Содержание программы 4 семестр Уравнения, неразрешенные

Содержание программы
4 семестр
Уравнения, неразрешенные относительно производной. Теорема существования и единственности решения, следствие. Дискриминантная кривая, особое
решение дифференциального уравнения, неразрешенного относительно производной. Методы решения уравнений, неразрешенных относительно производной:
разрешение относительно производной, метод введения параметра. Уравнения
Лагранжа и Клеро.
Уравнения, допускающие понижение порядка. Промежуточные интегралы. Уравнения, не содержащие явно искомую функцию или независимое переменное. Понижение порядка в однородных уравнениях. Приведение к полной
производной.
Непродолжаемые решения. Предложение о существовании непродолжаемого решения. Предложение о выходе непродолжаемого решения за границу ограниченного замкнутого множества, следствие для автономной системы. Пример.
Непрерывная зависимость решения от начальных условий и правой части
уравнения. Теорема о непрерывной зависимости решения от правой части уравнения. Следствие о непрерывной зависимости решений от начальных условий.
Теорема о непрерывной зависимости решения от параметра.
Дифференцируемость решения по параметру. Теорема о дифференцируемости решения по параметру, система уравнений в вариациях. Следствие о дифференцируемости решения по начальным значениям, система уравнений в вариациях. Теорема о дифференцируемости по параметру высоких порядков, следствие
о разложении решения по степеням малого параметра.
Автономные системы дифференциальных уравнений и их фазовые
пространства. Понятие автономной системы и нормальной автономной системы.
Кинематическая интерпретация решения автономной системы. Совпадение двух
траекторий. Положения равновесия и замкнутые кривые.
Фазовые пространства. Фазовые траектории. Критерий положения равновесия. Связь геометрической и кинематической интерпретаций решений нормальной системы.
1
Фазовая плоскость линейной однородной системы второго порядка с постоянными коэффициентами. Невырожденный случай. Вырожденный случай.
Нулевые собственные значения. Система уравнений «Хищник-жертва».
Первые интегралы. Критерий первого интеграла. Функциональная независимость первых интегралов в области, ее связь с линейной независимостью.
Теорема о существовании n независимых первых интегралов. Теорема о получении решения с помощью первых интегралов. Теорема о выражении любого первого интеграла через систему n независимых первых интегралов. Первые интегралы автономных систем, теорема о существовании n-1 независимого первого
интеграла, не содержащего t.
Теория устойчивости: Устойчивость решения по Ляпунову, асимптотическая
устойчивость по Ляпунову, связь этих понятий. Переход от исследования устойчивости произвольного решения к исследованию устойчивости нулевого решения. Достаточное условие устойчивости для линейной однородной системы с постоянными коэффициентами. Исследование устойчивости с помощью функций
Ляпунова. Производная функции в силу системы уравнений. Теорема Ляпунова
об устойчивости. Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости. Примеры. Теорема Четаева о неустойчивости. Пример. Теорема об устойчивости по
первому приближению. Пример.
Уравнения в частных производных первого порядка: Линейные однородные уравнения первого порядка. Выражение решения через первые интегралы.
Квазилинейные уравнения, характеристики. Задача Коши для квазилинейного
уравнения. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для
квазилинейного уравнения в случае двух независимых переменных. Геометрический смысл условия существования и единственности.
Список рекомендуемой литературы
1. Бибиков Ю.Н., Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа, 1991. 303с. (в наличии в библиотеке ЧелГУ)
2. Краснов М.Л., Киселев Л.И., Макаренко Г.И., Обыкновенные дифференциальные уравнения: Задачи и примеры. М.: КомКнига, 2005. 256с.
2
3. Петровский И.Г., Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: УРСС, 2003. 272с.
4. Понтрягин Л.С., Обыкновенные дифференциальные уравнения. РХД, Москва,
Ижевск, 2001. 400с. (в наличии в библиотеке ЧелГУ)
5. Степанов В.В., Курс дифференциальных уравнений. М.: КомКнига/URSS,
2006. 472с. (в наличии в библиотеке ЧелГУ)
6. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г., Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985. 231с. (в наличии в библиотеке ЧелГУ)
7. Филиппов А.Ф.. Введение в теорию дифференциальных уравнений. М.: КомКнига, 2007. 240с.
8. Филиппов А.Ф., Сборник задач по дифференциальным уравнениям. РХД, Москва, Ижевск, 2000. 175с. (в наличии в библиотеке ЧелГУ)
9. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения. М.: КомКнига, 2006. 312с. (в
наличии в библиотеке ЧелГУ)
Список дополнительной литературы
1д.Арнольд В.И., Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1984.
240с. (в наличии в библиотеке ЧелГУ)
2д.Дмитриев В.И., Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям.
М.: КДУ, 2007. 220с.
3д.Зайцев В.Ф., Полянин А.Д., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. 576с.
4д.Камке Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.:
Наука, 1971. 576с.
5д.Матвеев Н.М., Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных
уравнений. Мн.: Высшая школа, 1974. 656с. (в наличии в библиотеке ЧелГУ)
3
Рабочая программа
№
Темы занятий (4 семестр)
Кол-во часов
1
Уравнения, неразрешенные относительно производной
2
2
Уравнения, допускающие понижение порядка.
2
3
Фазовая плоскость линейной однородной системы второго
4
порядка с постоянными коэффициентами и консервативной
системы.
4
Первые интегралы, уравнения с частными производными
2
первого порядка.
5
Устойчивость. Теоремы Ляпунова и Четаева. Устойчивость
2
по первому приближению.
Итого за семестр:
12
Темы программы, вынесенные на самостоятельное изучение
4 семестр
1
Уравнения, неразрешенные относительно производной.
4
Особые решения. Уравнения Лагранжа и Клеро.
2
Уравнения, допускающие понижение порядка.
2
3
Непродолжаемые решения.
4
4
Непрерывная зависимость решения от правой части уравне-
4
ния, начальных значений и параметров.
5
Дифференцируемость решения по параметрам и начальным
4
значениям. Уравнения в вариациях.
6
Устойчивость по Ляпунову. Теоремы Ляпунова и Четаева.
4
Устойчивость по первому приближению.
7
Автономные системы дифференциальных уравнений и их
4
фазовые пространства. Кинематическая интерпретация решения автономной системы.
8
Фазовые траектории. Критерий положения равновесия.
2
9
Фазовая плоскость линейной однородной системы второго
2
4
порядка с постоянными коэффициентами.
10 Фазовая плоскость консервативной системы с одной степе-
4
нью свободы.
11 Система уравнений «Хищник-жертва».
2
12 Уравнения с частными производными первого порядка.
4
Квазилинейные уравнения, характеристики. Задача Коши
для квазилинейного уравнения.
Выполнение контрольной работы №2
20
Итого:
60
Методические указания студентам
Изучение каждой темы следует начинать с проработки соответствующего
теоретического материала в учебниках [1], [4], [5], [7], [9] или использовать собственный конспект лекций данной дисциплины. Для усвоения теоретического
материала также нужно разобрать предлагаемые в лекционном курсе примеры.
Только затем следует закрепить разобранный материал изучаемой темы самостоятельным решением задач из [8].
Успешное написание контрольных работ возможно только при внимательном, всестороннем и качественном изучении соответствующих лекционных конспектов и текстов учебников. Решение задач контрольные работы оформляется в
отдельной тетради с указанием фамилии студента, варианта задания, текста задач
и полным, подробным решением.
5
Вопросы к экзамену по учебной дисциплине
«Дифференциальные уравнения», 4 семестр
1. Уравнения, неразрешенные относительно производной. Теорема существования и единственности. Способы решения
2. Уравнения, допускающие понижение порядка: уравнения, не содержащие
явно искомой функции или независимого переменного, однородные уравнения, приведение к полной производной.
3. Фазовая плоскость линейной однородной системы с постоянными коэффициентами.
4. Первые интегралы. Критерий первого интеграла. Существование n независимых первых интегралов. Получение решения с использование первых
интегралов.
5. Выражение решения линейного и квазилинейного уравнения в частных
производных через первые интегралы.
6. Устойчивость решения, асимптотическая устойчивость.
7. Достаточное условие устойчивости положения равновесия для линейной
однородной системы с постоянными коэффициентами.
8. Функция Ляпунова. Дифференцирование в силу системы уравнений.
9. Теоремы Ляпунова об устойчивости и об асимптотической устойчивости.
10.Теорема Четаева неустойчивости.
11.Формулировка теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению.
6
Контрольная работа №2 по учебной дисциплине
«Дифференциальные уравнения» (сдается в 4 семестре)
1. Решить уравнение, не разрешенное относительно производной:
1.1. x 2  y  3xyy  2 y 2  0
1.5. x y  yy  1
2

2

1.2.  y  2 yy  y 2 e 2 x  1
1.6.  y  4 xy  2 y  2 x 2  0
x2
1.3. y   y  xy 
2
1.7.  y  2 xy  8 x 2  0
2
2
2
2
1.8. y  xy 
1.4.  y  y y  x 2 y  x 2 y  0
3
2
 y2  1
2. Найти особое решение уравнения(для своего варианта) из предыдущего пункта 1.
3. Понизить порядок уравнения и решить его:
3.1. xyV  y IV  0
3.5. xyy  x y  yy  0
3.2. y   y  2e  y
3.6. yy  y   y
3.3. yy   y
3.7. yx ln x  y
3.4. y   y  0
3.8. x 2 yy   y  xy
2
2
2
2
2
2
4. Найти общее решение уравнения в частных производных первого порядка:
z
z
 xy  x
x
y
4.1. y 2
z
z 1
 y

x
y 2
4.2.
x
4.3. x
z
z
 y  2z
x
y
4.4. y 2
4.5. tg x
4.6. xz
4.7. x
z
z
 xy  x 3 z
x
y
z
z
y z
x
y
z
z
 yz  x 3  y
x
y


z
z
 y  x2
z
x
y
4.8.  z  y 
z
z
 x  z   y  x
x
y
5. Определить характер положения равновесия (0,0), исследовать его на устойчивость и нарисовать фазовый портрет системы в окрестности точки (0,0):
7
 x  2 x  y
5.1. 
 y  x  2 y
 x  x  3 y
5.5. 
 y  6 x  5 y
 x  y
 y  2 x  y
6

 x  2 x  y
5.2. 
7
 y  14 x  3 y
5.6. 
 x  2 x  y
5.7. 
 y  4 x  2 y
 x  3x
5.3. 
 y  2 x  y
 x  2 x  y
5.8. 
.
 y  4 x  y
 x  x
5.4. 
 y  2 x  y
6. Найти все положения равновесия, исследовать их на устойчивость, найти первые интегралы и нарисовать фазовый портрет консервативной системы:
6.1. x  2 x  1
6.5. x  4 x 3  2 x
6.2. x  2 x  1
6.6. x  4 x 3  2 x
6.3. x  4x 3
6.7. x  e x  e  x
6.4. x  4x 3
6.8. x  e x  e  x
7. Найти три первых члена разложения в степенной ряд решения данного дифференциального уравнения для заданных начальных условий:
7.1. y  1  xy , y(0)  0
7.5. y  y 2  x 2 , y (0)  1
7.2. y  1  2 xy , y(0)  2
7.6. y  y 2  x 2 , y (0)  0
7.3. y  y 2  x, y (0)  0
7.7. y  sin( xy ), y(0)  1
7.4. y  y 2  x, y(0)  0
7.8. y  cos(xy ), y(0)  0
Лектор__________________ доцент кафедры ТУиО, к. ф.-м. н. Алеева С.Р.
8