Document 838198

АЛГОРИТМ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЙ ОБРАБОТКИ ДАННЫХ ПРИ
РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ВЫБОРА МЕТОДОМ СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ
С.А. Телкова
(Воронежский институт МВД России, Воронеж.)
При принятии управленческих решений и прогнозировании возможных
результатов обычно возникает проблема учета сложной системы взаимозависимых
компонент (ресурсы, желаемые исходы или цели, лица или группы лиц и т.д.). Решение
такого типа задач возможно методом собственных векторов, который математически
учитывает различия между характеристиками рассматриваемых вариантов выбора и
степень важности каждой из характеристик. В его основу положено попарное сравнение
n элементов и определение коэффициентов важности w 1 , …, w n каждого из них в
достижении соотвествующей цели [1].
В [1] отмечается, что получение одного и того же вектора приоритетов по
различным наборам входных данных (т. е. получение согласованного решения) возможно
тогда, когда при наличии основного массива необработанных данных все
другие данные логически могут быть получены из них. При построении матрицы
предпочтений непосредственно по данным экспертных оценок в допустимый диапазон
значений индекса согласованности удается попасть лишь в случае небольшого числа n
парных сравнений – обычно 2 или 3 [1]. Для матриц, построенных по количеству n  3
парных сравнений, приходится применять специальные процедуры улучшения
согласованности.
Разработанная итеративная процедура повышения согласованности основана на
пересчете элементов матрицы предпочтений, имеющих наибольшие отклонения от
элементов матрицы отношений приоритетов.
Основные этапы предлагаемой процедуры заключаются в следующем:
1. Отыскиваются каким-либо образом собственные значения матрицы
A  (aij ), i  1,..., n, j  1,..., n – исходная матрица предпочтений, где в j-х
элементах i-й строки записан приоритет j-й характеристики объекта относительно i-й.
2. Находятся коэффициенты важности характеристик определением собственного
A W  maxW ,
вектора W  w 1 , w 2 , ... , w n  , который удовлетворяет уравнению
где  max - наибольшее собственное значение матрицы A .
3. Составляется матрица B отношений приоритетов в виде
 w1 / w1
w / w
B 2 1
 .

w n / w1
... w n / w 1 
w 2 / w 2 ... w 2 / w n 
,
(1)
.
...
. 

w n / w 2 ... w n / w n 
T
4. Вычисляется вектор C  c1 , c 2 , ..., c n  среднеквадратических отклонений
элементов строк матриц A и B , где T – знак транспонирования, а элементы вектора C
w1 / w 2
находятся по формулам
n
ci  
j1
b
ij
 a ij 
b 
2
ij
2
, i  1,2, ..., n , b ij – элемент матрицы B .
(2)
5. Определяется k – номер строки матрицы A , в которой содержатся элементы,
наиболее сильно отличающиеся от соответствующих элементов матрицы B , то есть
k : c k  max c1 , c 2 , ..., c n  .
6. Модифицируется k -я строка матрицы A и результат записывается в матрицу
D . Элементы d kj матрицы D вычисляются по формуле
d kj 
a kj  b kj
2
, j  1,2, ..., n .
Элементы всех остальных строк не меняются, то есть
d ij  a ij , i  1,2, ..., n , i  k , j  1,2, ..., n
пор,

(3)
(4)
7. Этапы 1 – 6 (вместо матрицы A подставляется матрица D ) повторяются до тех
пока не будет достигнуто требуемое значение индекса согласованности
 max  n
.
n 1
Следует отметить, что в случае, когда процедура повышения согласованности не
используется, отыскание вектора приоритетов ограничивается приведенными выше
этапами 1 и 2. Повышение же согласованности достигается за счет многократного
итеративного пересчета элементов матрицы предпочтений (этап 6). Причем
критерий, используемый на этапе 4, учитывает одновременно отличия всех
элементов соответствующих строк матриц A и B . Оправданием последнего
служит то, что в общем случае человек имеет склонность к неопределенности при оценке
отношения одного действия ко всем другим действиям, а не к одному
конкретному. Правило пересчета элементов матрицы A отражено в содержании этапов 3
– 6.
Предложенная процедура повышения согласованности была реализована в среде
программирования MathCAD.
ЛИТЕРАТУРА
1. Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий / Т. Саати: Пер. с англ. –
М.: «Радио и связь», 1993. – 320 с.