Математика (БкПл-100) Лекция

Математика
(БкПл-100)
М.П. Харламов
2011/2012 учебный год, 1-й семестр
Лекция 4. Высказывания и
логические операции
1
Введение
Человек с древних времен стремился познать законы
правильного мышления, то есть логические законы.
Законы развития есть у природы, общества, любой
сложной системы и, конечно же, у самого мышления. Мы
можем не осознавать их, но нужно всегда следовать им,
чтобы жить в обществе, общаться с людьми, понимать их
и быть понятыми.
Современную логику часто называют символической
или математической логикой.
У истоков современной логики стоит Г.Лейбниц,
выдвинувший
идею
представить
логическое
доказательство как вычисление, подобное вычислению в
математике.
2
Понятие высказывания
Опр. Высказывание - это суждение, утверждение, в
котором что-либо утверждается или отрицается о предметах,
их свойствах, или отношениях, выраженное, как правило, в
форме повествовательного предложения.
НАПРИМЕР:
1. “Этот апельсин вкусный”,
2. “Если прошел дождь, то на улице весна”,
3. “На Земле живут земляне, а на Марсе марсиане”.
Логически строгое высказывание должно иметь
определенную предметную область - набор объектов, к
которым оно применяется.
Упражнение. Что можно сказать о предметной области
высказываний из примеров 1-3?
3
Виды высказываний
Опр. Высказывание называется простым, если оно содержит
одно суждение, утверждение.
Опр. Высказывание называется сложным, если оно содержит
несколько суждений, утверждений, соединенных союзами.
ПРИМЕРЫ
«Наступила весна»,
высказывания
«Прилетели
грачи»
–
простые
«Наступила весна, и прилетели грачи», «Если прилетели
грачи, то наступила весна» – сложные высказывания,
состоящие из двух простых.
Таким образом, простое высказывание можно выразить
простым предложением, а сложное - сложносочиненным или
сложноподчиненные предложения.
4
Значение высказывания
Всякое высказывание, может быть либо истинным,
либо ложным по своему содержанию, в зависимости от
объекта из предметной области, к которому оно
применяется.
Опр. Значением высказывания называется одна из
логических констант – «истина» или «ложь», в
зависимости от того, истинно или ложно высказывание в
применении к данному объекту.
Бывают, конечно, высказывания всегда истинные или
всегда ложные.
Высказывания обозначаются обычно прописными
буквами (как множества).
5
Алгебра высказываний
Алгебра высказываний (алгебра логики) изучает
строение (форму, структуру) сложных логических
высказываний и способы установления их истинности с
помощью алгебраических методов.
Если высказывание А истинное, то будем писать
"А = 1" и говорить: "А - истинно".
Если высказывание А ложно, то будем писать " А = 0"
и говорить " А ложно".
ПРИМЕРЫ:
А = "Солнце светит для всех" = 1 - истинно
В = "Все студенты любят математику" = 0 - ложно
Д = "А ты занимаешься спортом?" - не
высказывание, т.к. не является повествовательным
предложением .
6
I. Логические операции
1) ЛОГИЧЕСКОЕ ОТРИЦАНИЕ (ИНВЕРСИЯ)
Пояснение.
Инверсия
образуется
из
простого
высказывания с помощью добавления частицы НЕ к
сказуемому или использованием оборота речи "НЕВЕРНО,
ЧТО ...".
Слово “инверсия” (от лат. inversio - переворачивание)
означает, что истина меняется на ложь, ложь на истину,
ноль на один, один на ноль.
Инверсия обозначается : не А; ¬А; not A; A
А
не А
У меня есть компьютер
0
У меня нет
компьютера
1
На улице не весенняя
погода
1
На улице весенняя
погода
0
7
Опр. Инверсия высказывания истинна, если
высказывание ложно, и ложна, если высказывание
истинно.
Значение истинности высказывания формы не А
определяется по специальной таблице истинности
для операции инверсии:
A
A
Примечание. Читается:
0
1
Если А ложно, то не А истинно
1
0
Если А истинно, то не А ложно
8
Графическое представление
Определение. Диаграмма Эйлера-Венна - способ
наглядного представления высказываний, при котором вся
предметная область изображается в виде прямоугольника,
каждое простое высказывание изображается в виде круга
(овала или другой фигуры), символизирующего множество
объектов, для которых оно истинно.
Пример. Диаграммы Эйлера - Венна для изображения инверсии.
9
2) ЛОГИЧЕСКОЕ УМНОЖЕНИЕ (КОНЪЮНКЦИЯ)
Пояснение. Конъюнкция образуется соединением
двух высказываний в одно с помощью союза "И".
ПРИМЕР.
А = На автостоянке стоит "Мерседес"
В = На автостоянке стоят "Жигули"
А конъюнкция В = На автостоянке стоят
"Мерседес" и "Жигули"
Операция конъюнкции обозначается: Λ; &; *;
and; и.
10
Опр. Операция конъюнкции двух высказываний истинна
тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны, и
ложна, когда хотя бы одно высказывание ложно.
Таблица истинности и диаграмма ЭйлераВенна для логического умножения
А
В
A B
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
11
3) ЛОГИЧЕСКОЕ СЛОЖЕНИЕ (ДИЗЪЮНКЦИЯ)
Пояснение. Дизъюнкция образуется соединением
двух высказываний в одно с помощью союза ИЛИ.
ПРИМЕРЫ
Завтра будет дождь или снег.
Коля едет в электричке или в маршрутке.
Обозначается:
А или В; А OR В; А | В; А V В
12
Опр. Операция дизъюнкции двух высказываний ложна
тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны, и
истинна, когда хотя бы одно высказывание истинно.
Таблица истинности и диаграмма ЭйлераВенна для логического сложения
А
В
A B
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
13
4) ЛОГИЧЕСКОЕ СЛЕДОВАНИЕ (ИМПЛИКАЦИЯ)
Пояснение. Импликация образуется соединением
двух высказываний в одно с помощью оборота речи
"ЕСЛИ ..., ТО... "
ПРИМЕРЫ
Если идет дождь, то асфальт мокрый.
Если число делится на 9, то оно делится на 3.
Импликация обозначается: А=>В; АВ; AB
Говорят: "Если А, то В", "В следует из А".
14
Опр. Импликация двух высказываний ложна тогда и
только тогда, когда из истинного высказывания
следует ложное (истинная предпосылка ведет к
ложному выводу).
Таблица истинности операции импликации
А
В
АВ
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
15
5) ЛОГИЧЕСКОЕ РАВЕНСТВО (ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ)
Пояснение. Эквивалентность образуется соединением
двух высказываний в одно при помощи оборота речи "...
ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА ...".
ПРИМЕРЫ
“Две прямые параллельны тогда и только тогда,
когда они не пересекаются”
“Голова думает тогда и только тогда, когда язык
отдыхает”
Все законы математики, все определения – это
эквивалентность высказываний.
Эквивалентность обозначается: А = В; А ~ В
16
Опр. Эквивалентность двух высказываний истинна,
тогда и только тогда, когда оба эти высказывания
истинны, или оба ложны одновременно.
Таблица истинности операции эквивалентности
А
В
А~В
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
17
II. Логические функции
В формулах алгебры логики используются
только логические переменные. Логические
связки (И, ИЛИ, НЕ, ЕСЛИ…ТО и т.д.)
обозначают логические операции.
Каждая формула задает логическую функцию,
которая сама может принимать только одно из
двух логических значений (0 или 1). Формула
есть формальная запись сложного высказывания.
Пример: вместо выражения С = А V В можно
написать F(A,B) = A V B и рассматривать его как
функцию двух переменных.
18
Функции и формулы
Опр. Логическая функция - это правило, по
которому всем возможным значениям заданного
конечного
числа
высказываний
(аргументов)
сопоставляется логическая константа (истина или
ложь, ноль или единица)
Опр. Формализация сложных высказываний есть
запись сложного высказывания в виде логической
функции (формулы, выражения) от составляющих
его простых высказываний.
19
Примеры
Пример 1. Записать высказывание Е = «Ваш приезд
не является ни необходимым, ни желательным» в
виде функции от двух высказываний:
А = " Ваш приезд необходим ";
В = " Ваш приезд желателен "
Ответ: E= ¬(A) & ¬ (B)
Пример 2. Записать высказывание E = «Если вчера
было пасмурно, то сегодня ярко светит солнце» в
виде функции от двух высказываний:
А = "Вчера было пасмурно";
В = "Сегодня ярко светит солнце"
Ответ: Е = А → B
20
Приоритет логических операций в формулах
Вычисление значений логических выражений
выполняется в определенном порядке, согласно
их приоритету:
- инверсия
- конъюнкция
- дизъюнкция
- импликация и эквивалентность.
Операции одного приоритета выполняются
слева направо. Для изменения порядка
действий используются скобки.
21
ПРИМЕР:
А V (B → C) & D = не(A)
Порядок выполнения:
Не(А) - инверсия
В → С - импликация
(В → С) & D - конъюнкция
А V (B → C) & D - дизъюнкция
А V (B → C) & D = не(A)- эквивалентность
22
ТОЖДЕСТВЕННО ИСТИННЫЕ И ТОЖДЕСТВЕННО ЛОЖНЫЕ
ВЫСКАЗЫВАНИЯ
Опр. Если сложное высказывание истинно для всех
значений входящих в него переменных, то такое
высказывание называется ТОЖДЕСТВЕННО ИСТИННЫМ
(обозначается константой 1): А V не(А) = 1.
ПРИМЕР. Высказывание: "Демократ - это человек,
исповедующий демократические убеждения" - всегда
истинно, то есть является тавтологией.
Опр. Если сложное высказывание ложно при всех
значениях входящих в него переменных, то такое
высказывание называется ТОЖДЕСТВЕННО ЛОЖНЫМ
(обозначается константой 0 ): A & не(A) = 0.
ПРИМЕР. "Сегодня среда, а это - второй день недели"
является тождественно ложным.
23
Решение логических задач
Алеша, Боря и Гриша нашли в земле сосуд.
Рассматривая находку, каждый высказал по два
предположения:
 Алеша: «Сосуд греческий и изготовлен в V в.» .
 Борис: «Сосуд финикийский и изготовлен в III в.»
 Гриша: «Сосуд не греческий и изготовлен в IV в.»
Учитель истории сказал ребятам, что каждый из них
прав только в одном из двух предположений. Где и в
каком веке изготовлен сосуд?
24
Пример построения таблицы истинности:
ABC
Аргументы
A
B
C
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
Вспомогательные
A
AB
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
1
0
1
Результат
ABC
0
1
0
1
1
1
0
1
25
Контрольные вопросы
1. Определение высказывания. Предметная область высказывания.
2. Определение простого и сложного высказывания. Способы их
выражения.
3. Что называется значением высказывания? Что такое логическая
константа?
4. Определение диаграммы Эйлера-Венна.
5. Инверсия: определение, обозначение, таблица истинности и
диаграмма Эйлера-Венна.
6. Конъюнкция: определение, обозначение, таблица истинности и
диаграмма Эйлера-Венна.
7. Дизъюнкция: определение, обозначение, таблица истинности и
диаграмма Эйлера-Венна.
26
Контрольные вопросы (продолжение)
8. Импликация: определение, обозначение, таблица истинности.
9. Эквивалентность: определение, обозначение, таблица истинности.
10. Определение логической функции.
11. Приоритет (порядок выполнения) логических операций в логических
формулах.
12. Понятия тождественно истинного и тождественно ложного
высказывания.
27