Раздел 2. Алгебра высказываний

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ГУМАНИТАРНО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра высшей математики
Программа по дисциплине
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ
Направление подготовки: 050100.62 – Педагогическое образование
Профили подготовки: Физика. Информатика и ИКТ
Квалификация (степень) выпускника: бакалавр педагогического образования
Согласовано:
Учебно-методическое управление
«____» ________________ 2012 г.
Рекомендовано кафедрой:
Протокол №___«___» _____ 2012 г.
Зав. кафедрой высшей математики,
проф., канд. физ.-мат. наук Малых А.Е.
_________________________________
подпись
Пермь
ПГГПУ 2012
1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
Дисциплина является фундаментальной при обучении работе с большими
объемами и сложной структурой информации. Широкое применение компьютеров практически во всех сферах человеческой деятельности выдвигает на
первый план проблему подготовки высококвалифицированных специалистов в
области разработки алгоритмов получения, обработки, хранения и подачи информации, их реализации и эксплуатации.
Целью курса является знакомство с формализацией математического
языка, акцентируется внимание на понимание устройства и принципов работы
современных компьютеров, воспитание культуры у студентов логических рассуждений, привитие навыков работы со сложными логическими конструкциями, формирование у студентов мотивации к самообразованию за счет активизации самостоятельной познавательной деятельности.
Дисциплина включает в себя два основных раздела: «Алгебра высказываний» и «Логика предикатов». В вводном разделе программы рассматриваются
основные этапы становления математической логики как особой математической дисциплины, освещается ее роль в решении проблем обоснования математики, в развитии современной вычислительной техники.
В разделе «Алгебра высказываний» изучаются пропозициональные формулы, их истинностные значения, тождественно ложные и выполнимые формулы, равносильность формул, приведение формул с помощью равносильных
преобразований к нормальным формам. Овладение техникой алгебры высказываний должно позволить студентам решать алгебраическим методом логические задачи, в частности проверять правильность некоторых рассуждений, а
также составлять и упрощать релейно-контактные схемы с заданными условиями работы.
Пример формальной аксиоматической системы рассматривается в разделе
«Исчисление высказываний». Особое внимание в этом разделе следует уделить
доказательству выводимости в построенном исчислении формул (теорем).
В разделе «Алгебра предикатов» вводится понятие предиката, определяются операции навешивания кванторов общности и существования, обобщаются понятия формулы и ее интерпретации. Возможности языка алгебры предикатов иллюстрируются разнообразными примерами при рассмотрении арифметической и геометрической моделей.
Формализованное исчисление предикатов рассматривается как расширение исчисления высказываний.
2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ
Раздел 1. Введение
Тема 1. Введение.
Дедуктивный характер математики. Предмет математической логики.
Роль математической логики в вопросах обоснования математики. Интенсивное
развитие математической логики в настоящее время в связи с созданием и применением автоматических систем управления. Метод формализации теории.
Раздел 2. Алгебра высказываний
Тема 2. Высказывания.
Высказывания. Логические операции над высказываниями. Понятие формулы алгебры высказываний. Таблица истинности формулы. Равносильность
формул алгебры высказываний. Равносильные преобразования формул. Тавтологии – законы логики высказываний. Законы контрапозиции, исключенного
третьего, двойного отрицания, приведения к абсурду и др.
Тема 3. Нормальные формы.
Дизъюнктивная нормальная форма, конъюнктивная нормальная форма.
Их построение табличным и аналитическим (с помощью равносильностей) способами. Совершенные нормальные формы (СНФ). Теорема существования и
единственности СНФ.
Тема 4. Применение алгебры высказываний к анализу рассуждений (прямая и обратная теоремы, противоположная и обратная противоположной теоремы, методы математических доказательств). Применение алгебры высказываний к описанию релейно-контактных схем.
Раздел 3. Исчисления высказываний
Тема 5. Аксиоматическое построение исчисления высказываний.
Аксиомы и правила вывода. Доказуемость (выводимость). Вывод формул
из гипотез. Примеры. Свойства выводимости.
Тема 6. Теорема дедукции. Производные правила вывода.
Теорема дедукции. Производные правила вывода введения и удаления
логических связок: конъюнкции, дизъюнкции, двойного отрицания, импликации. Законы обратной и прямой контрапозиции. Применение производных правил вывода к доказательству теорем.
Тема 7. Непротиворечивость, полнота, разрешимость исчисления высказываний. Независимость аксиом.
Раздел 4. Логика предикатов
Тема 8. Предикаты (отношения) на множестве.
Сигнатура. Формула логики предикатов данной сигнатуры. Кванторы.
Свободные и связанные переменные.
Тема 9. Алгебраическая система (модель) данной сигнатуры
Алгебраическая система (модель) данной сигнатуры. Определение истинности формулы логики предикатов данной сигнатуры на модели той же сигнатуры. Применение языка логики предикатов для записи математических предложений, определений, построение отрицаний предложений.
Тема 10. Общезначимость и выполнимость формул логики предикатов.
Общезначимость и выполнимость формул логики предикатов. Свойства. Проблема разрешения для общезначимости и выполнимости. Неразрешимость ее в
общем случае. Алгоритмы распознавания общезначимости и выполнимости
формул логики предикатов в частных случаях. Случай исчисления с одноместными предикатами. Метод Генцена. Равносильные формулы логики предикатов. Предваренная нормальная форма.
Раздел 5. Исчисление предикатов
Тема 11. Построение ИП данной сигнатуры.
Язык первого порядка. Термы и формулы. Логические и специальные аксиомы. Правила вывода. Вывод формул. Примеры выводимых формул. Непротиворечивость исчисления предикатов.
Теорема Геделя о полноте исчисления предикатов.
3. ТЕМЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
Раздел 2. Алгебра высказываний
Тема 2.
Высказывания. Формулы алгебры высказываний.
Цель занятия: рассмотреть понятие высказывания; логические операции над высказываниями; понятие формулы; значение истинности формулы;
методы определения истинности формулы: с помощью определения операций
и построения таблиц истинности.
Тема 3.
Нормальные формы.
Цель занятия: рассмотреть нормальные (ДНФ и КНФ) и совершенные
(СДНФ, СКНФ) формы формул алгебры высказываний. Способы их построения.
Тема 4.
Применение алгебры высказываний.
Цель занятия: изучить виды теорем (прямая и обратная теоремы, противоположная и обратная противоположной теоремы, методы математических
доказательств), рассмотреть применение алгебры высказываний к анализу рассуждений. Рассмотреть применение алгебры высказываний к описанию, упрощение и синтезу релейно-контактных схем.
Раздел 3. Исчисление высказываний
Тема 5.
Аксиоматическое построение исчисления высказываний.
Цель занятия: выполнить построение исчисления высказываний.
Тема 6.
Теорема дедукции. Производные правила вывода.
Цель занятия: рассмотреть применение производных правил вывода
(введения и удаления логических связок: конъюнкции, дизъюнкции, двойного
отрицания, импликации; законов обратной и прямой контрапозиции) к доказательству теорем.
Раздел 4. Логика предикатов
Тема 8. Предикаты (отношения) на множестве.
Цель занятия: изучение понятия предиката (отношения) на множестве и
сопутствующих понятий: сигнатура, формула логики предикатов данной сигнатуры, кванторы, свободные и связанные переменные.
Тема 9. Алгебраическая система (модель) данной сигнатуры.
Цель занятия: изучение понятия алгебраической системы (модели) данной сигнатуры, работа с определением истинности формулы логики предикатов
данной сигнатуры на модели той же сигнатуры. Запись математических предложений, определений, построение отрицаний предложений с помощью языка
логики предикатов.
Тема 10. Общезначимость и выполнимость формул логики предикатов. Метод Генцена
Цель занятия: Изучить понятия общезначимости и выполнимости формул логики предикатов, их свойства. Рассмотреть метод Генцена, позволяющий
в отдельных случаях решить проблему выполнимости и общезначимости формул логики предикатов; равносильные формулы логики предикатов; предваренную нормальную форму.
Раздел 5. Исчисление предикатов
Тема 11. Построение ИП данной сигнатуры.
Цель занятия: Рассмотреть на примере элементарной теории натуральных чисел понятия: язык первого порядка, алфавит языка первого порядка,
специальные аксиомы, модель теории; примеры построения вывода формул исчисления предикатов.
Тема 12. Тест.
Цель занятия: итоговый контроль усвоения изученных тем курса.