Парные сравнения

Проф. А.Н.Райков
Лабораторная работа № 3
«Парные сравнения»
1. Цели
1. Привить умение быстро и правильно упорядочивать проблемы, альтернативы, объекты, критерии, факторы, характеристики и пр. по приоритету.
2. Привить умение при работе в группе людей делать это согласованно.
2. Теория
2.1. Выявление приоритетов. Проведение процедуры выявления приоритетов
среди альтернатив, объектов, критериев, факторов, характеристики (далее – объектов)
и др. может быть осуществлено методом парных сравнений. Этот метод является
важным компонентом метода анализа иерархий, когда объекты упорядочиваются и
соподчиняются по уровням иерархии1,2. Метод парных сравнений носит и самостоятельное значение.
Парные сравнения выполняет эксперт или группа экспертов под контролем ведущего (модератора). «Веса» объектов являются субъективными мнениями и нуждаются в оценке согласованности. В таблице 1 приведена шкала относительной важности объектов при их парном сравнении. При этом сравнение осуществляется по отношению к некоторому вышестоящему в иерархии критерию.
Таблица 1. Шкала относительной важности при парном сравнении
Степень
Определение
Объяснение
предпочтения
Независимы
Эксперт затрудняется ответить
0
Равная важность (значимость) Имеют одинаковую важность
1
Некоторое (слабое) предпо- Разница в важности равна 1 бал2
чтение значимости
лу
Сильное предпочтение значи- Разница в важности равна 2 бал3
мости
лам
Очень сильное предпочтение Разница в важности равна 3 бал4
значимости
лам
Абсолютное
предпочтение Разница в важности равна 4 бал5
значимости
лам
2.2. Матрица парных сравнений объектов. Основным элементом для представления интенсивности взаимовлияния объектов является матрица парных сравнений. Объекты, находящиеся на одном уровне иерархи обладают одинаковыми наборами показателей. Значения этих показателей для каждого объекта различные. Конечной целью сравнения объектов - выяснить их рейтинг среди рассматриваемого
множества, причем, рейтинг стремятся получить в виде количественной индивидуальной оценки. Решение задачи осуществляется снизу вверх. Сначала рассматривают
объекты, находящиеся на самом нижнем уровне иерархии (эксперты, альтернативы,
1
Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий/ пер. с англ. – М.: Радио и связь,
1993. – 278 с.
2
Павлов А.Н. Решение многокритериальных задач методом анализа иерархий: учебное пособие. – М.: РАГС, 2010, - 116 с.
1
критерии, факторы и др.) и попарно сравнивают друг с другом. При сравнении пары
объектов эксперт стремится установить насколько один объект лучше (хуже) другого,
что выражается установлением количественной оценки (таблица 1). Просмотрев все
сочетания возможных пар объектов, и установив между ними оценки взаимного влияния, эксперт получает матрицу парных сравнений.
Метод парных сравнений заключается в сравнении изучаемых объектов между
собой. Объекты сравниваются попарно по отношению к их воздействию («весу», или
«интенсивности») на общую для них (вышестоящую в иерархии) характеристику.
Обозначим через: А1, А2, ...,Аn основные факторы, определяющие состав объекта.
Тогда для определения структуры объекта заполняется матрица парных сравнений, Если
обозначить долю фактора Ai через Wj (оценка, которую проставляет эксперт, в соот-
ветствии с выбранной шкалой), то элемент матрицы aij= Wj / Wj, которая представлена в таблице 4. В предлагаемом варианте применения метода парных сравнений,
определяются не величины разностей значений факторов, а их отношение - aij = 1/
aji. Матрица парных сравнений является положительно определенной, обратносимметричной матрицей. Особенностью обратно симметричной матрицы парных
сравнений является:
 на главной диагонали всегда должна стоять оценка равная 1;
 всегда должно выдерживаться соотношение, отвечающее условию: если при
сравнении i-го объекта с j-м объектом ставится оценка аij, то при сравнении j-го объекта с i-м, оценка aji должна быть обратной.
Таблица 2. Матрица парных сравнений
Общее представление
матрицы парных сравнении
А1
А2
А1
1
а21
А2
a12
1
An
a1п
a2п
An
an1 а n2
1
Работа экспертов состоит в том, что, производя парное сравнение факторов А1,
An, необходимо заполнить таблицу парных сравнений. Парные сравнения элементов
могут производиться с использованием субъективных суждений, численно оцениваемых по шкале, а затем решается проблема нахождения компонента w. Таким образом
решение задачи состоит в отыскании вектора (wb w2,
wn). Существует несколько
различных способов отыскания подобного вектора приоритетов. Например, через
определение собственного вектора матрицы.
2.3. Собственный вектор матрицы парных сравнений. Собственный вектор
матрицы парных сравнений определяет порядок важности сравниваемых объектов в
количественном выражении. Он обеспечивает упорядочение приоритетов (критериев)
объектов. Иногда значения собственного вектора матрицы парных сравнений называют вектором приоритетов, а собственное значение является мерой согласованности
суждений.
Следующим шагом, после составления матрицы парных сравнений, является
вычисление вектора приоритетов. Относительная сила, величина или вероятность
каждого отдельного объекта в иерархии определяется оценкой соответствующего ему
элемента собственного вектора матрицы приоритетов, нормализованного к единице.
2
Метод отыскания вектора w основывается на одном из утверждений линейной алгебры - искомый вектор является собственным вектором матрицы парных сравнений, соответствующим максимальному собственному числу - λmax. В этом случае отыскивается λmax, а затем достаточно решить векторное уравнение A*w= λmax *w.
Процедура определения собственных векторов матриц поддается приближению. Например, приближенное вычисление собственного вектора (столбца) методом
среднего геометрического измерения расстояний между оцениваемыми объектами
может быть осуществлен в следующем порядке:
 перемножаются элементы каждой строки и полученные результаты записываются в столбец;
 извлекается корень n-й степени из каждого элемента найденного столбца;
 складываются элементы этого столбца;
 каждый из этих элементов делится на полученную сумму.
Тем самым получается нормализованный вектор приоритетов.
2.4. Проверка согласованности экспертных оценок. Определив вектор приоритетов необходимо найти Главное собственное значение матрицы парных сравнений
λmax. Оно используется для оценки согласованности экспертных оценок. Чем ближе
оно к размерности матрицы, тем более согласованы оценки. Если известны точные
значения сравниваемых объектов (например, длины, расстояния и пр.), то Главное
собственное значение матрицы парных сравнений равно размерности матрицы. Главное собственное значение матрицы парных сравнений представляет собой сумму отклонений оценок парных сравнений от идеального значения (в частном случае, когда
отклонения равны нулю, главное значение матрицы будет равно количеству сравниваемых объектов). Отклонения (рассогласование с идеальным значением) оценок
парных сравнений от идеального значения вычисляется как произведение нормализованной оценки для каждого объекта на суммарное значение оценок для рассматриваемого объекта, выставленных экспертом (сумма оценок по столбцу матрицы парных
сравнений).
При парном сравнении объектов выставляется оценка, которая показывает величину - на сколько, один объект предпочтительнее другого. Эксперт может ошибиться при сравнении другой пары объектов, что приведет к противоречивости результатов.
Для выявления противоречивости результатов, которые предложил эксперт при
заполнении матрицы парных сравнений используется количественная оценка - индекс
согласованности (ИС). Если отклонения от согласованности превышают установленные пределы, то необходимо скорректировать матрицу. Отклонение от согласованности может быть выражено величиной равной отношению разности λmax и n к n-1.
ИС = (λmax - n)/(n - 1)
Используется дискретная шкала относительной важности, это, в свою очередь
приводит к рассогласованию реальных оценок с идеальными оценками. Для окончательного выяснения согласованности результатов парных сравнений вычисляется количественная оценка относительной согласованности (ОС). Это отношение индекса
согласованности к среднестатистическому значению индекса согласованности (СС)
при случайном выборе коэффициентов матрицы сравнений. Относительная согласованность для системы в целом характеризует взвешенное среднее значение относительной согласованности по всем матрицам сравнений. Отношение ИС к среднему
СС для матрицы того же порядка называется отношением согласованности (ОС).
Данные можно считать практически непротиворечивыми (достаточно согласованны3
ми), если значение отношения согласованности меньше чем 0,1. В качестве поправочного коэффициента при окончательном выяснении согласованности оценок в матрице парных сравнений, используется среднее значение случайного индекса (СС) согласно таблицы 3.
Таблица 3. Среднее значение случайного индекса
Среднее значение случайного индекса согласованности
Размер матрицы
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Случайная согласо0
0 0,58 0,90 1,12 1,24 1,32 1,41 1,45 1,49
ванность (СС)
Индекс согласованности не зависит от шкал сравнений, но зависит от количества парных сравнений. Индекс согласованности - положительное число. Чем меньше
противоречий в сравнениях, тем меньше значение индекса согласованности. При использовании способа сравнений с эталоном значение индекса согласованности равно
нулю. Идеальным сравнениям соответствуют нулевой индекс согласованности и, соответственно, нулевое значение относительной согласованности.
2.5. Экспертные оценки при большом числе уровней иерархии. При числе
уровней иерархии большем, чем 2, необходимо сначала методом парных сравнений
оценить приоритеты критериев, а затем, тем же методом парных сравнений, приоритеты факторов, раскрывающих эти критерии. Следует заметить, что трудоемкость
процедуры растет, как минимум, в полиномиальной зависимости от числа факторов.
И, соответственно, может составлять практически неподъемную, и, по своей сути,
бессмысленную, процедуру.
Практика показывает, что в деловых ситуациях, особенно в ситуациях с большой неопределенностью или когда нет очень жестких требований к уровню согласованности, например, значение ОС допускается в интервале 0,1–0,3, иногда можно
сравнить критерии (2-й уровень иерархии) по методу анализа иерархий, а для факторов (следующий уровень иерархии) ограничиться их сравнением в рамках каждого
критерия уже без использования метода анализа иерархии. Можно использовать простой метод балльных оценок.
Интегральная оценка каждого фактора в этом случае определяется взвешенной
(по весам критериев) суммой многокритериальных значений компонентов факторов.
Эти оценки в нормированном виде могут использоваться для определения приоритетов факторов.
3. Практика: оценка рейтинга экспертов.
3.1. В практической работе необходимо определить рейтинг экспертов по набору их характеристик. Для этого необходимо:
 выбрать тему экспертной деятельности (событие, дисциплина, проблема и
пр.);
 подобрать 4-5 экспертов по этой теме;
 разбиться по группам и проставить в каждой группе характеристики экспертов;
 определить уровень согласованности экспертной процедуры;
 скорректировать экспертные оценки при нарушении уровня согласованности;
 представить приоритеты экспертов.
4
3.2. В качестве экспертов могут быть взяты участники лабораторной работы,
или - известные внешние специалисты, ученые, политики и др. В качестве экспертов
могут выступать как организации, так и отдельные эксперты.
При подборе экспертов необходимо помнить, что качество групповой экспертизы определяется, прежде всего, компетентностью экспертов, умением экспертов
оценить ситуацию, выявить недостающие факторы и их взаимовлияния. На подбор
экспертов влияет методика подготовки управленческого решения с применением экспертных процедур. Обычно предполагается, что в наибольшей степени должно учитываться мнение специалистов именно по тому профилю, к которому имеет отношение анализируемый вопрос.
Так, например, при анализе кадровой политики эксперты должны обладать,
прежде всего, знаниями экономики и социологии труда, трудового законодательства,
механизма функционирования и регулирования рынка труда и иметь опыт работы в
данной области 3 . В то же время в состав экспертов могут войти специалисты по
смежным дисциплинам: государственному управлению, корпоративному менеджменту, менеджменту качества, маркетингу, созданию систем управления мотивациями и
др. Нельзя пренебрегать и мнением экспертов из других проблемных областей.
В любом случае возникает необходимость определения весов значимости экспертов при оценивании различных блоков показателей. Рейтинг отдельного эксперта
определяет значимость его мнения и должен учитываться при обработке результатов
экспертизы.
При оценке рейтинга могут потребоваться данные по следующим трем блокам
показателей (критерии):

индивидуальные характеристики экспертов, отражающие их мотивации,
желания, интересы, потребности;

параметры деятельности экспертов, отражающие их текущую экспертную
активность, включая групповую;

параметры оценки компетенции деятельности экспертов (профессионализм).
При этом каждый из блоков может характеризоваться несколькими показателями, каждый из которых не обязательно имеет количественное измерение. В этом
случае иерархия характеристик экспертов имеет 4-уровневое построение, представленное на рис. 1. На верхнем уровне – интегральный показатель «Качество эксперта»,
на втором уровне – три критерия, на третьем уровне – показатели, характеризующие
каждый критерий, на четвертом – сами эксперты.
Выявление приоритетов перечисленных компонентов иерархии осуществляется
с использованием метода парных сравнений. Для каждой пары компонентов иерархии, находящейся на одном уровне, определяется, насколько один компонент пары
сильнее (предпочтительнее) влияет, чем другой, на вышестоящий компонент. Сила
влияния оценивается по шкале (таблица 1).
В идеальном случае построение иерархии - трудоемкая задача. Поэтому, принимая во внимание, что большинство оценок делают эксперты, которые знают идеальную иерархию, целесообразно ее упростить до 3-уровневого иерархического дерева. Для этого из иерархии исключается уровень показателей, детализирующих крите-
3. Чернышева Т.Ю. Иерархическая модель оценки и отбора экспертов// Доклады ТУСУРа, №
1(19), часть 1, 2009. – С. 168 - 173.
5
рии. При этом наиболее значимые показатели могут быть вынесены на уровень критериев (рис. 2).
Качество
эксперта
Показатели
1. Индивидуальные
характеристики
1
2
3
4
5
6
7
8
Критерии
2. Текущая
деятельность
9
1
Эксперт 1
2
3
4
5
6
7
8
3. Компетенция,
профессионализм
9
10
1
2
3
4
Эксперт 2
5
6
7
8
Эксперт N
Рис. 1. Иерархия для ранжирования экспертов
Качество эксперта
1. Креативность
Эксперт 1
2. Независимость
3. Активность
Эксперт 2
Критерии
4. Опыт
5. Профессионализм
Эксперт N
Рис. 2. Упрощенная для ранжирования экспертов иерархия
Расчет рейтингов осуществляется с применением программного продукта.
Например, таким продуктjм может быть специально настроенная таблица, сделанная
в среде Excel (рис. 3). С помощью этой таблицы сначала экспертная группа участников работы с применением метода парных сравнений оценивает приоритеты пяти
критериев. Затем определяется собственный вектор матрицы, и, соответственно, вычисляются приоритеты и относительная важность критериев.
Проводится определение согласованности экспертных оценок, для чего вычисляется Индекс согласованности (ИС) и значение Относительной согласованности
сравнений (ОС). Значение ОС получено в пределах допустимого 0,1.
6
0,252
1. Креативность
0,050
2. Независимость
0,129
3. Активность
0,180
4. Опыт
0,390
5. Профессионализм
Важность эксперта
Рейтинг эксперта
Критерий
1
1
3
2
2
5
5
2
3
3
4
2
3
3
5
3
4
4
3
4
4
5
3
4
4
Эксперты
5
4
5
2
2
3
4,0
1
2
2,9
5
3
4
3,6
3
5
3,9
2
W
3,0
4
ПР
1. Креативность
1
3
2
3
0,5
0,252
9,000
1,552
2
λmax=
5,336
2. Независимость
0,33
1
0,2
0,2
0,2
0,050
0,003
0,306
5
ИС=
0,084
3. Активность
0,5
5
1
0,5
0,25
0,129
0,313
0,792
4
ОС=
0,08
4. Опыт
0,33
5
2
1
0,5
0,180
1,667
1,108
3
2
5
4
2
1
0,390
80,000
2,402
1
4,17
19
9,2
6,7
2,5
1
Критерий
5. Профессионализм
Сумма
Важность
W
6
3
5
2
2
3
7
3
2
3
3
2
8
2
5
5
1
1
2,8
2,6
6
8
Приоритет Ранг
6,160
2
5
4
3
1
Обозначения:
ПР
Произведение значений ячеек по строке
W
Собственный вектор матрицы
λmax- Главное собственное значение матрицы
ИС
Индекс согласованности
ОС
Относительная согласованность сравнений
Рис. 4. Ранжирование экспертов (пример представления)
7
9
3
4
4
3
3
2,0
2,7
9
7
Согласованность
Эксперты:
1.
Петров
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Иванов
Сидоров