Б2.В1 Матем Логика и теория алгоритмов

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Курский государственный университет»
Кафедра алгебры, геометрии и теории обучения математике
Рабочая программа дисциплины
«Математическая логика и теория
алгоритмов»
Направление подготовки 090900 Информационная безопасность
Профиль подготовки Организация и технология защиты информации
Квалификация (степень) Бакалавр
Факультет физики, математики, информатики
Очная форма обучения
Министерство образования и науки Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Курский государственный университет»
Кафедра математического обеспечения информационных систем
Утверждаю
Декан факультета
информатики и вычислительной техники
_________________ В.А. Кудинов
«____» ________________ 2011 г.
Рабочая программа дисциплины
«Математическая логика и теория алгоритмов»
Направление подготовки 090900 Информационная безопасность
Профиль подготовки Организация и технология защиты информации
Квалификация (степень) Бакалавр
Факультет информатики и вычислительной техники
Очная форма обучения
Курск 2011
Рецензенты:
Г.С. Толстова, кандидат физико-математических наук, доцент зав.
кафедрой математического обеспечения информационных систем Курского
государственного университета;
Волкова С.Н., профессор, доктор сельскохозяйственных
наук,
заведующий кафедрой математики, физики и теоретической механики ФГБОУ
ВПО «Курская ГСХА».
Рабочая программа дисциплины «Математическая логика и теория
алгоритмов» Текст сост. В.В. Воронин; Курск. гос. ун-т. – Курск, 2011. – 31 с.
Рабочая программа составлена в соответствии с Федеральным
государственным образовательным стандартом высшего профессионального
образования по направлению подготовки 090900 Информационная
безопасность, утвержденным приказом Министерства образования и науки
Российской Федерации от 28 октября 2009 г. № 496.
Рабочая программа предназначена для методического обеспечения
дисциплины основной образовательной программы 090900 Информационная
безопасность.
«____» ____________________ 2011 г.
Составитель _____________________ В.В. Воронин, кандидат физикоматематических наук, доцент кафедры математического обеспечения информационных систем КГУ
 Воронин В.В., 2011
 Курский государственный университет, 2011
Лист согласования рабочей программы дисциплины
«Математическая логика и теория алгоритмов»
Направление подготовки 090900 Информационная безопасность
Профиль подготовки Организация и технология защиты информации
Квалификация (степень) Бакалавр
Факультет информатики и вычислительной техники
Очная форма обучения
2011/2012 учебный год
Рабочая программа утверждена на заседании кафедры математического
обеспечения информационных систем, протокол № 1 от «29» августа 2011 г.
Заведующий кафедрой _________________ Г.С. Толстова
Составитель ___________________________ В.В. Воронин
Согласовано:
Начальник УМУ
__________________ И.Я. Благирева, «____» ______________ 2011 г.
Заведующий отделом комплектования научной библиотеки
__________________ О.В. Терещенко, «____» _______________ 2011 г.
Председатель методической комиссии по направлению
__________________ В.Н.Лопин, «____» _________________ 2011 г.
Пояснительная записка
1.
Место дисциплины в структуре основной образовательной программы, в модульной структуре ООП
Дисциплина «Математическая логика и теория алгоритмов» включена в
вариативную часть цикла математических и естественнонаучных дисциплин
ООП.
К исходным требованиям, необходимым для изучения дисциплины
«Математическая логика и теория алгоритмов», относятся знания, умения и
виды деятельности, сформированные в процессе изучения дисциплин
«Математика (математический анализ, алгебра, геометрия)», «Информатика».
Дисциплина «Математическая логика и теория алгоритмов» является
самостоятельным модулем и служит основой для последующего изучения
других дисциплин базовой части цикла общих математических и
естественнонаучных дисциплин и базовой и вариативных частей цикла
дисциплин направления.
2.
Цель и задачи изучения дисциплины
Целью изучения дисциплины является развитие абстрактного и
логического мышления студентов, ознакомление студентов с основами теории,
необходимыми для решения прикладных задач.
Задачи изучения дисциплины:
изучение основных вопросов математической логики;
изучение основ теории алгоритмов;
воспитание логического мышление на примере решения задач математической логики и теории алгоритмов;
развитие алгоритмического мышления в процессе выполнения
практических заданий курса.
3. Требования к входным знаниям, умениям, компетенциям
Приступая к освоению дисциплины, обучающийся должен:
знать:

элементарную математику;

основы теории множеств;

основы информатики;
уметь:

задавать множество различными способами

определять принадлежность элемента множеству;

выполнять операции с множествами;

находить области определения и значения функции;

понимать корректность постановок задач;

самостоятельно анализировать задачу и строить алгоритм ее
решения;


владеть (быть в состоянии продемонстрировать):
навыками решения математических задач;
навыками алгоритмизации поставленной задачи.
4.
Ожидаемые результаты образования и компетенции по завершении освоения учебной дисциплины
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих
общекультурных и профессиональных компетенций:
- способность к обобщению, анализу, восприятию информации,
постановке цели и выбору пути ее достижения, владеть культурой мышления
(ОК-8);
- способность логически верно и аргументировано правильно и ясно
строить устную и письменную речь, публично представлять собственные и
известные научные результаты, вести дискуссии (ОК-9);
- способность использовать основные естественнонаучные законы,
применять математический аппарат в профессиональной деятельности,
выявлять сущность проблем, возникающих в ходе профессиональной
деятельности (ПК-1);
В результате изучения дисциплины обучающийся должен
знать:
теоретические основы математической логики и теории алгоритмов (З-1);
используемые логические, математические и предметные языки,
системы логического вывода (З-2);
алгоритмы построения логического вывода (З-3);
способы использования систем логического вывода (З-4);
языки моделей теории алгоритмов (З-5);
уметь:
формулировать утверждения на языках математической логики
(У-1);
строить доказательства и опровержения утверждений, записанных на языках математической логики (У-2);
формулировать известные задачи информатики и математики в
виде формул математической логики и в виде задач теории алгоритмов (У-3);
оценивать алгоритмическую разрешимость практических задач
(У-4);
применять методы математической логики для построения математических моделей задач информатики (У-5).
владеть (быть в состоянии продемонстрировать):
знаниями основ математической логики и теории алгоритмов (В1);
системой практических умений и навыков построения и использования доказательств (В-2);
навыками техники проверки истинности логических формул (В3);
методикой решения задач путём сведения их к задачам математической логики и теории алгоритмов (В-4);
методами проверки общезначимости логических формул (В-5).
5. Структура дисциплины
Введение.
Формальные
языки.
Формальный
вывод.
Логика
высказываний. Логика предикатов. Формальные аксиоматические теории.
Исчисление высказываний. Исчисление предикатов. Теории первого порядка.
Теория алгоритмов.
6. Основные образовательные технологии
В процессе изучения дисциплины используются не только традиционные
технологии, методы и формы обучения, но и инновационные технологии,
активные и интерактивные формы проведения занятий: лекции, практические
занятия, консультации, самостоятельная и научно-исследовательская работы,
лекции с элементами проблемного изложения, тестирование и т.д.
7. Форма(-ы) контроля
Оценка качества освоения дисциплины «Математическая логика и теория
алгоритмов» включает текущий контроль успеваемости (фронтальный опрос,
конспект, проверка выполнения домашних заданий) и промежуточную
аттестацию (экзамен).
Оценка «отлично» на экзамене выставляется если студент освоил все
компетенции на повышенном уровне; «хорошо» - студент освоил все
компетенции на повышенном уровне, но существуют неточности в изложении
материала; «удовлетворительно» - студент освоил все компетенции на
пороговом уровне; «неудовлетворительно» имеются компетенции не освоенные
на пороговом уровне.
Структура и содержание дисциплины
Раздел 1. Формальные языки
Знаки, виды знаков, смысл и значение знаков, знаковые системы. Языки,
синтаксис и семантика языков. Способы задания формальных языков. Логикоматематические языки. Метаязык.
Раздел 2. Формальный вывод
Вывод в формальных языках. Свойства формального вывода. Классический аксиоматический метод, его недостатки. Формальные аксиоматические
теории. Вывод в ФАТ. Синтаксис и семантика ФАТ, модели ФАТ. Метатеория.
Раздел 3. Логика высказываний
Операции над высказываниями. Таблицы истинности формул ЛВ.
Тождественно истинные, тождественно ложные, выполнимые и опровержимые
формулы ЛВ. Равносильность формул ЛВ. Основные равносильности.
Равносильные преобразования формул ЛВ.
Конъюнктивные и дизъюнктивные нормальные формы формул ЛВ.
Совершенные дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы формул
ЛВ.
Логическое следование, критерий логического следования.
Метод резолюций в логике высказываний.
Алгебра электрических контактных схем. Эквивалентные электрические
контактные схемы. Упрощение электрических контактных схем. Построение
электрических контактных схем по заданным условиям.
Раздел 4. Логика предикатов
Предикаты, область истинности предиката. Логические и кванторные
операции над предикатами. Термы и формулы ЛП, свободные и связанные
вхождения предметных переменных. Интерпретация: выполнимость,
опровержимость, истинность и ложность формул ЛП; логическая
общезначимость.
Равносильность формул ЛП, равносильные преобразования формул ЛП.
Предваренная форма формул ЛП. Сколемизация, сколемовские формы
формул ЛП. Клаузальная форма. Множества дизъюнктов клаузальной формы.
Подстановка и унификация множества дизъюнктов. Метод резолюции в логике
предикатов.
Запись математических выражений, определений и предложений на языке
логики предикатов.
Раздел 5. Исчисление высказываний
Язык исчисления высказываний. Аксиомы и правила вывода исчисления
высказываний. Вывод в исчислении высказываний. Теорема дедукции в
исчислении высказываний. Основные теоремы и дополнительные правила
вывода исчисления высказываний. Метасвойства исчисления высказываний.
Раздел 6. Исчисление предикатов
Язык исчисления предикатов. Аксиомы и правила вывода исчисления
предикатов. Вывод в исчислении предикатов. Теорема дедукции в исчислении
предикатов. Основные теоремы и дополнительные правила вывода исчисления
предикатов. Теорема Геделя о полноте исчисления предикатов. Метасвойства
исчисления предикатов.
Раздел 7. Теории первого порядка
Сигнатура языка первого порядка. Язык первого порядка заданной сигнатуры, примеры языков первого порядка.
Теории первого порядка. Логические и собственные аксиомы и правила
вывода теорий первого порядка. Семантика теорий первого порядка, модели
теорий первого порядка, категоричность.
Теории первого порядка с равенством, нормальные модели.
Формальная арифметика. Теоремы Геделя о неполноте.
Аксиоматические теории множеств.
Раздел 8. Теория алгоритмов
Интуитивное понятие алгоритма и связанные с ним понятия. Примеры
алгоритмов, свойства алгоритмов. Необходимость уточнения понятия алгоритма и вычислимой функции. Математические модели теории алгоритмов.
Частично рекурсивные функции. Базовые функции. Операторы суперпозиции и примитивной рекурсии. Примитивно рекурсивные функции. Оператор
минимизации, частично рекурсивные и общерекурсивные функции. Тезис Черча, иерархия арифметических функций.
Машины Тьюринга. Функции вычислимые по Тьюрингу, тезис Тьюринга.
Нормальные алгорифмы Маркова. Нормально вычислимые функции,
принцип нормализации.
Эквивалентность моделей теории алгоритмов.
№ Наименование раздела
п.п.
1.
Формальные языки
2.
Формальный вывод
3.
Логика высказываний
4.
Логика предикатов
Образовательные
технологии,
в
т.ч.
инновационные
объяснительноиллюстративного обучения
Методы и формы
обучения, в т.ч.
активные и
интерактивные
Проблемные
лекции, практические лабораторные занятия,
лекции, лекциидиалоги, алгоритмический метод
объяснительноЛекции-диалоги,
иллюстративно- практические лаго обучения
бораторные занятия, лекции,
лекции-диалоги,
алгоритмический
метод
объяснительноПроблемные
иллюстративно- лекции, практиго об. с элемен- ческие лаборатами проблемно- торные занятия,
го изложения
лекции, лекциидиалоги, алгоритмический метод
объяснительноЛекции-диалоги,
иллюстративно- практические и
Формируемые
компетенции
Образовательные
результаты
Формы контроля,
оценочные
средства
ОК-8
З-1, З-2,
У-1,
В-1
Текущий контроль: фронтальный опрос, конспект, самостоятельная работа
работа
ОК-8,
ПК-1
З-1, З-2, З-3,
У-1, У-2,
В-1, В-2
Текущий контроль: фронтальный опрос, конспект, самостоятельная работа
работа
ОК-8, ОК-9,
ПК-1
З-1, З-2,
У-1, У-3, У-5
В-1, В-3, В-5
Текущий контроль: фронтальный опрос, конспект, самостоятельная работа
работа
ОК-8, ОК-9,
ПК-1
З-1, З-2,
У-1, У-3, У-5,
Текущий контроль: фронталь-
го об. с элемен- лабораторные
тами проблемно- занятия, лекции
го изложения
5.
Исчисление высказыва- объяснительноний
иллюстративного об. с элементами проблемного изложения
6.
Исчисление предикатов
объяснительноиллюстративного об. с элементами проблемного изложения
7.
Теории первого порядка
объяснительноиллюстративного об. с элементами проблемного изложения
8.
Теория алгоритмов
объяснительноиллюстративного об. с элемен-
Проблемные
лекции, практические лабораторные занятия,
лекции, лекциидиалоги, алгоритмический метод
Лекции, практические лабораторные занятия,
лекции, лекциидиалоги, алгоритмический метод
Лекции, практические лабораторные занятия,
лекции, лекциидиалоги, алгоритмический метод
Лекции, практические лабораторные занятия,
В-1, В-3, В-5
ный опрос, конспект, самостоятельная работа
работа
Текущий контроль: фронтальный опрос, конспект, самостоятельная работа
работа
ОК-8,
ПК-1
З-1–З-4,
У-1, У-2
В-1, В-2, В-4
ОК-8,
ПК-1
З-1–З-4,
У-1, У-2
В-1, В-2, В-4
Текущий контроль: фронтальный опрос, конспект, самостоятельная работа
работа
ОК-8, ОК-9,
ПК-1
З-1–З-4,
У-1, У-2, У-5
В-1, В-2, В-4
Текущий контроль: фронтальный опрос, конспект, самостоятельная работа
работа
ОК-8, ОК-9,
ПК-1
З-1, З-2, З-5,
У-3, У-4, У-5,
В-1, В-2, В-4
Текущий контроль: фронтальный опрос, кон-
тами проблемно- лекции, лекцииго изложения
диалоги, алгоритмический метод
спект, самостоятельная работа
работа
Промежуточная
аттестация –
экзамен
Лекционный курс
Тема 1. Введение
Предмет, методы и задачи курса. Содержание и структура курса.
Основные категории логики. Возникновение и развитие математической логики
и теории алгоритмов. Основы методики самостоятельной работы, краткая
характеристика учебной литературы.
Тема 2. Формальные языки
Знаки, виды знаков, смысл и значение знаков, знаковые системы. Языки,
синтаксис и семантика языков. Буквы (символы), алфавит, слова. Оперирование
со словами (конкатенация слов, замена вхождений подслов и букв, подстановка
в слово). Свойства множества всех слов произвольного алфавита, упорядочение
множества всех слов произвольного алфавита. Способы задания формальных
языков. Логико-математические языки. Метаязык.
Тема 3. Формальный вывод
Вывод в формальных языках. Свойства формального вывода. Классический аксиоматический метод, его недостатки. Формальные аксиоматические
теории. Вывод в ФАТ. Синтаксис и семантика ФАТ, модели ФАТ. Метатеория.
Тема 4. Высказывания. Формулы логики высказываний
Операции над высказываниями. Таблицы истинности формул ЛВ.
Тождественно истинные, тождественно ложные, выполнимые и опровержимые
формулы ЛВ. Равносильность формул ЛВ. Основные равносильности.
Равносильные преобразования формул ЛВ.
Тема 5. Нормальные формы. Логическое следование. Метод резолюций
Конъюнктивные и дизъюнктивные нормальные формы формул ЛВ.
Совершенные дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы формул
ЛВ.
Логическое следование, критерий логического следования.
Метод резолюций в логике высказываний.
Тема 6. Предикаты. Формулы логики предикатов
Предикаты, область истинности предиката. Логические и кванторные
операции над предикатами. Термы и формулы ЛП, свободные и связанные
вхождения предметных переменных. Интерпретация: выполнимость,
опровержимость, истинность и ложность формул ЛП; логическая
общезначимость.
Равносильность формул ЛП, равносильные преобразования формул ЛП.
Тема 7. Предваренные формы. Метод резолюций
Предваренная форма формул ЛП. Сколемизация, сколемовские формы
формул ЛП. Клаузальная форма. Множества дизъюнктов клаузальной формы.
Подстановка и унификация множества дизъюнктов. Метод резолюции в логике
предикатов.
Тема 8. Исчисление высказываний
Язык исчисления высказываний. Аксиомы и правила вывода исчисления
высказываний. Вывод в исчислении высказываний. Различные подходы к
построению исчисления высказываний.
Тема 9. Теорема дедукции в исчислении высказываний
Теорема дедукции в исчислении высказываний. Основные теоремы и
дополнительные правила вывода исчисления высказываний.
Тема 10. Свойства исчисления высказываний
Лемма
о
выводимости.
Полнота
исчисления
Непротиворечивость
и
разрешимость
исчисления
Независимость системы аксиом.
высказываний.
высказываний.
Тема 11. Исчисление предикатов
Язык исчисления предикатов. Аксиомы и правила вывода исчисления
предикатов. Вывод в исчислении предикатов. Различные подходы к
построению исчисления предикатов.
Тема 12. Теорема дедукции в исчислении предикатов
Теорема дедукции в исчислении предикатов. Основные теоремы и
дополнительные правила вывода исчисления предикатов.
Тема 13. Свойства исчисления предикатов
Теорема Геделя о полноте исчисления предикатов. Метасвойства
исчисления предикатов: непротиворечивость, неразрешимость.
Тема 14. Теории первого порядка
Сигнатура языка первого порядка. Язык первого порядка заданной сигнатуры, примеры языков первого порядка.
Теории первого порядка. Логические и собственные аксиомы и правила
вывода теорий первого порядка. Семантика теорий первого порядка, модели
теорий первого порядка, категоричность.
Теории первого порядка с равенством, нормальные модели.
Формальная арифметика. Теоремы Геделя о неполноте.
Аксиоматические теории множеств.
Тема 15. Интуитивная теория алгоритмов
Интуитивное понятие алгоритма и связанные с ним понятия. Примеры
алгоритмов, свойства алгоритмов. Необходимость уточнения понятия алгоритма и вычислимой функции. Математические модели теории алгоритмов.
Тема 16. Рекурсивные функции
Частично рекурсивные функции. Базовые функции. Операторы суперпозиции и примитивной рекурсии. Примитивно рекурсивные функции. Оператор
минимизации, частично рекурсивные и общерекурсивные функции. Тезис Черча, иерархия арифметических функций.
Тема 17. Машины Тьюринга
Машины Тьюринга. Функции вычислимые по Тьюрингу, тезис Тьюринга.
Тема 18. Нормальные алгорифмы
Нормальные алгорифмы Маркова. Нормально вычислимые функции,
принцип нормализации.
Эквивалентность моделей теории алгоритмов.
№ Тема лекции
п.п.
Литература и
др.
источники
Образовательные
технологии,
в
т.ч.
инновационные
Литература:
1, 3, 5, 6
Интернет:
1–4
Литература:
1, 3, 5, 6
Интернет:
1–4
объяснительноиллюстративного обучения
1.
Введение
2.
Формальные
языки
3.
Формальный
вывод
Литература:
1, 3, 5, 6
Интернет:
1–4
4.
Высказывания.
Формулы логики высказываний
Литература:
1, 3, 5, 6
Интернет:
1–4
5.
Нормальные
формы. Логическое следование. Метод
резолюций
Литература:
1, 3, 5, 6
Интернет:
1–4
объяснительноиллюстративного об. с элементами проблемного изложения
объяснительноиллюстративного об. с элементами проблемного изложения
объяснительноиллюстративного об. с элементами проблемного изложения
объяснительноиллюстративного об. с элементами проблемного изложения
Методы и
формы обучения, в т.ч. активные и интерактивные
Лекция
Формируемые
компетенции
Образовательные
результаты
Формы контроля, оценочные
средства
ОК-8, ОК-9,
ПК-1
З-1
Текущий контроль: опрос,
конспект
Лекция-диалог ОК-8
З-1, З-2
Текущий контроль: фронтальный опрос,
конспект
Проблемная
лекция
З-1, З-2, З-3
Текущий контроль: опрос,
конспект
Лекция-диалог ОК-8, ОК-9,
ПК-1
З-1, З-2
Текущий контроль: фронтальный опрос,
конспект
Лекция-диалог ОК-8, ОК-9,
ПК-1
З-1, З-2
Текущий контроль: фронтальный опрос,
конспект
ОК-8, ПК-1
6.
Предикаты.
Формулы логики предикатов
Литература:
1, 3, 5, 6
Интернет:
1–4
7.
Предваренные
формы. Метод
резолюций
Литература:
1, 3, 5, 6
Интернет:
1–4
8.
Исчисление
высказываний
Литература:
1, 3, 5, 6
Интернет:
1–4
9.
Теорема дедукции в исчислении высказываний
Литература:
1, 3, 5, 6
Интернет:
1–4
10.
Свойства исчисления высказываний
Литература:
1, 3, 5, 6
Интернет:
1–4
11.
Исчисление
предикатов
Литература:
1, 3, 5, 6
Интернет:
1–4
объяснительноиллюстративного об. с элементами проблемного изложения
объяснительноиллюстративного об. с элементами проблемного изложения
объяснительноиллюстративного об. с элементами проблемного изложения
объяснительноиллюстративного об. с элементами проблемного изложения
объяснительноиллюстративного об. с элементами проблемного изложения
объяснительноиллюстративного об. с элементами проблемно-
Лекция
ОК-8, ОК-9,
ПК-1
З-1, З-2
Текущий контроль: фронтальный опрос,
конспект
Проблемная
лекция
ОК-8, ОК-9,
ПК-1
З-1, З-2
Текущий контроль: опрос,
конспект
Проблемная
лекция
ОК-8, ПК-1
З-1–З-4
Текущий контроль: фронтальный опрос,
конспект
Лекция-диалог ОК-8, ПК-1
З-1–З-4
Текущий контроль: опрос,
конспект
Лекция
ОК-8, ПК-1
З-1–З-4
Текущий контроль: фронтальный опрос,
конспект
Лекция
ОК-8, ПК-1
З-1–З-4
Текущий контроль: фронтальный опрос,
конспект
12.
Теорема дедук- Литература:
ции в исчисле- 1, 3, 5, 6
нии предикатов Интернет:
1–4
13.
Свойства исчисления предикатов
14.
Теории первого Литература:
порядка
1, 3, 5, 6
Интернет:
1–4
15.
Интуитивная
теория алгоритмов
Литература:
1, 3, 5, 6
Интернет:
1–4
16.
Рекурсивные
функции
Литература:
1, 3, 5, 6
Интернет:
1–4
17.
Машины
Тьюринга
Литература:
1, 3, 5, 6
Интернет:
Литература:
1, 3, 5, 6
Интернет:
1–4
го изложения
объяснительноиллюстративного об. с элементами проблемного изложения
объяснительноиллюстративного об. с элементами проблемного изложения
объяснительноиллюстративного об. с элементами проблемного изложения
объяснительноиллюстративного об. с элементами проблемного изложения
объяснительноиллюстративного об. с элементами проблемного изложения
объяснительноиллюстративного об. с элемен-
Лекция
ОК-8, ПК-1
З-1–З-4
Текущий контроль: опрос,
конспект
Лекция-диалог ОК-8, ПК-1
З-1–З-4
Текущий контроль: опрос,
конспект
Лекция
ОК-8, ОК-9
ПК-1
З-1–З-4
Текущий контроль: опрос,
конспект
лекция
ОК-8, ОК-9
ПК-1
З-1, З-2, З-5
Текущий контроль: опрос,
конспект
Лекция-диалог ОК-8, ОК-9
ПК-1
З-1, З-2, З-5
Текущий контроль: опрос,
конспект
Лекция-диалог ОК-8, ОК-9
ПК-1
З-1, З-2, З-5
Текущий контроль: опрос,
конспект
1–4
18.
Нормальные
алгорифмы
Литература:
1, 3, 5, 6
Интернет:
1–4
тами проблемного изложения
объяснительноЛекция-диалог ОК-8, ОК-9
иллюстративноПК-1
го об. с элементами проблемного изложения
З-1, З-2, З-5
Текущий контроль: опрос,
конспект
Промежуточная
аттестация – экзамен
№ Тема занятия
п.п.
1.
Формальные
языки, формальный вывод
2.
Таблицы истинности, равносильные преобразования
Нормальные
формы, метод
резолюций
3.
4.
Предикаты, область истинности предиката
5.
Метод резолюций
6.
Вывод в исчислении высказываний
Практические занятия
Литература Образовательные Методы и
и др. истехнологии, в
формы обучеточники
т.ч. инновацион- ния, в т.ч. акные
тивные и интерактивные
Литература: объяснительноПрактическое
2, 4, 5, 6
иллюстративное занятие
Интернет:
обучение
1–4
Литература: объяснительноПрактическое
2, 4, 5, 6
иллюстративное занятие
Интернет:
обучение
1–4
Литература: объяснительноПрактическое
2, 4, 5, 6
иллюстративное занятие
Интернет:
обучение
1–4
Литература: объяснительноПрактическое
2, 4, 5, 6
иллюстративное занятие
Интернет:
обучение
1–4
Литература: объяснительноПрактическое
2, 4, 5, 6
иллюстративное занятие
Интернет:
обучение
1–4
Литература: объяснительноПрактическое
2, 4, 5, 6
иллюстративное занятие
Интернет:
обучение
Формируемые Образовательные Формы конкомпетенции результаты
троля, оценочные средства
ОК-8,
ПК-1
З-1, З-2, З-3,
У-1, У-2,
В-1, В-2
Текущий контроль: домашняя работа
ОК-8, ОК-9,
ПК-1
З-1, З-2,
У-1, У-3, У-5
В-1, В-3, В-5
Текущий контроль: домашняя работа
ОК-8, ОК-9,
ПК-1
З-1, З-2,
У-1, У-3, У-5
В-1, В-3, В-5
Текущий контроль: домашняя работа
ОК-8, ОК-9,
ПК-1
З-1, З-2,
У-1, У-3, У-5
В-1, В-3, В-5
Текущий контроль: домашняя работа
ОК-8, ОК-9,
ПК-1
З-1, З-2,
У-1, У-3, У-5
В-1, В-3, В-5
Текущий контроль: домашняя работа
ОК-8,
ПК-1
З-1–З-4,
У-1, У-2
В-1, В-2, В-4
Текущий контроль: домашняя работа
7.
Вывод в исчислении предикатов
8.
Свойства исчислений высказываний и предикатов
Вывод в теориях
первого порядка
9.
10.
Рекурсивные
функции
11.
Машины
Тьюринга
12.
Нормальные алгорифмы
1–4
Литература:
2, 4, 5, 6
Интернет:
1–4
Литература:
2, 4, 5, 6
Интернет:
1–4
Литература:
2, 4, 5, 6
Интернет:
1–4
Литература:
2, 4, 5, 6
Интернет:
1–4
Литература:
2, 4, 5, 6
Интернет:
1–4
Литература:
2, 4, 5, 6
Интернет:
1–4
объяснительноиллюстративное
обучение
Практическое
занятие
ОК-8,
ПК-1
З-1–З-4,
У-1, У-2
В-1, В-2, В-4
Текущий контроль: домашняя работа
объяснительноиллюстративное
обучение
Практическое
занятие
ОК-8,
ПК-1
З-1–З-4,
У-1, У-2
В-1, В-2, В-4
Текущий контроль: домашняя работа
объяснительноиллюстративное
обучение
Практическое
занятие
ОК-8, ОК-9,
ПК-1
З-1–З-4,
У-1, У-2, У-5
В-1, В-2, В-4
Текущий контроль: домашняя работа
объяснительноиллюстративное
обучение
Практическое
занятие
ОК-8, ОК-9,
ПК-1
З-1, З-2, З-5,
У-3, У-4, У-5,
В-1, В-2, В-4
Текущий контроль: домашняя работа
объяснительноиллюстративное
обучение
Практическое
занятие
ОК-8, ОК-9,
ПК-1
З-1, З-2, З-5,
У-3, У-4, У-5,
В-1, В-2, В-4
Текущий контроль: домашняя работа
объяснительноиллюстративное
обучение
Практическое
занятие
ОК-8, ОК-9,
ПК-1
З-1, З-2, З-5,
У-3, У-4, У-5,
В-1, В-2, В-4
Текущий контроль: домашняя работа
Промежуточная
аттестация –
экзамен
Самостоятельная работа
№ Раздел или тема,
п.п. выносимые на самостоятельное
изучение
1.
Коммутационные
и комбинационные
схемы
2.
3.
Виды и содержание Литература и др.
самостоятельной рабо- источники
ты
Формируемые
компетенции
Образовательные результаты
Формы контроля,
оценочные средства
Конспектирование
Литература:
1–6
Интернет:
1–4
Литература:
1–6
Интернет:
1–4
ОК-8, ОК-9,
ПК-1
З-1, З-2,
У-1, У-3, У-5
В-1, В-3, В-5
Текущий
контроль: опрос, конспект
ОК-8, ОК-9,
ПК-1
З-1, З-2,
У-1, У-3, У-5,
В-1, В-3, В-5
Текущий
контроль: опрос, конспект
Литература:
1–6
Интернет:
1–4
Литература:
1–6
Интернет:
1–4
Литература:
1–6
Интернет:
1–4
Литература:
ОК-8,
ПК-1
З-1–З-4,
У-1, У-2
В-1, В-2, В-4
Текущий
контроль: опрос, конспект
ОК-8, ОК-9,
ПК-1
З-1, З-2,
У-1, У-3, У-5,
В-1, В-3, В-5
Текущий
контроль: опрос, конспект
ОК-8, ОК-9,
ПК-1
З-1–З-4,
У-1, У-2, У-5
В-1, В-2, В-4
Текущий
контроль: опрос, конспект
ОК-8, ОК-9,
З-1, З-2, З-5,
Текущий
Запись математи- Конспектирование
ческих выражений
и утверждений на
языке логики предикатов
Различные форму- Конспектирование
лировки исчисления высказываний
4.
Неклассические
логики
Конспектирование
5.
Аксиоматические
системы в теории
множеств
Конспектирование
6.
Дополнительные
Конспектирование
кон-
модели теории алгоритмов
1–6
Интернет:
1–4
ПК-1
У-3, У-4, У-5,
В-1, В-2, В-4
троль: опрос, конспект
Промежуточная
аттестация – экзамен
Вопросы для самоконтроля по самостоятельно изученным темам
1. Тема: Коммутационные и комбинационные схемы
1) Как построить схему по формуле логики высказываний?
2) Как построить формулу логики высказываний по схеме?
3) Типы задач в теории схем.
2. Тема: Запись математических выражений и утверждений на языке логики
предикатов
1) Как записываются именные формы на языке логики предикатов?
2) Как записываются определения на языке логики предикатов?
3) Как записываются утверждения на языке логики предикатов?
3. Тема: Различные формулировки исчисления высказываний
1) Гильбертовские исчисления высказываний.
2) Генценовские исчисления высказываний.
3) Системы натурального вывода.
4. Тема: Неклассические логики
1) Многозначные логики
2) Нечеткая логика
5. Тема: Аксиоматические системы в теории множеств
1) Аксиоматика Неймана-Бернайса-Геделя.
2) Теория типов.
3) .Система теории множеств Куайна.
6. Тема: Дополнительные модели теории алгоритмов
1) Функции вычислимые по Эрбрану-Геделю.
2) Машины Шенфилда.
Примерный перечень вопросов к экзамену
(3 семестр)
1. Высказывания, операции над высказываниями.
2. Формулы логики высказываний.
3. Таблицы истинности.
4. Классификация формул логики высказываний.
5. Теоремы о тавтологиях.
6. Равносильность формул логики высказываний.
7. Равносильные преобразования формул логики высказываний.
8. Нормальные формы формул логики высказываний.
9. Способы построения нормальных форм.
10. Логическое следование.
11. Метод резолюций.
12. Предикат. Область истинности предиката.
13. Логические операции над предикатами.
14. Кванторы. Кванторные операции над предикатами.
15. Термы и формулы.
16. Свободные и связанные вхождения переменных.
17. Равносильность формул логики предикатов.
18. Предваренная нормальная форма.
19. Сколемизация, сколемовские разрешающие функции.
20. Клаузальная форма.
21. Подстановки и унификация.
22. Метод резолюций в логике предикатов.
23. Аксиомы и правила вывода исчисления высказываний.
24. Теорема дедукции в исчислении высказываний.
25. Лемма о выводимости.
26. Полнота, непротиворечивость и разрешимость исчисления высказываний.
27. Независимость исчисления высказываний.
28. Аксиомы и правила вывода исчисления предикатов.
29. Теорема дедукции в исчислении предикатов.
30. Метасвойства исчисления предикатов.
31. Язык первого порядка.
32. Теории первого порядка.
33. Рекурсивные функции.
34. Машины Тьюринга.
35. Нормальные алгорифмы.
Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
Литература
Основная
1. Игошин В. И. Математическая логика и теория алгоритмов. – М.: Издательский центр «Академия»; 2008.
2. Игошин В. И. Задачник и упражнения по математической логике и теории
алгоритмов. – М.: Издательский центр «Академия»; 2008.
3.
4.
5.
6.
Дополнительная
Лавров И. А. Математическая логика. – М.: Академия, 2006.
Лавров И. А., Максимова Л. Л.Задачи по теории множеств, математической
логике и теории алгоритмов. – М.: Физматлит, 2005.
Лихтарников Л. М., Сукачева Т. Г. Математическая логика. – СПб.: Лань,
2008.
Шапорев С.Д. Математическая логика. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005.
Программное обеспечение и интернет-ресурс
Интернет-ресурс
1. http://www.exponenta.ru
2. http://www.math.ru
3. www.mathematics.ru
4. http://www.xplusy.isnet.ru
5. Электронная
библиотечная
система
«КнигаФонд»
http://www.knigafund.ru/
6. Электронная
библиотечная
система
издательства
«Лань»
http://e.lanbook.com/
Программное обеспечение
1. Приложение Microsoft Word;
2. Web-браузер.
Материально-техническое обеспечение дисциплины
1. Лекционная аудитория;
2. Аудитория для проведения практических занятий;
3. Компьютерная аудитория с доступом к сети Интернет.
−
−
Схема распределения учебного времени
по видам учебной деятельности
Общая трудоемкость дисциплины – 4 зачетные единицы (144 академических
часа)
Виды учебной деятельности
Трудоемкость, час
Общая трудоемкость
Аудиторная работа
в том числе:
лекции
практические занятия
Самостоятельная работа
Промежуточная аттестация
в том числе:
зачет
экзамен
144
60
36
24
57
27
27
Схема распределения учебного времени по семестрам
Трудоемкость,
Виды учебной деятельности
час
3 сеВсего
мест
р
144
144
Общая трудоемкость
60
60
Аудиторная работа
в том числе:
лекции
36
36
практические занятия
24
24
57
57
Самостоятельная работа
в том числе:
курсовой проект
курсовая работа
расчетно-графическая работа
реферат
контрольная работа
Промежуточная аттестация
в том числе:
зачет
экзамен
27
27
Учебно-тематический план
№
п/п
1.
Наименование раздела, тема
Введение
Общая
трудоемкость,
час
В том числе аудиторных
всего
лекц.
6
2
2
0
0
4
из них:
практ. лабор.
Самостоятельная
работа
2.
Раздел 1. Формальные
языки
Знаки, виды знаков,
смысл и значение знаков, знаковые системы.
Языки, синтаксис и семантика языков. Способы задания формальных
языков. Логикоматематические языки.
Метаязык.
10
3
2
1
0
7
3.
Раздел 2. Формальный
вывод
Вывод в формальных
языках. Свойства формального вывода. Классический аксиоматический метод, его недостатки. Формальные аксиоматические теории.
Вывод в ФАТ. Синтаксис и семантика ФАТ,
модели ФАТ. Метатеория.
Раздел 3. Логика высказываний
Операции над высказываниями. Таблицы истинности формул ЛВ.
Тождественно истинные, тождественно ложные, выполнимые и
опровержимые формулы ЛВ. Равносильность
формул ЛВ. Основные
равносильности. Равносильные преобразования формул ЛВ.
Конъюнктивные и
дизъюнктивные нормальные формы формул
ЛВ. Совершенные
дизъюнктивные и
10
3
2
1
0
7
14
8
4
4
0
6
4.
Промежут.
аттестация
5.
конъюнктивные нормальные формы формул
ЛВ.
Логическое следование,
критерий логического
следования.
Метод резолюций в логике высказываний.
Алгебра электрических
контактных схем. Эквивалентные электрические контактные схемы.
Упрощение электрических контактных схем.
Построение электрических контактных схем
по заданным условиям.
Раздел 4. Логика предикатов
Предикаты, область истинности предиката.
Логические и кванторные операции над предикатами. Термы и
формулы ЛП, свободные и связанные вхождения предметных переменных. Интерпретация: выполнимость,
опровержимость, истинность и ложность
формул ЛП; логическая
общезначимость.
Равносильность формул
ЛП, равносильные преобразования формул
ЛП.
Предваренная форма
формул ЛП. Сколемизация, сколемовские формы формул ЛП. Клаузальная форма. Множества дизъюнктов клаузальной формы. Подстановка и унификация
множества дизъюнктов.
Метод резолюции в логике предикатов.
Запись математических
выражений, определений и предложений на
языке логики предикатов.
14
8
4
4
0
6
6.
7.
8.
Раздел 5. Исчисление
высказываний
Язык исчисления высказываний. Аксиомы и
правила вывода исчисления высказываний.
Вывод в исчислении
высказываний. Теорема
дедукции в исчислении
высказываний. Основные теоремы и дополнительные правила вывода исчисления высказываний. Метасвойства
исчисления высказываний.
Раздел 6. Исчисление
предикатов
Язык исчисления предикатов. Аксиомы и
правила вывода исчисления предикатов. Вывод в исчислении предикатов. Теорема дедукции в исчислении
предикатов. Основные
теоремы и дополнительные правила вывода
исчисления предикатов.
Теорема Геделя о полноте исчисления предикатов. Метасвойства исчисления предикатов.
Раздел 7. Теории первого порядка
Сигнатура языка первого порядка. Язык первого порядка заданной
сигнатуры, примеры
языков первого порядка.
Теории первого порядка. Логические и собственные аксиомы и
правила вывода теорий
первого порядка. Семантика теорий первого
порядка, модели теорий
первого порядка, категоричность.
Теории первого порядка
с равенством, нормальные модели.
Формальная арифметика. Теоремы Геделя о
14
9
6
3
0
5
14
9
6
3
0
5
14
4
2
2
0
10
9.
неполноте.
Аксиоматические теории множеств.
Раздел 8. Теория алгоритмов
Интуитивное понятие
алгоритма и связанные с
ним понятия. Примеры
алгоритмов, свойства
алгоритмов. Необходимость уточнения понятия алгоритма и вычислимой функции. Математические модели теории алгоритмов.
Частично рекурсивные
функции. Базовые
функции. Операторы
суперпозиции и примитивной рекурсии. Примитивно рекурсивные
функции. Оператор минимизации, частично
рекурсивные и общерекурсивные функции.
Тезис Черча, иерархия
арифметических функций.
Машины Тьюринга.
Функции вычислимые
по Тьюрингу, тезис
Тьюринга.
Нормальные алгорифмы
Маркова. Нормально
вычислимые функции,
принцип нормализации.
Эквивалентность моделей теории алгоритмов.
Промежуточная
аттестация
Итого:
21
14
8
6
0
7
27
144
27
60
36
24
0
57
27