ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2002. Т. 43, N-◦ 1 65 УДК 532.516/532.526.2 АВТОМОДЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПОГРАНИЧНЫХ СЛОЕВ О. А. Фроловская Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 630090 Новосибирск Рассмотрены автомодельные решения нестационарного диффузионно-динамического пограничного слоя, возникающего вблизи вертикальной стенки при больших числах Шмидта, и динамического пограничного слоя, сопрягающегося на внутренней границе с диффузионно-динамическим слоем. Показано, что в динамическом пограничном слое в области течения возникает зона противотока. Введение. Для описания свободной конвекции вязкой жидкости вблизи вертикальной стенки и переноса примеси применяются классическая модель Обербека — Буссинеска и модель микроконвекции. Известно, что при использовании модели Обербека — Буссинеска при больших числах Рейнольдса можно выделить пограничный слой и из решений задачи в этом случае получить интегральные характеристики течения (числа Нуссельта). При микроконвекции числа Рейнольдса, как правило, невелики. В работе [1] предложен подход, позволяющий выделить диффузионно-динамический слой и в случае микроконвекции, когда модель Обербека — Буссинеска неприменима. В обеих моделях выделен особый диффузионно-динамический пограничный слой, если числа Шмидта (Прандтля) велики. При этом на число Рейнольдса не накладывалось никаких ограничений. В этих пограничных слоях оказались существенными вязкие силы и силы плавучести, а силы инерции пренебрежимо малы. Вне диффузионно-динамического пограничного слоя структура поля скоростей зависит от числа Рейнольдса. Если оно велико, то в области движения имеется еще один чисто динамический слой с большей асимптотической толщиной, сопрягающийся на внутренней границе с диффузионно-динамическим слоем, а на внешней — с областью состояния покоя. В [1] сформулированы уравнения стационарного диффузионно-динамического пограничного слоя, построены их автомодельные решения и рассмотрены начальные асимптотики. Наиболее полные результаты исследования свободно-конвективных течений приведены в [2, 3]. Нестационарные пограничные слои. Рассмотрим задачу определения компонент u, v вектора скорости v, концентрации c и отклонения от гидростатического давления p в области y > 0, ограниченной бесконечной вертикальной стенкой {y = 0}. Сила тяжести направлена по оси Ox, в координатах (x, y) ускорение свободного падения имеет вид g = (−g, 0). Считаем, что плотность расплава ρ линейно зависит от концентрации: ρ = ρ0 [1 + β(c − c∞ )], где ρ0 , c∞ — средние плотность и концентрация раствора; β = (1/ρ0 )(dρ/dc) = const (для определенности полагаем β > 0). В случае больших чисел Шмидта Sc = ν/D вблизи вертикальной стенки при тех же допущениях, что и в [1], можно выделить нестационарный диффузионно-динамический Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 01-01-00782) и Совета поддержки ведущих научных школ (код проекта 00-15-96162). ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2002. Т. 43, N-◦ 1 66 слой. Уравнения пограничного слоя для модели Буссинеска имеют вид ν 1 ∂p ∂ 2v = ν 2, ρ0 ∂y ∂y ∂ 2u = gβ(c − c∞ ), ∂y 2 ∂u ∂v + = 0, ∂x ∂y (1) ∂c ∂c ∂c ∂ 2c +u +v = D 2. ∂t ∂x ∂y ∂y Краевые условия для скорости задаются в виде u = v = 0, u −→ u∞ (t, x). (2) Для концентрации ставятся условия первого рода c = c∞ , c = f (t, x), (3) y=0 y=0 t=0 y→∞ y=0 c −→ c∞ y→∞ или условия второго рода ct=0 = c∞ , ∂c = h(t, x), c −→ c∞ , (4) y→∞ ∂y y=0 где c∞ = const; f (t, x), h(t, x) — заданные функции; u∞ (t, x) определяется в процессе решения задачи. Задача (1)–(3) (или (1), (2), (4)) описывает движение в тонком диффузионно-динамическом слое толщиной порядка (ScRe2 )−1/4 , вне слоя c ≈ c∞ . В этом слое силы плавучести и вязкие силы одного порядка, а силы инерции и продольный градиент давления по сравнению с ними пренебрежимо малы. В отличие от случая классического пограничного слоя [4] внешнее представление скорости опpеделяется в пpоцессе pешения, а не из условия сpащивания с внешним решением: u = v = 0, p = 0, c = c∞ . (5) Компоненты вектоpа скоpости и концентpации находятся независимо от давления, которое опpеделяется интегpиpованием второго уpавнения (1) по y от y до ∞ с учетом уpавнения неpазpывности: ∂u ∂u ∞ p(t, x, y) = p∞ (t, x) + ρ0 ν − , (6) ∂x ∂x где p∞ (t, x) — давление на внешней гpанице погpаничного слоя. Задача для диффузионно-динамического пограничного слоя при микроконвекции состоит в нахождении концентpации c, вектора модифицированной скорости w = v + βD∇c и модифицированного давления q = p/ρ∗ − gx + β(ν − D)D∆c, где ρ = ρ∗ (1 − β(c − c∞ ))−1 , удовлетворяющих начально-краевой задаче [1] ∂ 2 w1 ∂q ∂ 2 w2 ∂w1 ∂w2 = gβ(c − c ), = ν , + = 0, ∞ 2 2 ∂y ∂y ∂y ∂x ∂y ∂c 2 ∂c ∂c ∂c ∂ 2c + w1 + w2 − βD = D(1 − β(c − c∞ )) 2 , ∂t ∂x ∂y ∂y ∂y ∂c ∂c w1 y=0 = βD w2 y=0 = βD , w1 −→ w∞ (t, x) < ∞, , y→∞ ∂x y=0 ∂y y=0 ct=0 = c∞ , cy=0 = r(t, x), c −→ c∞ . ν(1 − β(c − c∞ )) (7) y→∞ Здесь w1 , w2 — компоненты вектора скорости w; r(t, x) — заданная функция; w∞ (t, x) определяется в процессе решения задачи. Здесь также можно задавать для концентрации условия второго рода. 67 О. А. Фроловская Поскольку в общем случае u∞ 6= 0 (w∞ 6= 0), решение задачи (1)–(3) (или (7)) нельзя срастить с внешним решением (5). Для компенсации этой невязки, если Sc/Re2 → 0, в области движения можно выделить, как это сделано в [1], еще одну асимптотику задачи, которая описывает движение в области с асимптотической толщиной, большей толщины рассмотренного выше погpаничного слоя. В данном случае справедлива гипотеза Прандтля о равенстве порядков вязких сил и сил инеpции. Движение в этом слое толщиной порядка (Sc/Re2 )1/4 описывается системой уравнений ∂u ∂u ∂u ∂ 2u +u +v = ν 2, ∂t ∂x ∂y ∂y ∂p = 0, ∂y ∂u ∂v + = 0. ∂x ∂y (8) В начальный момент времени ut=0 = 0. (9) Из условий сpащивания получаем граничные условия для продольной компоненты скорости u uy=0 = u∞ (t, x), u −→ 0. (10) y→∞ Граничное условие для поперечной компоненты скорости v задается в виде v = 0. y=0 (11) Задача для динамического слоя отличается от классической тем, что значение продольной скорости задается на внутренней, а не на внешней границе. Давление в задаче можно считать нулевым, поскольку из второго уpавнения (8) следует, что давление p такое же, как при y → ∞, где p ≡ 0 (состояние покоя, давление равно гидростатическому). Поэтому в фоpмуле (6) в этом случае p∞ ≡ 0. Автомодельные решения. Если заданы условия первого рода, то можно искать автомодельные решения задачи (1)–(3) при f (t, x) = c∞ − νxt−2 /(gβD). Решение рассматриваемой задачи будем искать в виде u = ∂ψ/∂y, v = −∂ψ/∂x, c−c∞ = (c∞ −f (t, x))(C(ξ)−1), где функция тока √ √ ψ = Dxt−1/2 Ψ(ξ), ξ = yt−1/2 / D. Тогда уравнения (1) примут вид Ψ000 = C − 1, C 00 = (Ψ0 − 2)(C − 1) − (Ψ + ξ/2)C 0 . (12) Из условий (2), (3) следует Ψ(0) = Ψ0 (0) = 0, C(0) = 0, lim Ψ0 (ξ) = U∞ = const < ∞, ξ→∞ lim C(ξ) = 1. ξ→∞ (13) Начальные условия здесь не ставятся. Характерный профиль концентрации приведен на рис. 1. Для внешнего представления скорости имеем u∞ (x) = U∞ xt−1 ≈ 0,975xt−1 . Для характеристики массообмена между растущей пленкой и раствором введем общее и местное числа Нуссельта: Zl Nu = 0 1 ∂c dx, c∞ − cω ∂y y=0 x ∂c Nux = , c∞ − cω ∂y y=0 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2002. Т. 43, N-◦ 1 68 Рис. 1 где cω — значение концентрации на стенке {y = 0}. Для рассматриваемых решений формулы для определения чисел Нуссельта принимают вид lt−1/2 0 lt−1/2 xt−1/2 0 xt−1/2 Nu = √ |C (0)| ≈ 0,434 √ , Nux = √ |C (0)| ≈ 0,434 √ . D D D D Определим толщину диффузионно-динамического слоя. Для оценки толщины пограничного слоя в классической теории используется так называемая толщина вытеснения [4]. В данном случае пограничный слой характеризуется тем, что в нем концентрация c отличается от средней, а вне слоя c ≈ c∞ . Аналог толщины вытеснения δc∗ определим равенством Z∞ δc∗ (c∞ − cω ) = [c∞ − c(t, x, y)] dy. 0 После вычислений для автомодельных решений получим ∞ √ √ Z ∗ δc = Dt [1 − C(ξ)] dξ ≈ 1,276 Dt. 0 В случае задания условия второго рода для концентрации на стенке автомодельное решение задачи (1), (2), (4) можно построить, если √ h(t, x) = qνxt−5/2 /(gβD D) (q = const > 0). Тогда решение ищем в том же виде, что и при решении задачи первого рода. При этом уравнения (12) и граничные условия (13) сохраняют вид, за исключением условия для концентрации на стенке: в (13) условие C(0) = 0 заменяется на C 0 (0) = q. Концентрация на стенке в зависимости от величины теплового потока (при 0 < q < 1) изменяется по закону c∞ − c = νxt−2 (1 − C(0))/(gβD), y=0 0,139q 3 − 0,485q 2 где 1 − C(0) = + 1,896q + 2,132. Задача (7) не допускает автомодельного решения. Решение задачи (8)–(11) ищем в виде u = ∂ψ/∂y, v = −∂ψ/∂x, где функция тока ψ имеет вид √ √ ψ = νxt−1/2 Ψ(η), η = yt−1/2 / ν. 69 О. А. Фроловская Рис. 2 Тогда для определения Ψ получаем задачу Ψ000 = (Ψ0 − 1)Ψ0 − (Ψ + η/2)Ψ00 , Ψ(0) = 0, Ψ0 (0) = U∞ , lim Ψ0 (η) = 0. η→∞ (14) Из численного решения задачи (14) следует, что в области течения возникает зона противотока. Распределение Ψ0 (η) представлено на рис. 2. В этом случае (в отличие от классического) можно вычислить объемный расход Q в динамическом пограничном слое Z∞ Q= u(t, x, y) dy 0 и толщину вытеснения δv∗ динамического слоя по формуле δv∗ u∞ (t, x) Z∞ = u(t, x, y) dy. 0 Проведя вычисления, получим Q = тивотока √ √ νxt−1/2 Ψ∞ ≈ −0,256 νxt−1/2 . Толщина зоны про- √ √ δ = ((Ψ(η∗ ) − |Ψ∞ |)/U∞ ) νt ≈ 0,201 νt составляет 76,66 % толщины динамического слоя δv∗ . Здесь Ψ∞ — значение Ψ(η) при η → ∞; η∗ — точка, в которой Ψ0 = 0. Выводы. Рассмотрена задача о массообмене и свободной конвекции вблизи вертикальной стенки при больших числах Шмидта. В неустановившемся режиме движения построены автомодельные решения. Получены формулы для массообмена. Если число Рейнольдса велико, то в области движения имеется также чисто динамический пограничный слой с большей асимптотической толщиной, сопрягающийся на внутренней границе с диффузионно-динамическим слоем. В области течения возникает зона противотока. ЛИТЕРАТУРА 1. Кузнецов В. В., Фроловская О. А. Пограничные слои при свободной конвекции // ПМТФ. 2000. Т. 41, № 3. С. 92–100. 70 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2002. Т. 43, N-◦ 1 2. Мартыненко О. Г., Соковишин Ю. А. Cвободно-конвективный теплообмен на вертикальной поверхности. Минск: Наука и техника, 1977. 3. Мартыненко О. Г., Березовский А. А., Соковишин Ю. А. Асимптотические методы в теории свободно-конвективного теплообмена. Минск: Наука и техника, 1979. 4. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974. Поступила в редакцию 21/VI 2001 г.