Наименование дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика»

Наименование дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика»
Автор - проф. А.В.Христофоров
Цель освоения дисциплины: знание принципов и владение методами описания
вероятностной природы гидрологических явлений и процессов и приемами
статистического анализа данных гидрологических наблюдений.
Задачи:
- знакомство с основными правилами определения вероятностей различных случайных
событий;
- получение навыков описания распределения вероятностей различных случайных
величин и связей между ними;
- приобретение знаний и опыта для выполнения статистического анализа
пространственно-временной изменчивости гидрологических характеристик;
- знание методов построения и применения различных стохастических моделей для
описания изменения гидрологических характеристик в пространстве и во времени.
Место дисциплины в структуре ООП:
Дисциплина относится к модулю «Высшая математика» профессионального цикла
базовой части ОПП по направлению подготовки «Гидрометеорология». Год обучения
3, семестры 5, 6. Для изучения данной дисциплины необходимы следующие «входные»
знания, умения и навыки: знание основных теоретических положений аналитической
геометрии, линейной алгебры и математического анализа (курс «Высшая математика»),
умение формулировать и практически решать основные математические задачи по
аналитической геометрии, линейной алгебре и математическому анализу, наиболее часто
встречающиеся в гидрологии (курс «Высшая математика»), достаточно высокий уровень
компетентности в области сбора и первичной обработки данных гидрологических
наблюдений (курсы «Гидрология», «Гидрометрия и техника безопасности»,
«Информатика с основами геоинформатики»). Данная дисциплина является
предшествующей для курсов: «Гидрологические прогнозы», «Речной сток и
гидрологические расчеты», «Водохозяйственные расчеты», «Эколого-экономические
основы водопользования», «Информатика с основами геоинформатики".
В результате изучения дисциплины студент должен:
Знать: основные понятия теории вероятностей, теории случайных процессов и
математической статистики и специфику применения этих математических дисциплин в
гидрологии при анализе изменения характеристик гидрологических явлений во времени и
в пространстве и выявлении и описании зависимостей между различными
гидрологическими и климатическими характеристиками.
Уметь: описывать и анализировать распределение вероятностей рассматриваемых в
гидрологии случайных величин, вероятностную природу гидрологических процессов и
полей, неоднозначные связи между различными гидрологическими характеристиками и
их природными и антропогенными факторами.
Владеть: современными методами статистического анализа данных гидрологических
наблюдений для оценки различных параметров распределения вероятностей случайных
величин и характеристик случайных процессов и полей, выявления и математического
описания различных зависимостей между гидрологическими величинами, оценки
климатических и антропогенных изменений гидрологического режима водных объектов,
построения расчетных и прогнозных схем, используемых в гидрологии.
Содержание
Раздел 1. Теория вероятностей
Введение. Предмет исследования теории вероятностей и математической статистики.
1
История развития теории вероятностей и математической статистики. Место
вероятностно-статистического анализа в гидрологических исследованиях.
Тема 1. Случайные события и их вероятность. Алгебра случайных событий. Частота
случайных событий. Элементарные исходы случайного эксперимента. Вероятность
случайных событий и аксиоматическое построение теории вероятностей. Условная
вероятность. Формула полной вероятности, формула Байеса, формула Бернулли.
Тема 2. Случайные величины и их распределение вероятностей. Случайная величина и ее
функция распределения вероятностей. Ряды распределения и числовые характеристики
дискретных случайных величин. Плотности распределения вероятностей и числовые
характеристики непрерывных случайных величин. Функции от случайных величин.
Тема 3. Системы случайных величин. Совместная функция распределения вероятностей
системы случайных величин. Дискретные системы случайных величин. Непрерывные
системы случайных величин. Независимость случайных величин и условное
распределение вероятностей. Числовые характеристики системы случайных величин.
Предельные теоремы теории вероятностей.
Раздел 2. Математическая статистика
Тема 1. Статистическое оценивание характеристик случайных величин. Задачи
математической статистики и понятие случайной выборки. Оценки математического
ожидания, дисперсии, коэффициента корреляции и функции распределения вероятностей.
Оценка параметров распределения вероятностей, методы моментов и наибольшего
правдоподобия. Интервальное статистическое оценивание.
Тема 2. Статистический анализ связей между случайными величинами. Построение
эмпирических зависимостей между случайными величинами. Статистическое оценивание
функции регрессии и остаточной дисперсии. Метод наименьших квадратов.
Множественная линейная корреляция.
Тема 3. Проверка статистических гипотез. Критерии согласия Колмогорова и «хиквадрат». Критерии независимости, признаков, критерии Питмена, Спирмена, ДурбинаВатсона. Критерии однородности Стьюдента, Фишера, Бартлетта, однофакторного
дисперсионного анализа, Колмогорова-Смирнова, Краскелла-Уоллиса. Уровень
значимости и мощность статистических критериев.
Раздел 3. Теория случайных процессов
Тема 1. Основные понятия теории случайных процессов. Случайные функции, случайные
процессы и их основные характеристики. Примеры использования теории случайных
процессов в гидрологии.
Тема 2. Виды случайных процессов и их свойства. Последовательности случайных
событий. Простая цепь Маркова. Стационарный процесс Пуассона. Непрерывные
случайные процессы, их дифференцирование и интегрирование. Последовательности
случайных величин. Стационарные и Марковские случайные процессы. Процессы
авторегрессии и другие линейные модели случайных последовательностей.
Тема 3. Статистика случайных процессов. Оценка характеристик случайного процесса
при наличии ансамбля его реализаций. Эргодичность. Критерии выявления и методы
описания трендов и автокорреляции случайных процессов. Оценка характеристик
стационарного эргодического процесса.
Заключение. Основные итоги курса. Проблемы использования теории случайных
процессов в гидрологических исследованиях.
Рекомендуемая литература
Основная:
Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Изд-во «Наука», 1969. 485 с.
Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Задачи и упражнения по теории вероятностей. - М.: Изд-во
«Наука», 2006. 241 с.
2
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Изд-во «Наука»,
2003, 480 с.
Христофоров А.В. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Изд-во
МГУ, 1988. 128 с.
Христофоров А.В. Теория случайных процессов в гидрологии. – М.: Изд-во МГУ, 1995.
139 с.
Дополнительная:
Афифи А., Эйзен С. Статистический анализ. Подход с использованием ЭВМ. – М.: Издво «Наука»,1982. 384 с.
Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. – М.: Изд-во
«Наука», 1983. 415 с.
Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. – М.: Изд-во «Наука», 1969. 400 с.
Кендалл М., Стьюарт А. Статистические выводы и связи.– М.: Изд-во «Наука», 1973.
899 с.
Кендалл М., Стьюарт А. Многомерный статистический анализ. – М.: Изд-во «Наука»,
1976. 843 с.
Королюк В.С., Портенко Н.И., Скороход А.В., Турбин А.Ф. Справочник по теории
вероятностей и математической статистике. – М.: Изд-во «Наука», 1985. 640 с.
Прохоров Ю.В., Розанов Ю.А. Теория вероятностей. Основные понятия, предельные
теоремы, случайные процессы. – М.: Изд-во «Наука», 1973. 494 с.
Рождественский А.В., Ежов А.В., Сахарюк А.В. Оценка точности гидрологических
расчетов. – Л.: Гидрометеоиздат, 1990. 275 с.
Рожков В.А. Теория вероятностей случайных событий, величин и функций. Книга 1. –
С.-Пб.: Изд-во «Прогресс – Погода», 1996. 154 с.
Рожков В.А. Теория вероятностей случайных событий, величин и функций. Книга 2. –
С.-Пб.: Изд-во «Прогресс – Погода», 1996. 557 с.
Guide to Hydrological Practices. Volume I. Hydrology – From Measurement to Hydrological
Information // World Meteorological Organization - No. 168, Geneva, 2009. - 738 p.
Statistical methods in the Atmospheric Sciences. Edited by R. Dmowska, D. Hartman, H.T.
Rossby. INTERNATIONAL GEOPHYSICS SERIES, Volume 1. Oxford, OX51GB, UK, 2011.
- 668 p.
Интернет-ресурсы
www.waterinfo.ru (Министерство природных ресурсов Российской Федерации.
Федеральное агентство водных ресурсов, ФГУП «Центр Российского регистра
гидротехнических сооружений и государственного водного кадастра),
rims.unh.edu – Arctic RIMS (Региональная гидрологическая система мониторинга
Арктических бассейнов),
www.r-arcticnet.sr.unh.edu – R-ArcticNet (Региональные гидрографические данные сети
постов Арктического региона),
www.cawater-info.net (Портал знаний о водных ресурсах и экологии Центральной Азии)
www.nws.noaa.gov/oh/hic (Центр гидрологической информации национальной службы
погоды США),
water.usgs.gov (Данные по водным ресурсам США, включая оперативные данные по
каждому штату).
www.wsc.ec.gc.ca (Гидрометеорологические и климатические данные по Канаде).
3