäå l — ìíîæèòåëü Ëàãðàíæà (ñì. Ìàòåìàòè÷åñêîå ïðèëîæåíèå V).
Çàìåòèì, ÷òî
dTC(q )
= λ.
dq
XIII. Ýëàñòè÷íîñòü ïðîèçâîäñòâåííîé ôóíêöèè
643
Äèôôåðåíöèðóÿ ôóíêöèþ Ëàãðàíæà ïî âñåì xi, íàéäåì óñëîâèÿ
ìèíèìóìà:
äf
pi − λ
= 0, i = 1, 2, K , n.
äxi
Èñïîëüçóÿ óñëîâèÿ ìèíèìóìà, ïðåäñòàâèì çàòðàòû â âèäå
TC(q ) =
n
äf
∑ λ ⋅ äxi ⋅ xi
i =1
n
= MC(q ) ⋅ ∑
i =1
äf
⋅x.
äxi i
Ðàçäåëèâ îáå ÷àñòè íà q, ïîëó÷èì
AC(q) =
n
n
TC(q)
x äf
= MC(q) ⋅ ∑ i ⋅
= MC(q ) ⋅ ∑ ei = MC(q ) ⋅ E.
q
q äxi
i =1
i =1
Ñ ó÷åòîì ðàâåíñòâà (3) ïîëó÷àåì
Ε [TC ] =
MC (q )
1
=
.
AC (q )
E
Òàêèì îáðàçîì, äîêàçàíà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
ÒÅÎÐÅÌÀ. Ïóñòü ïðè ôèêñèðîâàííûõ öåíàõ ðåñóðñîâ âåêòîð
x = (x1, x2, K , xn ) îïèñûâàåò ýêîíîìè÷åñêè ýôôåêòèâíûé âàðèàíò
ïðîèçâîäñòâà, q — îáúåì ïðîäóêòà ïî ýòîìó âàðèàíòó. Òîãäà
Ε [TC] = 1 ,
E
(4)
ãäå Ε [TC ] è E — çíà÷åíèÿ ýëàñòè÷íîñòåé â òî÷êàõ q è X ñîîòâåòñòâåííî.
Ñëåäñòâèåì ðàññìîòðåííîé òåîðåìû ÿâëÿåòñÿ ýêâèâàëåíòíîñòü
äâóõ ðàíåå ââåäåííûõ îïðåäåëåíèé îòäà÷è îò ìàñøòàáà. Êðèòåðèàëüíûå ñîîòíîøåíèÿ (1) äëÿ ÏÔ-îòäà÷è è (2) äëÿ ÔÇ-îòäà÷è ðàâíîñèëüíû.
Çíà÷åíèÿ ôóíêöèè TC(q) — çàòðàòû, ñîîòâåòñòâóþùèå ýêîíîìè÷åñêè ýôôåêòèâíîìó âàðèàíòó ïðîèçâîäñòâà, îáåñïå÷èâàþùåìó îáúåì
ïðîäóêòà q. Âñå âàðèàíòû, ýêîíîìè÷åñêè ýôôåêòèâíûå ïðè çàäàííûõ
öåíàõ ðåñóðñîâ, â ïðîñòðàíñòâå ðåñóðñîâ ïðåäñòàâëåíû òî÷êàìè ëèíèè
ðîñòà ôèðìû — èçîêëèíû ïðîèçâîäñòâåííîé ôóíêöèè, ñîîòâåòñòâóþùåé
äàííîìó ñîîòíîøåíèþ öåí. Åñëè êðèâàÿ AC èìååò U-îáðàçíóþ ôîðìó,
òî, êàê ñëåäóåò èç ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ, íà áëèæíåì (îò íà÷àëà
êîîðäèíàò) ó÷àñòêå èçîêëèíû èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî E > 1, à íà
äàëüíåì — íåðàâåíñòâî E < 1.
644
Ìàòåìàòè÷åñêîå ïðèëîæåíèå
Åñëè äîïóñòèòü, ÷òî ïðè ëþáîé êîìáèíàöèè öåí ðåñóðñîâ
êðèâàÿ AC èìååò U-îáðàçíóþ
ôîðìó, òî âñå ïðîñòðàíñòâî ðåñóðñîâ ðàçáèâàåòñÿ íà äâå îáëàñòè, ðàçäåëåííûå îáùåé ãðàíèöåé (íà ïëîñêîñòè — êðèâîé),
íà êîòîðîé âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî Ε [f ] = 1. Íàçîâåì ýòó ãðàíèöó óíèýëîé ïðîèçâîäñòâåííîé
ôóíêöèè (îò ëàò. unus — îäèí
è ñëîâà «ýëàñòè÷íîñòü»). Íà
ðèñóíêå îíà îáîçíà÷åíà áóêâîé U. Ïðè ñäåëàííîì äîïóùåÓíèýëà (U) è ëèíèè ðîñòà.
íèè óíèýëà ïåðåñåêàåòñÿ ñî âñåìè èçîêëèíàìè. Ýôôåêòèâíûé ìàñøòàá ôèðìû îïðåäåëÿåòñÿ òî÷êîé
ïåðåñå÷åíèÿ ëèíèè ðîñòà, îòâå÷àþùåé äàííîìó ñîîòíîøåíèþ öåí ðåñóðñîâ, ñ óíèýëîé.
Ñëåäñòâèå äëÿ òåîðèè ðàñïðåäåëåíèÿ
Ðàññìîòðèì ôèðìó, ìàêñèìèçèðóþùóþ ïðèáûëü ïðè ïîñòîÿííûõ
öåíàõ ïðîäóêòà è ðåñóðñîâ è ïðè ýòîì èìåþùóþ ýôôåêòèâíûé ðàçìåð,
òàê ÷òî äëÿ ýòîé ôèðìû Ε [TC ] = 1. Êàê ïîêàçûâàåò ðàâåíñòâî (4), äëÿ
íåå âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå Ε [f ] = 1, ò. å.
n
x
äf
∑ qi ⋅ äxi
= 1.
i =1
(5)
Ïóñòü ïðîèçâîäèìûé ôèðìîé ïðîäóêò ïðîäàåòñÿ íà ðûíêå ïî
öåíå P; äëÿ âûðó÷êè ôèðìû èñïîëüçóåì ñòàíäàðòíîå îáîçíà÷åíèå
TR = P ⋅ q . Ïî÷ëåííî óìíîæàÿ ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî íà P ⋅ q, ïîëó÷èì
n
äf
∑  P ⋅ äxi  ⋅ xi
= TR .
i =1
(6)
Âûðàæåíèå â ñêîáêàõ — ïðåäåëüíàÿ îòäà÷à i-òîãî ðåñóðñà ïðè öåíå
ïðîäóêòà, íå çàâèñÿùåé îò âûïóñêà; îíà ðàâíà öåíå ðåñóðñà pi, åñëè
ïîñëåäíÿÿ íå çàâèñèò îò îáúåìà èñïîëüçîâàíèÿ ðåñóðñà. Èòàê, ìû ïðèøëè
ê êëàññè÷åñêîìó óòâåðæäåíèþ òåîðèè ôóíêöèîíàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
äîõîäà — óòâåðæäåíèþ îá èñ÷åðïàåìîñòè äîõîäà:
n
pi xi = TR .
∑
i =1
XIII. Ýëàñòè÷íîñòü ïðîèçâîäñòâåííîé ôóíêöèè
645
Ñìûñë ýòîãî ðàâåíñòâà â òîì, ÷òî âûðó÷êà ôèðìû â òî÷íîñòè ðàâíà
äîõîäàì, êîòîðûå ïîëó÷àþò âëàäåëüöû ôàêòîðîâ, èñïîëüçóåìûõ ôèðìîé.
Ê ýòîìó æå óòâåðæäåíèþ ïðèâîäèò äîïóùåíèå î òîì, ÷òî ïðîèçâîäñòâåííàÿ ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíîé ôóíêöèåé ïåðâîé ñòåïåíè, èëè
ëèíåéíî îäíîðîäíîé, è ïîòîìó óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ Ýéëåðà:
n
äf
xi ⋅
∑
ä xi
i =1
= f.
Óìíîæàÿ îáå ÷àñòè ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà íà P — öåíó ïðîäóêòà, ìû
ñíîâà ïðèäåì ê óòâåðæäåíèþ (6).
Äîïóùåíèå î ëèíåéíîé îäíîðîäíîñòè ïðîèçâîäñòâåííîé ôóíêöèè
ÿâëÿåòñÿ ñëèøêîì ñèëüíûì è ïðîòèâîðå÷èò íåêîòîðûì åñòåñòâåííûì
ïðåäñòàâëåíèÿì î õàðàêòåðèñòèêàõ ïðîèçâîäñòâà. Îäíîðîäíîñòü — ãëîáàëüíîå ñâîéñòâî ôóíêöèè. Ïîëíàÿ ýëàñòè÷íîñòü ëèíåéíî îäíîðîäíîé
ïðîèçâîäñòâåííîé ôóíêöèè ðàâíà 1 ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ àðãóìåíòîâ.
Èç ýòîãî â ñâîþ î÷åðåäü ñëåäîâàëî áû, ÷òî ñðåäíèå çàòðàòû íå çàâèñÿò
îò îáúåìà âûïóñêà,— ëþáîé îáúåì áûë áû ðàâíî ýôôåêòèâíûì.
 îòëè÷èå îò ýòîãî ïðèâåäåííûé âûøå âûâîä èñõîäèò èç äîïóùåíèé,
êîòîðûå âûïîëíÿþòñÿ äëÿ ôèðì â óñëîâèÿõ êîíêóðåíòíîãî ðàâíîâåñèÿ
äëèòåëüíîãî ïåðèîäà íà òîâàðíûõ è ôàêòîðíûõ ðûíêàõ. Åñëè òàêîâî
ñîñòîÿíèå âñåõ ðûíêîâ â ñòðàíå, òî ê âûâîäó îá èñ÷åðïàåìîñòè
íàöèîíàëüíîãî äîõîäà ìîæíî ïðèéòè áåç äîïóùåíèÿ î ëèíåéíîé
îäíîðîäíîñòè ïðîèçâîäñòâåííîé ôóíêöèè.
Óïðàæíåíèÿ
1. Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå ýëàñòè÷íîñòü ïðîèçâîäñòâåííîé ôóíêöèè â êîðîòêîì
ïåðèîäå, õàðàêòåðèçóþùóþ èçìåíåíèå îáúåìà ïðîäóêòà ïðè ïðîïîðöèîíàëüíîì
èçìåíåíèè ïîòðåáëåíèÿ ïåðåìåííûõ ðåñóðñîâ; îáîçíà÷èì åå Es. Ïîêàæèòå, ÷òî
Es < E.
2. Äîêàæèòå òåîðåìó — àíàëîã óòâåðæäåíèÿ (4) äëÿ êîðîòêîãî ïåðèîäà:
Ε [VC] =
1
.
Es
3. Â êîðîòêîì ïåðèîäå ïðè ñíèæåíèè öåíû íèæå íåêîòîðîãî óðîâíÿ ôèðìà
ïðåêðàùàåò ïðîèçâîäñòâî. Ñîîòâåòñòâóþùàÿ òî÷êà êðèâîé ïðåäëîæåíèÿ ïîëó÷èëà
íàçâàíèå òî÷êè îñòàíîâêè ïðîèçâîäñòâà (shutdown point).1  ýòîé òî÷êå
ïåðåñåêàþòñÿ êðèâûå AVC è SMC.
Äîêàæèòå, ÷òî ïðè ïîòðåáëåíèè ðåñóðñîâ, ñîîòâåòñòâóþùåì òî÷êå îñòàíîâêè
ïðîèçâîäñòâà, âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî E > 1.
1 Ýòîò âîïðîñ îáñóæäàëñÿ â ëåêöèè 25, õîòÿ òåðìèí «òî÷êà îñòàíîâêè ïðîèçâîäñòâà» íå èñïîëüçîâàëñÿ.
646
Ìàòåìàòè÷åñêîå ïðèëîæåíèå
4. Îáîçíà÷èì q * îáúåì ïðîèçâîäñòâà, ñîîòâåòñòâóþùèé ýôôåêòèâíîìó ìàñøòàáó
ôèðìû. Åñëè q ≠ q * , ðàâåíñòâî (6) îêàæåòñÿ íàðóøåííûì. Êàêîé çíàê íåðàâåíñòâà
ñëåäóåò ïîñòàâèòü íà ìåñòî çíàêà ðàâåíñòâà: à) ïðè q < q * ; á) ïðè q > q * ? Ïðèâåäèòå
ýêîíîìè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ.