73.07Kb - G

ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ РЕГУЛИРОВАНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РОСТА НА
БАЗЕ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ВЫЧИСЛИМОЙ МОДЕЛИ ОБЩЕГО РАВНОВЕСИЯ
С СЕКТОРОМ ЗНАНИЙ
Ашимов А.А., Султанов Б.Т., Боровский Ю.В., Нурсеитов Д.Б., Алшанов Р.А.,
Ашимов Ас.А.
Казахский национальный технический университет им К.И. Сатпаева, г. Алматы
[email protected], [email protected]
Ключевые слова: стохастическое моделирование, динамическая система с аддитивным шумом,
идентификация, параметрическое регулирование.
Цель работы – представить один новый метод параметрической идентификации, результаты развития теории параметрического регулирования и показать эффективность применения
предложенного метода идентификации и развитых положений теории параметрического регулирования для решения соответствующих прикладных задач. В работе описан предложенный
метод параметрической идентификации, сформулированы и приведены схемы доказательств
теоремы об условиях существовании одной задачи вариационного исчисления по синтезу
оптимального закона параметрического регулирования и теоремы об условиях непрерывной
зависимости оптимальных значений критерия поставленной задачи от неуправляемых параметров дискретной стохастической управляемой системы. Эффективно решены задачи параметрической идентификации вычислимой модели общего равновесия с сектором знаний. Также,
показана эффективность нахождения оптимальных (в смысле критерия, характеризующего
экономический рост) значений параметров детерминированного и стохастического вариантов
вычислимой модели общего равновесия с сектором знаний.
Введение
Как известно [1], представленные в литературе модели национальной экономики отражают
в математической форме важнейшие свойства экономической системы и не учитывают ряд
возникающих шоковых явлений, например, таких, как нарушения со стороны аспекта предложения (производительность и предложение рабочей силы), нарушения на стороне спроса
(предпочтения, специфика инвестиций, государственных ассигнований), эффект повышения
издержек или марж (наценки, надбавки к заработной плате, премии за риск) и др.
Согласно теории деловых циклов, факторы, определяющие экономический рост и деловые
циклы, являются факторами одной природы [2]. Поэтому изучение экономического роста на
фоне деловых циклов должно проводиться на базе одной математической модели. В данной
работе для изучения экономического роста на фоне деловых циклов принимается предположение о том, что вышеуказанные и другие возможные нарушения в детерминированной математической модели национальной экономики можно аппроксимировать путем добавления аддитивного шума к правым частям динамических уравнений соответствующей математической
модели экономической системы.
Ниже теория параметрического регулирования эволюции национального хозяйства, эффективность которой показана на классе моделей в виде непрерывных или дискретных динамических систем [3], [4], [5], [6], развивается на класс дискретных динамических систем с
аддитивным шумом, важным подклассом которого являются вычислимые модели общего
равновесия (так называемые CGE-модели [7]) с аддитивным шумом. В том числе, в рамках
развития теории параметрического регулирования в данной работе для дискретных динамических систем с аддитивным шумом сформулированы и доказаны теоремы о достаточных условиях:
1
- существования решения задачи вариационного исчисления по выбору оптимальных значений параметров системы в заданном множестве их значений (синтезу оптимальных законов
регулирования).
- непрерывной зависимости оптимальных значений критерия задачи вариационного исчисления по синтезу оптимальных законов регулирования от значений неуправляемых параметров.
Выполнение условий существования решения указанной задачи вариационного исчисления гарантирует, в частности, конечность математического ожидания фазовых траекторий
процесса на конечном промежутке времени.
В качестве примера приложений полученных теоретических результатов в работе рассматривается дискретная стохастическая модель, полученная из детерминированной вычислимой
модели общего равновесия с сектором знаний Макарова [7] путем добавления аддитивного
шума к правым частям динамических уравнений модели. Решена задача параметрической
идентификации детерминированного варианта исследуемой модели на базе статистических
данных по эволюции экономики Республики Казахстан. Сформулирована и решена численными методами одна задача оптимального (в смысле некоторого критерия) экономического роста
национального хозяйства Республики Казахстан методами теории параметрического регулирования на базе детерминированного и стохастического вариантов стохастической вычислимой
модели общего равновесия с сектором знаний.
1. Элементы теории параметрического регулирования на базе дискретной
динамической системы с аддитивным шумом
Рассматривается дискретная стохастическая управляемая система
(1) 𝑥(𝑡 + 1) = 𝑓(𝑥(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝛼) + 𝜉(𝑡), 𝑡 = 0, … , 𝑛 − 1,
(2) 𝑥(0) = 𝑥0 .
Здесь t – время, принимающее неотрицательные целочисленные значения; 𝑥(𝑡) =
(𝑥 1 (𝑡), … , 𝑥 𝑚 (𝑡)) – функция состояния системы (1) - (2), случайная вектор-функция дискретного аргумента (векторный случайный процесс); 𝑢(𝑡) = (𝑢1 (𝑡), … , 𝑢𝑞 (𝑡)) – управление, векторфункция дискретного аргумента, 𝑎 = (𝑎1 , … , 𝑢 𝑠 ) ∈ 𝐴 – детерминированный вектор неуправляемых параметров (вектор возмущений системы), 𝐴 ⊂ 𝑅 𝑠 – заданное непустое открытое связное
множество , 𝜉(𝑡) = (𝜉1 (𝑡), … , 𝜉 𝑚 (𝑡)) – известный векторный случайный процесс, выражающий
помехи, 𝑓 – известная вектор-функция своих аргументов, 𝑥0 – начальное состояние системы,
детерминированный вектор.
Зададим критерий оптимальности, подлежащий максимизации при фиксированном 𝑎:
(3) 𝐾𝑎 = 𝐄{∑𝑛𝑡=1 𝐹𝑡 [𝑥(𝑡)]}.
Здесь 𝐹𝑡 – известные функции, 𝐄 – математическое ожидание, 𝑥(𝑡) – решение системы (1), (2)
при заданном 𝑎.
Введем фазовые ограничения на систему:
(4) 𝐄[𝑥(𝑡)] ∈ 𝑋(𝑡), 𝑡 = 1, … , 𝑛,
где 𝑋(𝑡) – заданное множество.
В рассматриваемых далее задачах предполагаются также явные ограничения на управление:
(5) 𝑢(𝑡) ∈ 𝑈(𝑡), 𝑡 = 0, … , 𝑛 − 1,
где 𝑈(𝑡) ⊂ 𝑅 𝑞 – заданное множество. Множества 𝑋(𝑡), 𝑈(𝑡) для всех определенных выше
значений t являются замыканиями непустых ограниченных открытых множеств.
Метод параметрического регулирования применяется при постановке и решении следующей вариационной задачи, называемой задачей вариационного исчисления по синтезу оптимального закона параметрического регулирования.
Задача 1. При заданном векторе неуправляемых параметров 𝑎 ∈ 𝐴 найти такое управление 𝑢, удовлетворяющее условию (5), чтобы соответствующее ему решение динамической
системы (1) - (2) удовлетворяло условию (4) и доставляло максимум функционалу (3).
2
Для фиксированного 𝑎 ∈ 𝐴 определим множество допустимых управлений для системы (1)
– (2) следующим образом:
(6) 𝑈𝛼 = {𝑢|𝑢(𝑡) ∈ 𝑈(𝑡), 𝑡 = 0, … , 𝑛 − 1; 𝐄[𝑥(𝑡)] ∈ 𝑋(𝑡), 𝑡 = 1, … , 𝑛},
где 𝑥(𝑡) решение системы (1), (2) соответствующее управлению 𝑢(𝑡) и заданному значению
параметра 𝑎. Тогда задача 1 сводится к максимизации функционала 𝐾 = 𝐾𝛼 (𝑢) определяемого
формулой (3), на множестве допустимых управлений рассматриваемой системы 𝑈𝛼 . Задачу 1
будем называть нетривиальной, если множество 𝑈𝛼 не пусто и содержит некоторое открытое
множество.
Ниже приводятся теорема о достаточных условиях существования решения задачи 1 (поставленной в соответствии с методом параметрического регулирования) и теорема о непрерывной зависимости оптимального значения критерия 𝐾𝛼 задачи 1 от параметра 𝑎.
Теорема 1. Пусть при фиксированном 𝑎 ∈ 𝐴 в нетривиальной задаче 1 для любого 𝑡 =
1, … , 𝑛 случайные величины 𝜉(𝑡) являются абсолютно непрерывными и обладают нулевыми
математическими ожиданиями, функции 𝑓, 𝐹𝑡 удовлетворяют условию Липшица. Функции f
(для 𝑢 ∈ 𝑈𝛼 ) и 𝐹𝑡 по модулю ограничены некоторыми линейными функциями от |𝑥|. Тогда
задача 1 разрешима.
Доказательство этого утверждения основывается на проверке компактности множества Ua
и непрерывности функции K a в Ua , а так же на теореме Вейерштрасса о достижении непрерывной функции на компакте своего наибольшего значения на нем.
Теорема 2. Пусть при 𝑡 = 1, … , 𝑛 и 𝑎 ∈ 𝐴 для нетривиальной задачи 1 случайные величины
𝜉(𝑡) являются абсолютно непрерывными и обладают нулевыми математическими ожиданиями; функции 𝑓, 𝐹𝑡 удовлетворяют условию Липшица. Функции 𝑓 (для 𝑢 ∈ ⋃𝑛𝑡=1 𝑈(𝑡) и некоторой окрестности любой точки 𝑎 ∈ 𝐴) и 𝐹𝑡 по модулю не превосходят линейных относительно
|𝑥| функций. Тогда отображение 𝑎 → 𝑚𝑎𝑥 𝐾𝑎 (𝑢) является непрерывным в 𝐴.
𝑢∈𝑈𝑎
Доказательство утверждения 2 основано на проверке непрерывности отображения (a, u) →
K a (u) в точках его определения и проверке непрерывности отображения a → max K a (u) в A.
u∈Ua
2. Представление вычислимых моделей общего равновесия в виде дискретных
динамических стохастических систем и задача параметрического регулирования эволюции национальной экономики на базе вычислимых моделей
Детерминированная вычислимая модель общего равновесия в общем виде представляется
с помощью следующей системы соотношений [7, гл. 3].
1) Подсистема разностных уравнений, связывающая значения эндогенных переменных для
двух последовательных лет:
(7) 𝑥(𝑡 + 1) = 𝑓(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝑎), 𝑥(0) = 𝑥0 .
Здесь t – номер года, дискретное время, 𝑡 = 0, … , 𝑛 − 1; 𝑥̃(𝑡) = (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡)) ∈ 𝑅 𝑚 – вектор
эндогенных переменных системы;
𝑥(𝑡) = (𝑥 1 (𝑡), 𝑥 2 (𝑡), … , 𝑥 𝑚1 (𝑡)) ∈ 𝑋1 (𝑡);
(8) 𝑦(𝑡) = (𝑦1 (𝑡), 𝑦 2 (𝑡), … , 𝑦 𝑚2 (𝑡)) ∈ 𝑋2 (𝑡);
𝑧(𝑡) = (𝑧1 (𝑡), 𝑧 2 (𝑡), … , 𝑧 𝑚3 (𝑡)) ∈ 𝑋3 (𝑡).
Переменные 𝑥(𝑡) включают в себя значения основных фондов секторов-производителей,
остатки средств агентов на счетах в банках и др.; 𝑦(𝑡) включают в себя значения спроса и
предложения агентов на различных рынках и др., 𝑧(𝑡) – различные виды рыночных цен и доли
бюджета на рынках с государственными ценами для различных экономических агентов; 𝑚1 +
𝑚2 + 𝑚3 = 𝑚; 𝑢 и 𝑎 – векторы экзогенных параметров, 𝑢(𝑡) = (𝑢1 (𝑡), 𝑢2 (𝑡), … , 𝑢𝑞 (𝑡)) ∈ 𝑈(𝑡) ⊂
𝑅 𝑞 – вектор управляемых (регулируемых) параметров; 𝑋1 (𝑡), 𝑋2 (𝑡), 𝑋3 (𝑡), 𝑈(𝑡) – замыкания
непустых ограниченных открытых множеств; 𝑎 = (𝑎1 , … , 𝑢 𝑠 ) ∈ 𝐴 - вектор неуправляемых
параметров, 𝐴 - открытое связное множество; 𝑓: 𝑋1 (𝑡) × 𝑋2 (𝑡) × 𝑋3 (𝑡) × 𝑈(𝑡) × 𝐴 → 𝑅 𝑚1 –
непрерывное отображение для 𝑡 = 0, … , 𝑛 − 1.
3
2) Подсистема алгебраических уравнений, описывающих поведение и взаимодействие
агентов на различных рынках в течение выбранного года, эти уравнения допускают выражение
переменных 𝑦(𝑡) через экзогенные параметры и остальные эндогенные переменные:
(9) 𝑦(𝑡) = 𝑔(𝑥(𝑡), 𝑧(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝑎).
Здесь 𝑔: 𝑋1 (𝑡) × 𝑋3 (𝑡) × 𝑈(𝑡) × 𝐴 → 𝑅 𝑚2 непрерывное отображение, 𝑡 = 0, … , 𝑛.
3) Подсистема рекуррентных соотношений для итеративных вычислений равновесных значений рыночных цен на различных рынках и долей бюджета на рынках с государственными
ценами для различных экономических агентов:
(10) 𝑧(𝑡)[𝑄 + 1] = ℎ(𝑦(𝑡)[𝑄], 𝑧(𝑡)[𝑄], 𝑢(𝑡), 𝐿, 𝑎).
Здесь 𝑄 = 0,1,2, … – номер итерации; 𝐿 – набор из положительных чисел (настраиваемые константы итераций, при уменьшении их значений экономическая система быстрее приходит в
состояние равновесия, однако при этом увеличивается опасность ухода цен в отрицательную
область); ℎ: 𝑋2 (𝑡) × 𝑋3 (𝑡) × 𝑈(𝑡) × (0, +∞)𝑚3 × 𝐴 → 𝑅 𝑚3 – непрерывное отображение; пара
отображений (𝑔, ℎ) являются сжимающими при фиксированных 𝑥(𝑡) ∈ 𝑋1 (𝑡), 𝑢(𝑡) ∈ 𝑈(𝑡), 𝑎 ∈
𝐴, и некоторых фиксированных 𝐿. В этом случае эта пара отображение имеет единственную
неподвижную точку, к которой сходится итерационный процесс (9), (10), 𝑡 = 0, … , 𝑛.
Вычислимая модель (7), (9), (10) при фиксированных значениях экзогенных параметров
для каждого момента времени t определяет значения эндогенных переменных 𝑥̃(𝑡), соответствующие равновесию цен спроса и предложения на рынках товаров и услуг агентов в рамках
следующего алгоритма.
1) На первом шаге полагается 𝑡 = 0, и задаются начальные значения переменных 𝑥(0)
2) На втором шаге для текущего значения 𝑡 задаются начальные значения переменных
𝑧(𝑡)[0] на различных рынках и для различных агентов; с помощью (9), вычисляются значения
𝑦(𝑡)[0] = 𝑔(𝑥(𝑡), 𝑧(𝑡)[0], 𝑢(𝑡), 𝑎) (начальные значения спроса и предложения агентов на рынках товаров и услуг).
3) На третьем шаге для текущего 𝑡 запускается итерационный процесс (10). При этом для
каждого 𝑄 текущие значения спросов и предложений находятся из (9): 𝑦(𝑡)[𝑄] =
𝑔(𝑥(𝑡), 𝑧(𝑡)[𝑄], 𝑢(𝑡), 𝑎) через уточнения рыночных цен и долей бюджетов экономических
агентов.
Условием остановки итерационного процесса является равенство значений спросов и
предложений на различных рынках. В результате определяются равновесные значения рыночных цен на каждом рынке и долей бюджета на рынках с государственными ценами для различных экономических агентов. Индекс 𝑄 для таких равновесных значений эндогенных переменных мы опускаем.
4) На следующем шаге по полученному равновесному решению для момента t с помощью
разностных уравнений (7) находятся значения переменных x(t ) для следующего момента
времени. Значение t увеличивается на единицу. Переход на шаг 2.
Количество повторений шагов 2, 3, 4 определяются в соответствии с задачами калибровки,
прогноза и регулирования на заранее выбранных интервалах времени.
Стохастической вычислимой моделью общего равновесия (стохастической вычислимой
моделью), полученной из детерминированной модели (7), (9), (10), будем называть модель, в
которой к правой части динамических уравнений (7) добавлен аддитивный шум 𝜉(𝑡):
(11) 𝑥(𝑡 + 1) = 𝑓(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝛼) + 𝜉(𝑡), 𝑡 = 0, … , 𝑛 − 1; 𝑥(0) = 𝑥0 ,
то есть, модель вида (11), (9), (10).
Сформулируем задачу вариационного исчисления по синтезу оптимального закона параметрического регулирования для стохастической вычислимой модели.
Задача 2. При заданном векторе неуправляемых параметров 𝑎 ∈ 𝐴 найти такое управление 𝑢(𝑡), удовлетворяющее условию (5), чтобы соответствующее ему решение динамической
системы (11), (9), (10) удовлетворяло условию
(12) 𝐄[𝑥̃(𝑡)] ∈ 𝑋1 (𝑡) × 𝑋2 (𝑡) × 𝑋3 (𝑡), 𝑡 = 1, … , 𝑛
и доставляло максимум функционалу
4
(13) 𝐾𝛼 = 𝐄{∑𝑛𝑡=1 𝐹𝑡 [𝑥̃(𝑡)]}.
Не сложно проверить, что для вычислимой модели (11), (9), (10) с непрерывное отображениями 𝑓, 𝑔, ℎ и сходящимся итерационным процессом (9), (10) сформулированные выше теоремы 1 и 2 остаются справедливыми.
3. Вычислительные эксперименты по нахождению оптимальных значений
регулируемых параметров на базе теории параметрического регулирования
3.1. Результаты параметрической идентификации и верификации детерминированной вычислимой модели с сектором знаний
Рассматриваемая модель представлена с помощью следующих шести экономических агентов (секторов):
Сектор № 1 — сектор науки и образования (знаний), оказывающий услуги по обучению и
производству знаний;
Сектор № 2 — инновационный сектор, представляющий собой совокупность инновационно – активных предприятий и организаций;
Сектор № 3 — прочие отрасли экономики;
Сектор № 4 — совокупный потребитель, объединяющий в себя домашние хозяйства;
Сектор № 5 — правительство;
Сектор № 6 — банковский сектор.
Здесь экономические сектора № 1 - 3 являются агентами производителями.
Рассматриваемая модель представляется в рамках общих выражений соотношений (7), (9),
(10) соответственно 𝑚1 = 12, 𝑚2 = 88, 𝑚3 = 10 выражениями, с помощью которых рассчитываются значения ее 110 эндогенных переменных, из которых по 𝑛𝐵 = 27 переменным имеются
наблюдения с 2000 по 2008 год. Эта модель также содержит k = q + s + m1 оцениваемых
экзогенных параметров (в их число входят значения экзогенных функций времени; для 20002007 гг. 𝑘 = 560).
Задача параметрической идентификации (калибровки) исследуемой макроэкономической
математической модели состоит в следующем. Найти оценки неизвестных значений k параметров ωi (i = 1, … , k) модели в замкнутой ограниченной области Ω ⊂ U × Λ × X1 с дополнитель̃, накладываемыми на расчетные значения эндогенных переными ограничениями вида x̃ ∈ X
менных модели по наблюдаемым значениям nB эндогенных переменных для промежутка
времени T, при которых достигается минимальное значение целевой функции F(ω), характеризующей отклонения значений эндогенных переменных модели от соответствующих их наблюдаемых значений (известных статистических данных). Здесь в качестве области Ω для оценки
возможных значений экзогенных параметров рассматривается область вида Ω =
1
[ai , bi ], где [ai , bi ] - промежуток возможных значений параметра ωi . При этом оценки
∏q+s+m
i=1
параметров, для которых имелись наблюдаемые значения, ищутся в достаточно малых промежутках [ai , bi ] с центрами в соответствующих наблюдаемых значениях (в случае одного такого
значения) или в некоторых промежутках, покрывающих наблюдаемые значения (в случае
нескольких таких значений). Прочие промежутки [ai , bi ] для поиска параметров выбираются с
помощью косвенных оценок их возможных значений.
Использование ограниченной экономически обоснованной области Ω возможных значений
параметров в задаче параметрической идентификации модели позволяет исключить некорректные наборы значений калибруемых (идентифицируемых) параметров.
В случае большой размерности области Ω возможных значений искомых параметров,
стандартные методы нахождения экстремумов функции часто бывают неэффективными в связи
наличием многих локальных минимумов целевой функции. Ниже предлагается алгоритм,
учитывающий особенности задачи параметрической идентификации макроэкономических
моделей и позволяющий обойти указанную проблему «локальных экстремумов».
5
Для нахождения минимальных значений непрерывной функции нескольких переменных
F: Ω → R с дополнительными ограничениями на эндогенные переменные в вычислительных
экспериментах использовался алгоритм направленного поиска Нелдера-Мида [8]. Применение
этого алгоритма для начальной точки ω1 можно интерпретировать в виде (сходящейся к локальному минимуму ω0 = arg min F(ω) функции F) последовательности {ω1 , ω2 , ω3 , … }, где
̃
Ω,x̃∈X
F(ωj+1 ) ≤ F(ωj ), ωj ∈ Ω, j = 1,2, … В описании следующего алгоритма мы будем считать, что
точка ω0 может быть найдена достаточно точно.
Для решения задачи параметрической идентификации рассматриваемой вычислимой модели на основе очевидного предположения о несовпадении (в общем случае) точек минимума
двух различных функций предложены два критерия следующего типа:
K A (ω) = √n
1
αT
yit −yi∗
t
1 +T−1 nA
∑tt=t
∑i=1 αi (
1
yi∗
t
2
) ,
K B (ω) = √n
1
αT
yit −yi∗
t
1 +T−1 nB
∑tt=t
∑i=1 βi (
1
yi∗
t
2
) .
Здесь {t1 , … , t1 + T − 1} – промежуток времени параметрической идентификации; yti , yti∗ –
соответственно расчетные и наблюдаемые значения выходных переменных модели, K A (ω) –
вспомогательный критерий, K B (ω) – основной критерий; αi > 0 и βi > 0 – некоторые весовые
коэффициенты, значения которых определяются в процессе решения задачи параметрической
nA
nB
идентификации динамической системы; ∑i=1
αi = nα , ∑i=1
βi = nβ ; nB > nA .
Алгоритм решения задачи параметрической идентификации модели был выбран в виде
следующих этапов.
1. Параллельно, для некоторого вектора начальных значений параметров ω1 ∈ Ω, решаются задачи A и B, в результате находятся точки ωA0 и ωB0 минимума критериев K A и K B соответственно.
2. Если для некоторого достаточно малого числа ε верно K B (ωB0 ) < ε, то задача параметрической идентификации модели решена.
3. В противном случае, используя в качестве начальной точки ω1 точку ωB0 , решается задача A, и, используя в качестве начальной точки ω1 точку ωA0 , решается задача B. Переход на
этап 2.
Достаточно большое число повторений этапов 1, 2, 3 дает возможность выходить искомым
значениям параметров из окрестностей точек неглобальных минимумов одного критерия с
помощью другого критерия и, тем самым, решить задачу параметрической идентификации.
В результате совместного решения задач A и B согласно указанному алгоритму c использованием алгоритма Нелдера-Мида для промежутка времени параметрической идентификации
2000 – 2007 гг. были получены значения 𝐾𝐵 = 0,0073. При этом относительная величина отклонений расчетных значений переменных используемых в основном критерии от соответствующих наблюдаемых значений составила менее 0,73%.
Для оценки адекватности рассматриваемой модели была решена следующая задача ретропрогноза. Найти на базе CGE с сектором знаний (со значениями оцениваемых параметров,
полученных в результате решения задачи параметрической идентификации по наблюдениям
для промежутка 2000 – 2007 гг.), значения выходных переменных модели для 2008 года и их
отклонения от соответствующих наблюдаемых значений. Результаты просчета на 2000 – 2007
гг. (с найденными оценками значений параметров модели) и ретроспективного прогноза модели на 2008 г., частично представленные в таблице 1, демонстрируют расчетные (Y, Y1 , Y2 , Y3 , P),
наблюдаемые значения и отклонения расчетных значений основных выходных переменных
модели от соответствующих наблюдаемых значений. Здесь Y – валовый выпуск ( × 1012 тенге,
в ценах 2000года); 𝑌𝑖 – валовая добавленная стоимость i-го сектора ( × 1012 тенге, в ценах
2000года); P – индекс потребительских цен в процентах к предыдущему году; знак «*» соответ6
ствует наблюдаемым значениям, знак «Δ» соответствует отклонениям (в процентах) расчетных
значений от соответствующих наблюдаемых значений.
Таблица 1. Наблюдаемые, расчетные значения выходных переменных модели и соответствующие отклонения
Год
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
∗
2,60
2,95
3,24
3,54
3,88
4,26
4,72
5,14
5,30
𝑌
2,60
2,95
3,24
3,54
3,88
4,26
4,72
5,15
5,26
𝑌
-0,04
0,00
0,04
0,03
0,04
-0,01
0,07
0,26
-0,73
Δ𝑌
0,107
0,102
0,116
0,125
0,134
0,157
0,164
0,165
0,200
𝑌1∗
0,109
0,102
0,116
0,126
0,134
0,158
0,164
0,164
0,199
𝑌1
1,80
-0,76
-0,01
1,32
0,46
0,49
-0,02
-0,59
-0,34
Δ𝑌1
∗
0,033 0,0364
0,041
0,045
0,050
0,049
0,068
0,072
0,061
𝑌2
0,041 0,0343
0,039
0,044
0,050
0,049
0,067
0,071
0,061
𝑌2
25,00
-5,86
-4,73
-2,65
-0,57
-0,19
-0,13
-0,88
0,16
Δ𝑌2
∗
2,23
2,46
2,80
3,07
3,36
3,68
4,03
4,48
4,88
𝑌3
1,9
2,463
2,8
3,07
3,36
3,68
4,03
4,48
4,89
𝑌3
-14,63
0,08
0,07
0,03
0,02
0,02
0,00
0,11
0,28
Δ𝑌3
∗
106,40 106,60 106,80 106,70 107,50 108,40 118,80
109,50
𝑃
106,57 106,81 106,95 106,83 107,64 108,50 118,90
109,50
𝑃
0,00
0,16
0,20
0,14
0,12
0,13
0,09
0,09
0,00
Δ𝑃
Результаты верификации на основе проведенного ретропрогноза показывают приемлемую адекватность CGE модели с сектором знаний.
Для дополнительной оценки адекватности исследуемой модели были проведены, также,
сценарные эксперименты на базе рассматриваемой модели по подтверждению некоторых
положений макроэкономической теории. Так, в рамках макроэкономической теории известно
[9], что циклические колебания экономических процессов могут возникнуть при:
- линейной зависимости между объемом потребительских расходов и текущим доходом;
- линейной зависимости между инвестициями и приростом доходов.
С целью проверки этих положений были проведены вычислительные эксперименты по
просчету на базе модели следующих сценариев изменения указанных спросов на конечные и
инвестиционные товары.
a) O1 [t] = O1 [t − 1] + a(Yg[t] − Yg[t − 1]);
b) O2i [t] = O2i [t − 1] + b(Yg[t − 3] − 2Yg[t − 2] + Yg[t − 1]), (i = 1, 2, 3);
Здесь: t = 2010, … , 2015 - время в годах; O1 [t]- доля бюджета домашних хозяйств, идущая на покупку конечных товаров (экзогенная функция); O2i (t) - доля бюджета i-го сектора,
идущая на покупку инвестиционных товаров (i = 1, 2, 3) (экзогенная функция); Yg[t] – ВВП
страны в постоянных ценах (эндогенная переменная); a, b, l, k – положительные константы (l >
1, k > 1).
В результате вычислительных экспериментов по реализации сценариев a) и b) наблюдались колебательные изменения уровня потребительских цен, ВВП страны и др., которые указывают воспроизведение на базе рассматриваемой модели выше приведенных положений макроэкономической теории. Данный факт, также, является одним из показателей адекватности
рассматриваемой математической модели.
7
3.2. Нахождение оптимальных значений регулируемых параметров на базе стохастической
вычислимой модели с сектором знаний
Стохастическая вычислимая модель отраслей экономики была получена из соответствующей детерминированной модели (с найденными в результате решения задачи параметрической
идентификации оценками значениями экзогенных параметров) путем добавления дискретного
гауссовского шума с независимыми составляющими к правым частям всех динамических
уравнений (7) модели. К таким уравнениям относятся уравнения для расчета следующих эндогенных переменных:
- валовых добавленных стоимостей (𝑌1 , 𝑌2 , 𝑌3 ) трех секторов-производителей с помощью
соответствующих производственных функций;
- основных фондов (𝐾1 , 𝐾2 , 𝐾3 ) трех секторов-производителей;
- годовых бюджетов (𝐵1 , 𝐵2 , … , 𝐵3 ) секторов 1 - 5.
Добавленные аддитивные шумы к выражениям 𝑌𝑖 могут инициировать соответствующие
циклические колебания, вызываемые резкими сдвигами (шоками) в развитии технологического
прогресса и случайными изменениями в темпах роста населения. Добавленные аддитивные
шумы к выражениям 𝐾𝑖 характеризуют случайные изменения долей бюджетов агентовпроизводителей, идущих на покупку инвестиционных товаров и случайный характер коэффициентов выбытия фондов. Добавленные аддитивные шумы к выражениям 𝐵𝑖 описывают случайный характер доходов, получаемых сектором в текущем периоде.
В настоящей работе оценки средних квадратичных отклонений генерируемых гауссовских
случайных величин определяющих указанный шум были получены на основе анализа соответствующих статистических данных развития экономики Республики Казахстан в 2000-2008гг.
следующим образом. Для каждого временного ряда наблюдаемых значений указанных выше
переменных рассчитывались выборочные средние квадратичные отклонения разностей между
наблюдаемыми значениями и трендом этих значений. Найденные таким образом величины
были приняты за оценки средних квадратичных отклонений компонент генерируемого дискретного гауссовского шума, добавляемого к правым частям указанных выше 11 динамических
уравнений.
При решении сформулированной выше задачи 2 параметрического регулирования на базе
стохастической вычислимой модели с сектором знаний в качестве критерия оптимизации использовался критерий вида (13)
1
(15) 𝐾𝑠 = 𝐄 { ∑2015
𝑌(𝑡)} → max.
6 𝑡=2010
Здесь 𝐾𝑠 – математическое ожидание среднего значения ВВП страны в ценах 2000 года за
2010-2015 годы. В вычислительных экспериментах расчет критерия 𝐾𝑠 производился следующим образом. Методом Монте-Карло моделировались N реализаций случайного процесса 𝜉(𝑡)
и, после 𝑁 просчетов модели для всех этих реализаций поочередно используемых в уравнениях
(5), в качестве значения критерия 𝐾𝑠 бралось среднее арифметическое значений выражений
1 2015
∑
𝑌(𝑡) по этим N реализациям. Подобным образом проверялось выполнение условия
6 𝑡=2010
вида (11) принадлежности математических ожиданий значений эндогенных переменных заданным областям фазового пространства модели.
При экспериментах c критерием оптимизации (15) использовались дополнительные ограничения (8) на рост уровня потребительских цен следующего вида:
(16) 𝐄(𝑃(𝑡)) ≤ 1,09𝐄(𝑃̅(𝑡)), 𝑡 = 2010, … ,2015.
Здесь 𝑃̅(𝑡) – расчетный уровень потребительских цен модели без параметрического регулирования, 𝑃(𝑡) – уровень потребительских цен с параметрическим регулированием.
В вычислительных экспериментах осуществлялось регулирование 18 управляемых параметров 𝑂𝑖 (𝑡) (𝑡 = 2010, … ,2015; 𝑖 = 1, 2, 3) – долей консолидированного бюджета идущих на
субсидирование трех агентов производителей в 2100-2015 г.г. При этом должно выполняться
естественное ограничение: сумма всех используемых в модели восьми долей консолидированного бюджета (включая указанные выше доли 𝑂𝑖 (𝑡); 𝑖 = 1, 2, 3) не должна превышать единицы:
8
(17) ∑8𝑖=1 𝑂𝑖 (𝑡) ≤ 1; 𝑡 = 2010, … ,2015.
Рассматривалась следующая задача нахождения оптимальных значений регулируемых
параметров. На базе стохастической вычислимой модели c сектором знаний найти значения
долей 𝑂𝑖 (𝑡) консолидированных бюджетов идущих на субсидирование трех агентов производителей, которые обеспечивали бы верхнюю грань критерия 𝐾∗ при дополнительных ограничениях (17) на эти доли.
Решения этой оптимизационной задачи проводились с помощью алгоритма Нелдера-Мида
[8]. После применения параметрического регулирования долей бюджетов стохастической
модели, значение критерия оказалось равным 𝐾𝑠 = 7,2341012 его значение увеличилось на
24,93% по сравнению с базовым вариантом 𝐾𝑠 = 5,791012 .
Аналогичная задача параметрического регулирования с соответствующими ограничениями
решалась и на базе детерминированной CGE модели с сектором знаний с использованием
критерия 𝐾𝑑 (детерминированного аналога критерия (15)):
1
(18) 𝐾𝑑 = 6 ∑2015
𝑡=2010 𝑌(𝑡).
После применения параметрического регулирования долей консолидированных бюджетов
идущих на субсидирование агентов-производителей, значение критерия детерминированной
модели оказалось равным 𝐾𝑑 = 9,23 ⋅ 1012 , значение критерия увеличилось на 33,14% по сравнению с базовым вариантом.
Заключение
1. Представлены результаты по развитию теории параметрического регулирования для
класса дискретных стохастических динамических систем с аддитивным шумом и показана
эффективность применения полученных результатов на примере одной стохастической вычислимой модели с сектором знаний.
2. Продемонстрирована результативность использования предложенного метода параметрической идентификации детерминированной модели.
3. Предложен метод оценки оптимальных значений управляемых параметров экономической политики на базе стохастического и детерминированного вариантов вычислимой модели с
сектором знаний и найдены соответствующие оценки оптимальных значений управляемых
параметров.
Полученные результаты могут быть использованы при разработке и осуществлении эффективной государственной экономической политики.
Литература
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры.- М.:
Физматлит, 2002 г. 320 с.
Nelson C.R., Plosser C.I. Trends and random walks in Macroeconomic time series: Some evidence and
Implications // Journal of Monetary economics. 1982 г., №10, P 139-162.
Ашимов А.А., Султанов Б.Т., Адилов Ж.М., Боровский Ю.В., Новиков Д.А., Нижегородцев Р.М.,
Ашимов Ас.А. Макроэкономический анализ и экономическая политика на базе параметрического регулирования. – М.: Физматлит, 2010 г., 284с.
Ashimov А.А., Iskakov N.A., Borovskiy Yu.V., Sultanov B.T., Ashimov As.А. Parametrical regulation of
economic growth on the basis of one-class mathematical models // Systems Science. Vol. 35. 2009 г. № 1,
Р. 57-63.
Ashimov A.A., Sagadiyev K.A., Borovskiy Yu.V., Iskakov N.A., Ashimov Аs.A. Elements of the market
economy development parametrical regulation theory // Proceedings of the ninth IASTED International
Conference on Control and Application, Montreal, Quebec, Canada. 2007 г. P. 296-301.
Ashimov A.A., Sagadiyev K.A., Borovskiy Yu.V., Iskakov N.A., Ashimov As.A, On the market economy
development parametrical regulation theory // Kybernetes, The international journal of cybernetics, systems
and management sciences. Vol. 37. 2008 г. № 5, P. 623-636.
Макаров В.Л., Бахтизин А.Р., Сулакшин С.С. Применение вычислимых моделей в государственном
управлении. – М.: Научный эксперт, 2007. г., 304с.
9
8.
9.
10
Nelder J.A., Mead R. A simplex method for function minimization // The Computer Journal. 1965 г. №. 7.
P. 308-313.
Туманова Е.С., Шагас Н.А. Макроэкономика – М.: Инфра-М, 2004. 400 с.