Параметрическое регулирование экономического роста на базе стохастической вычислимой модели

Параметрическое регулирование экономического роста на базе стохастической вычислимой модели
общего равновесия с сектором знаний
Ашимов А.А., Султанов Б.Т., Боровский Ю.В., Адилов Ж.М., Суйсинбаев Д.К., Ашимов Ас.А.
Цель работы – представить один новый метод параметрической идентификации, результаты
развития теории параметрического регулирования и показать эффективность применения
предложенного метода идентификации и теоретических результатов для решения соответствующих
прикладных задач. В работе описан предложенный метод параметрической идентификации,
сформулированы и доказаны теоремы об условиях существовании одной задачи вариационного
исчисления по синтезу оптимального закона параметрического регулирования и об условиях
непрерывной зависимости оптимальных значений критерия поставленной задачи от неуправляемых
параметров с использованием математических объектов дискретной стохастической управляемой
системы. Эффективно решены задачи параметрической идентификации вычислимой модели общего
равновесия с сектором знаний. Также показана эффективность нахождения оптимальных (в смысле
критерия, характеризующего экономический рост) значений параметров детерминированного и
стохастического вариантов вычислимой модели общего равновесия с сектором знаний.
Key words: stochastic modelling, identification, parametrical regulation, dynamic system with additive noise.
Введение
Как известно [Samarskyi A.A., Mikhailov A.P. Mathematical modeling: Ideas. Methods. Examples.Moscow.: Physmatlit, 2002.], представленные в литературе модели национальной экономики отражают в
математической форме важнейшие свойства экономической системы и не учитывают ряд возникающих
шоковых явлений, например, таких, как нарушения со стороны аспекта предложения (производительность и
предложение рабочей силы), нарушения на стороне спроса (предпочтения, специфика инвестиций,
государственных ассигнований), эффект повышения издержек или марж (наценки, надбавки к заработной
плате, премии за риск) и др.
Согласно теории деловых циклов, факторы определяющие экономический рост и деловые циклы
являются факторами одной природы [Nelson C.R., Plosser C.I. Trends and random walks in Macroeconomic time
series: Some evidence and Implications // Journal of Monetary economics. 1982, №10, P 139-162]. Поэтому
изучение экономического роста на фоне деловых циклов должно проводиться на базе одной математической
модели. В данной работе для изучения экономического роста на фоне деловых циклов принимается
предположение о том, что вышеуказанные и другие возможные нарушения в детерминированной
математической модели национальной экономики можно аппроксимировать путем добавления аддитивного
шума к правым частям динамических уравнений соответствующей математической модели экономической
системы.
Ниже теория параметрического регулирования эволюции национального хозяйства, эффективность
которой показана на классе моделей в виде непрерывных или дискретных динамических систем [1], [2], [3],
[4], развивается на класс дискретных динамических систем с аддитивным шумом, важным подклассом
которого являются вычислимые модели общего равновесия (так называемые CGE-модели [5]) с аддитивным
шумом. В том числе, в рамках развития теории параметрического регулирования в данной работе для
дискретных динамических систем с аддитивным шумом сформулированы и доказаны теоремы о
достаточных условиях:
- существования решения задачи вариационного исчисления по выбору оптимальных значений
параметров системы в заданном множестве их значений (синтезу оптимальных законов регулирования).
- непрерывной зависимости оптимальных значений критерия задачи вариационного исчисления по
синтезу оптимальных законов регулирования от значений неуправляемых параметров.
Выполнение условий существования решения указанной задачи вариационного исчисления
гарантирует, в частности, конечность математического ожидания фазовых траекторий процесса на конечном
промежутке времени.
В качестве примера приложений полученных теоретических результатов в работе рассматривается
дискретная стохастическая модель, полученная из детерминированной вычислимой модели общего
равновесия с сектором знаний Макарова [5] путем добавления аддитивного шума к правым частям
динамических уравнений модели. Решена задача параметрической идентификации детерминированного
варианта исследуемой модели на базе статистических данных по эволюции экономики Республики
Казахстан. Сформулирована и решена численными методами одна задача оптимального (в смысле
некоторого критерия) экономического роста национального хозяйства Республики Казахстан методами
теории параметрического регулирования на базе детерминированного и стохастического вариантов
стохастической вычислимой модели общего равновесия с сектором знаний.
1
1. Элементы теории параметрического регулирования на базе дискретной динамической
системы с аддитивным шумом
Рассматривается дискретная стохастическая управляемая система
𝑥(𝑡 + 1) = 𝑓(𝑥(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝛼) + 𝜉(𝑡), 𝑡 = 0, … , 𝑛 − 1,
x(0)  x0 ,
(1)
(2)
где t – время, принимающее неотрицательные целочисленные значения,
x  x(t )   x1 (t ),..., x m (t ) 
– функция состояния системы (1), случайная вектор-функция
дискретного аргумента (векторный случайный процесс),
u  u (t )   u1 (t ),..., u q (t ) 
– управление, вектор-функция дискретного аргумента,
a   a1 ,..., a s  – детерминированный вектор неуправляемых параметров (вектор возмущений
системы), 𝑎 ∈ 𝐴, 𝐴 – заданное множество, 𝐴 ⊂ 𝑅 𝑠 .
𝜉 = 𝜉(𝑡) = (𝜉1 (𝑡), … , 𝜉 𝑚 (𝑡)) – известный векторный случайный процесс, выражающий помехи (в
качестве такового может выступать, например, аддитивный гауссовский белый шум),
f – известная вектор-функция своих аргументов,
x0   x01 ,..., x0m 
– начальное состояние системы, детерминированный вектор.
Зададим критерий оптимальности, подлежащий максимизации при фиксированном 𝑎:
𝐾𝛼 = 𝐄{∑𝑛𝑡=1 𝐹𝑡 [𝑥(𝑡)]}.
Здесь
Ft
(3)
– известные функции, Е – математическое ожидание, 𝑥(𝑡) – решение системы (1), (2) при
заданном 𝛼.
Введем фазовые ограничения на систему:
E[ x(t )]  X (t ), t  1,..., n,
(4)
где X (t ) – заданное множество. Здесь и далее под математическим ожиданием векторной случайной
величины подразумевается вектор из математических ожиданий координат этой величины.
В рассматриваемых далее задачах предполагаются также явные ограничения на управление:
u (t )  U (t ), t  0,..., n  1,
(5)
где 𝑈(𝑡) – заданное множество, 𝑈(𝑡) ⊂ 𝑅𝑞 . Множества X (t ) , U (t ) для всех определенных выше
значений t являются замыканиями ограниченных открытых множеств.
Метод параметрического регулирования используем при постановке и решении следующей
вариационной задачи, называемой задачей вариационного исчисления по синтезу оптимального закона
параметрического регулирования.
Задача 1. При заданном векторе неуправляемых параметров 𝑎 ∈ 𝐴 найти такое управление u,
удовлетворяющее условию (5), чтобы соответствующее ему решение динамической системы (1), (2)
удовлетворяло условию (4) и доставляло максимум функционалу (3).
Для фиксированного 𝑎 ∈ 𝐴 определим множество допустимых управлений для системы (1) – (2)
следующим образом:
𝑈𝛼 = {𝑢|𝑢(𝑡) ∈ 𝑈(𝑡), 𝑡 = 0, … , 𝑛 − 1; 𝐄[𝑥(𝑡)] ∈ 𝑋(𝑡), 𝑡 = 1, … , 𝑛},
где x (t ) решение системы (1), (2) соответствующее управлению u(t) и заданному значению параметра 𝑎.
Тогда задача 1 сводится к максимизации функционала 𝐾 = 𝐾𝛼 (𝑢) определяемого формулой (3), на
множестве допустимых управлений рассматриваемой системы 𝑈𝛼 . Задачу 1 будем называть нетривиальной,
если множество 𝑈𝛼 не пусто и содержит некоторое открытое множество.
2
Ниже приводятся теорема о достаточных условиях существования решения задачи 1(поставленной в
соответствии с методом параметрического регулирования) и теорема о непрерывной зависимости
оптимального значения критерия 𝐾𝛼 задачи 1 от параметра a.
Теорема 1. Пусть при фиксированном 𝑎 ∈ 𝐴 в нетривиальной задаче 1 для любого 𝑡 = 1 ÷ 𝑛
случайные величины 𝜉(𝑡) являются абсолютно непрерывными и обладают нулевыми математическими
ожиданиями, функции f,
Ft
удовлетворяют условию Липшица. Функции f (для 𝑢 ∈ 𝑈𝛼 ) и
Ft
по модулю
ограничены некоторыми линейными функциями от переменных |x |, (x – координата вектора x). Тогда
задача 1 разрешима.
Теорема 2. Пусть при любых 𝑎 ∈ 𝐴 и 𝑡 = 1 ÷ 𝑛 для нетривиальной задачи 1 случайные величины 𝜉(𝑡)
i
i
являются абсолютно непрерывными и обладают нулевыми математическими ожиданиями, функции f,
удовлетворяют условию Липшица. Функции f и
Ft
Ft
по модулю не превосходят линейных относительно |𝑥 𝑖 |
функций в некоторой окрестности точки а. Тогда отображение 𝑎 → max 𝐾𝑎 (𝑢) является непрерывным в
𝑢∈𝑈𝑎
А.
Доказательства теорем 1 и 2 приведены в приложении.
2. Представление вычислимых моделей общего равновесия в виде дискретных динамических
стохастических систем и задача параметрического регулирования эволюции национальной
экономики на базе вычислимых моделей
Детерминированная вычислимая модель общего равновесия в общем виде представляется с
помощью следующей системы соотношений [5, гл. 3].
1) Подсистема разностных уравнений, связывающая значения эндогенных переменных для двух
последовательных лет:
x(t  1)  f ( x(t ), y (t ), z (t ), u (t ),  ) , x(0)  x0 ,
Здесь t – номер года, дискретное время, t  0, 1, 2, ..., n  1 ;
эндогенных переменных системы;
~
x (t )  ( x(t ), y(t ), z (t ))  R m
(6)
– вектор
x(t )  ( x 1 (t ), x 2 (t ),..., x m1 (t ))  X 1 (t ) , y(t )  ( y 1 (t ), y 2 (t ),..., y m2 (t ))  X 2 (t ) ,
(7)
z(t )  ( z 1 (t ), z 2 (t ),..., z m3 (t ))  X 3 (t ) .
Переменные x(t ) включают в себя значения основных фондов секторов-производителей, остатки
средств агентов на счетах в банках и др.; y (t ) включают в себя значения спроса и предложения агентов на
различных рынках и др., z (t ) – различные виды рыночных цен и доли бюджета на рынках с
государственными ценами для различных экономических агентов;
m1  m2  m3  m ; u и 
– векторы
экзогенных параметров, u  (u (t ), u (t ),..., u (t ))  U (t )  R – вектор управляемых (регулируемых)
параметров; X1(t), X2(t), X3(t), U(t) – компактные множества с непустыми внутренностями;
   1 ,  2 ,...,  s  A  R m - вектор неуправляемых параметров, A - открытое связное множество;
1

2
q
q

f : X 1 (t )  X 2 (t )  X 3 (t )  U (t )  A  R m1 – непрерывное отображение для t  0,1,2,..., n  1 .
2) Подсистема алгебраических уравнений, описывающих поведение и взаимодействие агентов на
различных рынках в течение выбранного года, эти уравнения допускают выражение переменных y (t ) через
экзогенные параметры и остальные эндогенные переменные:
y (t )  g ( x(t ), z (t ), u (t ),  ) .
Здесь g : X 1 (t )  X 3 (t )  U (t )  A  R
(8)
непрерывное отображение, t  0,1,2,..., n .
3) Подсистема рекуррентных соотношений для итеративных вычислений равновесных значений
рыночных цен на различных рынках и долей бюджета на рынках с государственными ценами для различных
экономических агентов:
m2
z (t )[Q  1]  h( z (t )[Q], y (t )[Q], L, u (t ),  ) .
3
(9)
Здесь Q  0, 1, 2, ... – номер итерации; L – набор из положительных чисел (настраиваемые константы
итераций, при уменьшении их значений экономическая система быстрее приходит в состояние равновесия,
однако при этом увеличивается опасность ухода цен в отрицательную область;
h : X 2 (t )  X 3 (t )  (0,) m3  U (t )  A  R m3 – непрерывное отображение (являющееся сжимающим
при фиксированных x(t )  X 1 (t ), u (t )  U (t ) ,   A и некоторых фиксированных L. В этом случае
отображение h имеет единственную неподвижную точку, к которой сходится итерационный процесс (8),
(9)), t  0,1,2,..., n .
Вычислимая модель (6), (8), (9) при фиксированных значениях экзогенных параметров для каждого
момента времени t определяет значения эндогенных переменных ~
x (t ) , соответствующие равновесию цен
спроса и предложения на рынках товаров и услуг агентов в рамках следующего алгоритма.
1) На первом шаге полагается t=0 и задаются начальные значения переменных x(0)
2) На втором шаге для текущего t задаются начальные значения переменных z (t )[ 0] на различных
рынках и для различных агентов; с помощью (7), вычисляются значения y (t )[0]  G ( x(t ), z (t )[0], u (t ),  )
(начальные значения спроса и предложения агентов на рынках товаров и услуг).
3) На третьем шаге для текущего t запускается итерационный процесс (8). При этом для каждого Q
текущие значения спросов и предложений находятся из (7): y (t )[Q]  G ( x(t ), z (t )[Q], u ,  ) через
уточнения рыночных цен и долей бюджетов экономических агентов.
Условием остановки итерационного процесса является равенство значений спросов и предложений на
различных рынках. В результате определяются равновесные значения рыночных цен на каждом рынке и
долей бюджета на рынках с государственными ценами для различных экономических агентов. Индекс Q для
таких равновесных значений эндогенных переменных мы опускаем.
4) На следующем шаге по полученному равновесному решению для момента t с помощью разностных
уравнений (6) находятся значения переменных x(t ) для следующего момента времени. Значение t
увеличивается на единицу. Переход на шаг 2.
Количество повторений шагов 2, 3, 4 определяются в соответствии с задачами калибровки, прогноза и
регулирования на заранее выбранных интервалах времени.
Стохастической вычислимой моделью общего равновесия (стохастической вычислимой моделью),
полученной из детерминированной модели (6), (8), (9), будем называть модель, в которой к правой части
динамических уравнений (6) добавлен аддитивный шум 𝜉(𝑡):
𝑥(𝑡 + 1) = 𝑓(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝛼) + 𝜉(𝑡), 𝑡 = 0, … , 𝑛 − 1; 𝑥(0) = 𝑥0 , (10)
то есть, модель вида (10), (7), (8).
Сформулируем задачу вариационного исчисления по синтезу оптимального закона параметрического
регулирования для стохастической вычислимой модели.
Задача 2. При заданном векторе неуправляемых параметров 𝑎 ∈ 𝐴 найти такое управление u(t),
удовлетворяющее условию (5), чтобы соответствующее ему решение динамической системы (9), (7), (8)
удовлетворяло условию
𝐸[𝑥̃(𝑡)] ∈ 𝑋1 (𝑡) × 𝑋2 (𝑡) × 𝑋3 (𝑡), 𝑡 = 1, … , 𝑛
(11)
и доставляло максимум функционалу
𝐾𝛼 = 𝐄{∑𝑛𝑡=1 𝐹𝑡 [𝑥̃(𝑡)]}
(12)
Не сложно проверить, что для вычислимой модели с непрерывными отображениями f, g, h и
сходящимся итерационным процессом (8), (9) сформулированные выше теоремы 1, 2 остаются
справедливыми.
2. Вычислительные эксперименты по нахождению оптимальных значений регулируемых
параметров на базе теории параметрического регулирования
2.1. Результаты параметрической идентификации детерминированной вычислимой модели с
сектором знаний
Рассматриваемая модель представлена с помощью следующих шести экономических агентов
(секторов):
4
Sector № 1 — sector of science and education (knowledge), which provides educational and knowledge
production services.
Sector № 2 — innovative sector, representing the set of innovative-active enterprises and organizations.
Sector № 3 — other sectors of economy.
Sector № 4 — aggregate consumer, uniting households.
Sector № 5 — government.
Sector № 6 — banking sector.
Здесь экономические сектора № 1-3 являются агентами производителями.
Рассматриваемая модель представляется в рамках общих выражений соотношений (6), (8), (9)
соответственно 𝑚1 = 12, 𝑚2 = 88, 𝑚3 = 10 выражениями, с помощью которых рассчитываются значения ее
698 эндогенных переменных. Эта модель также содержит 110 оцениваемых экзогенных параметров.
Задача параметрической идентификации исследуемой макроэкономической математической модели
состоит в нахождении оценок неизвестных значений ее параметров, при которых достигается минимальное
значение целевой функции, характеризующей отклонения значений выходных переменных модели от
соответствующих наблюдаемых значений (известных статистических данных). Эта задача сводится к
нахождению минимального значения функции нескольких переменных (параметров) в некоторой замкнутой
области  евклидова пространства с ограничениями вида (7), накладываемыми на значения эндогенных
переменных. В случае большой размерности области возможных значений искомых параметров,
стандартные методы нахождения экстремумов функции часто бывают неэффективными в связи наличием
нескольких локальных минимумов целевой функции. Ниже предлагается алгоритм, учитывающий
особенности задачи параметрической идентификации макроэкономических моделей и позволяющий обойти
указанную проблему «локальных экстремумов»
В качестве области Ω ⊂ 𝑈 × 𝐴 × 𝑋1 для оценки возможных значений экзогенных параметров
𝑞+𝑠+𝑚
рассматривалась область вида Ω = ∏𝑖=1 1[𝑎𝑖 , 𝑏 𝑖 ], где [𝑎𝑖 , 𝑏 𝑖 ] - промежуток возможных значений
параметра 𝜔𝑖 𝑖 = 1, … , (𝑞 + 𝑠 + 𝑚1 ). При этом оценки параметров, для которых имелись наблюдаемые
значения, искались в промежутках [𝑎𝑖 , 𝑏 𝑖 ] с центрами в соответствующих наблюдаемых значениях (в случае
одного такого значения) или в некоторых промежутках, покрывающих наблюдаемые значения (в случае
нескольких таких значений). Прочие промежутки [𝑎𝑖 , 𝑏 𝑖 ] для поиска параметров выбирались с помощью
косвенных оценок их возможных значений. Для нахождения минимальных значений непрерывной функции
нескольких переменных F :   R с дополнительными ограничениями на эндогенные переменные вида (7)
в вычислительных экспериментах использовался алгоритм направленного поиска Нелдора - Мидда [6].
Применение этого алгоритма для начальной точки 𝜔1 ∈ Ω можно интерпретировать в виде сходящейся к
локальному минимуму 𝜔0 = argmin 𝐹 функции F последовательности {𝜔1 , 𝜔2 , … }, где 𝐹(𝜔𝑗+1 ) ≤ 𝐹(𝜔𝑗 ),
Ω,(7)
𝜔𝑗 ∈ Ω; 𝑗 = 1,2, …. В описании следующего алгоритма мы будем считать, что точка 𝜔0 может быть найдена
достаточно точно.
Для решения задачи параметрической идентификации рассматриваемой вычислимой модели на
основе очевидного предположения о несовпадении (в общем случае) точек минимума двух различных
функций предложены два критерия следующего типа:
𝐾𝐴 (𝜔) = √
1
𝑛𝛼 (𝑡2 −𝑡1 +1)
2
∑𝑡𝑡=𝑡
∑𝑛 𝐴 𝛼 (
1 𝑖=1 𝑖
𝑦 𝑖 (𝑡)−𝑦 𝑖∗ (𝑡)
𝑦 𝑖∗ (𝑡)
2
) , 𝐾𝐵 (𝜔) = √
1
𝑛𝛽 (𝑡2 −𝑡1 +1)
2
𝐵
∑𝑡𝑡=𝑡
∑𝑛𝑖=1
𝛽𝑖 (
1
𝑦 𝑖 (𝑡)−𝑦 𝑖∗ (𝑡)
𝑦 𝑖∗ (𝑡)
2
) . (13)
Здесь {𝑡1 , … , 𝑡2 } – промежуток времени идентификации; 𝑦 𝑖 (𝑡), 𝑦 𝑖∗ (𝑡) – соответственно расчетные и
наблюдаемые значения выходных переменных модели, 𝐾𝐴 (𝜔) – вспомогательный критерий, 𝐾𝐵 (𝜔) –
основной критерий; 𝑛𝐵 > 𝑛𝐴 ; 𝛼𝑖 > 0 и 𝛽𝑖 > 0 – некоторые весовые коэффициенты, значения которых
определяются в процессе решения задачи параметрической идентификации динамической системы;
𝑛𝐵
𝐴
∑𝑛𝑖=1
𝛼𝑖 = 𝑛𝛼 , ∑𝑖=1
𝛽𝑖 = 𝑛𝛽 .
Алгоритм решения задачи параметрической идентификации модели был выбран в виде следующих
этапов.
1. Параллельно, для некоторого вектора начальных значений параметров 𝜔1 ∈ Ω, решаются задачи А
и В, в результате находятся точки 𝜔𝐴0 и 𝜔𝐵0 минимума критериев 𝐾𝐴 и 𝐾𝐵 соответственно.
2. Если для некоторого достаточно малого числа 𝜀 верно 𝐾𝐵 (𝜔𝐵0 ) < 𝜀, то задача параметрической
идентификации модели (6), (8), (9) решена.
3. В противном случае, используя в качестве начальной точки 𝜔1 точку 𝜔𝐵0 , решается задача A, и,
используя в качестве начальной точки 𝜔1 точку 𝜔𝐴0 , решается задача B. Переход на этап 2.
Достаточно большое число повторений этапов 1, 2, 3 дает возможность выходить искомым значениям
параметров из окрестностей точек неглобальных минимумов одного критерия с помощью другого критерия
и, тем самым, решить задачу параметрической идентификации.
5
В результате совместного решения задач A и B согласно указанному алгоритму c использованием
алгоритма Нелдера-Мидда [6] было получено значение 𝐾𝐵 = 0.0073 . При этом относительная величина
отклонений расчетных значений переменных используемых в основном критерии от соответствующих
наблюдаемых значений составила менее 0.73%.
Результаты просчета и ретроспективного прогноза модели на 2008 г., частично представленные в
таблице 1 демонстрируют расчетные (𝑌, 𝑌1 , 𝑌2 , 𝑌3 , 𝑃), наблюдаемые значения и отклонения расчетных
значений основных выходных переменных модели от соответствующих наблюдаемых значений. Здесь
промежуток времени 2000-2007 гг. соответствует периоду параметрической идентификации модели; 2008г.период ретропрогноза; Y – валовый выпуск ( × 1012 тенге, в ценах 2000года); 𝑌 – валовой внутренний
продукт ( × 1012 тенге, в ценах 2000года); 𝑌𝑖 – валовая добавленная стоимость i-го сектора ( × 1012 тенге, в
ценах 2000года); P – индекс потребительских цен в процентах к предыдущему году; знак «*» соответствует
наблюдаемым значениям, знак «Δ» соответствует отклонениям (в процентах) расчетных значений от
соответствующих наблюдаемых значений.
Таблица 1. Наблюдаемые, расчетные значения выходных переменных модели и соответствующие
отклонения.
Year
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2.60
2.95
3.24
3.54
3.88
4.26
4.72
5.14
5.30
𝑌∗
2.60
2.95
3.24
3.54
3.88
4.26
4.72
5.15
5.26
𝑌
-0.04
0.00
0.04
0.03
0.04
-0.01
0.07
0.26
-0.73
Δ𝑌
0.107
0.102
0.116
0.125
0.134
0.157
0.164
0.165
0.200
𝑌1∗
0.109
0.102
0.116
0.126
0.134
0.158
0.164
0.164
0.199
𝑌1
1.80
-0.76
-0.01
1.32
0.46
0.49
-0.02
-0.59
-0.34
Δ𝑌1
0.033 0.0364
0.041
0.045
0.050
0.049
0.068
0.072
0.061
𝑌2∗
0.041 0.0343
0.039
0.044
0.050
0.049
0.067
0.071
0.061
𝑌2
25.00
-5.86
-4.73
-2.65
-0.57
-0.19
-0.13
-0.88
0.16
Δ𝑌2
∗
2.23
2.46
2.80
3.07
3.36
3.68
4.03
4.48
4.88
𝑌3
1.9
2.463
2.8
3.07
3.36
3.68
4.03
4.48
4.89
𝑌3
-14.63
0.08
0.07
0.03
0.02
0.02
0.00
0.11
0.28
Δ𝑌3
∗
𝑃
106.40
106.60
106.80
106.70
107.50
108.40
118.80
109.50
𝑃
106.57
106.81
106.95
106.83
107.64
108.50
118.90
109.50
Δ𝑃
0.00
0.16
0.20
0.14
0.12
0.13
0.09
0.09
0.00
2.2. Нахождение оптимальных значений регулируемых параметров на базе стохастической
вычислимой модели с сектором знаний
Стохастическая вычислимая модель отраслей экономики была получена из соответствующей
детерминированной модели (с найденными в результате решения задачи параметрической идентификации
оценками значениями экзогенных параметров) путем добавления дискретного гауссовского шума с
независимыми составляющими к правым частям всех динамических уравнений (6) модели. К таким
уравнениям относятся уравнения для расчета следующих эндогенных переменных:
- валовых добавленных стоимостей (Y1, Y2, Y3) трех секторов-производителей с помощью
соответствующих производственных функций;
- основных фондов (K1, K2, K3) трех секторов-производителей;
- годовых бюджетов (B1, B2, …, B5) секторов 1-5;
Добавленные аддитивные шумы к выражениям Yi могут инициировать соответствующие циклические
колебания, вызываемые резкими сдвигами (шоками) в развитии технологического прогресса и случайными
изменениями в темпах роста населения. Добавленные аддитивные шумы к выражениям Ki характеризуют
случайные изменения долей бюджетов агентов-производителей, идущих на покупку инвестиционных
товаров и случайный характер коэффициентов выбытия фондов. Добавленные аддитивные шумы к
выражениям Bi описывают случайный характер доходов, получаемых сектором в текущем периоде.
В настоящей работе оценки средних квадратичных отклонений генерируемых гауссовских случайных
величин определяющих указанный шум были получены на основе анализа соответствующих статистических
данных развития экономики Республики Казахстан в 2000-2008гг. следующим образом. Для каждого
временного ряда наблюдаемых значений указанных выше переменных рассчитывались выборочные средние
квадратичные отклонения разностей между наблюдаемыми значениями и трендом этих значений.
Найденные таким образом величины были приняты за оценки средних квадратичных отклонений компонент
6
генерируемого дискретного гауссовского шума, добавляемого к правым частям указанных выше 11
динамических уравнений.
При решении сформулированной выше задачи 2 параметрического регулирования на базе
стохастической вычислимой модели с сектором знаний в качестве критерия оптимизации использовался
критерий вида (12)
1
𝐾𝑠 = 𝐄 { ∑2015
𝑡=2010 𝑌(𝑡)} → 𝑚𝑎𝑥
6
(14)
Здесь 𝐾𝑠 – математическое ожидание среднего ВВП страны в ценах 2000 года за 2010-2015 годы. В
вычислительных экспериментах расчет критерия 𝐾𝑠 производился следующим образом. Методом МонтеКарло моделировались N реализаций случайного процесса 𝜉(𝑡) и, после N просчетов модели для всех этих
реализаций поочередно используемых в уравнениях (5), в качестве значения критерия 𝐾𝑠 бралось среднее
1
арифметическое значений выражений ∑2015
𝑌(𝑡) по этим N реализациям. Подобным образом
6 𝑡=2010
проверялось выполнение условия вида (11) принадлежности математических ожиданий значений
эндогенных переменных заданным областям фазового пространства модели.
При экспериментах c критерием оптимизации (9) использовались дополнительные ограничения (6) на
рост уровня потребительских цен следующего вида:
𝐄(𝑃(𝑡)) ≤ 1.09𝐄(𝑃̅(𝑡)), 𝑡 = 2010 ÷ 2015.
Здесь 𝑃̅ (𝑡) – расчетный уровень потребительских цен модели без параметрического регулирования,
𝑃(𝑡) – уровень потребительских цен с параметрическим регулированием.
В вычислительных экспериментах осуществлялось регулирование 18 управляемых параметров 𝑂𝑖 (𝑡)
(𝑡 = 2010 ÷ 2015; 𝑖 = 1, 2, 3) – долей консолидированного бюджета идущих на субсидирование трех
агентов производителей в 2100-2015 г.г. При этом должно выполняться естественное ограничение: сумма
всех используемых в модели восьми долей консолидированного бюджета (включая указанные выше доли
𝑂𝑖 (𝑡); 𝑖 = 1, 2, 3) не должна превышать единицы:
∑8𝑖=1 𝑂𝑖 (𝑡) ≤ 1; 𝑡 = 2010 ÷ 2015.
(16)
Рассматривалась следующая задача нахождения оптимальных значений регулируемых параметров.
На базе стохастической вычислимой модели c сектором знаний найти значения долей 𝑂𝑖 (𝑡)
консолидированных бюджетов идущих на субсидирование трех агентов производителей, которые
обеспечивали бы верхнюю грань критерия 𝐾∗ при дополнительных ограничениях (16) на эти доли.
Решения этой оптимизационной задачи проводились с помощью алгоритма Нелдора-Мида [6]. После
применения параметрического регулирования долей бюджетов стохастической модели, значение критерия
оказалось равным 𝐾𝑠 = 7.2341012 его значение увеличилось на 24,93% по сравнению с базовым
вариантом 𝐾𝑠 = 5.791012 .
Аналогичная задача параметрического регулирования с соответствующими ограничениями решалась
и на базе детерминированной CGE модели с сектором знаний с использованием критерия 𝐾𝑑
(детерминированного аналога критерия (15)):
1
𝐾𝑑 = ∑2015
𝑡=2010 𝑌(𝑡).
6
После применения параметрического регулирования долей консолидированных бюджетов идущих на
субсидирование агентов-производителей, значение критерия детерминированной модели оказалось равным
𝐾𝑑 = 9.23 ⋅ 1012 , значение критерия увеличилось на 33,14% по сравнению с базовым вариантом.
Заключение
1. Представлены результаты по развитию теории параметрического регулирования для класса
дискретных стохастических динамических систем с аддитивным шумом и показана эффективность
применения полученных результатов на примере одной стохастической вычислимой модели с сектором
знаний.
2. Продемонстрирована результативность использования предложенного метода параметрической
идентификации детерминированной модели.
3. Предложен метод оценки оптимальных значений управляемых параметров экономической
политики на базе стохастического и детерминированного вариантов вычислимой модели с сектором знаний
и найдены соответствующие оценки оптимальных значений управляемых параметров.
7
Полученные результаты могут быть использованы при разработке и осуществлении эффективной
государственной экономической политики.
References
1. Ashimov A.A., Sultanov B.T., Adilov Zh.M., Borovkiy Yu.V., Novikov D.A., Nizhegorodcev R.V.,
Ashimov As.A., Macroeconomic analysis and economic policy based on parametrical regulation .- Moscow:
Physmatlit, 2010 (in Russian).
2. Ashimov А.А., Iskakov N.A., Borovskiy Yu.V., Sultanov B.T., Ashimov As.А. Parametrical regulation of
economic growth on the basis of one-class mathematical models, Systems Science, 2009, Vol. 35, No. 1, 57-63.
3. Ashimov A.A., Sagadiyev K.A., Borovskiy Yu.V., Iskakov N.A., Ashimov Аs.A. Elements of the market
economy development parametrical regulation theory // Proceedings of the ninth IASTED International Conference
on Control and Application, 2007 - Montreal, Quebec, Canada, 296-301.
4. Ashimov A.A., Sagadiyev K.A., Borovskiy Yu.V., Iskakov N.A., Ashimov As.A., On the market economy
development parametrical regulation theory. Kybernetes, The international journal of cybernetics, systems and
management sciences. Vol. 37, No. 5, 2008, 623-636.
5. Makarov V.L., Bakhtizin A.R., Sulashkin S.S. The use of computable models in public administration. Moscow: Scientific Expert, 2007 (in Russian).
6. Nelder J.A., and Mead R. A simplex method for function minimization // The Computer Journal. №. 7.
1965. P. 308-313.
Приложение
Доказательство теоремы 1. Согласно теореме Вейерштрасса непрерывная функция на непустом
замкнутом ограниченном множестве достигает своего максимума. Таким образом, требуется показать, что
определенная с помощью (3) функция многих переменных 𝐾 = 𝐾𝛼 (𝑢) непрерывна, а множество 𝑈𝛼 –
замкнуто и ограничено. Его непустота входит в состав условий теоремы.
Покажем, что существуют математические ожидания величин, входящих в фазовое ограничение (4).
Действительно, согласно уравнению (1), имеем
𝐄[𝑥(𝑡 + 1)] = 𝐄[𝑓(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝛼)] + 𝐄[𝜉(𝑡)]
Второе слагаемое в правой части этого равенства имеет смысл в силу условий теоремы, а первое
вычисляется по формуле
𝐄[𝑓(𝑥(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝛼)] = ∫ 𝑓(𝜔, 𝑢(𝑡), 𝛼)𝑝𝑥(𝑡) (𝜔)𝑑𝜔,
𝑅𝑚
если последний интеграл абсолютно сходится (здесь через 𝑝𝑥(𝑡) обозначена плотность распределения
вероятностей случайной величины 𝑥(𝑡)). Последний факт действительно имеет место в силу ограничений на
рост функции f и наличия математического ожидания величины x(t) для любого t=1,…,n (этот факт
проверяется с помощью метода математической индукции).
Существование математического ожидания в правой части этого равенства (3) следует из
ограничений на рост функции
Ft
и существования математического ожидания величины x (t ). Докажем его
непрерывную зависимость от u. Пусть имеет место сходимость векторов
uk  u , 𝑢𝑘 ∈ 𝑈𝛼 . Из уравнения
(1) следует равенство
|𝑥𝑘 (𝑡 + 1) − 𝑥(𝑡 + 1)| = |𝑓(𝑥𝑘 (𝑡), 𝑢𝑘 (𝑡), 𝑎) − 𝑓(𝑥(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝑎)|
где
xk
и х есть решения задачи (1), (2) при управлениях
uk
и и соответственно. Тогда справедливо
соотношение
xk (t  1)  x(t  1)  L f  xk (t )  x(t )  uk (t )  u (t )  ,
8
где
Lf
есть константа Липшица функции f. Повторяя аналогичные рассуждения и учитывая, что, в силу
условия (2),
xk (0)  x(0)
будем иметь
|𝑥𝑘 (𝑡 + 1) − 𝑥(𝑡 + 1)| ≤ (𝐿𝑓 )2 |𝑥𝑘 (𝑡 − 1) − 𝑥(𝑡 − 1)| +
+(𝐿𝑓 )2 |𝑢𝑘 (𝑡 − 1) − 𝑢(𝑡 − 1)|+𝐿𝑓 |𝑢𝑘 (𝑡) − 𝑢(𝑡)| ≤
𝑡
≤ ∑(𝐿𝑓 ) 𝑠+1 |𝑢𝑘 (𝑡 − 𝑠) − 𝑢(𝑡 − 𝑠)| ≤ 𝜀𝑘
𝑠=0
где
k  0
при k  .
Обозначив через LF максимальную из констант Липшица функций
оценку
Ft , для t = 1,…,n получаем
Ft  xk (t )  Ft  x(t )  LF  k .
Вычислив математические ожидания от обеих частей этого неравенства, получим неравенство
Е{|𝐹𝑡 [𝑥𝑘 (𝑡)] − 𝐹𝑡 [𝑥(𝑡)]|}≤𝐿𝐹 𝜀𝑘 .
Отсюда следует, что Е{|𝐹𝑡 [𝑥𝑘 (𝑡)] − 𝐹𝑡 [𝑥(𝑡)]|}→0 и сходимость рассматриваемой последовательности
E Ft  xk (t )  E Ft  x(t ) .
Отсюда в силу (3) следует непрерывность функции 𝐾𝛼 от u.
Ограниченность множества 𝑈𝛼 следует из ограниченности множества U (t ) . Замкнутость множества
𝑈𝛼 следует из непрерывности отображения 𝑈𝛼 → 𝑋, задаваемого с помощью определения множества 𝑈𝛼 и
компактности множества Х (теорема о замкнутости полного прообраза компакта при непрерывном
отображении). Теперь существование решения исследуемой задачи вытекает из теоремы Вейерштрасса.
Теорема доказана.
Предварительно сформулируем следующие определение и вспомогательное утверждение,
используемые при доказательстве теоремы 2.
Определение. Пусть для семейства подмножеств
 X a  некоторого множества X евклидова
пространства с параметром а из некоторого подмножества А евклидова пространства определено
семейство функций 𝑓𝑎 (𝑥), 𝑎 ∈ 𝐴, 𝑥 ∈ 𝑋 . Семейство
 X a  назовем f-непрерывным на множестве А, если
для любого 𝜀 > 0 найдется такое число 𝛿, что при выполнении неравенства |𝑎 − 𝑏| ≤ 𝛿, 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 для
любой точки 𝑥𝑎 ∈ 𝑋𝑎 найдется такая точка 𝑥𝑏 ∈ 𝑋𝑏 , что имеет место неравенство |𝑓𝑎 (𝑥𝑎 ) − 𝑓𝑎 (𝑥𝑏 )| < 𝜀.
Согласно этому определению семейство множеств
 X a  является f-непрерывным, если в случае
достаточно близости параметра b к а, для любого элемента из множества
(по значению функций) к нему элемент множества
Xb
найдется сколь угодно близкий
Xa .
Следующая лемма имеет вспомогательный характер для доказательства непрерывности оптимальных
значений критерия задач вариационного исчисления по синтезу оптимальных законов параметрического
регулирования.
Лемма 1. Пусть A и X – некоторые подмножества евклидовых пространств, A – открыто,
 X a  лежит в X. Пусть отображение (𝑎, 𝑥) →
непрерывно на произведении 𝐴 × 𝑋. Пусть семейство подмножеств  X a  f-непрерывно во всех
X - компакт; семейство замкнутых подмножеств
𝑓𝑎 (𝑥)
точках некоторой окрестности точки 𝑎0 ∈ 𝐴. Тогда отображение 𝑎 → max 𝑓𝑎 (𝑥) является непрерывным в
𝑥∈𝑋𝑎
точке 𝑎0 ∈ 𝐴.
Доказательство леммы 1. Пусть имеет место сходимость некоторой последовательности 𝑎𝑘 → 𝑎0 ,
где 𝑎𝑘 ∈ 𝐴 Обозначим через
xk
точку максимума функции 𝑓𝑎𝑘 на множестве 𝑋𝑎𝑘 , а через 𝑥0 – точку
максимума функции 𝑓𝑎0 на множестве 𝑋𝑎0 .
9
Учитывая f-непрерывность семейства множеств
 X a  и непрерывность на 𝐴 × 𝑋 функции 𝑓𝑎 (𝑥),
заключаем, что для любого числа 𝜀 > 0 найдется такой номер 𝑘0 , что при 𝑘 > 𝑘0 найдутся точки 𝑥′𝑘 ∈ 𝑋𝑎0
для которых выполняются неравенства |𝑓𝑎𝑘 (𝑥′𝑘 ) − 𝑓𝑎𝑘 (𝑥𝑘 )| ≤ 𝜀 и, кроме того, max|𝑓𝑎𝑘 (𝑦) − 𝑓𝑎о (𝑦)| ≤ 𝜀.
𝑦∈𝑋
В результате, при 𝑘 > 𝑘0 получаем следующие неравенства
𝑓𝑎0 (𝑥0 ) ≥ 𝑓𝑎0 (𝑥 ′ 𝑘 ) ≥ 𝑓𝑎𝑘 (𝑥 ′ 𝑘 ) − 𝜀 ≥ 𝑓𝑎𝑘 (𝑥𝑘 ) − 2𝜀.
(17)
Подобным образом проверяется соотношение
𝑓𝑎𝑘 (𝑥𝑘 ) ≥ 𝑓𝑎0 (𝑥0 ) − 2𝜀.
(18)
Из (14) и (15) следует, что при достаточно больших k справедливо неравенство |fak (xk ) − fa0 (x0 )| ≤
2ε, которое обеспечивает сходимость последовательности fak (xk ) → fa0 (x0 ). Лемма доказана.
Доказательство теоремы 2.
При доказательстве теоремы 1 были установлены замкнутость и ограниченность множеств
непрерывность функций
откуда следует
K a . Там же была установлена непрерывность отображения u  E  xau (t )  ,
K a -непрерывность семейства множеств {U a }. Здесь через 𝑥𝛼𝑢 (𝑡) обозначено решение
системы (1), (2) для выбранных 𝛼 и 𝑢.
Покажем равномерную по и непрерывность отображения
сходимость
Ua и
a  Ka (u ). Пусть имеет место
ak  a . Из условия (1) следует оценка


xauk (t  1)  xau (t  1)  f xauk (t ), u (t ), ak  f  xau (t ), u (t ), a  
 L f  xauk (t )  xau (t )  ak  a  ,
где L f есть константа Липшица функции f. Учитывая начальное состояние системы, отсюда получаем
неравенство
xauk (t )  xau (t )    L f
n
s 1

s
ak  a .
Обозначим через LF максимальную из констант Липшица функций
Ft . Тогда справедлива оценка
Ft  xauk (t )   Ft  xau (t )   LF xauk (t )  xau (t )  LF   L f
n
s 1

s
ak  a .
Перейдя в последнем неравенстве к математическим ожиданиям левой и правой частей, получим, что
Е{|𝐹𝑡 [𝑥𝑎𝑢𝑘 (𝑡)] − 𝐹𝑡 [𝑥𝑎𝑢 (𝑡)]|}→0. Отсюда следует, что при k   для любого t имеет место сходимость
Е{𝐹𝑡 [𝑥𝑎𝑢𝑘 (𝑡)]}→Е{𝐹𝑡 [𝑥𝑎𝑢 (𝑡)]}. равномерно по и из объединения всех множеств
и непрерывность отображения
Ua
а значит, и равномерная по
a  Ka (u ). и непрерывность по (𝑎, 𝑢) функции 𝐾𝑎 (𝑢). Используя лемму 1,
получим требуемое утверждение. Теорема доказана.
10