Поверхности и поверхностные интегралы. Часть II.

Министерство образования Российской Федерации
Р ОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Ю.А. Кирютенко, Т.И. Коршикова, В.А. Савельев
Поверхности и поверхностные интегралы.
Часть II
Методические указания для студентов 2-го курса
механико-математического факультета
и слушателей ФПК
Ростов-на-Дону
2002
Ю.А. Кирютенко, Т.И. Коршикова, В.А. Савельев
Поверхности и поверхностные интегралы. Часть II
Методические указания для студентов 2-го курса механико-математического факультета и слушателей ФПК
Аннотация
Методическая разработка посвящена введению в теорию поверхностей и поверхностных интегралов. В данном выпуске рассматриваются формулы Стокса и Гаусса-Остроградского, а также основы теории поля. Даются примеры
решения типичных задач по этой тематике и задачи для самостоятельного
решения.
Печатается в соответствии с решением кафедры математического анализа Ростовского государственного университета, протокол № 3 от “20” ноября
2001 года.
Набрано в системе LATEX с использованием шрифтов ITC Officina Cyrillic и математических символьных шрифтов пакета AMS Fonts.
LATEX является зарегистрированным товарным знаком Addison Wesley Publishing Company. AMS, TEX, AMS Fonts являются зарегистрированными товарными знаками Американского Математического Общества (American Mathematical Society). ITC Officina Cyrillic является зарегистрированным товарным знаком АО ParaGraph. ITC Officina является
зарегистрированным товарным знаком International Typeface Corporation.
Все упомянутые в данном издании товарные знаки и зарегистрированные товарные
знаки принадлежат своим законным владельцам.
c 2002, Ю.А. Кирютенко, Т.И. Коршикова, В.А. Савельев
3
3
Поверхностные интегралы (продолжение)
3.2
Примеры вычисления поверхностных интегралов
ZZ
Пример 3.1. Вычислить поверхностный интеграл первого рода
z ds, где
S
S — часть гиперболического параболоида z = xy, вырезанная цилиндром
x2 + y2 = 4.
B Поскольку цилиндр x2 + y2 = 4 имеет образующие параллельные оси
OZ, то поверхность S проектируется на плоскость XOY в круг D = { (x, y) |
x2 + y2 < 4 }, следовательно, S = { (x, y, z) | z = xy, (x, y) ∈ D}.
Функция ϕ(x, y) = xy является непрерывно дифференцируемой в R2 ,
а значит, на D. Поэтому (по лемме 1.1) S является элементарной гладкой
поверхностью с явным заданием. Подынтегральная функция f(x, y, z) = z
непрерывна в R3 , поэтому по следствию 2 теоремы 3.1 функция f интегрируема по поверхности S и
ZZ
ZZ
r
z ds =
ϕ(x, y) 1 + ϕ 0 2x (x, y) + ϕ 0 2y (x, y) dx dy =
S
ZZ
D
q
xy 1 + y2 + x2 dx dy.
=
D
Для вычисления последнего интеграла перейдём к полярной системе ко0
ординат. Так как D отображается в D = { (r, ϕ) | 0 ≤ r ≤ 2, ϕ ∈ [0, 2π] },
то
2π
ZZ
Z
Z2
q
z dz = dϕ r2 cos ϕ sin ϕ 1 + r2 r dr =
S
0
0
1
=
2
2π
Z
Но
0
ZZ
sin 2ϕ dϕ = 0, поэтому
0
q
r3 1 + r2 dr.
sin 2ϕ dϕ
0
2π
Z
Z2
z dz = 0. C
S
ZZ
Пример 3.2. Вычислить поверхностный интеграл первого рода
y ds, где S
S
2
— часть поверхности цилиндра x = 2y + 1 при y > 0, вырезанная поверхностями x = y2 + z2 , x = 2, x = 3.
4
B Спроектируем поверхность S на плоскость XOZ, для чего спроектируем линию L пересечения параболоида вращения x = y2 + z2 и цилиндра
x = 2y2 + 1
x = y2 + z2
L:
x = 2y2 + 1.
Исключая переменную y, получим, что L проектируется в линию x = 2z2 +1.
Следовательно, S проектируется в область D, ограниченную параболой x =
2z2 − 1 и прямыми x = 2, x = 3, то есть
D=
(x, z) −
v
u
ux
t
ux + 1
+1
<z<t
, x ∈ (2, 3) .
2
2
v
u
Учитывая, что поверхность S лежит в полупространстве y > 0, получим
S=
(x, y, z) y =
v
u
ux
t
−1
,
2
(x, z) ∈ D .
v
u
ux
t
−1
непрерывно дифференцируема в D, поэтому S
2
является элементарной гладкой поверхностью. Так как
Функция ϕ(x, z) =
v
u
u
u
t1

2

2
v
u
u 8x − 7
∂ϕ
∂ϕ
,
+  +  =t
8x − 8
∂x
∂z
то по следствию 2 теоремы 3.1
5
ZZ
ZZ
y ds =
S
v
u
ux
t
−1
·
2
v
u
u 8x
t
−7
1
dx dz ==
8x − 8
4
D
1
= √
2 2

=
x+
2
Z3
q
8x2 + x − 7 dx =
2
v
1 u
u
16 t 2
x +
v

Z3 u
u
u
tx
√
dx
2
Z3
√ x+1
Z2
−
8x − 7 dz =
√ x+1
2
2

2
1
15
+  −   dx =
16
16
2
2
15



3

2
v
u
u
t 2
x
lnx
x 7
x 7
1
− −
+
+ −
=
·
+
8 8
16
16
8 8
√
√
√

2
98 17 − 99 3  15 
33 + 12 6
√
√ . C
=
+
ln
16
64 2
49 + 8 34
Пример 3.3. Вычислить поверхностный интеграл второго рода
ZZ
(x2 + y2 + z2 ) dy dz,
(S,~
n)
→
где (S, −
n ) — внутренняя сторона поверхности, полученной вращением линии y = cos x, x ∈ [0, π/2] вокруг оси OX.
B По замечанию к примеру 1.5 имеем:
q
S = (arccos y2 + z2 , y, z) (y, z) ∈ D ,
где D = { (y, z) | 0 < y2 + z2 < 1 }. Функция arccos y2 + z2 является непрерывно дифференцируемой в D, а поэтому S — элементарная гладкая. Найдём ориентацию поверхности S, соответствующую внутренней стороне. Так
как поверхность S имеет явное задание x = ϕ(y, z), а вектор единичной
нормали внутренней стороны S образует с осью OX тупой угол, то искомая
ориентация определяется нормалью
q

ϕy0
−1
ϕz0

.
~ − = r
,r
n
,r
2
2
2
2
2
2
0
0
0
0
0
0
1+ϕ y+ϕ z 1+ϕ y+ϕ z 1+ϕ y+ϕ z
Следовательно, с учётом следствия теоремы 3.2, получим
ZZ
ZZ
q
(x2 + y2 + z2 ) dy dz = − (arccos2 y2 + z2 + y2 + z2 ) dy dz =
(S,~
n− )
D
2π
Z
=−
0
Z1

1 1
dϕ (r2 + arccos2 r)r dr = − 2π +
4 2
0
π/2
Z

t2 sin 2t dt =
0
6
1 1 π2 1
π3
= − 2π +  −  = − . C
4 2 8
2
8



Пример 3.4. Вычислить поверхностный интеграл второго рода
ZZ
yz dy dz + x2 dz dx + yz dx dy,
S
где S — внешняя сторона полусферы x2 + y2 + z2 = a2 , y > 0 (a > 0).
B По условию поверхность S является полусферой, лежащей в полупространстве {(x, y, z) ∈ R3 | y > 0}. Поэтому можно считать, что
S=
(x,
q
a2
−
x2
−
2
z , z) (x, z) ∈ D
где D = { (x, z) ∈ R2 | x2 + z2 < a2 }. Следовательно,
~i
→0 −
−
→0
rx × rz = 1
0
~j
−x
a2 −x2 −z2
√ −z
a2 −x2 −z2
√
~k 

−x
−z
.
0 =  √
, −1, √ 2
2 − x2 − z2
2 − z2
a
a
−
x
1
По условию интегрирование проводится по внешней стороне полусферы,
поэтому вектор соответствующей нормали образует с вектором ~j тупой угол,
~ −, и
то есть совпадает с n
ZZ
yz dy dz + x2 dz dx + yz dx dy =
S−
ZZ  q
−x
= z a2 − x2 − z2 √ 2
+ x2 +
2
2
− a −x −z
D

−z
 dx dz =
+ z a2 − x2 − z2 √ 2
2
2
a −x −z
ZZ
= (xz + x2 + z2 ) dx dz.
q
D
Переходя в двойном интеграле к полярной системе координат, получим:
ZZ
2π
Z
2
πa4
.C
dϕ r (1 + cos ϕ sin ϕ) dr =
2
3
yz dy dz + x dz dx + yz dx dy =
S−
Za
0
0
7
ZZ
Пример 3.5. Вычислить поверхностный интеграл второго рода
dx dy,
S
q
x2
y2
+ при 0 ≤ z ≤ 1.
где S — нижняя сторона конуса z =
B Проекцией Ω заданной части конуса на плоскость OXY является круг
2
x + y2 ≤ 1. Учитывая пример 3.3, получаем
S = (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ, ρ) ∈ R3 (ρ, ϕ) ∈ D ,
где D = { (ρ, ϕ) ∈ R2 | ρ ∈ (0, 1), ϕ ∈ (0, 2π) }. Поэтому
−0 −
→
→
rρ × rϕ0 = (−ρ cos ϕ, −ρ sin ϕ, ρ).
~ , соответствующий нижней стороне конуса, образует туВектор нормали n
~ − и, согласно теореме 3.2,
пой угол с осью OZ, поэтому совпадает с n
ZZ
ZZ
dx dy = −
S−
2π
Z
ρdρ dϕ = −
D
Z1
ρdρ = −π. C
dϕ
0
0
Пример 3.6. Вычислить поверхностный интеграл второго рода
ZZ
xy dy dz + yz dz dx + zx dx dy,
S
по левой стороне поверхности S = { (2u + v2 , u2 − 2v, 2uv) | (u, v) ∈ D }, где
D = { (u, v) | 0 < u < 1, 0 < v < 1 }.
B Координатные функции параметризации r(u, v) поверхности S непрерывно дифференцируемы на R2u,v , а значит и на D.
→ −
−
→
→ −
−
→
Далее, ru0 × rv0 = (4u2 +4v, 4v2 −4u, 4+uv). Легко показать, что | ru0 × rv0 | >
0, ∀ (u, v) ∈ D. Поэтому S — элементарная гладкая поверхность. Поскольку в области D справедливо неравенство 4u2 + 4v > 0, то левая сторона
~− и
поверхности S определяется вектором n
ZZ
ZZ
xy dy dz + yz dz dx + zx dx dy = −4
(2u + v2 )(u2 − 2v)(u2 + v)+
S−
D
2
2
2
+ 2uv(u − 2v)(4v − u) + 2uv(2u + v )(1 + uv) du dv
Z1
Z1
− 4 dv (2v4 + u(4v4 + 2v3 + 4v2 ) + u2 (4v − 4v2 + v3 + 2v4 )+
0
0
+ u3 (2v + 4v2 − 2v3 ) + u4 (2v − v2 ) − 2u5 ) du =
8
Z1
= 4 (2v4 + 2v4 + v3 + 2v2 +
4
4
1
v − v2 + v3 +
3
3
3
0
+
3.3
2 4 1
1
2
1
1
809
v + v + v2 − v3 + v − v2 − ) dv =
.C
3
2
2
5
5
3
90
Формулы Стокса и Гаусса-Остроградского
Подобно существующим связям между двойными и криволинейными интегралами (формула Грина), существуют связи между тройными и поверхностными интегралами (формула Гаусса-Остроградского), между поверхностными и криволинейными интегралами (формула Стокса).
Прежде, чем формулировать эти результаты, рассмотрим ограниченную
область G в R3 , граница которой S = ∂G является замкнутой кусочно гладкой поверхностью (в этом случае, G часто называют телом c кусочно гладкой
границей). Поскольку ∂G — ограниченное замкнутое множество, то, учитывая определение 2.3 и лемму Бореля о конечном покрытии, получим, что ∂G
является объединением конечного числа элементарных гладких поверхностей с явным заданием. Поэтому ∂G — жорданово нуль-множество, а G и
G — измеримые по Жордану множества в R3 . Следовательно, тройные интегралы по G и по G от непрерывной на G функции существуют и равны
между собой.
Пример 3.7. Предположим, что Ω — ограниченная область с кусочно гладкой границей в R2 , функции f1 , f2 определены и непрерывно дифференцируемы на Ω, причём f1 (x, y) ≤ f2 (x, y), ∀ (x, y) ∈ Ω. Пусть, наконец,
G = { (x, y, z) ∈ R3 | (x, y) ∈ Ω, z ∈ [f1 (x, y), f2 (x, y)] }.
(3.1)
Такого типа множества часто встречаются на практике и называются z-цилиндрическими телами, а часто просто z-цилиндрами (не путайте с z-цилиндрическими поверхностями из примера 1.4). Граница S = ∂G такого zцилиндрического тела является кусочно гладкой замкнутой поверхностью,
состоящей из трёх частей,
S = S1 ∪ S2 ∪ S3 , где
Si = { (x, y, fi (x, y)) | (x, y) ∈ Ω }, i = 1, 2;
S3 = { (x, y, z) | (x, y) ∈ ∂Ω, z ∈ [f1 (x, y), f2 (x, y)] }.
(3.2)
Поверхности S1 , S2 — элементарные гладкие поверхности с явным заданием, а S3 — цилиндрическая поверхность, рассмотренная в примере 1.4,
9
которая является кусочно гладкой поверхностью с кусочно гладким краем.
Поэтому S — замкнутая кусочно гладкая ориентируемая поверхность, а множество G — измеримое по Жордану множество в R3 . Заметим для дальнейшего, что, если функция R непрерывна на G, то согласно лемме 3.1 при любом выборе стороны поверхности S3
ZZ
R dx dy = 0.
(S3 ,~
n)
Совершенно аналогично можно построить x-цилиндрические и y-цилиндрические тела и выписать для цилиндрической поверхности, составляющей часть
их границы, формулы, аналогичные предыдущей.
Определение 3.1. Ограниченная область G в R3 называется областью типа (Т), если G является одновременно, x-цилиндром, y-цилиндром и z-цилиндром.
Теорема 3.1 (Формула Гаусса-Остроградского). Пусть G — тело в R3 с
кусочно гладкой ориентируемой границей S, на которой выбрана внешняя
−
→
∂P ∂Q ∂R
,
,
— определены и
сторона S+ = (S, n+ ). Пусть функции P, Q, R,
∂x ∂y ∂z
непрерывны на G. Тогда имеет место формула

ZZ
ZZZ 
∂P
∂Q
∂R

 dx dy dz.
P dy dz + Q dz dx + R dx dy =
+
+
∂x
∂y
∂z
S+
G
Доказательство. Как и при доказательстве формулы Грина, мы не станем
доказывать эту теорему так, как она сформулирована, а ради упрощения доказательства, дополнительно предположим, что тело G — область типа (Т).
Докажем, что
ZZZ
ZZ
∂R
dx dy dz = R dx dy.
∂z
G
S+
Тело G — z-цилиндр с границей S = S1 ∪ S2 ∪ S3 , где Sj имеют указанные
ранее параметризации (см. формулы (3.1) и (3.2)). Заметим, что поверхности S+
i , i = 1, 2, 3, имеют ориентации, соответствующие внешней стороне
поверхности S. Поэтому рассматриваем нижнюю сторону поверхности S1 , то
~ − ), для которой
есть S−
1 = (S1 , n
(f1 )x0

~ − = r
n
(f1 )x0 2
+
(f1 )y0 2
(f1 )y0
−1

,
,r
,r
2
2
2
2
+ 1 (f1 )x0 + (f1 )y0 + 1 (f1 )x0 + (f2 )y0 + 1
10
~ + ), для которой
и верхнюю сторону S2 , то есть S+
2 = (S2 , n
−(f1 )x0

~ + = r
n
(f1 )x0 2
+
(f1 )y0 2
−(f1 )y0

1
.
,r
,r
2
2
2
2
0
0
0
0
+ 1 (f1 )x + (f1 )y + 1 (f1 )x + (f2 )y + 1
~ + ) — внешняя сторона поверхности S, то
Следовательно, если (S, n
+
+
~ + ) = S−
(S, n
1 ∪ S 3 ∪ S2 .
Поскольку функция ∂R/∂z непрерывна на G, то для вычисления рассматриваемого тройного интеграла воспользуемся теоремой Фубини и получим:
ZZZ
∂R
dx dy dz =
∂z
ZZ
dx dy
Ω
G
f2 (x,y)
Z
∂R
dz.
∂z
f1 (x,y)
f2 (x,y)
Z
По формуле Ньютона-Лейбница, применительно к интегралу
∂R
dz, в
∂z
f1 (x,y)
каждой точке (x, y) ∈ Ω, с учётом следствия 2 теоремы 3.1, получим:
ZZZ
ZZ
ZZ
∂R
dx dy dz = R(x, y, f2 (x, y)) dx dy − R(x, y, f1 (x, y)) dx dy =
∂z
G
Ω
Ω
ZZ
ZZ
= R dx dy − R dx dy
S+
2
S+
1
Поскольку изменение стороны поверхности
влечёт изменение
знака поверхRR
RR
ностного интеграла второго рода, то S+ R dx dy = − S− R dx dy. Нако1
1
нец, поскольку
R — непрерывная на G функция, то, согласно сказанному
RR
выше, S± R dx dy = 0, а значит
3
ZZZ
ZZ
ZZ
ZZ
ZZ
∂R
dx dy dz = R dx dy + R dx dy + R dx dy = R dx dy.
∂z
G
S+
2
S−
1
S+
3
S+
Аналогично вычисляются оставшиеся два тройных интеграла по G (при
этом учитывается, что тело G является x-цилиндром и y-цилиндром).
Замечание 1. Справедливость формулы Гаусса-Остроградского для областей, представимых в виде объединения конечного числа замкнутых областей типа (T) без общих внутренних точек можно получить из доказанного
результата (как и при доказательстве формулы Грина).
11
Дело в том, что на общих частях границы двух областей типа (T) направления векторов нормали противоположны, а потому соответствующие поверхностные интегралы второго рода по общим кускам от одной и той же
функции равны по модулю, но противоположны по знаку.
Замечание 2. Можно считать, что функции P, Q, R непрерывны на G, а
∂P ∂Q ∂R
функции
,
,
непрерывны на G. В этом случае тройной интеграл
∂x ∂y ∂z
следует понимать как несобственный.
Чтобы получить формулу Стокса, будем считать, что поверхность
S = { (x, y, z) ∈ R3 | x = ϕ(u, v), y = ψ(u, v), z = χ(u, v), (u, v) ∈ Ω }
является ориентируемой элементарной гладкой поверхностью с кусочно гладким краем Γ , при этом Ω — область с кусочно гладкой границей
γ = { (u, v) ∈ R2 | u = u(t), v = v(t), t ∈ [a, b] }.
Тогда Γ = { r(u(t), v(t)) | t ∈ [a, b] }, где r(u, v) = (ϕ(u, v), ψ(u, v), χ(u, v)).
Для определённости выберем на γ положительную ориентацию, соответствующую возрастанию параметра, которая индуцирует ориентацию края Γ +
~ + ) поверхности S.
поверхности, а значит сторону (S, n
Теорема 3.2 (Стокса). Пусть поверхность S удовлетворяет перечисленным выше условиям, G — область в R3 такая, что S ⊂ G. Если функции P,
Q, R непрерывно дифференцируемы на G, то
Z
P dx + Q dy + R dz =
ZZ
Γ+
=
∂P ∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q dy dz +
−
dz dx +
−
dx dy.
−
∂y
∂z
∂z ∂x
∂x
∂y
(S,~
n+ )
Доказательство. Для простоты доказательства будем считать, что отображение r(u, v) дважды непрерывно дифференцируемо на Ω. Докажем, что
Z
ZZ
∂P
∂P
P dx =
dz dx −
dx dy.
∂z
∂y
Γ+
(S,~
n+ )
Согласно формуле вычисления криволинейного интеграла второго рода
Z
P(x, y, z) dx =
Γ+
12
Zb
=
a


∂ϕ ∂ϕ u(t), v(t) u 0 (t) +
u(t), v(t) v 0 (t) dt =
P(r(u(t), v(t)))
∂u
∂v

Zb
∂ϕ
∂ϕ
= P(r(u(t), v(t))) u 0 (t) + P(r(u(t), v(t))) v 0 (t) dt =
∂u
∂v
a
Z
= P1 (u, v) du + Q1 (u, v) dv,
γ+
∂ϕ
∂ϕ
(u, v), Q1 = P(r(u, v)) (u, v). По условию P1
∂u
∂v
и Q1 непрерывно дифференцируемы на Ω, поэтому согласно формуле Грина
имеем:

Z
ZZ 
∂Q
∂P
1
1
−
du dv =
P dx = 
∂u
∂v
Ω
Γ+

ZZ  ∂
∂ϕ
∂
∂ϕ
 du dv =
= 
P(r(u, v))
−
P(r(u, v))
∂u
∂v
∂v
∂u
Ω
ZZ 
∂P ∂ϕ ∂P ∂ψ ∂P ∂χ ∂ϕ
∂2 ϕ

=
+
+
+ P(r(u, v))
−
∂x ∂u ∂y ∂u ∂z ∂u ∂v
∂u∂v
где P1 (u, v) = P(r(u, v))
Ω
∂P ∂ϕ ∂P ∂ψ ∂P ∂χ ∂ϕ
∂2 ϕ 
−
+
+
+ P(r(u, v))
du dv.
∂x ∂v
∂y ∂v
∂z ∂v ∂u
∂v∂u

∂2 ϕ
∂2 ϕ
Но
=
на Ω, поэтому
∂u∂v ∂v∂u
Z
ZZ ∂P 0 0
∂P 0 0
0 0
0 0
P dx =
(ψ ϕ − ψv ϕu ) +
(χ ϕ − χv ϕu ) du dv =
∂y u v
∂z u v
Ω
Γ+
ZZ
ZZ ∂P ∂P
∂P
∂P
B du dv =
dz dx −
dx dy,
=
− C+
∂y
∂z
∂z
∂y
Ω
(S,~
n+ )
так как
~ru0 ×~rv0 = (ψu0 χv0 −χu0 ψv0 )~i+(χu0 ϕv0 −ϕu0 χv0 )~j+(ϕu0 ψv0 −ϕv0 ψu0 )~k = A~i+B~j+C~k.
Заметим, что последнее равенство при доказательстве формулы Стокса получено в силу теоремы 3.1 вычисления поверхностного интеграла второго
рода.
13
Аналогично доказывается, что
ZZ
Z
∂Q
∂Q
dx dy −
dy dz;
Q dy =
∂x
∂z
γ+
(S,~
n+ )
Z
ZZ
∂R
∂R
R dz =
dy dz −
dz dx.
∂y
∂x
γ+
(S,~
n+ )
Складывая три доказанных равенства, получим нужное.
Эту формулу можно записать в формальном, более коротком и удобном
для запоминания, виде:
Z
ZZ dy dz dz dx dx dy P dx + Q dy + R dz = ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z .
P
Q
R S+
Γ+
S
Замечание. Пусть, в частности, S = { (x, y, 0) ∈ R3 | (x, y) ∈ Ω }, где Ω
— область с кусочно гладкой границей γ. Выбор верхней стороны поверхно~ + ), где n
~ + = (0, 0, 1), индуцирует выбор на γ такой ориентации γ+ ,
сти (S, n
при которой область Ω остается слева при обходе границы. Если функции
P и Q непрерывно дифференцируемы на Ω, то с учетом следствия 2 теоремы 3.1 получим формулу Грина:
Z
ZZ ZZ ∂P ∂Q ∂P ∂Q P dx + Q dy =
−
dx dy =
−
dx dy.
∂y
∂x
∂y
∂x
γ+
S+
Ω
Воспользуемся формулой Стокса для переноса на пространственные криволинейные интегралы результатов об условиях независимости криволинейного интеграла от кривой интегрирования, полученных для плоского случая с помощью формулы Грина.
Определение 3.2. Область Ω ⊂ R3 называется поверхностно односвязной,
если для любой замкнутой кусочно гладкой линии L, лежащей в Ω, найдется
кусочно гладкая поверхность S ⊂ Ω, границей которой является L.
Примерами поверхностно односвязных областей являются шар, область,
заключенная между двумя концентрическими сферами, пространство R2 . Примером области, которая не является поверхностно односвязной, является шар,
из которого удален один из меридианов.
14
Теорема 3.3. Пусть отображение a = (P, Q, R) непрерывно дифференцируемо в поверхностно односвязной области Ω ⊂ R3xyz .Тогда следующие
утверждения равносильны:
1. Для любой замкнутой кусочно гладкой кривой Γ , лежащей в Ω,
Z
P dx + Q dy + R dz = 0.
Γ
Z
2. Для точек M1 , M2 ∈ Ω, величина интеграла
P dx+Q dy+R dz
LM1 M2
не зависит от выбора кусочно гладкой кривой LM1 M2 , соединяющей в
Ω точки M1 и M2 .
3. Выражение P dx + Q dy + R dz является полным дифференциалом
некоторой функции, определенной на Ω.
4. Выполняются равенства:
∂Q ∂R
=
,
∂x
∂y
∂R ∂Q
=
,
∂y
∂z
∂P
∂R
=
.
∂z
∂x
Доказательство. Утверждения 1) ⇒ 2) , 2) ⇒ 3) и 3) ⇒ 4) доказываются
как и в плоском случае (при этом свойство Ω быть поверхностно односвязной не используется). Докажем импликацию 4) ⇒ 1). Пусть Γ — некоторая кусочно гладкая замкнутая кривая, лежащая в Ω, и S — кусочно гладкая
ориентируемая поверхность, лежащая в Ω, граница которой совпадает с Γ .
Применим к криволинейному интегралу
Z
P dx + Q dy + R dz
Γ+
формулу Стокса и, используя равенства из условия 4), получим:
Z
P dx + Q dy + R dz = 0.
Γ+
Следствие. Если выражение P dx + Q dy + R dz является в области Ω дифференциалом некоторой функции U и M0 (x0 , y0 , z0 ) ∈ Ω, то с точностью
до константы
Z (x,y,z)
U(x, y, z) =
P dx + Q dy + R dz,
(3.3)
(x0 ,y0 ,z0 )
причём, кривой интегрирования может быть выбрана любая кусочно гладкая кривая, соединяющая в Ω точку M0 с точкой M(x, y, z).
15
4
Элементы теории поля
Пусть Ω — область в пространстве R3x,y,z , на которой определена вектор~ : Ω → R3 , a
~ = (P, Q, R). В этом случае говорят, что на Ω опрефункция a
~ . Например, если область Ω заполнена жидкостью,
делено векторное поле a
~ (M), то содвижущейся в каждой точке M(x, y, z) с некоторой скоростью a
ответствующее векторное поле называют полем скоростей. В частности, если на Ω определена непрерывно дифференцируемая функция f, то вектор
∂f ∂f ∂f grad f =
, ,
задаёт на Ω непрерывное векторное поле (grad f яв∂x ∂y ∂z
ляется непрерывным на Ω отображением).
~ : Ω ⊂ R3x,y,z → R3 называется поОпределение 4.1. Векторное поле a
тенциальным, если существует такая непрерывно дифференцируемая на Ω
~ = grad U. При этом функция U называется потенциалом
функция U, что a
векторного поля.
Если область Ω является поверхностно односвязной, условия 4 теоремы 3.3 являются необходимыми и достаточными для того, чтобы непрерывно
~ было потенциальным. При выполдифференцируемое в Ω векторное поле a
~ определяется,
нении условий следствия из теоремы 3.3 потенциал поля a
например, формулой (3.3).
~ = (P, Q, R) — поле скоростей движущейся в Ω жидкости, S+ =
Пусть a
~ + ) — некоторая ориентированная кусочно гладкая поверхность, лежа(S, n
~ + соответствует направлению движения жидщая в Ω. Будем считать, что n
кости через S.
Количество жидкости, протекающей через элемент δs поверхности за еди~ n~ δs, где a
~ n~ — проекция скорости на нормаль n
~ + , то
ницу времени, равно a
есть
~ n~ = P cos (~
a
n,~i) + Q cos (~
n,~j) + R cos (~
n, ~k);
(4.1)
~ n~ δs = (P cos (~
a
n,~i) + Q cos (~
n,~j) + R cos (~
n, ~k))δs.
Чтобы получить количество жидкости, протекающей через поверхность S,
нужно просуммировать элементы потока жидкости (4.1) по всем ячейкам поверхности и перейти к пределу при δs → 0, то есть вычислить интеграл
ZZ
ZZ
~ + ) ds,
(P cos (~
n,~i) + Q cos (~
n,~j) + R cos (~
n, ~k)) ds = (~
a, n
S
S
который равен следующему поверхностному интегралу 2-го рода:
ZZ
P dy dz + Q dz dx + R dx dy.
S+
(4.2)
16
n+
a
D S
ZZ
~ + ) ds называ(~
a, n
Определение 4.2. Поверхностный интеграл (4.2) или
S
~ через кусочно гладкую ориентированную
ется потоком векторного поля a
+
+
~ ) (или через поверхность S в направлении n
~ + ).
поверхность S = (S, n
~ — поле скоростей движения жидкости в обВ силу предыдущего, если a
~ через ориентированную кусочно гладласти Ω, то поток векторного поля a
~ + равен количеству жидкости, протекакую поверхность S в направлении n
ющей через эту поверхность за единицу времени.
Для векторного поля другой природы поток имеет другой физический
смысл.
Определение 4.3. Пусть теперь S — замкнутая кусочно гладкая ориенти~ + ) внешней стороной
руемая поверхность, лежащая в Ω. Будем считать (S, n
~ = (P, Q, R) — некоторое непрерывно дифференцируемое
поверхности, a
векторное поле в Ω, G — внутренность поверхности S (G — тело, границей
которого является S). Функцию
∂P ∂Q ∂R
+
+
∂x
∂y
∂z
~ и обозначают div a
~.
называют дивергенцией вектора a
При выполнении условий теоремы 3.3 формула Гаусса-Остроградского
принимает вид:
ZZZ
ZZ
~ dx dy dz = (~
~ + ) ds.
div a
a, n
G
S
~ по телу G, ограСледовательно, тройной интеграл от дивергенции вектора a
ниченному кусочно гладкой ориентированной поверхностью S, равен пото~ через поверхность S, ориентированную в направлении внешку вектора a
ней нормали.
17
Чтобы выяснить физическое значение понятия дивергенции, рассмотрим
отношение
RR
~ + ) ds
a, n
S (~
,
mG
где mG — мера тела G (объем G), ограниченного поверхностью S. Поток
жидкости через поверхность S можно считать в этом случае суммарной мощностью источников, расположенных в G. Рассматриваемое отношение представляет среднюю мощность источников, расположенных в G (или производительность источников), то есть, то количество жидкости, которое возникает за единицу времени в единице объёма тела G.
Зафиксируем теперь произвольную точку M0 ∈ G и окружим её шаровой
ε-окрестностью UM0 (ε), содержащейся в G. Пусть vM0 — соответствующая
~ + ) — внешняя сторона сферы. По формуле Гаусса-Остсфера, v+
M0 = (vM0 , n
роградского
ZZ
ZZZ
+
~ ) ds =
~ dx dy dz.
(~
a, n
div a
v+
M
0
UM0 (ε)
Применяя к тройному интегралу теорему о среднем, получим:
ZZZ
4 3
~ ,
~ dx dy dz = πε div a
div a
3
M
UM0 (ε)
где M — некоторая точка шара UM0 (ε). Отсюда
ZZ
3
~ |M =
~ + ) ds.
div a
(~
a, n
3
4πε
(4.3)
vM0
~ — непрерывно дифференцируемая в Ω вектор-функция. ПоПо условию a
~ — непрерывная в Ω функция, а значит div a
~ |M → div a
~ |M0 при
этому div a
ε → 0.
Следовательно, переходя в (4.3) к пределу при ε → 0 получим:
ZZ
3
~ + ) ds.
~ |M0 = lim
(~
a, n
div a
ε→0 4πε3
vM0
~ в точке M0 есть производительность в точто есть, дивергенция вектора a
ке M0 источников, непрерывно распределённых в объеме G. Заметим, что
~ |M0 = 0, то производительность источников в точке M0 равна нуесли div a
~ |M0 < 0, то в точке M0 имеет место сток. Из физических солю; если же div a
~ является инвариантом относительно любых преображений ясно, что div a
образований системы координат.
18
~ = (P, Q, R) непрерывно диффеОпределение 4.4. Пусть вектор-функция a
3
ренцируема в области Ω ⊂ Rx,y,z . Вектор
∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P −
,
−
,
−
∂y
∂z ∂z ∂x ∂x
∂y
~ и обозначают rot a
~.
называют ротором (вихрем) вектора a
~ удобно записывать в виде символического определителя
Вектор rot a
~i ~j ~k ∂ ∂ ∂ ,
∂x ∂y ∂x P Q R При разложении этого определителя по элементам первой строки символи∂Q
— частная
ческое произведение, например, ∂/∂x на Q записывается как
∂x
производная функции Q по переменному x. Следовательно, определитель
равен
∂R ∂Q ~ ∂P ∂R ~ ∂Q ∂P ~
i+
−
j+
−
k.
−
∂y
∂z
∂z ∂x
∂x
∂y
С учётом последнего определения, формула Стокса (при соблюдении требований теоремы) принимает вид:
ZZ
Z
~, n
~ ) ds = P dx + Q dy + R dz.
(rot a
(4.4)
Γ+
S
Другими словами, величина криволинейного интеграла
Z
P dx + Q dy + R dz
Γ+
по ориентированной замкнутой кусочно гладкой кривой Γ есть поток в на~ + ротора векторного поля a
~ через поверхность S, натянутую
правлении n
~ + ) согласована Γ , когда ориентация контура Γ и сторона поверхности (S, n
ны.
Из теоремы 3.3 получаем следующее утверждение:
~ = (P, Q, R) непрерывно дифференТеорема 4.1. Пусть вектор-функция a
цируема в поверхностно односвязной области Ω. Для того, чтобы
Z
P dx + Q dy + R dz = 0
Γ+
19
по любой замкнутой ориентированной кусочно гладкой кривой Γ , лежащей
~ = 0 в Ω.
в Ω, необходимо и достаточно, чтобы rot a
R
В физике криволинейный интеграл Γ + P dx + Q dy + R dz обозначают
R
+
~ ~
~
Γ + a dl и называют циркуляцией векторного поля a вдоль кривой Γ . Используя это определение предыдущую теорему можно переформулировать
~ по любому замкнутому контуру
так: для того, чтобы циркуляция вектора a
~ = 0.
была равна нулю, необходимо и достаточно, чтобы rot a
~ постоянна, а Γ — прямолинейный отрезок, то работа сиЕсли функция a
~ при перемещении точки вдоль Γ равна произведению модуля
лового поля a
~ и ~r, то есть, работа равна скалярному
этой силы на косинус угла между a
~ не является постоянным и Γ — кусочно
произведению (~
a,~r). Если поле a
~ по перемещению точки по логладкая кривая, то работа силового поля a
манной, вписанной в Γ , (ориентация ломанной соответствует ориентации Γ )
~ сохраняет постоянное
при условии, что на каждом звене ломанной Li поле a
~ (Mi ), Mi ∈ Li , равна
значение, равное a
n X
P(Mi )δxi + Q(Mi )δyi + R(Mi )δzi
(4.5)
i=1
Эту сумму можно принять за приближенное значение работы, совершае~ вдоль Γ . Для получения точного значения этой работы
мой силовым полем a
нужно в сумме (4.5) перейти к пределу при условии, что максимум длин дуг
кривой Γ , стягиваемых звеньями ломаной, вписанной в Γ , стремится к нулю. Учитывая определение криволинейного
интеграла 2-го рода, значение
Z
указанного предела равно числу P dx + Q dy + R dz. Следовательно, цирΓ+
~ вдоль кривой Γ + есть работа силового поля a
~
куляция векторного поля a
по перемещению точки по Γ . Тогда, из формулы Стокса (см. равенство (4.4))
~ через ориентированную кусочно гладкую
следует, что поток вектора rot a
+
~ по Γ + , когда ориентаповерхность S с краем Γ равен циркуляции вектора a
ция Γ + и ориентация поверхности S+ согласованы.
~
Физический смысл ротора можно пояснить следующим образом. Пусть a
— поле скоростей движущейся жидкости. В некоторой точке области Ω поместим достаточно малое плоское колёсико с лопастями, расположенными
по границе (окружности) Γ колёсика. Под воздействием потока жидкости на
лопасти, колёсико начнёт вращаться с некоторой скоростью, зависящей от
направления его оси. Пусть dσ — элемент дуги Γ , ~τ — единичный касательный вектор к Γ в текущей точке. Тогда, если d~l = ~τdσ, циркуляция A поля
20
Z
~ d~l. По теореме о среднем для окружности Γ + , стяa
+
скоростей по Γ равна
Γ+
Z
гивающейся в точку, A = |~
aср | dσ.
Γ
R
Так как линейная скорость точки окружности v = |~
aср |, а Γ dσ = 2πR,
то A = 2πRv, и линейная скорость каждой точки окружности выражается
формулой:
Z
1
~ dl
v=
a
(4.6)
2πR
Γ+
По формуле Стокса
ZZ криволинейный интеграл (4.6) равен поверхностно1
~, n
~ ) ds, где в качестве поверхности S выбрана плосму интегралу
(rot a
2πR
S+
кость колёсика. По теореме о среднем для окружности Γ + , стягивающейся в
точку,
ZZ
ZZ
1
πR2
1
~, n
~ ) ds = |(rot a
~ )n~ |ср
~ )n~ |ср ,
|(rot a
(rot a
ds =
v=
2πR
2πR
2πR
S+
S
~ )n~ — величина проекции вектора rot a
~ на вектор n
~ (совпадающий с
где (rot a
осью колёсика). Если направление оси колёсика выбрать так, чтобы оно сов~ , то получим, что скорость некотопадало с направлением ротора вектора a
~ | R/2. Отсюда | rot a
~ | = 2v/R.
рой точки окружности колёсика равна v = | rot a
21
Поскольку отношение ω = v/R — угловая скорость колёсика, то получен
следующий результат: если колёсико ориентировано так, что ось его вра~ , то его угловая скорость равна половине модуля
щения направлена по rot a
~ , а направление движения жидкости совпадает с направлением
вектора rot a
~ . В гидромеханике вектор rot a
~ называют вихрем скоростей.
вектора rot a
~ , то rot a
~ =0
В частности, если жидкость течёт с постоянной скоростью a
в каждой точке из Ω. Поскольку rot grad U ≡ 0 (проверяется непосредствен~ = grad U, вихрь скорости rot a
~ тождественными вычислениями), то, если a
но равен нулю, и, значит, в таком движении частицы не вращаются. Это движение называется потенциальным с потенциалом скоростей U. То есть, при
потенциальном движении частицы жидкости, описывая произвольные траектории, не вращаются, сохраняя свою ориентацию (как, например, педаль
велосипеда, описывая сложную траекторию, сама не вращается).
~ (P, Q, R), определённое в области G ⊂
Определение 4.5. Векторное поле a
3
~ = 0 в каждой точке M ∈ G.
R , называется соленоидальным, если div a
Поле скоростей ~v(vx , vy , vz ) несжимаемой жидкости при отсутствии источников (стоков) является соленоидальным:
Z
ZZ
~ ) ds = 0,
div~v d~l =
(~v, n
Γ+
(S,~
n+ )
так как суммарный расход несжимаемой жидкости через замкнутую поверхность S равен нулю, поскольку нет источников (стоков).
Пример 4.1. Пусть на области Ω ⊂ R3x,y,z задано дифференцируемое векторное поле скоростей ~v(vx , vy , vz ) такое, что rot~v 6= 0 в каждой точке M ∈
Ω. Можно ввести в рассмотрение новое векторное поле — поле вихрей скоростей
∂vz ∂vy ∂vx ∂vz ∂vy ∂vx −
,
−
,
−
.
rot~v =
∂y
∂z ∂z
∂x ∂x
∂y
Если функции vx , vy , vz дважды непрерывно дифференцируемы на Ω, то
div(rot~v) =
∂(∂vz /∂y − ∂vy /∂z) ∂(∂vx /∂z − ∂vz /∂x) ∂(∂vy /∂x − ∂vx /∂y)
+
+
=
=
∂x
∂y
∂z
∂2 vz
∂2 vy
∂2 vx
∂2 vz
∂2 vy
∂2 vx
=
−
+
−
+
−
= 0,
∂x∂y ∂x∂z ∂y∂z ∂y∂x ∂z∂x ∂z∂y
для ∀ M ∈ G. Поэтому поле rot~v является соленоидальным.
22
~ . Линия в Ω,
Определение 4.6. Пусть в Ω ⊂ R3x,y,z задано векторное поле a
касательная к которой в любой её точке совпадает по направлению с векто~ , называется векторной линией (или линией тока).
ром a
Через каждую точку M ∈ Ω проходит единственная векторная линия по~ . Пусть дано некоторое векторное поле a
~ в области G. Рассмотрим в этом
ля a
поле некоторый замкнутый контур и через каждую его точку проведём соответствующую векторную линию. Получим некоторую поверхность, которую
называют векторной трубкой. Проведём два нормальных сечения S1 и S2 к
векторной трубке. Эти сечения вместе с боковой поверхностью S3 трубки
образуют замкнутую поверхность S.
S2
S3
S1
~ является соленоидальным. Тогда
Будем считать, что векторное поле a
~ = 0. В силу формулы Гаусса-Остроградского
div a
ZZ
~ + ) ds = 0,
(~
a, n
(4.7)
(S,~
n+ )
~ + таков, что (S, n
~ + ) — внешняя сторона поверхности S. Если
где вектор n
~ n~ + — нормальная составляющая вектора a
~ ,то
a
~ + ) = (S1 , n
~ − ) ∪ (S2 , n
~ + ) ∪ (S3 , n
~ + ),
(S, n
ZZ
~ n~ + ds = 0. Но
и формула (4.7) принимает вид
a
(S,~
n+ )
ZZ
ZZ
~ n~ + ds =
a
S
ZZ
~ n~ − ds +
a
S1
ZZ
~ n~ + ds +
a
S2
~ n~ + ds.
a
S3
~ZZперпендикулярно нормаПо определению векторной трубки направление a
~ n+ = 0 на S3 . и
ли к этой поверхности, поэтому a
~ n+ ds = 0. Если теперь,
a
S3
23
например, на сечении S1 направление нормали изменить на противоположное, то получим
ZZ
ZZ
~ n~ + ds =
a
S1
~ n~ + ds,
a
(4.8)
S2
~ через любое нормальное сечение векторной трубки
то есть, поток вектора a
~ представить себе как
имеет одно и то же значение. Если векторное поле a
поле скоростей несжимаемой жидкости, то равенство (4.8) означает: количество жидкости, протекающей за единицу времени через сечение векторной трубки, одно и тоже для всех сечений этой трубки.
Если равенство (4.8) применить к вихревой трубке и считать, что Ωn~ —
нормальная составляющая вихря rot~v поля скоростей ~v, то, с точностью до
малых величин высших порядков, Ω1 σ1 = Ω2 σ2 , где σ1 , σ2 — площади сечений S1 и S2 , σ1 → 0, σ2 → 0, Ω1 = −Ωn~ на S1 , Ω2 = Ωn~ на S2 . Произведение
Ωσ называется интенсивностью вихревой трубки или интенсивностью вихря. Следовательно, интенсивность вихря постоянна вдоль вихревой трубки.
Заметим, что интенсивность вихревой трубки зависит от циркуляции скорости по любому замкнутому контуру L. Предположим, что задано поле скоростей ~v(vx , vy , vz ). Тогда циркуляция этого поля вдоль замкнутой кривой L,
определяющей трубку, есть число
Z
A = vx dx + vy dy + vz dz.
L+
Применяя к этому интегралу формулу Стокса, получим
Z
ZZ
~ + ) ds,
A = vx dx + vy dy + vz dz = (rot~v, n
L+
S
то есть, циркуляция поля скоростей равна интенсивности вихревой трубки.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 4.2. Пусть дано поле скоростей ~v(−yω, xω, 0), отвечающее вращению всего пространства вокруг оси OZ с угловой скоростью ω.
Для этого поля rot~v = (0, 0, 2ω), т.е. он направлен по оси вращения, а по
величине равен удвоенной угловой скорости.
24
z
rot v
0
y
x
Пример 4.3. Пусть дано векторное поле скоростей ~v(y, 0, 0). В этом случае
rot~v = (0, 0, −1), то есть, rot~v = −~k. Поэтому вихревые линии являются
прямыми, параллельными плоскости YOZ.
Пример 4.4 (Функция тока). Рассмотрим плоское движение жидкости —
такое движение, при котором все частицы, лежащие на одном и том же перпендикуляре к некоторой неподвижной плоскости, имеют одинаковое движение, то есть, описывают одинаковые траектории, имеют одинаковые скорости и ускорения. В этом случае движение будет двумерным и достаточно
рассмотреть движение в плоскости XOY, принимая за неё ту плоскость, параллельно которой совершается движение. Заметим, что соответствующая
составляющая vz = 0.
Под потоком жидкости через кривую, лежащую в плоскости XOY, будем
понимать поток через z-цилиндрическую поверхность, для которой данная
кривая служит направляющей, а высота равна единице.
Уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости имеет вид (см., например, [4])
∂vx ∂vy
+
= 0,
∂x
∂y
или иначе
∂(−vy )
∂vx
=
(4.9)
∂x
∂y
Рассмотрим дифференциальное уравнение линий тока
−vx dx + vy dy = 0
(4.10)
Равенство (4.9) показывает, что выполняется условие 4) теоремы 3.3, поскольку vz = 0. Поэтому левая часть уравнения (4.10) является полным дифференциалом некоторой функции ψ; т.е.
∂ψ
∂ψ
, −vy =
, и dψ = 0.
vx =
∂y
∂x
25
Функцию ψ(x, y) называют функцией тока, так как на каждой линии тока она
сохраняет постоянное значение ψ(x, y) = C, вообще говоря, различное для
разных линий тока. Найдём выражение вихря через функцию тока:
∂vz ∂vy ∂vx ∂vz ∂vy ∂vx rot~v =
−
,
−
,
−
∂y
∂z ∂z
∂x ∂x
∂y
Подставляя значения vx =
∂ψ
∂ψ
, −vy =
vz = 0 получим
∂y
∂x
∂2 ψ ∂2 ψ rot~v = 0, 0, − 2 −
.
∂x
∂y2
Последнее означает, что в случае безвихревого плоского движения, функция
тока должна удовлетворять уравнению Лапласа:
∂2 ψ ∂2 ψ
+
= 0.
∂x2
∂y2
5
Задания для самостоятельной работы
I. Вычислить поверхностные интегралы первого рода.

ZZ 
4
x y z
1. z + 2x + y dS, S — часть плоскости + + = 1, лежащая в
3
2 3 4
S
первом октанте.
ZZ
2.
x dS, S — часть сферы x2 + y2 + z2 = a2 , лежащая в первом октанте.
S
ZZ
q
y dS, S — полусфера z = a2 − x2 − y2 .
3.
S
ZZ
q
x2 y2 dS, S — полусфера z = a2 − x2 − y2 .
4.
S
ZZ
(x + y + z) dS, S — поверхность x2 + y2 + z2 = a2 , z ≥ 0.
5.
S
ZZ
q
(x2 + y2 ) dS, S — граница тела x2 + y2 ≤ z ≤ 1.
6.
S
26
ZZ
7.
dS
, S — граница тетраэдра
1 + x2 + y2
S
x + y + z ≤ 1,
x ≥ 0,
y ≥ 0,
z ≥ 0.
ZZ
|xyz| dS, S — часть поверхности z = x2 + y2 , отсекаемая плоскостью
8.
S
z = 1.
ZZ
dS
9.
, S — поверхность эллипсоида и h — расстояние центра эллипh
S
соида до плоскости, касательной к элементу поверхности dS.
ZZ
10.
z dS, где:
S
(a) S — часть параболоида z = 12 (x2 + y2 ), 0 ≤ z ≤ 1.
(b) S — часть поверхности геликоида
x = u cos v,
y = u sin v,
z=v
(0 < u < a, 0 < v < 2π).
(c) S — часть поверхности
x2 + z2 = 2az (a > 0), вырезанная поq
верхностью z = x2 + y2
ZZ
11.
z2 dS, S — часть поверхности конуса
S
x = r cos φ sin α,
y = r sin φ sin α,
z = r cos α
(0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ φ ≤ 2π) и α — постоянная (0 < α < 2π).
ZZ
q
12. (xy + yz + zx) dS, S — часть конической поверхности z = x2 + y2 ,
S
вырезанная поверхностью x2 + y2 = 2ax
ZZ
z
dS, S — полусфера x2 + y2 + z2 = a2
13.
a
(z ≥ 0).
S
ZZ
14.
S
dS
, S — цилиндр x2 + y2 = a2 , ограниченный плоскостями z = 0
2
r
и z = h, а r — расстояние от точки поверхности до начала координат.
27
ZZ
15.
dS
, S — часть гиперболического параболоида z = xy, отсечённая
r
S
цилиндром x2 + y2 = a2 , а r — расстояние от точки поверхности до
оси Oz.
ZZ
dS
, S — сфера x2 + y2 + z2 = a2 , а r — расстояние от точки поверх16.
n
r
S
ности до фиксированной точки P(0, 0, c), (c > a).
II. Вычислить поверхностные интегралы первого рода, зависящие
от параметра.
ZZ
1. F(t) =
f(x, y, z) dS, где
x+y+z=t
f(x, y, z) =
1 − x2 − y2 − z2 , если x2 + y2 + z2 ≤ 1;
0,
если x2 + y2 + z2 > 1.
ZZ
2. F(t) =
f(x, y, z) dS, где
x2 +y2 +z2 =t
f(x, y, z) =
q
x2 + y2 , если z ≥ qx2 + y2 ;
0,
если z < x2 + y2 .
ZZ
3. F(x, y, z, t) =
f(ξ, η, ζ) dS, где S — переменная сфера
S
(ξ − x)2 + (η − y)2 + (ζ − z)2 = t2 ,
и
f(x, y, z) =
1, если ξ2 + η2 + ζ2 < a2 ;
0, если ξ2 + η2 + ζ2 ≥ a2 ,
q
предполагая, что r = x2 + y2 + z2 > a > 0.
III. Вычислить поверхностные интегралы второго рода, применяя
там, где это возможно, формулу Гаусса-Остроградского.
ZZ
1.
f(x) dy dz+g(y) dz dx+h(z) dx dy, где f(x), g(y), h(z) — непрерывS
ные функции, а S — внешняя сторона поверхности параллелепипеда
0 ≤ x ≤ a; 0 ≤ y ≤ b; 0 ≤ z ≤ c.
28
ZZ
x2 y2 z dx dy, S — внутренняя сторона поверхности полусферы
2.
S
x2 + y2 + z2 = a2 , z ≤ 0.
ZZ
3.
z dx dy, S — внешняя сторона эллипсоида
x2 y2 z2
+
+
= 1.
a2 b2 c2
S
ZZ
x2 y2 z2
z dx dy, S — внешняя сторона эллипсоида 2 + 2 + 2 = 1.
a
b
c
2
4.
S
ZZ
5.
xz dx dy + xy dy dz + yz dz dx, S — внешняя сторона пирамиды,
S
составленной плоскостями x = 0, y = 0, z = 0 и x + y + z = 1.
ZZ
6.
yz dx dy + xz dy dz + xy dz dx, S — внешняя сторона поверхности,
S
расположенной в первом октанте и составленной из цилиндра x2 +
y2 = R2 и плоскостей x = 0, y = 0, z = 0 и z = h.
ZZ
7.
y2 z dx dy+xz dy dz+x2 y dz dx, S — внешняя сторона поверхности,
S
расположенной в первом октанте и составленной из параболоида вращения z = x2 + y2 , цилиндра x2 + y2 = 1 и координатных плоскостей.
ZZ
8.
x dy dz + y dz dx + z dx dy по внешней стороне сферы x2 + y2 + z2 =
S
a2 .
ZZ
9. (y − z) dy dz + (z − x) dz dx + (x − y) dx dy, S — внешняя сторона
S
конической поверхности x2 + y2 = z2 (0 ≤ z ≤ h).

ZZ 
dz
dx
dx
dy
x2
dy
dz


+
+
, S — внешняя сторона эллипсоида 2 +
10.
x
y
z
a
S
y2 z2
+
= 1.
b2 c2
29
ZZ
x2 dy dz + y2 dz dx + z2 dx dy, S — внешняя сторона сферы
11.
S
(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 .
ZZ
(y2 + z2 ) dx dy, S — часть внешней стороны цилиндра
12.
S
q
z = a2 − x2 , 0 ≤ y ≤ b.
ZZ
(x4 +y4 +2a2 z2 ) dx dy, S — часть нижней стороны параболоида az =
13.
S
xy, лежащая в первом октанте и внутри цилиндра (x2 + y2 )2 = bxy.
ZZ
14. (x2 + 6z − 2y2 ) dx dy, S — часть нижней стороны параболического
S
цилиндра y2 = 6z, 0 ≤ x ≤ 3, z ≤ 6.
ZZ
15. (a2 x + by2 + cz2 ) dx dy,, S — правая сторона параболического циS
линдра y2 = px, x ≤ 2p, 0 ≤ z ≤ q.
ZZ
16. (xy2 + z2 ) dy dz + (yz2 + x2 ) dz dx + (zx2 + y2 ) dx dy, S — внешняя
S
сторона верхней полусферы x2 + y2 + z2 = a2 (z ≥ 0).
ZZ q
√
17.
x2 + y2 (dy dz + dz dx) + z dx dy, S — правая сторона части поS
верхности тела x2 + y2 ≤ z2 , x2 + y2 ≤ 2 − z, z ≥ 0, удовлетворяющая
условию x ≥ 0.
ZZ
18.
x3 dy dz + y3 dz dx + z3 dx dy, S — верхняя сторона части парабоS
лоида x2 + y2 = 2 − z, z ≥ 0.
ZZ
19. (xz2 + y2 ) dy dz + (yx2 + z2 ) dz dx + (zy2 + x2 ) dx dy, S — часть
S
q
внешней стороны конуса 1 − z = x2 + y2 , z ≥ 0.
30
ZZ
x3 dy dz + y3 dz dx + z dx dy, S — часть внутренней стороны гипер-
20.
S
болоида x2 + y2 − z2 = 1, 0 ≤ z ≤ 3.
ZZ
21.
xz2 dy dz+yx2 dz dx+zy2 dx dy, S — внешняя сторона поверхности
S
тела x2 + y2 + z2 ≤ 2az, x2 + y2 ≥ 3z2 , x ≥ y.
ZZ
22. (x2 + y2 ) dy dz + (y2 + z2 ) dz dx + (z2 + x2 ) dx dy, S — внутренняя
S
сторона поверхности тела x2 + y2 + z2 ≤ a2 , x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0.
ZZ
23.
x dy dz + y dz dx + z dx dy, S — внешняя поверхность куба, составS
ленного плоскостями x = 0, y = 0, z = 0, x = 1, y = 1, z = 1.
ZZ
24.
x2 dy dz + y2 dz dx + z2 dx dy, S — внешняя поверхность куба −a ≤
S
x ≤ a, −a ≤ y ≤ a, −a ≤ z ≤ a.
IV. Вычислить криволинейные интегралы, применяя формулу Стокса.
Z
(y + z) dx + (z + x) dy + (x + y) dz, Γ — эллипс x = a sin2 t, y =
1.
Γ
2a sin t cos t, z = a cos2 t (0 ≤ t ≤ π), пробегаемый в направлении
возрастания параметра t.
Z
2. (y − z) dx + (z − x) dy + (x − y) dz, Γ — эллипс x2 + y2 = a2 , ax +
Γ
z
h
= 1 (a > 0, h > 0), пробегаемый против хода часовой стрелки, если
смотреть с положительной стороны оси Ox.
Z
3. (y2 +z2 ) dx+(x2 +z2 ) dy+(x2 +y2 ) dz, Γ — кривая x2 +y2 +z2 = 2Rx,
Γ
x2 + y2 = 2rx (0 < r < R, z > 0), пробегаемая так, что ограниченная
ею на внешней стороне сферы x2 + y2 + z2 = 2Rx наименьшая область
остаётся слева.
31
Z
(y2 −z2 ) dx+(z2 −x2 ) dy+(x2 −y2 ) dz, Γ — сечение поверхности куба
4.
Γ
0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ a, 0 ≤ z ≤ a, плоскостью x + y + z = 3a/2, пробегаемое против хода часовой стрелки, если смотреть с положительной
стороны оси Ox.
Z
5. y2 z2 dx + x2 z2 dy + x2 y2 dz, Γ — замкнутая кривая x = a cos t, y =
Γ
a cos 2t, z = a cos 3t, пробегаемая по возрастанию параметра t.
32
Список литературы
[1] Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том 3. — М.: Наука, 1968.
[2] Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: В 2-х томах. — М.:
Наука, 1988.
[3] Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. Математический анализ в задачах и упражнениях. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1991.
[4] Кибель И.А., Кочин Н.Е., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. — М.:
Наука, 1987.
Содержание
3 Поверхностные интегралы (продолжение)
3.2 Примеры вычисления поверхностных интегралов . . . . . . .
3.3 Формулы Стокса и Гаусса-Остроградского . . . . . . . . . . . .
3
3
8
4 Элементы теории поля
15
5 Задания для самостоятельной работы
25