Семинар 3 Основные теоретические сведения

22
ФИЗИКА, 10 КЛАСС, ЧАСТЬ 1
Семинар 3
Ускорение свободного падения: прямолинейное движение по вертикали. Понятие о
проекции вектора на координатную ось.
Основные теоретические сведения
Эксперименты показывают, что вблизи поверхности Земли все тела, если на них
не действуют никакие другие силы, кроме силы тяжести, двигаются с одним и тем же
постоянным ускорением g  9.8 м/с2 , направленным вниз. Это утверждение лежит в
основе решения задач о движении тел, свободно падающих в поле тяжести Земли. Как
правило, при решении таких задач следует пренебрегать силой сопротивления воздуха,
хотя ее учет мог бы в ряде случаев существенным образом повлиять на
ответ.
На этом семинаре мы начнем пользоваться понятием «проекция вектора на
координатную ось». До сих пор мы решали задачи, в которых с самого начала было
понятно, что означает движение «вперед», а что — «назад». В дальнейшем нам придется
самим выбирать, какое направление считать положительным. Формальный подход к
этому вопросу состоит в следующем. Надо понять, вдоль какой прямой будет двигаться
тело (на этом семинаре это будет вертикальное направление) и ввести ось координат
вдоль этой прямой. Направление оси (вверх или вниз) и начало отсчета выбираем так, как
нам будет удобнее для решения конкретной задачи. После этого положение тела
определяется его единственной координатой. Другие координатные оси нам пока не
понадобятся, поскольку в задачах этого семинара тела будут двигаться вдоль одной
прямой.
Мы уже упоминали о том, что скорость, перемещение и ускорение являются
величинами векторными, поскольку характеризуются не только величиной, но и
направлением. На рисунках векторные величины принято изображать в виде стрелок
(векторов), длина и направление которых соответствуют изображаемой
векторной величине. На рис. 3.1 изображены два противоположно
направленных вектора a и b и параллельная им координатная ось y (в
y
тексте векторные величины принято обозначать буквой со стрелкой над
a
ней). Вектор a сонаправлен с осью y , поэтому его проекция a y на эту
ось положительна и равна длине самого вектора: a y  a (той же буквой,
что и вектор, но без стрелки, мы будем обозначать абсолютную величину
вектора, или его модуль, то есть число без направления). Вектор b
направлен противоположно оси, поэтому его проекция на эту ось
отрицательна: by  b .
b
Рис. 3.1
Теперь вместо того, чтобы говорить «скорость тела положительна»,
мы будем говорить «проекция скорости тела на такую-то ось
положительна».
С использованием понятия проекции известные нам из предыдущих семинаров
формулы следует переписать в следующем виде для проекции на ось y , направленной
вертикально вверх:
СЕМИНАР 3
23
v y  v0 y  gt (1)
S y  v0 y t 
Sy 
Sy 
gt 2
(2)
2
v12y  v02y
(3)
2 g
v1 y  v0 y
2
t (4)
Примеры решения задач
Задача 1. Тело находится на высоте 80 м над Землей. Найдите время, через которое оно
упадет на землю, если его отпустить без начальной скорости.
Дано:
Решение:
;
Если мы выберем направление оси
вверх, тогда перемещение
. тела равно: Sy = -H (минус показывает, что перемещение направлено
против оси y).
Найти:
Для того чтобы найти , воспользуемся (2):
.
.
Из этого уравнения получаем:
√
√
.
Задача 2. Камень брошен с высоты 28 м вертикально вверх с начальной скоростью 8 м/с.
Какой путь пройдет тело до падения на землю?
Дано:
Решение:
По аналогии с первой задачей хочется написать, что путь,
пройденный
телом, равен 28 м. Но такой ответ будет большой ошибкой,
.
потому что, вспоминаем, путь – это длина траектории. Траектория камня
Найти:
будет состоять из двух отрезков.
.
Первый отрезок – это камень поднимается вверх, второй – падает вниз на Землю.
;
Вычислим длину первого отрезка. Для этого надо вычислить перемещение из
начального положения до максимальной высоты, на которую поднимется камень. На
максимальной высоте тело окажется в тот момент времени, когда его скорость равна нулю
(v1y = 0). Тогда вычислим перемещение по формуле (3) (ось y, как и в предыдущей задаче,
направлена вверх):
.
Т.е. длина первого отрезка равна:
.
Максимальная высота, на которую поднялся камень:
.
С этой высоты камень падает на Землю. Тогда длина второго отрезка:
ФИЗИКА, 10 КЛАСС, ЧАСТЬ 1
24
.
Наконец, найдем общий путь, пройденный камнем:
.
I ГРУППА
Задача 3.1. Хулиган Ваня стреляет камнем из рогатки вертикально вверх. Начальная
скорость камня равна
. Составьте уравнение зависимости скорости и координаты
камня от времени.
Задача 3.2. Составьте уравнение зависимости координаты тела от времени , если:
а) тело бросают с поверхности Земли с начальной скоростью
;
б) тело бросают с высоты
с нулевой начальной скоростью;
в) тело бросают с высоты
с начальной скоростью
, направленной вверх;
г) тело бросают с высоты
с начальной скорость
, направленной вниз.
Задача 3.3.
скоростью
Тело подбрасывают с поверхности Земли вертикально вверх с начальной
. Найдите время подъема.
Задача 3.4. При стрельбе из рогатки вверх камень поднялся на максимальную высоту за
. Чему равна начальная скорость камня?
Задача 3.5. На какую максимальную высоту поднимется пуля при выстреле из ружья
вертикально вверх? Начальная скорость пули
.
Задача 3.6. С какой начальной скоростью нужно вертикально бросить камень, чтобы
попасть в окно на -ом этаже? Высота одного этажа
.
Задача 3.7. Тело, брошенное с поверхности Земли вертикально вверх, снова упало на
землю через . С какой начальной скоростью было брошено тело?
Задача 3.8. Подброшенный вверх с поверхности Земли камень упал обратно на землю
через . Какова была его начальная скорость?
Задача 3.9. Тело сбросили без начальной скорости с высоты
поверхностью Земли. Направив ось y вертикально вверх, найдите, как координата
зависит от времени . Как скорость тела зависит от времени?
над
тела
Задача 3.10. Координата тела зависит от времени по закону
.
Определите начальную скорость и высоту, с которой падает тело. Запишите уравнение
зависимости проекции скорости от времени.
Задача 3.11. Спортсмен во время соревнований по прыжкам с трамплина прыгает с
высоты
. Запишите уравнение зависимости скорости и координаты спортсмена от
времени.
Задача 3.12. Тело сбросили с высоты . Определите время
упадёт на Землю. Ускорение свободного падения равно .
, через которое тело
Задача 3.13. Древнегреческий философ Аристотель утверждал: во сколько раз масса
одного тела больше массы другого, во столько же раз отличаются их скорости при
падении. По легенде, для опровержения этого утверждения Г. Галилей в 1580 году
СЕМИНАР 3
25
продемонстрировал падение тел разной массы с Пизанской башни высотой
.
Пушечное ядро и мушкетная пуля достигли земли одновременно – за
. С каким
ускорением падали тела в его опыте? Сравните это ускорение с ускорением свободного
падения. Как вы думаете, почему они отличаются?
Задача 3.14. Определите глубину колодца, если камень, падая без начальной скорости,
достиг его дна за
.
Задача 3.15. Мальчик прыгает с высоты
приземления.
. Найдите скорость мальчика в момент
Задача 3.16. Ученики и ученицы, изучая физику, сбросили учебник по физике с -го
этажа. Найдите скорость учебника в момент удара о Землю. Высота одного этажа
.
Задача 3.17. Мобильный телефон случайно упал со стола. Определите, с какой скоростью
он ударился об пол. Высота стола
.
II ГРУППА
Задача 3.18. При прыжках на батуте спортсмен поднимается на высоту
. Какую
максимальную скорость приобретает спортсмен при прыжке? Сколько секунд он
находится в полете?
Задача 3.19. Тело бросают вверх с поверхности Земли. Докажите, что время подъема тела
на максимальную высоту равно времени его падения с этой высоты.
Задача 3.20. Два тела одновременно бросают вверх с поверхности Земли: первое – с
начальной скоростью
, второе – с начальной скоростью
. Найдите
отношение максимальных высот, на которые поднимутся эти тела.
Задача 3.21. Подъемный кран равномерно поднимает контейнер с ящиками с
поверхности Земли вверх со скоростью
. В момент времени
контейнер
останавливается, но один из ящиков вылетает из контейнера и начинает падать. Найдите
скорость ящика в момент его удара о Землю.
Задача 3.22. Тело падает с высоты
без начальной скорости. Какой путь проходит
тело за первую, вторую, третью и последнюю секунды своего падения? Каково отношение
между расстояниями, пройденными за это время?
Задача 3.23. Тело падает с высоты
без начальной скорости. Какой путь проходит
тело за первую и последнюю секунды своего падения?
Задача 3.24. С вертолета, находящегося на высоте
, сбросили без начальной
скорости относительно вертолета железную болванку. Определите время падения
железной болванки и ее скорость в момент падения, если:
а) вертолет был неподвижен;
б) вертолет поднимался вверх со скоростью
.
Задача 3.25. Мальчики сбрасывали шарики с водой с балкона. Чтобы шарик с водой
ударился с большей скоростью, решили, что его нужно не просто отпустить, а кинуть.
Миша сказал, что нужно подкидывать вверх, а Илья – вниз. Найдите время полета и
скорость у Земли, если кидали они с высоты -го этажа (
):
ФИЗИКА, 10 КЛАСС, ЧАСТЬ 1
26
а) подкидывали вверх со скоростью
;
б) кидали вниз со скоростью
.
Кто из мальчиков оказался прав? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Задача 3.26. Ученики 10А класса играли в футбол в лесу. Вовочка сильно ударил по
мячу, и тот, полетев высоко вверх, застрял в ветках. После семи неудачных попыток сбить
мяч палкой Вовочка размахнулся посильнее и попал в мяч так, что мяч полетел
вертикально вверх с начальной скоростью
. На какой высоте застрял мяч, если
он ударился о Землю со скоростью
?
Задача 3.27. Координата тела зависит от времени по закону
Найдите максимальную высоту, на которую поднимется тело.
.
Задача 3.28. На Рис. 3.2 показан график зависимости проекции скорости тела, брошенного вверх с поверхности Земли. Найдите время и высоту полета.
Задача 3.29. График зависимости величины скорости сигнальной ракеты от времени
выглядит так, как показано на Рис. 3.3. Найдите время, за которое ракета поднимется на
максимальную высоту.
Рис. 3.2
Рис. 3.3
III ГРУППА
Задача 3.30. С какой высоты упало тело, если в последнюю секунду своего движения оно
прошло путь, равный
, а начальная скорость была равна ?
Задача 3.31. Свободно падающее тело прошло последние
упало тело?
за
. С какой высоты
Задача 3.32. Два тела начали падать с одной и той же высоты через промежуток , одно
после другого. Через сколько секунд после начала падения второго тела расстояние между
ними равно ? В момент падения первого тела на Землю расстояние между телами больше
.
Задача 3.33. Девочка, живущая на -ом этаже и выращивающая цветы, случайно уронила
два цветочных горшка с интервалом времени
. Определите расстояние между
цветочными горшками через
после начала падения второго горшка.
Задача 3.34. Во время оттепели с крыши капает вода. Промежуток между отрывами
капель . На каком расстоянии друг от друга будут находиться две капли через время
после начала падения первой капли?
СЕМИНАР 3
27
Задача 3.35. Два тела находятся на одной вертикали на расстоянии
друг от друга. В
некоторый момент времени верхнее тело отпускают, а нижнее бросают вверх со
скоростью
. На какой высоте, считая от начального положения нижнего тела, и через
какое время тела столкнутся?