УМК МСС ч 4 модуль 6 л 21

МЕХАНИКА
СПЛОШНЫХ
СРЕД
1
Численные методы
решения задач механики
сплошных сред
4. Турбулентность.
Пограничный слой
Автор курса лекций:
Породнов Борис Трифонович, д. ф.-м. н.,
профессор кафедры молекулярной физики
УГТУ-УПИ
Екатеринбург 2008
2
Модуль 6
ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ
2008. Численные методы…Лекция 21
3
Лекция 21
Интегральное уравнение
Кармана. Отрыв пограничного
слоя и кризис сопротивления
2008. Численные методы…Лекция 21
Цели изучения:
• Уравнения Прандтля для пограничного слоя:
– уравнения Прандтля в безразмерном виде,
– сила вязкого трения при обтекание полубесконечной
пластинки,
• Интегральное уравнение Кармана:
– решение системы уравнений Прандтля методом
Кармана,
– обтекание полубесконечной пластинки.
• Отрыв пограничного слоя.
• Турбулентный пограничный слой и кризис
сопротивления.
2008. Численные методы…Лекция 21
5
Содержание
11.2. Интегральное уравнение Кармана:
11.2.1. Решение системы уравнений Прандтля
методом Кармана,
11.2.2. Обтекание полубесконечной пластинки.
11.3. Отрыв пограничного слоя.
11.4. Турбулентный пограничный слой и
кризис сопротивления:
11.4.1. Две области в пограничном слое,
11.4.2. Кризис сопротивления при обтекании
шара.
2008. Численные методы…Лекция 21
6
11.2. Интегральное уравнение Кармана
11.2.1. Решение системы уравнений Прандтля
методом Кармана
• От дифференциальных уравнений Прандтля (11.1.7) для пограничного слоя можно
перейти к одному интегральному уравнению. Для этого проинтегрируем уравнения
Прандтля (11.1.7) по толщине пограничного слоя. Воспользуемся следующей известной
формулой дифференцирования интеграла с переменными пределами:
b x 
 b x 
f
db
da
f x, y dy  
dy  f x, b   f  x, a  .

x a  x 
dx
dx
a  x  x
(11.2.1)
• Проинтегрируем первое уравнение системы (11.1.7) по y от 0 до δ(х).
Воспользовавшись формулой (11.2.1) получим для первого слагаемого первого
уравнения (11.1.7):  ( x ) 
1  ( x)  2
1 2
1 2
d ( x)
x





dy


dy


dy


x
,

(
x
)
.
 x x


(11.2.2)
x
x
x
2 0 x
2 x 0
2
dx
0
• Интегрирование по частям второго слагаемого в (11.1.7) с использованием второго
уравнения для замены соответствующих производных дает:

 y
 x


dy





 y y
 x y dy   y x,   x x,     y x,0 x x,0 
y x 0
0
0

 x
1  2
1
d
  x
dy  y  x,   x  x,   
 x dy   x2 x,   .

x
2 x 0
2
dx
0

При выводе соотношения
y  0 , x  0 ,  y  0 .
(11.2.3)
использованы
граничные
(11.2.3)
условия: при
7
Интегральное уравнение Кармана
• Проинтегрируем второе уравнение системы (11.1.7) - уравнение непрерывности:


 x

d
(11.2.4)
 d y    x dy ,  y  x,     y  x,0   x  x dy   x  x,   dx .
0
0
0
• Подставляя полученное соотношение (11.2.4) в (11.2.3), получим:

 x
 
1   2
1
d
(11.2.5)
 x dy   x x,   x   x dy  2 x   x dy  2  x x,   dx
0
0
0
• Интегрирование слагаемых в правой части уравнения Прандтля (11.1.7) приводит к

результатам:


 2


du
du
 u dx dy  u dx  ,
0
x
x
x
 v y 2 dy v y  v y
0
0
.
y 0
(11.2.6)
• В последнем соотношении (11.2.6) предполагается, что профиль скорости в
зависимости от y плавно переходит при y  
в скорость вне пограничного слоя
так, что  x y
при y   равно нулю. Принимая во внимание, что на границе
пограничного слоя  x  x,    u  xи подставляя полученные соотношения (11.2.2, 11.2.5,
11.2.6) в систему уравнений Прандтля (11.1.7), получим интегральное уравнение
Кармана для установившегося движения вязкой несжимаемой среды в пограничном
слое:



du
 x dy  u  x dy  v

x
x
y
0
u
x
2
0
y 0
dx
.
(11.2.7)
8
11.2.2. Обтекание полубесконечной пластинки
• Рассмотрим решение задачи об обтекании плоской полубесконечной пластинки
потоком вязкой несжимаемой среды с использованием интегрального уравнения
Кармана (рис.11.2). Решение этой задачи приводит, конечно, к прежним результатам,
что и в п.11.2, с условием на границе пограничного слоя вида:
u  υ ,
•
u
du
 0.
dx
(11.2.8)
Будем искать решение для υx в виде полинома третьей степени по y:
 x  a 0  a1 y  a 2 y 2  a3 y 3
(11.2.9)
• Коэффициенты a 0 , a1 , a 2 , a 3
определяются из граничных условий, и зависят от
как от параметра. В качестве граничных условий рассмотрим следующие:
1. y  0, υx  0 ,
υ x
2. y  δ , υ x  υ , 3.
y
0,
y δ
 2 υx
4.
y 2
 0.
(11.2.10)
y 0
• Первые два граничных условия очевидны. Третье граничное условие принимается,
исходя из предположения, что скорость плавно
υx переходит в на границеυпограничного

слоя. Четвертое условие следует из дифференциального уравнения Прандтля, т.к. при
y0
все его члены для плоской
пластинки равны нулю, а, следовательно, равно нулю и
2
слагаемое
.
 2 x y
• Из первого граничного условия следует а0 = 0 , а из четвертого условия – а2 = 0.
Второе и третье граничные условия приводят к уравнениям для коэффициентов а3 и а4:
υ  a1δ  a3δ 3 ,
0  a1  a3 3δ 2 .
(11.2.11)
9
Толщина пограничного слоя
• Из решения системы уравнений (11.2.11 32) получаем коэффициенты а1 и а3:
a1 
3 υ
,
2 δ
a3  
υ
.
2δ 3
• Таким образом, скорость υx определяется соотношением
1  y y3 
υx  υ  3  3  .
2  δ δ 
(11.2. 12)
• После подстановки (11.2.12) в интегральное уравнение Кармана (11.2.7),
последующего интегрирования и дифференцирования соответствующих слагаемых
получим дифференциальное уравнение для δ в виде:
13
dδ
1
υ
v .
140 dx
δ
• Решение этого уравнение дает:
δ2 
(11.2.13)
280 v
xC.
13 υ
Постоянную интегрирования С, очевидно, следует положить равной нулю, так как при
х = 0 δ = 0. Таким образом, толщина пограничного слоя равна:
δ
280 vx
vx
 4,64
.
13 υ
υ
(11.2.14)
• Найдем силу σху, действующую на единицу площади пластинки:
υ
σ xy  η x
y
υ3 ηρ
ρηυ3
3
1
3
 ηυ 
 0,323
.
2
δ 2  4,64
x
x
(11.2.15)
0
• В точном решении (11.1.18)y численный
коэффициент равен 0,332. Интегрируя вдоль
длины пластинки, найдем силу Fx, действующую на обе стороны пластинки единичной
ширины длиной l:
10
Вязкая сила и толщина вытеснения
• Интегрируя вдоль длины пластинки, найдем силу Fx, действующую на обе стороны
пластинки единичной ширины длиной l:
Fx  1,292 ηρlυ3 ,
В точном решении (11.1.19) численный коэффициент равен 1,328.
• Найдем толщину вытеснения δ*:
υ  y y 3 
1 δ
1 δ
υ  υx dy   υ   3  3  dy  δ1  3  1   3 δ .
δ* 

υ 0
υ 0 
2  δ δ 
 4 8 8
(11.2.16)
( 11.2.17)
Подставляя в это определение значение 
из (11.2.14 35), получим:
3 xv
xv
(11.2.18)
δ*  4,64 
 1,74
.
8 υ
υ
Точное решение (11.1.22) дает коэффициент 1,72 вместо 1,74,
• Таким образом, интегральное соотношение Кармана позволяет довольно просто
получить решение поставленной задачи, практически не отличающееся от ее точного
решения.
11
11.3. Отрыв пограничного слоя
Из опыта известно, что при обтекании выпуклых тел при увеличении числа
Рейнольдса происходит отрыв потока от поверхности обтекаемого тела и
образование зоны вихревого турбулентного движения за кормой тела, что приводит к
резкому возрастанию силы сопротивления. С физической точки зрения это явление
можно объяснить следующим образом.
• Рассмотрим обтекание некоторого выпуклого
тела (рис.11.5). Максимальную площадь сечения
тела плоскостью, перпендикулярной набегающему
потоку, называют площадью миделева сечения.
Рассмотрим линию тока, граничную с пограничным
слоем. Если скорость потока велика, можно
полагать, что она проходит в “идеальной” среде. и к
ней применимо уравнение Бернулли. Вдали от тела
Рис. 11.5
линия тока параллельна скорости набегающего
потока, который как бы двигается по сужающемуся насадку до миделева сечения.
Опираясь на точные решения, можно утверждать, что скорость потока возрастает вниз
по потоку от скорости набегающего потока до некоторой максимальной скорости в
миделевом сечении. Следовательно, согласно уравнению Бернулли давление при этом
уменьшается от давления в набегающем потоке до минимального давления в
миделевом сечении. После миделева сечения картина изменяется на обратную:
скорость вниз по потоку уменьшается, а давление возрастает..
•
12
Изменение профиля скорости
за миделевым сечением
Поскольку давление поперек пограничного слоя не изменяется и определяется
давлением на его внешней границе, как отмечалось в п. 11.1, то и внутри пограничного
слоя давление после миделева сечения будет возрастать вниз по потоку.
• Таким образом, среда в пограничном слое за
миделевым сечением тормозится не только
вследствие вязкости, но так же и вследствие
противодавления, препятствующего её движению. В
результате может оказаться. что вблизи поверхности
тела
скорость
движения
среды
внутри
пограничного слоя вообще окажется равной нулю
Рис. 11.6
не только на поверхности тела, но и в близких к
поверхности тела участках среды
(рис.11.6). Более того, в точках, лежащих еще ниже по потоку, среда в пограничном
слое может двигаться навстречу движению вне пограничного слоя. На рис.11.6
изображены примерные эпюры скоростей внутри пограничного слоя за миделевым
сечением.
• Ясно, что такое встречное движение стимулирует образование завихренности
потока в кормовой части тела, пограничный слой как бы “подмывается”
встречными движениями и отрывается от поверхности тела в виде крупных
13
нерегулярных вихрей. Это, конечно, приводит к резкому увеличению сопротивления
•
Механизация крыла для уменьшения
его сопротивления
• Для уменьшения сопротивления обтекаемых тел необходимо, если это возможно,
предотвратить отрыв пограничного слоя или, если это невозможно, то, по крайней
мере, стремиться к тому, чтобы его отрыв произошел как можно ближе к задней кромке
обтекаемого тела. В последнем случае размер области спутного турбулентного
движения будет меньше, а, следовательно, будет меньше и сопротивление тела.
• Поэтому хорошо обтекаемые тела должны иметь
каплевидную форму с плавной, постепенно
сужающейся кормовой частью. Поверхности
хорошо обтекаемых тел должны быть гладкими,
лишенными даже незначительных выступов и
шероховатостей. Такую форму имеют профили
крыльев и фюзеляжей современных самолетов
(рис.11.7а).
• На самолетах для предотвращения отрыва
Рис. 11.7
пограничного
слоя
впереди крыла
ставят
предкрылки, в которых воздух разгоняется и “продувает” пограничный слой до конца
профиля (рис.11.7б). Также в кормовой части используют закрылки, выпускаемые на
взлете на угол ~ 20о с целью увеличения подъемной силы на малых скоростях
движения, а на посадке до 60о для увеличения силы сопротивления и подъемной силы
на посадке со сдвигом точки отрыва пограничного слоя к задней кромке крыла..
14
Отсос воздуха и тормозные щитки
• Одним из способов предотвращения отрыва пограничного слоя является также
отсос воздуха внутрь обтекаемого крыла (Рис. 11.7в). При этом пограничный слой как
бы “прижимается” к поверхности обтекаемого тела. Дополнительные энергетические
затраты на отсос воздуха окупаются уменьшением сопротивления тела, а,
следовательно, уменьшением тяги двигателя и экономией расходуемого топлива.
• Для хорошо обтекаемых тел основной вклад (до 70%) в силу сопротивления дает не
лобовое сопротивление, а вязкие силы трения среды о его поверхность. Для резкого
увеличения силы лобового сопротивления (например, во время атаки при обгоне
самолета противника или на пикировании при атаке наземного объекта) на фюзеляже
самолета в хвостовой части с обеих сторон предусмотрены тормозные щитки
площадью ~ 1.5 м2, которые могут выпускаться под углом к продольной оси симметрии
вплоть до 80о.
15
11.4. Турбулентный пограничный слой и
кризис сопротивления.
11.4.1. Две области в пограничном слое
• Ламинарное движение среды в пограничном слое при больших числах Рейнольдса
становится неустойчивым, и после потери устойчивости движение в пограничном слое
становится турбулентным.
• Действительно, можно провести аналогию между движением в пограничном слое и
движением в плоской трубе. Средняя скорость внутри пограничного слоя порядка
скорости набегающего потока υ . Вместо расстояния между плоскостями трубы можно
рассматривать толщину пограничного слоя δ . Тогда число Рейнольдса в пограничном
слое можно записать, как Re  υ δ v . Но ранее в п.1.2 было показано, что  ~ x ,
поэтому и Re ~ x . При увеличении толщины пограничного слоя увеличивается и
число Re. При достижении числа Рейнольдса в пограничном слое некоторого
критического значения движение в нём становится турбулентным Это означает, что
если в некоторой точке число Рейнольдса достигнет
своего критического значения, то пограничный слой
будет состоять из двух областей: ламинарной
передней области и последующей турбулентной
области движения в пограничном слое (рис.11.8).
Расчет турбулентного движения в пограничном слое
основан на теории турбулентности Прандтля,
предсказывающей
логарифмический
профиль
скорости среды в пограничном слое с некоторыми
Рис. 11.8
эмпирическими коэффициентами. Как показывает
опыт, толщина турбулентного пограничного слоя пропорциональна х , а не x как для
ламинарного слоя, т.е. толщина турбулентного пограничного слоя растет вниз по
потоку быстрее, чем ламинарного.
16
11.4.2. Кризис сопротивления при обтекании шара
• В качестве примера рассмотрим изменение силы сопротивления шара при
обтекании его вязкой несжимаемой средой в зависимости от числа Рейнольдса.
Экспериментальный график имеет вид, приведенный на рис.11.9. При малых числах
Рейнольдса коэффициент сопротивления определяется формулой Стокса (область 1):
Cx 
24
.
Re
Re 
υ d
.
v
При дальнейшем увеличении числа Рейнольдса
уменьшение
коэффициента
сопротивления
несколько замедляется, а в дальнейшем даже
возрастает. Возрастание связано с тем, что при этих
числах
Рейнольдса
происходит
отрыв
ламинарного пограничного слоя от поверхности, и
за шаром образуется большая область II с
Рис. 11.9
нарастающей интенсивностью турбулентного
движения, размер которой в основном и определяет силу сопротивления шара из-за
возрастания коэффициента сопротивления. Далее, в довольно широком интервале
изменения чисел Рейнольдса коэффициент сопротивления остается практически
неизменным. Действительно, как следует из безразмерных уравнений Прандтля,
картина движения в ламинарном пограничном слое при увеличении числа Рейнольдса
подвергается подобному преобразованию.
17
Кризис сопротивления
При этом все продольные координаты и скорости остаются неизменными, а
поперечные уменьшаются обратно пропорционально
. Следовательно,
и продольная
x
координата точки отрыва пограничного слоя не изменяется при увеличении числа
Рейнольдса. Поэтому не изменяется и размер турбулентной области за шаром, а стало
быть, и коэффициент сопротивления должен оставаться приблизительно постоянным.
• При числах Re ~ 2,5∙105 происходит турбулизация ламинарного пограничного
слоя, что приводит к смещению точки отрыва пограничного слоя в кормовую часть
шара и резкому уменьшению коэффициента лобового сопротивления почти в 2 раза и
более, хотя число Рейнольдса возрастает. Это явление называют кризисом
сопротивления шара.
• При дальнейшем увеличении числа Re коэффициент лобового сопротивления Сх
несколько увеличивается, а затем остаётся постоянным.
• В заключении заметим, что решение задачи о пограничном слое с помощью
безразмерных уравнений Прандтля относят к классу автомодельных решений. В
таких решениях профили безразмерных скоростей, давлений и температур изменяются
подобным образом при изменении безразмерных геометрических координат, т.е. не
зависят от их реальных значений. Например, независимость коэффициента Сх от числа
Re в области II и III на рис. 11.9 подтверждает автомодельность решения задачи.
18
Выводы
•
•
•
•
Введены основные определения и получены основные
законы сохранения, описывающие движение вязкой среды в
пограничном слое:
Уравнения Прандтля для пограничного слоя:
–
–
–
–
уравнения Прандтля в безразмерном виде,
вязкая сила в пограничном слое,
толщина вытеснения,
разгонный участок в плоской и круглой трубе.
Интегральное уравнение Кармана:
– решение системы уравнений Прандтля методом Кармана,
– обтекание полубесконечной пластинки.
Отрыв пограничного слоя.
Турбулентный пограничный слой и
кризис сопротивления:
– две области в пограничном слое,
– кризис сопротивления при обтекании шара.
2008. Численные методы…Лекция 21
19
Информационное обеспечение лекции
•
1.Бабаков А.В., Белоцерковский О.М., Северинов Л.И. Численное
исследование течения вязкого теплопроводного газа у тупого тела
конечных размеров.- Изв. АН СССР. Сер. Механ. жидк. и газа, 1975, №3, с.
112-123.
•
2. Бабаков А.В. Численное моделирование некоторых задач
аэрогидродинамики.-М.: ВЦ АН СССР, 1986, с. 56.
•
3. Белоцерковский О.М., Северинов Л.И. Консервативный метод
потоков и расчет обтекания тела конечных размеров вязким
теплопроводным газом.- ЖВМ и МФ, 1973, 13, №2, с. 385-397.
•
4. Самарский А.А. О консервативных разностных схемах.- В кн.:
Проблемы прикл. матем. и механ. М.: Наука, 1971, с.129-136.
2008. Численные методы…Лекция 21
20
Справочные данные
Курс лекций является частью учебно-методического
комплекса «Численные методы расчета задач механики
сплошных сред. 1. Теория упругости и идеальная
среда».
Автор: Породнов Борис Трифонович, д. ф. – м. н.,
профессор кафедры молекулярной физики УГТУ-УПИ.
Учебно-методический комплекс подготовлен на
кафедре МФ ФТФ ГОУ ВПО УГТУ-УПИ.
электронный адрес: [email protected]
21