примерный вариант письменной экзаменационной работы

2БТСиТ Материалы для подготовки к экзамену
Для специальности: 201000 – Биотехнические системы и технологии
Дисциплина: Теория вероятности
4-й семестр 2013-2014 уч. год
ПРИМЕРНЫЙ ВАРИАНТ ПИСЬМЕННОЙ ЭКЗАМЕНАЦИОННОЙ РАБОТЫ
В каждый вариант экзаменационного билета будут включены задачи из разделов:
РАЗДЕЛ 1. Случайные события. Повторные независимые испытания
РАЗДЕЛ 2. Одномерные (дискретные и непрерывные) случайные величины. Нормальный
закон распределения непрерывной случайной величины
РАЗДЕЛ 3. Многомерные случайные величины
РАЗДЕЛ 4. Предельные теоремы ТВ
РАЗДЕЛ 5. Случайные процессы: пуассоновские процессы. Марковские случайные процессы.
РАЗДЕЛ 6. Первичная статистическая обработка выборочных данных
Экзаменационный билет будет содержать всего 6 ЗАДАНИЙ.
В каждом ЗАДАНИИ вам будет предложено несколько ЗАДАЧ различной трудности на
выбор.
Таким образом, ИЗ КАЖДОГО ЗАДАНИЯ ВЫ ДОЛЖНЫ РЕШИТЬ ПО ОДНОЙ ЗАДАЧЕ – то есть всего ШЕСТЬ (6) ЗАДАЧ.
Требования к оформлению работы:
1. Указать номер ЗАДАНИЯ И ЕГО РАЗДЕЛ, и номер решаемой задачи.
2. Перед решением каждой задачи надо выписывать полностью ее условие.
3. Решение задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все
действия по ходу решения и делая необходимые рисунки и схемы.
ВНИМАНИЕ! ЕСЛИ В РАБОТЕ ОТСУТСТВУЕТ
ПОЛНОСТЬЮ КАКОЕ-ЛИБО ЗАДАНИЕ,
ТО ИЗ ОБЩЕГО КОЛИЧЕСТВА НАБРАННЫХ БАЛЛОВ ОТНИМАЕТСЯ 5 БАЛЛОВ!
-
РЕШЕНИЕ КАЖДОЙ ЗАДАЧИ необходимо сопровождать пояснениями:
указывать метод решения и пояснять решение задачи;
приводить основные формулы и обосновывать их выбор;
анализировать полученные результаты и делать выводы.
Только в этом случае за РЕШЁННУЮ ЗАДАЧУ ставится максимальное количество баллов!
1
2БТСиТ Материалы для подготовки к экзамену
РАЗДЕЛ 1. Случайные события
1.
В бригаде, состоящей из 4 женщин и 3 мужчин, разыгрываются 4 билета в театр. Какова
вероятность того, что среди обладателей билетов окажется 2 женщины и 2 мужчин?
12 баллов
2.
Охотник выстрелил три раза по удаляющейся цели. Вероятность попадания в нее в начале
стрельбы равна 0,8, а после каждого выстрела уменьшается на 0,1. Найдите вероятность того,
что он: а) промахнется
все 3 раза; б) попадет хотя бы один раз; в) попадет 2 раза.
12 баллов
3.
Завод отправил на аптечный склад 5000 термометров.
Вероятность поломки каждого
термометра в пути равна 0,0002. Какова вероятность того, что 1) на аптечный склад прибудет 3
поврежденных термометра? 2) менее
трех? 3) более трех? 4) хотя бы один?
15 баллов
4.
Для участия в студенческих отборочных соревнованиях выделено из первой группы
курса 4, из второй - 6, из третьей группы 5 студентов. Вероятности того, что студент первой,
второй и третьей группы попадет в сборную института, соответственно равны 0,9; 0,7 и
0,8. Наудачу выбранный студент в итоге соревнования попал в сборную. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот студент?
15 баллов
РАЗДЕЛ 2. Одномерные случайные величины.
1.
Случайная величина задана следующим законом распределения:
X
10
12
15
16
18
P
0,4
0,1
0,2
?
0,1
Найти: 1) неизвестную вероятность; 2) математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение; 3) функцию распределения случайной величины F ( X ) и построить график
функции распределения; 4) вероятность того, что X  ( x1 ; x4 ) .
Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах. 14 баллов
2.
Случайная величина X задана интегральной функцией распределения F ( X ) . Требуется
убедиться, что заданная функция F ( X ) является функцией распределения некоторой случайной
величины, проверив свойства F ( X ) . В случае положительного ответа найдите: а) дифференциальную функцию f (x ) ; в) математическое ожидание случайной величины X ; c) дисперсию случайной величины X и среднеквадратическое отклонение; d) построить графики интегральной
F ( X ) и дифференциальной f(x) функций; e) определить вероятность попадания величины X в
интервал (  ;  ) двумя способами (используя интегральную и дифференциальную функции), а
затем проиллюстрировать этот результат на графиках F ( X ) и f (x ) .
0, x  2
1

F ( X )   x  1,2  x  4
2
1, x  4
  0;   3
15 баллов
3.
В нормальном законе распределения математическое ожидание равно 27, среднеквадратическое отклонение равно 0,55. Чему равно  , если вероятность того, что случайная величина
принимает значения меньше  , равна 0,81.
12 баллов
4.
Рост взрослой женщины является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием 164 см и среднеквадратическим отклонением 5,5 см.
Найти плотность вероятности и вычислить вероятность того, что рост наудачу выбранной женщины будет не меньше 170 см.
14 баллов
РАЗДЕЛ 3. Многомерные случайные величины
Задача 1. Закон распределения системы (x, y) задан таблицей
Y -1 0
1
2
2БТСиТ Материалы для подготовки к экзамену
X
1
0
0,1
0,3
0,1
0,1
0,1
0,3
Найдите:
1) законы распределения случайных величин Х и У в отдельности;
2) закон распределения Х при условии, что У  y 2 ;
3) закон распределения Y при условии, что X  x 2 ;
4) вероятность события ( Х  x1; У  y2 ) ;
5) выясните, зависимы ли случайные величины Х и У .
15 баллов
Задача 2. Плотности вероятностей независимых случайных величин x и y соответственно
равны:
1

, если x  1,

f1 ( x )   1  x 2

0,
если x  1,

1

 (1  y 2 ) , если y  1
f 2 ( y)  
.
0, если y  1

Найти: а) функцию распределения системы (x, y); б) плотности вероятности величин x
и y; в) функции распределения x и y. Являются ли x и y независимыми?
15 баллов
РАЗДЕЛ 4. Предельные теоремы ТВ
1. При штамповке пластинок из пластмассы брак составляет 3% . Найти вероятность того, что при проверке партии из 1000 пластинок выявится отклонение от установленного
процента брака меньше, чем на 1% .
14 баллов
2. Случайная величина задана таблицей
Х
1
2
3
5
7
8
Р
0,1
0,3
0,2
0,1
0,2
0,1
Пользуясь неравенством Чебышева, оцените вероятность того, что случайная величина Х
примет значение не больше 7
15 баллов
3. Сколько стоит провести независимых испытаний, чтобы вероятность выполнения нераm
 p  0,06 превысила 0,78 , если вероятность появления данного события в отвенства
n
дельном испытании 0,7 ?
14 баллов
РАЗДЕЛ 5. Случайные процессы: пуассоновские процессы.
Задача 1. Среднее число самолетов, прибывших в аэропорт за I минуту, равно 3. Найти
вероятность того, что за 2 минуты прибудут: а) не менее 3-х самолетов; б) не более 2;
в) 4 самолета.
15 баллов
РАЗДЕЛ 6. Первичная статистическая обработка выборочных данных
Задача. В результате измерений длины листьев садовой земляники получены следующие
данные (см): 5,2; 5,6; 7,2; 6,6; 8,6; 8,2; 7,8; 7,8; 6,4; 8,0 (см). Сделайте точечную оценку основных генеральных параметров и интервальную оценку генеральной средней на уровне значимости 0,05. Постройте полигон распределения.
15 баллов
3
2БТСиТ Материалы для подготовки к экзамену
КАК ОЦЕНИВАЕТСЯ РЕЗУЛЬТАТ
ПРЕДПОЛОЖИМ, ЧТО ИЗ ПЕРВОГО ЗАДАНИЯ ВЫ РЕШИЛИ 3-Ю ЗАДАЧУ, ИЗ
ВТОРОГО – 3-Ю И Т.Д. И ВСЕ ЗАДАЧИ РЕШЕНЫ БЕЗУКОРИЗНЕННО, Т.Е СОГЛАСНО ТРЕБОВАНИЯМ.
РЕЗУЛЬТАТ ВАШЕЙ РАБОТЫ МОЖНО ПРЕДСТАВИТЬ В ТАБЛИЦЕ:
ЗАДАНИЕ
Задача
Теория
(тест)
Максимальное 10
количество
баллов
за задачу
1
2
3
4
5
6
3
3
2
1
3
1
Суммарное
количество
баллов
12
12
15
14
14
11
88
И ЕЩЁ РАЗ ОБРАЩАЕМ ВАШЕ ВНИМАНИЕ НА ТО, ЧТО МАКСИМАЛЬНОЕ КОЛИЧЕСТВО БАЛЛОВ СТАВИТЬСЯ В ТОМ И ТОЛЬКО ТОМ СЛУЧАЕ, ЕСЛИ ВЫ
РЕШЕНИЕ КАЖДОЙ ЗАДАЧИ сопровождали пояснениями:
- указывали метод решения и поясняли решение задачи;
- приводили основные формулы и обосновывали их выбор;
- анализировали полученные результаты и делали выводы.
УСПЕХОВ ВАМ В ПОДГОТОВКЕ К ЭКЗАМЕНУ!
4