1. Случайная величина ξ распределена нормально с

1. Случайная величина ξ распределена нормально с параметрами 0 и 1. Найти плотность распределения
случайной величины exp(−ξ2 ).
2. Пусть ξ и η — зависимые случайные величины и f, g — борелевские функции такие, что f (ξ) и g(η)
имеют невырожденные распределения. Верно ли, что f (ξ) и g(η) зависимы? Если «да», обосновать; если
«не обязательно», привести пример.
3. Найти границы, в которых может изменяться дисперсия суммы одинаково распределенных случайных величин с единичной дисперсией. Привести примеры, когда эти границы достигаются.
4. Cлучайная величина ξ имеет показательное распределение с параметром 1, случайная величина η
имеет равномерное распределение на отрезке [0, 1], причём ξ и η независимы. Найти распределение ξ − η.
5. Пусть ξ1 , ξ2 , . . . — независимые в совокупности и одинаково распределённые случайные величины
p
со стандартным распределением Коши, Sn = ξ1 + . . . + ξn . Верно ли, что Sn n → 0 при n → ∞?
1. Пусть ξ — случайная величина, имеющая показательное распределение с параметром 3. Найти
плотность распределения случайной величины (ξ − 1)2 .
2. Существуют ли зависимые случайные величины ξ и η, для которых при любом x ∈ R имеет место
равенство P(ξ < x, η < x) = P(ξ < x)P(η < x)? Если «нет», обосновать; если «да», привести пример.
3.
и имеют равномерное распределение на отрезке [0, 1]. Пусть ν(ω) =
Пусть ξ1 , ξ2 , . . . независимы
min k > 1 : ξk (ω) ∈ 1/4, 1/2 . Найти Eν.
4. Cлучайная величина ξ имеет распределение Пуассона с параметром 1, случайная величина η имеет
равномерное распределение на отрезке [0, 1], причём ξ и η независимы. Найти распределение ξ + η.
5. Проводятся испытания Бернулли с вероятностью успеха p. Положим ξn = I(n-е и (n+1)-е испытания
успешны). Сходится ли по вероятности последовательность Sn n, где Sn = ξ1 + . . . + ξn ?
1. Пусть ξ — случайная величина, имеющая равномерное распределение на отрезке [0, 2]. Найти
плотность распределения случайной величины exp{3ξ − 1}.
2. Пусть ξ1 , ξ2 , ξ3 — попарно независимые случайные величины. Верно ли, что ξ1 + ξ2 и ξ3 независимы?
Если «да», обосновать; если «не обязательно», привести пример.
3. Доказать, что если существует E(ξ + 1)3 , то существует и Eξ3 .
4. Пусть ξ, η и ϕ независимы в совокупности, ξ и η имеют показательное распределение с параметром 3,
а ϕ принимает значения 0 и 1 с равными вероятностями. Найти распределение ϕξ + (1 − ϕ) min(ξ, η).
5. Случайные величины ξ1 , ξ2 , . . . независимы и имеют распределение Пуассона с параметром λ.
Доказать, что последовательность
2
ξ21 + . . . + ξ2n
ξ1 + . . . + ξn
ηn =
−
n
n
сходится по вероятности, и найти предел.
1. Пусть ξ — случайная величина, имеющая показательное распределение с параметром α = 1. Найти
плотность распределения случайной величины |ξ − 5|.
2. Случайные величины ξ1 , ξ2 , ξ3 одинаково распределены и попарно независимы. Верно ли, что ξ1 ξ2
и ξ2 ξ3 одинаково распределены? Если «да», обосновать; если «не обязательно», привести пример.
√
√ 3. Существуют ли математические ожидания случайных величин ξ η и ξ η, если ξ и η независимы
и имеют стандартное нормальное распределение?
4. Cлучайная величина ξ имеет геометрическое распределение с параметром 1/3, случайная величина
η имеет равномерное распределение на отрезке [0, 2], причём ξ и η независимы. Найти распределение ξη.
p
p
p
5. Пусть ξn → ξ, ηn → η и P(ξ = η) = 1. Доказать, что ξn − ηn → 0 при n → ∞.
1. Пусть ξ — случайная величина, имеющая равномерное распределение на отрезке [−2, 2]. Найти
плотность распределения случайной величины |ξ − 1|.
2. Верно ли утверждение: «Случайную величину ξ с биномиальным распределением с параметрами 2
и 1/3 можно всегда представить в виде суммы двух независимых случайных величин, имеющих распределение Бернулли с параметром 1/3»? Если «да», обосновать; если «нет», привести пример.
3. Четыре игральные кости брошены n раз. Найти среднее значение числа таких бросаний, при которых
выпадает ровно три шестерки.
4. Случайные величины ξ, η и ϕ независимы в совокупности, величины ξ и η имеют показательное распределение с параметром 1, а ϕ принимает значения 0 и 1 с равными вероятностями. Найти распределение
случайной величины ϕ max(ξ, η) + (1 − ϕ) min(ξ, η).
5. Пусть ηn имеет биномиальное распределение с параметрами n и p, а ζn — распределение Пуассона
с параметром n, и при каждом n величины ηn и ζn независимы. Сходится ли по вероятности ηn ζn n2 ?
1. Пусть ξ — случайная величина, имеющая показательное распределение с параметром 5. Найти
плотность распределения случайной величины − ln(1 − exp(−5ξ)).
2. Пусть случайная величина ξ не зависит от произведения ηζ. Верно ли, что ξ не зависит от η и от ζ?
Если «да», обосновать; если «не обязательно», привести пример.
3. Случайная величина ξ имеет стандартное нормальное распределение, а случайная величина η такова,
что коэффициент корреляции этих случайных величин равен −1. Найти распределение η, если E (ξ − η)=2
и D (ξ − η)=9.
4. Cлучайная величина ξ имеет показательное распределение с параметром 1, случайная величина η
имеет показательное распределение с параметром 2, причём ξ и η независимы. Найти распределение ξ − η.
5. Пусть случайные величины ξ1 , ξ2 , . . . независимы, ξn имеет распределение Пуассона с параметром
λn = 1/n. Выполняется ли ЗБЧ для последовательности {ξn }?
1. Пусть ξ — случайная величина, имеющая равномерное распределение на отрезке [0, 4]. Найти
плотность распределения случайной величины (ξ − 1)2 .
2. Пусть ξ и η — случайные величины. Обязаны ли они быть независимыми, если независимы ξ и |η|?
Если «да», обосновать; если «не обязательно», привести пример.
3. Случайные величины ξ и η независимы и обе имеют геометрическое распределение с параметром p.
Найти E min (ξ, η).
4. Пусть случайные величины ξ и η независимы, ξ имеет распределение Пуассона с параметром 2,
η имеет равномерное распределение на отрезке [0, 1]. Найти распределение случайной величины 3ξ + η.
5. Пусть ξ1 , ξ2 , . . . — независимые в совокупности и одинаково распределённые случайные величины
√ p
с конечной дисперсией. Доказать, что max(ξ1 , . . . , ξn )/ n → 0 при n → ∞.
1. Пусть ξ — случайная величина, имеющая показательное распределение с параметром α = 3. Найти
плотность распределения случайной величины (ξ − 1)2 .
2. Верно ли, что случайные величины ξ/(η + ζ) и η/(ξ + ζ) одинаково распределены, если ξ, η и ζ независимы попарно и одинаково распределены? Если «да», обосновать; если «не обязательно», привести пример.
3. Найти ковариацию и коэффициент корреляции числа гербов и числа решек при n подбрасываниях
правильной монеты.
4. Cлучайная величина ξ имеет показательное распределение с параметром 1, случайная величина η
имеет равномерное распределение на отрезке [0, 1], причём ξ и η независимы. Найти распределение ξ − η.
5. Пусть при любом фиксированном n случайная величина ξn принимает значения n1 , n2 , . . . , n−1
n и 1
с равными вероятностями. Найти предел последовательности ξn в смысле слабой сходимости при n → ∞.
1. Случайные величины ξ и η независимы и распределены нормально с параметрами 0 и 1. Найти
плотность распределения случайной величины exp(ξ − 2η).
2. Пусть случайные величины ξ и η одинаково распределены. Верно ли, что случайные величины ξ/η
и η/ξ одинаково распределены? Если «да», обосновать; если «не обязательно», привести пример.
3. Случайные величины ξ1 , ξ2 , . . . независимы в совокупности и имеют распределение Пуассона с параметром λ. Существует
ли предел при n → ∞ последовательности математических ожиданий случайных
величин ηn = n (Sn + 1), где Sn = ξ1 + . . . + ξn ?
4. Пусть случайные величины ξ и η независимы, ξ имеет геометрическое распределение с параметром 1/2, η имеет равномерное распределение на отрезке [0, 1]. Найти распределение величины 2ξ + η.
5. Пусть ξ1 , ξ2 , . . . независимы в совокупности и имеют показательное распределение с параметром 1.
Найти предел последовательности max(ξ1 , . . . , ξn ) − ln n в смысле слабой сходимости при n → ∞.
1. Пусть ξ — случайная величина, имеющая равномерное распределение на отрезке [0, 3]. Найти
плотность распределения случайной величины (ξ − 2)2 .
2. Проверить, будут ли независимы случайные величины ξ и η = sgn ξ, если ξ имеет стандартное
нормальное распределение.
3. Функция распределения Fξ (x) случайной величины ξ имеет скачки величиной 1/5 в точках 1, 2 и 3
и растёт линейно при 1 < x < 2 и при 2 < x < 3. Найти Eξ, если P(ξ < 1) = P(ξ > 3) = 0.
4. Пусть ξ, η и ϕ независимы в совокупности, ξ и η имеют показательное распределение с параметром
3, а ϕ имеет распределение Бернулли с параметром 1/3. Найти распределение ϕ max(ξ, η) + (1 − ϕ)η.
5. Пусть независимые в совокупности случайные величины ξ1 , ξ2 , . . . одинаково распределены и имеют
функцию распределения F (x) = 0 при x 6 1, F (x) = 1 − x−2 при x > 1. Найти предел последовательности
√
max(ξ1 , . . . , ξn )/ n в смысле слабой сходимости при n → ∞.