GUIDELINES FOR AUTHORS - Марийский государственный

160
АНАЛИЗ АВТОКОРРЕЛЯЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ СИГНАЛОВ,
ОБРАЗУЮЩИХ ОРТОГОНАЛЬНЫЙ АЛФАВИТ 1
А.Ю. Тюкаев2, А.Н Леухин2
2Марийский
государственный технический университет, 424000, Йошкар-Ола, пл.
Ленина 3. Тел. (8362) 455412. E-mail: inf@marstu.mari.ru
Исследованы взаимнокорреляционные свойства фазокодированных дискретных
последовательностей, обладающих нулевым уровнем боковых лепестков
циклической автокорреляционной функции. Дана сравнительная оценка
автокорреляционных свойств ортогональных и квазиортогональных в широком
смысле фазокодированных дискретных последовательностей.
Введение
В радиолокации и системах связи важное
прикладное значение имеют сложные
сигналы,
обладающие
хорошими
корреляционными характеристиками или, в
общем случае, свойствами функции
неопределённости [1 - 5].
Сигналы,
имеющие
циклическую
автокорреляционную функцию (АКФ) с
нулевым уровнем боковых лепестков
(рис.1), идеальны для решения таких задач
радиолокации
как
обнаружение,
разрешение и оценка параметров [5].
rτ
1
τ
N-3 N-2 N-1
1
2
3
0
Рис. 1. Примерный вид нормированной
циклической АКФ.
r - циклическая АКФ, N - размерность сигнала,
 - временной сдвиг.
В то же время, задача распознавания
наилучшим
образом
решается
с
применением ортогональных в широком
смысле сигналов, т.е. таких сигналов у
которых
циклическая
взаимная
корреляционная
функция
(ВКФ)
равномерна и имеет нулевой уровень
отсчётов (рис.2).
ητ
τ
N-3 N-2 N-1
1
2
3
0
Рис. 2. Примерный вид циклической ВКФ.
  - циклическая ВКФ, N - размерность сигнала,
 - временной сдвиг.
Сложные сигналы, обладающие подобными
корреляционными
свойствами,
можно
разделить на две большие группы:
непрерывные и дискретные. С развитием
цифровой техники всё большее значение
стали приобретать дискретные сигналы,
которые можно различать по законам
модуляции.
Особое
место
среди
дискретных
сигналов
занимают
фазокодированные
дискретные
последовательности Γ   n 0, N 1 (ФКП),
которые можно определить на основании
выражения:
 n  exp i n  , n  0, 1..., N  1,
(1)
где значение фазы на каждом n -ом
кодовом интервале определяется из
диапазона  n  0, 2 , модуль каждого
кодового элемента  n  1 , N - количество
кодовых элементов в последовательности,
i - мнимая единица.
Синтез и анализ ФКП с хорошими
корреляционными свойствами является
важной задачей теории синтеза сигналов.
_________________________________________________________
Работа выполнена при финансовой поддержке по темам НИР в рамках гранта Президента РФ МД-63.2007.9 и
гранта РФФИ 07-07-00285.
1
161
Ортогональные системы в широком
смысле
Нормированную циклическую взаимную
корреляционную функцию двух ФКП
Γ   n 0, N 1 и Ν   n 0, N 1 определим на
Нормированная
циклическая
автокорреляционная функция дискретной
последовательности
Γ   n 0, N 1
определяется на основании выражения:
r 
основании выражения:
 
1 N 1
  n mod N   *n ,
N n 0
  0,1,..., N  1 ,
(2)
где N - размерность ФКП.
Последовательности
Γ   n 0, N 1
и
широком смысле, если все отсчеты их
нормированной
ВКФ
равны
нулю.
Семейство всех взаимноортогональных
ФКП
размерности
назовем
N
ортогональным алфавитом, а количество
элементов алфавита (объем) обозначим
через L .
Примером известных ортогональных в
широком смысле ФКП являются базисные
функции
дискретного
преобразования
Фурье (элементарные контуры) [6].
Произвольный
отсчет
j -го
n -ый
 0,N 1 ,
Γ  j    nj 
можно записать в виде:
 2

 nj   exp  i
 j  n ,
 N

j  0,1,..., N  1 , n  0,1,..., N  1 .
(3)
Семейство всех элементарных контуров
размерности
образует
алфавит
N
ортогональных символов объемом L  N .
Система всех функций Радемахера [7] с
порядком k и размерностью N  2 k также
образует алфавит ортогональных символов
объемом L  k . Функции Радемахера f k 
определяются следующим образом:
 

f k   sign sin 2 k     ,
0    1,
где
порядок
k
 1 при x  0,
sign x  
 1 при x  0.
(5)
где  *n - комплексно сопряженный кодовый
элемент дискретной последовательности
Γ   n 0, N 1 .
Ν   n 0, N 1 назовем ортогональными в
элементарного контура
1 N 1
  n mod N   *n ,
N n 0
  0,1,..., N  1 ,
(4)
функции,
Известно, что элементарные контуры и
функции
Радемахера
не
обладают
идеальными свойствами циклической АКФ
(уровень боковых лепестков не равен нулю)
(рис.3), поэтому они не эффективны при
решении задач обнаружения, разрешения и
оценки параметров.
rτ
1
τ
1
2
3
N-3 N-2 N-1
Рис. 3. Нормированная циклическая АКФ
элементарных контуров и функций Радемахера.
r - циклическая АКФ, N - размерность сигнала,
 - временной сдвиг.
0
Квазиортогональные системы в
широком смысле
Введём понятие квазиортогональных в
широком
смысле
фазокодированных
дискретных последовательностей. Для
любых
двух
квазиортогональных
в
широком смысле ФКП Γ   n 0, N 1 и
Ν   n 0, N 1
должно
выполняться
равенство:
 
1 N 1
  n mod N    n  c
(6)
N n0
  0,1,..., N  1.
Равенство (6) должно выполняться при
условии: c  N , где c - некоторое
неотрицательное вещественное число.
Примерный
вид
нормированной
циклической ВКФ квазиортогональных в
широком смысле ФКП показан на рис.4.
 
162
Семейство
всех
возможных
взаимноквазиортогональных
ФКП
размерности
назовем
N
квазиортогональным
алфавитом,
а
количество элементов алфавита (объем)
обозначим через L .
|ητ|
c
τ
1
2
3
N-3 N-2 N-1
0
Рис. 4. Примерный вид нормированной циклической
ВКФ квазиортогональных ФКП.
  - нормированная циклическая ВКФ,
N - размерность сигнала,  - временной сдвиг,
c - неотрицательное вещественное число.
Коды Френка [8] нечётной размерности N
образуют алфавит квазиортогональных
ФКП объёмом L  k  1. Значения фаз
кодов Френка размерностью N  k 2 ,
можно
определить
на
основании
выражения:
l 
2
mn j ,
k
(7)
где n  0,1,..., k  1 , m  0,1,..., k  1 , индекс l
пробегает значения l  0,1,...., N  1 и
инкрементируется
каждый
раз
с
изменением индексов n или m , индекс
j  0,1,..., k   1 , k  - функция Эйлера,
 j - число взаимно-простое с k .
Коды Френка, в отличие от элементарных
контуров и функций Радемахера, обладают
идеальными свойствами циклической АКФ
(рис.1).
В работе [9] разработан метод синтеза
ФКП,
позволяющий
получить
все
возможные
дискретные
кодовые
последовательности,
нормированная
циклическая АКФ которых имеет нулевой
уровень боковых лепестков (рис.1).
Полную систему базисных дискретных
кодовых
последовательностей

l
Γ  Γ 0, N  размерностью N можно
 
представить в следующем виде [10]:
 для любого N :
  2

Γ l   exp  i
 l  n 2 
,
N
1



 0, N 1
(8)
2 N , для N mod 2  0;
N1  
 N , для N mod 2  1;
n  0,..., N  1 ,  l - вычеты по модулю N
взаимно простые с N , l  1, 2..., N   1 ,
N  - функция Эйлера от числа N .
где
 для N  k 2 , k - любое целое число:
Γ
l 
  2

 exp  i
 l  k   (k ) 
, (9)
N
1



 0, N 1
где
(k )  0,1 1, 1  2,,1  k;
3  k  1, 3  k  2,,3  2k ;;
2k  1k 2  k  1, 2k  1k 2  k  2
, 2k  1  k 2  1mod M  ,
2k , если k  чётное;
,  l - число
M 
k , если k  нечётное;
M,
взаимно-простое
с
числом
l  1, 2..., M  , M  - функция Эйлера от
числа M .
 для N  k 2 , k - чётное целое число:
Γ
l 
  2

 exp  i
 l  k   (k ) 
, (10)
 0, N 1
  N1
 k2раз


 (k )  0, 0,  ,0; 2  1, 2  2,  ,2  k ;
где


4  k  1, 4  k  2,,4  2k ;;


2 k  1  k  12 ,,2 k  1  k 2  k  1 ;
k 21 раз 



0, 0,  ,0 mod M  ,


2k , если k  чётное;
M 
,  l - число
k , если k  чётное;
взаимно-простое
с
числом
k,
l  1, 2..., k  , k  - функция Эйлера от
числа k .
На
основе
базисных
кодовых
последовательностей
можно получить
дополнительные
ФКП,
обладающие
163
нулевым уровнем боковых лепестков
циклической АКФ [9].
Исследования
показали,
что
синтезированные в работе [9] ФКП могут
обладать равномерной нормированной
циклической ВКФ с уровнем модулей
1
отсчётов равным
(рис.5), в случае,
N
когда
размерность
дискретных
последовательностей N является нечётным
числом [10], т.е.:
 
1
, при нечётном N ,
N
  0,1,..., N  1.
(11)
|ητ|
1
N
τ
N-3 N-2 N-1
1
2
3
0
Рис. 5. Примерный вид нормированной циклической
ВКФ синтезированных квазиортогональных ФКП.
  - модуль нормированной циклической ВКФ,
N - размерность сигнала,  - временной сдвиг.
Заключение
Синтезированные
в
работе
[9]
фазокодированные
дискретные
последовательности,
в
отличие
от
ортогональных сигналов (элементарные
контуры и функции Радемахера), могут
обладать равномерной нормированной
циклической ВКФ с уровнем модулей
1
отсчётов равным
(рис. 5), в том
N
случае, если размерность N данных
фазокодированных
последовательностей
нечётное число. При больших значениях
размерности N такие последовательности
можно считать квазиортогональными, т.к.
уровень
модулей
отсчётов
их
нормированной циклической ВКФ будет
1
стремиться к нулю, т.е. lim
 0.
N  N
Циклическая
АКФ
таких
фазокодированных последовательностей, в
отличие от ортогональных сигналов, при
любом значении размерности N , обладает
идеальными свойствами, т.е. нулевым
уровнем боковых лепестков.
Ссылки
1. Wodward P.M. Probability and Information Theory
with Applications to Radar, Pergamon Press, N.Y.,
1953.
2. Вакман Д.Е. Сложные сигналы и принцип
неопределенности в радиолокации. - М.: Сов.
радио, 1965.
3. Варакин Л.Е. Системы связи с шумоподобными
сигналами. - М.: Радио и связь, 1985.
4. Вакман, Д.Е., Седлецкий, Р.М. Вопросы синтеза
радиолокационных сигналов / Вакман Д.Е.,
Седлецкий Р.М. - М.: Сов. радио, 1973.
5. Кук Ч.К., Бернфельд M. Радиолокационные
сигналы. Теория и применение, М., Сов. радио,
1971.
6. Фурман Я.А., Кревецкий А.В., Передреев А.К.,
Роженцов А.А., Хафизов Р.Г., Егошина И.Л.,
Леухин А.Н. Под ред. Фурмана. Я.А. Введение в
контурный анализ и его приложения к обработке
изображений и сигналов. - М.: Физматлит, 2002.
7. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и
сигналы / И.С. Гоноровский. - М: Радио и связь,
1986.
8. Варакин, Л.Е. Теория сложных сигналов /
Варакин Л.Е. - М.: Сов. Радио, 1970.
9. Leukhin A.N. Algebraic solution of the synthesis
problem for coded sequences // Quantum
Electronics. - 2005. - V.35, № 8. - P. 688 - 692.
10. Леухин А.Н., Тюкаев А.Ю., Бахтин С.А. Синтез
и
анализ
сложных
фазокодированных
последовательностей.
//
Электромагнитные
волны и электронные системы. - 2007. №4 - C. 32
- 37.