метод расчета теплоотдачи в лобовой части поперечно

ISSN 0002-306X.
Изв. НАН РА и ГИУА. Сер. ТН. 2007. Т. LX, ¹ 1.
УДК 621.1.016.4
ЭНЕРГЕТИКА
З.А. МИНАСЯН, Х.Г. СУЛТАНЯН
МЕТОД РАСЧЕТА ТЕПЛООТДАЧИ В ЛОБОВОЙ ЧАСТИ ПОПЕРЕЧНО
ОБТЕКАЕМЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ТЕЛ
Ставится задача расчета поля течения в пограничном слое, формируемом в лобовой части поперечно
обтекаемых цилиндрических тел, с учетом турбулентности набегающего потока. Преимущества метода расчета
в том, что, уменьшая шаг
Δϕ , можно
с большой точностью определить коэффициент теплоотдачи в данной
точке контура.
Ключевые слова: теплоотдача, пограничный слой, турбулентность, температура, коэффициент.
Разработка конструкций эффективных теплообменных аппаратов и определение
способов их рациональной эксплуатации базируются на использовании методов
физического и математического моделирования течения и теплообмена вблизи элементов,
составляющих теплообменный аппарат (изолированная труба, пакеты труб, пластины).
Основное назначение моделирования заключается
в получении информации о
коэффициенте гидравлических потерь и коэффициенте теплообмена между стенкой
элемента теплообменного аппарата и омывающим ее теплоносителем. Изучение местной
(локальной) теплоотдачи по всему периметру поперечно обтекаемых цилиндрических тел
представляет весьма актуальную задачу и способствует раскрытию особенностей процесса
теплоотдачи в целом. Значение местной теплоотдачи по всему периметру цилиндрического
тела в условиях высоких тепловых нагрузок поможет спрогнозировать местоположение
опасных сечений, а также решить вопросы интенсификации процесса теплоотдачи.
В данной работе ставится задача расчета поля течения в пограничном слое,
формируемом в лобовой части поперечно обтекаемых цилиндрических тел, с учетом
турбулентности набегающего потока. Течение вязкого сжимаемого газа в турбулентном
пограничном слое при пренебрежении членами, содержащими [1-3], описывается
уравнениями в частных производных параболического типа [1-5],
дополненного
добавочной вязкостью, возникающей вследствие турбулентности набегающего потока:
107
∂u e
∂u
∂u
∂
∂u
⎧
⎪ ρ u ∂ x + ρ v ∂ y = ρ e u e ∂ x + ∂ y (μ + μ T + μ Tu ) ∂ y ,
⎪
2
⎪
∂i e
⎛ ∂u ⎞
∂i
∂i
⎪ρ u
⎟ +
+ ρv
= uρ e
+ (μ + μ T + μ Tu )⎜⎜
(1)
⎪
∂x
∂y
∂x
∂ y ⎟⎠
⎝
⎨
∂i
⎪ ∂
⎪ + ∂ y (μ Pr + μ T / Pr T + μ Tu / Pr Tu ) ∂ y ,
⎪
∂
∂
⎪ ∂p
⎪ ∂ y = 0 ; ∂ x ( ρ u ) + ∂ y (ρν ) = 0 ; ρ i = ρ e i e ,
⎩
где x, y - координаты вдоль периметра цилиндрического тела и перпендикулярно ему; i статическая энтальпия газа; u,v - компоненты скорости газа по осям x и y; μ, ρ -
молекулярная динамическая вязкость и плотность газа; p – давление; Pr - число Прандтля;
PrT и PrTu - турбулентные числа Прандтля; μT - турбулентная вязкость; μTu - добавочная
вязкость, возникающая вследствие турбулентности набегающего потока.
К системе дифференциальных уравнений необходимо добавить следующие
граничные условия:
⎧⎪при y = 0 u ( x,0) − 0; v( x,0) = 0; i( x,0) = i,
⎨при y → 0 lim u ( x, y) = Ue; lim i( x, y) = i .
e
⎪⎩
y →∞
y →∞
(2)
Рассматривается
двуслойная модель турбулентного пограничного слоя,
характеризующаяся внутренней и внешней областями [2, 3].
Во внутренней области пограничного слоя динамическая турбулентная вязкость
представляется следующим выражением [2-3]:
(μ T ) i = ρ (υ T ) i = ρ æ 2 y 2 [1 − exp(− y / A)]2
∂u
,
∂y
(3)
где ж - коэффициент пропорциональности в выражении для пути перемещения при
турбулентном переносе импульса (ж=0,4); A - характерная длина затухания пульсаций
скорости по мере приближения к стенке, равная
υ
A = 26 (ρ / ρ w )1 / 2
υ•
⎡
⎤
μw
(ρ e / ρ w ) 2 P + ⎥
⎢1 − 11,8 ⋅
μe
⎣
⎦
1/ 2
,
где
P+ =
p+
υ e u e du e
⋅
; v 0 = ( τ w / ρ w )1 / 2 ,
3
dx
v0 •
- параметр градиента давления; v 0
- динамическая скорость на стенке; υ
-
кинематическая вязкость газа; τ - касательнoe напряжение.
Во внешней области пограничного слоя динамическая турбулентная вязкость имеет
вид [2, 3]
108
(μ T )0
= ρ (υ T
)0
∞
= ρK
o
∫ (u
e
− u )dy
γ • ,
(4)
0
где Ко - коэффициент пропорциональности (Ко =0,016...0,018); γ • - коэффициент
перемежаемости, который можно определить по соотношению [4]
[
γ• = 1 + 5,5(y / δ )
δ - толщина пограничного слоя.
]
6 −1
Граница двух областей определяется
изменения турбулентной вязкости:
,
естественным
(μ T )i = (μ T )0
условием
непрерывного
,
(5)
т.е. динамическая турбулентная вязкость вычисляется по формуле (3) до тех пор, пока не
будет выполнено равенство (5).
Для ламинарного пограничного слоя (μ T ) = 0 . Относительная динамическая вязкость
μ μ e определяется по формуле Сатерленда [1]
1.5
⎛ T ⎞ Te + Ts
μ μe = ⎜ ⎟
,
(6)
⎝ Te ⎠ T + Ts
где Тs - постоянная Сатерленда. Для воздуха Ts ≈ 122 г, для дымовых газов среднего
состава ( Pco 2 = 0,13 , p H 2O = 0,11 , p N 2 = 0,76 ) : Ts ≈ 157 .
Динамическая вязкость воздуха и дымовых газов среднего состава в зависимости от
температуры достаточно удовлетворительно описывается следующей формулой:
μ = 1,5055 ⋅ 10 −6 ⋅
T 1.5
.
T + Ts
(7)
Для воздуха число Прандтля практически не зависит от температуры и принимается
равным Pr = 0,71 . Для дымовых газов среднего состава число Прандтля в зависимости от
температуры достаточно удовлетворительно можно описать формулой
Pr = 0,76595 − 0,0002073 ⋅ T + 0,0000000T 2 ,
(8)
где Т - абсолютная температура газа.
Турбулентные числа Прандтля принимаются постоянными по всему пограничному
слою и равными PrTu = 0,8 и PrT = 0,9 [2, 3] .
Добавочная вязкость, возникающая вследствие турбулентности набегающего потока,
учитывается следующей модифицированной зависимостью [4]:
Tu
δu н n • ,
(9)
100
где Tu - степень турбулентности набегающего потока; L ≈ 0,15 - эмпирическая константа;
n • - демпфирующий фактор:
μ Tu = L
109
⎡
⎛ ⎛ y ⎞ K ⎞⎤
n • = ⎢1 − cos⎜ π⎜ ⎟ ⎟⎥ 2 ,
⎜ ⎝ δ ⎠ ⎟⎥
⎢⎣
⎠⎦
⎝
К - функция числа Прандтля, аналитически выражаемая в виде [2]
K = 2 ⋅ lg Pr + 1,37 .
Переход от расчета ламинарного пограничного слоя к расчету турбулентного
пограничного слоя осуществляется автоматически по критерию Ван-Дриста [5], состоящему
в том, что в точке перехода значение числа Рейнольдса завихренности должнo где-то в
потоке достигнуть предельной величины:
Re y = y 2
du
ρ / μ ≤ [Re y ] = 1600 − 2000 .
dy
Для замыкания системы уравнений за основу принималось
распределение (ue) скорости на внешней границе пограничного слоя [4]:
а) для круглого цилиндра:
потенциальное
u e = 2u H sinϕ ,
где u H - скорость набегающего потока; ϕ - угол отсчета от лобовой критической точки
цилиндра;
б) для эллиптических цилиндров:
ue = uH
1+ b a
2
,
⎛b⎞
1 + ⎜ ⎟ ctg 2 ϕ
⎝a⎠
где a и b - полуоси эллиптических цилиндров, причем a может быть и больше, и меньше
b.
Расчеты проводились как при постоянной температуре поверхности цилиндров Tw =
const, так и при степенном изменении температуры поверхности цилиндров в доотрывной
зоне:
n1
⎛æ⎞
Tw (x) = TH + [Tw (o) − TH ] ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ,
⎝ dэ ⎠
где Tw (o) - абсолютная температура поверхности цилиндров в лобовой с (передней)
критической точке;
TH -
абсолютная
температура набегающего потока; d э = 4 S l
-
эквивалентный диаметр цилиндров; S - площадь профиля; l - длина профиля; n1 показатель степени.
При известном законе распределения скорости на внешней границе пограничного
слоя можно определить распределения температур и чисел Маха:
⎡ k − 1 2 ⎛ u e2 ⎞⎤
Te = TH ⎢1 +
⋅ M H ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟⎥ ,
2
⎝ u H ⎠⎦
⎣
110
Me =
ue
kRTe
,
где k - показатель адиабаты; R - газовая постоянная.
Для воздуха и дымовых газов среднего состава:
k = 1,4 и R = 287 Дж/кг(K.
Для удобства численного интегрирования преобразуем систему уравнений (1) к
безразмерному виду. Для этого в качестве новых переменных введем переменные Лиза [1-3]:
x
ξ( x ) = ∫ ρ e μ e u e dx; η( x , y) =
ue
0
2ξ
y
⋅ ∫ ρdy.
(10)
0
Введем также функции:
fη = u ue и h η = i ie .
(11)
∂ψ / ∂y = ρu и ∂ψ / ∂x = −ρv ,
(12)
Если ввести функцию тока такую, что;
то уравнение неразрывности полностью удовлетворяется. Применением новых переменных
(10) система уравнений (1) приводится к системе, содержащей обезразмеренные величины
скорости и энтальпии (подстрочные индексы η или ξ внизу означают производные по
этим переменным):
⎧(m f ηη )η + ff ηη + β(h η − f η2 ) = α • (f η f ηξ − f ξ f ηη ),
⎪
⎨ •
2
•
⎪⎩(m h ηη ) η + f ⋅h ηη + γ.m ⋅ f ηη = α (f η h η ξ − f ξ f ηη ),
(13)
где приняты следующие обозначения:
⎧
⎡
1 ⎤
2ξ ∂u e
⋅
,
⎪m = ⎢(μ + μ T + μ Tu / μ e ( )⎥; β =
Ue ∂ ξ
h η ⎦⎥
⎪⎪
⎣⎢
⎨
⎡
⎛ 1 ⎞⎤
⎪
⎜ ⎟⎥,
(
)
α
•
=
ξ
•
=
μ
Ρ
+
μ
Ρ
+
μ
μ
2
;
m
/
r
/
r
/
⎢
T
Tu
e
⎪
⎜h ⎟
⎪⎩
⎝ η ⎠⎦⎥
⎣⎢
2
γ = (k − 1) ⋅ M e .
Граничные условия (2) запишутся в виде
⎧⎪при η = 0 f ξ = f = h = f η = 0;h η = F(ξ.Me, Tw / Te ),
⎨
⎪⎩при η = η e f η = 1; h η = 1
(значение ηe задается достаточно большим, чтобы при η → η e f ηη → 0 и h ηη → 0 ).
Приняв обозначения:
111
(14)
(
)
⎧a 11 = m; a 12 = m η + f + α o f ξ ; a 13 = −α o f η ,
⎪⎪
o
o
o
⎨a 14 = −β f η ; a 15 = β h η ; a 21 = m ; a 22 = m η + f + α f ξ ,
⎪
o
2
⎪⎩a 23 = −α f η ; a 24 = γmf ηη ; a 25 = 0 ,
(
)
(15)
система уравнений (13) приводится к следующему виду:
⎧⎪а 11f ηηη + a 12 f ηη + a 13 f ηξ + a 14 f η + a 15 = 0,
⎨
⎪⎩a 21 h ηηη + a 22 h ηη + a 23 h ηξ + a 24 + a 25 = 0.
(η; ξ)
(16)
Для решения системы уравнений (13) с граничными условиями (14) на
введем прямоугольную сетку:
⎧ξ j = jΔξ;
⎨
⎩η n = nΔη;
плоскости
j = 0;1;K, .J,
n = 0;1;K, N,
где Δ ξ и Δ η - соответственно шаги сети по осям ξ и η .
η max = 10 ;
Принимается
η
⎧η max
≥ Δη ≥ max
,
⎪
100
1000
⎨
ξ
⎪ξ max
≥ Δξ ≥ max
,
50
200
⎩
где ξ max = (ρ e μ e u e )max ⋅ x max .
Систему уравнений (16) перепишем в следующем виде:
⎧σ(a 11f ηηη )j,n + (1 − σ )(a 11f ηηη )j+1,n + σ(a 12 f ηη )j,n + (1 − σ )(a 12 f ηη )j+1,n +
⎪
1
o
⎪+ σ(a ) + (1 − σ )(a )
+ σ(a 14 f η )j,n +
13 j, n
13 j+1, n ⋅ (f η ) j+1, n − (f η ) j, n ⋅
⎪
Δξ
⎪
o
⎪⎪+ (1 − σ )(a 14 f η )j+1,n + σ(a 15 ) j,n + (1 − σ )(a 15 ) j+1,n = 0,
(17)
⎨
⎪σ(a 21 h ηηη )j,n + (1 − σ )(a 21 h ηηη )j+1,n + σ(a 22 h ηη )j,n + (1 − σ )(a 22 h ηη )j+1,n +
⎪
1
⎪+ σ(a ) + (1 − σ )(a )
+ σ(a 24 ) j,n +
23 j, n
23 j+1, n ⋅ (h η ) j+1, n − (h η ) j, n ⋅
⎪
Δξ
⎪
⎪⎩+ (1 − σ )(a 24 ) j+1,n = 0,
[
][
[
][
]
]
где 0 ≤ σ ≤ f - так называемый весовой множитель или параметр усреднения.
При расчетах принимается σ = 0,5. Производя замену дифференциальных
операторов системы
уравнений (17) разностными операторами
[6] , после ряда
преобразований получим
112
⎧⎪b11f j+1,n − 2 + b12 f j+1,n −1 + b13 f j+1,n + b14 f j+1,n +1 + b15 f j+1,n + 2 + b16 + b17 = 0,
(18)
⎨
⎪⎩b 21 h j+1,n − 2 + b 22 h j+1,n −1 + b 23 h j+1,n + b 24 h j+1,n +1 + b 25 h j+1,n + 2 + b 26 + b 27 = 0,
где коэффициенты b ij выражаются через коэффициенты a ij .
Для решения системы уравнений (18) с граничными условиями (14) введем
следующую разностную сетку (рис. 1).
Рис. 1
Система уравнений (18) определяет значения f j+1,n
и
h j+1,n на слое j+1, если
известны значения f j,n и h j, n на слое j . Она решается методом прогонки [6, 7].
Используя систему уравнений (18) и рекуррентные соотношения вида
⎧f j +1, n = A1n f j +1, n + 2 + B1n f j +1, n +1 + C1n ,
⎪
⎪f j +1, n −1 = A1n −1 f j +1, n +1 + B1n −1 f j +1, n + C1n −1 ,
⎪f
= A1n − 2 f j +1, n + B1n − 2 f j +1, n −1 + C1n − 2 ;
⎪⎪ j +1, n − 2
⎨
⎪h
= A 2 n h j +1, n + 2 + B2 n h j +1, n +1 + C 2 n ,
⎪ j +1, n
⎪h j +1, n −1 = A 2 n −1 h j +1, n +1 + B2 n −1 h j +1, n + C 2 n −1 ,
⎪
⎪⎩h j +1, n − 2 = A 2 n − 2 h j +1, n + B2 n − 2 h j +1, n −1 + C 2 n − 2 ,
(19)
находим формулы для подсчета прогоночных коэффициентов А1n, B1n, C1n, А2n, B2n, C2n.
Пользуясь граничным условием на стенке, находим значения прогоночных
коэффициентов: А10=B10=C10=А2n=B2n=C20=0. Пользуясь разложением функций f и h для
первой и второй точек поперек пограничного слоя в ряд
113
Тейлора, находим значения прогоночных
B21=0,25; C21=0,5 Δη(h η ) j+1, 0 .
коэффициентов А10=0; B10=0; C10=0; А21=0;
В начале счета значения функций f и h задаются соответственно из решений
Хоуарта и по соотношению Крокко [2]. Заданием этих функций определяются все
прогоночные коэффициенты (прямая прогонка): A1n; B1n, C1n, B2n, C2n. Далее производится
обратная прогонка для нахождения первых приближений функций f и h ( f jI+1,n и
h Ij+1,n ). Для этого, пользуясь граничным условием при η = η e , (f η )N → 1 и (h η )H → 1 и
о
разложением функций f и h для двух последних точек поперек пограничного слоя в ряд
Тейлора, находим значения функций f и h в двух последних точках:
f j+1, N =
(2 − B1N −2 )Δη + C1N −2
1 − A1N − 2 − B1N − 2
, h j+1, N =
(2 − B2 N −2 )Δη + C2 N−2
1 − A 2 N − 2 − B2 N − 2
,
,
f j+1, N −1 = f j+1, N − Δη; h j+1, N −1 = h i +1, N − Δη .
Затем по рекуррентным соотношениям (19) определяются остальные значения
функций f и h ( f jIIi
и h IIj+1,n ). Счет продолжается до тех пор, пока во всех точках
+1, n
поперек пограничного слоя не будет выполнено условие гладкого сопряжения:
f ji++11,n − f ji+1,n f ji+1,n ≤ ε,
h ij++11,n − h ij+1,n h ij+1,n ≤ ε,
(20)
где ε - малое положительное число; i - номер приближения (итерации).
Пользуясь формулами замены дифференциальных операторов разностными, можно
h ηη j+1,n .
найти значения f η j+1, n ; f ηη j+1,n ; h η j+1,n
( )
( )
( )
( )
Производная f ξ , входящая в коэффициенты a 12 и a 22 , заменяется односторонней
конечной разностью:
(f )
ξ j+1, n
=
f j+1, n − f j, n
Δξ
.
(21)
Расчеты проводились для круглых цилиндров с диаметрами d=32 мм и d=50 мм и
для эллиптических цилиндров с размерами 2а=60 мм, 2b=30 мм и 2a=30 мм, 2b=60 мм в
вынужденных потоках воздуха и дымовых газов среднего состава как при их нагревании, так
и при охлаждении. Степень турбулентности набегающего потока в расчетах варьировалась
от 0 до 10% (рис.2).
114
Рис. 2
Расчет начинается от передней критической точки цилиндрических тел, где β = 1 , и с
шагом Δϕ = 0,5 0 продолжается до точки отрыва потока от поверхности цилиндрических
тел. Эта точка определялась как точка, в которой касательное напряжение на стенке
обращается в нуль, т.е.
⎛ ∂u ⎞
= 0.
τ w = μ w ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ ∂y ⎠ y→0
Давление Pн набегающего потока менялось от атмосферного до 1,5 МПа, а скорость
набегающего потока: Uн= 10...15 м/с. Тепловой поток ( q w ) к стенке цилиндрического тела
или от него (охлаждение или нагревание газов), касательное напряжение ( τ w ) на стенке и
коэффициент теплоотдачи ( α ) соответственно равны:
- в передней критической точке:
q w = λ w Te (h ηη ) j,o ρ w
α = λ w ρ w (h ηη ) j,0
(∂u e / ∂x ) 0.5
ρe ⋅ μe
; τ w = 0,
⎛ ∂u e ⎞
⎜
⎟ / [1 − (h η ) j, 0 ] ρ e μ e ;
⎝ ∂x ⎠
- в остальных точках по контуру цилиндрического тела:
qw =
λ w u e Te
2ξ
ρ w (h ηη )j, o; τ w = μ w
[
U 2 eρ w
]
α = λ w ρ w (h ηη )j;0 u e 1 − (h η )j;0 ⋅ 2ξ ,
2ξ
(f )
ηη j, 0
,
где λ w - коэффициент теплопроводности газа, взятый по температуре стенки Tw:
λ w = 0,0245 ⋅ Tw0.82 ⋅ 10 −2 [Bт/м К].
Результаты численных решений представлены на рис.3.
115
(22)
Рис. 3
Получено хорошее согласование результатов численных решений по теплоотдаче с
теоретическими и экспериментальными данными других авторов [4].
Преимущество этого метода расчета, в сравнении с другими методами [3, 4, 8, 10],
заключается в том, что, уменьшая шаг Δϕ , можно с большой точностью определить
коэффициент теплоотдачи в данной точке контура.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Абрамович Г.Н. Прикладная газовая динамика. – М.: Наука, 1976. – 824 с.
Романенко П.Н. Гидродинамика и тепломассообмен в пограничном слое: Справочник. – М.: Энергия, 1974.
– 464 с.
Себеси Т. Расчет сжимаемого турбулентного пограничного слоя при наличии тепло- и массообмена //
Ракетная техника и космонавтика. – 1971. – Т.9, № 6. - С. 121-129.
Жукаускас А.А., Жюгжда И.И. Теплоотдача цилиндра в поперечном потоке жидкости. - Вильнюс: Мокслас,
1979. – 240 с.
Ван-Дрист, Блумер. Влияние турбулентности внешнего течения и градиента давления на переход в
пограничном слое ламинарной формы течения в турбулентную // Ракетная техника и космонавтика. Вып.1.
- 1963. - Т.1, N 6. - С.25-29.
Самарский А.А.Теория разностных схем. – М.: Наука, 1977.
Пасканов В.М. Стандартная программа для решения задач пограничного слоя // В. сб.: Численные методы в
газовой динамике. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1963. –
С. 110-116.
Белов И.А., Гинзбург И.П. О полуэмпирических методах расчета турбулентных течений // Вестник
Ленинградского университета. – Л., 1975. - № 1. – С. 159-170.
Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. – М.: Наука, 1969. - 741 с.
Гюмрийский филиал ГИУА, Гюмрийский педаг. ин-т.
20.01.2006.
116
Материал поступил в редакцию
Զ.Ա. ՄԻՆԱՍՅԱՆ, Խ.Գ. ՍՈՒԼԹԱՆՅԱՆ
ԳԼԱՆԱԿԱՆ ՄԱՐՄՆԻ ԼԱՅՆԱԿԱՆ ՈՂՈՂՄԱՆ ԴԵՊՔՈՒՄ ՋԵՐՄԱՏՎՈՒԹՅԱՆ ՀԱՇՎՄԱՆ
ՄԵԹՈԴ
Խնդիր է դրված հաշվարկել սահմանային շերտում հոսքի դաշտը, որը ձևավորվում է
գլանաձև մարմինների ճակատային մասում՝ հաշվի առնելով վրավազ հոսքի մրրկայնությունը:
Հաշվարկի մեթոդի առավելությունն այն է, որ փոքրացնելով Δϕ քայլը, կարելի է մեծ ճշտությամբ
որոշել ջերմափոխանցման գործակիցը կոնտուրի տրված կետում:
Առանցքային բառեր. ջերմափոխանցում, սահմանային
ջերմաստիճան, գործակից:
շերտ,
մրրկայնություն,
Z.A. MINASYAN, Kh.G. SULTANYAN
METHOD OF CONVECTIVE HEAT TRANSFER CALCULATION IN FRONT
SECTION OF HORISONTAL STREAMLINED CYLINDRICAL BODIES
The problem of flow field design in the boundary layer formed in the front section of horisontal
streamlined cylindrical bodies accounting turbulence of coming flow is discussed. The advantages of
this calculation method compared with other methods is that minimizing Δϕ step it is possible to
design with greater accuracy the coefficient of convective heat transfer in the given point of the
contour.
Keywords. convective heat transfer, boundary layer, turbulence, temperature, coefficient.
117