Ускорение свободного падения: прямолинейное

СЕМИНАР 3
29
Семинар 3
Ускорение свободного падения: прямолинейное движение по вертикали.
Основные теоретические сведения
Эксперименты показывают, что вблизи поверхности Земли все тела, если на них не
действуют никакие другие силы, кроме силы тяжести, двигаются с одним и тем же
постоянным ускорением g  9.8 м/с2 , направленным вниз. Это утверждение лежит в
основе решения задач о движении тел, свободно падающих в поле тяжести Земли. Как
правило, при решении таких задач следует пренебрегать силой сопротивления воздуха,
хотя ее учет мог бы в ряде случаев существенным образом повлиять на
ответ.
На этом семинаре мы начнем пользоваться понятием «проекция вектора на координатную
ось». До сих пор мы решали задачи, в которых с самого начала было понятно, что
означает движение «вперед», а что — «назад». В дальнейшем нам придется самим
выбирать, какое направление считать положительным. Формальный подход к делу
состоит в следующем. Надо понять, вдоль какой прямой будет двигаться тело (на этом
семинаре — вертикальное направление) и ввести ось координат, параллельную этой
прямой. Направление оси (вверх или вниз) и начало отсчета выбираем так, как нам будет
удобнее для решения конкретной задачи. После этого положение тела определяется его
единственной координатой. Другие координатные оси нам пока не понадобятся,
поскольку в задачах этого семинара тела будут двигаться вдоль одной прямой.
Мы уже упоминали о том, что скорость, перемещение и ускорение являются
величинами векторными, поскольку характеризуются не только величиной, но и
направлением. На рисунках векторные величины принято изображать в виде стрелок
(векторов), длина и направление которых соответствуют изображаемой
векторной величине. На рис. 3.1 изображены два противоположно
направленных вектора a и b и параллельная им координатная ось y (в
y
тексте векторные величины принято обозначать буквой со стрелкой над
a
ней). Вектор a сонаправлен с осью y , поэтому его проекция a y на эту ось
положительна и равна длине самого вектора: a y  a (той же буквой, что и
вектор, но без стрелки, мы будем обозначать абсолютную величину
вектора, или его модуль, то есть число без направления). Вектор b
направлен противоположно оси, поэтому его проекция на эту ось
отрицательна: by  b .
b
Рис. 3.1
Теперь вместо того, чтобы говорить: «скорость тела положительна», мы
будем говорить: «проекция скорости тела на такую-то ось положительна».
С использованием понятия проекции известные нам из предыдущих семинаров формулы
следует переписать в следующем виде для проекции на ось y , направленной
вертикально вверх:
(1)
(2)
(3)
(4)
ФИЗИКА, 9 КЛАСС, ЧАСТЬ 1
30
Примеры решения задач
Задача 1
Тело находится на высоте 80 м над землей. Найдите время, через которое оно упадет на
Землю, если его отпустить без начальной скорости.
Дано
Си
H = 80 м
v0y = 0 м/с
Найти
t
v
Решение
Если мы выберем направление оси y вверх, тогда перемещение тела Sy = -H (минус
показывает, что перемещение направлено против оси y).
Получается, что нам известны: Sy, v0yи, конечно, g. Для того, чтобы найти t, проще всего
воспользоваться формулой (2):
Получаем
√
√
Задача 2
Камень брошен с высоты 28 м вертикально вверх с начальной скоростью 8 м/с. Какой
путь пройдет тело до падения на Землю?
Дано
Си
H = 28 м
v0y = 8 м/с
Найти
S
Решение
По аналогии с первой задачей хочется написать, что путь, пройденный телом, 28 м. Но
такой ответ будет большой ошибкой, потому что, вспоминаем, путь – это длина
траектории. Траектория камня будет состоять из двух отрезков. Первый отрезок – это
камень поднимается вверх, второй – падает вниз до поверхности.
Вычислим длину первого отрезка. Для этого надо вычислить, на какую максимальную
высоту подымется камень. Представим себе, как камень летит вертикально вверх:
замедляется… замедляется… на какое-то мгновение застывает и начинает падать вниз всё
быстрее и быстрее. На максимальной высоте тело окажется в тот момент времени, когда
его скорость равна нулю (v1y = 0). Получается, что мы знаем следующие величины: v0y,
v1yи, конечно, g. Значит можно применить формулу (3) (обратите внимание, ось
yпо-прежнему направлена вверх!!):
Т.е. перемещение камня к моменту, когда скорость камня стала равна нулю, составляет
3.2 м, другими словами камень, поднимется на высоту 3.2 м. Дальше камень падает назад:
3.2 м + 28 м = 31.2 м. Итого путь камня составил вверх 3.2 м, вниз 31.2 м, всего 34.4 м.
СЕМИНАР 3
31
Текстовые задачи
I
Задача 3.1. Стрела, выпущенная из лука вертикально вверх со скоростью 25 м/с,
поражает цель через 2 с. Какую скорость будет иметь стрела к моменту достижения цели?
Задача 3.2. (ГИА) Тело брошено вертикально вверх. Через 0,5 с после броска его скорость равна 20 м/с. Какова начальная скорость тела? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Задача 3.3. (ГИА) Камень свободно падает, оторвавшись от скалы высотой 80 м. Чему
равно время падения камня?
Задача 3.4. Тело сбросили с высоты H. Определите время
упадет на Землю. Ускорение свободного падения равно g.
tпад., через которое тело
Задача 3.5. Древнегреческий философ Аристотель утверждал: во сколько раз масса одного тела больше массы другого, во столько же раз отличаются их скорости при падении.
По легенде для опровержения этого утверждения Г. Галилей в 1580 году прилюдно
демонстрировал падение тел разной массы с Пизанской башни высотой 48 м. Пушечное
ядро и мушкетная пуля достигали земли одновременно – за 3.2 с. С каким ускорением
падали тела в его опыте? Сравните это ускорение с ускорением свободного падания.
Как вы думаете, почему они отличаются?
Задача 3.6. Определите глубину колодца, если камень, падая без начальной скорости,
достиг его дна за 1,8 с.
Задача 3.7. (ГИА) Мяч начинает падать на Землю с высоты 20 м с начальной скоростью,
равной нулю. Какую скорость приобретет мяч к моменту удара о поверхность Земли?
Сопротивлением воздуха пренебречь.
Задача 3.8. Тело подбрасывают с поверхности Земли вертикально вверх с начальной
скоростью v 0 = 20 м/с. Через какое время оно достигнет максимальной высоты? Какова эта
высота? Через какое время тело упадет обратно на Землю?
Задача 3.9. На какую максимальную высоту поднимется пуля при выстреле из ружья
вертикально вверх? Через какое время пуля достигнет максимальной высоты? Определите
также время полета пули. Начальная скорость пули 700 м/с.
Задача 3.10. Бросая мяч вертикально вверх, мальчик сообщает ему скорость в 1,5 раза
большую, чем девочка. Во сколько раз выше поднимется мяч, брошенный мальчиком?
Задача 3.11. Тело, брошенное с поверхности Земли вертикально вверх, снова упало на
Землю через 4.0 с. С какой начальной скоростью было брошено тело и какой максимальной высоты оно достигло?
Задача 3.12. Тело подбрасывают с поверхности Земли вертикально вверх с начальной
скоростью v 0 . Через какое время оно достигнет максимальной высоты? Какова эта
высота? Через какое время тело упадет обратно на Землю? Ускорение свободного падения
равно g.
ФИЗИКА, 9 КЛАСС, ЧАСТЬ 1
32
II
Задача 3.13. (ГИА) Тело бросили по вертикали с некоторой начальной скоростью. Дан
график зависимости модуля скорости от времени. По графику определите
1) ускорение, с которым двигалось тело;
2) путь, который прошло тело с 2 по 4 секунду;
3) что можно сказать о направлении начальной скорости и ускорения?
ν,м/с
60
50
40
30
20
10
0
Задача 3.14. (ГИА) Тело бросили по вертикали с некоторой начальной скоростью. Дан
график зависимости модуля скорости от времени. По графику определите
1) ускорение, с которым двигалось тело;
2) путь, который прошло тело с 2 по 4 секунду;
3) что можно сказать о направлении начальной скорости и ускорения?
2
4
6
t, c
2
4
6
t, c
2
4
6
ν,м/с
60
50
40
30
20
10
0
Задача 3.15. (ГИА) Тело бросили по вертикали с некоторой начальной скоростью. Дан
график зависимости модуля скорости от времени. По графику определите
1) ускорение, с которым двигалось тело;
2) путь, который прошло тело;
3) перемещение, которое совершило тело за 6
секунд;
4) что можно сказать о направлении начальной скорости и ускорения?
ν,м/с
60
50
40
30
20
10
0
t, c
СЕМИНАР 3
Задача 3.16. Из лука выпустили стрелу вертикально вверх. На рисунке показана зависимость проекции скорости стрелы от времени.
По графику определите:
1) с какой начальной скоростью выпустили
стрелу?
2) в какой момент времени стрела достигла
максимальной высоты?
3) на какую максимальную высоту поднялась стрела?
4) какой путь прошла стрела за 6 секунд?
33
νy,м/с
Задача 3.17. На асфальт с некоторой высоты
уронили теннисный мячик. Зависимость проекции скорости мячика от времени показана
на графике. По графику определите:
1) с какой высоты уронили теннисный мячик?
2) на какую максимальную высоту подпрыгнул мячик после удара об асфальт?
Задача 3.18. С вертолета, находящегося на
высоте 150 м, сбросили без начальной скорости относительно вертолета железную болванку. Определите время падения железной
болванки, если:
а) вертолет был неподвижен;
б) вертолет поднимался вверх со скоростью 3 м/с;
в) вертолет опускался вниз со скоростью 3 м/с.
30
20
10
0
2
4
-10
6 t, c
-20
-30
νy,м/с
10
5
0
1
2 t, c
-5
-10
Задача 3.19. С высоты 2 м вертикально вверх бросили тело с начальной скоростью 5 м/с.
Через какое время тело достигнет поверхности Земли? Найти модуль перемещения и
пройденный путь за это время.
Задача 3.20. Камень брошен с высоты 28 м вертикально вверх с начальной скоростью
8 м/с. Найдите скорость при ударе камня о Землю.
Задача 3.21. (ГКГ-57.28) Через сколько секунд мяч будет на высоте 25 м, если его
бросить вертикально вверх с начальной скоростью 30 м/с?
Задача 3.22. Свободно падающее тело пролетело точку А со скоростью v A . С какой
скоростью оно пройдет мимо точки В, находящейся ниже точки А на величину h ?
Задача 3.23. (ГКГ-57.18) Тело падает с высоты 100 м без начальной скорости. Какой путь
проходит тело за первую и последнюю секунды своего падения?
Задача 3.24. Тело падает с высоты 45 м без начальной скорости. Какой путь проходит
тело за первую и последнюю секунды своего падения?
Задача 3.25. С какой высоты упало тело, если в последнюю секунду своего движения оно
прошло путь, равный 12 м?
ФИЗИКА, 9 КЛАСС, ЧАСТЬ 1
34
Задача 3.26. Свободно падающее тело прошло последние 5 метров за 0,1 с. С какой
высоты упало тело?
III
Задача 3.27. Тело падает с высоты 100 м. Разделите эту высоту на такие две такие части
h1, h2 так, чтобы на прохождение каждой из них потребовалось одинаковое время.
Задача 3.28. Кирпич падает с высоты 30 м. Разделите эту высоту на такие три части h1,
h2, h3 так, чтобы на прохождение каждой из них потребовалось одинаковое время.
Задача 3.29. Два тела начали падать с одной и той же высоты через промежуток τ одно
после другого. Через сколько секунд после начала падения второго тела расстояние между
ними равно l?
Задача 3.30. (Б.33) С башни, имеющей высоту h , бросают одновременно два шарика:
один — вертикально вверх со скоростью v1 , второй — вертикально вниз со скоростью v2 .
Найдите промежуток времени t , отделяющий моменты их падения на Землю.
Задача 3.31. Девочка, живущая на 9-ом этаже и выращивающая цветы, случайно уронила
два цветочных горшка с интервалом времени 0,5 с. Определите расстояние между
цветочными горшками через 1,5 с после начала падения второго горшка.
Задача 3.32. Во время оттепели с крыши капают капли воды. Промежуток между
отрывами капель 0,2 с. На каком расстоянии друг от друга будут находиться три капли
через время t = 1 с после начала падения первой капли?
Задача 3.33. Исследователи бросили по булыжнику в маленькое и большое ущелье.
Глубина ущелий равна 30 м и 500 м соответственно. Через сколько секунд они услышат
звук удара в каждом из случаев?
Задача 3.34. Для определения глубины ущелья в него бросили камень. Звук падения
камня раздался через 7 секунд. Определите глубину ущелья.
Задача 3.35. Вертикально вверх из одной и той же точки с интервалом времени Т
брошены два шарика со скоростью v . Через какое время после вылета второго шарика
они столкнутся?
Задача 3.36. (МЭИ) Вертикально вверх из одной и той же точки с интервалом времени
Т = 4 сброшены два шарика с одинаковой скоростью v0 = 50 м/с. Через какое время после
вылета второго шарика они столкнутся?
Задача 3.37. Два тела находятся на одной вертикали на расстоянии 5 м друг от друга. В
некоторый момент времени верхнее тело отпускают, а нижнее бросают вверх со
скоростью 5 м/с. На какой высоте и через какое время тела столкнутся?
Задача 3.38. Два камня находятся на одной вертикали на расстоянии 15 м друг от друга.
В некоторый момент времени верхний камень бросают вниз со скоростью 25 м/с, а
нижний отпускают. Через какое время камни столкнутся?