ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №2 Тема: Системы логарифмических и показательных уравнений и неравенств. I. Актуализация теоретического материала. При решении систем показательных и логарифмических уравнений и неравенств применяются те же способы и приемы, что и при решении систем алгебраических уравнений и неравенств. Следует лишь подчеркнуть, что во многих случаях, прежде чем применить тот или иной метод решения систем, следует преобразовать каждое уравнение системы к возможно более простому виду. 252 х 252 у 30, . 25х у 5 5 Пример 1. Решим систему уравнений: Решение. Положив и=25х, v=25у, получим и v 30, , имеющую четыре решения: uv 5 5 2 2 u1 5, u2 5, v1 5; v2 5; систему уравнений u3 5, u4 5, ; v3 5 v4 5. Но и=25х, v=25у, значит и>0, v>0, т.е. из найденных четырех решений надо взять только первые два. Таким образом, задача сводится к решению следующей совокупности 25х 5, у 25 5; 1 1 у1 , из второй: х2 , 4 4 1 1 , . 4 2 систем уравнений: 1 х1 , 2 1 1 ; , 2 4 25х 5 , Из первой системы находим у 25 5. 1 у2 . Итак, система имеет два решения: 2 5 logy x 2 х y x , Пример 2. Решим систему уравнений: log 4 y log y y 3x 1. (1) Решение. Приведем первое уравнение системы (1) к более простому виду. Для этого возьмем от обеих частей уравнения логарифм по основанию 5 5 2 5 2 у: log y xlog x y log y x 2 , и далее log y xlog x log y y log y x , log 2y x 1 log y x. y Положив u log y x , y получим квадратное относительно и уравнение 5 1 2 u 2 u 1 0 , корни которого u1 2, u2 . Значит, либо log y x 2 , тогда х=у , 2 2 1 либо log y x , тогда х у , т.е. у=х2. 2 Итак, следствием первого уравнения системы (1) является совокупность уравнений: х=у2; у=х2. Приведем теперь второе уравнение системы (1) к более простому виду. Для этого перейдем от логарифма по основанию у к логарифму по основанию 4: log 4 y log 4 ( y 3x) 1, и далее log 4 ( y 3x) 1, откуда у-3х=4. Таким образом, log 4 y решение системы (1) мы свели к следующей совокупности систем уравнений: x y 2 , y x2 , y 3x 4; y 3x 4. Первая система не имеет решений, вторая система имеет два решения: (4;16) и (-1;-1). Проверка. Решение системы (1) должны удовлетворять следующим х 0, у 0, условиям: Пара (4;16) этой системе удовлетворяет, а пара (-1;1) – у 3х 0, у 1. нет. Значит, (4;16) – единственное решение системы. II. Закрепление теоретического материала. Решить системы уравнений: 3 х у 2 х у 65 х у 1 27, 2х 2у х у 64 64 12 , 2 2 12 , , а) 2 в) х у г ) 2 у 5 1 36 б ) 3 ; 64 4 2 ; х у 5; ху х у 118; х 3 1 log 5 x 3log3 y 7, lg x lg y lg 2, log 0.5 y x log 2 y 2, д) 2 е) y ж) 2 x 512; x y 5; х 2 у 2 25. Решить системы неравенств: 9 x 10 3x 9 0, x 2 x 1 log 2 2 x log 2 x 2 0, 3 9 810 0, б ) в ) а) 2 3 . log 32 x 4 log 3 x 3 0; 4 x 3 2 x 4. 2 x 1 x III. Домашнее задание. Решить системы уравнений: х у 2 3 12, б) а) у х 2 3 18. х у у 5 у 6 х 2 у 9 у 9 8, 4, 2 9 648, х х 0 в) х у г) 2 у 2 5 у 6 2 у 9 у 9 х 4. 64. 3 4 432. х 2 2 Решить системы неравенств: 2 х 8 х 27 х2 4 , 0, а) 3 9 64 б ) х 2 16х 64 х 2 6 х 3,5 lg x 7 lg x 5 2 lg 2. 8 2. 2 Литература: 1. Виленкин Н.Я., Кочева А.А., Стеллецкий И.В. Задачник-практикум по элементарной математике. - М.: Просвещение, 1969. 2. Завало С.Т. Элементарная алгебра. - М.: Просвещение, 1964. 3. Сборник конкурсных задач для поступающих во втузы. Под ред. М.И.Сканави. - М.: Высшая школа, 1977.