И тележка в гору едет…

ØÊÎËÀ Â «ÊÂÀÍÒÅ»
È òåëåæêà â
ãîðó åäåò…
Ñ.ÑÅÌÈÊÎÂ
Ê
ÒÎ ÈÇ ÍÀÑ ÍÅ ÌÅ×ÒÀË ÈÌÅÒÜ ÑÀÍÊÈ, ÊÎÒÎÐÛÅ, ÑÚÅ-
õàâ ñ ãîðû, êàê ïî ùó÷üåìó âåëåíüþ ñàìè áû âçáèðàëèñü íàâåðõ. Íî, îêàçûâàåòñÿ, êàòêè, ñïîñîáíûå ñàìîñòîÿòåëüíî âúåçæàòü â ãîðêó, âñå æå áûâàþò.
Êàòîê – ýòî âûòî÷åííûé, íàïðèìåð èç îðãñòåêëà, áèêîíóñ, ò.å. äâà îäèíàêîâûõ êîíóñà, ñëîæåííûõ îñíîâàíèÿìè,
à ãîðêà – ýòî äâå îäèíàêîâûå ñêîøåííûå ðåéêè, ðåáðîì ïîñòàâëåííûå íà ñòîë
ïîä óãëîì äðóã ê äðóãó
(ðèñ.1). Â çàâèñèìîñòè îò
ýòîãî óãëà è îò óãëà ñêîñà
ðååê êàòîê, ïîñòàâëåííûé
íà ðåéêè, ñëîâíî íà ðåëüñû, ëèáî ñêàòèòñÿ, ëèáî
âúåäåò â ãîðêó, à ìîæåò è
îñòàòüñÿ íà ìåñòå. Íå èìåÿ
Ðèñ. 1
îïûòà, òðóäíî óãàäàòü, êàê
èìåííî îí ñåáÿ ïîâåäåò.
Ýòó íåõèòðóþ óñòàíîâêó ìîæíî ñîáðàòü è äîìà. Êàòîê
ëåãêî ñäåëàòü èç äâóõ îäèíàêîâûõ ïëàñòèêîâûõ áóòûëîê,
ñðåçàâ ó íèõ êîíè÷åñêèå âåðõóøêè, êîòîðûå ïîòîì ñêðåïëÿþòñÿ êëååì ëèáî òðóáêîé, ïðîïóùåííîé ÷åðåç ãîðëûøêè
(ðèñ.2). À äåðåâÿííûå
ðåéêè ìîæíî çàìåíèòü
âûðåçàííûìè èç êàðòîíà.
Êàòîê ïîìåíüøå ìîæíî
ñîáðàòü èç äâóõ íàâèí÷èâàþùèõñÿ íàêîíå÷íèêîâ îò ãåëèåâûõ ðó÷åê.
Åñëè ïîýêñïåðèìåíòèðîâàòü ñ ñîáðàííîé óñòàíîâêîé, ìåíÿÿ êàòêè è
óãëû ðååê, ìîãóò âîçíèêíóòü äâà âîïðîñà. Âî-ïåðâûõ, ïî÷åìó êàòîê ñïîñîáåí êàê ñêàòûâàòüñÿ ñ
ãîðêè, òàê è çàåçæàòü íà
ãîðêó? À âî-âòîðûõ, êàê
íàéòè òî ïåðåëîìíîå,
êðèòè÷åñêîå ñîîòíîøåíèå
ïàðàìåòðîâ óñòàíîâêè, ïî
äîñòèæåíèè êîòîðîãî êàòîê, ïîëîæåííûé íà ãîðÐèñ. 2
êó, çàìèðàåò?
Âíèìàòåëüíî íàáëþäàÿ çà ýêñïåðèìåíòîì, ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî äàæå åñëè êàòîê åäåò ââåðõ ïî ãîðêå, îí â äåéñòâèòåëüíîñòè îïóñêàåòñÿ. Âåäü â îòëè÷èå îò öèëèíäðîâ
èëè ñàíîê, ñúåçæàþùèõ ñ ãîðû, ó êàòêà ðàññòîÿíèå äî
îïîðû ìåíÿåòñÿ. Òàê, ïî ìåðå ïðîäâèæåíèÿ êàòêà â ãîðó
ïðîñâåò ìåæäó ðåéêàìè ðàñøèðÿåòñÿ, è êàòîê îïèðàåòñÿ íà
íèõ âñå áîëåå óçêèìè ÷àñòÿìè, êàòèòñÿ ïî âñå ìåíüøåìó
ðàäèóñó, ïðèáëèæàÿñü îñüþ ê ðåéêàì. Â çàâèñèìîñòè îò
òîãî, ÷òî ìåíÿåòñÿ áûñòðåå – âûñîòà ðååê èëè ñîîòâåòñòâóþùåå åé ñíèæåíèå êàòêà, êàòîê ïîåäåò ââåðõ èëè âíèç.
Êàòîê âñåãäà ñòðåìèòñÿ îïóñòèòüñÿ – çàíÿòü ñîñòîÿíèå ñ
íàèìåíüøåé ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèåé, êàê ñêàçàë áû ôèçèê. Åñëè æå âûñîòà öåíòðà òÿæåñòè íå ìåíÿåòñÿ, ò.å.
ïîäíÿòèå ïî ðåéêå êîìïåíñèðóåòñÿ òàêèì æå îïóñêàíèåì
êàòêà, òî îí ñòîèò íà ìåñòå. Îòñþäà ëåãêî íàéòè òî ñàìîå
êðèòè÷åñêîå ñîîòíîøåíèå ïàðàìåòðîâ óñòàíîâêè.
Î÷åâèäíî, ÷òî ïàðàìåòðîâ, ñïîñîáíûõ âëèÿòü íà èñõîä
îïûòà, òîëüêî òðè – óãîë 2α ìåæäó ðåéêàìè, óãîë β èõ
ñêîñà è óãîë γ êîíóñíîñòè êàòêà, ñîñòàâëÿåìûé îáðàçóþùåé êîíóñà ñ åãî îñüþ. Åñëè
êàòîê ïðîéäåò âäîëü
ðåéêè ðàññòîÿíèå l, òî÷êà åãî îïîðû K ïîäíèìåòñÿ íà l tg β , ïðè
ýòîì òî÷êè îïîðû êàòêà ðàçîéäóòñÿ îò åãî
ñðåäíåé ïëîñêîñòè (îò
îáùåãî îñíîâàíèÿ êîíóñîâ) íà b = l sin α , à
ðàäèóñ êà÷åíèÿ óìåíüb tg γ =
øèòñÿ íà
= l sin α tg γ (ðèñ. 3).
Èòàê, ïîäíÿòèå îïîðû êàòêà íà l tg β èççà âúåçäà â ãîðêó ñîïðîâîæäàåòñÿ åãî îïóñêàíèåì íà l sin α tg γ
èç-çà ñáëèæåíèÿ îñè Î
ñ ðåéêîé. Åñëè ïåðâîå Ðèñ. 3
áîëüøå âòîðîãî, òî êàòîê ñúåçæàåò, åñëè ìåíüøå – êàòèòñÿ â ãîðó, åñëè æå ýòè
èçìåíåíèÿ âûñîòû êîìïåíñèðóþò äðóã äðóãà, òî âûñîòà
öåíòðà êàòêà íå ìåíÿåòñÿ. Èíûìè ñëîâàìè, åñëè âûïîëíåíî êðèòè÷åñêîå ñîîòíîøåíèå tg β = sin α tg γ , êàòîê íå ïîéäåò íè ââåðõ, íè âíèç ïî ãîðêå – åìó áåçðàçëè÷íî, êóäà
åõàòü è ãäå íàõîäèòüñÿ.
Îäíàêî ýíåðãåòè÷åñêèå ñîîáðàæåíèÿ ïîçâîëÿþò ëèøü óçíàòü èñõîä îïûòà, ñêàçàòü, êàê ïîâåäåò ñåáÿ êàòîê, íî íå
îáúÿñíÿþò ïî÷åìó. Ïîýòîìó ëó÷øå ðàññìîòðåòü äåéñòâóþùèå íà êàòîê ñèëû. Âåäü äâèæåíèå ñàíîê ñ ãîðû âíèç
îáû÷íî îáúÿñíÿþò íå òåì, ÷òî ýòî èì âûãîäíî ýíåðãåòè÷åñêè, à òåì, ÷òî èõ ïðèòÿãèâàåò çåìëÿ. Öèëèíäð êàòèòñÿ ñ
ãîðêè íå ïîòîìó, ÷òî çíàåò ãäå «ëó÷øå», à èç-çà òîãî, ÷òî
äåéñòâóþùàÿ íà íåãî
ñèëà òÿæåñòè G ñîçäàåò ñîîòâåòñòâóþùèé
âðàùàòåëüíûé ìîìåíò
îòíîñèòåëüíî òî÷êè
îïîðû. Äëÿ öèëèíäðà,
êàê ëåãêî âèäåòü, òî÷êà êàñàíèÿ K âñåãäà ëåæèò ïî îòíîøåíèþ ê
ãîðå âûøå åãî öåíòðà
òÿæåñòè Î, ïîýòîìó ìîìåíò íàïðàâëåí òàê, ÷òî
öèëèíäð êàòèòñÿ âíèç
(ðèñ. 4). Ó êàòêà æå
òî÷êà K ìîæåò íàõîäèòüñÿ áëèæå ê íà÷àëó
ãîðêè èëè ïîä öåíòðîì
òÿæåñòè; ñîîòâåòñòâåí- Ðèñ. 4
!$
ÊÂÀÍT 2008/¹5
íî, ìîìåíò íàïðàâëåí òàê, ÷òî êàòîê ïîåäåò ââåðõ èëè
îñòàíåòñÿ íåäâèæèì. (Ýòî íàïîìèíàåò èçâåñòíûé îïûò ñ
êàòóøêîé, êîòîðàÿ â çàâèñèìîñòè îò óãëà, ïîä êîòîðûì ìû
òÿíåì íàìîòàííóþ íà íåå íèòü, êàòèòñÿ ê íàì èëè îò íàñ.)
Èòàê, ÷òîáû êàòîê íàõîäèëñÿ â ïîêîå, òî÷êà êàñàíèÿ K
äîëæíà ëåæàòü òî÷íî ïîä îñüþ Î êîíóñà, ò.å. ïåðïåíäèêóëÿð KO ê îñè êîíóñà äîëæåí áûòü âåðòèêàëåí. Çíà÷èò,
óãîë, îáðàçîâàííûé ðåéêîé-êàñàòåëüíîé è ïðÿìîé KO, äîëæåí áûòü ðàâåí 90 - β . Îòñþäà èç ãåîìåòðèè êîíóñà ëåãêî
ïðèéòè ê òîìó æå ñîîòíîøåíèþ tg β = sin α tg γ , ïðè êîòîðîì êàòîê îñòàåòñÿ íåïîäâèæåí. Ìåíÿÿ îäèí èç óãëîâ, ìû
ñìåùàåì òî÷êó K. Ñîîòâåòñòâåííî, äëÿ áèêîíóñà ãîðêà
îêàçûâàåòñÿ «ãîðèçîíòàëüíîé» ëèáî íàêëîííîé «âïðàâî»
èëè «âëåâî».
Òåïåðü, êîãäà ÿñåí ñìûñë êðèòè÷åñêîãî ñîîòíîøåíèÿ, åãî
ìîæíî íå òîëüêî ïðîâåðèòü íà ïðàêòèêå, èçìåðèâ òðàíñïîðòèðîì âñå óãëû, íî è ïðèìåíèòü äëÿ âèäîèçìåíåíèÿ
îïûòà. Òàê, ñòàíîâèòñÿ ÿñíî, ÷òî íå îáÿçàòåëüíî èñïîëüçîâàòü êàòîê, èìåþùèé âèä áèêîíóñà òèïà «ïîïëàâîê», ò.å.
êîíóñû ìîæíî ñîåäèíèòü íå òîëüêî îñíîâàíèÿìè, íî è
âåðøèíàìè – ïîëó÷èì áèêîíóñ òèïà «êàòóøêà». Ýòî áóäåò
ñîîòâåòñòâîâàòü èçìåíåíèþ óãëà γ íà - γ . Çíà÷èò, íàäî
ñìåíèòü è çíàê óãëà β – ÷òîáû ðåéêè ñîåäèíÿëèñü óæå íå
óçêèìè, à øèðîêèìè êîíöàìè.
Èëëþçèþ ïîäíÿòèÿ êàòêà ââåðõ ïî ãîðêå ìîæíî óñèëèòü, åñëè ñäåëàòü óãîë β áîëüøèì – ãðàäóñîâ â 45.
Ïîíÿòíî, ÷òî îäíîâðåìåííî íàäî óâåëè÷èòü óãëû α è γ ,
òàê ÷òî â èòîãå êàòîê ñòàíåò áîëüøå ïîõîæ íà äâå ñëîæåííûå âìåñòå òàðåëêè. Èëè ìîæíî ïîïðîáîâàòü ñäåëàòü îïóñêàíèå öåíòðà òÿæåñòè ìàëîçàìåòíûì, äëÿ ÷åãî íàäî ïðåäåëüíî óìåíüøèòü óãîë α , ÷òîáû ðåéêè âûãëÿäåëè ïî÷òè
ïàðàëëåëüíûìè, à óãîë γ , íàïðîòèâ, ñäåëàòü áîëüøèì. À
÷òîáû ðàçìåð êàòêà áûë íå ñëèøêîì âåëèê è åãî êîíóñíîñòü íå áðîñàëàñü â ãëàçà, íàäî îñòàâèòü òîëüêî åãî êîíöåâûå ÷àñòè, êàòÿùèåñÿ ïî ðåéêàì êàê êîëåñà âàãîíîâ ïî
ðåëüñàì. Ïîýòîìó êîíóñíûå êîëåñà äîëæíû ñîåäèíÿòüñÿ íå
îñíîâàíèÿìè èëè âåðøèíàìè, à îáùåé îñüþ. Åñëè òåïåðü
ïðèñîåäèíèòü ïðîâîëîêîé ïàðó òàêèõ êîëåñíûõ îñåé (à
ïðîùå – ïàðó ïðîñòûõ êàòóøåê) ê êîðîáêó, ïîëó÷èòñÿ
íàñòîÿùàÿ òåëåæêà-ñàìîêàòêà, ñïîñîáíàÿ åõàòü â ãîðó, ñ
êîòîðîé äðóãèå ïðåäìåòû (öèëèíäðû è áðóñêè) ñúåçæàþò.
Òàêàÿ òåëåæêà êàæåòñÿ ÷óäîì – ñòîëü ñëîæíî ó íåå çàìåòèòü ñíèæåíèå öåíòðà ìàññ ïðè âúåçäå â ãîðêó. Åñëè æå
ñîåäèíèòü êîëåñà ñ òåëåæêîé æåñòêî è ñìàçàòü «ðåëüñû»,
ìîæíî ïîëó÷èòü è ñàíè, «âúåçæàþùèå â ãîðó».
Òåïåðü ìîæíî ðàññìîòðåòü è áîëåå ñëîæíûå âàðèàíòû.
×òî áóäåò, åñëè ìû èçîãíåì êàðòîííûå ðåéêè òàê, ÷òî óãîë
α áóäåò èçìåíÿòüñÿ âäîëü
ãîðêè (ðèñ.5)? Åñëè óãîë α
íàðàñòàåò, òî êàòîê áóäåò
âûøå íåêîòîðîé êðèòè÷åñêîé
òî÷êè çàêàòûâàòüñÿ ââåðõ, à
íèæå åå – ñïóñêàòüñÿ âíèç,
ò.å. áóäåò âñåãäà óäàëÿòüñÿ îò
ýòîé òî÷êè. Åñëè æå êàðòîíÐèñ. 5
íûå ðåéêè ïîñòåïåííî ñõîäÿòñÿ è óãîë α óìåíüøàåòñÿ, êàòîê áóäåò âñåãäà ñòðåìèòüñÿ ê
òî÷êå ñ êðèòè÷åñêèì óãëîì α . Äîåõàâ äî íåå, îí ñòàíåò,
êàê â ÿìå, êàòàòüñÿ òóäà-ñþäà,
ïîêà íå çàìðåò â ýòîé òî÷êå.
Äðóãîé âàðèàíò – ýòî êîãäà
ðåéêè ïëîñêèå (óãîë α ïîñòîÿíåí), çàòî ìåíÿåòñÿ óãîë
β – ãîðà ìåíÿåò íàêëîí
(ðèñ.6). Íà íåé òîæå áóäåò
êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà ïðè íåêîÐèñ. 6
òîðîì óãëå β , ÿâëÿþùàÿñÿ òî÷êîé óñòîé÷èâîãî ðàâíîâåñèÿ
êàòêà, ñìîòðÿ ïî òîìó âîãíóòà
ãîðêà èëè âûïóêëà.
Íàêîíåö, òðåòèé âàðèàíò –
óãëû α è β ïîñòîÿííû, íî
ìåíÿåòñÿ óãîë γ . Òàêîå âîçìîæíî, åñëè ìû èñïîëüçóåì
êàòîê íå èç êîíóñîâ, à èç äðóãèõ òåë âðàùåíèÿ, èìåþùèõ Ðèñ. 7
êðèâîëèíåéíóþ îáðàçóþùóþ.
Íàïðèìåð, êàòîê, ñäåëàííûé èç äâóõ ïëàñòèêîâûõ áóòûëîê íå ñ êîíóñíîé, à ñ çàêðóãëåííîé âåðõóøêîé (ðèñ.7).
Òàêæå ìîæíî èñïîëüçîâàòü âìåñòî êîíè÷åñêèõ ñêðóãëåííûå íàêîíå÷íèêè îò ðó÷åê èëè æå øàðèêè äëÿ ïèíã-ïîíãà.
Äëÿ êàæäîãî èç òàêèõ êàòêîâ åñòü ñâîå îïðåäåëåííîå êðèòè÷åñêîå ìåñòî íà ãîðêå, â òî÷êå êîíòàêòà ñ êîòîðûì óãîë
γ ðàâåí êðèòè÷åñêîìó. Ïîëîæåííûé âûøå ýòîãî ìåñòà
êàòîê êàòèòñÿ ââåðõ, à íèæå – âíèç. Äëÿ òîãî ÷òîáû ýòà
òî÷êà ñëóæèëà ìåñòîì óñòîé÷èâîãî ðàâíîâåñèÿ, íåîáõîäèìî ïðèìåíÿòü êàòêè ñ âîãíóòîé ïîâåðõíîñòüþ.
Âîçìîæíû è ñëîæíûå êîìáèíàöèè âñåõ òðåõ âàðèàíòîâ.
Íî ìîæåò ëè âñå ýòî èìåòü ïðàêòè÷åñêîå ïðèìåíåíèå?
Íåëüçÿ ëè, ê ïðèìåðó, ïîñòðîèòü æåëåçíóþ äîðîãó, èäóùóþ «ïîä ãîðó» â îáå ñòîðîíû, ÷òîáû ïîåçä ñàì ïî ñåáå,
áåç çàòðàò ýíåðãèè, ìîã äîåõàòü òóäà è îáðàòíî? Êàçàëîñü
áû, äîñòàòî÷íî óëîæèòü ðåëüñû íàïîäîáèå íàêëîííûõ ðàñõîäÿùèõñÿ ðååê è ñäåëàòü ïîåçäó äâà êîìïëåêòà êîëåñ –
îäíè ñ óãëîì γ , áóëüøèì êðèòè÷åñêîãî, äðóãèå – ñ ìåíüøèì. Äîåõàë ïîåçä äî êîíå÷íîé ñòàíöèè, ñìåíèëè åìó
êîëåñà, è îí ñàì ïîéäåò íàçàä. À êàê äîåäåò, åìó ñíîâà
ñìåíÿò êîëåñà, è îí òðîíåòñÿ â îáðàòíûé ïóòü.
Êîíå÷íî, òàêîé ïîåçä, ñàì èäóùèé â îáà êîíöà, íåâîçìîæåí, êàê è ëþáîé âå÷íûé äâèãàòåëü. Ýòî ÿñíî èç ýíåðãåòè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé. Ðàç öåíòð ìàññ âñåãäà îïóñêàåòñÿ, òî,
÷òîáû ïîåçä ñàì øåë òóäà è îáðàòíî, íà êîíå÷íûõ ñòàíöèÿõ ïðèäåòñÿ ëèáî ïîäíèìàòü åãî, çàòðà÷èâàÿ ïðè ýòîì
ýíåðãèþ, ëèáî óìåíüøàòü ðàçìåðû êîëåñ, ïîêà îíè íå
ñòàíóò íóëåâûìè.
Òàê ÷òî êàêèõ ÷óäî-ïàðîâîçîâ è åäóùèõ â ãîðó òåëåæåê
íè âûäóìûâàé, âñå ðàâíî îáíàðóæèòñÿ êàêîé-íèáóäü îáìàí.
Èíôîðìàöèþ î æóðíàëå «Êâàíò» è íåêîòîðûå ìàòåðèàëû
èç æóðíàëà ìîæíî íàéòè â ÈÍÒÅÐÍÅÒÅ ïî àäðåñàì:
Ðåäàêöèÿ æóðíàëà «Êâàíò»
kvant.info
Ìîñêîâñêèé öåíòð íåïðåðûâíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî
îáðàçîâàíèÿ
kvant.mccme.ru
Ìîñêîâñêèé äåòñêèé êëóá «Êîìïüþòåð»
math.child.ru
Êîñòðîìñêîé öåíòð äîïîëíèòåëüíîãî îáðàçîâàíèÿ «Ýâðèêà»
ceemat.ru
ØÊÎËÀ
Ìåõàíè÷åñêèé
ãåíåðàòîð
Â.ÄÐÎÇÄÎÂ
Â
Î ÌÍÎÃÈÕ ÇÀÄÀ×ÍÈÊÀÕ ÏÎ ÔÈÇÈÊÅ ÌÎÆÍÎ ÂÑÒÐÅ-
òèòü òàêóþ çàäà÷ó: «Ñïëîøíîé ìåòàëëè÷åñêèé öèëèíäð
ðàäèóñîì R âðàùàåòñÿ ñ ïîñòîÿííîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω .
Íàéäèòå çàâèñèìîñòü íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ
îò ðàññòîÿíèÿ r äî îñè öèëèíäðà è ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ
ìåæäó ïîâåðõíîñòüþ öèëèíäðà è åãî îñüþ».
Ñíà÷àëà ïðèâåäåì ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è â îáùåì âèäå.
Ïîñêîëüêó âíóòðè ìåòàëëè÷åñêîãî öèëèíäðà èìåþòñÿ ñâîáîäíûå ýëåêòðîíû, ïðè åãî âðàùåíèè îíè áóäóò îòáðàñûâàòüñÿ ê êðàÿì öèëèíäðà.  ðåçóëüòàòå âáëèçè îñè êîíöåíòðàöèÿ
ýëåêòðîíîâ ïîíèçèòñÿ, à íà êðàÿõ – ïîâûñèòñÿ, ò.å. âíóòðè
öèëèíäðà âîçíèêíåò ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå, íàïðàâëåííîå îò
îñè ê ïåðèôåðèè. Ðàâíîâåñèå óñòàíîâèòñÿ òîãäà, êîãäà
îáðàçîâàâøååñÿ ïîëå Å áóäåò â ñîñòîÿíèè ïîäåéñòâîâàòü íà
êàæäûé ýëåêòðîí ñ òàêîé ñèëîé, ÷òîáû îí äâèãàëñÿ ïî
îêðóæíîñòè ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω .
Ïóñòü íåêèé ýëåêòðîí äâèæåòñÿ ïî îêðóæíîñòè ðàäèóñîì r, 0 < r < R (ðèñ.1). Òîãäà
ïî âòîðîìó çàêîíó Íüþòîíà
èìååì
mω2r = Ee ,
ãäå m – ìàññà, å – çàðÿä ýëåêòðîíà. Îòñþäà íàõîäèì
Ðèñ. 1
mω2
E=
r.
e
ur
Ïîíÿòíî, ÷òî âåêòîðû ñèëû F , äåéñòâóþùåé íà ýëåêòðîí, è
ur
íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ E íàïðàâëåíû ïðîòèâîïîëîæíî.
Âèäèì, ÷òî âîçíèêøåå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå íåîäíîðîäíî,
îíî ðàñòåò ïðîïîðöèîíàëüíî ðàññòîÿíèþ r îò îñè öèëèíäðà.
ur
Òàê êàê âåêòîð E âñåãäà íàïðàâëåí â ñòîðîíó óìåíüøåíèÿ
ïîòåíöèàëà, òî ïîòåíöèàë ϕ1 íà îñè öèëèíäðà áîëüøå
ïîòåíöèàëà ϕ2 íà åãî ïîâåðõíîñòè. Ïðè ýòîì èñêîìàÿ
âåëè÷èíà ϕ1 - ϕ2 ÷èñëåííî ðàâíà çàøòðèõîâàííîé «ïëîùàäè» ïîä ãðàôèêîì çàâèñèìîñòè E (r ) , èçîáðàæåííûì íà
ðèñóíêå 2:
1
ϕ1 - ϕ2 = R × E ( R) =
2
1
mω2 R mω2 R2
R×
=
.
2
2e
e
Çàäà÷à â îáùåì âèäå
ðåøåíà. Îäíàêî êîíå÷íîé
öåëüþ ôèçè÷åñêèõ ðàñ÷åòîâ ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî. Èíòåðåñíî îöåíèòü ïîðÿäîê
âåëè÷èíû ìàêñèìàëüíîé
ýëåêòðè÷åñêîé ìîùíîñòè,
âîçíèêàþùåé ïðè âðàùåíèè öèëèíäðà, ôàêòè÷åñ-
=
Ðèñ. 2
Â
!%
«ÊÂÀÍÒÅ»
êè ÿâëÿþùåãîñÿ ìåõàíè÷åñêèì ãåíåðàòîðîì ýëåêòðîýíåðãèè.
 ôîðìóëå äëÿ ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ ââåäåì äëÿ óäîáñòâà
óäåëüíûé çàðÿä ýëåêòðîíà e m = γ = 1,76 × 1011 Êë êã è ó÷òåì, ÷òî ωR = v – ýòî ëèíåéíàÿ ñêîðîñòü òî÷åê ïîâåðõíîñòè
öèëèíäðà. Òîãäà ïîëó÷èì
v2
ϕ1 - ϕ2 =
.
2γ
Îöåíèì ìàêñèìàëüíî âîçìîæíóþ âåëè÷èíó ñêîðîñòè v,
èñïîëüçóÿ ñîîáðàæåíèÿ ðàçìåðíîñòåé. ßñíî, ÷òî îíà çàâèñèò
îò ïðåäåëà ïðî÷íîñòè ìàòåðèàëà öèëèíäðà σ è îò åãî
ïëîòíîñòè D. Çàïèøåì ýòî òàê:
v : σα × Dβ .
Âûïèøåì åäèíèöû èçìåðåíèÿ âñåõ âåëè÷èí:
[v] = ì × ñ-1 , [σ] = Ïà = Í
ì 2 = êã × ì -1 × ñ -2 , [ D] = êã × ì -3 .
Òàê êàê îáå ÷àñòè ôîðìóëû äëÿ v èçìåðÿþòñÿ â îäíèõ è òåõ
æå åäèíèöàõ, ïðèõîäèì ê ðàâåíñòâó
ì × ñ -1 = êãα × ì - α × ñ -2α × êãβ × ì -3β ,
èëè
ì × ñ -1 = ì - α - 3β × ñ -2α × êãα +β .
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ α è β ïîëó÷àåì ñèñòåìó óðàâíåíèé
èç êîòîðîé íàõîäèì
ì - α - 3β = 1,
ï
í -2α = -1,
ïα + β = 0,
î
1
1
, β=- .
2
2
Òåïåðü ôîðìóëà äëÿ ñêîðîñòè ïðèíèìàåò âèä
α=
σ
,
D
à ôîðìóëà äëÿ ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ âûãëÿäèò òàê:
v:
ϕ1 - ϕ2 :
σ
.
γD
Âñïîìíèì ôîðìóëó ýëåêòðè÷åñêîãî ñîïðîòèâëåíèÿ Rý
ïðîâîäà äëèíîé l è ïëîùàäüþ ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ S:
l
,
S
ãäå ρ – óäåëüíîå ñîïðîòèâëåíèå ìàòåðèàëà ïðîâîäà. Ñ åå
ïîìîùüþ îöåíèì ñîïðîòèâëåíèå Rý íàøåãî öèëèíäðà. Åñëè
åãî âûñîòà h, òî S : Rh , çíà÷èò,
Rý = ρ
R
ρ
, èëè Rý : .
Rh
h
Âûäåëÿåìàÿ â ïðîâîäíèêå ýëåêòðè÷åñêàÿ ìîùíîñòü ðàâíà
Rý : ρ
P:
(ϕ1 - ϕ2 )2 .
Rý
Ñ ó÷åòîì ïðåäûäóùèõ ôîðìóë îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì
P:
σ2h
.
γ D2ρ
2
Îáðàòèì âíèìàíèå: â ýòîé ôîðìóëå ðàäèóñ öèëèíäðà R
îòñóòñòâóåò, à ïðèñóòñòâóåò ôàêòè÷åñêè îäíà ïåðåìåííàÿ – h.
Îñòàëüíûå âåëè÷èíû õàðàêòåðèçóþò ìàòåðèàë öèëèíäðà.
8
Íàïðèìåð, äëÿ ðåëüñîâîé ñòàëè σ = 7,5 × 10 Ïà ,
-7
D = 7,9 × 103 êã ì 3 , ρ = 1,2 × 10 Îì × ì . Ïóñòü h = 1 ñì,
èáî ñëèøêîì âûñîêèé öèëèíäð áóäåò ÷åðåñ÷óð òÿæåëûì.
!&
ÊÂÀÍT 2008/¹5
Òîãäà âû÷èñëåíèÿ äàþò òàêîé ðåçóëüòàò:
P : 24 íÂò .
Ïîëó÷èëè íàíîâàòòû. Ëåãêî ïîäñ÷èòàòü, ÷òî ìåõàíè÷åñêèé
ãåíåðàòîð, âðàùàþùèéñÿ íà ïðåäåëå âîçìîæíîãî ðàçðóøåíèÿ, âûðàáîòàåò îäèí äæîóëü ýëåêòðîýíåðãèè çà 1,3 ãîäà.
Ìàãíèòíàÿ
ñèëà è çàêîí
ýëåêòðîìàãíèòíîé
èíäóêöèè
Å.ÐÎÌÈØÅÂÑÊÈÉ, À.ÑÒÀÑÅÍÊÎ
Ëàïëàñ ïðèñóòñòâîâàë íà ïåðâîé ïóáëè÷íîé äåìîíñòðàöèè îïûòà Àìïåðà. Ïóáëèêà óæå ðàñõîäèëàñü, è
Ëàïëàñ ó âûõîäà ñòàë æäàòü àññèñòåíòà… õëîïíóë åãî
ïî ïëå÷ó è, ïðèñòàëüíî ãëÿäÿ íà íåãî, ñïðîñèë: «À íå
âû ëè ýòî, ìîëîäîé ÷åëîâåê, ïîäòàëêèâàëè ïðîâîä?»
Ì.Ëüîööè. Èñòîðèÿ ôèçèêè
Ê
ÍÀÑÒÎßÙÅÌÓ ÂÐÅÌÅÍÈ ÓÆÅ ÌÈËËÈÀÐÄÛ ËÞÄÅÉ
âîñïîëüçîâàëèñü óñëóãàìè ýëåêòðîïîåçäîâ, àâòîìîáèëåé, àâòîáóñîâ, ñàìîëåòîâ, êîðàáëåé, ýëåêòðîñòàíöèé è ò.ï.,
â êîòîðûõ íåóñòàííî âðàùàþòñÿ ðîòîðû ýëåêòðîìîòîðîâ è
ãåíåðàòîðîâ òîêà. Â îñíîâå ðàáîòû ýòèõ ñòàðàòåëüíûõ òðóæåíèêîâ ëåæàò ôóíäàìåíòàëüíûå çàêîíû ýëåêòðîìàãíåòèçìà,
îòêðûòûå çàìå÷àòåëüíûìè ó÷åíûìè äåâÿòíàäöàòîãî âåêà.
Âñïîìíèì âêðàòöå ëèøü î òåõ èç íèõ, î êîòîðûõ ïîéäåò ðå÷ü
â ýòîé ñòàòüå.
Àíäðå Ìàðè Àìïåð (1775–1836) îòêðûë âçàèìîäåéñòâèå
ýëåêòðè÷åñêèõ òîêîâ è óñòàíîâèë ñîîòâåòñòâóþùèé çàêîí,
ðàçðàáîòàë òåîðèþ ìàãíåòèçìà (1820).
Ìàéêë Ôàðàäåé (1791–1867) â 1821 ãîäó âïåðâûå îñóùåñòâèë âðàùåíèå ìàãíèòà âîêðóã ïðîâîäíèêà ñ òîêîì, à òàêæå,
íàîáîðîò, ïðîâîäíèêà ñ òîêîì âîêðóã ìàãíèòà, ñîçäàâ, òàêèì
îáðàçîì, ïðèíöèïèàëüíóþ ìîäåëü ýëåêòðîäâèãàòåëÿ. Â ýòîì
íåñëîæíîì îïûòå áûëà íàãëÿäíî ïîêàçàíà ñâÿçü ìåæäó
ýëåêòðè÷åñêèìè è ìàãíèòíûìè ÿâëåíèÿìè. ×åðåç äåñÿòü ëåò
îí óæå îòêðûë ÿâëåíèå ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè – âîçíèêíîâåíèå òîêà â çàìêíóòîì ïðîâîäíèêå ïðè èçìåíåíèè
ìàãíèòíîãî ïîòîêà ÷åðåç êîíòóð ýòîãî ïðîâîäíèêà.
Ýìèëèé Õðèñòèàíîâè÷ Ëåíö (1804–1865) â 1833 ãîäó
óñòàíîâèë ïðàâèëî îïðåäåëåíèÿ íàïðàâëåíèÿ èíäóêöèîííîãî òîêà (ïðàâèëî Ëåíöà).
Êñòàòè ñêàçàòü, è Àìïåð, è Ôàðàäåé, è Ëåíö áûëè ÷ëåíàìè
Ïåòåðáóðãñêîé Àêàäåìèè íàóê.
Õåíäðèê Àíòîí Ëîðåíö (1853–1928) äàë âûðàæåíèå äëÿ
ñèëû, äåéñòâóþùåé íà äâèæóùèéñÿ çàðÿä â ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå (ñèëà Ëîðåíöà). Èíîñòðàííûé ÷ëåí Àêàäåìèè íàóê
ÑÑÑÐ.
Ïðîäåìîíñòðèðóåì «ðàáîòó» çàêîíîâ, îòêðûòûõ ýòèìè
ôèçèêàìè, â ñàìîì ïðîñòîì ñëó÷àå ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæå-
Èíòóèòèâíî áûëî ÿñíî, ÷òî âðàùàþùèéñÿ öèëèíäð êàê
èñòî÷íèê ýëåêòðè÷åñòâà êðàéíå íåýôôåêòèâåí – èíà÷å òàê
ïîëó÷àëè áû ýëåêòðîýíåðãèþ. È âñå æå, êàê èíòåðåñíî è
ïîó÷èòåëüíî ïîäòâåðäèòü ýòî ôèçè÷åñêèì ðàñ÷åòîì.
íèÿ ïðîâîäíèêà â ïîñòîÿííîì ìàãíèòíîì ïîëå. Ñèëà Ëîðåíöà «íàïðàâëÿåò» â ðàçíûå ñòîðîíû äâèæóùèåñÿ ýëåêòðè÷åñêèå çàðÿäû ðàçíûõ çíàêîâ, à çíà÷èò, ñîçäàåò â ïðîñòðàíñòâå
êóëîíîâñêèå ýëåêòðè÷åñêèå ïîëÿ è â ïðîâîäÿùåé ñðåäå
âîçáóæäàåò ýëåêòðè÷åñêèå òîêè, ò.å. ÿâëÿåòñÿ ñîçäàòåëåì
èñòî÷íèêîâ ýëåêòðè÷åñêèõ òîêîâ.
Ðàññìîòðèì òàêîé ïðèìåð. Â îäíîðîäíîì ãîðèçîíòàëüíîì
ur
ìàãíèòíîì ïîëå Bz ïîñòóïàòåëüíî äâèæåòñÿ âåðòèêàëüíûé
äëèííûé ïðîâîäÿùèé ñòåðæåíü äëèíîé l ñ ïîñòîÿííîé ñêîur
r
ðîñòüþ vx ^ Bz (ðèñ.1). (Çäåñü èíäåêñû óäîáíî óêàçûâàþò
íàïðàâëåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ âåêòîðîâ â
äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò XYZ. Êðóæîê ñ
òî÷êîé îçíà÷àåò, ÷òî îñü
Z è ìàãíèòíîå ïîëå íàïðàâëåíû ê íàì.) Ïîëîæèòåëüíûå èîíû (ê ïðèìåðó, èîíû ìåäè Cu + )
çàêðåïëåíû â óçëàõ êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè,
à ñâîáîäíûå ýëåêòðîíû,
ïåðåìåùàÿñü ââåðõ ïîä
äåéñòâèåì ìàãíèòíîé
ur
Ðèñ. 1
ñèëû Ëîðåíöà FË =
ur
r
= e vx ´ Bz , ñîçäàþò â îáúåìå ïðîâîäíèêà îäíîðîäíîå
ur
ur
r
êóëîíîâñêîå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå EÊ = vx ´ Bz , óðàâíîâåøèâàþùåå äåéñòâèå ìàãíèòíîé ñèëû. (Çàìåòèì, ÷òî çäåñü
ó÷òåí îòðèöàòåëüíûé çàðÿä ýëåêòðîíà, ðàâíûé –å, ãäå
e = 1,6 × 10-19 Êë – ïîëîæèòåëüíàÿ ôóíäàìåíòàëüíàÿ êîíñòàíòà.)  ðåçóëüòàòå ìåæäó êîíöàìè ñòåðæíÿ âîçíèêàåò
ïîñòîÿííàÿ ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ, ðàâíàÿ EÊl = vx Bzl . Òàêèì îáðàçîì, ñîçäàåòñÿ «ýëåêòðîìàãíèòíàÿ áàòàðåéêà» ñ
ýëåêòðîäâèæóùåé ñèëîé Ýýì = vx Bzl è ñòîðîííåé (ò.å. íå
êóëîíîâñêîãî ïðîèñõîæäåíèÿ) íàïðÿæåííîñòüþ.
À ÷òî ýòî çà èçîãíóòûå ëèíèè ñ áîêó îò ñòåðæíÿ? Îíè
íàðèñîâàíû äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîä÷åðêíóòü ñóùåñòâåííîå îòëè÷èå êóëîíîâñêîãî ïîëÿ îò ñòîðîííèõ ïîëåé: ðàáîòà ïî
ïåðåíåñåíèþ ïðîáíîãî çàðÿäà â êóëîíîâñêîì ïîëå ïî çàìêíóòîìó êîíòóðó (âûäåëåí öâåòîì) ðàâíà íóëþ. Çàìåòèì, ÷òî
ýëåêòðîäâèæóùèå ñèëû (ÝÄÑ) è ñâÿçàííûå ñ íèìè ñòîðîííèå íàïðÿæåííîñòè â ñâîåé îñíîâå îïÿòü-òàêè èìåþò ýëåêòðîìàãíèòíûé õàðàêòåð, íî óæå äðóãîãî (òîæå íåêóëîíîâñêîãî) ðîäà.
Òåïåðü èñïîëüçóåì ýòó «ýëåêòðîìàãíèòíóþ áàòàðåéêó»
äëÿ ïîëó÷åíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà è ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè. Äëÿ
ýòîãî áóäåì äâèãàòü íàø
ñòåðæåíü âäîëü äâóõ ïàðàëëåëüíûõ ãîðèçîíòàëüíûõ ïðîâîäíèêîâ,
íàõîäÿùèõñÿ íà ðàññòîÿíèè l äðóã îò äðóãà
(ðèñ.2). Ïðîâîäíèêè Ðèñ. 2
(
)
(
)
ØÊÎËÀ
çàìêíåì íà ðåçèñòîð ñîïðîòèâëåíèåì R. Ïðè÷åì äâèãàòüñÿ
áóäåò òîëüêî ñòåðæåíü, à ïðîâîäíèêè è ðåçèñòîð äîëæíû
áûòü íåïîäâèæíûìè. (Èíà÷å â íèõ òîæå áóäåò ñîçäàâàòüñÿ
«ýëåêòðîìàãíèòíàÿ áàòàðåÿ» òîé æå ñèëû, ÷òî è âîçíèêàþùàÿ â ñòåðæíå, íî ïðîòèâîïîëîæíî «íàïðàâëåííàÿ», òàê ÷òî
òîêà â çàìêíóòîì êîíòóðå íå áóäåò.) Òîãäà â çàìêíóòîì
êîíòóðå abcd ïîòå÷åò ýëåêòðè÷åñêèé òîê I = Ýýì R , è íà
ñîïðîòèâëåíèè R áóäåò âûäåëÿòüñÿ òåïëîâàÿ ìîùíîñòü I2 R .
Çà ñ÷åò ÷åãî æå âûäåëÿåòñÿ òåïëîâàÿ ýíåðãèÿ, è ñïðàâåäëèâ
ëè çäåñü çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè?
Ïî äâèæóùåìóñÿ ñòåðæíþ ñâåðõó âíèç òå÷åò ýëåêòðè÷åñêèé òîê I. Çíà÷èò, íà ïðîâîäíèê
ur ñ òîêîì, íàõîäÿùèéñÿ â
îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå Bz , äåéñòâóåò ñèëà Àìïåðà,
íàïðàâëåííàÿ ïðîòèâîïîëîæíî
íàïðàâëåíèþ äâèæåíèÿ ñòåðr
æíÿ, ò.å. âåêòîðó vx . ×òîáû ñòåðæåíü ñîõðàíÿë ïîñòîÿííóþ
ñêîðîñòü
äâèæåíèÿ vx , ê íåìó íåîáõîäèìî ïðèëîæèòü ñèëó
ur
F * , ðàâíóþ ïî âåëè÷èíå ñèëå Àìïåðà FA = IBzl , íî íàïðàâëåííóþ ïðîòèâîïîëîæíî åé. Ïðè ýòîì ìîùíîñòü ýòîé ñèëû
( N = F*vx = IBzlvx = I2 R ) â òî÷íîñòè ðàâíà òåïëîâîé ìîùíîñòè, âûäåëÿþùåéñÿ íà ñîïðîòèâëåíèè R, ÷òî, êîíå÷íî æå,
íåóäèâèòåëüíî. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè âåðåí!
Ïîäêëþ÷èì òåïåðü ê ïàðàëëåëüíûì ïðîâîäàì, ïî êîòîðûì
ñêîëüçèò ñòåðæåíü, åùå îäèí ðåçèñòîð ñîïðîòèâëåíèåì R
(ñì. ðèñ.2). Òîãäà, åñëè ñòåðæåíü ïî-ïðåæíåìó áóäåò äâèãàòüñÿ ñî ñêîðîñòüþ vx , ÷åðåç íåãî óæå ïîòå÷åò ýëåêòðè÷åñêèé òîê âåëè÷èíîé 2I. Ñèëà Àìïåðà óâåëè÷èòñÿ â äâà ðàçà,
è â äâà ðàçà áîëüøå ñòàíåò âûäåëÿþùàÿñÿ íà ñîïðîòèâëåíèÿõ
òåïëîâàÿ ìîùíîñòü. Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷èëè ýëåêòðè÷åñêèé ãåíåðàòîð ïîñòîÿííîãî òîêà. Âêëþ÷åíèå íåñêîëüêèõ
ïàðàëëåëüíûõ ñîïðîòèâëåíèé R âî ñòîëüêî æå ðàç óâåëè÷èò
ñèëó Àìïåðà, òîðìîçÿùóþ ñòåðæåíü.
Ðàñïîëîæèì òåïåðü ïàðàëëåëüíûå ïðîâîäíèêè âåðòèêàëüíî (ðèñ.3), è ïóñòü ïî íèì ñêîëüçèò íàø ïðîâîäÿùèé (óæå
ãîðèçîíòàëüíûé) ñòåðæåíü ìàññîé m, çàìûêàþùèé öåïü ñ
ðåçèñòîðîì ñîïðîòèâëåíèåì R
è àêêóìóëÿòîðíîé áàòàðååé ñ
ýëåêòðîäâèæóùåé ñèëîé Ýá .
Êîíòóð ïðîíèçûâàåòñÿ ïðåæíèì îäíîðîäíûì ãîðèçîíòàëüur
íûì ìàãíèòíûì ïîëåì B , íàïðàâëåííûì ê íàì, è íàõîäèòñÿ
â ïîëå òÿãîòåíèÿ Çåìëè. (Èíäåêñû äëÿ âåêòîðîâ è èõ ïðîåêöèé äëÿ ïðîñòîòû îïóñòèì, òàê
êàê ìû óæå ðàçîáðàëèñü, ÷òî
êóäà íàïðàâëåíî.) Åñëè çàìêÐèñ. 3
íóòü êëþ÷ K è îòïóñòèòü ñòåðæåíü, òî ïî öåïè ïîòå÷åò òîê I = Ýá R , íàïðàâëåííûé ïî
÷àñîâîé ñòðåëêå. Åñëè âåëè÷èíà Ýá áóäåò äîñòàòî÷íî áîëüøîé, òî ñèëà Àìïåðà, äåéñòâóþùàÿ íà ñòåðæåíü, áóäåò
áîëüøå ñèëû òÿæåñòè mg, è ñòåðæåíü íà÷íåò äâèãàòüñÿ ââåðõ
ñ íà÷àëüíûì óñêîðåíèåì à, îïðåäåëÿåìûì ðàâåíñòâîì
ma = FA - mg .
Åñëè ñêîðîñòü ñòåðæíÿ v, îí ïðåâðàùàåòñÿ â «ýëåêòðîìàãíèòíóþ áàòàðåéêó», èìåþùóþ ýëåêòðîäâèæóùóþ ñèëó
Ýýì = vBl è «äåéñòâóþùóþ», ïî ïðàâèëó Ëåíöà, ïðîòèâ
âûçûâàþùåé åå ïðè÷èíû, ò.å. ïðîòèâ Ýá .  êîíöå êîíöîâ
ìîæåò óñòàíîâèòüñÿ ñòàöèîíàðíîå ñîñòîÿíèå (îòìåòèì åãî
èíäåêñîì 0):
I0 Bl = mg , I0 R = Ýá - Ýýì = Ýá - v0 Bl ,
(* )
îòêóäà ïîëó÷èì ïîñòîÿííóþ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ñòåðæíÿ:
v0 =
Ýá Bl - mgR
( Bl )2
Ý æ
mgR ö .
= á ç1 Bl è
Ýá Bl ø÷
Â
!'
«ÊÂÀÍÒÅ»
Åñëè ïåðâîå ðàâåíñòâî âûðàæåíèÿ ( * ) óìíîæèòü íà v0 , à
âòîðîå – íà I0 , ìû îïÿòü ïîëó÷èì çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè:
Ýá I0 = Ýýì I0 + I02 R = mgv0 + I02 R .
Âèäíî, ÷òî ìîùíîñòü àêêóìóëÿòîðíîé áàòàðåè ðàñõîäóåòñÿ
íà ïîëåçíóþ ìîùíîñòü ïîäíÿòèÿ ãðóçà ìàññîé m ñî ñêîðîñòüþ v0 è íà âûäåëÿþùóþñÿ ïðè ýòîì òåïëîâóþ ìîùíîñòü.
Òàêèì îáðàçîì, íà ðèñóíêå 3 ôàêòè÷åñêè èçîáðàæåíà ïðèíöèïèàëüíàÿ ñõåìà ýëåêòðè÷åñêîãî ìîòîðà: âåäü ê íàøåìó
ïðîâîäÿùåìó ñòåðæíþ âïîëíå ìîæíî ïðèêðåïèòü, íàïðèìåð, âåäðî âîäû, ïîäíèìàåìîå èç êîëîäöà.
Èòàê, ïîëåçíàÿ (ìåõàíè÷åñêàÿ) ìîùíîñòü íàøåãî ìîòîðà
ðàâíà
Nïîë = Ýýì I0 =
Ýýì (Ýá - Ýýì )
R
,
ñëåäîâàòåëüíî, åãî êîýôôèöèåíò ïîëåçíîãî äåéñòâèÿ ðàâåí
ÊÏÄ =
Nïîë Ýýì I0 Ýýì
,
=
=
Nçàò
Ýá I0
Ýá
ãäå Nçàò – ïîëíàÿ ìîùíîñòü, çàòðà÷èâàåìàÿ áàòàðååé. Íà
ðèñóíêå 4 èçîáðàæåí ãðàôèê çàâèñèìîñòè ïîëåçíîé ìîùíîñòè îò Ýýì , â íàøåì
ñëó÷àå îò Ýýì = vBl .
Ýòî – ïàðàáîëà. Ëåãêî
âèäåòü, ÷òî ìàêñèìàëüíàÿ ïîëåçíàÿ ìîùíîñòü
ìîòîðà Nmax äîñòèãàåòñÿ, êîãäà «ýëåêòðîìàãíèòíàÿ» ÝÄÑ Ýýì
îêàçûâàåòñÿ âäâîå
ìåíüøå ÝÄÑ âêëþ÷åííîé â öåïü áàòàðåè Ýá .
Ïðè ýòîì êîýôôèöèåíò
ïîëåçíîãî äåéñòâèÿ
ìîòîðà ñîñòàâëÿåò
Ðèñ. 4
Ýýì Ýá = 0,5, ò.å. 50%.
Ýòî çíà÷èò, ÷òî åñëè ìû èìååì ýëåêòðè÷åñêèé ìîòîð, â öåïè
êîòîðîãî ñîäåðæèòñÿ áàòàðåÿ ñ ÝÄÑ Ýá è ñîïðîòèâëåíèåì R,
è îí ïîäíèìàåò ãðóç ìàññîé m, òî ìàêñèìàëüíóþ ñêîðîñòü
ïîäíÿòèÿ ýòîãî ãðóçà ìîæíî íàéòè òàê:
Ýá
Ýá (Ýá - Ýá 2) Ýá2
=
, è vmax =
.
4mgR
2
4R
R
2
mgvmax = Ýýì Imax =
Ïî ãðàôèêó ðèñóíêà 4 âèäíî, ÷òî îäíó è òó æå ïîëåçíóþ
ìîùíîñòü ñ îäíèì è òåì æå ìîòîðîì ìîæíî ïîëó÷èòü,
ïîäíèìàÿ áûñòðî ( v2 > v1 ) ëåãêèé ãðóç èëè ìåäëåííî –
òÿæåëûé ãðóç. Ïðè÷åì ïîäíèìàòü áûñòðî ëåãêèé ãðóç çíà÷èòåëüíî âûãîäíåå, ïîòîìó ÷òî êîýôôèöèåíò ïîëåçíîãî äåéñòâèÿ ìîæåò áûòü çíà÷èòåëüíî áîëüøå è ìîòîð ïðè ýòîì
áóäåò ãðåòüñÿ ñóùåñòâåííî ìåíüøå. Ìàêñèìàëüíî âîçìîæíàÿ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ áåñêîíå÷íî ëåãêîãî ãðóçà ( mg ® 0 )
äîñòèãàåòñÿ, êîãäà Ýýì = v*Bl = Ýá , ïðè ýòîì I ® 0 è
ÊÏÄ ® 1. Ýòó ñêîðîñòü v* = Ýá ( Bl ) íàçûâàþò ñêîðîñòüþ
õîëîñòîãî õîäà ìîòîðà.
Âåðíåìñÿ ñíîâà ê ñõåìå «ýëåêòðîìîòîðà» (ñì. ðèñ.3). Ýòó
ñõåìó î÷åíü ïðîñòî ïðåâðàòèòü â ñõåìó «ãåíåðàòîðà», ïîìåíÿâ ïîëþñà áàòàðåè. Åñëè â íà÷àëüíûé ìîìåíò çàìêíóòü
êëþ÷ è îòïóñòèòü ñòåðæåíü, òî âíà÷àëå ñèëà Àìïåðà áóäåò
íàïðàâëåíà âíèç, è ñòåðæåíü áóäåò ïàäàòü ñ óñêîðåíèåì,
áóëüøèì óñêîðåíèÿ ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ:
ma = mg + IBl .
Çàòåì òîê íà÷íåò óìåíüøàòüñÿ, èçìåíèò ñâîå íàïðàâëåíèå,
êîãäà Ýýì = vBl ñòàíåò áîëüøå Ýá , è â äàëüíåéøåì óñòàíî-
"
ÊÂÀÍT 2008/¹5
âèòñÿ ñòàöèîíàðíîå ñîñòîÿíèå:
Ý æ
mgR ö
vóñò Bl - Ýá = Ióñò R , mg = Ióñò Bl , è vóñò = á ç1 +
.
Bl è
Ýá Bl ÷ø
Ïðè ýòîì çà ñ÷åò óìåíüøåíèÿ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ñòåðæíÿ â ïîëå òÿæåñòè íà÷íåò çàðÿæàòüñÿ áàòàðåÿ è, êðîìå òîãî,
áóäåò âûäåëÿòüñÿ òåïëîâàÿ ìîùíîñòü íà ñîïðîòèâëåíèè. Íà
ÿçûêå ìîùíîñòåé çàïèøåì:
2
mgvóñò = vóñò BlIóñò = Ýá Ióñò + Ióñò
R.
Ðàññìîòðåííûå ïðèìåðû óáåäèòåëüíî ïîêàçûâàþò, ÷òî
òàêèå âàæíûå äëÿ ÷åëîâå÷åñòâà ôèçè÷åñêèå îáúåêòû, êàê
ýëåêòðè÷åñêèå ãåíåðàòîðû è ýëåêòðè÷åñêèå ìîòîðû, ÿâëÿþòñÿ êàê áû «ðîäñòâåííûìè» ïî ëèíèè ìàãíèòíûõ ñèë Ëîðåíöà
è Àìïåðà.
Îáîáùèì òåïåðü ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû. Âåðíåìñÿ ê
íàøåìó íà÷àëüíîìó ïðèìåðó, èçîáðàæåííîìó íà ðèñóíêå 2.
Ïàðàëëåëüíûå ïðîâîäà è ïåðåìû÷êà ñ ðåçèñòîðîì ñîïðîòèâëåíèåì R íåïîäâèæíû. Ñòåðæåíü äëèíîé l äâèæåòñÿ ñî
ñêîðîñòüþ vx . Â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè t êîîðäèíàòà
ñòåðæíÿ ðàâíà õ. Ìàãíèòíûé ïîòîê Φ t ÷åðåç çàìêíóòûé
êîíòóð abcd ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ èíäóêöèè ïîëÿ Â íà
ïëîùàäü lx (t ) ïåðïåíäèêóëÿðíîé ïîëþ ïëîùàäêè:
Φ (t ) = Blx (t ) .
Çàìåòèì, ÷òî
dΦ
dx
= Bl
= Blvx .
dt
dt
Çíà÷èò, ìîæíî çàïèñàòü, ÷òî
dΦ
Ýýì = .
dt
Ïî÷åìó ñòîèò çíàê «ìèíóñ»?  íàøåì ñëó÷àå ìàãíèòíûé
ïîòîê óâåëè÷èâàåòñÿ, òàê êàê óâåëè÷èâàåòñÿ ïëîùàäü êîíòóðà abcd, à òîê â êîíòóðå áóäåò òå÷ü ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè
è ñîçäàâàòü âíóòðè êîíòóðà ñîáñòâåííîå ìàãíèòíîå ïîëå, ïî
íàïðàâëåíèþ ïðîòèâîïîëîæíîå ìàãíèòíîìó ïîëþ Â. Ýòî
ïîëîæåíèå è íàçûâàåòñÿ ïðàâèëîì Ëåíöà. Íàøó ýëåêòðîìàãíèòíóþ ýëåêòðîäâèæóùóþ ñèëó Ýýì íàçâàëè ýëåêòðîäâèæóùåé ñèëîé ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè, à óñòàíîâëåííûé îïûòíûìè ôàêòàìè çàêîí
dΦ
Ýi = dt
– çàêîíîì ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè Ôàðàäåÿ.
Äàëüíåéøåå îáîáùåíèå çàêîíà (ýòî îïÿòü-òàêè óñòàíîâëåíî îïûòíûìè ôàêòàìè)
ãîâîðèò î òîì, ÷òî åñëè ïîòîê Φ
ur
ìàãíèòíîãî ïîëÿ B ÷åðåç ëþáóþ ïîâåðõíîñòü, îïèðàþùóþñÿ íà çàìêíóòûé êîíòóð, çàâèñèò îò âðåìåíè, òî â ýòîì
êîíòóðå âîçíèêàåò ÝÄÑ ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè, îïðåäåëÿåìàÿ çàêîíîì Ôàðàäåÿ. Ïðè÷åì ñî âðåìåíåì ìîãóò
èçìåíÿòüñÿ (â îòäåëüíîñòè èëè îäíîâðåìåííî) ôîðìà êîíòóðà, åãî ïëîùàäü, îðèåíòàöèÿ â ïðîñòðàíñòâå îòíîñèòåëüíî
ur
ìàãíèòíîãî ïîëÿ B , à òàêæå ñàìî ìàãíèòíîå ïîëå B t ,
êîòîðîå â îáùåì ñëó÷àå äîëæíî ñêëàäûâàòüñÿ èç âíåøíåãî
ìàãíèòíîãî ïîëÿ è ñîáñòâåííîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ, ñîçäàâàåìîãî âîçíèêàþùèì ñîáñòâåííûì ýëåêòðè÷åñêèì òîêîì â
ïðîâîäÿùåì êîíòóðå.
Åñëè âû çàïîìíèòå ïðåäûäóùèé àáçàö, òî ïðîñëûâåòå â
øêîëå áîëüøèì çíàòîêîì ôèçèêè. ×åãî âàì è æåëàåì.
ÔÈÇÈ×ÅÑÊÈÉ ÔÀÊÓËÜÒÀÒÈÂ
Êàê øàðèê î
ïëèòó óäàðèëñÿ
À.ÑÒÀÑÅÍÊÎ
«×
òî æå òóò îñîáåííîãî? – ñêàæåò Îòëè÷íèê. – Áóäåì
ñ÷èòàòü óäàð àáñîëþòíî óïðóãè셻
Ñ ýòîãî è íà÷íåì. ×òî òàêîå óäàð? È ÷òî çíà÷èò àáñîëþòíî
óïðóãèé?
Óäàð ïîíèìàþò îáû÷íî êàê íå÷òî ìãíîâåííîå; ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî îí ïðèâîäèò ê áåñêîíå÷íî áûñòðîìó èçìåíåíèþ
ñêîðîñòåé ñîóäàðÿþùèõñÿ òåë.  ÷àñòíîñòè, ïðè íîðìàëüíîì
ñòîëêíîâåíèè øàðèêà ñ ìàññèâíîé ïëèòîé ïðîèñõîäèò, êàê
ñêàçàë áû ìàòåìàòèê, ñêà÷îê èëè ðàçðûâ íîðìàëüíîé ñîñòàâëÿþùåé ñêîðîñòè: ∆vn = v2n - v1n . Íî ïîñêîëüêó øàðèê
îáëàäàåò êîíå÷íîé ìàññîé m, òàêîé ñêà÷îê ñêîðîñòè ïîòðåáîâàë áû áåñêîíå÷íî áîëüøîé íîðìàëüíîé ñèëû: Fn ® ¥ ,
êîòîðàÿ çà áåñêîíå÷íî ìàëûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè: τ ® 0
äîëæíà ïðèâåñòè ê êîíå÷íîìó ïðèðàùåíèþ èìïóëüñà:
m∆vn = Fn × τ ( = ¥ × 0) .
(1)
Ïî ñóòè äåëà, ïðè ýòîì íå èíòåðåñóþòñÿ òåì, ÷òî ïðîèñõîäèò
â òå÷åíèå âðåìåíè ñòîëêíîâåíèÿ τ , – âàæíî òîëüêî òî, ÷òî
ïîëó÷èëîñü â êîíöå ýòîãî ïðîöåññà. Òàê ÷òî ýòî âðåìÿ ìîæåò
è íå áûòü ðàâíûì íóëþ; «ìãíîâåííîñòü» óäàðà ìîæíî
ïîíèìàòü êàê ìàëîñòü âðåìåíè τ ïî ñðàâíåíèþ ñ êàêèì-òî
äðóãèì «áîëüøèì» îòðåçêîì âðåìåíè, íàïðèìåð âðåìåíåì
ïîäúåìà øàðèêà â ïîëå òÿæåñòè íà âûñîòó h ïîñëå îòñêîêà:
2h
.
g
Íî òîãäà è ñèëà Fn íå äîëæíà áûòü áåñêîíå÷íî áîëüøîé –
âàæíî ëèøü ïðèðàùåíèå èìïóëüñà. Êðîìå òîãî, ïîñêîëüêó
óäàð – ýòî óæå ïðîöåññ, äëÿùèéñÿ êîíå÷íîå âðåìÿ τ ,
«âíóòðè» êîòîðîãî ñèëà Fn ìîæåò êàê-òî èçìåíÿòüñÿ, òî
ìîæíî ââåñòè åå ñðåäíåå çíà÷åíèå Fn òàêîå, ÷òî åãî
ïðîèçâåäåíèå íà âðåìÿ óäàðà â òî÷íîñòè ðàâíî òîìó æå
ïðèðàùåíèþ èìïóëüñà (1):
τ=
m∆vn = Fn × τ .
( 1¢ )
À ÷òî çíà÷èò – àáñîëþòíî óïðóãèé? Ýòî çíà÷èò, ÷òî ïîñëå
ñîóäàðåíèÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ îòñêî÷èâøåãî øàðèêà îñòàëàñü â òî÷íîñòè òàêîé æå, êàê äî óäàðà (ìàññà ïëèòû
ñ÷èòàåòñÿ áåñêîíå÷íî áîëüøîé). Çíà÷èò, íîðìàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ñêîðîñòè èçìåíèò òîëüêî çíàê: v2n = -v1n . Êîíå÷íî,
ýòî èäåàëèçèðîâàííàÿ ìîäåëü – ãäå æå íàéòè òàêóþ ïëèòó è
òàêîé øàðèê, êîòîðûé ïîñëå ïàäåíèÿ ñ âûñîòû h îòñêî÷èë áû
íà òó æå âûñîòó?
×òî æå ïðîèñõîäèò íà ñàìîì äåëå ïðè ñòîëêíîâåíèè?
Ïðåäñòàâèì ñåáå óïðóãîå òåëî ìàññîé m â âèäå äâóõ æåñòêèõ
÷àñòåé ìàññîé m/2 êàæäàÿ, ñêðåïëåííûõ íåâåñîìîé ïðóæèíêîé æåñòêîñòüþ k (ðèñ.1). Ïóñòü ýòî ñîñòàâíîå òåëî
íîðìàëüíî ïàäàåò íà àáñîëþòíî æåñòêóþ ïëèòó ñî ñêîðîñòüþ
ÔÈÇÈ×ÅÑÊÈÉ
Ðèñ. 1
v1n .  ìîìåíò âðåìåíè t = –0 íèæíÿÿ ïîëîâèíà ïðèõîäèò â
ñîïðèêîñíîâåíèå ñ ïëèòîé. Ïðèïèøåì ýòîé ïîëîâèíå ñâîéñòâî «àáñîëþòíî óïðóãî îòðàæàòüñÿ» îò ïëèòû. Ýòî çíà÷èò,
÷òî â ñëåäóþùåå ìãíîâåíèå t = +0 íèæíÿÿ ïîëîâèíà èçìåíèò
çíàê ñêîðîñòè íà ïðîòèâîïîëîæíûé: v2n = -v1n , à âåðõíÿÿ
ïîëîâèíà ïîêà ÷òî íè÷åãî îá ýòîì «íå çíàåò» è ïðîäîëæàåò
äâèãàòüñÿ âíèç ñ ïðåæíåé ñêîðîñòüþ -v1n . Íî ïîñêîëüêó
òåïåðü îáå ïîëîâèíû äâèæóòñÿ íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó ñ
îäèíàêîâûìè ïî ìîäóëþ, íî ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåííûìè ñêîðîñòÿìè, ïðóæèíà íà÷íåò ñæèìàòüñÿ, è â íåêîòîðûé
ìîìåíò âðåìåíè, îáîçíà÷èì åãî τ 2 , îáå ïîëîâèíû íà
ìãíîâåíèå îñòàíîâÿòñÿ. Çàòåì ïðóæèíà íà÷íåò èõ ðàñòàëêèâàòü è â ìîìåíò âðåìåíè t = τ - 0 ïîëíîñòüþ ðàñïðÿìèòñÿ,
åå ðàñòàëêèâàþùàÿ ñèëà èñ÷åçíåò.  òî æå ìãíîâåíèå «àáñîëþòíî æåñòêàÿ» íèæíÿÿ ïîëîâèíà òåëà âòîðè÷íî «àáñîëþòíî óïðóãî» îòðàçèòñÿ îò «àáñîëþòíî æåñòêîé» ïëèòû è â
ìîìåíò âðåìåíè t = τ + 0 ïðèîáðåòåò òó æå ñêîðîñòü, ÷òî è
äî ñîóäàðåíèÿ, íî òåïåðü íàïðàâëåíóþ ââåðõ. À ýòó æå
ñêîðîñòü óæå èìååò è âåðõíÿÿ ïîëîâèíà. Òàêèì îáðàçîì,
íàøå äâóõïîëîâèííîå òåëî ñòàíåò äâèãàòüñÿ ââåðõ, íå ïîòåðÿâ íè÷åãî èç ñâîåé ïåðâîíà÷àëüíîé êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè.
Íà ðèñóíêå 1 øòðèõàìè ïîêàçàíî, ÷òî òðàåêòîðèÿ òåëà,
ïîäëåòàþùåãî ê ïëèòå è îòðàçèâøåãîñÿ îò íåå, ìîæåò áûòü
êðèâîëèíåéíîé (íàïðèìåð, ïàðàáîëîé), íî â ìàñøòàáå âðåìåíè âçàèìîäåéñòâèÿ τ ýòî èñêðèâëåíèå ñîâåðøåííî íåçíà÷èòåëüíî, à ñèëà òÿæåñòè mg ïðåíåáðåæèìî ìàëà ïî ñðàâíåíèþ ñ íîðìàëüíîé ñèëîé, âûçûâàþùåé ñêà÷îê ñêîðîñòè ïðè
ñîïðèêîñíîâåíèè ñ ïëèòîé. Çàìåòèì, ÷òî öåíòð ìàññ ýòîãî
äâîéíîãî òåëà íåïîäâèæåí âî âñå âðåìÿ ñòîëêíîâåíèÿ
( 0 < t < τ ).
Èòàê, ÷åðåç êîíå÷íûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè ïîðÿäêà ïåðèm
îäà êîëåáàíèé ýòîãî óñòðîéñòâà
îíî îòñêî÷èò îò ïëèòû
2k
ñî ñêîðîñòüþ, ðàâíîé ïî ìîäóëþ ñêîðîñòè ïàäåíèÿ.
À åùå áîëåå ñëîæíîå òåëî – óïðóãèé øàðèê – ìîæíî
ïðåäñòàâèòü â âèäå ìíîæåñòâà ìàëûõ ìàññ, ñîåäèíåííûõ
ïðóæèíêàìè. Ïðè óäàðå îò ìåñòà êîíòàêòà ïî øàðèêó
ïîáåæèò âîëíà äåôîðìàöèè, êîòîðàÿ, ïðîéäÿ åãî äèàìåòð,
îòðàçèòñÿ â ïðîòèâîïîëîæíóþ ñòîðîíó è, âíîâü ïðîéäÿ
ðàññòîÿíèå, ðàâíîå äèàìåòðó, äîéäåò äî ìåñòà êîíòàêòà. Òóòòî øàðèê è îòñêî÷èò îò ïëèòû. Âïðî÷åì, è ïëèòó òî÷íî òàê
æå ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñîñòîÿùåé èç ìíîæåñòâà ìàññ (àòîìîâ, èîíîâ êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè), ñîåäèíåííûõ «ïðóæèíêàìè», îáåñïå÷èâàþùèìè óïðóãîñòü òâåðäîãî òåëà (êîòîðîå òåïåðü óæå íåëüçÿ íàçâàòü àáñîëþòíî æåñòêèì). È â
ýòîì òåëå òîæå ïîáåæèò âîëíà, óíîñÿ ñ ñîáîé ÷àñòü êèíåòè-
ÔÀÊÓËÜÒÀÒÈÂ
"
÷åñêîé ýíåðãèè øàðèêà. Çíà÷èò, åãî ñêîðîñòü ïîñëå ñîóäàðåíèÿ îáÿçàòåëüíî ñòàíåò ìåíüøå ñêîðîñòè ïàäåíèÿ.
Íî ÷òî ýòî ìû äî ñèõ ïîð ãîâîðèì òîëüêî î íîðìàëüíîì
ñîóäàðåíèè? Âåäü òåëî ìîæåò ïàäàòü ïîä ëþáûì óãëîì ê
ïëîñêîñòè, è òîãäà åãî ñêîðîñòü â ìîìåíò ñîïðèêîñíîâåíèÿ
ìîæåò èìåòü ñîñòàâëÿþùóþ, íàïðàâëåííóþ âäîëü ïëîñêîñòè, èëè êàñàòåëüíóþ ñîñòàâëÿþùóþ, èëè òàíãåíöèàëüíóþ
ñîñòàâëÿþùóþ – êîìó êàê íðàâèòñÿ, íî â ëþáîì ñëó÷àå ìû
áóäåì åå îòìå÷àòü èíäåêñîì s.
Ïóñòü â êàêîé-òî ìîìåíò ïðîèñõîäèò ñîóäàðåíèå êðóãëîãî
òåëà (øàðèêà, öèëèíäðà èëè îáðó÷à) ñ òâåðäîé ïîâåðõíîñòüþ. Ñèòóàöèÿ ñîâñåì íå ðåäêàÿ. Íàïðèìåð, íà ñîðåâíîâàíèÿõ ïî õóäîæåñòâåííîé ãèìíàñòèêå ìîæíî íàáëþäàòü, êàê
Ãèìíàñòêà îòáðàñûâàåò â ñòîðîíó îáðó÷, çàêðóòèâ åãî òàê,
÷òî, ïðîñêîëüçèâ íåêîòîðîå ðàññòîÿíèå, íî íå ïîòåðÿâ ïîëíîñòüþ âðàùåíèÿ, îí ñàì âîçâðàùàåòñÿ ê õîçÿéêå. Çíà÷èò, çà
âðåìÿ ñêîëüæåíèÿ τ s òðåíèå ïîëíîñòüþ «ñúåëî» ïåðâîíà÷àëüíûé òàíãåíöèàëüíûé èìïóëüñ îáðó÷à mv1s , ïîñëå ÷åãî
íà÷àëîñü ÷èñòîå êà÷åíèå, íî ïîñòóïàòåëüíàÿ ñêîðîñòü îáðó÷à
ñìåíèëà çíàê. Íà ðèñóíêå 2 óñëîâíî èçîáðàæåíû èçìåíåíèÿ
ñî âðåìåíåì ñèëû Fs , óãëîâîé ñêîðîñòè îáðó÷à ω è åãî
ïîñòóïàòåëüíîé ñêîðîñòè vs . Êîíå÷íî, ýòîò ïðèìåð ïîíàñòîÿùåìó íåëüçÿ
íàçâàòü ñîóäàðåíèåì
– çäåñü ïðîöåññ ðàçâèâàåòñÿ äîâîëüíî
äîëãî, òàê ÷òî çðèòåëè óñïåâàþò ïîëþáîâàòüñÿ åùå íåñêîëüêèìè äâèæåíèÿìè Ãèìíàñòêè.
À âîò äðóãîé ïðèìåð: òÿæåëûé àâèàëàéíåð ñàäèòñÿ íà
âçëåòíî-ïîñàäî÷íóþ
ïîëîñó, è èç-ïîä åãî
øàññè ëåòÿò ïûëü è
äûì – áóêâàëüíî
äûì! – ãîðÿò ïîêðûøêè êîëåñ, åñëè
Ðèñ. 2
åùå äî êàñàíèÿ çåìëè íå ïîçàáîòèòüñÿ ðàñêðóòèòü ýòè ñîòíè êèëîãðàììîâ äî
íóæíîé ñêîðîñòè. Êàêîé? Òàêîé, ÷òîáû óæå â ìîìåíò
êàñàíèÿ ñîáëþäàëîñü óñëîâèå êà÷åíèÿ
-v
ω1 = 1s ,
r
ãäå r – ðàäèóñ êîëåñà (ýòî óñëîâèå äîëæíî áûòü ñîáëþäåíî
äëÿ ëþáîãî êðóãëîãî òåëà – îáîäà, äèñêà, øàðà).
Íî âåðíåìñÿ ê øàðèêó. Íà ðèñóíêå 3 èçîáðàæåíû ïîñëåäîâàòåëüíûå ñòàäèè åãî âçàèìîäåéñòâèÿ ñ ïëèòîé, íà÷èíàÿ ñ
ìîìåíòà ïàäåíèÿ ïîä óãëîì, îïðåäåëÿåìûì óñëîâèåì
-v
tg β = 1n .
v1s
Ïîêàçàíû ñêîëüæåíèå â òå÷åíèå âðåìåíè τ s , ïîñëåäóþùåå
êà÷åíèå â òå÷åíèå âðåìåíè τ - τs è, íàêîíåö, îòñêîê â ìîìåíò
âðåìåíè τ + 0 . Èçîáðàæåí ñëó÷àé, êîãäà âðåìÿ ñêîëüæåíèÿ
τ s ìåíüøå âðåìåíè ñîïðèêîñíîâåíèÿ τ .  ÷àñòíîì ñëó÷àå
îíè ìîãóò è ñîâïàäàòü.
Ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå íà çíàêè âåëè÷èí. Ñêîðîñòü
âðàùåíèÿ ω ñ÷èòàåòñÿ ïîëîæèòåëüíîé, åñëè âðàùåíèå ïðîèñõîäèò ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè. (Ìàòåìàòèê ñêàçàë áû, ÷òî
âåêòîðû, íàïðàâëåííûå âäîëü îñåé s, n, ω , îáðàçóþò ïðàâóþ
òðîéêó âåêòîðîâ.)
Íà ðèñóíêå 3 çàâèñèìîñòè ñîñòàâëÿþùèõ ñèëû âçàèìîäåéñòâèÿ Fn è Fs îò âðåìåíè èçîáðàæåíû ïðîèçâîëüíûìè
"
ÊÂÀÍT 2008/¹5
2
mr 2 . Ââîäÿ
5
áåçðàçìåðíóþ âåëè÷èíó γ = J mr 2 , ïîëó÷èì: äëÿ îáðó÷à
1
2
2
γ = 1 , äëÿ ñôåðû γ = , äëÿ äèñêà γ = , äëÿ øàðà γ = .
2
5
3
Òàêèì îáðàçîì, èç íàçâàííûõ òåë îáðó÷ òðóäíåå âñåãî
ðàñêðóòèòü äî çàäàííîé óãëîâîé ñêîðîñòè, à øàðèê – ëåã÷å
âñåãî (ïðè îäèíàêîâûõ çíà÷åíèÿõ ìàññû è ðàäèóñà). Èì-òî
ìû è èíòåðåñóåìñÿ ïðåæäå âñåãî.
Äàëåå, â óðàâíåíèè (2) íà âñÿêèé ñëó÷àé ó÷òåíà è ñèëà
òÿæåñòè ïàäàþùåãî òåëà – íà òîò ñëó÷àé, êîãäà îíà îêàæåòñÿ
åäèíñòâåííîé ïðèæèìàþùåé ñèëîé (Ãèìíàñòêà ñ îáðó÷åì
èëè êîëåñî àâèàëàéíåðà). Íàïîìíèì, ÷òî ïðè óäàðå
Fn ? mg , è ñèëîé òÿæåñòè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü.
Ê çàïèñàííîé ñèñòåìå óðàâíåíèé Òåîðåòèê è Ýêñïåðèìåíòàòîð îòíåñóòñÿ ïî-ðàçíîìó.
Òåîðåòèê áóäåò ðàññóæäàòü òàê. Ïóñòü çàäàíû âñå ïàðàìåòðû äî ñòîëêíîâåíèÿ (èíäåêñ 1): v1n , v1s , ω1 è õàðàêòåð
âçàèìîäåéñòâèÿ òåë: êîýôôèöèåíò òðåíèÿ µ . Òðåáóåòñÿ
íàéòè ïàðàìåòðû ïîñëå îòñêîêà v2n , v2 s è ω2 , ñîñòàâëÿþùèå
âíóòðåííîñòü ñôåðû (ò.å. ñäåëàòü øàð), òî J =
ñèëû Fn è Fs , âðåìÿ ñîóäàðåíèÿ τ è âðåìÿ ñêîëüæåíèÿ
τ s – ñåìü âåëè÷èí. Ñëåäîâàòåëüíî, íóæíû åùå êàêèå-òî
ñîîòíîøåíèÿ äëÿ çàìûêàíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé (2)–(4) .
Ïðåæäå âñåãî ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ çàêîíîì Êóëîíà–
Àìîíòîíà
Fs = -µ Fn
Ðèñ. 3
âîëíèñòûìè ëèíèÿìè. Ìû íå èíòåðåñóåìñÿ òî÷íûì «óñòðîéñòâîì» ýòèõ çàâèñèìîñòåé. Íàñ èíòåðåñóåò êîíå÷íûé èìïóëüñ ñèë Fn τ è Fs τ s , ãäå â óãëîâûõ ñêîáêàõ ïîêàçàíû
ñðåäíèå çíà÷åíèÿ ñèë.
Ïîñêîëüêó øàðèê íå åñòü òî÷êà, à èìååò êîíå÷íûé ðàçìåð,
òàíãåíöèàëüíàÿ ñèëà (êîëü ñêîðî îíà íàïðàâëåíà âëåâî)
ñîçäàåò êðóòÿùèé ìîìåíò, íàïðàâëåííûé ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå
è ðàâíûé rFs t . Ïîäîáíî òîìó êàê â ïîñòóïàòåëüíîì
äâèæåíèè â òå÷åíèå âðåìåíè ñêîëüæåíèÿ ïðîèñõîäèò èçìåíåíèå òàíãåíöèàëüíîãî èìïóëüñà íà âåëè÷èíó Fs τs , âî
âðàùàòåëüíîì äâèæåíèè ïðîèçîéäåò èçìåíåíèå… ÷åãî? –
ìîìåíòà èìïóëüñà íà âåëè÷èíó r Fs τ s , ò.å. íà âåëè÷èíó
ìîìåíòà èìïóëüñà ñèëû.
Íî íàïèøåì, íàêîíåö, óðàâíåíèÿ:
m (v2n - v1n ) =
( Fn
+ mg) τ ,
m (v2 s - v1s ) = Fs τs ,
J (ω2 - ω1 ) = r Fs τ s .
(2)
(3)
(4)
Èõ ñìûñë ïðîñò: â ðåçóëüòàòå ñòîëêíîâåíèÿ ïðîèçîøëè
èçìåíåíèÿ íîðìàëüíîãî è òàíãåíöèàëüíîãî èìïóëüñîâ øàðèêà, è ýòè èçìåíåíèÿ ðàâíû èìïóëüñàì ñîîòâåòñòâóþùèõ ñèë.
Êðîìå òîãî, ïðîèçîøëî èçìåíåíèå óãëîâîé ñêîðîñòè. Ïðè
ýòîì êîýôôèöèåíò J – ìîìåíò èíåðöèè – îïèñûâàåò èíåðòíîñòü òåëà âî âðàùàòåëüíîì äâèæåíèè, ïîäîáíî òîìó êàê m
– ìàññà – õàðàêòåðèçóåò èíåðòíîñòü â ïîñòóïàòåëüíîì äâèæåíèè.
Òóò íàäî ñêàçàòü åùå íåñêîëüêî ñëîâ. Â êðóãëîì òåëå
ðàäèóñîì r åãî ìàññó ìîæíî ðàñïðåäåëèòü ïî-ðàçíîìó.
Ìîæíî ðàçìåñòèòü ìàññó íà îäíîì è òîì æå ðàññòîÿíèè r îò
öåíòðà. Òîãäà ïîëó÷èì îáðó÷, äëÿ êîòîðîãî J = mr 2 . Ìîæíî
1 2
«ðàçìàçàòü» åå ïî äèñêó, è òîãäà ïîëó÷èì J = mr . Ìîæíî
2
ðàñïðåäåëèòü åå ðàâíîìåðíî ïî ñôåðå (êàê ó øàðèêà äëÿ
2
ïèíã-ïîíãà), òîãäà J = mr 2 . À åñëè çàïîëíèòü ìàññîé
3
(ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî â òå÷åíèå âñåãî âðåìåíè ñêîëüæåíèÿ
òàíãåíöèàëüíàÿ ñèëà ïðîïîðöèîíàëüíà íîðìàëüíîé). Äàëåå,
äëÿ âðåìåíè ñîóäàðåíèÿ ìîæíî ïðèíÿòü îöåíêó
æ 1
1ö
,
τ : 4r ç
+
è cø cï ÷ø
ãäå cø è cï – ñêîðîñòè çâóêà â ìàòåðèàëàõ øàðèêà è ïëèòû.
×åì æåñò÷å ìàòåðèàë, òåì áîëüøå ñêîðîñòü çâóêà â íåì.
Íàïðèìåð, äëÿ ñòàëè îíà ïîðÿäêà 5000 ì/ñ, à äëÿ ñâèíöà
~ 1000 ì/ñ. Òàêèì îáðàçîì, åñëè ïëèòà «àáñîëþòíî æåñòêàÿ» è ñêîðîñòü çâóêà â íåé áåñêîíå÷íî âåëèêà, òî âðåìÿ
ñîóäàðåíèÿ áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ âðåìåíåì ïðîõîæäåíèÿ âîëíîé âîçìóùåíèÿ äèàìåòðà øàðèêà 2r «òóäà è îáðàòíî». À
åñëè ïëèòà «àáñîëþòíî ìÿãêàÿ» (íàïðèìåð, èç ïëàñòèëèíà),
òî cï ® 0 , è øàðèê íèêóäà íå îòñêî÷èò ( τ ® ¥ ).
Èòàê, äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñåìè íåèçâåñòíûõ èìååòñÿ âñåãî
ïÿòü ñîîòíîøåíèé. Çàäà÷à âñå åùå íå çàìêíóòà. ×òî æå
äåëàòü? Ñòðîãî ãîâîðÿ, íóæíî ðåøèòü ñëîæíóþ ïðîáëåìó
íåñòàöèîíàðíîé äåôîðìàöèè äâóõ âçàèìîäåéñòâóþùèõ òåë –
øàðèêà è ïëèòû, â îáúåìå êîòîðîé è ïî ïîâåðõíîñòè êîòîðîé
ïðè óäàðå ïîáåãóò âîëíû, óíîñÿùèå ÷àñòü íà÷àëüíîé êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè øàðèêà. Íî äëÿ ýòîãî íóæíî çíàòü òåîðèþ
óïðóãîñòè è ÷èñëåííûå ìåòîäû ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè.
Ïîýòîìó îáðàòèìñÿ ê Ýêñïåðèìåíòàòîðó. Íà îïûòå äîâîëüíî ïðîñòî ìîæíî èçìåðèòü ñîñòàâëÿþùèå ñêîðîñòè
v1n , v1s , v2n , v2 s ïðè ïîìîùè êèíîñúåìêè èëè îñâåùàÿ ÷àñòèöó ñòðîáîñêîïè÷åñêèìè âñïûøêàìè. Ýòî òàê íàçûâàåìûé
âðåìÿïðîëåòíûé ìåòîä. Ðåçóëüòàòû ýêñïåðèìåíòà îáû÷íî
ïðåäñòàâëÿþòñÿ â âèäå çàâèñèìîñòåé îò óãëà ïàäåíèÿ îòíîøåíèé ñîñòàâëÿþùèõ ñêîðîñòè ïîñëå è äî ïàäåíèÿ – òàê
íàçûâàåìûõ êîýôôèöèåíòîâ âîññòàíîâëåíèÿ íîðìàëüíîé è
òàíãåíöèàëüíîé ñîñòàâëÿþùèõ èìïóëüñà
v
v
an = 2n è as = 2 s .
-v1n
v1s
Âèäíî, ÷òî ïåðâûé èç íèõ âñåãäà íåîòðèöàòåëåí, òàê êàê v1n
âñåãäà íåïîëîæèòåëüíà; âòîðîé æå ìîæåò èìåòü ëþáîé çíàê
(íàïðèìåð, áûòü îòðèöàòåëüíûì â ñëó÷àå Ãèìíàñòêè ñ îáðó-
ÔÈÇÈ×ÅÑÊÈÉ
÷åì) èëè áûòü ðàâíûì íóëþ (òîãäà ïðåäâàðèòåëüíî çàêðó÷åííîå òåëî îòñêî÷èò âåðòèêàëüíî ââåðõ, òàê êàê åãî òàíãåíöèàëüíûé èìïóëüñ áóäåò ïîëíîñòüþ «ñúåäåí» òðåíèåì).
Ýêñïåðèìåíòû ïîêàçûâàþò, ÷òî îáå ýòè âåëè÷èíû çàâèñÿò
îò óãëà ñêîëüæåíèÿ β . Íà ðèñóíêå 4, à êà÷åñòâåííî èçîáðàæåí õàðàêòåðíûé âèä ýòèõ çàâèñèìîñòåé, à âåðòèêàëüíûå
îòðåçêè ïîêàçûâàþò, ÷òî âñÿêèé ÷åñòíûé ýêñïåðèìåíò äàåò
"!
ÔÀÊÓËÜÒÀÒÈÂ
Ïåðåïèøåì óðàâíåíèÿ (2)–(4), èñïîëüçóÿ ââåäåííûå êîýôôèöèåíòû âîññòàíîâëåíèÿ (çäåñü ñèëó òÿæåñòè ó÷èòûâàòü
íå áóäåì):
F
-v1n (1 + an ) = n τ ,
( 2¢ )
m
τ
v1s (1 - as ) = -v1n 1 + an s µ ,
( 3¢ )
τ
1 v2 s 1 - as
ω2 - ω1 = ( 4¢ )
γ r
as .
Ïîìíÿ, ÷òî íîðìàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ñêîðîñòè ïàäàþùåãî
òåëà v1n âñåãäà îòðèöàòåëüíà â âûáðàííîé ñèñòåìå êîîðäèíàò, ïðè íåé ñîõðàíåí çíàê «ìèíóñ» (òàê ÷òî -v1n ³ 0 ).
Èç ( 3¢ ) ìîæíî ïîëó÷èòü îòíîñèòåëüíîå âðåìÿ ñêîëüæåíèÿ:
1 - as
τs
v
= 1s
τ
-v1nµ 1 + an .
Êîíå÷íî, îíî ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé óãëà β , íî â ëþáîì ñëó÷àå
íå äîëæíî ïðåâîñõîäèòü åäèíèöó ( τ s £ τ ) – íå ìîæåò øàðèê
ñêîëüçèòü äîëüøå, ÷åì äëèòñÿ åãî êîíòàêò ñ ïëèòîé!
Ïðàâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ ( 4¢ ) – òîæå èçâåñòíàÿ ôóíêöèÿ
β , ñëåäîâàòåëüíî, ýòî óðàâíåíèå äàñò ïðèðàùåíèå óãëîâîé
ñêîðîñòè ω2 - ω1 . Âïðî÷åì, åñëè ðåçóëüòàòû èçìåðåíèé
òàêîâû, êàê íà ðèñóíêå 4,à, ò.å. as ® 1 ïðè β ® π 2 , òî
óãëîâàÿ ñêîðîñòü ïàäàþùåãî øàðèêà çàâåäîìî ðàâíà íóëþ
( ω1 = 0 ) – îí íå âðàùàåòñÿ ïåðåä ñòîëêíîâåíèåì. Òîãäà
ω2 = -
mr 2 v2 s 1 - as
.
J r
as
À â êîíöå ó÷àñòêà ñêîëüæåíèÿ èìååì
v
ω2 = - 2 s .
r
Îòñþäà
1 - as
1
J
.
=
= γ , as =
1+ γ
as
mr 2
5
2
, òàê ÷òî as = . Èíòåðåñíî, ÷òî âûñîòà
5
7
7
áîðòèêà áèëüÿðäíîãî ñòîëà äåëàåòñÿ ðàâíîé
îò ðàäèóñà
5
øàðà – ýòî ëè íå ïðàêòè÷åñêîå ïðèìåíåíèå çàêîíîâ ôèçèêè!
Åñëè τ s = τ , òî èç ( 3¢ ) è ( 4¢ ) ìîæíî íàéòè ñîîòâåòñòâóþùèé êîýôôèöèåíò òðåíèÿ, îáåñïå÷èâàþùèé ýòî óñëîâèå:
Äëÿ øàðèêà γ =
Ðèñ. 4
ðàçáðîñ ðåçóëüòàòîâ èçìåðåíèé, çàâèñÿùèé îò ìíîãèõ ïðè÷èí (øåðîõîâàòîñòè ïëèòû, íåñôåðè÷íîñòè «øàðèêà», íåñîâåðøåíñòâà èçìåðèòåëüíîãî ïðèáîðà, …, íàñòðîåíèÿ Ýêñïåðèìåíòàòîðà). Õîòåëîñü áû èçìåðèòü è óãëîâûå ñêîðîñòè ω1
è ω2 . Êîíå÷íî, ýòî ìîæíî ñäåëàòü, íàïðèìåð, â ñëó÷àå
ôóòáîëüíîãî ìÿ÷à, øàðèêà äëÿ ïèíã-ïîíãà èëè äëÿ ìèëëèìåòðîâûõ øàðèêîâ, íà êîòîðûõ åñòü êàêèå-òî ìåòêè (òóò óæ
íóæíà áóäåò ôîòî- èëè êèíîñúåìêà). Íî åñëè ÷àñòèöû èìåþò
ìèêðîííûå ðàçìåðû? Íàïðèìåð, ÷àñòèöû çàïûëåííîé àòìîñôåðû, â êîòîðîé äâèæåòñÿ ñàìîëåò èëè ñïóñêàåìûé
êîñìè÷åñêèé êîðàáëü?
Ðàçóìååòñÿ, êîå-÷òî ìîæíî ñêàçàòü îá óãëîâîé ñêîðîñòè è
ïî ðåçóëüòàòàì èçìåðåíèÿ ëèíåéíîé ñêîðîñòè. Íàïðèìåð, èç
ðèñóíêà 4,à âèäíî, ÷òî â ýòèõ ýêñïåðèìåíòàõ ïàäàþùèå
øàðèêè íå âðàùàëèñü äî ñîóäàðåíèÿ ñ ïîâåðõíîñòüþ ( ω1 = 0 )
– èíà÷å âåëè÷èíà as áûëà áû áîëüøå èëè ìåíüøå åäèíèöû
èëè äàæå îòðèöàòåëüíà.
Èòàê, ïóñòü èçìåðåíû v1n , v1s , v2n , v2 s â ôóíêöèè óãëà
ñêîëüæåíèÿ β . (Æåëàòåëüíî, êîíå÷íî, ÷òîáû è â çàâèñèìîñòè îò ω1 , ïîòîìó ÷òî, åñëè øàðèêó ïðèäåòñÿ âòîðè÷íî
ñòîëêíóòüñÿ ñ ïëèòîé, îí îêàæåòñÿ óæå çàêðó÷åííûì ïîñëå
ïåðâîãî ñòîëêíîâåíèÿ. Íî ýòî íåëåãêî ñäåëàòü äëÿ ìèêðî÷àñòèö.) Íóæíî íàéòè ω2, Fn , Fs , τ, τs – òåïåðü óæå ïÿòü
âåëè÷èí, â îòëè÷èå îò ñëó÷àÿ ñ Òåîðåòèêîì.
µ* =
γ (ω1r + v1s )
.
+
γ
( 1) (v2n - v1n )
Îòñþäà âèäíî, ÷òî ïðè µ* = 0 (ñîâñåì íåò òðåíèÿ) äîëæíî
v
âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèå ω1 = - 1s , èëè ω2 = ω1 , v2 s = v1s ,
r
as = 1 . Âîò ïî÷åìó è íóæíî ðàñêðó÷èâàòü êîëåñà øàññè
àâèàëàéíåðà ïåðåä ïîñàäêîé. È âîò ïî÷åìó âîäèòåëü àâòîìîáèëÿ, âúåõàâ íà ëåä, äîëæåí íå òîðìîçèòü è íå ðàçãîíÿòüñÿ,
à ñèäåòü òèõî.
Ðàññìîòðèì êîíêðåòíûé ïðèìåð. Ïóñòü äëÿ íåêîòîðîé
ïàðû âåùåñòâ øàðèêà è ïëèòû ýêñïåðèìåíòàëüíûå äàííûå
ðèñóíêà 4,à ìîæíî àïïðîêñèìèðîâàòü ïðîñòûìè çàâèñèìîñòÿìè
3
1
an = 1 - sin β , as = 1 - sin 2β .
2
4
Òîãäà ïîëó÷èì
τs
cos2 β
=
£ 1.
3
τ
æ
ö
µ ç 2 - sin β÷
è
ø
4
""
ÊÂÀÍT 2008/¹5
Îòñþäà âèäíî, ÷òî óñëîâèå ñîâïàäåíèÿ âðåìåíè ñêîëüæåíèÿ
ñî âðåìåíåì ñîïðèêîñíîâåíèÿ äîñòèãàåòñÿ ñ óìåíüøåíèåì µ
ïðè âñå áîëüøåì óãëå β . Äàëåå, èç ( 4¢ ) íàéäåì
2
r ω2
sin β × cos2 β
=, ãäå γ = .
5
v1
γ
Ýòè âåëè÷èíû êà÷åñòâåííî ïîêàçàíû íà ðèñóíêå 4,á. Âèäíî, íàïðèìåð, ÷òî óãëîâàÿ ñêîðîñòü îñòàíåòñÿ ðàâíîé íóëþ
â äâóõ ñëó÷àÿõ: êîãäà β = 0 (ñêîëüçÿùèé óäàð, êîãäà íåò
ïðèæèìàþùåé ñèëû) è êîãäà β = π 2 (íîðìàëüíîå ïàäåíèå, êîãäà íåò íà÷àëüíîé òàíãåíöèàëüíîé ñîñòàâëÿþùåé
ñêîðîñòè).
È òóò ìàññà äðóãèõ âîïðîñîâ âîçíèêëà â ãîëîâå Îòëè÷íèêà. Âåäü óæå ðèñóíîê 1 ñîäåðæèò íàìåê íà òî, ÷òî äëÿ îòñêîêà
øàðèêà èëè ñàì øàðèê, èëè ïëèòà, èëè îáà ýòèõ òåëà äîëæíû
äåôîðìèðîâàòüñÿ â ïðîöåññå âçàèìîäåéñòâèÿ. Çíà÷èò, ïëå÷î
òàíãåíöèàëüíîé ñèëû, êîòîðîå ðàíüøå ïðèíèìàëîñü ðàâíûì
ðàäèóñó øàðèêà r, òåïåðü äîëæíî áûòü âåëè÷èíîé ïåðåìåííîé â ïðîöåññå âçàèìîäåéñòâèÿ. À åñëè ïàäàåò íå îäíîðîäíûé øàð, à øàðèê äëÿ ïèíã-ïîíãà èëè òåííèñíûé ìÿ÷, ó
êîòîðûõ îáîëî÷êà è âîçäóøíîå íàïîëíåíèå îáëàäàþò ðàçëè÷íûìè çíà÷åíèÿìè ïëîòíîñòè, ìîäóëÿ óïðóãîñòè è ò.ï.?
À åñëè ïàäàþùèé «øàðèê» îáëàäàåò íå ñîâñåì ñôåðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòüþ è ïëèòà íå ñîâñåì ïëîñêàÿ, à øåðîõîâàòàÿ,
äà åùå è âîëíèñòàÿ? À åñëè äåôîðìàöèè íå ñîâñåì óïðóãèå,
à ïëàñòè÷åñêèå? À åñëè â ïðîöåññå òðåíèÿ ïðîèñõîäèò
ðàçäåëåíèå ýëåêòðè÷åñêèõ çàðÿäîâ? À åñëè ñòîëêíîâåíèå
ïðîèñõîäèò â âîçäóõå, êîòîðûé íàäî óñïåòü âûòåñíèòü èç
îáëàñòè ìåæäó ñáëèæàþùèìèñÿ òåëàìè, à îí òîæå îáëàäàåò
èíåðòíîñòüþ? À åñëè…
«Ý, áðàò, – ïîäóìàë Îòëè÷íèê, – ÷òîáû âî âñåì ýòîì
ðàçîáðàòüñÿ, íóæíî ïîñòóïèòü â Ìîñêîâñêèé ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò, à ïîòîì çàùèòèòü äèññåðòàöèþ íà ýòó
òåìó». È îí áûë ïðàâ.
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÊÐÓÆÎÊ
Äâà
òþðåìùèêà
È.ÀÊÓËÈ×, Â.ËÅÖÊÎ
Íå íàéäåøü – êîãî âèíèòü? –
ß äîëæîí òåáÿ êàçíèòü.
Ãîñóäàðñòâåííîå äåëî!
Òû óëàâëèâàåøü íèòü?
Ëåîíèä Ôèëàòîâ
Ï
ÐÅÇÈÄÅÍÒ ÀÍ×ÓÐÈÈ ÌÈÐÀÔËÎÐÅÑ, ÇÀÍß ÑÂÎÉ ÂÛ-
ñîêèé ïîñò, ïåðâûì äåëîì îòêðûë äâå òþðüìû íà 100
ïîñàäî÷íûõ ìåñò êàæäàÿ. Ïî÷åìó äâå, à íå îäíó äâîéíîé
âìåñòèìîñòè? Ïîòîìó ÷òî îí áûë ñòîðîííèêîì ðûíî÷íûõ
ðåôîðì è ñ÷èòàë, ÷òî ìåæäó íà÷àëüíèêàìè ýòèõ òþðåì (ñ
íåçàòåéëèâûìè ôàìèëèÿìè Áëýê è Óàéò) ðàçîâüåòñÿ çäîðîâàÿ ñâîáîäíàÿ êîíêóðåíöèÿ, ðåçóëüòàòîì êîòîðîé áóäåò
ïðîãðåññ è ïðîöâåòàíèå óêàçàííûõ ïåíèòåíöèàðíûõ ó÷ðåæäåíèé. Óâû! Ñëîâî «ñâîáîäíàÿ» ïëîõî ïðèìåíèìî ê çàâåäåíèÿì òàêîãî ðîäà, è âìåñòî ðûíî÷íîé êîíêóðåíöèè ðàçâèëîñü ñîöèàëèñòè÷åñêîå ñîðåâíîâàíèå, ñëåäñòâèåì ÷åãî ÿâèëîñü ñòîïðîöåíòíîå çàïîëíåíèå îáåèõ òþðåì â êðàò÷àéøèå
ñðîêè.
Ðåçóëüòàò íå çàñòàâèë ñåáÿ æäàòü: îñòàâøàÿñÿ íà ñâîáîäå
îïïîçèöèÿ, ïðîíþõàâ, ÷òî ñàæàòü åå óæå íåêóäà, îáíàãëåëà
äîíåëüçÿ è ïðèíÿëàñü îðãàíèçîâûâàòü ìàññîâûå ìåðîïðèÿòèÿ ïîä íàäóìàííûìè ëîçóíãàìè (ìàðøè ïóñòûõ êàñòðþëü,
ñêîâîðîäîê è ïðî÷åãî êóõîííîãî èíâåíòàðÿ). ×òîáû íå
äîïóñòèòü íàöèîíàëüíîé êàòàñòðîôû, ïðåçèäåíò ïðèêàçàë
íà÷àëüíèêàì îñâîáîäèòü òþðüìû: ëèáî âûãíàòü, ëèáî êàçíèòü âñåõ â íèõ íàõîäÿùèõñÿ.
– Ëó÷øå, êîíå÷íî, êàçíèòü, – äàë îí íåíàâÿç÷èâóþ ðåêîìåíäàöèþ, – íî ÷òîáû âñå áûëî ïî ñïðàâåäëèâîñòè. ß íå õî÷ó
îáâèíåíèé â íåìîòèâèðîâàííîé æåñòîêîñòè. Óñòðîéòå èì
êàêîå-íèáóäü èñïûòàíèå (êàê ãîâîðÿò ñîâðåìåííûå èãðîêèêîìïüþòåðùèêè, êâåñò). Íå ïðîéäóò – êîãî âèíèòü? Òîëüêî
èõ ñàìèõ…
È âîò íà÷àëüíèêè òþðåì ñîáðàëèñü, ÷òîáû îáñóäèòü ñèòóàöèþ è ïîèñêàòü âûõîä.
– Ïðåçèäåíò ÿñíî äàë ïîíÿòü: èñïûòàíèå äîëæíî ïðàêòè÷åñêè ãàðàíòèðîâàííî ïðèâåñòè ê êàçíè çàêëþ÷åííûõ, íî
âíåøíå íå âûãëÿäåòü íåïðåîäîëèìûì, – çàäóì÷èâî ïðîèçíåñ
Óàéò. – ×òî æå íàì èçîáðåñòè?
– Èäåÿ! – çàÿâèë Áëýê. – Ïóñòü èùóò… ñàìèõ ñåáÿ!
– Ýòî êàê? – íå ïîíÿë Óàéò.
– À âîò êàê. Çàãîòîâëþ ñòî çàïèñîê ñ ôàìèëèÿìè âñåõ
çàêëþ÷åííûõ (ïî îäíîé ôàìèëèè íà çàïèñêå) è ñòî ïðîíóìåðîâàííûõ êîðîáîê. Ïåðåòàñóþ çàïèñêè, êàê êîëîäó êàðò, è
ïîëîæó ïî îäíîé â êàæäóþ êîðîáêó. Âñå ýòè êîðîáêè ïîìåùó
â îòäåëüíóþ êîìíàòó – è ìèëîñòè ïðîñèì! Ïóñòü îíè ïî
î÷åðåäè âõîäÿò è îòêðûâàþò â ëþáîì ïîðÿäêå 99 êîðîáîê –
ò.å. âñå, êðîìå îäíîé. È åñëè êàæäûé èç íèõ ñóìååò îòêðûòü
êîðîáêó ñî ñâîåé ôàìèëèåé – òî ÿ âñåõ îòïóùó. Åñëè æå õîòÿ
áû îäèí íå íàéäåò ñåáÿ – òî âñåõ êàçíþ! Ðàçóìååòñÿ, ïîñëå
âûõîäà êàæäîãî óçíèêà èç êîìíàòû âñå îòêðûòûå èì êîðîáêè
áóäóò çàêðûòû îáðàòíî. Íó, è ïðîñëåäèì, ÷òîáû îíè íå
ñóìåëè îñòàâèòü êàêèõ-íèáóäü ïîìåòîê è òîìó ïîäîáíîå.
– Íî ýòî âåäü âñå ðàâíî, ÷òî ïðîñòî îòïóñòèòü çàêëþ÷åííûõ
íà âîëþ áåç âñÿêîãî èñïûòàíèÿ! – âîñêëèêíóë Óàéò. – ß íå
ñèëåí â ìàòåìàòèêå, íî äàæå äëÿ ìåíÿ î÷åâèäíî, ÷òî âåðîÿòíîñòü íå íàéòè ñâîåé ôàìèëèè âñåãî 0,01.
– Ýòî äîêàçûâàåò, ÷òî ìîÿ èäåÿ õîðîøà! Èñïûòàíèå
âûãëÿäèò ñîâñåì ëåãêèì. Íà ñàìîì æå äåëå øàíñû óçíèêîâ
íå ñëèøêîì âåëèêè. Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî íàéòè «ñâîþ
êîðîáêó» óäàñòñÿ âñåì, ðàâíà 0,99100 , à ýòî íå òàê ìíîãî.
–  ñàìîì äåëå? Íó-êà, ãäå êàëüêóëÿòîð…
– Ìîæíî è áåç íåãî. Îáðàòèòå âíèìàíèå:
100
1 ö
æ
0,99100 = ç 1 ÷ , à ýòà âåëè÷èíà, êàê è âîîáùå çíà÷åíèå
è
100 ø
n
1ö
æ
çè1 - ÷ø ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ ï, äîâîëüíî áëèçêà ê
n
1/å, ãäå å = 2,718… – ÷èñëî Ýéëåðà. Ïîýòîìó âåðîÿòíîñòü
âûæèòü äëÿ íèõ ðàâíà 1/2,718… » 0,368 – çàìåòíî ìåíüøå
ïîëîâèíû.
– È âñå æå ðèñê ñëèøêîì âåëèê! – çàñîìíåâàëñÿ îñòîðîæíûé Óàéò. – Áîþñü, åñëè íàì ïðèäåòñÿ âûïóñòèòü çàêëþ÷åí-
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ
íûõ, ìû ñ âàìè áóäåì ïåðâûìè êàíäèäàòàìè íà îñâîáîäèâøèåñÿ ìåñòà.
– Ïîæàëóé, âû ïðàâû, – ñîãëàñèëñÿ Áëýê. – Òîãäà
ðàçðåøèì îòêðûâàòü íå ïî 99, à ïî 90 êîðîáîê. Âåðîÿòíîñòü
òîãî, ÷òî âñå 100 ÷åëîâåê íàéäóò ñåáÿ, ñîñòàâëÿåò 0,9100 , à ýòî
îé êàê ìàëî – ìåíüøå 0,00003. Ïîæàëóé, ÿ äàæå äàì èì
âîçìîæíîñòü ïîîáùàòüñÿ ìåæäó ñîáîé. Ïóñòü âñå âèäÿò,
êàêîé ÿ ãóìàííûé! Ðàçóìååòñÿ, îáùàòüñÿ îíè áóäóò òîëüêî äî
íà÷àëà èñïûòàíèÿ.
– À âäðóã îíè ïðèäóìàþò êàêóþ-íèáóäü õèòðóþ ñòðàòåãèþ?
– À ÷òî îíè ìîãóò ïðèäóìàòü?! Äîïóñòèì, èçîáðåòóò
ñòðàòåãèþ, ïðè êîòîðîé êàêóþ-òî êîðîáêó òàê íè ðàçó íèêòî
è íå îòêðîåò. Òîãäà èõ øàíñû èç ïðèçðà÷íûõ ñòàíóò íóëåâûìè – âåäü óçíèê, ôàìèëèÿ êîòîðîãî ñîäåðæèòñÿ â ýòîé
íåîòêðûòîé êîðîáêå, äî ñâîåé ôàìèëèè òàê è íå äîêîïàåòñÿ!
Ïîýòîìó ñàìîå âûãîäíîå äëÿ íèõ – îòêðûâàòü êîðîáêè
«ðàâíîìåðíî-ðàçìàçàííî», ÷òîáû êàæäàÿ áûëà îòêðûòà ïî
90 ðàç. Íî è ýòà ñòðàòåãèÿ íå ìîæåò ñóùåñòâåííî óâåëè÷èòü
øàíñû çàêëþ÷åííûõ. Äàâàéòå-êà îöåíèì, êàêîâû áóäóò
øàíñû íà óñïåøíîå ïðîõîæäåíèå èñïûòàíèÿ, ñêàæåì, âñåãî
äâóìÿ ïåðâûìè óçíèêàìè â çàâèñèìîñòè îò ðàçíûõ ñòðàòåãèé.
– À êàê ýòî ñäåëàòü?
– Î÷åíü ïðîñòî! Ïîñêîëüêó ïåðâûé îòêðûâàåò 90 êîðîáîê
èç 100, åãî øàíñ íàéòè çàïèñêó ñî ñâîåé ôàìèëèåé ïðè ëþáîé
ñòðàòåãèè áóäåò ðàâåí 0,9. Åñëè âòîðîé óçíèê îòêðîåò òå æå
êîðîáêè, ÷òî è ïåðâûé, âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îáà îíè
90 89
89
×
=
. Ýòî ÷óòüâûäåðæàò èñïûòàíèå, áóäåò ðàâíà
100 99 110
÷óòü ìåíüøå 0,81 (âåðîÿòíîñòè óñïåõà ïðè îòêðûâàíèè
êîðîáîê áåç ïðåäâàðèòåëüíîé äîãîâîðåííîñòè). Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî âòîðîé óçíèê ñðåäè ñâîèõ 90 îòêðîåò 10
êîðîáîê, êîòîðûå íå îòêðûâàë åãî ïðåäøåñòâåííèê. Äëÿ
íàõîæäåíèÿ âåðîÿòíîñòè óñïåõà ïðè òàêîé ñòðàòåãèè íàì
ïðèäåòñÿ ðàññìîòðåòü äâà ñëó÷àÿ. Äîïóñòèì ñíà÷àëà, ÷òî
êîðîáêà ñ ôàìèëèåé ïåðâîãî óçíèêà íå ïîïàëà â ÷èñëî òåõ 90,
êîòîðûå îòêðûâàåò âòîðîé. Âåðîÿòíîñòü ýòîãî ñîáûòèÿ ðàâíà
10
, à øàíñû íà óñïåõ âòîðîãî çàêëþ÷åííîãî â ýòîì ñëó÷àå
90
90
80
ðàâíû
. Ñ âåðîÿòíîñòüþ
êîðîáêà ñ ôàìèëèåé ïåðâîãî
99
90
óçíèêà ïîïàäåò â ÷èñëî êîðîáîê, îòêðûâàåìûõ âòîðûì. Â
ýòîì ñëó÷àå âåðîÿòíîñòü óñïåõà âòîðîãî çàêëþ÷åííîãî ðàâíà
89
90
. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî øàíñû ïåðâîãî óçíèêà íà óñïåõ
,
99
100
îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì, ÷òî âåðîÿòíîñòü îáíàðóæåíèÿ «ñâîèõ
êîðîáîê»
îáîèìè
çàêëþ÷åííûìè
ðàâíà
90 æ 10 90 80 89 ö 401
. Ýòî, êîíå÷íî, áîëüøå, ÷åì
×ç
×
+
× ÷ =
100 è 90 99 90 99 ø 495
1
0,81, íî íåçíà÷èòåëüíî – âñåãî-òî íà
. Ïîýòîìó è ïðè
9900
ñàìîé îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèè óçíèêàì íè÷åãî íå ñâåòèò! Ïðè
îñòàëüíûõ ñòðàòåãèÿõ âåðîÿòíîñòü, åñòåñòâåííî, áóäåò ëåæàòü â äèàïàçîíå ìåæäó äâóìÿ íàéäåííûìè çíà÷åíèÿìè.
– ß âîñõèùåí âàøèìè ïîçíàíèÿìè â ìàòåìàòèêå, êîëëåãà!
– Íè÷åãî óäèâèòåëüíîãî – â ñèñòåìó èñïîëíåíèÿ íàêàçàíèé ÿ ïîïàë ñëó÷àéíî, à îáðàçîâàíèå ó ìåíÿ ìàòåìàòè÷åñêîå.
Âîò îíî è ïðèãîäèëîñü.
Íà ñëåäóþùèé äåíü óçíèêè òþðüìû Áëýêà íà÷àëè èãðó.
Èñïûòàíèå ïðîõîäèëî â ïðèñóòñòâèè áäèòåëüíîé îõðàíû,
ïðåäñòàâèòåëåé ïðåññû è íàáëþäàòåëåé îò îïïîçèöèè (ïðåçèäåíò Ìèðàôëîðåñ íå õîòåë, ÷òîáû åãî îáâèíèëè â ïîäòàñîâêå). Ðàçóìååòñÿ, çäåñü æå áûëè Áëýê è Óàéò.
Óçíèêè îäèí çà äðóãèì çàõîäèëè â êîìíàòó è, îòêðûâàÿ
êîðîáêè â êàêîì-òî çàìûñëîâàòîì ïîðÿäêå, ðàíî èëè ïîçäíî
íàõîäèëè çàïèñêó ñî ñâîåé ôàìèëèåé.
ÊÐÓÆÎÊ
"#
Áëýê áûë ñïîêîåí è äàæå óëûáàëñÿ.
– Òî, ÷òî íåñêîëüêî ÷åëîâåê, ñêîðåå âñåãî, íàéäóò «ñâîè
êîðîáêè», ìíå áûëî î÷åâèäíî çàðàíåå. Íî øàíñû èõ ïîïðåæíåìó ìèçåðíû, – øåïíóë îí Óàéòó.
Êîãäà ÷èñëî óçíèêîâ, óñïåøíî ïðîøåäøèõ èñïûòàíèå,
ïåðåâàëèëî çà âòîðîé äåñÿòîê, óëûáêà Áëýêà ñòàëà íàòÿíóòîé. Ïî ìåðå òîãî, êàê ÷èñëî «âåçóí÷èêîâ» ïðèáëèæàëîñü ê
ñîòíå, Áëýê òåìíåë, êàê ãðîçîâàÿ òó÷à. Ê òîìó ìîìåíòó,
êîãäà ïîñëåäíèé óçíèê óñïåøíî ïðîøåë èñïûòàíèå, åãî ëèöî
ïîëíîñòüþ ñîîòâåòñòâîâàëî ôàìèëèè.
– Íåâåðîÿòíî! Êîøìàðíîå âåçåíèå! Ïðåñòóïíèêè! Áàíäèòû! Óãîëîâíèêè! Èì óäàëîñü ïîïàñòü â òûñÿ÷íûå äîëè
ïðîöåíòà!
– Ó ìîèõ ýòîò ôîêóñ íå ïðîéäåò, – íàáû÷èëñÿ Óàéò. –
Ïóñòü îòêðûâàþò ïî 70 êîðîáîê, è áàñòà! Íå÷åãî ñ íèìè
ëèáåðàëüíè÷àòü!
– Íî ýòî æå íå èñïûòàíèå, à ïðÿìîå óáèéñòâî! Èõ øàíñû
÷òî-òî ïîðÿäêà 10 -16 , – ñêàçàë Áëýê, òû÷à îäåðåâåíåâøèìè
ïàëüöàìè â êëàâèøè êàëüêóëÿòîðà.
– Íè÷åãî. Ïîïîëîñêàþò ìîå èìÿ â îïïîçèöèîííîé ïðåññå
è çàáóäóò. Ýòî ëó÷øå, ÷åì ñåñòü â ñâîå æå çàâåäåíèå. Âû âåäü
â êóðñå, ó ìåíÿ òóò íå êóðîðò!
…È âîò íàñòóïèë «äåíü èêñ» äëÿ óçíèêîâ òþðüìû, âîçãëàâëÿåìîé Óàéòîì. Îáà íà÷àëüíèêà âíîâü îêàçàëèñü ñîñåäÿìè íà ýòîì ïðåäñòàâëåíèè.
Ïåðâûé óçíèê äåéñòâîâàë íå ìåíåå çàòåéëèâî, ÷åì áûâøèå çàêëþ÷åííûå òþðüìû Áëýêà. Îòêðûâ î÷åðåäíóþ êîðîáêó, îí âíèìàòåëüíî ÷èòàë ëåæàâøóþ òàì çàïèñêó, íà
íåñêîëüêî ñåêóíä çàìèðàë, çàêàòûâàÿ ãëàçà ê ïîòîëêó, è
óâåðåííî øåë ê äðóãîé êîðîáêå, êàê ïðàâèëî, íå ñîñåäíåé
ñ ïðåäûäóùåé. Íàêîíåö, â òðèäöàòü âòîðîé ïî ñ÷åòó êîðîáêå îí ñ òîðæåñòâóþùåé óëûáêîé îáíàðóæèë çàïèñêó ñî
ñâîåé ôàìèëèåé.
– Ðàíî ðàäóåòñÿ, – çëîáíî ïðîøåïòàë Óàéò, – øàíñîâ,
÷òî îñòàëüíûì 99 çàêëþ÷åííûì òîæå ïîâåçåò, ïî÷òè íåò.
– Îøèáàåòåñü, êîëëåãà! – åõèäíî çàìåòèë Áëýê. – Ãîòîâ
ñïîðèòü íà ÷òî óãîäíî, ÷òî îñòàëüíûå òîæå ïðîéäóò èñïûòàíèå.
– Àõ, òàê? Òîãäà ïðåäëàãàþ ïàðè. Åñëè ìîè çàêëþ÷åííûå «ñðåæóòñÿ», âû îòïèøåòå ìíå âñå ñâîå èìóùåñòâî. Âñå
ðàâíî â òþðüìå îíî âàì íè ê ÷åìó. Åñëè æå è ìíå ïðèäåòñÿ
âûïóñòèòü ñâîèõ çàêëþ÷åííûõ, òî ÿ ãîòîâ îòäàâàòü âàì
ñàõàð è ìàñëî èç ñâîåé ïàéêè (ïðåçèäåíò â ïðèâàòíîì
ðàçãîâîðå íàìåêíóë ìíå, ÷òî ïðè òàêîì èñõîäå íàñ ïîìåñòÿò â îäíó êàìåðó). ß ïîíèìàþ, ÷òî óñëîâèÿ ïàðè íåñêîëüêî íåðàâíûå. Íî âû ñàìè ïðåäëîæèëè ñïîðèòü íà ÷òî
óãîäíî.
Ê óäèâëåíèþ Óàéòà, Áëýê ñîãëàñèëñÿ íà òàêèå óñëîâèÿ.
Íî îí áûë ïðîñòî ïîðàæåí, êîãäà Áëýê âûøåë ïîáåäèòåëåì!
Ïðèìåðíî ÷åðåç ìåñÿö ïîñëå îïèñûâàåìûõ ñîáûòèé ãîñïîäà Áëýê & Óàéò êîðîòàëè âå÷åð â òåñíîâàòîé, íî âñåòàêè îòäåëüíîé êàìåðå-«äâóøêå». Èç óâàæåíèÿ ê ïðåæíèì
çàñëóãàì ê íèì áîëüøå íèêîãî íå ïîäñåëèëè.
– Ðàññêàæèòå, êàê âñå-òàêè âàì óäàëîñü äîãàäàòüñÿ, ÷òî
ìîè çàêëþ÷åííûå âûäåðæàò èñïûòàíèå, óæå ïîñëå âèçèòà
ïåðâîãî èç íèõ? – ñïðîñèë Óàéò, ñ îòâðàùåíèåì îòõëåáûâàÿ èç êðóæêè ïðåñíûé òþðåìíûé ÷àé.
– Íà ñàìîì äåëå ÿ ïîíÿë âñå ãîðàçäî ðàíüøå, êîãäà
âíèìàòåëüíî ïîíàáëþäàë çà òåì, êàê îòêðûâàëè êîðîáêè
óçíèêè ìîåé òþðüìû. Îíè çíàëè, ÷òî âñå êîðîáêè ñ èõ
ôàìèëèÿìè ïðîíóìåðîâàíû ÷èñëàìè îò 1 äî 100. Òîãäà îíè
è ñåáå ïðèñâîèëè íîìåðà îò 1 äî 100.
– Íî ÷òî ýòî äàåò?
– Ýòî ïîçâîëÿåò îðãàíèçîâàòü, ñêàæåì òàê, «êîëüöåâóþ
ñõåìó». Êàæäûé èç íèõ ñíà÷àëà îòêðûâàë êîðîáêó, íîìåð
"$
ÊÂÀÍT 2008/¹5
êîòîðîé ðàâåí åãî ñîáñòâåííîìó íîìåðó. Çàòåì îí îòêðûâàë êîðîáêó, íîìåð êîòîðîé ñîâïàäàåò ñ íîìåðîì òîãî
óçíèêà, ôàìèëèþ êîòîðîãî îí óâèäåë â ïåðâîé êîðîáêå.
Ôàìèëèÿ óçíèêà â ýòîé êîðîáêå óêàçûâàëà íîìåð êîðîáêè,
êîòîðóþ ñëåäîâàëî îòêðûòü íà òðåòüåì øàãå. È òàê äàëåå.
Äî ÷åãî ìû, â êîíöå êîíöîâ, äîáåðåìñÿ, âðåìåííî äîïóñòèâ, ÷òî óçíèêó ðàçðåøàåòñÿ ðàñêðûòü õîòü âñå êîðîáêè?
Ðàíî èëè ïîçäíî â î÷åðåäíîé êîðîáêå âñòðåòèòñÿ åãî ñîáñòâåííàÿ ôàìèëèÿ è, òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷èâøååñÿ «êîëüöî» çàìêíåòñÿ. Îíî ìîæåò, â ÷àñòíîì ñëó÷àå, ñîäåðæàòü
äàæå âñåõ óçíèêîâ (õîòÿ ìîæåò è ëèøü îäíîãî). Åñëè íå
âñå óçíèêè îêàçàëèñü â òàêîì «êîëüöå», âûáåðåì ëþáîãî
«íåçàäåéñòâîâàííîãî» è ïîâòîðèì òå æå îïåðàöèè. Ïîëó÷èòñÿ âòîðîå êîëüöî, ïîòîì òðåòüå è òàê äàëåå, ïîêà óçíèêè íå êîí÷àòñÿ. Òàê ÷òî â èòîãå âñå óçíèêè îêàæóòñÿ
«óêîìïëåêòîâàíû» â êîëüöà. Â óíèâåðñèòåòå íàì ðàññêàçûâàëè, ÷òî ýòî íàçûâàåòñÿ ðàçëîæåíèåì ïåðåñòàíîâêè â
ïðîèçâåäåíèå íåçàâèñèìûõ öèêëîâ. Æàëü, ÷òî ÿ ïîçäíî
ïðî ýòî âñïîìíèë!
– À ÿ âîîáùå íå çíàë…
– Íà ýòîì, – ïðîäîëæèë ïîâåñòâîâàíèå Áëýê, – è áûëà
îñíîâàíà ñòðàòåãèÿ óçíèêîâ. Îíà îêàçûâàåòñÿ âåñüìà ýôôåêòèâíîé, äàæå åñëè óçíèêàì ðàçðåøåíî îòêðûâàòü íå
áîëåå 70 êîðîáîê. Åñëè âñå èìåþùèåñÿ êîëüöà ñîñòîÿò íå
áîëåå ÷åì èç 70 óçíèêîâ êàæäîå, òî êàæäûé óçíèê, ñäåëàâ
íå áîëåå 70 õîäîâ, íåïðåìåííî íàòêíåòñÿ íà ñâîþ ôàìèëèþ! È âåðîÿòíîñòü âûõîäà âñåõ óçíèêîâ íà âîëþ ñ ãîëîâîé íà ïëå÷àõ ïðîñòî-íàïðîñòî ðàâíà âåðîÿòíîñòè òîãî, ÷òî
âñå öèêëû îêàçàëèñü íå äëèííåå 70 ÷åëîâåê!
– È êàêîâà æå ýòà âåðîÿòíîñòü?
– Ïîäñ÷èòàòü íåòðóäíî. Äëÿ íà÷àëà íàéäåì âåðîÿòíîñòü
òîãî, ÷òî îáðàçîâàëñÿ öèêë ðîâíî èç k ÷åëîâåê, ãäå k > 70.
Ïîíÿòíî, ÷òî åñëè òàêîé öèêë åñòü, òî äðóãèõ öèêëîâ
äëèíîé ñâûøå 70 ÷åëîâåê áûòü íå ìîæåò. Êîëè÷åñòâî ñïîñîáîâ âûáðàòü k ÷åëîâåê èç 100 ðàâíî, êàê èçâåñòíî èç
100!
. Âîñêëèöàòåëüíûé çíàê â äàíêîìáèíàòîðèêè,
k ! (100 - k) !
íîì ñëó÷àå – íå ïðèçíàê ãðîìêîñòè, à ïðîèçâåäåíèå âñåõ
íàòóðàëüíûõ ÷èñåë îò åäèíèöû äî çàäàííîãî ÷èñëà (íàçûâàåòñÿ «ôàêòîðèàë»). Ïðè ýòîì k ÷åëîâåê, ïîïàâøèõ â
öèêë, ìîæíî óïîðÿäî÷èòü (k – 1)! ñïîñîáàìè…
– À ýòî ïî÷åìó?
– Ïîÿñíÿþ. Èç òåõ k ÷åëîâåê, ÷òî ïîïàëè â öèêë, âûáåðåì
òîãî, ó êîòîðîãî íàèìåíüøèé íîìåð. Ñëåäóþùèì çà íèì ïî
öèêëó ìîæåò áûòü ëþáîé èç îñòàëüíûõ (k – 1) ÷ëåíîâ ýòîãî
öèêëà, à ñëåäóþùèì – îäèí èç (k – 2) îñòàëüíûõ, è òàê äàëåå.
Èòîãî, ïîëó÷àåì
k - 1 ´ k - 2 ´ K ´ 2 ´ 1 = k - 1 !
ñïîñîáîâ. Îñòàëüíûõ æå (100 – k) ÷åëîâåê, íå ïîïàâøèõ â
öèêë, ìîæíî, åñòåñòâåííî, óïîðÿäî÷èòü (100 – k)! ñïîñîáàìè. Òàêèì îáðàçîì, ñïîñîáîâ îáðàçîâàòü öèêë ðîâíî èç k
÷åëîâåê èìååòñÿ
100!
100!
´ (k - 1) ! ´ (100 - k ) ! =
.
k ! (100 - k) !
k
Âñåãî æå åñòü 100! ñïîñîáîâ óïîðÿäî÷èòü âñåõ 100 óçíèêîâ.
Îêîí÷àòåëüíî âåðîÿòíîñòü îáðàçîâàíèÿ êîëüöà ðîâíî èç k
100!
1
: 100! = . Î÷åíü ïðîñòî!
óçíèêîâ ðàâíà
k
k
– Íî ïîäîæäèòå, òîãäà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îáðàçîâàëñÿ
öèêë, ñîñòîÿùèé íå ìåíåå ÷åì èç 71 óçíèêà, ðàâíà ñóììå
1
1
1
+
+K+
. Íè÷åãî ñåáå – ïðîñòî! Êàê æå ÿ ýòî
71 72
100
ïîäñ÷èòàþ? Òðèäöàòü äðîáåé íà áóìàæêå ñêëàäûâàòü? Êàëü-
êóëÿòîðû-òî ó íàñ îòîáðàëè. Îñòàâèëè òîëüêî âîò «×åòûðåõçíà÷íûå ìàòåìàòè÷åñêèå òàáëèöû»…
– Íè÷åãî, è ýòîãî õâàòèò. Åùå Ýéëåð äîêàçàë, ÷òî ñóììà
1 1
1
1+ + +K+
äîâîëüíî áëèçêà ê ln N + C , ãäå Ñ =
N
2 3
= 0,577… – ïîñòîÿííàÿ Ýéëåðà, ïðè÷åì ÷åì áîëüøå N, òåì
òî÷íåå ýòî ðàâåíñòâî. Ïîýòîìó ìû ìîæåì çàïèñàòü
1
1
1
+
+K+
=
71 72
100
1 1
1 ö æ
1 1
1ö
æ
= ç1 + + + K +
÷ - ç1 + + + K + ÷ø »
è
2 3
100 ø è
2 3
70
æ 10 ö
» ln 100 + C - ln 70 + C = ln ç ÷ » ln 1,428 » 0,357 .
è 7ø
Çíà÷èò, âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî íå íàéäåòñÿ íè îäíîãî ñòîëü
äëèííîãî öèêëà (è, ñëåäîâàòåëüíî, ÷òî âñå óçíèêè íàéäóò
ñâîè ôàìèëèè), ðàâíà ïðèìåðíî 1 – 0,357 = 0,643 – ïî÷òè
äâå òðåòüèõ! Ìåæäó ïðî÷èì, â ìîåé òþðüìå, ñ ðàçðåøåíèåì
îòêðûâàòü 90 êîðîáîê (íó ÿ è ëîïóõ!), ýòà âåðîÿòíîñòü áûëà
åùå áîëüøå, ïîñêîëüêó
1
1
1
1 1
1 ö
æ
+
+K+
= ç1 + + + K +
÷91 92
100 è
2 3
100 ø
1 1
1ö
æ
æ 10 ö
- ç1 + + + K + ÷ » ln ç ÷ » 0,105,
è
è9ø
2 3
90 ø
òî îíà ðàâíÿëàñü ïðèìåðíî 1 – 0,105 = 0,895. Ðåçóëüòàò íàëèöî: ìû îáà â ýòîé êàìåðå!
– Íî ïðè èñïûòàíèè â ìîåé òþðüìå âû ïîäîçðèòåëüíî
áûñòðî – ñðàçó ïîñëå âèçèòà ïåðâîãî óçíèêà – îïðåäåëèëè,
÷òî â ðàçëîæåíèè ïåðåñòàíîâêè íåò öèêëîâ äëèííåå 70.
Êàêèì îáðàçîì?
– Ýëåìåíòàðíî! ß óâèäåë, ÷òî è â âàøåé òþðüìå óçíèêè
äîäóìàëèñü äî êîëüöåâîé ñòðàòåãèè. Ïåðâûé èç íèõ îáíàðóæèë ñâîþ ôàìèëèþ â òðèäöàòü âòîðîé ïî ñ÷åòó êîðîáêå.
Çíà÷èò, â ïåðåñòàíîâêó âõîäèò öèêë äëèíû 32. Íî òîãäà â íåé
íå ìîãóò ñîäåðæàòüñÿ öèêëû, äëèíà êîòîðûõ ïðåâûøàåò 68
è óæ òåì áîëåå 70.
– À êàê æå ïîíèìàòü âîñêëèöàíèÿ î ôàíòàñòè÷åñêîì
âåçåíèè âàøèõ çàêëþ÷åííûõ? – ïîèíòåðåñîâàëñÿ Óàéò.
– Ïðèçíàþñü ÷åñòíî, ÿ ëóêàâèë. Âñå-òàêè êóäà ïðèÿòíåå
äåëèòü íàðû ñî çíàêîìûì èíòåëëèãåíòíûì ÷åëîâåêîì. À òî
ïîäñàäÿò ê êàêîìó-íèáóäü çëîäåþ… Ê òîìó æå, ÿ î÷åíü
ëþáëþ ñëàäêèé ÷àé.  îáùåì, êîå-êàêàÿ ïîëüçà îò çíàíèÿ
ìàòåìàòèêè âñå æå åñòü, – ôèëîñîôñêè çàìåòèë Áëýê,
íàìàçûâàÿ íà êóñîê õëåáà âòîðóþ ïîðöèþ ìàñëà.
Óàéò ãîëîäíûìè ãëàçàìè îòñëåæèâàë åãî äâèæåíèÿ.
– È âîîáùå, – îòå÷åñêèì òîíîì äîáàâèë Áëýê, – êàê
ãîâîðèò íàðîäíàÿ ìóäðîñòü, â òþðüìå òîëüêî ïåðâûå äåñÿòü
ëåò ïëîõî, ïîòîì ïðèâûêàåøü. Òîëüêî, ïîæàëóéñòà, íå
óìèðàéòå çäåñü ðàíüøå ìåíÿ. Ìíå áåç âàøåãî ñàõàðà ñ
ìàñëîì áóäåò î÷åíü íåëåãêî.
Ïðèìå÷àíèå. Àâòîðû áëàãîäàðíû äàòñêîìó ñïåöèàëèñòó
â îáëàñòè èíôîðìàòèêè Ïåòåðó Áðî Ìèëòåðñåíó, ïî ìîòèâàì çàäà÷è êîòîðîãî íàïèñàíà äàííàÿ ñòàòüÿ, à òàêæå ïåòåðáóðãñêîìó ìàòåìàòèêó Ìèõàèëó Ìèòðîôàíîâó, ïîçíàêîìèâøåìó àâòîðîâ ñ ýòîé çàäà÷åé.
ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ
Ïîòåíöèàëüíàÿ
ýíåðãèÿ
êóëîíîâñêîãî
âçàèìîäåéñòâèÿ
À.×ÅÐÍÎÓÖÀÍ
Ç
ÀÄÀ×È ÍÀ ÄÂÈÆÅÍÈÅ ÇÀÐßÆÅÍÍÛÕ ×ÀÑÒÈÖ ÐÅÄÊÎ
óäàåòñÿ ðåøèòü, îãðàíè÷èâàÿñü âòîðûì çàêîíîì Íüþòîíà
è êèíåìàòèêîé, íå âûõîäÿùåé çà ðàìêè ðàâíîóñêîðåííîãî
äâèæåíèÿ. Èñêëþ÷åíèå – äâèæåíèå çàðÿæåííîé ÷àñòèöû â
îäíîðîäíîì ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå èëè ïî îêðóæíîñòè âîêðóã
êóëîíîâñêîãî öåíòðà.  îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ, êîãäà ðàññòîÿíèå ìåæäó çàðÿæåííûìè ÷àñòèöàìè ìåíÿåòñÿ, íåîáõîäèìî
èñïîëüçîâàòü çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè.
Íà÷íåì ñ çàäà÷, â êîòîðûõ ðàññìàòðèâàåòñÿ äâèæåíèå
îäíîé çàðÿæåííîé ÷àñòèöû âî âíåøíåì ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå
îäíîãî èëè íåñêîëüêèõ íåïîäâèæíûõ çàðÿäîâ. Çäåñü óäîáíî
ïðèìåíÿòü òåîðåìó î êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè:
mv22 mv12
= Aýë ,
2
2
ãäå ðàáîòà ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ðàçíîñòü
ïîòåíöèàëîâ:
Aýë = q (ϕ1 - ϕ2 ) .
Åñëè ïðèíÿòü ïîòåíöèàë íà áåñêîíå÷íîñòè ðàâíûì íóëþ, òî
â íà÷àëüíîé è êîíå÷íîé òî÷êàõ äâèæåíèÿ ÷àñòèöû åãî íàäî
âû÷èñëÿòü ñ ïîìîùüþ ïðèíöèïà ñóïåðïîçèöèè:
ϕ=
åk
i
Qi
,
ri
ãäå ñóììèðîâàíèå âåäåòñÿ ïî âñåì íåïîäâèæíûì çàðÿäàì Qi
(èñòî÷íèêàì ïîëÿ), ri – ðàññòîÿíèå îò i-ãî çàðÿäà äî òîé
òî÷êè, ãäå âû÷èñëÿåòñÿ ïîòåíöèàë, à k = 9 × 109 Äæ × ì Êë2
– ýëåêòðè÷åñêàÿ ïîñòîÿííàÿ.
Îäíàêî â êà÷åñòâå ïåðâîãî ïðèìåðà ìû ðàññìîòðèì çàðÿæåííóþ ÷àñòèöó â îäíîðîäíîì ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå, íî â
òàêîé ñèòóàöèè, ãäå áåç ýíåðãèè íå îáîéòèñü.
Çàäà÷à 1. Øàðèê ìàññîé 5 ã è çàðÿäîì 2 ìÊë ïîäâåøåí
íà íèòè äëèíîé 1 ì â ãîðèçîíòàëüíîì ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå ñ íàïðÿæåííîñòüþ
20 Â/ì. Øàðèê ñíà÷àëà óäåðæèâàþò â íèæíåì ïîëîæåíèè, à çàòåì
îòïóñêàþò. Íàéäèòå
íàòÿæåíèå íèòè â òîò
ìîìåíò, êîãäà øàðèê
ïîäíèìåòñÿ íà 20 ñì
âûøå íà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ.
Ðåøåíèå. Çàïèøåì
âòîðîé çàêîí Íüþòîíà â
ïðîåêöèè íà ðàäèàëüíîå
Ðèñ. 1
íàïðàâëåíèå (ðèñ.1):
v2
,
l
ãäå cos α = (l - h ) l = (1 - 0,2) 1 = 0,8 , sin α = 0,6 . Êâàäðàò
ñêîðîñòè íàéäåì ñ ïîìîùüþ òåîðåìû î êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè
mv2
- 0 = Aýë + Aãðàâ .
2
Êàæäóþ èç ðàáîò – ýëåêòðè÷åñêîé è ãðàâèòàöèîííîé ñèë –
ìîæíî âû÷èñëèòü â ëîá, çàìåíèâ èñòèííóþ òðàåêòîðèþ íà
ëîìàíóþ ÀÂÑ (íàïîìíèì, ÷òî ðàáîòà êàæäîé èç ýòèõ ñèë íå
çàâèñèò îò òðàåêòîðèè):
T - mg cos α - qE sin α = m
Aýë = qE × BC = qEd = qEl sin α,
Aãðàâ = -mg × AB = -mgh = -mgl (1 - cos α ) .
Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì
T = mg 3 cos α - 2 + 3qE sin α = 92 ìÍ.
Çàìåòèì, ÷òî ðàáîòó ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ìîæíî áûòü
âûðàçèòü ÷åðåç ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ ñ èñïîëüçîâàíèåì
ôîðìóëû äëÿ ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ â îäíîðîäíîì ïîëå:
Aýë = q (ϕ1 - ϕ2 ) = q × Ed = qE × BC ,
à ðàáîòó ñèëû òÿæåñòè – ÷åðåç ðàçíîñòü ïîòåíöèàëüíûõ
ýíåðãèé:
Aãðàâ = W1 - W2 = -mgh .
Çàäà÷à 2. Âîçëå ïîâåðõíîñòè øàðà ðàäèóñîì 6 ñì, ðàâíîìåðíî çàðÿæåííîãî çàðÿäîì 4 íÊë, íàõîäèòñÿ ÷àñòèöà
ìàññîé 30 ìã è çàðÿäîì 2 íÊë. ×àñòèöó îñâîáîæäàþò.
Íàéäèòå ñêîðîñòü ÷àñòèöû â òîò ìîìåíò, êîãäà îíà
óäàëèòñÿ îò ïîâåðõíîñòè øàðà íà ðàññòîÿíèå, ðàâíîå åãî
ðàäèóñó.
Ðåøåíèå. Ïîñêîëüêó ïîëå âíå ðàâíîìåðíî çàðÿæåííîãî
øàðà ñîâïàäàåò ñ ïîëåì òî÷å÷íîãî çàðÿäà, íàõîäÿùåãîñÿ â
åãî öåíòðå, òî ïîòåíöèàëû ïîëÿ øàðà â íà÷àëüíîé è êîíå÷íîé
òî÷êàõ äâèæåíèÿ ñîñòàâëÿþò
Q
Q
ϕ1 = k
è ϕ2 = k
.
R
2R
Ïîäñòàâëÿÿ ïîòåíöèàëû â òåîðåìó î êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè
mv2
- 0 = q (ϕ1 - ϕ2 ) ,
2
íàéäåì
v=
kqQ
= 20 ñì/ñ.
mR
Çàäà÷à 3. Äâà òî÷å÷íûõ çàðÿäà ïî 10 íÊë êàæäûé
çàêðåïëåíû íà ðàññòîÿíèè 4 ñì äðóã îò äðóãà. Ïîñåðåäèíå
ìåæäó çàðÿäàìè ïîìåùàþò çàðÿæåííóþ ÷àñòèöó ìàññîé
2 ìã è çàðÿäîì 36 íÊë è îòïóñêàþò. Êàêóþ ñêîðîñòü
ïðèîáðåòåò ÷àñòèöà íà áîëüøîì ðàññòîÿíèè îò çàðÿäîâ?
Ðåøåíèå. Ñíà÷àëà îòâåòèì íà âîïðîñ, êîòîðûé ÷àñòî
âîçíèêàåò ó âíèìàòåëüíûõ øêîëüíèêîâ: ïî÷åìó ÷àñòèöà
âîîáùå êóäà-òî äîëæíà óëåòåòü, åñëè îíà íàõîäèòñÿ â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ? Äåëî â òîì,
÷òî ýòî ñîñòîÿíèå íåóñòîé÷èâîãî ðàâíîâåñèÿ – ïðè íåáîëüøîì ñìåùåíèè â ñòîðîíó
(ðèñ.2) ðàâíîäåéñòâóþùàÿ
êóëîíîâñêèõ ñèë áóäåò íàïðàâëåíà îò òî÷êè ðàâíîâåñèÿ,
ò.å. ÷àñòèöà íà÷íåò ðàçãîíÿòüñÿ è óëåòèò íà áåñêîíå÷íîñòü. Ðèñ. 2
"&
ÊÂÀÍT 2008/¹5
Òåïåðü – ñîáñòâåííî ðåøåíèå. Ïîòåíöèàë â íà÷àëüíîé
òî÷êå äâèæåíèÿ ðàâåí
Q
ϕ1 = 2 × k
,
l2
à â êîíå÷íîé (íà áåñêîíå÷íîñòè) îí íóëåâîé:
ϕ2 = 0 .
Ïîýòîìó òåîðåìà î êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè èìååò âèä
mv2
æ 4Q
ö
- 0 = q çk
- 0÷ ,
è l
ø
2
îòêóäà
8kqQ
= 18 ì/ñ.
ml
Çàäà÷à 4. Ïî òîíêîìó çàêðåïëåííîìó êîëüöó ðàäèóñîì
6 ñì ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåí çàðÿä 40 íÊë.  öåíòð êîëüöà ïîìåùàþò ÷àñòèöó ñ çàðÿäîì 12 íÊë è ìàññîé 9 ìã è
îòïóñêàþò. ×åìó áóäåò ðàâíà ñêîðîñòü ÷àñòèöû íà áîëüøîì ðàññòîÿíèè îò êîëüöà?
Ðåøåíèå. Îòìåòèì ñðàçó, ÷òî â ýòîé çàäà÷å, êàê è â
ïðåäûäóùåé, äâèæåíèå íà÷èíàåòñÿ èç òî÷êè íåóñòîé÷èâîãî
ðàâíîâåñèÿ. Êîíå÷íûé ïîòåíöèàë (íà áîëüøîì ðàññòîÿíèè)
ðàâåí íóëþ:
v=
ϕ2 = 0 ,
à äëÿ âû÷èñëåíèÿ íà÷àëüíîãî ïîòåíöèàëà (â öåíòðå êîëüöà)
íàäî ïðèìåíèòü ïðèíöèï ñóïåðïîçèöèè, ðàçáèâ êîëüöî íà
ìàëåíüêèå êóñî÷êè, êîòîðûå ìîæíî ñ÷èòàòü òî÷å÷íûìè çàðÿäàìè. Ïîòåíöèàë öåíòðà êîëüöà (êàê ëþáîé òî÷êè íà åãî îñè)
âû÷èñëÿåòñÿ ïðîñòî áëàãîäàðÿ òîìó, ÷òî ðàññòîÿíèÿ äî âñåõ
òî÷å÷íûõ çàðÿäîâ îäèíàêîâû:
ϕ1 =
åk
i
∆Qi
k
Q
= å ∆Qi = k .
R
R i
R
Çàìåòèì, ÷òî ϕ1 íå çàâèñèò îò òîãî, êàê ðàñïðåäåëåí çàðÿä
Q ïî êîëüöó – ðàâíîìåðíî èëè íåðàâíîìåðíî. Ïîäñòàâëÿÿ
ïîòåíöèàëû â òåîðåìó î êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè
mv2
æ Q
ö
- 0 = q ç k - 0÷ ,
è R
ø
2
Çàäà÷à 5. ×åòûðå îäèíàêîâûõ çàðÿäà ïî 2 ìêÊë êàæäûé
ðàñïîëîæåíû íà ïðÿìîé ëèíèè. Ðàññòîÿíèå ìåæäó ñîñåäíèìè çàðÿäàìè 60 ñì. Êàêóþ ðàáîòó íàäî ñîâåðøèòü, ÷òîáû
ðàçìåñòèòü ýòè çàðÿäû â âåðøèíàõ ïðàâèëüíîãî òåòðàýäðà ñ ðåáðîì 60 ñì?
Ðåøåíèå. Äëÿ ÷åòûðåõ çàðÿäîâ 1–4 ìîæíî Ðèñ. 3
âûäåëèòü øåñòü ïàð
(ðèñ.3): 1–2, 2–3, 3–4, 1–3, 2–4 è 1–4. Íà÷àëüíàÿ ýíåðãèÿ
ñèñòåìû ðàâíà
q2
q2
q2 13 q2
Wíà÷ = 3 × k
k
+ 2×k
+k
=
,
2l
3l
3
l
l
à êîíå÷íàÿ ýíåðãèÿ ñîñòàâëÿåò
q2
Wêîí = 6 × k
.
l
Ðàáîòà âíåøíèõ ñèë ðàâíà èçìåíåíèþ ýíåðãèè ñèñòåìû:
A = Wêîí - Wíà÷ =
5 q2
= 100 ìÄæ.
k
3 l
Òåïåðü ðàññìîòðèì íåñêîëüêî çàäà÷ íà çàêîí ñîõðàíåíèÿ
ýíåðãèè.
Çàäà÷à 6. Äâå ÷àñòèöû ìàññîé 2 ìã è çàðÿäîì 10 íÊë
êàæäàÿ íàõîäÿòñÿ íà ðàññòîÿíèè 5 ñì äðóã îò äðóãà, à
ïîñåðåäèíå ìåæäó íèìè çàêðåïëåí òî÷å÷íûé çàðÿä 60 íÊë.
×àñòèöû îäíîâðåìåííî îòïóñêàþò. ×åìó áóäåò ðàâíà
ñêîðîñòü ÷àñòèö ïîñëå èõ ðàçëåòà íà áîëüøîå ðàññòîÿíèå?
Ðåøåíèå. Èç ñîîáðàæåíèé ñèììåòðèè ÿñíî,
÷òî êîíå÷íûå ñêîðîñòè
÷àñòèö îäèíàêîâû. Ïî- Ðèñ. 4
òåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ â
êîíå÷íîì ñîñòîÿíèè ðàâíà íóëþ, à â íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè
ñîñòàâëÿåò (ðèñ.4)
qQ
q2
Wíà÷ = 2 × k
+k
.
r 2
r
Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè çàïèøåì â âèäå
ïîëó÷àåì
v=
2kqQ
= 4 ì/ñ.
mR
 ïîñëåäóþùèõ çàäà÷àõ óäîáíåå ïðèìåíÿòü íå òåîðåìó î
êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè, à çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìåõàíè÷åñêîé
ýíåðãèè. Òàêîé ïîäõîä îêàçûâàåòñÿ îñîáåííî ðàçóìíûì â òåõ
ñëó÷àÿõ, êîãäà â äâèæåíèè îäíîâðåìåííî ó÷àñòâóþò íåñêîëüêî çàðÿæåííûõ ÷àñòèö. Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ äâóõ òî÷å÷íûõ çàðÿäîâ èìååò âèä
W12 = k
q1q2
,
r12
à ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû íåñêîëüêèõ çàðÿäîâ ðàâíà
ñóììå âñåõ ýíåðãèé ïàðíûõ âçàèìîäåéñòâèé:
W =
å Wij .
0+k
q ( 4Q + q)
mv2
= 2×
+ 0,
2
r
v=
kq (4Q + q)
= 15 ì/ñ.
mr
îòêóäà íàéäåì
Çàìåòèì, ÷òî ýòó çàäà÷ó ìîæíî ðåøàòü è ñ ïîìîùüþ
òåîðåìû î êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ðàáîòû
ýëåêòðè÷åñêèõ ñèë íàäî èñïîëüçîâàòü òîò ôàêò, ÷òî îíà íå
çàâèñèò îò ñïîñîáà ïåðåíîñà ÷àñòèö èç íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ
â êîíå÷íîå, è ïåðåíåñòè ÷àñòèöû íà áåñêîíå÷íîñòü ïî î÷åðåäè
– ñíà÷àëà îäíó, à ïîòîì äðóãóþ (ïîïðîáóéòå ñäåëàòü ýòî
ñàìè). Íàîáîðîò, íåêîòîðûå èç ðàçîáðàííûõ ðàíåå çàäà÷
ìîæíî ðåøàòü ÷åðåç çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè. Íàïðèìåð,
â çàäà÷å 3 ýòîò çàêîí çàïèøåòñÿ òàê:
i< j
 ýòèõ ôîðìóëàõ çà íîëü ïðèíÿòà ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ
ñèñòåìû â ñîñòîÿíèè, êîãäà âñå çàðÿäû óäàëåíû äðóã îò äðóãà
íà î÷åíü áîëüøîå ðàññòîÿíèå.
×òîáû ëó÷øå ïî÷óâñòâîâàòü ïîíÿòèå ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ñèñòåìû çàðÿäîâ, ðàçáåðåì ïðîñòîé ïðèìåð íà åå âû÷èñëåíèå.
0 + 2×k
qQ
Q2 mv2
Q2
+k
=
+k
l2
l
l
2
(âèäíî, ÷òî ïîñêîëüêó çàðÿäû Q íå ñäâèãàþòñÿ ñ ìåñòà, òî
ýíåðãèþ èõ âçàèìîäåéñòâèÿ ìîæíî íå ó÷èòûâàòü – îíà âñå
ðàâíî ñîêðàùàåòñÿ). Âûáîð ìåòîäà îïðåäåëÿåòñÿ óäîáñòâîì
äëÿ äàííîé êîíêðåòíîé çàäà÷è è âàøèì âêóñîì.
È ÒÊÈÓ×ÌÅ ÑÀÊÁÈÈÉÒ ÓÊÐÐÈÓÅÆ
ÍÎ
ÒÀ
ÌÏÀÐÒÀÅÊÌÒ À
Ê
Ýíåðãåòè÷åñêèé ïîäõîä ìîæíî òàêæå ñ óñïåõîì ïðèìåíÿòü
â çàäà÷àõ, ãäå êðîìå ýëåêòðè÷åñêîé ïðèñóòñòâóþò äðóãèå
êîíñåðâàòèâíûå ñèëû (ñèëà òÿæåñòè, êàê â çàäà÷å 1, èëè ñèëà
óïðóãîñòè) èëè ñèëà òðåíèÿ, äåéñòâèå êîòîðîé ïðèâîäèò ê
ïåðåõîäó ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè âî âíóòðåííþþ.
Çàäà÷à 7. Äâà íåáîëüøèõ òåëà ìàññîé 100 ã è çàðÿäîì
10 ìêÊë êàæäîå óäåðæèâàþò íà ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè
íà ðàññòîÿíèè 1 ì äðóã îò äðóãà. Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ òåë
î ïëîñêîñòü ðàâåí 0,1. Òåëà îäíîâðåìåííî îñâîáîæäàþò.
Íàéäèòå ìàêñèìàëüíóþ ñêîðîñòü òåë â ïðîöåññå äâèæåíèÿ.
Ðåøåíèå. Åñëè íà äâèæóùèåñÿ òåëà äåéñòâóþò ñèëû
òðåíèÿ, òî ÷àñòü ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè ñèñòåìû ïåðåõîäèò âî
âíóòðåííþþ:
k
q2
q2
mv2
=k
+ 2×
+ ∆Wâí ,
r0
r
2
ïðè÷åì óâåëè÷åíèå âíóòðåííåé ýíåðãèè ðàâíî ðàáîòå ñèë
òðåíèÿ, âçÿòîé ñ ïðîòèâîïîëîæíûì çíàêîì (èëè ïî ìîäóëþ):
∆Wâí = Fòð (r - r0 ) = µmg (r - r0 ) .
Ìàêñèìàëüíàÿ ñêîðîñòü
òåë äîñòèãàåòñÿ â òîò
ìîìåíò, êîãäà èõ óñêîðåíèÿ ðàâíû íóëþ (ðèñ.
5), ò.å. îáðàùàþòñÿ â
íîëü ðàâíîäåéñòâóþùèå êóëîíîâñêîé ñèëû
è ñèëû òðåíèÿ:
Ðèñ. 5
k
2
q
= µmg ,
r2
îòêóäà íàõîäèì ðàññòîÿíèå ìåæäó òåëàìè â ýòîò ìîìåíò:
r=
kq2
= 3 ì.
µmg
Èç ïåðâûõ äâóõ ðàâåíñòâ ïîëó÷àåì
mv2 = k
q2
q2
-k
- µmg (r - r0 ) .
r0
r
Ìîæíî íàéòè èíòåðåñóþùóþ íàñ ñêîðîñòü íåïîñðåäñòâåííî
èç ýòîé ôîðìóëû, íî åñëè ñíà÷àëà ïîäñòàâèòü kq2 = µmgr 2 ,
òî ôîðìóëà óïðîùàåòñÿ:
mv2 = µmg
(r - r0 )2
r0
,
èëè
v=
µg
(r - r0 ) = 2 ì/ñ.
r0
Çàäà÷à 8. Äâà îäèíàêîâûõ øàðèêà çàðÿæåíû îäèíàêîâûìè çàðÿäàìè 0,5 ìêÊë, ñîåäèíåíû ïðóæèíîé æåñòêîñòüþ
6 Í/ì è íàõîäÿòñÿ íà ãëàäêîì ãîðèçîíòàëüíîì ñòîëå.
Âíà÷àëå øàðèêè óäåðæèâàþò íà ðàññòîÿíèè 10 ñì äðóã îò
äðóãà, ïðè ýòîì ïðóæèíà íå äåôîðìèðîâàíà. Çàòåì øàðèêè
îäíîâðåìåííî îòïóñêàþò. Íàéäèòå ìàêñèìàëüíîå ðàññòîÿíèå ìåæäó øàðèêàìè â ïðîöåññå äàëüíåéøåãî äâèæåíèÿ.
Ðåøåíèå.  ýòîì ñëó÷àå íàäî ó÷èòûâàòü êàê ýíåðãèþ
êóëîíîâñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ, òàê è ýíåðãèþ óïðóãîé äåôîðìàöèè. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè çàïèøåì â âèäå
2
k
q2
q2 χ (l - l0 )
,
=k
+
l0
l
2
ãäå χ – æåñòêîñòü ïðóæèíû. Ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèé, ñîêðà-
ùàÿ íà (l - l0 ) , ïðèõîäèì ê êâàäðàòíîìó óðàâíåíèþ
"'
2kq2
= 0,
χl0
ïîëîæèòåëüíûé êîðåíü êîòîðîãî ðàâåí
l 2 - l0l -
l=
l02 2kq2
+
= 15 ñì.
4
χl0
l0
+
2
Çàäà÷à 9. Äâà ìàëåíüêèõ øàðèêà ñîåäèíåíû íåäåôîðìèðîâàííîé ïðóæèíîé äëèíîé 20 ñì è æåñòêîñòüþ 200 Í/ì.
Ïîñëå ñîîáùåíèÿ øàðèêàì çàðÿäîâ îäíîãî çíàêà äëèíà
ïðóæèíû â íîâîì ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ ñòàëà âäâîå áîëüøå. Êàêóþ ðàáîòó íàäî ñîâåðøèòü äëÿ âîçâðàùåíèÿ ïðóæèíû â ïðåæíåå ñîñòîÿíèå?
Ðåøåíèå. Â íîâîì ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ ðàâíîäåéñòâóþùàÿ êóëîíîâñêîé ñèëû è ñèëû óïðóãîñòè ðàâíà íóëþ:
k
q2
(2l0 )2
= χl0 .
Ðàáîòà âíåøíèõ ñèë ðàâíà èçìåíåíèþ ýíåðãèè:
A=k
q2 æ q2 χl02 ö
.
- k
+
l0 çè 2l0
2 ÷ø
Ïîäñòàâëÿÿ ñþäà èç ïåðâîãî ðàâåíñòâà kq2 = 4χl03 , ïîëó÷àåì
A=
3χl02
= 12 Äæ.
2
Çàäà÷à 10. Íà âûñîòå 3 ì íàä çåìëåé çàêðåïëåí çàðÿä
–4 ìêÊë, à ïîä íèì íà âûñîòå 2,2 ì íàõîäèòñÿ ÷àñòèöà
ìàññîé 0,9 ã è çàðÿäîì 1 ìêÊë. Êàêóþ ìèíèìàëüíóþ ñêîðîñòü íàäî ñîîáùèòü ÷àñòèöå âåðòèêàëüíî âíèç, ÷òîáû îíà
äîñòèãëà ïîâåðõíîñòè çåìëè?
Ðåøåíèå.  íà÷àëüíûé ìîìåíò äåéñòâóþùàÿ íà ÷àñòèöó
ñèëà êóëîíîâñêîãî ïðèòÿæåíèÿ áîëüøå, ÷åì ñèëà òÿæåñòè.
Íà ïåðâûé âçãëÿä, íàäî çàïèñàòü çàêîí ñîõðàíåíèÿ
ýíåðãèè, ñâÿçûâàþùèé íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå ÷àñòèöû
ñ êîíå÷íûì, â êîòîðîì îíà
äîñòèãíåò ïîâåðõíîñòè çåìëè ñ íóëåâîé ñêîðîñòüþ. Îäíàêî òàêîé ïîäõîä ìîæåò
ïðèâåñòè ê íåâåðíîìó ðåçóëüòàòó. Íåîáõîäèìî ñíà÷àëà ïðîâåðèòü, ãäå íàõîäèòñÿ òî÷êà À, â êîòîðîé
ñèëà êóëîíîâñêîãî ïðèòÿæåíèÿ ñðàâíÿåòñÿ ñ ñèëîé òÿÐèñ. 6
æåñòè (ðèñ.6). Äåëî â òîì,
÷òî ýòà òî÷êà ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé íåóñòîé÷èâîãî ðàâíîâåñèÿ –
äî íåå ðàâíîäåéñòâóþùàÿ ñèë òîðìîçèò ÷àñòèöó, à ïîñëå íåå
ñèëà òÿæåñòè ñòàíîâèòñÿ áîëüøå êóëîíîâñêîé ñèëû è ÷àñòèöà íà÷èíàåò ðàçãîíÿòüñÿ. Åñëè òî÷êà À áëèæå, ÷åì ïîâåðõíîñòü çåìëè, òî íóæíî ÷àñòèöå ñîîáùèòü ñêîðîñòü, êîòîðàÿ
ïîçâîëèò åé äîñòè÷ü òî÷êè À, à äàëüøå îíà ïîëåòèò ñàìà.
Òî÷êó À íàéäåì òàê:
Qq
kQq
k
= mg , îòêóäà h0 = H = 1 ì.
2
mg
(H - h0 )
Âèäíî, ÷òî òî÷êà À íàõîäèòñÿ íàä ïîâåðõíîñòüþ çåìëè.
Çàïèøåì òåïåðü çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè, ñ÷èòàÿ, ÷òî â
òî÷êå À ñêîðîñòü ÷àñòèöû îáðàòèòñÿ â íîëü:
k
qQ
mv2
qQ
+ mgh1 +
=k
+ mgh0 .
H - h1
H - h0
2
#
ÊÂÀÍT 2008/¹5
2
Ïîäñòàâèâ ñþäà èç ïåðâîãî ðàâåíñòâà kqQ = -mg (H - h0 ) è
ïðîâåäÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ, äëÿ èñêîìîé ñêîðîñòè ïîëó÷èì
v=
2g
(h1 - h0 ) = 6 ì/ñ.
H - h1
Çàìåòèì, ÷òî â òî÷êå À ïîëíàÿ ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ
ìàêñèìàëüíà, ïîýòîìó, ÷òîáû äîñòèãíóòü ïîâåðõíîñòè çåìëè, íàäî ïðåîäîëåòü ïîòåíöèàëüíûé áàðüåð, âåðøèíà êîòîðîãî íàõîäèòñÿ â òî÷êå À.
×òîáû ïðîèëëþñòðèðîâàòü âàæíîñòü àíàëèçà ïîòåíöèàëüíûõ êðèâûõ äëÿ ïîíèìàíèÿ ñâîéñòâ ñèñòåìû, ðàçáåðåì
òàêóþ çàäà÷ó.
Çàäà÷à 11. Íà ïðóæèíå æåñòêîñòüþ 5 Í/ì ïîäâåøåí â
ïîëå òÿæåñòè øàðèê ìàññîé 100 ã. Íà øàðèê è íà âåðõíèé
êîíåö ïðóæèíû íàíåñåíû ðàçíîèìåííûå
çàðÿäû, ïîäîáðàííûå òàêèì îáðàçîì, ÷òî
åñëè ïðóæèíà íå äåôîðìèðîâàíà, òî êóëîíîâñêàÿ ñèëà ðàâíà ñèëå òÿæåñòè. Øàðèê
óäåðæèâàþò â ýòîì ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ, à çàòåì îòïóñêàþò. Óéäåò ëè øàðèê
èç ýòîãî ïîëîæåíèÿ? Åñëè äà, òî íà ñêîëüêî îí îòêëîíèòñÿ? Äëèíà íåäåôîðìèðîâàííîé ïðóæèíû 10 ñì.
Ðåøåíèå. Åñëè îïèñàííîå ïîëîæåíèå
ðàâíîâåñèÿ (ïðóæèíà íå äåôîðìèðîâàíà,
ñèëà òÿæåñòè óðàâíîâåøåíà êóëîíîâñêîé
ñèëîé) óñòîé÷èâî, òî øàðèê îñòàíåòñÿ íà
ìåñòå. Ïîñìîòðèì, êàê èçìåíÿåòñÿ ïîòåíÐèñ. 7
öèàëüíàÿ ýíåðãèÿ â çàâèñèìîñòè îò ñìåùåíèÿ x èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ (ðèñ.7):
∆Wï = -mgx +
2
χx
qQ
qQ
+k
-k
.
l0 + x
l0
2
Ïî óñëîâèþ, mg = k qQ l02 . Òîãäà
∆Wï = -mgx +
χx2 mgl0 x χx2 mgx2
+
=
.
l0 + x
l0 + x
2
2
Âèäíî, ÷òî ïðè χ > 2mg l0 ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ â òî÷êå
x = 0 èìååò ìèíèìóì, ò.å. ðàâíîâåñèå óñòîé÷èâîå (ðèñ.8,à).
Åñëè æå χ < 2mg l0 , òî ðàâíîâåñèå íåóñòîé÷èâîå (ðèñ. 8,á).
Ðèñ. 8
Òåïåðü çàïèøåì çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè, ïðåäïîëàãàÿ,
÷òî øàðèê ñìåñòèëñÿ íà x è îñòàíîâèëñÿ:
qQ
qQ
χx2
k
=k
- mgx +
.
l0
l0 + x
2
Ïîñëå ïîäñòàíîâêè kqQ = -mgl02 ïðîâåäåì ïðåîáðàçîâàíèÿ
è ïîëó÷èì îòâåò:
2mg
x=
- l0 = 30 ñì.
χ
Ïðè χ > 2mg l0 îòâåò ïîëó÷àåòñÿ îòðèöàòåëüíûì, íî îí íå
èìååò ñìûñëà – èñêîìàÿ òî÷êà (îíà îòìå÷åíà íà ðèñóíêå 8,à
êðåñòèêîì) íåäîñòèæèìà, òàê êàê íàõîäèòñÿ ïî äðóãóþ
ñòîðîíó ïîòåíöèàëüíîãî áàðüåðà. Ïðè χ < 2mg l0 ïîëó÷àåì
îäèí ïîëîæèòåëüíûé îòâåò (ñì. ðèñ. 8,á). Äåéñòâèòåëüíî,
åñëè øàðèê ñìåñòèòñÿ ââåðõ, òî îí íèêîãäà íå îñòàíîâèòñÿ è
«óïàäåò» íà âåðõíèé çàðÿä.
 çàêëþ÷åíèå ðàññìîòðèì çàäà÷ó, ãäå çàêîí ñîõðàíåíèÿ
ýíåðãèè íàäî ïðèìåíÿòü ñîâìåñòíî ñ çàêîíîì ñîõðàíåíèÿ
èìïóëüñà.
Çàäà÷à 12. Äâå ÷àñòèöû, èìåþùèå ìàññû 2 ã è 3 ã è
çàðÿäû 3 ìêÊë è –12 ìêÊë, óäàëÿþòñÿ äðóã îò äðóãà. Â
íåêîòîðûé ìîìåíò îíè íàõîäÿòñÿ íà ðàññòîÿíèè 10 ì è
èìåþò îäèíàêîâûå ñêîðîñòè 3 ì/ñ. Íàéäèòå íàèáîëüøåå
ðàññòîÿíèå ìåæäó ÷àñòèöàìè â ïðîöåññå äâèæåíèÿ.
Ðåøåíèå. Íàèáîëüøåå ðàññòîÿíèå ñîîòâåòñòâóåò ìîìåíòó,
êîãäà ñêîðîñòè ÷àñòèö áóäóò ðàâíû ïî ìîäóëþ è íàïðàâëåíû
â îäíó ñòîðîíó (îòíîñèòåëüíàÿ ñêîðîñòü ÷àñòèö ðàâíà íóëþ).
Ñêîðîñòü ÷àñòèö â ýòîì ñîñòîÿíèè íàéäåì èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà
m1v - m2v = (m1 + m2 ) u .
Âûðàçèâ ñêîðîñòü u è ïîäñòàâèâ åå â çàêîí ñîõðàíåíèÿ
ýíåðãèè
k
q1q2 m1v2 m2v2
qq
(m + m2 ) u2
+
+
=k 1 2 + 1
,
r0
r
2
2
2
íàéäåì ìàêñèìàëüíîå ðàññòîÿíèå:
æ1
m1m2 2v2 ö
r=ç +
÷
è r0 m1 + m2 kq1q2 ø
-1
= 30 ì.
Óïðàæíåíèÿ
1. Øàðèê ìàññîé 5 ã è çàðÿäîì 2 ìÊë ïîäâåøåí íà íèòè â
ãîðèçîíòàëüíîì ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå íàïðÿæåííîñòüþ 20 Â/ì,
íàïðàâëåííîé ñëåâà íàïðàâî. Øàðèê ñ íèòüþ îòâîäÿò âïðàâî äî
ãîðèçîíòàëüíîãî ïîëîæåíèÿ è îòïóñêàþò. Íàéäèòå íàòÿæåíèå
íèòè â òîò ìîìåíò, êîãäà îíà âïåðâûå ñîñòàâèò ñ âåðòèêàëüþ óãîë
α òàêîé, ÷òî cos α = 0,8 .
2. Ïî òîíêîìó êîëüöó ðàäèóñîì 4 ñì ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåí çàðÿä 50 íÊë. Íà îñè êîëüöà íà ðàññòîÿíèè 3 ñì îò åãî
öåíòðà ïîìåùàþò ÷àñòèöó ñ çàðÿäîì –18 íÊë è ìàññîé 1 ìã è
îòïóñêàþò. Íàéäèòå ñêîðîñòü ÷àñòèöû â òîò ìîìåíò, êîãäà îíà
áóäåò ïðîëåòàòü ÷åðåç öåíòð êîëüöà.
3. Â âåðøèíàõ îñòðûõ óãëîâ ðîìáà çàêðåïëåíû çàðÿäû ïî
7 íÊë, à â âåðøèíàõ òóïûõ óãëîâ íàõîäÿòñÿ äâå ÷àñòèöû ìàññîé
2 ìã è çàðÿäîì 2 íÊë êàæäàÿ. ×àñòèöû îäíîâðåìåííî îòïóñêàþò, è îíè ïðèõîäÿò â äâèæåíèå. ×åìó áóäóò ðàâíû ñêîðîñòè
÷àñòèö ïîñëå èõ ðàçëåòà íà áîëüøîå ðàññòîÿíèå? Ñòîðîíà ðîìáà
3 ñì, à åãî îñòðûé óãîë 60°.
4. Òðè îäèíàêîâûõ øàðèêà, íåñóùèõ îäèíàêîâûå çàðÿäû
2 ìêÊë, ñîåäèíåíû ïîïàðíî òðåìÿ îäèíàêîâûìè ïðóæèíàìè è
óäåðæèâàþòñÿ íà ðàññòîÿíèè 5 ñì äðóã îò äðóãà. Øàðèêè
îòïóñêàþò, è îíè ïðèõîäÿò â äâèæåíèå. Íàéäèòå æåñòêîñòü
êàæäîé ïðóæèíû, åñëè â íà÷àëüíîì ïîëîæåíèè îíè íå äåôîðìèðîâàíû, à ìàêñèìàëüíîå ðàññòîÿíèå ìåæäó øàðèêàìè â
ïðîöåññå äâèæåíèÿ â òðè ðàçà áîëüøå íà÷àëüíîãî.
5. Äâà íåáîëüøèõ òåëà ìàññîé 50 ã êàæäîå, çàðÿæåííûå
îäèíàêîâûìè çàðÿäàìè 10 ìêÊë, íàõîäÿòñÿ íà ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè íà ðàññòîÿíèè 2 ì äðóã îò äðóãà. Êîýôôèöèåíò
òðåíèÿ òåë î ïëîñêîñòü ðàâåí 0,1. Òåëà îäíîâðåìåííî îñâîáîæäàþò. Íà êàêîì ðàññòîÿíèè äðóã îò äðóãà òåëà îñòàíîâÿòñÿ?
6.  ïîëå òÿæåñòè çàêðåïëåí òî÷å÷íûé çàðÿä –10 ìêÊë, à
ïîä íèì íà ðàññòîÿíèè 5 ì íàõîäèòñÿ ÷àñòèöà ìàññîé 9 ã è
çàðÿäîì 4 ìêÊë. Êàêóþ ìèíèìàëüíóþ âåðòèêàëüíóþ ñêîðîñòü
íàäî ñîîáùèòü ÷àñòèöå, ÷òîáû îíà äîëåòåëà äî çàêðåïëåííîãî
çàðÿäà?