Непрерывная кривая

Математика в высшем образовании
2012
№ 10
СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ
УДК 517
ГЛАДКИЕ КРИВЫЕ, ПРЕДСТАВЛЕННЫЕ
НЕДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫМИ ФУНКЦИЯМИ
Е. Ж. Айдос
Казахский Национальный технический университет им. К. И. Сатпаева
Казахстан, 050013, г. Алматы, ул. Сатпаева, 22;
e-mail: erkaraai@mail.ru
Вводится понятие «непрерывная в широком смысле функция». С его помощью определяется гладкость кривой, заданной функциями, имеющими конечные
и бесконечные производные в точках. Указываются свойства функции f , по которым можно установить гладкость кривой Γ: y = f (x), x ∈ [a, b].
Ключевые слова: предел, производная, гладкая кривая, бесконечная производная, касательная, угловая функция, недифференцируемая функция.
В курсе математического анализа при изучении гладких кривых применяются, как правило, непрерывно дифференцируемые функции. Для примера
приведём известное определение гладкой кривой:
Определение 1. Кривая Γ ⊂ R3 , заданная параметрически уравнениями x = x(t), y = y(t), z = z(t), t ∈ [a, b], называется гладкой, если x(t),
y(t), z(t) — непрерывные функции, имеющие на отрезке [a, b] непрерывные
производные, одновременно не равные нулю.
Таким образом, если функции, параметризующие кривую, имеют производные, обращающиеся на рассматриваемом промежутке в бесконечность, то
это определение неприменимо. Но одна и та же кривая может иметь как дифференцируемую параметризацию, так и параметризацию недифференцируемыми функциями.
Примерами таких кривых могут служить полуокружность
√
√
2
Γ1 : x = 1 − t , y = t, −1 ≤ t ≤q1; кубическая парабола Γ2 : y = 3 t, x = t,
−∞ < t < +∞; кривая y =
(t − a)2k−1 , x = t, a − l ≤ t ≤ a + m, где
n, k ∈ N, k ≤ n, n > 1, a, l, m ∈ R, l > 0, m > 0. По определению 1 такие кривые не относятся к гладким, ибо функции, представляющие их, в указанных
промежутках недифференцируемы.
Сказанное выше является мотивировкой для следующей модификации
определения гладкой кривой (см. [1, § 6.5], где определение приведено для
более общей ситуации):
Определение 2. Кривая Γi ⊂ R3 называется гладкой на [a; b], если
её можно задать при помощи уравнений Γ: x = x(t), y = y(t), z = z(t),
t ∈ [a; b], где x(t), y(t), z(t) — непрерывные функции, имеющие на отрезке
[a, b] непрерывные производные, одновременно не равные нулю.
Например, рассмотренную выше полуокружность Γ1 можно параметриπ
π
зовать в виде x = cos t, y = sin t, − ≤ t ≤ , поэтому полуокружность
2
2
Γ1 — гладкая кривая в смысле определения 2; кубическую параболу Γ2 можно представить в виде y = sh t, x = sh3 t, −∞ < t < +∞, так что кривая Γ2
тоже гладкая по определению 2.
2n+1
9
Е. Ж. Айдос
Однако небходимость поиска параметризации кривой функциями с подходящими свойствами является недостатком определения 2 — способ параметризации одной и той же кривой не единственный (например, полуокружность
1 − t2
2t
,
x
=
, −1 ≤ t ≤ 1,
Γ1 может быть представлена еще и в виде y =
1 + t2
1 + t2
и т. д.) и, вообще говоря, заранее не ясно, существует ли параметризация
с нужными свойствами. Ниже мы займемся решением проблем, присущих
определениям 1 и 2, и укажем характеристику функции f , по которой можно
установить гладкость кривой Γ: y = f (x), x ∈ [a, b].
1. Основные понятия
Пополним множество R двумя несобственными элементами («бесконечными числами») −∞ и +∞, полагая, что для любого x ∈ R имеет место
−∞ < x < +∞.
В случае, когда lim f (x) = A, где A ∈ [−∞, +∞], как обычно, будем
x→x0
говорить, что функция f в точке x0 имеет предел A, причём если A ∈
1
∈ (−∞, +∞) — «конечный предел». Например, функция f (x) =
име(x − 1)2
1
в этой точке
ет в точке x = 1 предел, равный +∞, а функция f (x) =
x−1
предела не имеет, т. к. f (1−) = −∞ =
6 +∞ = f (1+).
f (x) − f (x0 )
, где
Аналогично, если имеет место равенство f 0 (x0 ) = lim
x→x0
x − x0
0
−∞ ≤ f (x0 ) ≤ +∞, то будем говорить, что функция f в точке x0 имеет
производную, причём в случае −∞ < f 0 (x0 ) < +∞ — конечную производную.
Про функцию f , для которой f (x) ∈ [−∞, +∞], будем говорить, что функция f определена в широком смысле. Другими словами, функция, определенная в промежутке ∆ в широком смысле, в точках этого промежутка может
принимать конечные или бесконечные значения. Например, функция f (x) =
 1

, x 6= 3
= x−3
определена в интервале (−∞, +∞) в широком смысле, а

+∞,
x=3
1
f (x) =
не определена в точке x = 3.
x−3
Определение 1.1 (непрерывность в широком смысле). Пусть функция f
определена в широком смысле в точке x0 и в некоторой её окрестности.
Тогда, если существует предел функции f при x → x0 и выполнено равенство
lim f (x) = f (x0 ), то функция f называется непрерывной в широком
x→x0
смысле в этой точке.


1
, x 6= 5
(x − 5)2
Например, функция f (x) =
непрерывна в широком

+∞,
x=5
1
= +∞ = f (5).
смысле в точке x = 5, ибо lim f (x) = lim
x→5
x→5 (x − 5)2
10
Математика в высшем образовании
2012
№ 10
Функция, непрерывная в широком смысле в данном промежутке, в точках
этого промежутка может быть непрерывной или непрерывной в широком
смысле.
2. Гладкая кривая и гладкая в широком смысле функция
Приведем определение гладкой кривой на языке непрерывной в широком
смысле производной.
Определение 2.1. Кривая Γ ⊂ R3 , заданная параметрически уравнениями x = x(t), y = y(t), z = z(t), t ∈ [a; b], называется гладкой, если x(t), y(t), z(t) — непрерывные функции, имеющие непрерывные в широком
смысле производные на [a; b], одновременно не равные нулю.
Определение 2.1 можно применять к кривым, представленным дифференцируемыми на рассматриваемом промежутке функциями, а также к кривым,
представленным функциями с бесконечными производными. Частным случаем определения 2.1 является следующее
Определение 2.2. Кривая Γ : y = f (x), x ∈ [a; b], называется гладкой,
если функция f имеет на отрезке [a, b] непрерывную в широком смысле производную.
√
Например, по определению 2.2 кривая y = 3 x, −∞ < x< +∞, является
 √1 , x 6= 0
3
гладкой на любом отрезке, так как производная f 0 (x) =
3 x2
 +∞,
x=0
непрерывна в широком смысле в любой конечной точке.
Далее, пусть задана функция y = f (x), x ∈ [a; b], и пусть на [a; b] существует её производная. Функцию
α(x) = arctg f 0 (x),
x ∈ [a; b],
(1)
где f 0 (x) ∈ [−∞; +∞], назовем угловой функцией для f . Здесь функция
arctg v считается определенной на расширенном множестве действительных
π
π
π
и arctg(−∞) = − , т. е. − ≤
чисел [−∞, +∞] условиями arctg(+∞) =
2
2
2
π
≤ α(x) ≤ . Определенная таким образом функция arctg v непрерывна на
2
[−∞, +∞].
Из равенства (1) видно, что существование производной f 0 (x) равносильно
существованию угловой функции в точке x. Аналогично, непрерывность в
широком смысле производной f 0 (x) равносильна непрерывности в обычном
смысле угловой функции α(x).
Действительно, пусть в точке x0 производная f 0 непрерывна в широком
смысле, т. е. lim f 0 (x) = f 0 (x0 ), где f 0 (x) ∈ [−∞, +∞]. Тогда, если f 0 (x0 ) ∈
x→x0
∈ (−∞, +∞), то угловая функция α(x) непрерывна в точке x0 , как композиция двух непрерывных функций. Если же, например, f 0 (x0 ) = +∞, то α(x0 ) =
π
= arctg(+∞) = , и в силу непрерывности функции arctg v на [−∞; +∞]
2
π
получим lim α(x) = lim arctg f 0 (x) = arctg lim f 0 (x) = arctg f 0 (x0 ) =
=
x→x0
x→x0
x→x0
2
= α(x0 ).
11
Е. Ж. Айдос
Обратно, пусть угловая функция α непрерывна в точке x0 , т. е. lim α(x) =
x→x0
π
0
= α(x0 ), где α(x0 ) = arctg f (x0 ). Тогда, учитывая неравенства − ≤ α(x) ≤
2
π
≤ , ∀ x ∈ [a; b], имеем lim f 0 (x) = lim tg α(x) = tg lim α(x) = tg α(x0 ) =
x→x0
x→x0
x→x0
2
= tg arctg f 0 (x0 ) = f 0 (x0 ). Здесь имеется в виду, что если, например, α(x0 ) =
π
π
= arctg f 0 (x0 ) =
, т. е. f 0 (x0 ) = +∞, то lim α(x) =
− 0, и потому
x→x0
2
2
1
lim f 0 (x) = lim tg α(x) = lim sin α(x) · lim
= +∞ = f 0 (x0 ). Таx→x0
x→x0
x→x0
x→x0 cos α(x)
ким образом, из непрерывности в данной точке угловой функции α следует
непрерывность в широком смысле производной f 0 в этой точке. Поэтому определение 2.2 равносильно следующему определению 2.3, сформулированному
на языке угловой функции.
Определение 2.3 (на языке угловой функции). Непрерывная кривая
Γ : y = f (x), x ∈ [a; b], называется гладкой, если f имеет непрерывную на
[a, b] угловую функцию.
√
3
x, −∞ < x < +∞, является
√
3
гладкой и по определению
 2.3. Действительно, для f (x) = x определена

 arctg √1 , x 6= 0
3
x2
, которая непрерывна в любой
угловая функция α(x) = π

 ,
x=0
2
точке.
(
1
x2 sin , x 6= 0
Для функции f (x) =
определена угловая функция,
x
0,
x
=
0

µ
¶
1
1

arctg 2x sin − cos
, x 6= 0
, но она не является непреравная α(x) =
x
x

0,
x=0
1
рывной в точке x = 0 (функция cos не имеет предела при x → 0), поэтому
x
кривая, заданная с помощью функции f , не является гладкой в смысле опреНапример, рассмотренная выше кривая y =
деления 2.3 на отрезке, содержащем точку x = 0.
¡
¢
Пусть A x; f (x) — некоторая точка непрерывной кривой Γ : y = f (x),
x ∈ [a, b]. Возьмем точку (x + h) ∈ (a, b) и выберем направление прямой S,
¡
¢
¢
проходящей через точки A x; f (x) и B(x + h; f (x + h) , так, чтобы угол β
между положительным направлением оси Ox и направлением прямой S был
π
π
острым: − < β < . Полученную таким образом направленную прямую S
2
2
назовем секущей, а β = β(x; h) — её углом наклона.
Определение 2.4. Если существует предел lim β(x, h), то направленh→0
ная прямая T (предельное положение направленной секущей), проходящая
¡
¢
через точку A x, f (x) с углом наклона α(x) = lim β(x, h), называется касательной к кривой в этой точке.
12
h→0
2012
Математика в высшем образовании
№ 10
µ
¶
π π
Заметим, что угол наклона секущей лежит в интервале − ,
, в то
2 2
время как
·
¸ угол наклона касательной может принимать значения из отрезка
π π
− ,
.
2 2
Таким образом, α(x) = arctg f 0 (x) = arctg lim β(x, h) является углом наh→0
клона касательной к кривой в точке с абсциссой x. Следовательно, из существования производной функции f в точке x следует существование касательной к кривой в точке с абсциссой x. Однако возможно, что в точке
кривой с абсциссой x касательная существует, но функция, определяющая
эту кривую, недифференцируема в точке x.
Далее, пусть для функции f в точке x и её некоторой окрестности опреде¡
¢
лена угловая функция α = α(x). Тогда касательная в точке x; f (x) графика функции f называется непрерывной в точке x, если непрерывна угловая
функция α в этой точке. Будем говорить, что касательная графика функции
f непрерывна в промежутке ∆, если она непрерывна в каждой точке ∆.
Определение 2.5 (на языке касательной). Непрерывная кривая Γ :
y = f (x), x ∈ [a; b], называется гладкой, если существует непрерывная на
отрезке [a; b] касательная кривой Γ.
Введем понятие гладкой в широком смысле функции.
Определение 2.6. Функция f называется гладкой в широком смысле на отрезке [a; b], если она имеет непрерывную в широком смысле производную на этом отрезке.
Определение 2.7. Непрерывная кривая Γ : y = f (x), x ∈ [a; b], называется гладкой, если функция f на отрезке [a; b] гладкая в широком смысле.
Для кривой, заданной параметрически, определение 2.7 можно обобщить
следующим образом.
Определение 2.8. Непрерывная кривая Γ ⊂ R3 , заданная параметрически уравнениями x = x(t), y = y(t), z = z(t), t ∈ [a; b], называется гладкой
на отрезке [a; b], если x(t), y(t), z(t) являются гладкими в широком смысле
функциями, имеющими одновременно не равные нулю производные на [a; b].
ЛИТЕРАТУРА
1. Никольский С. М. Курс математического анализа. Т. 1. — M.: Наука, 1983.
Поступила 06.02.2012
13
Е. Ж. Айдос
THE SMOOTH CURVES PRESENTED BY NOT DIFFERENTIATED
FUNCTIONS
E. Z. Ajdos
In article the concept is entered: «continuous in a broad sense function» and with its
help is defined smoothness of the curve presented by functions, having finite and infinite
derivatives in points. Characteristic of the function f with the help of which is possible
to establish smoothness of a curve, is given.
Keywords: limit, derivative, infinity, smooth curve, the infinite derivative, tangent,
angular function, not differentiated function.
14