2 капитана 5 класс высшая лига

Ижевский клуб интеллектуальных игр «Что? Где? Когда?»
МБОУ Экономико-математический лицей № 29 г. Ижевска
Республиканский ресурсный центр по математике
Ижевский Командный Турнир Математиков
«Два капитана», высшая лига, 5 класс, 21 ноября2013 г.
1. (письменно обоснование) Можно ли составить контур квадрата из набора палочек: 6 шт. по 1 см,
3 шт. по 2 см, 6 шт. по 3 см и 5 шт. по 4 см. Ломать палочки и накладывать одну на другую нельзя.
Решение. Такой квадрат составить нельзя, поскольку его периметр должен быть 50 см, т.е. стороны
не являются целыми числами.
2. (письменно обоснование) Рита, Люба и Варя решали задачи. Чтобы дело шло быстрее, они купили
конфет и условились, что за каждую решённую задачу девочка, решившая её первой, получает четыре
конфеты, решившая второй — две, а решившая последней — одну. Может ли быть, что каждая из них
решила все задачи и получила 20 конфет, если одновременных решений не было?
Ответ: нет. Решение. Если три девочки получат по 20 конфет, то всего будет 60 конфет. Однако каждая
задача стоит 4+2+1=7 конфет, значит, общее количество конфет должно
быть кратно 7.
3. (ответ) Разрежьте фигуру на три равные части (части называются равныесли они совпадают при наложении)
ми,
Ответ: см. рис.
4. (ответ) Из ведра взяли три рыбы, затем треть остатка и еще
рыбы. После этого в ведре осталась половина первоначальноколичества рыб. Сколько всего рыбы было в ведре?
три
го
Ответ: 30 рыб Решение. Заметим, что треть остатка – это треть всего без одной рыбы. Значит, из
ведра взяли треть всего и еще пять рыб. Осталась половина, значит, взяли тоже половину. Тогда
получаем, что разница между половиной и третью – это пять рыб. А разница между половиной и
третью – как раз 1/6 всего, откуда получаем ответ.
5. (ответ) В семье есть Иван Сидорович, Сидор Иванович, Сидор Петрович, Петр Сидорович, Петр Петрович. Один из них сейчас смотрит телевизор, его отец дремлет, брат читает газету, а дети ушли гулять. Как зовут того, кто смотрит телевизор?
Ответ: Петр Сидорович. Решение. Братьями могут быть два Сидоровича или два Петровича. При этом
одна пара братьев дома, другие – дети – пошли гулять. Если дети – Сидоровичи, то Сидор смотрит телевизор, тогда его брат – Петр Петрович, а их отец – Петр. Но остался только Сидор Иванович, поэтому
не сошлось. Если же дети – Петровичи, то смотрит телевизор Петр Сидорович, его отец – Сидор Иванович, его брат – Иван Сидорович.
6. (ответ) Разбейте число 4026=20132 на три попарно различных натуральных слагаемых, сумма любых двух из которых делится на третье.
Ответ: 4026= 671+1342+2013.
7. (ответ) Какое
число должно стоять в четвертом
круге вместо знака вопроса?
Ижевский клуб интеллектуальных игр «Что? Где? Когда?»
МБОУ Экономико-математический лицей № 29 г. Ижевска
Республиканский ресурсный центр по математике
Ответ: 14. Решение: перемножаем левое и правое, прибавляем верхнее, вычитаем нижнее.
8. (устно) Каждый день кот Леопольд прогуливался в городском парке. Однажды, 21 ноября кот Леопольд встретил на прогулке мышей – Серого и Белого. Леопольд забыл, когда у мышат Дни Рождения
и решил спросить их об этом, чтобы вовремя подарить подарки. «Он был вчера» - ответил Серый мышонок. Белый же мышонок сказал: «Он будет завтра». На следующий день кот Леопольд опять спросил мышат об этом. «Он был вчера» - ответил Серый мышонок. «Он будет завтра» - сказал Белый. Кот
Леопольд задумался над словами мышат. Он точно знал, что обманывать они могут только в день своего рождения, хоть и часто шутят над ним. Как же коту Леопольду узнать, когда дни рождения у мышат?
Решение. Серый мышонок два дня подряд отвечал Леопольду одинаково, что день рождения был
вчера, следовательно, в один из дней он обманывал, значит, у него был День Рождения. Но тогда ДР у
него 21 или 22 ноября, но никак не 20 ноября. Отсюда получаем, что в первый раз он не мог говорить
правду. Значит, у него был ДР. Аналогичное рассуждение про белого.
Ответ: 21 ноября – у Серого мышонка, 22 ноября – у Белого мышонка.
9. (письменно, с обоснованием) В числе 9876543210 зачёркиваются ровно 7 цифр так, чтобы оставшееся число делилось на 5. Сколько таких различных чисел можно получить?
Ответ: 42 способа. Решение. Остается 3 цифры, причем последняя – 0 или 5. Если последняя – 0, то из
цифр от 9 до 1 надо оставить две цифры. Это можно сделать 98/2 = 36 способами. Если же последняя
-5, то все цифры от 4 до 0 вычеркнуты, а из цифр 9876 надо оставить 2. Это можно сделать 43/2 = 6
способами. Итого 42 способа.
10. (ответ письменно) В записи 9 8 7 6 5 4 3 2 1 расставьте знаки +, –, , :, () таким образом, чтобы выражение равнялось 2013. Можно две рядом стоящие цифры воспринимать как многозначное число.
Переставлять цифры нельзя.
Ответ:
Могут быть и другие
11. (устно) Мушкетеры Атос, Портос и Арамис и богатыри Илья, Добрыня и Алексей устроили соревнование по отрубанию голов Змею Горынычу. Портос отрубил больше всех, а Алеша – меньше всех.
Богатыри в сумме отрубили больше голов, чем мушкетеры. Кто отрубил больше голов – Добрыня или
Арамис?
Ответ: Добрыня. Решение. Портос отрубил больше, чем Илья, а Атос – больше, чем Алеша, получается,
что Портос с Атосом вместе нарубили голов больше, чем Илья с Алешей. Но богатыри все-таки выиграли, что можно сделать только за счет того, что Добрыня выиграл Арамиса.
12. (письменно с обоснованием) Найдите решение ребуса
, если
принимает
наибольшее возможное значение. Разным буквам соответствуют разные цифры, а одинаковым – одинаковые.
Ответ: 864–765=99. Решение. Распишем, что получится. 100Ш+10А+Х–100М–10A–Т = 11Ы, есть 100 (Ш–
М) = 11Ы+Т–Х, откуда сразу получим, что левая часть не меньше 100. Значит Ы=9, Ш–М=1, Т–Х=1.
примет наибольшее значение при Ш=8, тогда М=7. Далее выбираем наибольшее А=6. Х=4
Ижевский клуб интеллектуальных игр «Что? Где? Когда?»
МБОУ Экономико-математический лицей № 29 г. Ижевска
Республиканский ресурсный центр по математике
13. (все ответы письменно) Сколькими способами к фигурке (см.рис., длина стороны
клетки 1 см) можно приставить по стороне еще одну клетку так, чтобы полученной фигуркой из пяти клеток можно было бы оклеить 5 граней куба с ребром 1см? В качестве ответа надо нарисовать все способы, и ни одного лишнего.
Ответ: 6. Выделены те линии, к которым можно приставить квадратик
14. (устно) В школе прошел забег с участием 10 спортсменов, и все заняли разные места. На следующий день каждого из них спросили, какое место он занял, и каждый, естественно, назвал одно из чисел от 1 до 10. Сумма их ответов оказалась равна 37. Какое наименьшее число врунишек могло быть?
Привести пример и доказать, что меньше быть не может.
Ответ: 3. Решение. Сумма чисел от 1 до 10 равна 55, значит, сумма названных чисел на 18. Один из
врунишек мог убавить максимум 9 мест (вместо 10 назвать 1), еще один – 8 (вместо 9 назвать 1). В любом случае нужен еще один.
Пример:1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 7, 1, 1
15. (письменно) В Зазеркалье имеют хождение монеты достоинством 7, 13 и 25 гиней. Алиса заплатила за пирожок несколько монет, и получила на сдачу на две монеты больше. Могла ли покупка стоить
100 гиней? Если да – привести пример, если нет – обосновать, почему.
Ответ. Могла. Например, Алиса отдала 19 монет по 13 гиней и получила в качестве сдачи 21 монету по
7 гиней.
16. (устно) Каждое из пяти яблок весит 220 г. Их разрезали на куски и разделили между 11 детьми так,
чтобы каждый получил ровно 100 г. Могут ли все куски весить больше 44 граммов?
Ответ. Не могут. Решение. Предположим это сделать удалось. Тогда каждый ребенок получил либо
два больших (больше 44 г) куска, либо один кусок в 100 г. В последнем случае разрежем этот кусок
пополам. Итак, у каждого из детей по два куска, то есть всего кусков 22. Но из яблока можно получить
только 4 больших куска, а всего не больше 20 кусков. Противоречие.