(1) {f(r)) = (f(r+ дr)) = const, (2) (!L) = L

Вестник Московского университета. Серия
46
3.
Физика. Астртю,1iuЯ.
2000.
№1
ГЕОФИЗИКА
УДК
537.86:519.2; 537.876.23:551.510
ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ УСРЕДНЕНИЯ ВДОЛЬ ПРЯМОЙ ЛИНИИ
И УСРЕДНЕНИЯ ПО ОБЪЕМУ ДЛЯ МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКИХ
СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ
А. Г. Вологдин, В. Д. Гуев
(кафедра физики атмосферы)
Доказа110, что
возможно получить
простра11стве1шые ста"Пtспtчсс1ше хара1стеристшш СJiучай­
по-псодпородпых сред оутем усредпен11я вдоль r11шмой шщии r~роизвольпоrо паr1равлен11я вместо
усреД11е1шя по объему. Тем самым 1шйде110 новое решение проблемы пространственной эрrод~1ч1юст11.
Показано, что тоJIЪКО при постоmшой скорости перемеще1шя среды измере11ие време1шых средш1х
11()зволяет наход11'1·ь r1ространстве1шые ста111с·шческ11е характер11стию1. Рсзулыа·rы 11редставляют
1111терес для обработки натурных да1111ых, поJ1)'Чеm1ых при распространении волн разной природы
(и частоты) в раЗJшчных CJioяx атмосферы, а также в океане.
В радиофизических и геофизическ их задачах, опи­
сывающих распространение различ ных волн
чайно-неоднородных
средах,
возникает
в слу­
проблема
ных и пространственно эргодических полей средние
по ансамблю реал изаций «совпадают» со средними
по
просrранству
в
смысле
сходимости
по
вероят­
пространственной эргодичности . Это связано с необ­
ности (или в среднем квадратичном). В этом случае
ходимостью получить статистическую информацию
справедливо равенство
по одной просгранственной реализации, что диктует­
ся неповторимостью натурного эксперимента. УмесI­
но
подчеркнуть,
что
при
исследовании
(f(r )) = f(r)v-+oo
простран­
ственной эргодичности появляются трудности ма­
=V-+oo vl ! f(r) d r,
3
lim
v
тематического характера, обусловленные тремя ко­
ординатами . Укажем также, что, как правило, для
получения просiранственных данных
используются
временные характеристики при введении некоторых
допущений (гипотез)
[1, 2].
Это, по-видимому, может
уменьшить точносrь в интерпретации свойсrв среды .
- найти бо­
[3], решение проблемы пространсr­
В настоящей работе мы ставим цель
лее простое, чем в
венной эргодичносrи путем использования усредне­
ния вдоль произвольной прямой линии. Это позво­
где угловые скобки обозначают усреднение по ан­
самблю реализаций, а черта
ему
V
-
Сформулируем взамен этого другое предположе­
ние:
L
(f(x, у, z)) = f(x,
лит в определенном смысле принципиально изменить
у, z)L-+oo =L-+oo
lim .!_
L
Рассмотри м статистически однородное случайное
поле . Сконцентрируем наш интерес на однородносш
по пространству, опуская время
t
в соответствующих
выкладках и имея, так им образом, поле
f(r) = f(x , у, z) .
J
f(x,
у, z) dx ,
о
подход к обработке просrранственных эксперимен­
тальных данн:ы х и сrимулировать их получение.
усреднение по объ­
просrранственной области.
(3)
где интегрирование ведется вдоль произвольной пря­
мой линии, по которой направим ось х .
Среднее значение оценки
f (х, у, z) L
=
7L
вдоль
прямой (оси х) на конечном интервале (О , L) само
является случайной величиной . Вычислим ее матема­
(1)
Осrановимся на сrатистических моментах первого и
второго порядка, которы ми оперирует корреляцион­
ная теория. Из условия однородносrи поля следует,
что среднее значение его и функция автокорреляции
тическое ожидание и дисперсию. Тогда
- 1/
~J J
L
(!L) = L
(f(x,y,z))dx =
о
оо
L
име1от вид
dx
=
{f(r )) = (f(r+ дr) ) = const,
о
f(x,
у, z)W1(f) df =
(!),
- оо
В(х2 - х1, У2 - У1,
z2 - z1).
(2)
что позволяет утверждать несмещенносrь сделанной
Ограничиваясь только просrранственной
эргодич­
оценки математического ожидания. Для дисперсии
B(r 1, r 2) = B (r 2 - r1) =
ностыо, пользуются гипотезой
[3],
что для однород-
имеем
Вестник Московского упиверситета. Серия
3.
Физика. Астрономия.
2000.
№1
47
Таким образом, если автокорреляционная функция
абсолютно интегрируема, то оценка среднего асимп­
тотически состоятельна, а случайное поле
(1)
являет­
ся пространственно эргодическим.
Однако вопрос о возможности усреднения вдоль
прямой линии нельзя считать полностью решенным,
если оставить без внимания зависимость величины
(4)
от двух других координат . Рассмотрим для этого
среднее, полученное усреднением вдоль прямой ли­
нии, как функцию координат у и z :
L
Здесь
под
функция
интегралом
стоит
у, z)L =
f(x,
автокорреляционная
l/
Таким образом, исходя из выражения
(2).
для дисперсии а 2 , можно утверждать, что требова­
ние асимптотической состоятельности оценки сред­
него значения
f(x, у, z) dx = U(y, z).
(9)
о
Возьмем разность значений этой функции в двух,
вообще говоря, произвольных точках: и=
U(y, z) -
-U(O,O).
Рассмотрим дисперсию этой разности а~.
Величина
(9)
при
L
будет независимой от координат у,
z
---1 оо, если выполнено условие
lim и;= О.
есть необходимое и достаточное условие сходимости
{10)
L--too
в среднем квадратичном:
Используя
(4)
и
(6),
находим выражение для диспер­
сии:
В силу неравенства Чебышева Р{ lt(r)L -( /(r)L )1 ~
~ е} ~ а 2 /е 2 условие (5) я:вляется достаточным для
случайной величины f (r) L и для сходимости по
вероятности: 2~~ IJ(r)L - (f(r)L )1= О (по веро­
ятности) . Следовательно, условие
(5)
L
(5)
= ~,
проинтегрировать по 'Г/. Тогда
(х 1
есть условие
+ х 2 ) /2 = 'Г/
z)]d~
=
По определению а~ ~ О и, следовательно,
L
~j
a(L) =
(1- f )в(~, О, О)~ ~ a(L, у, z)
=
о
можно упростить, если сделать за­
х1
0)- В(~, у,
о
справедливым.
Выражение
1-
=a(L)-a(L,y,z).
пространственной эргодичности случайного поля (J ).
При его выполнении можно считать выражение (3)
мену переменных х 2 -
( f) [В(~, О,
а~=~!
L
=i/ (i-f)в(~,y,z)d~.
и
о
1
LL
2/ /
В(х2-х1, О, О) dx1dx 2 =
Применяя
о о
(7),
получаем
(6)
L
00
=~! (1 - i)в(~,О,О)~.
lim a(L) = lim
L --too
L --too
_i /В(~, О, О)~.
L
о
о
Учитывая
л
}~~1
[4],
а из условия эргодичности
что
(
00
1- ~) а f(x) dx = /
о
при
L
f(x) dx,
а ~ О,
(7)
о
---1 оо вместо
(5)
!
L--too
-()()
=
>
В результате утверждение
(3)
справедливо, т. е.
математическое ожидание для случайных полей
получаем
(1)
можно получать путем усреднения вдоль произволь­
00
. -L
1
l1m
Вследствие условия а( L)
венство lim a(L, у, z)
L--too
(1 О) доказано.
lim а ( L) = О .
L-+oo
а( L, у, z) справедливо ра­
О . Таким образом, условие
(8) -
ной прямой линии, а условием эргодичности относи­
B(t, О, О) d~ =О.
(8)
тельно математического ожидания является условие
(5)
или
(8).
Вестник Московского университета. Серия
48
Физика. Астртю,1iuЯ.
3.
Условие эргодичности случайного статистически
Если сделать замену переменных
однородного по пространству поля относительно ав­
и выполнить интегрирование по
токорреляционной функции может быть зап исано в
о
виде
В(Лr) = Bv-+oo (Лr)
L
=f o(r)fo(r + Лг)v-tоо =
2 /
df.
[ . . .]
dry
х1
L-€
2 / [ ...]
-€
- L
f. = х2 - х1, ry =
ry, то получим
L
f +;
~ ! ( f) [...]
а2 = ;
№1
2000.
df.
f
О
dry =
О
L
=V-too
lim ..!._ /!o(r)fo(r+Лr)d r,
V
3
=
df.'
1-
v
о
где
где / 0(r) = /(r)- (f(r)) - центрированная реализа­
ция поля, Лr
(Лх , Лу, Лz).
[...] =В 2 (~ , О ,0)+
=
Сформулируем взамен этой иную гипотезу:
В(Лr) = BL-+oo (Лr)
f
L
=L-too
lim .!._
L
В(f.+дх , ду, дz)В(f.-дх , дх, дz).
+
При
=
L
~ оо, используя
(13)
находим:
(7),
00
f o(x , у, z)fo(x+дx, у+ду, z+дz) dx =
[. "J <.t.;.
?
а-=
I2 /
{14)
о
о
= lim BL(дr).
Формулы
L-too
(11)
Рассмотрим оценку автокорреляционной функции
BL(дr) . На конечном интервале (О, L) эта оценка
представляет собой случайную величину. Найдем ее
среднее и дисперсию. Для математического ожидания
получаем
L
и
(12)
свидетельствуют,
(14)
что
при
~ оо математическое ожидание оценки автокорре­
ляционной функции BL(дr) равно истинной авто­
корреляционной функции В( дr) , а дисперсия про­
1/ L.
порциональна
ральное выражение
Следовательно, если подынтег­
(13)
абсолютно интегрируемо, то
рассматриваемая оценка асимптотически состоятельна, т.е.
!
00
lim а . = lim -2
2
L
=
±f (!о(х, у, z)fo(x+дx, у+ду, z+дz)) dx
L-+oo
L-too
L
При этом случайное поле
= В(дх, ду, дz).
(15)
о
=
о
[...] df. = О .
(1)
пространственно эрго­
дично относительно автокорреляционной функции.
(12)
При выполнении этого условия автокорреляционную
Таким образом, оценка автокорреляционной функ­
функцию В ( дr) можно оценить путем усреднения
ции будет несмещенной . Для дисперсии получим
вдоль произвольной прямой линии (J 1).
Возможность оценки автокорреляционной функ­
и2 = ([ВL(д1·)
ции путем усреднения вдоль произвольной прямой
- (ВL(д1·) ))2 ) =
линии не может считаться полностью доказанной
LL
= ; 2
J/[(/01/01л/02/02л) -В(Лх, Лу, дz)]
(так же как и для математического ожидания), ес­
dx1dx2,
о о
где
foi
ли не рассмотреть зависимость величины
двух других
координат:
/оiЛ = fo(xi+ дx, у+ду, z+дz)
(i = 1, 2). Дальнейшая
конкретизация этого выраже­
ния возможна лишь для частных видов случайных
Р(у,
z) .
z.
(11)
от
Проанализируем
Вычисляя дисперсию а; разности значений
р = Р(у , z)
а;= b(L)
тральный момент четвертого порядка. Для гауссов­
ских случайных полей, для которых высшие момен­
ты выражаются через парные корреляции
[5],
можно
-
Р(О , О), получим
- b(L, у , z),
полей, для которых известен четырехмерный цен­
L
b(L)=~f (1-f)[B(f.,O,O) +
о
написать
+
В(f.-Лх , Лу, Лz)В(f.+Лх , Лу, Лz)]
LL
00
и
для УI"ого оценку BL(дr), которую обозначим как
= fo(xi, у, z),
а2 =±//[В2 (х
у
df. ,
L
2 -х 1 , О, О)+В(х2-х1+дх, ду, дz) х
b(L, у, z) =
~
f ( f)
1-
о
[B 2 (f. , у, z) +
+ В(f.-дх, у+ду , z+дz)(f.+дx, у-ду , z-дz)] df..
Вестник Московского упиверситета. Серия
3.
Физика. Астрономия.
2000.
№1
49
(При выводе этих выражений сохранялись все обо­
где
значения, предположения и математические приемы,
равенсrве, представляет собой среднее значение слу­
которые использованы выше.)
Применяя (7), имеем :
Тем самым можно утверждать, что если :выполняется
чайного поля, вычисленное вдоль прямой (оси х') .
условие пространственной эргодичности
00
lim b(L)
L-+oo
= L-+oo
lim 4- j[B 2 (~, у, z) +
1
1
пространственной эргодичности
( 15)
получаем limL-+oo а( L) = О . По определению и; ~ О ,
b(L)
~
b(L, у, z)
и
limL-+oo b(L, у , z) =
О.
Таким образом, limL-too и; = О и, следовательно,
выражение Р(у , z) при
динат у,
L ---+
оо не зависит от коор­
z.
В итоге утверждение
(1 1)
полностью доказано,
и функцию автокорреляции для случайных статис­
тически пространственно однородных полей можно
получать путем усреднения вдоль произвольной пря­
мой линии, а условием эргодичности соответственно
будет условие ( 15).
В заключение приведем пример применения ре­
зультата этой работы для получения пространствен­
ных с1атистических характеристик случайных полей
путем использования временных измерений .
Рассмотрим случайно-неоднородную среду, кото­
рая характеризуется случайным полем
(1).
Если среда
движется, то пространственные аргументы случайно­
го поля будут функциями времени:
у=
в
Аргумент
y(t) , z = z(t).
(1),
r
= r(t) , х = x(t),
t , который
был опущен
характеризует собственную изменчивость поля
во времени. Прямая зависимость поля от времени
в
сравнении
с его
зависимостью
пространственные координаты
тетной (см., напр.,
[6]),
то по­
венную СJатиСJическую характериСJику поля.
+в(~-дх , ду , дz)В(~+дх , ду, дz)] d~,
поэтому
(6),
следнее выражение представляет собой пространсr­
Следовательно, полученное равенство позволяет
о
а из условия
Выражение, стоящее справа в этом
L = VT .
от
времени
не является
через
приори­
констатировать, что в случайно-неоднородных сре­
дах, движущихся с постоянной скоростью, прос:;ран­
СI·венные статистические характеристики случаиного
поля могут быть определены путем измерения вре­
менных средн их .
Основные
ся в
ния
выводы
следующем.
данной
работы
заключают­
Доказана возможность
проСiранственных
статистических
получе­
характерис­
тик случайно-неоднородных сред (многопараметри­
ческих случайных полей) путем усреднения вдоль
прямой
то
линии
усреднения
произвольного
направления
по
тем
объему,
и
самым
вмес­
найде­
но более простое решение проблемы пространст­
венной эргодичности. Кроме того, показано, что
только
при
постоянной
скороСI-и
перемещения
случайно-неоднородной среды временнь:~е измерения
позволяют находить пространственные статистичес­
кие характеристики. Следует подчеркнуть важность
выполнения условия независимости скорости дрейфа
от времени и координат . Только в этом случае можно
отождествля1ъ
полученные
в
эксперименте
средние
временные характеристики со статистическими
мо­
ментами (очевидно, что для проверки этого условия
необходим соответсrвующий контроль).
Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант
98-02-16834).
поэтому ею можно пренеб­
речь . В среде, движущейся с постоянной скоростью
V = const ,
зависимость случайного поля от време­
ни будет иметь вид
f (хо + Vxt, Уо+ Vyt, zo+Vzt) ,
а в
системе координат, в которой ось х направлена по
Vx = IVI = V ,
f(xo+Vt,yo,zo). Проанали­
вектору скорости и соответственно
Vy
=О ,
Vz
=О,
вид
-
зируем временное среднее,
которое по определению
равно
Литература
1.
Семепов А.А" Арсеньян ТИ. Флуктуации электромагнит­
2.
Ла.мли Дж., Паповский ГА. Структура атмосферной тур­
ных волн на приземных трассах. М.: Наука,
булентности. М.: Мир,
З.
1966.
Рытов С. М., Кравцов 10.А., Татарский В.И. Введение в
статистическую радиофизику. Ч. П. Случайные поля. М.:
т
lim .!._ / f(xo+Vt , Уо, zo) dt.
Наука,
1978.
4. Титчмар1и Е. Введение в теорию интегралов Фурье. М.;
T-too Т
Л.: Гостехиздат,
о
Перейдем в этом интеграле к координате х
сделаем замену переменной: х 0
1978.
+Vt =
1
,
т. е.
5.
х' . Это дает
т
связь,
6.
1948.
Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. М.: Радио и
1982.
Миркотан
С.Ф.,
Ку~инеревский
Ю.В.
структура и движения в ионосфере
lim .!._ jt(xo+Vt, yo,zo)dt =
Т-+оо Т
следования. №
12.
М.: Наука,
//
:Неоднородная
Ионосферные ис­
1964.
о
lim
L -too
.!_ x!o+Lf(x', Уо, zo) dx',
L
Поступила в редакцию
18.01.99