Приближенное вычисление значения суммы сходящегося ряда

Приближенное вычисление значения суммы сходящегося ряда
Задача Найти приближенное значение суммы сходящегося ряда
y

a
n 0
n
n
, общий член которого имеет вид an  x / n! . Суммирование
прекратить, как только очередное слагаемое станет по абсолютной величине
меньше eps (0< eps< 1).
x x2 x3
y  1 

 ...
1! 2! 3!
Входные данные:
x – значение, при котором вычисляется y,
eps – константа для оценки величины члена ряда
Выходные данные:
y – приближённое значение суммы ряда.
Промежуточные переменные: an – очередной член ряда,
n – целочисленная переменная обозначает номер очередного члена
ряда.
Метод решения
Вычисление суммы y 

a
n 0
n
сходящегося ряда осуществляется
на основе рекуррентного соотношения:
 yn  yn1  an ,

y 0  a0

Для получения
n  1,2,...
рекуррентной зависимости, используемой при
вычислении очередного члена ряда, находят отношение следующего члена
ряда к предыдущему:
an
x n  (n  1)! x  1  2  ...(n  1) x


 ,
a n 1
1  2  ...  n
n
n!x n 1
откуда

 a n  an 1  x / n , n=1,2,… ,

a 0 =1, n=0.
Описание алгоритма
В цикле на каждой итерации
– проверяется абсолютная величина очередного члена суммы ряда:
|an| > eps,
– если условие выполняется, то слагаемое прибавляется к сумме,
определяется
значение
следующего
члена
ряда,
и
вычисления
продолжаются,
– если условие |an| > eps не выполняется, то завершается подсчёт
суммы.
Текст программы
program Row1;
var x, y, an, eps :real;
n:integer;
begin
writeln('введите x и eps');
readln(x,eps);
y:=0;
n:=0;
an:=1;
while abs(an)>eps do
begin
y:=y+an;
n:=n+1; an:=an*x/n
end;
writeln('сумма=', y:12:7)
end.
При нахождении суммы ряда следует
использовать рекуррентную
формулу для нахождения следующего члена ряда (если рекуррентная
зависимость существует).
Например, при вычислении суммы
s=1+1/2 2 +1/3 3 +…
an=1/i 2
отношение следующего члена ряда к предыдущему имеет вид:
1
2
an
 i
;
1
an _ 1
(i  1) 2
(i  1) 2
an
(i  1) 2
;
an=an_1
, n=2, 3, …


an _ 1
i2
i2
a1=1;
Но в этом примере проще an вычислять, не пользуясь выведенной
зависимостью , а по формуле
an=1/i
2
Задания
Найти приближенное значение функции y=f(x), используя ее разложение в ряд.
Суммирование прекратить, как только модуль очередного слагаемого станет меньше eps,
(0 < eps << 1). Проверить полученный результат, используя соответствующую
стандартную функцию.
e x  ex
x3
x5
x7
 x


 ...
1) y  shx 
2
3!
5!
7!
e x  ex
x2
x4
x6
 1


 ...
2) y  chx 
2
2!
4!
6!
x2
x3
x4


 ...
3) y  ln( 1  x)  x 
2
3
4
для  1  x  1
4 ) y  ln x  ( x  1) 
( x  1) 2 ( x  1) 3 ( x  1) 4


 ...
2
3
4
для 0  x  2
 x  1 ( x  1) 3

( x  1) 5


 ...
5) y  ln x  2 
3
5
5  ( x  1)
 x  1 3  ( x  1)

1 1 x
x3
x5
x7
 x


 ...
6) y  arthx  ln
2 1 x
3
5
7
7)
y  arthx 
1
x 1 1
1
1
1
ln
 


...
2
x  1 x 3x 3 5 x 5 7 x 7
x3
x5
x7


 ...
8) y  arctgx  x 
3
5
7
9)
y  arctgx 

2
10) y  arctgx  


2
1
1
1
1



 ...
x 3 x 3 5 x5 7 x 7

1
1
1
1



 ...
x 3 x3 5 x5 7 x 7
для x  0
для x  1
для x  1
для x  1
для x  1
для x  1
2
3

x  2 x2
2  4  x2  2  4  6  x2 






y

arctgx

1






...
11)
1  x 2  3 1  x 2 3  5  1  x 2  3  5  7  1  x 2 


y  arcsin x  arctg (
12)
x
1  x2
) x
1 x3 1  3 x5 1  3  5 x7





 ...
2 3
24 5
246 7
для x  1
1 x3 1 3 x5 1 3  5 x7
y  arsh x  ln( x  1  x )  x  




 ...
2
3
2

4
5
2

4

6
7
13)
для x  1
2
y  arsh x  ln( x  1  x 2 )  ln( 2 x) 
14)
15)
1
1 3
1 3  5


 ...
2
4
2  2x
2  4  4x
2  4  6  6x6
для x  1
y  arsh x  ln( x  1  x 2 )   ln 2 x 
1
1 3
1 3  5


 ...
2
4
2  2x
2  4  4x
2  4  6  6x6
для x  1
1
1  1
1
1 3
1 3  5
y  arcsch x  ln   1  2   


 ...
3
5
7
x
x
x
2

3
x
2

4

5
x
2

4

6

7
x
16)


для x  1
1
1 
2 1 x 2 1 3  x 4 1 3  5  x 6


y  arcsch x  ln   1  2   ln 


 ...
x 22 244 2466
x 
17)
x
для 0  x  1
1
1 
2 1 x 2 1 3 x 4 1 3  5 x 6
y  arcsch x  ln   1  2    ln   
 
  ...
x
x
2
2
2

4
4
2

4

6
6
x
18)


для  1  x  0
m
19) y  (1  x)  1  m  x 
m  (m  1) 2 m  (m  1)  (m  2) 3 m  (m  1)  (m  2)  (m  3) 4
x 
x 
 x  ...
2!
3!
4!
для натурального m
m
20) y  (1  x)  1  m  x 
m  (m  1) 2 m  (m  1)  (m  2) 3 m  (m  1)  (m  2)  (m  3) 4
x 
x 
 x  ...
2!
3!
4!
для любого действительного m и | x |<1