Размерности и… правило квантования Бора

!$
ÊÂÀÍT 2007/¹3
òî îêàæåòñÿ, ÷òî êàê â óñòîé÷èâîì, òàê è â íåóñòîé÷èâîì
ïîëîæåíèè ýòî óñèëèå ïðèêëàäûâàòü íå íóæíî. Îäíàêî
äîáèòüñÿ òîãî, ÷òîáû ðòóòü ïðè ïîâûøåíèè òåìïåðàòóðû
ñàìà îïóñêàëàñü (â ñîîòâåòñòâèè ñî âòîðîé âåòâüþ ïàðàáîëû), íåâîçìîæíî. Íàõîäÿñü â «âåðõíåì» ïîëîæåíèè ðàâíî-
Ðàçìåðíîñòè
è… ïðàâèëî
êâàíòîâàíèÿ Áîðà
Ã.ÁÀÊÓÍÈÍ
Í
È ÄËß ÊÎÃÎ ÍÅ ÑÅÊÐÅÒ, ×ÒÎ ÍÅ ËÞÁÓÞ ÊÎÍÖÅÏÖÈÞ
ñîâðåìåííîé ôèçèêè ìîæíî êîððåêòíî îáúÿñíèòü â
øêîëüíûõ òåðìèíàõ. Èíîãäà ñèòóàöèÿ ñêëàäûâàåòñÿ åùå
ñëîæíåå – âû÷èñëåíèÿ íîñÿò ýëåìåíòàðíûé õàðàêòåð, îäíàêî ïîíÿòü ìîòèâàöèþ êëàññèêîâ ñîâñåì íåïðîñòî. Òàê, íàïðèìåð, îáñòîèò äåëî ñ ôîðìóëîé Áîðà äëÿ êâàíòîâàíèÿ
ýíåðãåòè÷åñêèõ óðîâíåé â àòîìå âîäîðîäà. Ýòà ôîðìóëà
áåçóñëîâíî äîñòîéíà òîãî, ÷òîáû îáðàòèòü íà íåå âíèìàíèå,
ïîñêîëüêó ïîçâîëÿåò óñòàíîâèòü ñâÿçü ìåæäó çàêîíàìè êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè è êâàíòîâûìè èäåÿìè. Áîëåå òîãî, îíà
ÿâëÿåòñÿ ïðåêðàñíûì ïðèìåðîì òîãî, êàê íåòðèâèàëüíûé
ýêñïåðèìåíòàëüíûé ðåçóëüòàò íàãëÿäíî îáúÿñíÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ òåîðèè.
Åùå â 1885 ãîäó øâåéöàðñêèé ó÷èòåëü ôèçèêè È.Áàëüìåð
óñòàíîâèë, ÷òî ÷àñòîòû (èëè äëèíû âîëí) âñåõ ñïåêòðàëüíûõ
ëèíèé âîäîðîäà â îáëàñòè âèäèìîãî ñâåòà (ñåðèÿ Áàëüìåðà)
ìîæíî îïèñàòü îäíîé äîâîëüíî ïðîñòîé ôîðìóëîé. Íåñêîëüêî ïîçæå â ñïåêòðå âîäîðîäà áûëè îáíàðóæåíû ñåðèè ëèíèé
â îáëàñòè óëüòðàôèîëåòà (ñåðèÿ Ëàéìàíà) è â îáëàñòè
èíôðàêðàñíîãî èçëó÷åíèÿ (ñåðèÿ Ïàøåíà è äð. ñåðèè),
îïèñûâàåìûå àíàëîãè÷íûìè ôîðìóëàìè. Îêàçàëîñü, ÷òî
äëÿ âñåõ ýòèõ ëèíèé ïðèãîäíà îáùàÿ ôîðìóëà, íàçûâàåìàÿ
ôîðìóëîé Áàëüìåðà – Ðèäáåðãà:
æ 1
1
1ö
= Rç 2 - 2÷ ,
λ
nk ø
è nl
ãäå λ – äëèíà âîëíû èçëó÷åíèÿ, R = 1,097 × 107 ì -1 –
ïîñòîÿííàÿ Ðèäáåðãà, à nl è nk – öåëûå ÷èñëà. Ýòà ôîðìóëà
ÿâëÿëàñü â òî âðåìÿ íàó÷íîé çàãàäêîé.
Âêëþ÷èòü â òåîðåòè÷åñêóþ ìîäåëü êâàíòîâûå (öåëûå)
÷èñëà, îïèðàÿñü íà «ïëàíåòàðíóþ» ìîäåëü Ðåçåðôîðäà,
óäàëîñü Íèëüñó Áîðó â 1913 ãîäó. Ñ ôîðìàëüíîé òî÷êè
çðåíèÿ, íîâûå êâàíòîâûå âû÷èñëåíèÿ ïðîñòû, òàê êàê â íèõ
èñïîëüçóþòñÿ òîëüêî àëãåáðàè÷åñêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ áàçîâûõ çàêîíîâ. Îäíàêî âñå íå òàê ïðîñòî ñ êâàíòîâàíèåì
ìîìåíòà èìïóëüñà, èñïîëüçîâàííûì Áîðîì äëÿ îáúÿñíåíèÿ
ôîðìóëû Áàëüìåðà – Ðèäáåðãà. Âûáîð ýòîé ôèçè÷åñêîé
âåëè÷èíû äëÿ êâàíòîâàíèÿ äàëåêî íå òðèâèàëåí. Áîëåå òîãî,
ìîìåíò èìïóëüñà íå èçó÷àþò â øêîëå (ðàçâå ÷òî ôàêóëüòàòèâíî), è âî ìíîãîì ýòî ñîçäàåò ìåòîäè÷åñêèå òðóäíîñòè.
Çäåñü ìû ðàññìîòðèì, êàê ãèïîòåçó Áîðà ìîæíî îáîñíîâàòü
ñ ðàçìåðíîñòíîé òî÷êè çðåíèÿ, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ïîëåçíîé è
ïðè ðåøåíèè äðóãèõ çàäà÷.
âåñèÿ, ðòóòü ëèáî ñàìîïðîèçâîëüíî âûëüåòñÿ èç òðóáêè ïðè
ïîâûøåíèè òåìïåðàòóðû, ëèáî ïåðåéäåò â ïîëîæåíèå óñòîé÷èâîãî ðàâíîâåñèÿ (äëÿ ÷åãî íåîáõîäèìî ñîåäèíåíèå ñ ðåçåðâóàðîì æèäêîñòè, ðàñïîëîæåííûì ñâåðõó).
Íà÷íåì ñ ââåäåíèÿ îñíîâíûõ âåëè÷èí. Ýíåðãèþ èçëó÷àåìûõ ôîòîíîâ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ðåçóëüòàò ïåðåõîäà
ýëåêòðîíà ñ îäíîãî ýíåðãåòè÷åñêîãî óðîâíÿ íà äðóãîé:
hc
ε ô = hν =
= Enl - Enk ,
λ
ãäå h – ïîñòîÿííàÿ Ïëàíêà, ν – ÷àñòîòà èçëó÷åíèÿ, ñ –
ñêîðîñòü ñâåòà, à En – ýíåðãèÿ n-ãî óðîâíÿ.  íàøåì ñëó÷àå
ýíåðãèÿ Å ýëåêòðîíà, äâèæóùåãîñÿ ïî êðóãîâîé îðáèòå,
mv2
ñêëàäûâàåòñÿ èç êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè, ðàâíîé
, è
2
ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ïðèòÿæåíèÿ ýëåêòðîíà ê ÿäðó, ðàâe2
íîé :
4πε0r
mv2
e2
E=
.
2
4πε0r
Ýòî óðàâíåíèå ñîäåðæèò äâå íåèçâåñòíûå âåëè÷èíû: ñêîðîñòü ýëåêòðîíà v è ðàäèóñ îðáèòû r. Îäíó èç íèõ ìîæíî
èñêëþ÷èòü ïðè ïîìîùè óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ýëåêòðîíà ïî
îðáèòå
mv2
e2
=
.
r
4πε0r 2
Òîãäà ïîëó÷àåì
e2
E r = .
8πε0r
Ñðàâíèì ðàçíîñòü ýíåðãèé ýëåêòðîíà íà îðáèòàõ ñ ðàäèóñàìè rl è rk :
e2 æ 1 1 ö
8πε0 èç rl rk ø÷
ñ ýíåðãèåé ôîòîíà, çàïèñàííîé ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû Áàëüìåðà – Ðèäáåðãà:
æ 1
1ö
c
εô = hν = h = hcR ç 2 - 2 ÷ .
λ
nk ø
è nl
El - Ek = -
Âèäèì, ÷òî íåîáõîäèìî ââåäåíèå íîâîé ãèïîòåçû äëÿ òîãî,
÷òîáû óñòàíîâèòü ñâÿçü êâàíòîâûõ ÷èñåë nl è nk ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè ðàäèóñàìè îðáèò rl è rk .
Ãèïîòåçà, ïðåäëîæåííàÿ Áîðîì â 1913 ãîäó, çàêëþ÷àåòñÿ
â êâàíòîâàíèè ìîìåíòà èìïóëüñà âðàùàþùåãîñÿ ïî êðóãîâîé
îðáèòå ýëåêòðîíà:
h
mvr = n
.
2π
Èñòîðè÷åñêîé ñïðàâåäëèâîñòè ðàäè, îòìåòèì, ÷òî è äî Áîðà
ïðåäïðèíèìàëèñü ïîïûòêè êâàíòîâàíèÿ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí, ñâÿçàííûõ ñ îðáèòàëüíûì äâèæåíèåì. Òåì íå ìåíåå,
ãåíèàëüíàÿ èíòóèöèÿ Áîðà ñûãðàëà ðåøàþùóþ ðîëü.
Ðàññìîòðèì âîïðîñ ñ ðàçìåðíîñòíîé òî÷êè çðåíèÿ, íå
âûáèðàÿ çàðàíåå, êàêóþ âåëè÷èíó íóæíî êâàíòîâàòü. Çàïèøåì áîëåå îáùåå óñëîâèå êâàíòîâàíèÿ â âèäå
vαr β = nC0 ,
ãäå α, β,C0 – íåêîòîðûå ïîñòîÿííûå. Çàìåòèì, ÷òî ñëó÷àé
α = 2 è β = 0 âåäåò ê êâàíòîâàíèþ ýíåðãèè, âûáîð α = 1 è
β = 0 õàðàêòåðèçóåò èìïóëüñ, à êîìáèíàöèÿ α = 1 è β = 1
ñîîòâåòñòâóåò ìîìåíòó èìïóëüñà.
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ
Èòàê, ìû ïîëó÷èëè ñèñòåìó òðåõ óðàâíåíèé ñ òðåìÿ
íåèçâåñòíûìè v, r, n è òðåìÿ ïîñòîÿííûìè α, β,C0 :
e2
E r = ,
8πε0r
mv2
e2
=
,
r
4πε0r 2
vαr β = nC0 .
Èñêëþ÷àÿ ïåðåìåííûå v è r, íàéäåì çàâèñèìîñòü ýíåðãèè
ýëåêòðîíà E r n = En îò êâàíòîâîãî ÷èñëà n:
α
2
ö 2β - α æ 1 ö 2β - α
e2 æ
e2
:ç ÷
En = .
ç
2 ÷
è nø
4πε0 ç
è 4πε0 m C0 n α ÷ø
1
Äëÿ ïîëó÷åíèÿ çàâèñèìîñòè En : 2 , íåîáõîäèìî ïðåäïîn
ëîæèòü, ÷òî
1+ α
2β - α = 1 , èëè β α =
.
2
Î÷åâèäíî, â ðàìêàõ ðàçìåðíîñòíîãî ïîäõîäà ìû îæèäàåì
óâèäåòü öåëûå çíà÷åíèÿ α è β , ÷òî îáåñïå÷èâàåòñÿ íå÷åòíû-
ÊÐÓÆÎÊ
!%
ìè çíà÷åíèÿìè ÷èñëà α : α = 1,3,5,K Îäíàêî âûáîð α = β = 1
ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü â òåðìèíàõ ñîõðàíåíèÿ ìîìåíòà
èìïóëüñà ýëåêòðîíà. Ýòî âàæíûé àðãóìåíò, ïîñêîëüêó ñîõðàíåíèå ìîìåíòà èìïóëüñà îðáèòàëüíîãî äâèæåíèÿ â ïîëå
íüþòîíîâñêèõ èëè êóëîíîâñêèõ ñèë ÿâëÿåòñÿ îñíîâîé îïèñàíèÿ íåêðóãîâûõ òðàåêòîðèé. Ñàì Áîð çàòðîíóë ýòîò âîïðîñ
òîëüêî êîñâåííî, óêàçàâ íà âîçìîæíîñòü ñîïîñòàâëåíèÿ
êðóãîâîé è ýëëèïòè÷åñêîé îðáèò ýëåêòðîíà ñ çàäàííîé ýíåðãèåé ïîñðåäñòâîì âûáîðà ðàäèóñà êðóãîâîé îáèòû. Ñ äðóãîé
ñòîðîíû, ìîìåíò èìïóëüñà èìååò ðàçìåðíîñòü ïîñòîÿííîé
Ïëàíêà h:
rp = rmv = C*n ,
h
— ïîñòîÿííàÿ, êîòîðàÿ ñîîòâåòñòâóåò
ãäå C* = mC0 =
2π
óðàâíåíèþ, îïèñûâàþùåìó ãèïîòåçó Áîðà.
Åñòåñòâåííî, óíèâåðñàëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ h äîëæíà ó÷àñòâîâàòü â óðàâíåíèè, îïèñûâàþùåì èçëó÷åíèå â ñîîòâåòñòâèè ñ
ôóíäàìåíòàëüíûìè èäåÿìè Ïëàíêà. Âàæíî, ÷òî âî âðåìåíà
Ïëàíêà è Áîðà ïîñòîÿííàÿ h âñå åùå îñòàâàëàñü ìàãè÷åñêîé
âåëè÷èíîé, òðåáóþùåé èíòåðïðåòàöèè, è ìîäåëü êâàíòîâàíèÿ Áîðà ñòàëà åùå îäíèì øàãîì â ýòîì íàïðàâëåíèè.
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÊÐÓÆÎÊ
Ýéëåð
è ãåîìåòðèÿ
À.ÇÀÑËÀÂÑÊÈÉ
Ë
ÅÎÍÀÐÄ ÝÉËÅÐ ÁÛË ÎÄÍÈÌ ÈÇ ÑÀÌÛÕ ÐÀÇÍÎÑÒÎ-
ðîííèõ ìàòåìàòèêîâ âñåõ âðåìåí. Ðàçóìååòñÿ, íå îñòàëàñü îáäåëåííîé âíèìàíèåì Ýéëåðà è ýëåìåíòàðíàÿ ãåîìåòðèÿ. Â ýòîé ñòàòüå áóäóò îïèñàíû îñíîâíûå ðåçóëüòàòû,
ñâÿçàííûå ñ èìåíåì Ýéëåðà, è ïðèâåäåíû ïðèìåðû èñïîëüçóþùèõ ýòè ðåçóëüòàòû çàäà÷, êîòîðûå ïðåäëàãàëèñü íà
ãåîìåòðè÷åñêîé îëèìïèàäå èìåíè È.Ô.Øàðûãèíà. Ñëåäóåò,
âïðî÷åì, ñêàçàòü, ÷òî íåëüçÿ äîñòîâåðíî óòâåðæäàòü íè òîãî,
÷òî óêàçàííûå ðåçóëüòàòû ïðèíàäëåæàò öåëèêîì Ýéëåðó, íè
òîãî, ÷òî äîñòèæåíèÿ Ýéëåðà â ãåîìåòðèè ýòèìè ðåçóëüòàòàìè îãðàíè÷èâàþòñÿ.
Ïðÿìàÿ Ýéëåðà
Òåîðåìà 1. Ïóñòü ÀÂÑ – ïðîèçâîëüíûé òðåóãîëüíèê,
Ì – åãî öåíòð òÿæåñòè (òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ìåäèàí), Î –
öåíòð îïèñàííîé îêðóæíîñòè, Í – îðòîöåíòð (òî÷êà
ïåðåñå÷åíèÿ âûñîò). Òî÷êà Ì ëåæèò íà îòðåçêå ÎÍ è
ÎÌ : ÌÍ = 1 : 2.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü A0 , B0 , C0 – ñåðåäèíû îòðåçêîâ
ÂÑ, ÑÀ, À (ðèñ.1). Òîãäà òðåóãîëüíèê A0 B0C0 ãîìîòåòè÷åí
1
òðåóãîëüíèêó ÀÂÑ ñ öåíòðîì Ì è êîýôôèöèåíòîì - . Ïðè
2
ýòîé ãîìîòåòèè òî÷êà Í ïåðåõîäèò â îðòîöåíòð òðåóãîëüíèêà
A0 B0C0 – òî÷êó Î.
Ïðÿìàÿ, íà êîòîðîé ëåæàò òî÷êè Î, Ì, Í, íàçûâàåòñÿ ïðÿìîé Ýéëåðà òðåóãîëüíèêà.
Çàäà÷à 1.  îñòðîóãîëüíîì íåðàâíîñòîðîííåì
òðåóãîëüíèêå îòìåòèëè 4
òî÷êè: öåíòðû âïèñàííîé
è îïèñàííîé îêðóæíîñòåé,
öåíòð òÿæåñòè (òî÷êà
ïåðåñå÷åíèÿ ìåäèàí) è îðòîöåíòð (òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ âûñîò). Çàòåì ñàì
òðåóãîëüíèê ñòåðëè. Îêàçàëîñü, ÷òî íåâîçìîæíî
óñòàíîâèòü, êàêîìó öåí- Ðèñ. 1
òðó ñîîòâåòñòâóåò êàæäàÿ èç îòìå÷åííûõ òî÷åê. Íàéäèòå óãëû òðåóãîëüíèêà.
Îòâåò. Òðåóãîëüíèê, óäîâëåòâîðÿþùèé óñëîâèþ çàäà÷è,
1
ðàâíîáåäðåííûé ñ óãëàìè ïðè îñíîâàíèè, ðàâíûìè arccos .
4
Ðåøåíèå. Ïóñòü ÀÂÑ – èñõîäíûé òðåóãîëüíèê. Åñëè òî÷êà
I (öåíòð âïèñàííîé îêðóæíîñòè) íå ëåæèò íà åãî ïðÿìîé
Ýéëåðà, òî ìîæíî îäíîçíà÷íî óñòàíîâèòü ðîëü êàæäîé èç
òî÷åê â òðåóãîëüíèêå ÀÂÑ. Îòìåòèì, ÷òî ýòà ïðÿìàÿ ïðîõîäèò íå áîëåå ÷åì ÷åðåç îäíó âåðøèíó òðåóãîëüíèêà, òàê ÷òî
ìîæíî ñ÷èòàòü, íàïðèìåð, ÷òî òî÷êè À è  íå ëåæàò íà íåé.
π
Òàê êàê ÐOBA = ÐHBC = - ÐC , òî BI ÿâëÿåòñÿ áèññåêò2
ðèñîé óãëà ÍÂÎ. Çíà÷èò, òî÷êà I ëåæèò íà îòðåçêå ÎÍ,
ïðè÷åì OI = 2IH (èíà÷å ðîëü òî÷åê óñòàíàâëèâàåòñÿ îäíîçíà÷íî). Ïî ñâîéñòâó áèññåêòðèñû ïîëó÷àåì, ÷òî ÂÎ = 2ÂÍ.
Ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íî, íàõîäèì, ÷òî ÀÎ = 2ÀÍ. Òàêèì
îáðàçîì, ÀÍ = ÂÍ = R/2, ãäå R – ðàäèóñ îïèñàííîé îêîëî
òðåóãîëüíèêà îêðóæíîñòè. Çàìåòèì òåïåðü, ÷òî èç ãîìîòåòèè, óêàçàííîé â äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 1, ñëåäóåò òàêæå,
÷òî AH = 2OA0 (è ýòè îòðåçêè ïàðàëëåëüíû). Ïîíÿòíî òàê-