Атомная и ядерная физика

Министерство образования Российской Федерации
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
М. Н. Преображенский, Н. А. Рудь, А. Н. Сергеев
АТОМНАЯ И ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА
Учебное пособие
Ярославль, 2001 г.
6.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Вариант 1
Задача 1. Определить энергию фотона, испускаемого при переходе
электрона в атоме водорода с третьего энергетического уровня на второй.
Задача 2. Найти: 1) радиусы первых трех боровских электронных орбит в
атоме водорода; 2) скорость электрона в них.
Задача 3. Найти длину волны фотона, соответствующую переходу
электрона со второй боровской орбиты на первую в двукратно
ионизированном атоме лития.
Задача 4. Электрон находится на первой боровской орбите атома
водорода. Определить для электрона; 1) потенциальную энергию Еp;
2) кинетическую энергию Ек; 3) полную энергию Е.
Задача 5. Протон движется в однородном магнитном поле с индукцией
В=15мТл по окружности радиусом R=1,4 м. Определить длину волны
де Бройля для протона.
Задача 6. Объяснить, почему представление о боровских орбитах
несовместимо с принципом неопределенности.
Задача 7. Длина волны λ излучаемого атомом фотона составляет 0,6 мкм.
−8
Принимая время жизни возбужденного состояния ∆t = 10 с, определить
отношение естественной ширины энергетического уровня, на который был
возбужден электрон, к энергии, излученной атомом.
Задача 8. Известно, что свободная квантовая частица описывается
плоской монохроматической волной де Бройля. Плотность вероятности
(вероятность, отнесенная к единице объема) обнаружения свободной частицы
|Ψ|2=ΨΨ*=|A|2=const. Объяснить, что означает постоянство этой величины.
Задача 9. Энергия связи валентного электрона атома лития в состояниях
2S и 2P равна соответственно 5,39 и 3,54 эВ. Вычислить ридберговские
поправки для S- и P-термов этого атома.
Задача 10. Написать спектральное обозначение терма, кратность
вырождения которого равна семи, а квантовые числа L и S связаны
соотношением L=3S.
52
Задача 11. Определить массу нейтрального атома хрома 24 Cr .
Задача 12. Охарактеризовать свойства и особенности сил, действующих
между составляющими ядро нуклонами.
Задача 13. Записать β--распад магния
Задача 14. Ядро урана
27
12
Mg .
238
92
U , захватывая быстрый нейтрон, превращается
в радиоактивный изотоп урана, который претерпевает β--распад, и
превращается в трансурановый элемент, который в свою очередь также
претерпевает β--распад, в результате чего образуется плутоний. Записать все
106
эти процессы в виде ядерной реакции.
Задача 15. Объяснить, в чем
сопряжения.
заключается
принцип
зарядового
Вариант 2
Задача 1. Определить максимальную и минимальную энергии фотона в
видимой серии спектра водорода (серии Бальмера).
Задача 2. Найти численное значение кинетической, потенциальной и
полной энергии электрона на первой боровской орбите.
Задача 3. D-линия натрия излучается в результате такого перехода
электрона с одной орбиты атома на другую, при котором энергия атома
уменьшается на 3,37·10 – 19 дж. Определить длину волны D-линии натрия.
Задача 4. Определить частоту f вращения электрона по третьей орбите
атома водорода.
Задача 5. Определить, какую ускоряющую разрядность потенциалов
должен пройти протон, чтобы длина волны де Бройля λ для него была равна
1 нм.
Задача 6. Ширина следа электрона (обладающего кинетической энергией
Т=1.5 кэВ) на фотопластинке составляет ∆x =1 мкм. Определить, можно ли
по данному следу обнаружить отклонения в движении электрона, от законов
классической механики.
Задача 7. Принимая, что электрон находится внутри атома диаметром 0,3
нм, определить (в электрон-вольтах) неопределенность энергии этого
электрона.
Задача 8. Записать уравнение Шредингера для стационарных состояний
для свободной частицы, движущейся вдоль оси х, а также определить
посредством его решения собственные значения энергии; Что можно сказать
об энергетическом спектре свободной частицы?
Задача 9. Найти ридберговскую поправку для 3Р-терма атома натрия,
первый потенциал возбуждения которого 2,10 В, а энергия связи валентного
электрона в основном 3S-состоянии 5,14 эВ.
Задача 10. У атома какого элемента заполнены К-, L- и М-оболочки,
4s-подоболочка и наполовину 4р-подоболочка?
Задача 11. Объяснить отличие изотопов и изобаров.
Задача 12. Объяснить принципы построения ядерной и оболочечной
моделей ядра.
Задача 13. Известно, что β--активные ядра обладают до распада и после
него вполне определенными энергиями, в то же время энергетический спектр
β⎯-частиц
является
непрерывным.
Объяснить
непрерывность
энергетического спектра испускаемых электронов.
Задача 14. Определить кинетическую энергию T и скорость ν теплового
нейтрона при температуре окружающей среды, равной 17 °С.
107
Задача 15. Записать продукты распада антинейтрона.
Вариант 3
Задача 1. Определить длину волны λ, соответствующую второй
спектральной линии в серии Пашена.
Задача 2. Вычислить кинетическую энергию электрона, находящегося на
n-й орбите атома водорода. Задачу решить для n=1, 2, 3 и ∞.
Задача 3. Электрон, пройдя разность потенциалов 4,9 в, сталкивается с
атомом ртути и переводит его в первое возбужденное состояние. Какую
длину волны имеет фотон, соответствующий переходу атома ртути в
нормальное состояние?
Задача 4. Определить: 1) частоту f вращения электрона, находящегося на
первой боровской орбите; 2) эквивалентный ток.
Задача 5. Заряженная частица, ускоренная разностью потенциалов U=500
В, имеет длину волны де Бройля λ=1.282 пм. Принимая заряд этой частицы
равным заряду электрона, определить ее массу.
Задача 6. Электронный пучок потенциалов U=1 кВ. Известно, что
неопределенность скорости составляет 0,1 % от ее числового значения.
Оценить неопределенность координаты электрона. Являются ли электроны в
данных условиях квантовой или классической частицей.
Задача 7. Объяснить, почему физический смысл имеет не сама
2
ψ - функция, а квадрат ее модуля ψ .
Задача 8. Волновая функция, описывающая свободную частицу в момент
( )
− x 2 / a 2 + ikx
, где а и k — некоторые
времени t=0, имеет вид Ψ x,0 = Ae
положительные постоянные. Определить: 1) нормировочный коэффициент А;
2) область, в которой частица локализована.
Задача 9. Найти энергию связи валентного электрона в основном
состоянии атома лития, если известно, что длина волны головной линии
резкой серии λ1=813 нм и длина волны коротковолновой границы этой серии
λ2=350 нм.
Задача 10. Используя правила Хунда, найти основной терм атома,
незаполненная подоболочка которого содержит: а) три р-электрона; б) четыре
р-электрона.
Задача 11. Определить, какую часть массы нейтрального атома
12
6
C (m =
-27
19,9272⋅10 кг) составляет масса его электронной оболочки.
Задача 12. Объяснить, почему радиоактивные свойства элементов
обусловлены только структурой их ядер.
Задача 13. Объяснить, почему существование антинейтрино полностью
позволяет объяснить все особенности β--распада.
108
Задача 14. Ядро урана
235
92
U , захватывая тепловой нейтрон, делится на
два осколка с массовыми числами 95 и 139, второй из которых, являясь
радиоактивным, претерпевает три β--распада. Записать реакцию деления, а
также цепочку β--распадов.
Задача 15. При столкновении нейтрона и антинейтрона происходит их
аннигиляция, в результате чего возникает два γ-кванта, а энергия частиц
переходит в энергию γ-квантов. Определить энергию каждого из возникших
γ-квантов, принимая, что кинетическая энергия нейтрона и позитрона до их
столкновения пренебрежимо мала.
Вариант 4
Задача 1. Максимальная длина волны спектральной водородной линии
серии Лаймана равна 0,12 мкм. Предполагая, что постоянная Ридберга
неизвестна, определить максимальную длину волны линии серии Бальмера.
Задача 2. Найти: 1) период обращения электрона на первой боровской
орбите в атоме водорода; 2) его угловую скорость.
Задача 3. Найти постоянную решетки каменной соли, зная массу одного
киломоля каменной соли и ее плотность ( ρ = 2,2 г/см3 ). Кристалы каменной
соли обладают простой кубической структурой.
Задача 4. Определить частоту света, излучаемого атомом водорода, при
переходе электрона на уровень с главным квантовым числом n = 2, если
радиус орбиты электрона изменился в k = 9 раз.
Задача 5. Вывести зависимость между длиной волны де Бройля λ
релятивистской частицы и ее кинетической энергией.
Задача 6. Определить отношение неопределенностей скорости электрона,
если его координата установлена с точностью до 10-5м, и пылинки массой
m=10-12 кг, если координата установлена с такой же точностью.
Задача 7. Объяснить, почему волновая функция должна быть конечной,
однозначной и непрерывной.
Задача 8. Частица находится в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» шириной l с бесконечно высокими «стенками». Записать
уравнение Шредингера в пределах «ямы» (0≤ x ≤l) и решить его.
Задача 9. Определить длины волн спектральных линий, возникающих при
переходе возбужденных атомов лития из состояния 3S в основное состояние
2S. Ридберговские поправки для S- и P-термов равны – 0,41 и – 0,04.
Задача 10. Найти с помощью правил Хунда полный механический момент
атома в основном состоянии, если его незаполненная подоболочка содержит:
а) три d-электрона; б) семь d-электронов.
Задача 11. Определить число протонов и нейтронов, входящих в состав
9
ядер трех изотопов бора: 1) 5 B ; 2)
10
5
B ; 3) 115B .
Задача 12. Считая постоянную λ радиоактивного распада известной и
109
используя закон радиоактивного распада, вывести выражение для: 1) периода
полураспада Т1/2 радиоактивного ядра; 2) среднего времени жизни τ
радиоактивного ядра.
Задача 13. Записать превращение нейтрона в протон с указанием частиц,
которые при этом испускаются. Объяснить, почему этот процесс является
энергетически возможным.
Задача 14. При захвате теплового нейтрона ядром урана
235
92
U образуются
два осколка деления и два нейтрона. Определить порядковый номер Z и
массовое число А одного из осколков, если другим осколком является ядро
стронция
95
38
Sr .
Задача 15. Перечислить основные свойства нейтрино и антинейтрино и
объяснить, чем по современным представлениям, они отличаются друг от
друга.
Вариант 5
Задача 1.
Определить
длину
волны
спектральной
линии,
соответствующей переходу электрона в атоме водорода с шестой боровской
орбиты на вторую. К какой серии относится эта линия и которая она по
счету?
Задача 2. Найти наименьшую и наибольшую длины волн спектральных
линий водорода в видимой области спектра.
Задача 3. При экспериментальном определении постоянной Планка h при
помощи рентгеновских лучей кристалл устанавливается под некоторым
углом θ, а разность потенциалов, приложенная к рентгеновской трубке,
увеличивается до тех пор, пока не появится линия, соответствующая этому
углу. Найти постоянную Планка из следующих данных: кристалл каменной
соли был установлен под углом 14˚; разность потенциалов, при которой
впервые появилась линия, соответствующая этому углу, была равна 9100 В,
постоянная решетки кристалла 2,81Å.
Задача 4. Пользуясь теорией Бора, найти числовое значение постоянной
Ридберга.
Задача 5. Вывести зависимость между длиной волны де Бройля λ
релятивистского электрона и ускоряющим потенциалом U.
Задача 6. Электронный пучок выходит из электронной пушки под
действием разности потенциалов U=200 В. Определить, можно ли
одновременно измерить траекторию электрона с точностью до 100 пм (с
точностью порядка диаметра атома) и его скорость с точностью 10%.
Задача 7. Записать выражение для вероятности W обнаружения частицы в
конечном объеме V, если известна координатная пси-функция частицы
ψ x, y , z .
Задача 8. Частица находится в одномерной прямоугольной «по110
(
)
тенциальной яме» шириной l с бесконечно высокими «стенками». Вывести
выражение для собственных значений энергии Еn.
Задача 9. Длины волн компонент желтого дублета резонансной линии
натрия, обусловленной переходом 3P→3S, равны 589,00 и 589,56 нм. Найти
величину расщепления 3Р-терма в эВ.
Задача 10. Воспользовавшись правилами Хунда, найти число электронов
в единственной незаполненной подоболочке атома, основной терм которого:
а) 3F2; б) 2Р3/2; в) 6S5/2.
Задача 11. Определить число протонов и нейтронов, входящих в состав
ядер трех изотопов кислорода: 1)
16
8
O ; 2) 178O ; 3) 188O .
Задача 12. Определить постоянную радиоактивного распада λ для
изотопов: 1) тория
229
90
Th ; 2) урана
238
92
U ; 3) иода
131
51
I . Периоды полураспада
3
этих изотопов соответственно равны: 1) 7⋅10 лет; 2) 4,5⋅109 лет; 3) 8 суток.
Задача 13. Объяснить, почему при α-распаде одинаковых ядер энергии
α-частиц одинаковы, а при β--распаде одинаковых ядер энергии электронов
различны.
Задача 14. Объяснить, почему деление ядер должно сопровождаться
выделением большого количества энергии.
~ , v , v~ )
Задача 15. Выбрав из четырех типов нейтрино ( ve , v
e
µ
µ
правильное, написать
приведенных реакций:
1
1
1
1
недостающие
обозначения
(х)
в
каждой
из
0
1) х + 0 n → 1 p + −1 e ;
2) х + 0 n → 1 p +µ⎯;
1
1
0
3) x + 1 p → 0 n + +1 e .
Вариант 6
Задача 1. Определить длины волн, соответствующие 1) границе серии
Лаймана; 2) границе серии Бальмера; 3) границе серии Пашена.
Проанализируйте результаты.
Задача 2. 1) Найти наибольшую длину волны в ультрафиолетовой серии
спектра водорода. 2) Какую наименьшую скорость должны иметь электроны,
чтобы при возбуждении атомов водорода ударами электронов появилась эта
линия?
Задача 3. К электродам рентгеновской трубки приложена разность
потенциалов 60 кВ. Наименьшая длина волны рентгеновских лучей,
получаемых от этой трубки, равна 0,194 Å. Найти из этих данных
постоянную Планка.
Задача 4. Определить потенциал ионизации атома водорода.
111
Задача 5. Кинетическая энергия электрона равна 1 кэВ. Определить длину
волны де Бройля.
Задача 6. Электрон движется в атоме водорода по первой боровской
орбите. Принимая, что допускаемая неопределенность скорости составляет
10% от ее числового значения, определить неопределенность координаты
электрона. Применимо ли в данном случае для электрона понятие
траектории?
Задача 7. Волновая функция, описывающая некоторую частицу, может
быть представлена в виде ψ ( x, t ) = ψ ( x )e
. Показать, что плотность
вероятности нахождения частицы определяется только координатной
ψ - функцией.
Задача 8. Волновая функция, описывающая состояние частицы в
одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими
«стенками», имеет вид ψ(х) = A sin kx. Определить: 1) вид собственной
волновой функции ψn(х); 2) коэффициент А, исходя из условия нормировки
вероятностей.
Задача 9. Головная линия резкой серии атомарного цезия представляет
собой дублет с длинами волн 1358,8 и 1469,5 нм. Найти интервалы в частотах
между компонентами следующих линий этой серии.
Задача 10. Написать с помощью правил Хунда спектральный символ
основного терма атома, единственная незаполненная подоболочка которого
заполнена: а) 1/3 и S=15; б) на 70% и S=3/2.
Задача 11. Определить, пользуясь таблицей Менделеева, число нейтронов
и протонов в атомах платины и урана.
Задача 12. Определить, что (и во сколько раз) продолжительнее — три
периода полураспада или два редких времени жизни радиоактивного ядра.
Задача 13. Применяя понятия квантовой статистики, объяснить, почему
невозможно принципиально создать «нейтринный лазер».
Задача 14. Определить энергию (в электрон-вольтах), которую можно
− i ( E / h )t
получить при расщеплении 1 г урана
235
92
U , если при расщеплении каждого
ядра урана выделяется энергия 200 МэВ.
Задача 15. Назвать элементарную частицу, обладающую наименьшей
массой покоя. Чему равен электрический заряд этой частицы?
Вариант 7
Задача 1. Атом водорода находится в возбужденном состоянии,
характеризуемом главным квантовым числом n = 4. Определить возможные
спектральные линии в спектре водорода, появляющиеся при переходе атома
из возбужденного состояния в основное.
Задача 2. Определить потенциал ионизации атома водорода.
Задача 3. Найти коротковолновую границу непрерывного рентгеновского
112
спектра для случаев, когда к рентгеновской трубке приложена разность
потенциалов 1) 30 кВ, 2) 40 кВ, 3) 50 кВ.
Задача 4. Основываясь на том, что энергия ионизации атома водорода
Еi = 13,6 эВ, определить первый потенциал возбуждения ϕ1 этого атома.
Задача 5. Кинетическая энергия электрона равна 0,6 кэВ. Определить
длину волны де Бройля.
Задача 6. Применяя соотношение неопределенностей, показать, что для
движущейся частицы, неопределенность координаты которой равна длине
волны де Бройля, неопределенность скорости равна по порядку величины
самой скорости частицы.
Задача 7. ψ -Функция некоторой частицы имеет вид ψ =
A −r / a
e , где
r
r- расстояние этой частицы до силового центра; a- некоторая постоянная.
Используя условие нормировки вероятностей, определить нормировочный
коэффициент A.
Задача 8. Известно, что нормированная собственная волновая функция,
описывающая состояние электрона в одномерной прямоугольной
«потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками», имеет вид
ψ n ( x) = 2 / l sin
πn
l
x , где l - ширина «ямы». Определить среднее
значение координаты <х> электрона.
Задача 9. Выписать спектральные обозначения термов атома водорода,
электрон которого находится в состоянии с главным квантовым числом n=3.
Задача 10. Единственная незаполненная подоболочка некоторого атома
содержит три электрона, причем основной терм атома имеет L=3 . Найти с
помощью правил Хунда спектральный символ основного состояния данного
атома.
Задача 11. Определить зарядовые числа ядер, массовые числа и символы
ядер, которые получатся, если в ядрах
9
4
Be ,
13
7
N,
23
11
Na нейтроны заменить
протонами, а протоны - нейтронами.
Задача 12. Определить, во сколько раз начальное количество ядер
радиоактивного изотопа уменьшится за три года, если за один год оно
уменьшилось в 4 раза.
Задача 13. Описать основные процессы, происходящие при взаимодействии
γ-излучения с веществом.
Задача 14. Определить суточный расход чистого урана
235
92
U атомной
электростанцией тепловой мощностью Р = 300 МВт, если энергия Е,
выделяющаяся при одном акте деления, составляет 200 МэВ.
Задача 15. Элементарным частицам приписывают квантовомеханическую величину — четность. Что она характеризует? В чем
113
заключается закон сохранения четности и при каких взаимодействиях он
выполняется?
Вариант 8
Задача 1. В инфракрасной области спектра излучения водорода
обнаружено четыре серии – Пашена, Брэкета, Пфунда и Хемфри. Записать
сериальные формулы для них и определить самую длинноволновую линию:
1) в серии Пашена; 2) в серии Хемфри.
Задача 2. Определить первый потенциал возбуждения атомами водорода.
Задача 3. Найти коротковолновую границу непрерывного рентгеновского
спектра, если известно, что уменьшение приложенного к рентгеновской
трубке напряжения на 23 кВ увеличивает искомую длину волны в 2 раза.
Задача 4. Определить первый потенциал возбуждения атома водорода.
Задача 5. Определить, при каком числовом значении скорости длина
волны де Бройля для электрона равна его комптоновской длине волны.
Задача 6. Используя соотношение неопределенностей в форме
∆p x ∆x ≥ h , оценить минимально возможную полную энергию электрона в
атоме водорода. Принять неопределенность координаты равной радиусу
атома. Сравнить полученный результат с теорией Бора.
Задача 7. Используя условие нормировки вероятностей, определить
нормировочный коэффициент A волновой функции ψ ( r ) = Ae
,
описывающей основное состояние электрона в атоме водорода, где
r- расстояние электрона от ядра; a- первый боровский радиус.
Задача 8. Доказать, что собственные волновые функции, описывающие
состояние частицы в одномерной «потенциальной яме» с бесконечно
высокими «стенками», являются ортогональными, т. е. удовлетворяют
−r / a
l
условию
∫ψ (x )ψ (x )dx = 0 , если n≠m. Здесь l — ширина «ямы»; n и m —
n
m
0
целые числа.
Задача 9. Сколько и какие значения квантового числа J может иметь атом
в состоянии с квантовыми числами S и L, равными соответственно: а) 2 и 3;
б) 3 и 3; в) 5/2 и 2?
Задача 10. Найти длину волны Кα-линии меди (Z=29), если известно, что
длина волны Кα-линии железа (Z=26) равна 193 пм.
Задача 11. Определить плотность ядерного вещества, выражаемую
числом нуклонов в 1 см3, если в ядре с массовым числом А все нуклоны
плотно упакованы в пределах его радиуса.
Задача 12. Определить, какая часть (%) начального количества ядер
радиоактивного изотопа останется нераспавшейся по истечении времени t,
равного двум средним временам жизни τ радиоактивного ядра.
114
Задача 13. Свободное покоившееся ядро
191
77
Ir (m = 317,10953⋅10-27 кг) с
энергией возбуждения Е = 129 кэВ перешло в основное состояние, испустив
γ-квант. Определить изменение энергии γ-кванта, возникающее в результате
отдачи ядра.
Задача 14. Определить, во сколько раз увеличится число нейтронов в
цепной ядерной реакции за время t = 1 с, если среднее время жизни T одного
поколения составляет 80 мс, а коэффициент размножения нейтронов k =
1,002.
Задача 15. Объяснить, какая характеристика элементарных частиц
положена в основу деления адронов на мезоны и барионы.
Вариант 9
Задача 1. Определить число спектральных линий, испускаемых
атомарным водородом, возбужденным на n-й энергетический уровень.
Задача 2. 1) Какую наименьшую энергию (в электрон-вольтах) должны
иметь электроны, чтобы при возбуждении атомов водорода ударами этих
электронов появились все линии всех серий спектра водорода? 2) Какую
наименьшую скорость должны иметь эти электроны?
Задача 3. Длина волны γ-излучения радия С равна 0,016 Å. Какую
разность потенциалов надо приложить к рентгеновской трубке, чтобы
получить рентгеновские лучи с этой длиной волны?
Задача 4. Основываясь на том, что энергия ионизации атома водорода
Еi = 13,6 эВ, определить в электрон-вольтах энергию фотона,
соответствующую самой длинноволновой линии серии Бальмера.
Задача 5. Определить, при каком числовом значении кинетической
энергии Т длина волны де Бройля электрона равна его комптоновской длине
волны.
Задача 6. Объяснить физический смысл соотношения неопределенности
для энергии E и времени t: ∆E∆t ≥ h .
Задача 7. Используя условие нормировки вероятностей, определить
()
− r 2 /( 2 a 2 )
,
нормировочный коэффициент волновой функции ψ r = Ae
описывающей поведение некоторой частицы, где r - расстояние частицы от
силового центра; а - некоторая постоянная.
Задача 8. Частица в одномерной прямоугольной «потенциальной яме»
шириной l с бесконечно высокими «стенками» находится в основном
состоянии. Определить вероятность обнаружения частицы в левой трети
«ямы».
Задача 9. Найти возможные значения полных механических моментов
атомов, находящихся в состояниях 4Р и 5D.
Задача 10. Вычислить с помощью закона Мозли: а) длину волны
Кα-линии алюминия и кобальта; б) разность энергий связи К- и L-электронов
115
ванадия.
Задача 11. Объяснить, почему плотность ядерного вещества примерно
одинакова для всех ядер.
Задача 12. Определить, какая часть начального количества ядер
радиоактивного изотопа распадется за время t, равное двум периодам
полураспада Т1/2.
Задача 13. Назвать два важных механизма, которыми можно объяснить
ослабление потока фотонов с энергией Е = 500 кэВ при его прохождении
через вещество.
Задача 14. Объяснить, какой характер носит цепная реакция деления, если
коэффициент размножения: 1) k>1; 2) k=l; 3) k<1.
Задача 15. Объяснить, к какой группе элементарных частиц и почему
относится: 1) Λ0-гиперон; 2) протон; 3) таон; 4) π0-мезон.
Вариант 10
Задача 1. На дифракционную решетку с периодом d нормально падает
пучок света от разрядной трубы, наполненной атомарным водородом.
Оказалось, что в спектре дифракционный максимум k-го порядка,
наблюдаемый по углом φ, соответствовал одной из линий серии Лаймана.
Определить главное квантовое число, соответствующее энергетическому
уровню, с которого произошел переход.
Задача 2. В каких пределах должна лежать энергия бомбардирующих
электронов, чтобы при возбуждении атомов водорода ударами этих
электронов спектр водорода имел три спектральные линии? Найти длины
волн этих линий.
Задача 3. Какое наименьшее напряжение надо приложить к
рентгеновской трубке, чтобы получить все линии К-серии, если в качестве
материала антикатода взять: 1) медь, 2) серебро, 3) вольфрам и 4) платину.
Задача 4. Основываясь на том, что первый потенциал возбуждения атома
водорода ϕ1 = 10,2 В, определить в электрон-вольтах энергию фотона,
соответствующую второй линии серии Бальмера.
Задача 5. Вывести связь между длиной круговой электронной орбиты и
длиной волны де Бройля.
Задача 6. Воспользовавшись соотношением неопределенностей, оценить
размытость энергетического уровня в атоме водорода: 1) для основного
состояния; 2) для возбужденного состояния (время его жизни равно 10-8с).
Задача 7. Волновая функция ψ = A sin 2πx / l определена только в
области 0 ≤ x ≤ l . Используя это условие нормировки, определить
нормировочный множитель А.
Задача 8. Частица в одномерной прямоугольной «потенциальной яме»
шириной l с бесконечно высокими «стенками» находится в возбужденном
состоянии (n = 2). Определить вероятность обнаружения частицы в области
116
(
)
3
8
l ≤ x ≤ 5
8
l.
Задача 9. Найти максимально возможный полный механический момент и
соответствующее спектральное обозначение терма атома: а) натрия,
валентный электрон которого имеет главное квантовое число n=4; б) с
электронной конфигурацией 1s22p3d.
Задача 10. Сколько элементов содержится в ряду между теми, у которых
длины волн Кα-линий равны 250 и 179 пм?
Задача 11. Определить, что больше — масса атомного ядра или масса
свободных нуклонов (протонов и нейтронов), входящих в его состав.
Задача 12. Определить период полураспада радиоактивного изотопа, если
5/8 начального количества ядер этого изотопа распалось за время t = 849 с.
Задача 13. Объяснить, почему треки α-частиц представляют сплошную
толстую линию, а треки β--частиц — тонкую пунктирную линию.
Задача 14. В ядерном реакторе на тепловых нейтронах среднее время
жизни Т одного поколения нейтронов составляет 90 мс. Принимая
коэффициент размножения нейтронов k ≈ 1,002, определить период τ
реактора, т.е. время, в течение которого поток тепловых нейтронов в
реакторе возрастет в е раз. Записать схемы распада положительного и
отрицательного мюонов.
Задача 15. Объяснить, к какой группе элементарных частиц и почему
относится: 1) мюонное нейтрино; 2) нейтрон; 3) фотон; 4) К0-мезон.
Вариант 11
Задача 1. Используя теорию Бора для атома водорода, определить:
1) радиус ближайшей к ядру орбиты (первый боровский радиус); 2) скорость
движения электрона по этой орбите.
Задача 2. Какую наименьшую энергию (в электрон-вольтах) должны
иметь электроны, чтобы при возбуждении атомов водорода ударами этих
электронов спектр водорода имел три спектральные линии? Найти длины
волн этих линий.
Задача 3. Считая, что формула Мозли с достаточной степенью точности
дает связь между частотой характеристических рентгеновских лучей и
порядковым номером элемента, из которого сделан антикатод, найти
наибольшую длину волны К-серии рентгеновских лучей, даваемых трубкой с
антикатодом из 1) железа, 2) меди, 3) молибдена, 4) серебра, 5) тантала,
6) вольфрама и платины. Для К-серии постоянная экранирования равна
единице.
Задача 4. Определить работу, которую необходимо совершить, чтобы
удалить электрон со второй боровской орбиты атома водорода за пределы
притяжения его ядром.
Задача 5. Определить, как изменится длина волны де Бройля электрона
атома водорода при переходе его с четвертой боровской орбиты на вторую.
117
Задача 6. Длина волны λ излучаемого атомом фотона составляет 0,6 мкм.
−8
Принимая время жизни возбужденного состояния ∆t = 10 с, определить
отношение естественной ширины энергетического уровня, на который был
возбужден электрон, к энергии, излученной атомом.
Задача 7. ψ -Функция некоторой частицы имеет вид ψ =
A −r / a
, где
e
r
r-расстояние этой частицы до силового центра; а- некоторая постоянная.
Определить среднее значение <r> частицы до силового центра.
Задача 8. Электрон находится в одномерной прямоугольной
«потенциальной яме» шириной l с бесконечно высокими «стенками».
Определить вероятность W обнаружения электрона в средней трети «ямы»,
если электрон находится в возбужденном состоянии (n = 3). Пояснить
физический смысл полученного результата, изобразив графически плотность
вероятности обнаружения электрона в данном состоянии.
Задача 9. Известно, что в F- и D-состояниях число возможных значений
квантового числа J одинаково и равно пяти. Определить спиновый
механический момент в этих состояниях.
Задача 10.Найти напряжение на рентгеновской трубке с никелевым
антикатодом, если разность длин волн Кα-линии и коротковолновой границы
сплошного рентгеновского спектра равна 84 пм.
Задача 11. Определить, какая энергия в электрон-вольтах соответствует
дефекту массы ∆m = 3 мг.
Задача 12. Период полураспада радиоактивного изотопа актиния
225
89
Ac
составляет 10 суток. Определить время, за которое распадется 1/3 начального
количества ядер актиния.
Задача 13. Объяснить, где и почему лучше исследовать длинные цепи
рождений и распадов частиц высоких энергий — в камере Вильсона или в
пузырьковой камере.
Задача 14. Записать схемы распада положительного и отрицательного
мюонов.
Задача 15. Перечислить, какие величины сохраняются для процессов
взаимопревращаемости элементарных частиц, обусловленных слабым и
сильным взаимодействиями.
Вариант 12
Задача 1. Определить, насколько изменилась кинетическая энергия
электрона в атоме водорода при излучении атомом фотона с длиной волны
λ=4,86·10 – 7 м.
Задача 2. В каких пределах должны лежать длины волн
монохроматического света, чтобы при возбуждении атомов водорода
квантами этого света наблюдались три спектральные линии?
118
Задача 3. Найти постоянную экранирования для L-серии рентгеновских
лучей, если известно, что при переходе электрона в атоме вольфрама с
М-слоя на L-слой испускаются рентгеновские лучи с длиной волны λ=1,43 Ǻ.
Задача 4. Электрон выбит из атома водорода, находящегося в основном
состоянии, фотоном энергии ε = 17,7 эВ. Определить скорость v электрона за
пределами атома.
Задача 5. В опыте Дэвисона и Джермера, обнаруживших дифракционную
картину при отражении пучка электронов от естественной дифракционной
решетки – монокристалла никеля, оказалось, что в направлении,
составляющем угол α=550 с направлением падающих электронов,
наблюдается максимум отражения четвертого порядка при кинетической
энергии электронов Т=180 эВ. Определить расстояние между
кристаллографическими плоскостями никеля.
Задача 6. Принимая, что электрон находится внутри атома диаметром 0,3
нм, определить (в электрон-вольтах) неопределенность энергии этого
электрона.
Задача 7. Волновая функция, описывающая некоторую частицу, имеет
()
− r 2 /( 2 a 2 )
, где r - расстояние частицы до силового центра;
вид ψ r = Ae
а- некоторая постоянная. Определить среднее значение <r> частицы до
силового центра.
Задача 8. Частица в одномерной прямоугольной «потенциальной яме»
шириной l с бесконечно высокими «стенками» находится в возбужденном
состоянии
(n = 3). Определить, в каких точках «ямы» (0≤х≤l) плотность
вероятности обнаружения частицы: 1) максимальна; 2) минимальна.
Пояснить полученный результат графически.
Задача 9. Атом находится в состоянии, мультиплексность которого равна
трем, а полный механический момент h 20 . Каким может быть
соответствующее квантовое число L?
Задача 10. При некотором напряжении на рентгеновской трубке с
алюминиевым антикатодом длина волны коротковолновой границы
сплошного рентгеновского спектра равна 0,50 нм. Будет ли наблюдаться при
этом К-серия характеристического спектра, потенциал возбуждения которого
равен 1,56 кВ?
4
Задача 11. Определить энергию связи ядра атома гелия 2 He . Масса
нейтрального атома гелия равна 6,6467⋅10-27 кг.
210
Задача 12. Постоянная радиоактивного распада изотопа 82 Pb равна 10-9
c-1. Определить время, в течение которого распадется 2/5 начального
количества ядер этого радиоактивного изотопа.
Задача 13. Определить, является
реакция
7
3
Li + 11H → 47 Be + 01n
экзотермической или эндотермической. Определить энергию ядерной
119
реакции.
Задача 14. При соударении высокоэнергетического положительного
мюона и электрона может образоваться два нейтрино. Записать эту реакцию
и объяснить, какого типа нейтрино образуются.
Задача 15. Определить, какие из приведенных ниже процессов разрешены
~ ;
законом сохранения лептонного заряда:1) p→n+e++ ve ; 2) K⎯→µ⎯+ v
µ
3) π+→µ++е⎯+е+; 4) К+→ е++π0+ ve .
Вариант 13
Задача 1. Определить длину волны λ спектральной линии, излучаемой
при переходе электрона с более высокого уровня энергии на более низкий
уровень, если при этом энергия атома уменьшилась на ∆E = 10 эВ.
Задача 2. Насколько изменилась кинетическая энергия электрона в атоме
водорода при излучении атомов фотона с длиной волны λ=4860 Å?
Задача 3. При переходе электрона в атоме с L-слоя на К-слой
испускаются рентгеновские лучи с длиной волны 0,788 Å. Какой это атом?
Для К-серии постоянная экранирования равна единице.
Задача 4. Фотон с энергией Е = 12,12 эВ, поглощенный атомом водорода,
находящимся в основном состоянии, переводит атом в возбужденное
состояние. Определить главное квантовое число этого состояния.
Задача 5. Моноэнергетический пучок нейтронов, получаемый в
результате ядерной реакции, падает на кристалл с периодом d=0,15 мм.
Определить скорость нейтронов, если брегговское отражение первого
порядка наблюдается, когда угол скольжения υ=300.
Задача 6. Объяснить, почему физический смысл имеет не сама
2
ψ - функция, а квадрат ее модуля ψ .
Задача
7. Волновая
функция,
описывающая
основное
состояние
электрона в атоме водорода, имеет вид ψ ( r ) = Ae
, где r - расстояние
электрона от ядра, a - первый боровский радиус. Определить среднее
значение квадрата расстояния <r2> электрона до ядра в основном состоянии.
Задача 8. Определить, при какой ширине одномерной прямоугольной
«потенциальной ямы» с бесконечно высокими «стенками» дискретность
энергетического спектра электрона сравнима с его средней кинетической
энергией при температуре Т.
Задача 9. Определить максимально возможный орбитальный
механический момент атома в состоянии, мультиплетность которого равна
пяти и кратность вырождения по J – семи. Написать спектральное
обозначение соответствующего терма.
Задача 10. При увеличении напряжения на рентгеновской трубке от
U1=10 кВ до U2=20 кВ интервал длин волн между Кα-линией и
120
−r / a
коротковолновой границей сплошного рентгеновского спектра увеличился в
n=3,0 раза. Определить порядковый номер элемента антикатода этой трубки,
имея в виду, что данный элемент является легким.
Задача 11. Определить удельную энергию связи δЕсв (энергию связи,
отнесенную к одному нуклону) для ядер: 1)
4
2
He ; 2)
12
6
C . Массы
нейтральных атомов гелия и углерода соответственно равны 6,6467⋅10-27 и
19,9272⋅10-27 кг.
Задача 12. Вывести формулу для скорости радиоактивного распада через
период полураспада Т1/2 и начальное число N0 радиоактивных атомов.
Задача 13. Определить, поглощается или выделяется энергия при ядерной
2
3
4
0
реакции 1 H + 1 H → 2 He + 1 n . Определить эту энергию.
Задача 14. При захвате протоном отрицательного мюона образуется
нейтрон и еще одна частица. Записать эту реакцию и определить, что это за
частица.
Задача 15. Определить, какие из приведенных ниже процессов запрещены
законом сохранения странности: 1) p+π⎯→Λ0+К0; 2) p+π⎯→Σ++К⎯;
3) p+n→Λ0+Σ+; 4) p+π⎯→ К⎯+К++n.
Вариант 14
Задача 1. Используя теорию Бора, определить орбитальный магнитный
момент электрона, движущегося по третьей орбите атома водорода.
Задача 2. В каких пределах должны лежать длины волн
монохроматического света, чтобы при возбуждении атомов водорода
квантами этого света радиус орбиты электрона увеличился в 9 раз?
Задача 3. Воздух в некотором объеме V облучается рентгеновскими
лучами. Доза излучения равна 4,5 р. Найти, какая доля атомов, находящихся
в данном объеме, будет ионизована этим излучением.
Задача 4. Определить, какие спектральные линии появятся в видимой
области спектра излучения атомарного водорода под действием
ультрафиолетового излучения с длиной волны λ = 0,1 мкм.
Задача 5. Параллельный пучок моноэнергетических электронов направлен
нормально на узкую щель шириной a = 1мкм. Определить скорость этих
электронов, если на экране, отстоящем на расстояние l=20 см от щели,
ширина центрального дифракционного максимума составляет ∆x = 48 мкм.
Задача 6. Объяснить, почему волновая функция должна быть конечной,
однозначной и непрерывной.
Задача 7. Волновая функция, описывающая некоторую частицу, имеет
вид
ψ (r ) = ( A / r ) e − r
2
/ a2
, где А – нормировочный множитель, равный
1 / πa 2π ; r – расстояние частицы от силового центра; а - некоторая
121
постоянная. Определить среднее значение квадрата расстояния <r2> частицы
до силового центра.
Задача 8. Доказать, что энергия свободных электронов в металле не
квантуется. Принять, что ширина l прямоугольной «потенциальной ямы» с
бесконечно высокими «стенками» для электрона в металле составляет 10 см.
Задача 9. Найти возможные мультиплетности ƒ термов типа: а) ƒD2;
ƒ
б) P3/2; в) ƒF1.
Задача 10. У какого легкого элемента в спектре поглощения разность
частот K- и
L-краев поглощения рентгеновских лучей составляет
∆ω =6,85⋅1018с-1?
Задача 11. Используя данные задачи 7.13, определить, какая необходима
энергия, чтобы разделить ядро
12
6
C на три альфа-частицы.
Задача 12. Первоначальная масса радиоактивного изотопа иода
131
53
I
(период полураспада Т1/2 = 8 сут.) равна 1 г. Определить: 1) начальную
активность изотопа; 2) его активность через 3 суток.
Задача 13. Определить, выделяется или поглощается энергия при ядерной
реакции
44
20
Ca + 11H → 1941 Ka + 24 He . Массы ядер, участвующих в реакции:
1
44
41
m( 20 Ca ) = 7,2992⋅10-26 кг, m( 1 H ) = 1,6736⋅10-27 кг, m( 19 Ka ) = 6,8021⋅10-27
4
кг, m( 2 He ) = 6,6467⋅10-27 кг.
Задача 14. Принимая, что энергия релятивистских мюонов в космическом
излучении составляет 3 ГэВ, определить расстояние, проходимое мюонами за
время их жизни, если собственное время жизни мюона t0 = 2,2 мкс, а энергия
покоя Е0 = 100 МэВ.
Задача 15. Ниже приведены запрещенные способы распада. Перечислите
для каждого из них законы сохранения, которые он нарушает.
1) π⎯→µ⎯+ vµ ; 2) К⎯+n→ Ω⎯+К++К0; 3) p+n→Λ0+Σ+.
Вариант 15
Задача 1. Определить изменение орбитального механического момента
электрона при переходе его из возбужденного состояния в основное с
испусканием фотона с длиной волны λ=1,02·10 –7 м.
Задача 2. На дифракционную решетку нормально падает пучок света от
разрядной трубки, наполненный атомарным водородом. Постоянная решетки
равна 5·10 – 4 см. Какому переходу электрона соответствует спектральная
линия, наблюдаемая при помощи этой решетки в спектре пятого порядка под
углом 41°?
Задача 3. Рентгеновская трубка создает на некотором расстоянии
мощность дозы в 2,58·10 – 5 а/кг. Какое число пар ионов в одну секунду
122
создает эта трубка в одном грамме воздуха на данном расстоянии?
Задача 4. В излучении звезды обнаружен водородоподобный спектр,
длины волн которого в 9 раз меньше, чем у атомарного водорода. Определить
элемент, которому принадлежит данный спектр.
Задача 5. Параллельный пучок электронов, ускоренный разностью
потенциалов U=50В, направлен нормально на две параллельные, лежащие в
одной плоскости щели, расстояние d между которыми равно 10 мкм.
Определить расстояние между центральным и первым максимумами
дифракционной картины на экране, который расположен от щели на
расстоянии l=0,6 м.
Задача 6. Записать выражение для вероятности W обнаружения частицы в
конечном объеме V, если известна координатная пси-функция частицы
ψ x, y , z .
Задача 7. Волновая функция, описывающая основное состояние
(
)
электрона в атоме водорода, имеет вид ψ ( r ) = Ae
−r / a
, где r - расстояние
электрона до ядра, a - первый боровский радиус. Определить наиболее
вероятное расстояние rв электрона до ядра.
Задача 8. Частица находится в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками». Определить, во
сколько раз изменяется отношение разности соседних энергетических
уровней ∆En+1,n/∆En частицы при переходе от n = 3 к n' = 8. Объяснить
физическую сущность полученного результата.
Задача 9. Некоторый атом, кроме заполненных оболочек, имеет три
электрона (s,p,d) и находится в состоянии с максимально возможным для
этой конфигурации полным механическим моментом. Найти в
соответствующей векторной модели атома угол между спиновым и полным
механическим моментами данного атома.
Задача 10. Вычислить энергию связи К-электрона ванадия, для которого
длина волны L-края поглощения λ L = 2,4 нм.
Задача 11. Определить массу изотопа
образовании ядра
15
7
15
7
N , если изменение массы при
N составляет 0,2508⋅10-27 кг.
Задача 12. Активность некоторого радиоактивного изотопа в начальный
момент времени составляла 100 Бк. Определить активность этого изотопа по
истечении промежутка времени, равного половине периода полураспада.
Задача 13. Определить, выделяется или поглощается энергия при ядерной
реакции
14
7
N + 24 He → 11H + 178O . Массы ядер, участвующих в реакции:
14
4
1
m( 7 N ) = 2,3253⋅10-26 кг, m( 2 He ) = 6,6467⋅10-27 кг, m( 1 H ) = 1,6737⋅10-27 кг,
17
m( 8 O ) = 2,8229⋅10-26 кг.
123
Задача 14. Известно, что продукты распада заряженных пионов
испытывают дальнейший распад. Записать цепочку реакций для π+- и π-мезонов.
Задача 15. Ниже приведены запрещенные способы распада. Перечислите
для каждого из них законы сохранения, которые в нем нарушаются.
1) p+p→p+π+; 2) π⎯+p→ К⎯+Σ+; 3) π⎯+n→Λ0+ К⎯; 4) π⎯→µ⎯+е++е⎯.
Вариант 16
Задача 1. Позитроний – атомоподобная система, состоящая из позитрона
и электрона, вращающегося относительно общего центра масс. Применяя
теорию Бора, определить минимальные размеры подобной системы.
Задача 2. Найти длину волны де Бройля для электрона, движущегося по
первой боровской орбите в атоме водорода.
Задача 3. Воздух, находящийся при нормальных условиях в
ионизационной камере объемом в 6 см3, облучается рентгеновскими лучами.
Мощность дозы рентгеновских лучей равна 0,48 мр/ч. Найти ионизационный
ток насыщения.
Задача 4. Применяя теорию Бора к мезоатому водорода (в мезоатоме
водорода электрон заменен мюоном, заряд которого равен заряду электрона,
а масса в 207 раз больше массы электрона), определить: 1) радиус первой
орбиты мезоатома; 2) энергию ионизации мезоатома.
Задача 5. Исходя из общей формулы для фазовой скорости
υ фаз = ω / r , определить фазовую скорость волн де Бройля свободно
(
)
движущейся с постоянной скоростью υ частицы в случаях:
1) нерелятивистских; 2) релятивистских.
Задача 6. Волновая функция, описывающая некоторую частицу, может
быть представлена в виде ψ ( x, t ) = ψ ( x )e
. Показать, что плотность
вероятности нахождения частицы определяется только координатной
ψ - функцией.
Задача 7. Волновая функция, описывающая некоторую частицу, имеет
− i ( E / h )t
()
− r 2 /( 2 a 2 )
, где r – расстояние частицы от силового центра; а –
вид ψ r = Ae
некоторая постоянная. Определить наиболее вероятное расстояние
rв
частицы до силового центра.
124
Рис. 6.1
Задача 8. Частица с энергией Е движется в положительном направлении
оси х и встречает на своем пути прямоугольный потенциальный барьер
высотой U и конечной шириной l (рис. 6.1), причем Е < U. Записать
уравнение Шредингера для областей 1, 2 и 3.
Задача 9. Выписать спектральные символы термов двухэлектронной
системы, состоящей из одного p-электрона и одного d-электрона.
Задача 10. Найти энергию связи L-электрона титана, если разность длин
волн головной линии К-серии и ее коротковолновой границы ∆λ =26 пм.
Задача 11. При отрыве нейтрона от ядра гелия
4
2
He образуется ядро
3
2
He . Определить энергию связи, которую необходимо для этого затратить.
4
3
Массы нейтральных атомов 2 He и 2 He соответственно равны 6,6467⋅40-27
и 5,0084⋅10-27 кг.
Задача 12. Начальная активность 1 г изотопа радия
226
88
Ra равна 1 Ки.
Определить период полураспада Т1/2 этого изотопа.
Задача 13. Определить зарядовое число Z и массовое число А частицы,
обозначенной буквой х, в символической записи ядерной реакции:
1)
14
7
N + 24 He → 178O +x; 2) 2044Ca+ 24 He → 126C +x; 3) 36 Li +x→ 13 H + 24 He .
Задача 14. π0-мезон распадается в состоянии покоя на два γ-кванта.
Принимая массу покоя пиона равной 264,1me, определить энергию каждого
из возникших γ-квантов.
Задача 15. Исследование взаимопревращаемости элементарных частиц
привело к открытию нового свойства симметрии — операции зарядового
сопряжения, заключающейся в том, что при замене частицы на античастицу в
уравнении данной реакции получается новая реакция.
Вариант 17
125
Задача 1. Предполагая, что в опыте Франка и Герца вакуумная трубка
наполнена не парами ртути, а разреженным атомарным водородом,
определить, через какие интервалы ускоряющего потенциала φ возникнут
максимумы на графике зависимости силы анодного тока от ускоряющего
потенциала.
Задача 2. Найти: 1) радиус первой боровской электронной орбиты для
однократно ионизированного гелия, 2) скорость электрона на ней.
Задача 3. Найти для алюминия толщину слоя половинного ослабления
для рентгеновских лучей некоторой длины волны, если известно, что
массовый коэффициент поглощения алюминия для этой длины волны равен
5,3 м2/кг.
Задача 4. Определить, какая энергия требуется для полного отрыва
электрона от ядра однократно ионизованного атома гелия, если: 1) электрон
находится в основном состоянии; 2) электрон находится в состоянии,
соответствующем главному квантовому числу n=3.
Задача 5. Можно вывести, что для релятивистского случая фазовая
скорость
υ фаз = c 2 / υ ,
т.е. фазовая скорость волн де Бройля больше
скорости света в вакууме. Объяснить правомерность этого результата.
Задача 6. ψ - функция некоторой частицы имеет вид ψ =
A −r / a
e , где
r
r- расстояние этой частицы до силового центра; a- некоторая постоянная.
Используя условие нормировки вероятностей, определить нормировочный
коэффициент A.
Задача 7. Записать уравнение Шредингера для стационарных состояний
электрона, находящегося в атоме водорода.
Задача 8. Электрон с энергией Е=4 эВ движется в положительном
направлении оси х, встречая на своем пути прямоугольный потенциальный
барьер высотой U = 10 эВ и шириной l = 0,1 нм. Определить коэффициент D
прозрачности потенциального барьера.
Задача 9. Система состоит из d электрона и атома в 2Р3/2-состоянии. Найти
возможные спектральные термы этой системы.
Задача 10. У некоторого легкого атома длины волн Кα- и Кβ-линий равны
соответственно 275 и 251 пм. Что это за атом? Какова длина волны головной
линии его L-серии?
Задача 11. Энергия связи Есв ядра, состоящего из трех протонов и четырех
нейтронов, равна 39,3 МэВ. Определить массу m нейтрального атома,
обладающего этим ядром.
Задача 12. Принимая, что все атомы изотопа иода
131
53
I [Т1/2 = 8 суток]
массой m = 1 мкг радиоактивны, определить: 1) начальную активность А0
этого изотопа; 2) его активность А через 3 суток.
Задача 13. Записать недостающие обозначения х в следующих ядерных
126
реакциях: 1)
9
4
Be (n, α)х; 2)
40
18
Ar (α, n)x; 3) x(p, n)
37
18
Ar , 4) 23 He (x, p) 13 H ;
3
5) x(n, α) 1 H .
Задача 14. Известно, что распад нейтрального короткоживущего каона
0
происходит по схеме K S →π+ + π⎯. Принимая, что до момента распада каон
покоился и его масса покоя составляет 974me, определить массу покоя образовавшихся заряженных π-мезонов, если известно, что масса каждого
образовавшегося пиона в 1,783 раза больше его массы покоя.
Задача 15. Применить операцию зарядового сопряжения к следующим
процессам: 1) π0→2γ; 2) p+π0; 2) р+К-→Σ0+π++π-.
Вариант 18
Задача 1. Используя постоянную Планка h , диэлектрическую
постоянную ε 0 , массу m и заряд е электрона, составить формулу для
величины, характеризующей атом водорода по Бору и имеющей размерность
длины. Указать, что эта за величина.
Задача 2. Найти первый потенциал возбуждения: 1) однократно
ионизированного гелия, 2) двукратно ионизированного лития.
Задача 3. Во сколько раз уменьшится интенсивность рентгеновских лучей
с длиной волны 0,2 Å при прохождении слоя железа толщиной 0,15 мм?
Массовый коэффициент поглощения железа для этой длины волны равен 1,1
м2/кг.
Задача 4. Определить импульс и энергию: 1) рентгеновского фотона;
2) электрона, если длина волны того и другого равна 10-10 м.
Задача 5. Доказать, что групповая скорость волн де Бройля равна
скорости свободно движущейся частицы. Рассмотреть случаи:
1) нерелятивистский; 2) релятивистский.
Задача 6. Используя условие нормировки вероятностей, определить
нормировочный коэффициент A волновой функции ψ ( r ) = Ae
,
описывающей основное состояние электрона в атоме водорода, где
r - расстояние электрона от ядра; a - первый боровский радиус.
Задача 7. Записать одномерное уравнение Шредингера (для стационарных
состояний) для частицы, движущейся под действием квазиупругой силы.
Задача 8. Прямоугольный потенциальный барьер имеет ширину l = 0,1
нм. Определить в электрон-вольтах разность энергий U - Е, при которой
вероятность прохождения электрона сквозь барьер составит 0,5.
Задача 9. Установить, какие из нижеперечисленных переходов запрещены
правилами отбора: 2D3/2→2P1/2, 3P1→2S1/2, 3F3→3P2, 4F7/2→4D5/2.
Задача 10. Найти кинетическую энергию и скорость фотоэлектронов,
−r / a
127
вырываемых Кα-излучением цинка с К-оболочки атомов железа.
Задача 11. Определить, какую долю кинетической энергии теряет нейтрон
при упругом столкновении с покоящимся ядром углерода
12
6
C , если после
столкновения частицы движутся вдоль одной прямой. Массу нейтрального
атома углерода принять равной 19,9272⋅10-27 кг.
Задача 12. Определить период полураспада Т1/2 некоторого радиоактивного изотопа, если его активность за 5 суток уменьшилась в 2,2 раза.
2
2
3
1
Задача 13. В ядерной реакции 1 H + 1 H → 2 He + 0 n выделяется энергия
3
2
∆Е = 3,27 МэВ. Определить массу атома 2 He , если масса атома 1 H равна
3,34461⋅10-27 кг.
Задача 14. Назвать и охарактеризовать четыре типа фундаментальных
взаимодействий, а также сравнить радиусы их действия. Какое из
взаимодействий является универсальным?
Задача 15. Охарактеризовать основные свойства кварков (антикварков)—
заряды (электрический и барионный), спин, странность, цвет, очарование,
прелесть.
Вариант 19
Задача 1. Доказать, что энергетические уровни атома водорода могут
быть описаны выражением E = −
2π h
R, где R – постоянная Ридберга.
n2
Задача 2. Найти потенциал ионизации: 1) однократно ионизированного
гелия и 2) двукратно ионизированного лития.
Задача 3. Найти толщину слоя половинного ослабления для железа в
условиях предыдущей задачи.
Задача 4. Определить длину волны де Бройля для электрона,
находящегося в атоме водорода на третьей боровской орбите.
Задача 5. Доказать, что для свободно движущейся с постоянной
скоростью υ частицы выполняется соотношение
υ фазu = c 2 ( u - групповая
скорость).
Задача 6. Используя условие нормировки вероятностей, определить
()
− r 2 /( 2 a 2 )
,
нормировочный коэффициент волновой функции ψ r = Ae
описывающей поведение некоторой частицы, где r - расстояние частицы от
силового центра; а - некоторая постоянная.
Задача 7. Записать общее уравнение Шредингера для свободной частицы,
движущейся вдоль оси x, и решить это уравнение.
Задача 8. Протон с энергией Е = 5 эВ движется в положительном
направлении оси х, встречая на своем пути прямоугольный потенциальный
128
барьер высотой U = 10 эВ и шириной l = 0,1 нм. Определить: 1) вероятность
прохождения протоном этого барьера; 2) во сколько раз надо сузить барьер,
чтобы вероятность прохождения его протоном была такой же, как для
электрона при вышеприведенных условиях.
Задача 9. Определить суммарную кратность вырождения 3D-состояния
атома лития. Каков физический смысл этой величины?
Задача 10. Определить спиновый механический момент атома в
состоянии D2, если максимальное значение проекции магнитного момента в
этом состоянии равно четырем магнетонам Бора.
Задача 11. Определить число нуклонов, которые могут находиться в ядре
на наинизшем квантовом уровне.
Задача 12. Определить удельную активность а (число распадов в 1 с на 1
кг вещества) изотопа
238
92
U , если период его полураспада Т1/2=4,5⋅109 лет.
Задача 13. Первая в истории искусственная ядерная реакция осуществлена Резерфордом. Записать эту реакцию и объяснять ее огромное
значение для развития ядерной физики.
Задача 14. Что называется изотопическим мультиплетом и изотопическим
спином?
Задача 15. Объяснить, почему понадобилось введение внутренних
характеристик кварков — цвета и очарования.
Вариант 20
Задача 1. Определить скорость υ электрона на третьей орбите атома
водорода.
Задача 2. Найти длину волны фотона, соответствующего переходу
электрона со второй боровской орбиты на первую в однократно
ионизованном атоме гелия.
Задача 3. Сколько слоев половинного ослабления необходимо для
уменьшения интенсивности рентгеновских лучей в 80 раз?
Задача 4. Определить длину волны де Бройля для нейтрона, движущегося
со средней квадратичной скоростью при Т = 290 К.
Задача 5. Вывести закон дисперсии волн де Бройля, т.е. зависимость
фазовой скорости волн де Бройля от их длины волны. Рассмотреть случаи:
1) нерелятивистский; 2) релятивистский.
Задача 6. Волновая функция ψ = A sin 2π x / l определена только в
(
)
области 0 ≤ x ≤ l . Используя это условие нормировки, определить
нормировочный множитель А.
Задача 7. Исходя из принципов классического детерминизма и
причинности в квантовой механике, объяснить толкование причинности в
классической и квантовой теориях.
Задача 8. Прямоугольный потенциальный барьер имеет ширину
129
l = 0,1 нм. Разность между высотой потенциального барьера и энергией
движущегося в положительном направлении оси х электрона U - Е = 5 эВ.
Определить, во сколько раз изменится коэффициент D прозрачности
потенциального барьера для электрона, если разность U - E возрастет в
4 раза.
Задача 9. Найти кратность вырождения состояний 2Р, 3D и 4F с
максимально возможными полными механическими моментами.
Задача 10. Некоторый атом находится в состоянии, для которого S=2,
полный механический момент M = 2h , а магнитный момент равен нулю.
Написать спектральный символ соответствующего терма.
Задача 11. Определить, во сколько раз магнетон Бора (единица
магнитного момента электрона) больше ядерного магнетона (единица
магнитного момента ядра).
Задача 12. Объяснить, как изменяется положение химического элемента в
таблице Менделеева после α- и β-распадов ядер его атомов.
Задача 13. Жолио-Кюри облучали алюминий
27
13
Al α-частицами, в
результате чего испускался нейтрон и образовывалось искусственнорадиоактивное ядро, испытывающее β+-распад. Записать эту реакцию.
Задача 14. Возможно ли вынужденное излучение, если фотоны были бы
фермионами? Дать объяснение.
Задача 15. Записать, какие комбинации известных в настоящее время
кварков воспроизводят свойства: 1) нейтрона, 2) протона; 3) π+-мезона,
4) π--мезона; 5) Σ0-гиперона.
130
Литература
1. Матвеев А.Н. Атомная физика: Учеб. пособие. М.:
Высшая школа., 1989.
2. Мухин К.Н. Экспериментальная ядерная физика:
Учебник. М.:Энергоатомиздат,1983.Т. 1-2.
3. Савельев И.В. Курс общей физики: Учеб. пособие: В3 т.
М.: Наука,1987. Т. 3.
4. Сивухин Д.В. Атомная и ядерная физика: Учеб. пособие:
В 2 ч. М.: Наука,1989. Ч.1-2.
5. Широков Ю.М., Юдин Н.П. Ядерная физика: Учеб.
пособие: М.: Наука,1980.
6. Шпольский Э.В. Атомная физика: Учеб. пособие: В 2 т.
М.: Наука, 1982. Т.1-2.
131
Оглавление
ВВЕДЕНИЕ......................................................................................................
1. ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА ЧАСТИЦ..................................................
1.1. Корпускулярно-волновая двойственность свойств
электромагнитного излучения..............................................................
1.2. Гипотеза де Бройля..........................................................................
1.3. Свойства волн де Бройля................................................................
1.4. Соотношение неопределённостей.................................................
1.5. Волновая функция и ее статический смысл.................................
1.6. Временное и стационарное уравнения Шредингера....................
1.7. Операторы в квантовой механике и их свойства.........................
1.8. Операторы важнейших физических величин...............................
2. АТОМ ВОДОРОДА...............................................................................
2.1. Спектральные серии атома водорода............................................
2.2. Элементарная боровская теория атома водорода........................
2.3. Опыты Франка и Герца...................................................................
2.4. Квантово-механическое описание атома водорода.....................
2.5. 1s-состояние электрона в атоме водорода....................................
3. ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ АТОМОВ И МОЛЕКУЛ...........................
3.1. Орбитальные магнитный и механический моменты....................
3.2. Спектры щелочных металлов и мультиплетность. Спин и
собственный магнитный момент электрона........................................
3.3. Некоторые доказательства существования спина. Полный
момент импульса....................................................................................
3.4. Атом во внешнем магнитном поле................................................
3.5. Системы тождественных частиц....................................................
3.6. Принцип Паули. Периодическая система элементов
Менделеева..............................................................................................
3.7. Рентгеновские спектры...................................................................
3.8. Молекулы, энергия и спектры.......................................................
3.9. Вынужденное излучение. Элементы физики лазеров..................
4. ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ АТОМНОГО ЯДРА....................................
4.1. Основные характеристики и свойства атомных ядер..................
4.2. Ядерные силы. Модели ядра..........................................................
4.3. Радиоактивность и ее характеристики. Закон радиоактивного
распада.....................................................................................................
4.4. Виды радиоактивных процессов и их свойства...........................
4.5. Резонансное поглощение γ-излучения (эффект Мёссбауэра)
4.6. Физические основы детекторов частиц и радиоактивных
излучений................................................................................................
4.7. Ядерные реакции и их основные типы..........................................
132
3
5
5
6
7
9
10
12
14
17
22
22
24
28
30
36
40
40
42
44
48
50
52
57
60
63
69
69
72
75
77
84
86
91
5.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ..........................................................
5.1. Теория атома водорода по Бору.....................................................
5.2. Элементы квантовой механики......................................................
5.3. Элементы современной физики атомов и молекул......................
5.4. Элементы физики атомного ядра...................................................
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ....................
97
97
99
102
103
106
ЛИТЕРАТУРА.................................................................................................
131
6.
133
5.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
5.1. Теория атома водорода по Бору
Задача 1. Определить частоту света, излучаемого возбужденным атомом
водорода, при переходе электрона на второй энергетический уровень, если
радиус орбиты электрона изменился в 9 раз.
Д а н о : m=2, rn r2 = 9 .
О п р е д е л и т ь : v.
Р е ш е н и е : Согласно обобщенной формуле Бальмера, частота света,
излучаемого атомом водорода,
1 ⎞
⎛ 1
− 2 ⎟,
2
n ⎠
⎝m
ν = R⎜
(5.1)
где R=3,29·1015c – 1 – постоянная Ридберга; m определяет серию (по
условию задачи, m=2 – серия Бальмера), т.е. номер орбиты, на которую
переходит электрон; n определяет отдельную линию серии, т.е. номер
орбиты, с которой переходит электрон.
Второй закон Ньютона для электрона, движущегося по окружности
радиусом rn под действием кулоновской силы,
meυ n2
1 e2
=
.
4πε 0 rn2
rn
(5.2)
Согласно теории Бора, момент импульса электрона, движущегося по n-й
орбите,
meυ n rn = nh (n = 1, 2, 3...).
(5.3)
Решая уравнения (5.2) и (5.3), получим
h 2 ⋅ 4πε 0
.
rn = n
me e 2
2
(5.4)
Из выражения (5.4) и условия задачи следует, что
rn / r2 = n 2 / m 2 = 9.
(5.5)
Умножив и разделив правую часть уравнения (5.1) на
(5.5), получим искомую частоту
⎛
m2 ⎞ 1
⎛
⎞
ν = R⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ ⋅ 2 = ⎜1 − ⎟ = R.
n ⎠ m
4 ⎝ 9⎠ 9
⎝
Вычисляя, получаем v = 7,31·1014с – 1.
97
R
1
2
m 2 и учитывая
Задача 2. Определив энергию ионизации атома водорода, найти в
электрон-вольтах энергию фотона, соответствующую самой длинноволновой
линии серии Лаймана.
Д а н о : m = 1.
Н а й т и : 1) Еi ; Eλ max .
Р е ш е н и е : Энергия ионизации атома (энергия, необходимая для
отрыва электрона, находящегося в основном состоянии, от атома)
определяется уравнением
где R=3,29·1015c
энергия ионизации
–1
1 ⎞
⎛ 1
Ei = hv = hR⎜ 2 − 2 ⎟,
n ⎠
⎝m
– постоянная Ридберга; m = 1 и n = ∞. Тогда искомая
Ei = hR.
(5.6)
Самая длинноволновая линия серии Лаймана (рис. 5.1) соответствует
переходу электрона со второго энергетического уровня на основной, т.е.
⎛1 1 ⎞ 3
Eλ max = E21 = hv21 = hR⎜ 2 − 2 ⎟ = hR.
2 ⎠ 4
⎝1
Рис. 5.1
Учитывая (5.6), получим искомую энергию фотона, соответствующую
самой длинноволновой линии серий Лаймана:
3
Ei .
4
Вычисляя, получаем: 1) Ei =13,6 эВ; 2) Eλ max =10,2 эВ.
Eλ max =
98
5.2. Элементы квантовой механики
Задача 1. Определить длину волны де Бройля λ электрона, прошедшего
ускоряющую разность потенциалов – 700 кВ.
Д а н о : U = 700 кВ = 7·105 В.
О п р е д е л и т ь : λ.
Р е ш е н и е : Связь длины волны де Бройля частицы с импульсом
λ = h / p,
где h = 6,63·10–34 Дж · с – постоянная Планка, причем импульс выражается
различным
образом
релятивистского
для
(p=
(p=
нерелятивистского
(2 E0 + T )T / c ) случаев, где
2m0T )
и
m0 , T , E0
-
соответственно масса покоя, кинетическая энергия, энергия покоя частицы.
Кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность
потенциалов U,
T = e U = 0,7 МэВ,
а энергия покоя электрона
E0 = m0 c 2 = 0,512 МэВ, т.е. в данном случае
имеем дело с релятивистской частицей. Тогда искомая длина волны де
Бройля
λ=
где
m0 = 9,11·10
– 31
hc
(2 E0 + T )T
=
(2m c
0
hc
2
+ e U )e U
,
8
кг; с = 3·10 м/с; e = 1,6·10 – 19 Кл.
Вычисляя, получаем λ = 1,13 пм.
Задача 2. Электронный пучок ускоряется в электронно-лучевой трубке
разностью потенциалов U = 0,5 кВ. Принимая, что неопределенность
импульса равна 0,1% от его числового значения, определить
неопределенность координаты электрона. Являются ли в данных условиях
электроны квантовой или классической частицей?
Д а н о : U = 0,5 кВ = 500 В, ∆p x =0,001 p x
О п р е д е л и т ь : ∆x.
Р е ш е н и е : Согласно соотношению неопределенностей ,
∆x∆p x ≥ h,
где
∆x
-
неопределенность
координаты
– 34
(5.7)
электрона;
∆p x
-
Дж·с – постоянная Планка.
неопределенность его импульса; h = 6,63·10
Кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность
потенциалов U, T = |e|U = 0,5 кэВ, т.е. электрон при данных условиях
99
является нерелятивистской частицей (см. задачу 3), и импульс электрона
p = 2m0T = 2m0 e U = 1,24·10 – 23 кг · м/с.
Согласно условию задачи, неопределенность импульса
1,24·10 – 26 кг · м/с, т.е.
∆p x =0,001 p x =
∆p x << p x , и электрон при данных условиях является
классической частицей. Из выражения
неопределенность координаты электрона
(5.7)
следует,
что
искомая
∆x = h / ∆p x .
Вычисляя, получаем ∆x = 53,5 нм.
Задача 3. Электрон в одномерной прямоугольной «потенциальной яме»
шириной l = 200 пм с бесконечно высокими «стенками» находится в
возбужденном состоянии (n=4). Определить: 1) минимальную энергию
электрона; 2) вероятность W обнаружения электрона в первой части «ямы».
Д а н о : l = 200 пм = 2·10 –10 м, x1 =0, x2 = l/4.
О п р е д е л и т ь : 1) Emin ; 2)W.
Р е ш е н и е : Собственные значения энергии электрона, находящегося
на n-м энергетическом уровне в одномерной прямоугольной «потенциальной
яме» с бесконечно высокими «стенками»,
En = n 2
π 2h 2
2ml 2
(l=1, 2, 3, …),
где m=9,11·10 – 31 кг – масса электрона; h = h /(2π ) =1,05·10 – 34 Дж·с –
постоянная Планка. Минимальную энергию электрон имеет при
минимальном n, т.е. при n=1:
Emin =
π 2h 2
2ml 2
.
Вероятность обнаружить частицу в интервале x1 < x < x2
x2
W = ∫ ψ n ( x) dx,
2
(5.8)
xx
где
ψ n ( x) =
2
nπ
sin
x (n = 1, 2, 3, …) – нормированная собственная
l
l
волновая функция, соответствующая данному состоянию.
100
Возбужденному состоянию n = 4 отвечает собственная функция
2
4π
sin
x.
(5.9)
l
l
Согласно условию задачи (рис. 5.2), x1 = 0 и x2 = l/4. Поэтому, подставив
ψ 4 ( x) =
(5.9) в (5.8), получим
2
4π
W = ∫ sin 2
xdx.
l 0
l
l/4
sin 2 (4πx / l ) = 1 (1 − cos(8πx / l ) ), запишем
2
l/4
l/4
⎤
1⎡
W = ⎢ ∫ dx − ∫ cos(8πx / l )dx ⎥ =
l⎣0
0
⎦
l ⎡l
l
8π l / 4 ⎤ 1 1
= ⎢ −
sin
x
= −
(sin 2π − sin 0) = 0,25.
4 ⎣ 4 8π
l 0 ⎥⎦ 4 8π
Заменив
Рис. 5.2
Вычисляя, получим: 1) Emin =1,5·10 – 18 Дж = 9,37 эВ; 2) W=0,25.
Задача 4. Две частицы, электрон и протон, обе с энергией Е = 5 эВ,
движутся в положительном направлении оси х, встречая на своем пути
прямоугольный потенциальный барьер высотой U = 10 эВ и шириной
l = 1 пм. Определить отношение вероятностей прохождения частицами этого
барьера.
Д а н о : E = 5 эВ = 8·10 –19 Дж, U=10 эВ=1,6·10 –18Дж, l=1пм = 10 –12 м.
О п р е д е л и т ь : We W p .
Р е ш е н и е : Вероятность прохождения частицы сквозь потенциальный
барьер определяется коэффициентом прозрачности: W=D
D = D0 e ( −2 / h )
101
2 m (U − E )l
,
(5.10)
где D0 =1 (множитель, приравниваемый единице); m – масса частицы;
h = h /(2π ) - постоянная Планка.
Исходя из формулы (5.10) искомое отношение вероятностей прохождения
частицами барьера
( −2 / h ) 2 me (U − E )l
We e
=
Wp e( −2 / h )
где me = 9,11 ⋅ 10
−31
2 m p (U − E )l
кг; m p = 1,672 ⋅ 10
−27
,
кг; h = 1,05 ⋅ 10
−34
Дж·с.
Вычисляя, получим We W p = 2,6 .
5.3 Элементы современной физики атомов и молекул
Задача 1. Электрон в атоме находится в d–состоянии.
Определить: 1) момент импульса электрона; 2) максимальное значение
проекции момента импульса на направление внешнего магнитного поля.
Д а н о : d–состояние.
О п р е д е л и т ь : 1) Ll ; 2) ( Liz ) max .
Р е ш е н и е : d–cостояние электрона характеризуется орбитальным
квантовым числом l = 2, а момент импульса (механический орбитальный
момент) электрона
Ll = h l (l + 1) ,
– 34
где h =1,05·10
Дж·с – постоянная Планка.
Проекция момента импульса на направление z внешнего магнитного поля
Llz = hml ,
(5.11)
где ml = 0, ± 1, ..., ± l - магнитное квантовое число. Выражение (5.11)
максимально при ml = ( ml ) max :
( Llz ) max = h(ml ) max ,
где по условию задачи ( ml ) max =2.
Вычисляя, получим 1) Ll =2,45 h ; 2) ( Llz ) max =2 h .
Задача 2. Определить напряжение на рентгеновской трубке с никелевым
анодом (Z=28), если разность длин волн ∆λ между K α -линией и
коротковолновой границей сплошного рентгеновского спектра равна 84 пм.
Д а н о : Z=28, ∆λ = λα − λmin =84 пм = 8,4·10 – 11 м.
102
О п р е д е л и т ь : U.
Р е ш е н и е : Коротковолновая граница сплошного рентгеновского
спектра
λmin = ch /(eU ),
(5.12)
где с – скорость света в вакууме; h – постоянная Планка; е – заряд
электрона. По условию задачи λmin = λα − ∆λ .
Согласно закону Мозли, для линии K α
⎛1 1 ⎞ 3
− 2 ⎟ = R( Z − 1) 2 ,
2
2 ⎠ 4
⎝1
ν α = R( Z − 1) 2 ⎜
откуда
c
λα =
να
=
где R = R / c = 1,1 ⋅ 10 м
/
7
4c
4
,
=
2
/
3R( Z − 1)
3R ( Z − 1) 2
-1
λmin =
- постоянная Ридберга. Тогда
4
− ∆λ .
3R ( Z − 1) 2
(5.13)
/
Подставив (5.13) в (5.12), найдем искомое напряжение на рентгеновской
трубке
U=
ch
⎛
⎞
4
− ∆λ ⎟⎟
e⎜⎜ /
2
⎝ 3R ( Z − 1)
⎠
,
где с - 3·108 м/с; h = 6,63·10 – 34 Дж·с.
Вычисляя, получим U=15,1 кВ.
5.4. Элементы физики атомного ядра
Задача 1. При бомбардировке изотопа лития
( m 2 H = 3,3446·10
1
– 27
4
2
6
3
Li дейтронами
2
1
кг) образуются две α-частицы Не ( m 4 Hе =6,6467·10
H
– 27
2
∆E =22,3 МэВ. Определить массу изотопа лития.
6
2
4
Д а н о : 3 Li +1 H → 2 2 He + ∆E, ∆E = 22,3 МэВ = 35,68·10 – 13 Дж,
m 4 He =6,6467·10 – 27 кг, m 2 H = 3,3446·10 – 27 кг.
кг) и выделяется энергия
2
1
О п р е д е л и т ь : m 6 Li .
3
Р е ш е н и е : Дефект массы ядра
103
∆m = m 6 Li + m 2 H − 2m 4 He .
3
1
2
(5.14)
С другой стороны,
∆m = ∆E / c 2 ,
(5.15)
поэтому из выражений (5.14) и (5.15) найдем искомую массу изотопа
лития:
m 6 Li =
3
∆E
+ 2m 4 He − m 2 H .
2
1
c2
Вычисляя m 6 Li , получим = 9,9884·10 – 27 кг.
3
Задача 2. Первоначальная масса радиоактивного изотопа
222
86
радона
Rn (период полураспада T1/ 2 =3,82 сут.) равна 1,5 г. Определить:
1) начальную активность изотопа; 2) его активность через 5 суток.
Дано:
222
86
Rn , m0 = 1,5 г = 1,5·10 -3 кг, T1/ 2 =3,82 сут. = 3,82 · 24 ·
3600 с, t = 5 сут =5 · 24 · 3600 с.
О п р е д е л и т ь :1) A0 2) A .
Р е ш е н и е : Начальная активность изотопа
A0 = λN 0 ,
где λ=(ln2)/T½ - постоянная радиоактивного распада; N0 – число ядер
изотопа в начальный момент времени: N 0 = m0 N A / M , где М – молярная
масса радона (М=222·10 –3 кг/моль); N A =6,02·1023 моль – 1 – постоянная
Авогадро. Учитывая эти выражения, найдем искомую начальную активность
изотопа:
A0 =
m0 N A ln 2
.
MT1
2
Активность изотопа А=λN, где, согласно закону радиоактивного
распада, N = N 0 e
Учитывая, что
− λt
- число нераспавшихся ядер в момент времени t.
λN 0 = A0 , найдем, что активность нуклида уменьшается со
временем по закону
A = A0 e
−λt
= A0 e
−
ln 2
t
T
.
15
Вычисляя, получаем:1) А0=8,54·10 Бк; 2) А=3,45·1015 Бк.
9
Задача 3. В результате соударения дейтрона с ядром бериллия 4 Be
образовались новое ядро и нейтрон. Определить порядковый номер и
104
массовое число образовавшегося ядра, записать ядерную реакцию и
определить ее энергетический эффект.
Д а н о : 4 Ве +1 H
9
2
→ AZ X +10 n .
О п р е д е л и т ь : Z; А; Q.
Р е ш е н и е : Из законов сохранения электрического заряда и
массовых чисел следует, что Z = 5, a A = 10, т.е. образовавшееся в результате
ядерной реакции ядро – изотоп бора
10
5
B , поэтому ядерную реакцию можно
записать в виде
9
4
1
Be +12 H →10
5 B +0 n
Энергетический эффект ядерной реакции
[(
)(
)]
Q = c 2 m 9 Be + m 2 H − m10 B + mn ,
4
1
5
(5.16)
где в первых круглых скобках указаны массы исходных ядер, во вторых –
массы ядер продуктов реакции. При расчетах вместо масс ядер используют
массы нейтральных атомов, так как, согласно закону сохранения зарядовых
чисел, в ядерной реакции (а зарядовое число Z нейтрального атома равно
числу электронов в его оболочке) получаются одинаковые результаты.
Массы нейтральных атомов в выражении (5.16):
m 9 Be = 1,4966 ⋅ 10 −26 кг, m 2 H = 3,3446 ⋅ 10 −27 кг,
4
m10 B = 1,6627 ⋅ 10
5
1
−26
кг, mn = 1,675 ⋅ 10
Вычисляя, получим Q = 4,84
положителен; реакция экзотермическая.
105
−27
МэВ;
кг.
энергетический
эффект
4.
ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ АТОМНОГО ЯДРА
4.1. Основные характеристики и свойства атомных ядер.
Атомное ядро — положительно заряженная центральная часть атома, в
которой сосредоточена практически вся масса атома. Все атомные ядра
(кроме ядра атома водорода) состоят из элементарных частиц — протонов и
нейтронов. Протонно-нейтронная модель ядра предложена Д. Д. Иваненко
(1932) и развита впоследствии В. Гейзенбергом. Протоны и нейтроны
называют нуклонами. Нуклоны в ядре удерживаются ядерными силами и
движутся внутри ядра с нерелятивистскими скоростями. Наряду с термином
«атомное ядро» используется также название нуклид (общее название
атомных ядер, отличающихся числом протонов Z и нейтронов N).
Протон (р) — положительно заряженная частица с зарядом, равным
элементарному заряду е, и массой покоя m p = 1,6726485⋅10-27 кг ≈ 1836 me
( me — масса электрона). Нейтрон (n) — нейтральная частица с массой
покоя m n = 1,6749543⋅10-27кг≈1839 me . Протоны и нейтроны являются
фермионами и имеют спин h/2.
Атомные ядра характеризуются зарядовым числом Z: оно равно числу
протонов в ядре, совпадает с порядковым номером химического элемента в
периодической системе элементов Менделеева и определяет заряд ядра +Ze.
Общее число нуклонов в атомном ядре называют массовым числом А. Таким
образом, разность чисел N=A—Z определяет число нейтронов в ядре.
Нуклонам (протону и нейтрону) приписывается A= 1, электрону А=0.
A
Для обозначения ядер используется символическая запись Z X , где Х —
символ химического элемента, Z — атомный номер (число протонов в ядре),
А — массовое число (число нуклонов в ядре), например
27
13
Al ,
238
92
U , и т. д.
Атомные ядра одного и того же элемента с различным числом нейтронов
называют изотопами. Изотопы имеют одинаковое число Z (одинаковое число
протонов) и различные массовые числа А (различное число нуклонов),
1
2
3
например 1 H , 1 H , 1 H . Атомные ядра различных элементов с одинаковым
массовым числом А называют изобарами: изобары имеют различные Z
(различное число протонов) и одинаковое массовое число (одинаковое число
нуклонов), например
10
4
Be, 105 B, 106C . Атомные ядра различных элементов с
одинаковым числом нейтронов N (N=A—Z) называют изотонами: изотоны
имеют различные Z (различное число протонов), различное массовое число А
(различное число нуклонов), но одинаковое N (одинаковое число нейтронов),
например
14
6
C , 157N , 168O.
69
Так как атом нейтрален, то заряд ядра определяет и число электронов в
атоме. От числа же электронов зависит их распределение по состояниям в
атоме, от которого, в свою очередь, зависят химические свойства атома.
Следовательно, заряд ядра определяет специфику химического элемента, т. е.
число электронов в атоме, конфигурацию их электронных оболочек,
величину и характер внутриатомного электрического поля.
Форму атомных ядер в первом приближении можно считать сферической.
Опыты по рассеянию заряженных частиц на ядрах приводят к выводу, что
радиус ядра может быть выражен следующей эмпирической формулой:
R = R0 A1 / 3 ,
(4.1)
где R0 = 1,3÷1,7 фм. Следовательно, объем ядра пропорционален числу
нуклонов в ядре, а средняя плотность числа нуклонов в ядре (их число в
единице объема) для всех многонуклонных ядер практически одинакова:
ρ ≈ 10 кг/м3.
Атомное ядро обладает спином (собственным моментом импульса ядра),
который складывается из спинов нуклонов и орбитальных моментов
импульса нуклонов (обусловлены движением нуклонов относительно общего
центра масс ядра). Спин ядра квантуется по закону
Lя = h I ( I + 1) ,
где I — спиновое ядерное квантовое число (его часто называют спином
ядра), которое принимает целые или полуцелые значения: 0, 1/2, 1, 3/2, …
Так как спиновое квантовое число нуклона s=1/2, то ядра с четными А имеют
целые I, с нечетными — полуцелые I.
Атомное ядро обладает магнитным моментом pmя = g я L я , где
Lя, — спин ядра, gя, — ядерное гиромагнитное отношение. Единица
магнитных моментов ядер — ядерный магнетон
µ я = eh / (2m p ) = 5,050824 ⋅ 10 −27
Дж/Тл,
где m p — масса протона. Ядерный магнетон в m p / me ≈ 1836 раз
меньше магнетона Бора, поэтому магнитные свойства атомов определяются в
основном магнитными свойствами его электронов.
Линии тонкой структуры в спектрах атомов при рассмотрении с помощью
спектральных приборов высокой разрешающей способности оказываются в
свою очередь расщепленными — наблюдается сверхтонкая структура
атомных спектров. Подобное дополнительное расщепление спектральных линий обусловлено взаимодействием магнитного момента ядра с магнитным
полем атомных электронов.
Измерения массы ядер с помощью масс-спектрометров (измерительные
приборы, разделяющие с помощью электрических и магнитных полей пучки
70
заряженных частиц с разными удельными зарядами Q/m) показали, что масса
атомного ядра меньше суммы масс составляющих его нуклонов. Для
объяснения этого результата следует вспомнить, что сформулированная
Эйнштейном эквивалентность массы и энергии утверждает постоянство
полной энергии, а не массы. Поэтому при сближении нуклонов на расстояния
порядка ядерных возникает энергия связи, появление которой отражается в
уменьшении массы атомного ядра.
Энергия связи ядра — это энергия, необходимая для расщепления ядра на
отдельные нуклоны. Энергия связи нуклонов в ядре
Eсв = [ Zm p + ( A − Z )mn − m я ]c 2 ,
(4.2)
где mp, mn, mя — соответственно массы протона, нейтрона и ядра. В
таблицах обычно приводятся не массы mя ядер, а массы m атомов. Поэтому
для энергии связи ядра пользуются формулой
Ecв = [Zm H + ( A − Z )mn − m ]c 2 ,
(4.3)
где mH — масса атома водорода. Так как mH больше mP на величину me, то
первый член в квадратных скобках включает в себя массу Z электронов. Но
так как масса атома m отличается от массы ядра mя как раз на массу Z
электронов, то вычисления по формулам (4.2) и (4.3) приводят к одинаковым
результатам. Величину
[
]
∆m = Zm p + ( A − Z ) mn − m я
называют дефектом массы ядра. На эту величину уменьшается масса
всех нуклонов при образовании из них атомного ядра.
Удельная энергия связи δEсв / A — энергия связи, приходящаяся на один
нуклон. Она характеризует устойчивость (прочность) атомных ядер: чем
больше δEсв , тем устойчивее ядро.
Удельная энергия связи зависит от массового числа химического элемента
(рис. 4.1).
71
Рис. 4.1
Как следует из рисунка, удельная энергия связи для большинства ядер
равна 6 — 8 МэВ/нуклон. Ее максимум приходится на область с массовыми
числами от 50 до 60, что соответствует наиболее стабильным ядрам. По мере
увеличения А δEсв постепенно уменьшается и составляет, например, для
238
92
U 7,6 МэВ/нуклон. Это уменьшение объясняется тем, что с возрастанием
числа протонов в ядре увеличивается и энергия их кулоновского
отталкивания: связь между нуклонами становится менее сильной, в
результате чего ядра — менее прочными. В области малых массовых чисел
(А ≤ 12) δEсв претерпевает ряд скачков, причем «пики» характерны для
ядер с четным числом протонов и нейтронов
(
4
2
)
He,126 C ,168 O , а минимумы —
для ядер с нечетным числом протонов и нейтронов
(
6
3
Li , B,147 N ) .
10
5
Из зависимости удельной энергии связи от массовых чисел следует, что
энергетически выгодны следующие процессы: 1) деление тяжелых ядер на
более легкие; 2) слияние легких ядер в более тяжелые. При обоих процессах
выделяется огромное количество энергии; эти процессы в настоящее время
осуществлены практически (реакции деления и термоядерные реакции).
4.2. Ядерные силы. Модели ядра
Наблюдаемая на опыте устойчивость ядер означает, что ядерное
взаимодействие не может быть сведено к электрическому, магнитному или
гравитационному взаимодействиям. В самом деле, между протонами в ядре
должна действовать кулоновская сила отталкивания. Наличие магнитных
моментов у протонов может вызывать как притяжение, так и отталкивание (в
зависимости от взаимной ориентации магнитных моментов). Гравитационная
сила, хотя и отвечает притяжению нуклонов, намного слабее кулоновской.
72
Следовательно, в случае атомных ядер имеет место особое взаимодействие.
Это взаимодействие называют сильным, а отвечающие ему силы —
ядерными. Ядерные силы — это силы, действующие между нуклонами и
удерживающие их в ядре.
Основные свойства ядерных сил:
1) являются силами притяжения;
2)являются короткодействующими: действие ядерных сил проявляется
только тогда, когда расстояние между двумя нуклонами ~10-15 м; с
увеличением расстояния они быстро уменьшаются до нуля, а при
расстояниях, меньших радиуса их действия, примерно в 100 раз больше
кулоновских сил, действующих между протонами (на том же расстоянии);
3) обладают зарядовой независимостью: ядерные силы двух нуклонов не
зависят от их электрических зарядов. Силы, действующие между двумя
протонами, или двумя нейтронами, или между протоном и нейтроном, за
вычетом кулоновских сил, одинаковы. Это указывает на неэлектрическую
природу ядерных сил;
4) имеют способность к насыщению: каждый нуклон в ядре
взаимодействует только с ограниченным числом ближайших к нему
нуклонов. Это свойство проявляется в том, что удельная энергия связи
нуклонов в ядре (за исключением легких ядер) с увеличением числа нуклонов
не растет, оставаясь приблизительно постоянной;
5) зависят от взаимной ориентации спинов взаимодействующих
2
нуклонов: протон и нейтрон, например, образуют дейтрон ( 1 H ) только при
параллельной ориентации их спинов;
6) не являются центральными силами: их нельзя представить в виде сил,
действующих от одного центра сил. Это обусловлено наличием спина
взаимодействующих частиц.
Создание единой последовательной теории атомного ядра до настоящего
времени затруднено из-за сложного характера и недостаточной
определенности данных о ядерных силах, из-за громоздкости и трудности
точного решения квантовых уравнений, описывающих движение большого
числа нуклонов в ядре, из-за обязательности учета движения нуклонов
вследствие сильного взаимодействия между ними. Поэтому в теории ядра используют модельный подход, основанный на аналогии свойств атомных ядер
со свойствами, например, жидкой капли, электронной оболочки атома и т. д.:
соответственно модели ядер называют капельной, оболочечной и т. д. Каждая
из моделей описывает только определенную совокупность свойств ядра, а
потому, обладая ограниченными возможностями, не может дать его полного
описания.
73
Капельная модель (Н. Бор, Я. И. Френкель, 1936) — простейшая и
исторически первая модель ядра; она базируется на аналогии в поведении
нуклонов в ядре и молекул в капле жидкости. Так, в обоих случаях силы,
действующие между составными частицами — молекулами в жидкости и
нуклонами в ядре,— являются короткодействующими и им свойственно
насыщение. Кроме того, для капли жидкости характерна постоянная плотность вещества, не зависящая от числа молекул, входящих в каплю. Ядра
также характеризуются примерно одинаковой плотностью ядерного
вещества, не зависящей от числа нуклонов в ядре. В капле жидкости и
атомном ядре наблюдается определенная подвижность составных частиц.
Наконец, объем капли, так же как и объем ядра, пропорционален числу
частиц. Подобное сходство свойств позволило трактовать в капельной
модели ядро как каплю электрически заряженной несжимаемой жидкости (с
плотностью, равной ядерной), подчиняющуюся законам квантовой механики.
Капельная модель позволила получить полуэмпирическую формулу для
энергии связи нуклонов в ядре, объяснила механизм ядерных реакций и
особенно реакций деления ядер. Однако она не смогла объяснить, в
частности, повышенную устойчивость некоторых ядер.
Оболочечная модель (М. Гепперт — Майер, X. Йенсен, 1940 — 1950):
считается, что отдельные нуклоны в ядрах движутся в усредненном поле
окружающих нуклонов (самосогласованное поле). Замена реальных сил
самосогласованным полем, одинаковым для всех нуклонов ядра, сводит
задачу многих тел к задаче об одной частице. Состояния отдельных нуклонов
в таком поле характеризуются набором квантовых чисел (n, l, j, mj). Каждому
значению n соответствует определенная оболочка ядра (понятие оболочки
заимствовано из атомной физики).
Итак, согласно оболочечной модели, нуклоны в ядре распределены по
дискретным энергетическим уровням (оболочкам), заполняемым нуклонами
согласно принципу Паули, а устойчивость ядер связывается с заполнением
этих уровней. Считается, что ядра с полностью заполненными оболочками
являются наиболее устойчивыми. Такие особо устойчивые ядра
действительно существуют. Их называют магическими. Из опыта известно,
что магическими являются ядра, содержащие 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126 протонов
или нейтронов. Существуют также и дважды магические ядра — ядра, в
которых магическим является как число протонов, так и число нейтронов
[этих ядер насчитывается всего пять
(
4
2
)
He,168 O, 2040 Ca, 2048 Ca, 208
82 Pb , и они
являются особенно устойчивыми].
Оболочечная модель ядра позволила объяснить спины и магнитные
моменты ядер, различную устойчивость атомных ядер, а также
периодичность их свойств. Эта модель особенно хорошо применима для
описания легких и средних ядер, а также для ядер, находящихся в основном
(невозбужденном) состоянии.
74
По мере дальнейшего накопления экспериментальных данных о свойствах
атомных ядер появлялись все новые факты, не укладывающиеся в рамки
описанных моделей. Так возникли обобщенная модель ядра (синтез
капельной и оболочечной моделей), оптическая модель ядра (объясняет
взаимодействие ядер с налетающими частицами) и т.д.
4.3. Радиоактивность и ее характеристики. Закон радиоактивного
распада
Радиоактивность
—
способность
некоторых
атомных
ядер
самопроизвольно (спонтанно) превращаться в другие ядра с испусканием
различных частиц.
Открытие радиоактивности датируется 1896 г., когда А. Беккерель
обнаружил испускание солями урана неизвестного излучения (действовало
на фотопластинку, ионизировало воздух, проникало сквозь тонкие
металлические пластинки и возбуждало люминесценцию ряда веществ),
названного им радиоактивным (с 1896 г. отсчитывают обычно историю
ядерной физики). Большой вклад в изучение явления радиоактивности
внесли Мария и Пьер Кюри, уже в 1898 г. ими изучены два новых
радиоактивных элемента: полоний и радий.
Различают
естественную
радиоактивность
(наблюдается
у
неустойчивых изотопов, существующих в природе) и искусственную
радиоактивность (наблюдается у изотопов, синтезированных посредством
ядерных реакций в лабораторных условиях). Принципиального различия
между ними нет, поскольку способ образования радиоактивного изотопа не
влияет на его свойства и законы радиоактивного распада.
Многочисленные опыты привели к выводу, что на характер
радиоактивного излучения препарата не оказывают влияния вид химического
соединения, агрегатное состояние, температура, механическое давление,
электрическое и магнитное поля, т. е. все те воздействия, которые могли бы
привести к изменению состояния электронной оболочки атома.
Следовательно, радиоактивные свойства элемента обусловлены лишь
структурой его ядра.
Радиоактивный распад — это естественное радиоактивное превращение
ядер, происходящее самопроизвольно. Атомное ядро, испытывающее
радиоактивный распад, называют материнским, возникающее ядро —
дочерним.
Радиоактивный распад — статистическое явление, а потому выводы,
следующие из законов радиоактивного распада, имеют вероятностный
характер; например, нельзя сказать, когда данное ядро распадется, но можно
предсказать, какова вероятность его распада за рассматриваемый промежуток
времени.
Вероятность распада ядра за единицу времени, равная доле ядер,
75
распадающихся за 1 с, называется постоянной радиоактивного распада ( λ ).
Следовательно, в единицу времени из огромного числа ядер N в среднем
распадется λN ядер. Величину λN называют активностью А нуклида.
Очевидно, что это есть число распадов, происходящих с ядрами образца за
1 с (скорость распада). Единица активности в СИ — беккерель (Бк): 1 Бк —
активность нуклида, при которой за 1 с происходит один акт распада. До сих
пор в ядерной физике применяется и внесистемная единица активности
нуклида в радиоактивном источнике — кюри (Ки):
1 Ки= 3,700Β⋅1010 Бк (точно).
Ввиду самопроизвольности радиоактивного распада можно считать, что
число ядер dN, распавшихся в среднем за интервал времени от t до t+dt,
пропорционально промежутку времени dt и числу N ядер, не распавшихся к
моменту времени t:
(4.4)
dN = −λNdt ,
где знак минус указывает, что общее число радиоактивных ядер в
процессе распада уменьшается. Так как λ не зависит от времени, то после
интегрирования (4.4) получаем
N = N 0 e − λt ,
(4.5)
где No — начальное число нераспавшихся ядер (в произвольно
выбранный начальный момент времени t = 0), N — число нераспавшихся ядер
в момент времени t. Согласно формуле (4.5) — закону радиоактивного
распада — число нераспавшихся ядер убывает со временем экспоненциально.
Интенсивность процесса радиоактивного распада характеризуют две
величины: период полураспада T1/2 и среднее время жизни τ радиоактивного
ядра. Период полураспада T1/2 — промежуток времени, за который в среднем
число нераспавшихся ядер уменьшается вдвое. Тогда, согласно (4.5),
N 0 / 2 = N 0 e − λT1 / 2 , откуда
T1 / 2 = ln 2 / λ = 0,693 / λ..
Периоды полураспада для естественно-радиоактивных элементов
колеблются от десятимиллионных долей секунды до многих миллиардов лет.
t dN = λNtdt.
Проинтегрировав это выражение по всем возможным t (т. е. от 0 до ∞ ) и
Суммарная продолжительность жизни dN ядер равна
разделив на начальное число ядер No, получим среднее время жизни
τ радиоактивного ядра:
τ=
∞
∞
∞
1
1
1
λNtdt =
λN 0te −λt dt = λ ∫ te −λt dt =
∫
∫
λ
N0 0
N0 0
0
76
[учтено (4.5)]. Таким образом, среднее время жизни τ радиоактивного
ядра есть величина, обратная постоянной радиоактивного распада λ .
К числу радиоактивных процессов относятся:
1) α-распад; 2) β -распад (в том числе и электронный захват); 3) γ излучение ядер; 4) спонтанное деление тяжелых ядер; 5) протонная радиоактивность.
4.4. Виды радиоактивных процессов и их свойства
1. α-распад — распад атомных ядер, сопровождающийся испусканием
α-частицы. Заряд α-частицы равен +2е, масса совпадает с массой ядра
4
изотопа гелия 2 He, т. е. α-излучение представляет собой поток ядер гелия.
Оно отклоняется электрическими и магнитными долями, обладает высокой
ионизирующей и малой проникающей способностями.
α-распад протекает согласно правилу смещения:
X → ZA−−42Y + 24He,
A
Z
A
4
где Z X — материнское ядро, Y — символ дочернего ядра, 2 He — ядро
гелия (α-частица). Очевидно, что при α-распаде массовое число дочернего
вещества уменьшается на 4, а зарядовое число — на 2 единицы, что
схематически представлено на рис. 4.2.
Рис. 4.2
Примеры α-распада:
4
U → 234
90Th + 2 He,
238
92
210
84
4
Po→ 206
82 Pb + 2 He.
Необходимое условие для протекания α-распада: масса материнского
77
ядра должна быть больше суммы масс дочернего ядра и α-частицы.
α-распад — свойство тяжелых ядер с массовыми числами А >200 и
зарядовыми числами Z > 82, так как только для таких ядер испускание
α-частиц является энергетически выгодным (Н. Бор, Дж. Уилер, 1939).
α-частицы образуются в момент радиоактивного распада при встрече
движущихся внутри ядра двух протонов и двух нейтронов.
Энергия испускаемых α-частиц практически для всех известных α-активных изотопов лежит в пределах 4 — 9 МэВ. Энергетический спектр α-частиц, испускаемых данным радиоактивным элементом, обладает «тонкой
структурой»: испускается несколько групп α-частиц и в пределах каждой
группы их энергии практически постоянны. Дискретный спектр α-частиц
подтверждает гипотезу о том, что атомные ядра обладают дискретными энергетическими уровнями.
Закон Гейгера — Нэттола: с увеличением постоянной распада λ
радиоактивного элемента возрастает пробег Ra (расстояние, проходимое
частицей в веществе до ее полной остановки) испускаемых им α-частиц (в
воздухе):
ln λ = A + B ln Ra ,
(4.6)
где А и В — эмпирические константы,
λ = ln 2 / T1/ 2 . Согласно (4.6), чем
меньше период полураспада радиоактивного элемента, тем больше пробег, а
следовательно, и энергия испускаемых им α-частиц.
По представлениям квантовой механики, ядро является для α-частицы
потенциальным барьером, высота U которого больше, чем Е — энергия
α-частицы в ядре. Вылет α-частицы из ядра возможен благодаря
туннельному эффекту — проникновению α-частицы сквозь потенциальный
барьер. Всегда имеется отличная от нуля вероятность того, что частица с
энергией, меньшей высоты потенциального барьера, пройдет сквозь него,
т. е. действительно, из α-радиоактивного ядра α-частицы могут вылететь с
энергией, меньшей высоты потенциального барьера.
В случае барьера произвольной формы коэффициент прозрачности
⎡ 2 x2
⎤
D = D0 exp ⎢− ∫ 2mα (U − E )dx ⎥,
⎣ h x1
⎦
(4.7)
где пределы интегрирования представляют собой границы барьера. Из
формулы (4.7) следует, что незначительные изменения энергии α-частицы в
ядре сильно изменяют показатель экспоненты. Этим и объясняется большое
различие в периодах полураспада α-радиоактивных элементов — от 109 лет
до 10-7 с — при возрастании энергии α-частиц всего от 4 до 9 МэВ. Кроме
того, при одной и той же потенциальной энергии барьер на пути α-частицы
78
тем меньше, чем больше ее энергия Е. Следовательно, качественно
подтверждается закон Гейгера — Нэттола (4.6).
2. β-распад — самопроизвольный процесс превращения радиоактивного
ядра в другое ядро (массовое число его не изменяется, а зарядовое число
изменяется на ∆Z = ± 1) с испусканием электрона (позитрона) и
антинейтрино (нейтрино). β-излучение отклоняется электрическим и
магнитным полями; его ионизирующая способность значительно меньше, а
проникающая способность гораздо больше, чем у α-частиц; оно сильно
рассеивается веществом. Теория β-распада создана Э. Ферми.
Различают три вида β-распада:
1) β--распад протекает согласно схеме
A
Z
где
0
−1
X → Z +A1Y + −10 e+ 00ν~ ,
e —символическое обозначение электрона,
ν~ — электронное
0
0
антинейтрино (антинейтрино, сопутствующее испусканию электрона). При
β-распаде массовое число дочернего вещества не изменяется, а зарядовое
число увеличивается на единицу (рис. 4.3).
Рис. 4.3
Примеры β--распада:
14
6
C →147 N + −10 e+ 00 ν~,
214
82
0
0~
Pb→ 214
83 Bi + −1 e + 0 ν ;
2) β+-распад протекает согласно схеме
A
Z
где
0
+1
e —символическое
X → Z −A1Y + +10 e + 00ν ,
обозначение
античастица по отношению к электрону),
позитрона
(позитрон
—
ν — электронное нейтрино
0
0
(нейтрино, сопутствующее испусканию позитрона). При β+-распаде массовое
79
число дочернего вещества не изменяется, а зарядовое число уменьшается на
единицу (рис. 4.4).
Рис. 4.4
Примеры β+-распада:
22
11
Na →1022 Ne + +10 e + 00ν ,
P →1430 Si + +10 e+ 00ν .
30
15
Нейтрино — электрически нейтральная элементарная частица со спином
1/2 (в единицах h) и нулевой (скорее < 10-4 me,) массой покоя. Нейтрино
участвует (кроме гравитационного) только в слабом взаимодействии,
поэтому его прямое наблюдение затруднительно. Ионизирующая
способность нейтрино столь мала, что один акт ионизации в воздухе
приходится на 500 км пути. Проникающая же способность нейтрино столь
огромна (пробег нейтрино с энергией 1 МэВ в свинце составляет ~ 1018 м!),
что затрудняет удержание этих частиц в приборах. Антинейтрино —
античастица по отношению к нейтрино.
3) Электронный захват (е-захват, или K-захват) протекает согласно схеме
A
Z
X + −10 e→ Z −A1Y + 00ν .
Ядро спонтанно захватывает электрон с одной из внутренних оболочек
атома (как правило, один из двух электронов K-оболочки) и одновременно
испускает электронное нейтрино. Примеры электронного захвата:
7
4
Be+ −10 e→37 Li + 00ν ,
0
Cs + −10 e→131
54 Xe+ 0 ν .
131
55
Электронный захват обнаруживается по сопровождающему его
характеристическому рентгеновскому излучению (так е-захват и был открыт
в 1937 г.).
80
Каково происхождение электронов при β--распаде? Протонно-нейтронное
строение ядра исключает возможность вылета электрона из ядра, а на
несостоятельность предположения о его вылете из электронной оболочки
указывает тот
факт, что тогда должно было
бы
наблюдаться
оптическое или рентгеновское излучение, что не
получило
экспериментального подтверждения. Было сделано предположение, что
β-электрон рождается в результате процессов, происходящих внутри ядра,
а именно происходит превращение одного из нейтронов β-активного ядра в
протон с одновременным образованием электрона и вылетом электронного
антинейтрино:
1
0
n→11p + −10 e + 00ν~.
(4.8)
Процесс (4.8) сопровождается выполнением законов сохранения
электрических зарядов, импульса и массовых чисел. Кроме того, данное
превращение энергетически возможно, так как масса покоя нейтрона
превышает массу протона и электрона, вместе взятых (разности в массах
соответствует энергия E=0,782 МэВ). Следовательно, процесс (4.8)
энергетически возможен и вне ядра. Действительно (1950), в потоках
нейтронов большой интенсивности, возникающих в ядерных реакторах, был
обнаружен радиоактивный распад свободных нейтронов, происходящий по
схеме (4.8).
β+-распад ядра можно представить происходящим по схеме
1
1
0
0
(4.9)
1 p → 0 n + +1 e + 0 ν ,
т. е. интерпретировать его как превращение протона в нейтрон с
испусканием позитрона и электронного нейтрино. Так как масса покоя
протона меньше, чем у нейтрона, то реакция (4.9) для свободного протона
наблюдаться не может. Однако для протона, связанного в ядре благодаря
ядерному взаимодействию частиц, эта реакция оказывается энергетически
возможной (энергия заимствуется от соседних частиц). Превращение (4.9)
приводит к искусственному β+-распаду, в то время как β--распад
[превращение (4.8)] наблюдается как у естественно-радиоактивных, так и
искусственно-радиоактивных ядер.
Для объяснения β-распада Паули предположил, что вместе с электроном
(позитроном) из ядра должна испускаться еще одна частица — электронное
антинейтрино (нейтрино). Необходимость гипотезы о существовании
нейтрино (антинейтрино) диктовалась двумя обстоятельствами:
1) испускаемые при β-распаде ядра электроны (позитроны) имеют в
противоположность α-частицам непрерывный энергетический спектр с резко
обозначенным краем при определенной энергии Emax. Типичная для всех
изотопов кривая распределения β-частиц по энергиям представлена на рис. 4.5.
81
Рис. 4.5
В самом деле, если не предполагать, что при распаде наряду с электроном
вылетает еще одна частица, то пучок электронов (позитронов) был бы
моноэнергетическим, так как тогда все электроны (позитроны) обладали бы
одним и тем же импульсом, равным импульсу дочернего ядра (материнское
ядро ведь покоится). Непрерывный спектр β-частиц обязан распределению
энергии между электронами (позитронами) и антинейтрино (нейтрино),
причем сумма энергий обеих частиц равна Emax. В одних актах распада
большую энергию получает антинейтрино (нейтрино), в других — электрон
(позитрон); в граничной точке кривой на рис. 4.5, где энергия равна Еmax., вся
энергия распада уносится электроном (позитроном), а энергия антинейтрино
(нейтрино) равна нулю.
2) При β-распаде число нуклонов в ядре не изменяется (так как не
изменяется массовое число А), поэтому не должен изменяться и спин ядра,
который равен целому числу h при четном А и полуцелому h при нечетном А.
Однако выброс электрона (его спин равен h/2) должен изменить спин ядра на
величину h/2, что противоречит закону сохранения момента импульса.
Введение нейтрино (антинейтрино) позволяет, таким образом, объяснить
кажущееся несохранение спина, поскольку спин нейтрона (антинейтрино)
равен h/2.
3. γ-излучение ядер — коротковолновое электромагнитное излучение,
сопровождающее α- и β-распады, а также возникающее при ядерных
реакциях, при торможении заряженных частиц, их распаде. Оно не
отклоняется электрическим и магнитным полями, обладает относительно
слабой ионизирующей и очень большой проникающей способностями; при
прохождении через кристаллы обнаруживает дифракцию. γ-излучение
−10
обладает чрезвычайно малой длиной волны ( λ ≤ 10 м) и вследствие этого
ярко выраженными корпускулярными свойствами, т. е. является потоком
частиц — гамма-квантов (фотонов) с энергией
ε 0 = hω и
82
импульсом p = hω / c . γ-излучение оказывает сильное воздействие на
вещество, в частности на биологические объекты.
γ-спектр — распределение числа γ-квантов по энергиям — линейчатый, что является доказательством дискретности энергетических
состояний атомных ядер. Свободный нуклон (как, впрочем, и свободный
электрон) испустить γ-квант не может, поскольку одновременно нарушались
бы законы сохранения энергии и импульса. Внутри же ядра это возможно,
так как испущенный (поглощенный) γ-квант может обменяться импульсом с
нуклонами ядра. Поэтому в противоположность β-распаду, который является
внутринуклонным процессом, γ-излучение — процесс внутриядерный.
Установлено, что γ-излучение испускается дочерним (а не материнским) ядром. Дочернее ядро в момент своего образования, оказываясь в
возбужденном состоянии, за время ~l0-13— 10-14 с (что значительно меньше
времени жизни возбужденного атома ~10-8 с) переходит в основное состояние
с испусканием γ-излучения. Возвращаясь в основное состояние,
возбужденное ядро может пройти через ряд промежуточных состояний, а
поэтому γ-излучение одного и того же радиоактивного изотопа может
содержать несколько групп γ-квантов, отличающихся энергией. При
радиоактивных распадах различных ядер γ-кванты имеют энергии от 10 кэВ
до 5 МэВ. При γ-излучении А и Z ядра не изменяются, поэтому оно не
описывается никакими правилами смещения.
С γ-излучением конкурирует процесс, называемый внутренней
конверсией: - возбужденное ядро переходит в основное состояние не путем
испускания γ-кванта, а непосредственно передавая энергию одному из
электронов атомных оболочек. При этом испускается электрон конверсии.
Энергии электронов внутренней конверсии равны Е—Ак, E—AL,…., где Е —
энергия, освобождаемая при ядерном переходе, Ак, AL ... — работа выхода
электрона из К-, L-,... оболочек. Электроны внутренней конверсии
моноэнергетичны, что позволяет отличить их от β-электронов, спектр
которых непрерывен. Внутренняя конверсия сопровождается характеристическим рентгеновским излучением, возникающим в результате перехода
электрона с вышележащих электронных оболочек на вакантное место,
освобожденное электроном конверсии.
Если энергия возбуждения ядра превышает удвоенную энергию покоя
электрона (E>2mc2=l,02 МэВ), то может происходить процесс парной
конверсии: ядро теряет энергию возбуждения путем одновременного
образования электронно-позитронных пар. Ее вероятность растет с ростом
энергии. Спектры электронов и позитронов непрерывны, и суммарная
кинетическая энергия электрона и позитрона составляет Е=2mс2.
4. Спонтанное деление тяжелых ядер
Г. Н. Флеровым и К. А. Петржаком (1940) обнаружено спонтанное
83
деление ядер урана и тория. Данный процесс протекает по схеме
A
Z
X → ZA11Y1 + ZA 22Y2 ,
A
где Z X — исходное тяжелое материнское ядро, Y1 и Y2 — химические
символы дочерних ядер. Естественно, что Z=Z1+Z2 и А=А1 +A2. Максимум
удельной энергии связи δEсв приходится на область с массовыми числами
от 50 до 60, а потом постепенно уменьшается в области больших А, поэтому
и оказывается энергетически выгодным деление многих тяжелых ядер на два
ядра примерно одинаковой массы. Механизм спонтанного деления подобен
механизму α-распада, поскольку оба процесса возможны благодаря
туннельному эффекту. Вероятность спонтанного деления обычно мала, но с
ростом Z2/A она возрастает.
5. Протонная радиоактивность. Небольшое число легких ядер с
относительно короткими временами жизни, обладая избытком протонов,
могут претерпевать превращения, испуская один или два (двупротонная
радиоактивность) протона. Этот вид радиоактивного процесса впервые
обнаружен под руководством Г. Н. Флёрова (1963); его обнаружение
затруднено из-за сильного фона конкурирующих α- и β+-распадов.
4.5. Резонансное поглощение γ-излучения (эффект Мёссбауэра)
Как и атомы, ядра обладают дискретным энергетическим спектром.
Состояние с минимальной энергией является основным, а остальные —
возбужденными. Возбужденные энергетические уровни ядра имеют значения
энергии, определяемые, согласно соотношению неопределенностей, с
точностью до величины ∆E ≈ h / ∆t ( ∆t —время жизни ядра в
возбужденном состоянии), что приводит к естественной ширине
энергетического уровня ядра (Г). В свою очередь, неопределенность энергии
возбужденного состояния приводит к немонохроматичности γ-излучения,
сопровождающего переход ядра из возбужденного состояния в основное,—
естественной ширине линии γ-излучения.
В принципе при облучении вещества γ-квантами с энергией, равной
разности одного из возбужденных и основного энергетических состояний
ядра, возможно резонансное поглощение γ-излучения ядрами: ядро поглощает
γ-квант той же частоты, что и частота излучаемого ядром γ-кванта при
переходе ядра из данного возбужденного состояния в основное.
Наблюдение резонансного поглощения γ-квантов ядрами затруднено из-за
необходимости учета отдачи ядра. Так, при переходе ядра из возбужденного
состояния с энергией Е в основное (его энергия принята равной нулю)
84
излучаемый γ-квант имеет энергию Еγ,, несколько меньшую, чем Е, из-за
отдачи ядра в процессе излучения:
Еγ=Е—Ея,
где Ея — кинетическая энергия отдачи ядра. При возбуждении ядра и
переходе его из основного состояния в возбужденное с энергией Е γ-квант
должен иметь энергию Е'γ,, несколько большую, чем Е, т. е.
Е′γ=Е+Ея,
где Ея — энергия отдачи, которую γ-квант должен передать поглощающему ядру.
Таким образом, максимумы линий излучения и поглощения сдвинуты
друг относительно друга на величину 2Ея (рис. 4.6).
Согласно закону сохранения импульса, в рассмотренных процессах
излучения и поглощения импульсы γ-кванта и ядра должны быть равны.
Поэтому
pγ2
Eγ2
p я2
E2
Eя =
=
=
≈
,
2m я 2m я 2m я c 2 2m я c 2
(4.10)
где mя, — масса ядра.
Рис. 4.6
Резонансное поглощение на свободных ядрах не наблюдается. Например,
191
77
Ir с энергией возбужденного состояния E = 129 кэВ (время
жизни ∆t ≈ 10-10 с) естественная ширина энергетического уровня ядра
Г ≅ 6,6 10-6 эВ. Согласно формуле (4.10), Eя = 0,05 эВ. Максимумы излучения
для ядра
и поглощения сдвинуты на величину 2 Eя = 0,1 эВ, что значительно
превышает естественную ширину уровня Г.
Резонансное поглощение γ-излучения в принципе может быть получено
только при компенсации потери энергии на отдачу ядра. Р. Мёссбауэр (1958)
исследовал при низкой температуре излучение и поглощение γ-квантов не на
85
свободных ядрах, а на ядрах, входящих в состав твердого тела. В таком
случае энергия и импульс отдачи передаются не одному ядру, излучающему
(поглощающему) γ-квант, а всей кристаллической решетке. Так как масса
кристаллической решетки гораздо больше массы отдельного ядра, то в
соответствии с формулой (4.10) потери энергии на отдачу ничтожно малы.
Поэтому процессы излучения и поглощения γ-квантов происходят
практически без потерь энергии.
Явление резонансного поглощения (излучения) γ-квантов без отдачи
называют эффектом Мёссбауэра. В данном случае линии излучения и
поглощения γ-излучения практически совпадают и имеют весьма малую
ширину, сравнимую с естественной шириной Г. Эффект открыт на
глубокоохлажденном
191
77
57
Ir , а впоследствии обнаружен на других стабильных
67
119
изотопах (например, Fe, Zn, Sn ).
Эффект Мёссбауэра уникален, так как позволяет измерять ничтожные
изменения энергии (частоты). Мера точности — величина Г/E=10-15÷10-17.
Внешнее воздействие может привести к очень малому смещению линии
поглощения (линии излучения), т. е. к ослаблению или исчезновению
эффекта Мёссбауэра, что может быть зафиксировано. Так было измерено
сверхтонкое зеемановское расщепление ядерных уровней, оценены радиусы
ядер в возбужденных состояниях, обнаружен (1960) такой тончайший
эффект, как «гравитационное красное смещение», предсказанный общей
теорией относительности, и т. д.
4.6. Физические основы детекторов частиц и радиоактивных
излучений
Методы наблюдения и регистрации частиц и радиоактивных излучений
основаны на их способности ионизировать и возбуждать атомы среды.
Заряженные частицы вызывают эти процессы непосредственно, а γ-кванты и
нейтроны обнаруживаются по ионизации, вызываемой быстрыми
заряженными частицами (возникают в результате взаимодействия γ-квантов
и нейтронов с электронами и ядрами атомов среды). Устройства для регистрации частиц и радиоактивных излучений называют детекторами.
Детекторы делят на счетчики (электронные детекторы), вырабатывающие при попадании в объем детектора частицы или кванта
электрический
импульс, и трековые
детекторы, позволяющие
зарегистрировать не только факт и момент прохождения частицы, но и
воспроизвести
ее
траекторию
(трек).
К
счетчикам
относят
сцинтилляционный и черенковский счетчики, ионизационную камеру,
пропорциональный
счетчик,
счетчик
Гейгера
—
Мюллера,
полупроводниковый счетчик. К трековым детекторам относят камеру
Вильсона, диффузионную и пузырьковую камеры, ядерные фотоэмульсии.
86
Важнейшие характеристики детекторов:
1) эффективность — отношение числа зарегистрированных частиц к
полному числу частиц, попавших в рабочий объем детектора;
2) пространственное разрешение — точность, с которой детектор может
фиксировать положение частицы в пространстве;
3) временное разрешение — минимальный промежуток времени между
прохождениями через детектор двух частиц, когда они еще регистрируются
порознь;
4) время восстановления (мертвое время) — время, через которое
детектор, зарегистрировавший частицу, готов для регистрации следующей
частицы. Частицы, проходящие за это время через детектор, не
регистрируются. Время восстановления — мера инерционности детектора.
Сцинтилляционный счетчик включает в себя сцинтиллятор
(кристаллофосфор), в котором под действием ионизирующих излучений
возникают световые вспышки — сцинтилляции, и фотоэлектронный
умножитель (один или несколько), преобразующий сцинтилляции в
электрические импульсы, регистрируемые электронной аппаратурой. В
качестве сцинтилляторов применяют кристаллы некоторых неорганических
(ZnS для α-частиц; NaI—T1, CsI—T1 для β-частиц и γ-квантов) и
органических
(антрацен,
пластмассы
для
γ-квантов)
веществ.
Сцинтилляционные счетчики обладают высоким временным разрешением
(~ 10-9 с), малым временем восстановления (~ 10-8 с), большим коэффициентом усиления (~108). Эффективность их составляет ~100% для заряженных
частиц и ~30% для γ-квантов. Для многих сцинтилляторов интенсивность
световой вспышки в широком интервале энергий пропорциональна энергии
первичной частицы, поэтому данные счетчики используются для измерения
энергии регистрируемых частиц.
Черенковский счетчик использует явление излучения Вавилова—
Черенкова — электромагнитного излучения, возникающего при движении
релятивистских заряженных частиц в среде с постоянной скоростью v,
превышающей фазовую скорость света в этой среде (т. е. при условии v > с/n;
n — показатель преломления среды). Оптическая система фокусирует свет от
частицы на фотоэлектронный умножитель, преобразующий световой сигнал
в электрический. Отличительная особенность излучения Вавилова—
Черенкова — его резкая направленность; оно концентрируется в
направлении, составляющем угол ν с траекторией частицы:
cos ϑ = (c/n)/v= c/(nv).
Назначение черенковских счетчиков — измерение энергии частиц,
движущихся в веществе со скоростью, превышающей фазовую скорость в
данной среде (по углу испускания определяется скорость частицы, что
равносильно определению ее энергии), и разделение этих частиц по массам.
87
Черенковские счетчики делятся на пороговые [регистрируют все
частицы со скоростями, большими некоторой (пороговой) скорости],
дифференциальные (регистрируют частицы, скорости которых заключены в
некотором интервале v1 < v < v2) и счетчики полного поглощения
[предназначены для регистрации и спектрометрии (измерения спектров)
электронов и γ-квантов; в них используется блок радиаторов (вещество
счетчика) большой толщины, в котором электроны или γ-кванты, образуя
электронно-фотонную лавину, теряют большую часть своей энергии]. Временное разрешение этих счетчиков составляет ~10-9 с, а разрешение по
скоростям (энергиям) —10-3 – 10-5.
Ионизационная камера — старейший детектор (применялся еще
Резерфордом) из обширной группы ионизационных детекторов, действие
которых основано на способности заряженных частиц вызывать ионизацию
газа. Ионизационная камера — это электрический конденсатор (плоский,
цилиндрический или сферический), заполненный газом, к электродам
которого приложена разность потенциалов. Регистрируемая частица, попав в
пространство между электродами, образует на своем пути электроны и ионы,
которые, перемещаясь в электрическом поле, собираются на электродах,
создавая в цепи камеры ток. Напряжение подбирается так, чтобы все
образовавшиеся ионы доходили до электродов, не успев рекомбинировать, но
при этом не разгонялись бы настолько сильно, чтобы производить вторичную
ионизацию. Ионизационные камеры бывают токовые (в них измеряется суммарный ионизационный ток) и импульсные (в них регистрируется
прохождение одиночной частицы и измеряется ее энергия, хотя и с
небольшой точностью, обусловленной малостью выходного сигнала).
Пропорциональный счетчик — разновидность газоразрядных
счетчиков [выполняются в виде наполненного инертным газом с небольшой
примесью многоатомных газов металлического цилиндра (катод) с тонкой
проволокой (анод), натянутой на его оси], в которых электроны,
образованные заряженными частицами, двигаясь к аноду, приобретают
энергию, достаточную для вторичной ионизации, — возникает
несамостоятельный электрический разряд. В данном случае выходной
импульс пропорционален первичной ионизации, т. е. энергии, влетевшей в
счетчик частицы. Поэтому счетчики не только регистрируют частицу, но и
измеряют ее энергию. Их основной недостаток — сильная зависимость
амплитуды импульса от состава газа и приложенного напряжения, а также
недостаточно высокое временное разрешение (~ 10-7 с). Наряду с
пропорциональными счетчиками применяют пропорциональные камеры —
совокупность большого числа (103—104) пропорциональных счетчиков в
одном объеме. С их помощью можно воспроизводить траекторию частицы.
Счетчик Гейгера — Мюллера по конструкции и принципу действия
существенно не отличается от пропорционального счетчика, но работает в
88
области
вольт-амперной
характеристики,
соответствующей
самостоятельному разряду. Счетчики Гейгера — Мюллера фиксируют
вспышки коронных разрядов, не зависящих от первичной ионизации. Для
прекращения разрядов, т. е. для приведения счетчика в рабочее состояние,
параллельно с нитью включается такое сопротивление, чтобы возникший в
счетчике разряд вызывал на сопротивлении падение напряжения,
достаточное для его прерывания.
Эффективность регистрации заряженных частиц близка к 100%,
γ-квантов — 1—3%, временное разрешение составляет ~ 10-6с. Недостатки
счетчиков Гейгера — Мюллера — большое время восстановления ( ∼10-4—
10-3 с) и невозможность измерять энергию частицы.
Полупроводниковый счетчик по принципу работы аналогичен
ионизационной камере, однако вместо газа используется полупроводниковый
диод. Поверхности полупроводника (из кремния или германия) легируются
соответственно донорными и акцепторными примесями. На эти стороны
подается обратное напряжение, запирающее диод и оттягивающее свободные
электроны и дырки, увеличивая толщину переходного слоя. Заряженная
частица проникает в область р-n-перехода, резко обедненного носителями
тока, где создает за счет ионизации дополнительные (неравновесные)
электронно-дырочные пары. Возникающие неравновесные носители под
действием внешнего поля перемещаются к электродам, создавая во внешней
цепи электрический сигнал. Полупроводниковые счетчики превосходят
другие счетчики по компактности, могут работать в магнитных полях, малые
размеры рабочей области позволяют довести временное разрешение до
~ 10-7 с, в области малых энергий (электроны — до 2 МэВ, протоны — до 20
МэВ) обладают ~ 100%-ной эффективностью.
Камера Вильсона — старейший (1912) и на протяжении многих
десятилетий единственный трековый детектор. Принцип действия основан на
конденсации пересыщенного пара воды или спирта на ионах, образующихся
вдоль
траектории
заряженной
частицы.
Образовавшиеся
треки
подсвечиваются сбоку и фотографируются в нескольких проекциях для
выявления их пространственной структуры. По характеру и геометрии треков
можно судить о типе прошедших через камеру частиц (например, α-частица
оставляет сплошной жирный след, β-частица — тонкий), об их энергии (по
величине пробега), о плотности ионизации (по количеству капель на единицу
длины трека), о количестве участвующих в реакции частиц.
При помещении камеры Вильсона в сильное магнитное поле
(П. Л. Капица и независимо Д. В. Скобельцын, 1923) траектория заряженной
частицы искривляется. По кривизне трека можно определить импульс
частицы и знак ее заряда, а если известен тип частицы (заряд и масса), то по
радиусу кривизны трека можно определить энергию частицы даже в том
случае, если весь трек в камере не помещается. Недостатки камеры Вильсона
89
— большое время восстановления и трудоемкость обработки результатов.
Диффузионная камера. Если в камере Вильсона пересыщение создается
адиабатным расширением газа, то здесь оно достигается за счет
непрерывного потока пара от горячей поверхности у крышки камеры к более
холодной поверхности у ее дна. Диффузионная камера работает, таким
образом, непрерывно. Кроме того, из-за отсутствия поршня в ней можно
создавать повышенные давления (до ~ 4 МПа), что увеличивает, и притом
значительно, ее эффективный объем.
Пузырьковая камера. Действие основано на вскипании перегретой
(находящейся под давлением) жидкости вблизи траектории частицы: вдоль
траектории заряженной частицы образуется цепочка пузырьков пара — трек,
который фотографируется (стереофотосъемка с помощью нескольких
объективов). Ее эффективный объем на два-три порядка больше, чем у
камеры Вильсона (жидкости гораздо плотнее газов), что позволяет использовать пузырьковые камеры для изучения длинных цепей рождений и
распадов частиц высоких энергий. Пузырьковая камера — один из основных
трековых детекторов в экспериментах на ускорителях.
Ядерные фотоэмульсии — простейший трековый детектор заряженных
частиц. Прохождение заряженной частицы в эмульсии вызывает ионизацию,
приводящую к образованию центров скрытого изображения. После
проявления обнаруживается след, образованный зернами металлического
серебра, который рассматривают в микроскоп. Так как эмульсия — среда
более плотная, чем газ и жидкость, то при прочих равных условиях в
эмульсии (по сравнению с вильсоновской и пузырьковой камерами) трек
более короткий (например, трек длиной 0,5 мм в эмульсии эквивалентен
треку в 1 м в камере Вильсона). Поэтому фотоэмульсии применяются для
изучения реакций, вызываемых частицами в ускорителях сверхвысоких
энергий и в космических лучах. Для исследований используют также стопы
— большое число маркированных фотоэмульсионных фотопластинок,
помещаемых на пути частиц и после проявления промеряемых под
микроскопом.
В исследованиях большое значение имеют искровые камеры (1957),
использующие преимущества счетчиков (быстрота регистрации) и трековых
детекторов (полнота информации о треках). Образно говоря, искровая
камера — это набор большого числа очень мелких счетчиков. Главная часть
искровых камер — набор погруженных в газ близких плоскопараллельных
электродов, соединенных через один. Половина их заземлена, а на другую
половину подается высоковольтный импульс, запускаемый регистрируемой
частицей. В том месте камеры, где частица вызвала ионизацию, развивается
искровой разряд, который фотографируется. Сейчас используют
бесфильмовые искровые камеры: в них координаты искр записываются в
память ЭВМ, где подвергаются математической обработке.
90
Созданы также стримерные камеры (60-е годы) — это, по существу,
искровой счетчик, но с очень короткими (~10-8 с) импульсами питающего
напряжения. За столь малое время вдоль траектории частицы возникают
только зародыши искры — стримеры, образующие тонкий и четкий
светящийся трек, который фотографируется.
4.7. Ядерные реакции и их основные типы
Ядерные реакции — превращения атомных ядер при взаимодействии с
частицами (в том числе γ-квантами) или друг с другом. Различают:
1) прямые ядерные взаимодействия, происходящие по схеме
X+a→Y+b,
где Х и Y — исходное и конечное ядра, а и b — бомбардирующая и
испускаемая (или испускаемые) в ядерной реакции частицы;
2) реакции, идущие в две стадии с образованием составного ядра
(компаунд-ядра):
X+a→C→Y+b.
Первая стадия — это захват ядром Х частицы а, приблизившейся к нему
на расстояние действия ядерных сил (~2⋅10-15 м), и образование составного
ядра С. Энергия частицы передается не какому-то одному нуклону, а
распределяется между нуклонами составного ядра, которое оказывается в
возбужденном состоянии. Время жизни составного ядра равно 10-16—10-12 с,
т. е. составляет (106—1010) τ , где τ —характерное ядерное время (~10-22 с).
Это означает, что за время жизни составного ядра нуклоны многократно
сталкиваются между собой, происходит перераспределение энергии между
нуклонами и один из нуклонов (или их комбинация) может получить
энергию, достаточную для вылета из ядра. В результате и возможна вторая
стадия — распад составного ядра на ядро Y и частицу b. Она не зависит от
способа образования составного ядра — первой стадии.
Ядерные реакции бывают экзотермические (протекают с выделением
энергии) и эндотермические (протекают с поглощением энергии). К
собственно ядерным реакциям относятся процессы общего вида X≠Y и a≠b;
если испущенная частица тождественна с захваченной, то имеет место
рассеяние частицы: упругое — при Еb=Еa, неупругое — при Еb≠Еa.
Вероятность того, что при падении пучка частиц на вещество произойдет
ядерная реакция, определяется эффективным сечением ядерной реакции
σ = dn / nNdx , ,
где N — число частиц, падающих за единицу времени на единицу
площади поперечного сечения вещества, имеющего в единице объема n ядер,
dN — число частиц, вступающих в ядерную реакцию в слое толщиной dx.
(
91
)
Эффективное сечение имеет размерность площади; единица σ — барн
(1 барн= 10-28 м2).
В любой ядерной реакции выполняются законы сохранения
электрических зарядов и массовых чисел: сумма зарядов (массовых чисел)
ядер и частиц, вступающих в ядерную реакцию, равна сумме зарядов
(массовых чисел) конечных продуктов (ядер и частиц) реакции.
Выполняются также законы сохранения энергии, импульса и момента
импульса.
Классификация ядерных реакций осуществляется по различным
признакам:
1. По роду участвующих в них ядер:
а) реакции под действием нейтронов. Нейтроны, являясь электрически
нейтральными частицами, не испытывают кулоновского отталкивания, а
поэтому легко проникают в ядро, вызывая ядерные превращения;
б) реакции под действием заряженных частиц (например, протонов, αчастиц). Примеры:
– первая в истории ядерная реакция (осуществлена Э. Резерфордом, 1919):
14
7
N + 24 He→189 F →178 O + 11p;
– ядерная реакция, в результате которой впервые получены нейтроны:
9
4
Be + 24He→126 C + 01n;
в) реакции под действием γ-квантов. При малых энергиях γ-квантов
наблюдается только их упругое рассеяние; при энергиях, больших энергии
отделения нуклонов от ядра, наблюдаются фотоядерные реакции —
расщепление γ-квантами атомных ядер. Типичные реакции: (γ, n), (γ, p), (γ,
2n), (γ, nр).
2. По энергии вызывающих их частиц — реакции при малых энергиях
(порядка нескольких эВ) происходят в основном под действием нейтронов;
при средних энергиях (до нескольких МэВ) — с участием γ-квантов и
заряженных частиц (протоны, α-частицы), при высоких энергиях (до тысяч
МэВ) приводят к рождению отсутствующих в свободном состоянии
элементарных частиц.
Характер ядерных реакций зависит особенно от энергии (скорости)
нейтронов. Нейтроны в зависимости от энергии делят на две группы:
медленные и быстрые. Область энергий медленных нейтронов включает в
себя область ультрахолодных (с энергией до 10-7 эВ), очень холодных (10-710-4 эВ), холодных (10-4 - 10-3 эВ), тепловых (10-3- 0,5 эВ) и резонансных (0,5104 эВ) нейтронов. Ко второй группе можно отнести быстрые (104—108 эВ),
высокоэнергетичные (108—l010 эВ) и релятивистские (≥1010 эВ) нейтроны.
Замедлить нейтроны можно, пропуская их через какое-либо вещество,
содержащее водород (например, парафин, вода). Проходя через такие
92
вещества, быстрые нейтроны испытывают рассеяние на ядрах и замедляются
до тех пор, пока их энергия не станет равной, например, энергии теплового
движения атомов вещества-замедлителя, т. е. равной приблизительно kT.
Медленные нейтроны эффективны для возбуждения ядерных реакций,
поскольку они относительно долго находятся вблизи атомного ядра, а потому
вероятность захвата нейтрона ядром довольно большая. Для медленных
нейтронов характерны упругое рассеяние на ядрах [реакция типа (n, n)] и
радиационный захват [реакция типа (n, γ)]. Реакция (n, γ) приводит к
образованию нового изотопа исходного вещества:
113
48
Cd + 01n→114
48 Cd + γ .
Для быстрых нейтронов
совершающееся по схеме
наблюдается
неупругое
их
рассеяние,
X + 01n→ ZA X * + 01n′.
A
Z
Вылетающий из ядра нейтрон
1
0
n′ не тот нейтрон, который проник в
ядро. n′ имеет энергию, меньшую энергии 0 n , а остающееся после вылета
1
0
1
нейтрона ядро находится в возбужденном состоянии (отмечено звездочкой),
поэтому его переход в нормальное состояние сопровождается испусканием γкванта.
Когда энергия нейтронов достигает значений 10 МэВ, становятся
возможными реакции типа (n→ 2n). Например, в результате реакции
1
U + 01n→ 237
92 U + 2 0 n
238
92
образуется искусственно β--активный изотоп
237
92
U , претерпевающий
распад по схеме
0
U → 237
93 Np + −1 e .
237
92
3. По роду участвующих в них ядер — реакции на легких (А < 50), средних
(50 < А < 100) и тяжелых (А > 100) ядрах. Например, на легких ядрах под
действием тепловых нейтронов осуществляются реакции захвата нейтронов с
испусканием заряженных частиц — протонов и α-частиц:
3
2
He+ 01n→13H +11p,
10
5
B + 01n→37 Li + 24He.
4. По характеру происходящих ядерных превращений — реакции с
испусканием нейтронов, с испусканием заряженных частиц и т. д.
Тяжелое ядро под действием нейтронов (а также под действием других
частиц) делится на несколько (чаще всего два) легких ядер (осколков
деления) — происходит реакция деления ядра. В момент своего образования
осколки деления имеют избыток нейтронов над протонами. Поэтому реакция
93
деления тяжелых ядер сопровождается испусканием избыточных нейтронов
— нейтронов деления. Однако этот процесс не устраняет полностью
перегрузку ядер-осколков нейтронами, а поэтому осколки, оказываясь
радиоактивными, могут претерпеть ряд актов β--распада, в результате чего
соотношение между нейтронами и протонами в осколке достигает величины,
соответствующей стабильному изотопу. Например, при делении ядра урана
235
92
U
95
1
U + 01n→139
54 Xe + 38 Sr + 2 0 n
235
92
(4.11)
-
осколок деления в результате трех актов β -распада превращается в
139
стабильный изотоп 57 La :
139
54
−
−
−
β
β
β
139
139
139
Xe ⎯⎯→
55 Cs ⎯⎯→ 56 Ba ⎯⎯→ 57 La.
Реакция (4.11) не единственная, приводящая к делению урана, так как
осколки могут быть разнообразными.
Большинство нейтронов при делении испускаются практически
мгновенно (t≤ 10 -14 с) — мгновенные нейтроны, а очень малая часть (≤1%) —
спустя некоторое время после деления — запаздывающие нейтроны.
Деление тяжелого ядра на два осколка должно сопровождаться
выделением огромной энергии ~1,1 МэВ/нуклон (равна разности удельных
энергий связи в ядрах — продуктах деления и исходного ядра), т. е.
(8,7 — 7,6) МэВ/нуклон.
Эксперименты подтверждают, что при каждом акте деления действительно выделяется огромная энергия (~200 МэВ), которая
распределяется в основном между осколками, а также между продуктами
последующего распада осколков деления.
Под действием нейтронов деления может возникнуть самоподдерживающаяся цепочка процессов деления, что делает возможным
осуществление цепной реакции деления — ядерной реакции, в которой
частицы, вызывающие реакцию, образуются как продукты этой реакции.
Цепная реакция деления характеризуется коэффициентом размножения k
нейтронов, который равен отношению числа нейтронов в данном поколении
к их числу в предыдущем поколении. Необходимым условием для развития
цепной реакции деления является требование k≥ 1.
Оказывается, что не каждый из нейтронов деления вызывает цепную
реакцию: 1) из-за конечных размеров активной зоны (пространство, где
происходит цепная реакция) и большой проникающей способности
нейтронов (часть из них покинет активную зону раньше, чем будет захвачена
каким-либо ядром); 2) из-за захвата части нейтронов ядрами неделящихся
примесей, присутствующих всегда в активной зоне; 3) из-за конкурирующих
процессов радиационного захвата и неупругого рассеяния.
94
Коэффициент размножения зависит от природы делящегося вещества, а
для данного изотопа — от его количества, а также размеров и формы
активной зоны. Минимальные размеры активной зоны, при которых
возможно осуществление цепной реакции, называют критическими
размерами. Минимальную массу делящегося вещества, находящегося в
системе критических размеров, необходимую для осуществления цепной
реакции, называют критической массой. При k>1 идет развивающаяся
реакция (число делений растет, и реакция может стать взрывной), при k=l —
самоподдерживающаяся реакция (число нейтронов с течением времени не
изменяется), при k<1 — затухающая реакция. Цепные реакции делят на
неуправляемые (взрыв атомной бомбы, например) и управляемые
(осуществляются в ядерных реакторах).
Реакция синтеза атомных ядер — образование из легких ядер более
тяжелых. Эти реакции сопровождаются выделением большого количества
энергии, поскольку удельная энергия связи: 1) у легких ядер меньше, чем у
2
промежуточных; 2) резко увеличивается при переходе от ядер дейтерия 1 H
3
6
4
и трития 1 H к литию 1 Li и особенно к гелию 2 He .
Примеры реакций синтеза (в скобках указано энерговыделение):
2
1
2
1
2
1
H + 12H →13H +11p (Q=4,0 МэВ),
H + 12H → 23He + 01n (Q=3,3 МэВ),
(4.12)
H +13He→ 24 He + 01n (Q=17,6 МэВ),
(4.14)
6
3
Li + H → He + He (Q=22,4 МэВ).
2
1
4
2
(4.13)
4
2
В реакциях синтеза энергия, выделяемая на один нуклон, гораздо больше,
чем в реакциях деления тяжелых ядер. Например, в реакции (4.14) на один
нуклон эта энергия равна 17,6/5 МэВ ≈ 3,5 МэВ, в то время как в реакции
деления урана
238
92
U она составляет 200/238 МэВ =0,84 МэВ.
Для осуществления реакции синтеза начальные ядра должны преодолеть
кулоновский барьер, типичная высота которого составляет ~0,1 МэВ. Это
означает, что реально в этих реакциях могут участвовать ядра с очень
большими кинетическими энергиями (скоростями). Большие же скорости
соответствуют высокой температуре. Поэтому для протекания реакций
синтеза необходим разогрев до Т ~ 109 К, что примерно в 50 раз больше
температуры недр Солнца. Реакции синтеза легких атомных ядер в более
тяжелые, происходящие при сверхвысоких температурах, называют
термоядерными реакциями.
Протекание термоядерных реакций, правда, возможно при температуре
~ 107К ввиду двух существенных факторов: 1) при данной температуре
любое вещество находится в состоянии плазмы, распределение же частиц
95
плазмы по энергиям подчиняется закону Максвелла, а поэтому всегда
имеется некоторая доля ядер, обладающих энергиями выше средней; 2) даже
ядра с Е<Uкул могут сблизиться и вступить в реакцию за счет туннельного
просачивания сквозь кулоновский барьер.
Термоядерные реакции являются, по-видимому, одним из источников
энергии Солнца и звезд и, как считается, протекают в виде термоядерных
циклов. Один из вариантов термоядерного цикла — протонно-протонный,
или водородный, характерный для температур ~ 107 К:
1
1
p +11p →12 H + +10 e+ 00ν e ,
2
1
H +11p → 23He + γ ,
3
2
He+ 23He→ 24 He + 211p.
Термоядерные реакции дают больший выход энергии на единицу массы
«горючего», чем любые другие превращения, в том числе и деление тяжелых
ядер. Например, количество дейтерия в 1 л воды энергетически эквивалентно
~300 — 350 л бензина. Поэтому заманчива перспектива осуществления
управляемых термоядерных реакций искусственным путем.
В земных условиях реакции синтеза осуществляются пока в виде
термоядерных взрывов, являющихся неуправляемой реакцией. Взрывчатое
вещество [реакция (4.14)] есть смесь дейтерия и трития, а запал — «обычная»
атомная бомба, при взрыве которой «генерируется» необходимая для
протекания термоядерной реакции температура.
Для осуществления управляемой термоядерной реакции, овладение
которой даст человечеству практически неисчерпаемый источник энергии,
необходимо, чтобы плазма была достаточно сильно нагрета. Как показал
Дж. Л. Лоусон (1957), выход энергии в термоядерном реакторе превысит
энергетические затраты, если произведение концентрации n частиц в плазме
на время удержания τ будет удовлетворять неравенству (критерию
Лоусона)
n τ > 1014 см -3 с [для реакции (4.14); Т> 108 К],
n τ > 1015 см -3 с [для реакций (4.12) и (4.13); T> 109 К].
В последние годы удалось вплотную подойти к критерию Лоусона, но
нужная величина n τ все еще не достигнута.
96
3.
ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ АТОМОВ И МОЛЕКУЛ
3.1. Орбитальные магнитный и механический моменты
Магнитный и механический моменты атомов обусловлены магнитным и
механическим моментами орбитального движения электронов, а также
собственными магнитными моментами и спинами электронов. Магнитные
моменты и спины ядер здесь во внимание не принимаются, поскольку
магнитные свойства атомов определяются в основном магнитными свойствами электронов.
Для простоты рассмотрим классическую задачу атома водорода:
движение электрона вокруг ядра (протона) по круговой орбите (рис. 3.1).
Хотя понятие траектории к электронам атома и неприменимо, но, как
оказалось, получаемые по классической теории результаты совпадают с
квантово-механическими расчетами, а потому такое рассмотрение оправдано.
Электрон, движущийся по замкнутой орбите вокруг ядра, эквивалентен
контуру с током I=ev, где v — частота вращения электрона по орбите, е —
абсолютная величина заряда электрона. Орбитальному току соответствует
магнитный момент Pm=ISn, модуль которого
(3.l)
Pm=IS=evS ,
где S — площадь орбиты. Момент (3.1), обусловленный движением
электрона по орбите, называют орбитальным магнитным моментом.
Направление тока противоположно направлению движения электрона
(рис. 3.1), а направление вектора Pm образует левовинтовую систему с
направлением движения электрона (заряд электрона — отрицательный),
причем вектор Pm перпендикулярен плоскости орбиты электрона.
Рис. 3.1
С другой стороны, движущийся по орбите электрон обладает
механическим моментом импульса Ll, модуль которого
Ll = mvr = 2mvs,
(3.2)
где m — масса электрона, r — радиус орбиты, v — скорость движения
электрона по орбите (учли, что v=2πvr, S=πr2). Вектор L, называемый
орбитальным механическим моментом электрона, образует с направлением
его движения правовинтовую систему.
Направления Pm и Ll противоположны (рис. 3.1) и в соответствии с (3.1) и
(3.2) связаны соотношением
40
Pm = −
e
Ll = gLl ,
2m
(3.3)
где величина
g=
Pm
e
=−
,
Ll
2m
(3.4)
называемая гиромагнитным отношением для орбитального движения
электрона, представляет собой отношение орбитального магнитного момента
к орбитальному механическому моменту. В формуле (3.4) общепринято
писать знак минус, указывающий на противоположность моментов по
направлению. Гиромагнитное отношение одинаково для любой орбиты, хотя
для разных орбит значения r и v различны. Отметим также, что точно такое
же соотношение между магнитным и механическим орбитальными
моментами выводится и в квантовой теории.
Очевидно, что для проекций моментов pmz и Llz, сохраняется та
же связь:
Pmz = −
e
eh
Llz =
m l (ml=0,±1,…±l)
2m
2m
(3.5)
Llz = ћml. Величину
µB =
eh
= 9,2740154 (31) ⋅10 − 24 Дж/Тл
2m
(3.6)
называют магнетоном Бора. Он является универсальной единицей измерения
магнитных моментов.
Возвращаясь к формуле (3.5), отметим, что проекция орбитального
магнитного момента электрона на произвольную ось z может принимать
только дискретные значения, т. е. квантуется, причем квантуется по тому же
закону, что и проекция орбитального механического момента электрона (обе
проекции, pmz = - µВml и Llz =ћml, определяются одним и тем же магнитным
квантовым числом ml).
Модуль орбитального механического момента электрона
Ll = h l (l + 1) ,
где l — орбитальное квантовое число.
Из выражений (3.4) и (3.7) с учетом (3.6) следует, что
pm = −
eh
e
l (l + 1) = − µ B l (l + 1) .
Ll = −
2m
2m
41
(3.7)
3.2. Спектры щелочных металлов и мультиплетность. Спин и
собственный магнитный момент электрона
Спектры испускания атомов щелочных металлов (Li, Na, К, Rb, Cs) в
общих чертах сходны со спектром атома водорода: они состоят из
нескольких серий линий. Это можно объяснить следующим образом.
Щелочные металлы в периодической системе элементов Менделеева следуют
за инертными газами: литий за гелием, натрий за неоном и т. д. Атомы
инертных газов очень устойчивы, их трудно ионизовать, атомы же щелочных
металлов ионизуются легко (для сравнения: энергия ионизации Не составляет
24,6 эВ, Li — 5,4 эВ). Переход же от атома инертного газа к атому щелочного
металла приводит к увеличению заряда ядра на е и возрастанию числа
электронов на единицу, причем этот электрон связан с остальными
электронами и ядром довольно слабо.
Поэтому можно считать, что у щелочного металла с порядковым номером
Z (содержит Z электронов) Z–1 электронов образуют структуру атома
инертного газа. Валентный электрон, таким образом, движется в поле Z – 1
внутренних электронов [общий отрицательный заряд - (Z – 1) е] и ядра
(общий положительный заряд +Ze) аналогично движению электрона в атоме
водорода. Так как валентный электрон деформирует оболочку Z – 1
электронов и несколько искажает их поле, то спектральные термы для
щелочных металлов определяются более сложной эмпирической формулой:
Tn = R /( n + σ ) 2 ,
где R — постоянная Ридберга, n — главное квантовое число, σ —
ридберговская поправка, постоянная для каждой серии спектров, но разная
для разных серий. Как уже рассматривалось ранее, линии в спектре
излучения могут быть представлены как комбинации спектральных термов.
Спектры щелочных металлов обусловлены переходами валентного
(оптического) электрона с одного энергетического уровня на другой. Поле, в
котором движется электрон, уже не является кулоновским (т.е.
пропорциональным 1/r2), но является центрально-симметричным (зависит
только от r). Как показывают квантово-механические расчеты (решение
уравнения Шредингера для электрона, движущегося в вышеописанном поле),
энергетические уровни зависят не только от главного квантового числа n (это
наблюдалось для атома водорода), но и от орбитального квантового числа l,
т. е. E=Enl.
Хотя качественные закономерности спектров щелочных металлов и могут
быть поняты в рамках рассмотренных выше представлений, оказалось, что
объяснению не поддаются наблюдаемые с помощью приборов большой
разрешающей способности дублетные (двойные) спектральные линии (они
свойственны спектрам всех щелочных металлов). Впоследствии было обнаружено расщепление спектральных линий на несколько компонентов не
42
только у атомов щелочных металлов: три (триплет), четыре (квартет) и т. д.
Кроме того, оказалось, что и у водорода спектральные линии являются
дублетами. Расщепление спектральной линии на компоненты известно под
названием тонкой структуры. Спектральную линию, состоящую из
нескольких близко расположенных компонентов, называют мультиплетом.
Расщепление
спектральных
линий
обусловлено
расщеплением
энергетических уровней. Для объяснения мультиплетности спектров
американские физики (1925) Дж. Уленбек и С. Гаудсмит высказали гипотезу
о том, что электрон обладает собственным механическим моментом
импульса Ls, получившим название спина электрона.
Спин электрона — квантовая величина, у нее нет классического аналога.
Кроме того, оказалось, что существование спина и его свойств — прямое
следствие уравнения Дирака, которое заменяет уравнение Шредингера в
релятивистской квантовой механике. Согласно общим выводам квантовой
механики, спин квантуется по закону
L s = h s ( s + 1) ,
(3.8)
где s — спиновое квантовое число.
По аналогии с орбитальным моментом импульса, проекция Ls спина
квантуется так, что вектор Ls может принимать 2s + 1 ориентации. Если с
помощью спина объяснять расщепление спектральных линий, а значит и
термов, на два подуровня, то следует предположить, что 2s+1=2, откуда s=Ѕ.
Поскольку спиновое квантовое число имеет единственное значение Ѕ, то оно,
не внося различия между состояниями, для их описания вместе с другими
квантовыми числами обычно не используется.
Таким образом, собственный механический момент электрона
принимает только одно значение: Ls= 3h / 2 , причем является такой же
фундаментальной характеристикой электрона, как его заряд и масса.
Проекция спина на направление внешнего магнитного поля имеет вид
L sz = hm s ,
(3.9)
где ms — магнитное спиновое квантовое число. Проекция вектора не
может быть больше модуля этого вектора, поэтому ms, не должно по модулю
превышать s, но ms может иметь разные знаки, откуда следует, что
(3.10)
ms= ±s = ± l/2.
Таким образом, проекция собственного механического момента импульса
электрона на ось z может принимать два значения:
Lsz=±ћ/2.
Спину электрона Ls соответствует собственный (спиновый) магнитный
момент рms, пропорциональный Ls и направленный в противоположную
сторону:
43
где величина
рms = g Ls,
g=
Pms
e
=− ,
Ls
m
(3.11)
(3.12)
называемая гиромагнитным отношением для спиновых моментов,
оказалась на опыте в два раза больше, чем для орбитальных моментов.
Подставляя гиромагнитное отношение спиновых моментов (3.12) в
выражение (3.11), получаем, что собственный магнитный момент электрона
[с учетом (3.8)]
e
eh
(3.13)
Ls = −
s ( s + 1) = −2 µ B s ( s + 1) ,
m
m
где µ B = eh /(2m) —магнетон Бора, а знак минус указывает на
Pms = −
противоположность моментов по направлению.
Проекция собственного магнитного момента на направление z принимает
значения
p ms z = −
e
eh
eh 1
L sz = − m s = − ( ± ) = m µ B
m
m
2
m
(3.14)
[учли формулы (3.9) и (3.10)].
Таким образом, из выражений (3.9), (3.10) и (3.14) следует, что проекция
спина электрона на произвольную ось может принимать значения ±ћ/2, а
проекция связанного со спином магнитного момента p ms z – значения m µ B .
Поэтому обычно говорят, что собственный механический момент (спин)
электрона равен Ѕ (подразумевают в единицах ћ), а собственный (спиновый)
магнитный момент равен одному магнетону Бора.
Подчеркнем, что спин не есть исключительное свойство электрона; им
обладают протоны, нейтроны и другие элементарные частицы.
3.3 Некоторые доказательства существования спина. Полный момент
импульса
Как указывалось ранее, гиромагнитное отношение для спиновых
моментов (pms/Ls) оказалось в два раза больше, чем для орбитальных
моментов. Эксперименты по их определению осуществлены Эйнштейном и
де Гаазом (1915). Образцы ферромагнитных веществ в виде небольших
цилиндриков подвешивались на тончайшей кварцевой нити внутри
соленоида, по обмотке которого пропускался переменный ток с частотой,
равной частоте собственных крутильных колебаний цилиндрика. При пропускании тока через соленоид цилиндрик, намагничиваясь, поворачивался. По
направлению возникающего механического момента было доказано, что
44
намагничивание
обусловлено
движением
электронов.
Исследуя
вынужденные крутильные колебания цилиндрика, можно вычислить
отношение магнитного момента к механическому (гиромагнитное
отношение), которое в два раза больше ожидаемого: g = –e/m. Этот результат
привел к выводу, что намагничивание обусловлено не орбитальным
движением электрона, а его спином.
Прямым доказательством существования спина электрона служат опыты
Штерна и Герлаха (1921), в которых измерялись магнитные моменты атомов
химических элементов именно первой группы периодической системы
элементов. Это обусловлено тем, что для определения механического и
магнитного моментов одного электрона необходимо использовать атомы, у
которых механические (и магнитные) моменты всех электронов, кроме
одного, компенсируют друг друга. Так как атомы первой группы
периодической системы имеют один валентный электрон, то моменты
импульса и магнитные моменты этих атомов будут совпадать с моментами
электрона.
В опытах Штерна и Герлаха пучки нейтральных атомов (или молекул) в
вакууме пропускались через область, в которой с помощью полюсных
наконечников S и N специальной формы (рис. 3.2) создавалось магнитное
поле, сильно неоднородное вблизи полюса S. Частицы пропускались вдоль
оси у. В таком магнитном поле основная составляющая силы, действующей
на атом,
Fz = p mz
∂B z
∂z
пропорциональна z-составляющей магнитного момента и неоднородности магнитного поля ∂B z / ∂z (В — индукция магнитного поля).
Так как сила зависит от pmz, то пучок частиц должен расщепиться на столько
компонентов, сколько возможных проекций на ось z имеет магнитный
момент. Если магнитный момент заряженной частицы обусловлен
орбитальным моментом Ll, то пучок должен расщепиться на 2l+1
компонентов.
Рис. 3.2
Действительно, вдоль оси z (рис. 3.2) происходило расщепление пучка
атомов серебра, щелочных металлов и водорода, но всегда наблюдалось
45
только два пучка, одинаково отклоненных в противоположные стороны и
расположенных симметрично относительно пучка в отсутствие магнитного
поля. Это можно объяснить только тем, что магнитный момент валентного
электрона при наличии поля может принимать два значения, одинаковых по
модулю и противоположных по знаку.
«Невероятность» данного результата заключается в том, что
невозбужденные атомы серебра, щелочных металлов и водорода находятся в
s-состоянии (l=0). В этом состоянии момент импульса электрона Ll равен
нулю. Магнитный момент атома, связанный с орбитальным движением
электрона, пропорционален механическому моменту, поэтому он также равен
нулю, и магнитное поле не должно оказывать влияния на движение атомов,
находящихся в основном состоянии, т. е. расщепления быть не должно.
Кроме того, если бы в пучке были атомы в p-состоянии (l = 1), то пучок
должен был бы расщепиться на три компонента в соответствии с числом
возможных значений магнитного квантового числа (ml = 0, ±1).
Таким образом, результаты опытов Штерна и Герлаха приводят к выводу,
что расщепление в магнитном поле пучка атомов первой группы
периодической системы, заведомо находящихся в s-состоянии, на два
компонента объясняется двумя возможными ориентациями спинового
магнитного момента валентного электрона. Это хорошо согласуется с
заключением о спине из спектроскопических данных.
Полный момент импульса Lj электрона складывается из орбитального (Ll)
и спинового (Ls) моментов, причем модуль полного момента импульса
квантуется по закону
L j = h j ( j + 1) ,
(3.15)
где j — квантовое число полного момента импульса, принимающее
значения
j = l + s, l − s ,
(3.16)
где l и s — соответственно орбитальное и спиновое квантовые числа. При
данном l квантовое число j может принимать два значения: j=l+1/2 и j=l-1/2
(только при l=0 и j=s=1/2), причем всегда полуцелые.
Проекция вектора Lj на направление z равна
L j = h j ( j + 1) ,
(3.17)
где ml — квантовое число проекции полного момента импульса:
mj=ml+ms
(ml и ms— соответственно магнитное и магнитное спиновое квантовые
числа). При данном значении j квантовое число mj=j, j-1,...,-j+1,-j, т. е.
принимает 2j+1 значений, соответствующих различным ориентациям
полного момента в пространстве.
Полный магнитный момент рj электрона равен сумме векторов
46
орбитального магнитного момента рm и его собственного (спинового)
магнитного момента рs. Как уже указывалось, для электрона с l≠ 0 квантовое
число j может принимать два значения: j =l+1/2 и j=l-1/2, а следовательно,
для электрона возможны два состояния. Собственный (спиновый) магнитный
момент электрона в этих состояниях по-разному взаимодействует с
магнитным полем, обусловленным орбитальным движением электрона. Это
взаимодействие называют спин-орбитальным. Оно определяется как
модулем орбитального момента, так и взаимной ориентацией орбитального и
спинового моментов. В результате этого взаимодействия состояния электрона с разными j обладают различной энергией, т. е. спин-орбитальное
взаимодействие расщепляет энергетические уровни Enl (при l≠0) на два: один
с j=l+1/2 и другой с j=l-1/2, т.е. уровни являются уже не одиночными, а
двойными. Следовательно, все состояния, кроме s-состояний, являются
дублетными. Например, для p-состояния j= 1/2 и j=3/2, для d-состояния j= 3/2 и
5
/2 и т. д.
Таким образом, энергия каждого состояния определяется теперь не двумя
квантовыми числами (n и l), а тремя (n, l и j).
Состояние электрона в атоме с учетом спина определяется четырьмя
квантовыми числами:
главным n (n=1, 2, 3, ...),
орбитальным l (l=0, 1, 2, ..., n-1),
магнитным ml (ml=0, ±1, ..., ±l),
магнитным спиновым ms (ms = ±l/2).
Можно, однако, использовать и другой набор четырех квантовых чисел:
главное n (n=1, 2, 3, ...),
орбитальное l (l=0, 1, 2, ..., n-I),
квантовое число полного момента импульса j (j=l+s, |l-s|),
квантовое число проекции полного момента импульса mj
(mj =j, j+1,…,-j+1, -J).
Оба эти набора квантовых чисел эквивалентны; зная один из них, можно
определить другой.
С учетом указанных квантовых чисел уровни (например, 1s1 / 2 , 2 p 3 / 2 )
можно обозначать так:
l =0
n = n → 1s1 / 2
l =1
n = 2 → 2 p3 / 2
j = 1/ 2
j = 3/ 2
3.4. Атом во внешнем магнитном поле
47
П. Зееман, изучая спектр излучения паров натрия, помещенного во
внешнее магнитное поле, обнаружил расщепление спектральных линии на
несколько компонентов. Впоследствии на основе квантово-механических
представлений это явление было объяснено расщеплением в магнитном поле
энергетических уровней атома. Расщепление в магнитном поле
энергетических уровней атомов, приводящее к расщеплению спектральных
линий в спектрах, называют эффектом Зеемана. Различают эффект Зеемана:
нормальный (простой), когда каждая линия расщепляется на три
компонента, и аномальный (сложный), когда каждая линия расщепляется на
большее, чем три, число компонентов.
Эффект Зеемана характерен для атомов парамагнетиков, так как только
эти атомы обладают отличным от нуля магнитным моментом и могут
взаимодействовать с внешним магнитным полем. Для понимания общих
закономерностей эффекта Зеемана рассмотрим простейший атом — атом
водорода.
Если атом водорода поместить во внешнее однородное магнитное поле с
индукцией В, то за счет взаимодействия магнитного момента рm с внешним
магнитным полем атом приобретает дополнительную энергию, зависящую от
модуля и взаимной ориентации В и рm:
U B = − p m B = − p mB B,
где pmВ — проекция магнитного момента электрона на направление поля.
В соответствии с pmВ = ећml/(2m) (магнитное квантовое число ml=0, ±1, ...,
±/). Тогда
UB =
eh
m l B = µ B m l B,
2m
(3.18)
где µВ = ећ/(2m) — магнетон Бора.
Полная энергия атома водорода в магнитном поле с учетом (3.18)
E n , l , ml = −
1 me 4
+ µ B m l B,
n 2 8h 2 ε 02
(3.19)
где первый член — энергия кулоновского взаимодействия между
электроном и протоном, второй — энергия взаимодействия между
магнитным моментом и внешним магнитным полем.
Формула (3.19) позволяет объяснить влияние магнитного поля на
энергетические уровни атома. В случае отсутствия магнитного поля (B=0)
энергетический уровень определяется только первым членом. Когда же B≠0,
то необходимо учитывать различные допустимые значения ml. Напомним,
что при заданных n и l квантовое число ml может принимать 2l+1 возможных
значений: ml. = 0, ±1,..., ±l. Это же означает расщепление первоначального
энергетического уровня на 2l+1 подуровней.
Теперь можно понять происхождение мультиплетов Зеемана. На рис. 3.3
48
рассмотрены возможные переходы в атоме водорода между состояниями р (l
= 1) и s (1 = 0) для двух случаев: 1) когда В=0 (внешнее магнитное поле
отсутствует); 2) когда В≠0.
Рис. 3.3
В отсутствие поля наблюдается одна линия с частотой v0. В магнитном
поле p-состояние расщепляется на три подуровня (при l= 1, ml=0, ±1), с
каждого из которых могут происходить переходы на уровень s, и каждый
переход характеризуется своей частотой: v0 - ∆v, v0, v0 - ∆v. Следовательно, в
спектре появляется триплет (наблюдается нормальный эффект Зеемана).
Отметим, что при рассмотренных переходах соблюдаются правила отбора
для орбитального и магнитного квантовых чисел:
∆l= ± 1; ∆ml = 0, ± 1.
На рис. 3.4 показано расщепление энергетических уровней и
спектральных линий для перехода между состояниями d (l = 2) и р (l = 1).
Состояние d в магнитном поле расщепляется на пять подуровней (при l=2,
ml = 0, ± 1, ±2), состояние р — на три (при l= 1, ml= 0, ± 1). Учитывая, что
∆l= ± 1 и ∆ml = 0, ± 1возможны только переходы, указанные на рисунке, т. е.,
как и в предыдущем случае, в спектре появляется триплет (наблюдается
нормальный эффект Зеемана).
49
Рис. 3.4
Нормальный эффект Зеемана наблюдается в том случае, если исходные
линии не обладают тонкой структурой (являются синглетами). Если
исходные уровни обладают тонкой структурой, то в спектре появляется
большее число компонентов и наблюдается аномальный эффект Зеемана. Не
вдаваясь в детали, отметим, что аномальный эффект Зеемана объясняется
существованием спина и вдвое большим гиромагнитным отношением для
спиновых моментов, чем для орбитальных моментов.
3.5. Системы тождественных частиц
До сих пор мы практически рассматривали только атом водорода —
простейшую квантово-механическую систему, содержащую один электрон.
При переходе к многоэлектронным квантовым системам (например, атом
гелия содержит 2 электрона, атом урана — 92) необходимо учитывать
специфические свойства совокупности одинаковых частиц, вытекающие из
принципа неразличимости тождественных частиц — фундаментального
принципа квантовой механики.
Чтобы сформулировать этот принцип, рассмотрим совокупность
одинаковых частиц, например электронов. Все электроны имеют одинаковые
физические свойства — массу, электрический заряд, спин и другие
характеристики, например квантовые числа. Такие частицы называют
тождественными.
Понятие о тождественных частицах вносит в квантовую теорию
принципиально новое положение по сравнению с классической механикой. В
классической механике одинаковые частицы, несмотря на тождественность
их физических свойств, обладают «индивидуальностью»: например,
«пронумеровав» частицы в какой-то момент времени, можно проследить за
траекторией любой из них.
В квантовой механике положение иное. Согласно соотношению
неопределенностей, для микрочастиц вообще неприменимо понятие
50
траектории; состояние микрочастицы описывается волновой функцией,
квадрат модуля которой позволяет определить вероятность нахождения
микрочастицы в окрестностях той или иной точки, т. е. волновой функции,
как это уже рассматривалось ранее, приписывается вероятностное
толкование. Если, например, рассмотреть рассеяние двух электронов в
процессе соударения, то в области взаимодействия их волновые функции (а
именно они описывают состояния электронов) перекрываются и разговор о
том, какой из электронов находится в данной области, вообще лишен смысла:
можно говорить лишь о вероятности нахождения в данной области одного из
электронов.
Таким образом, в квантовой механике тождественные частицы полностью
теряют свою «индивидуальность» и становятся неразличимыми. Они
частиц:
подчиняются
принципу
неразличимости
тождественных
экспериментально различить тождественные частицы невозможно. Этот
принцип — не просто следствие вероятностной интерпретации волновой
функции; он вводится в квантовую механику как новый принцип, который,
как уже указывалось, является фундаментальным.
При квантово-механическом рассмотрении системы частиц необходимо
учитывать, что волновая функция описывает всю систему частиц, т. е.
каждая отдельная частица не может описываться своей волновой функцией,
зависящей только от переменных, относящихся к данной частице. В качестве
примера рассмотрим систему, состоящую из двух тождественных частиц и
описываемую волновой функцией ψ ( x1 , x 2 ) , где х1 и х 2 — соответственно
совокупность пространственных и спиновых координат первой и второй
частиц. Естественно, что в силу тождественности частиц состояния системы,
получающиеся друг из друга перестановкой обеих частиц, должны быть
физически
эквивалентными.
Следовательно,
должно
выполняться
соотношение
ψ ( x1 , x 2 ) = kψ ( x 2 , x1 ),
где k — постоянный множитель, по модулю равный 1.
Произведя перестановку частиц еще раз, получим
ψ ( x1 , x 2 ) = kψ ( x 2 , x1 ) = k 2ψ ( x1 , x 2 ),
откуда следует, что k2= 1 или k= ± 1. Тогда
ψ ( x1 , x 2 ) = ±ψ ( x 2 , x1 ).
Таким образом, принцип неразличимости тождественных частиц приводит к
определенному свойству симметрии волновой функции: при перестановке
частиц волновая функция системы либо остается неизменной, либо меняет
свой знак. Полученный результат можно обобщить на систему, состоящую из
произвольного числа тождественных, не взаимодействующих между собой
частиц.
51
Если при перестановке любой пары частиц волновая функция,
описывающая состояние системы тождественных частиц, не меняет знака, то
ее называют симметричной; если знак изменяется на противоположный, то
антисимметричной. Изменение знака волновой функции не означает
изменения состояния, поскольку физический смысл имеет лишь квадрат
модуля волновой функции.
В квантовой механике показано, что симметрия волновой функции
системы тождественных частиц сохраняется во времени. Это, однако, не
является доказательством того, что тип симметрии волновых функций
системы тождественных частиц определяется только природой самих частиц.
В дальнейшем В. Паули теоретически была обоснована зависимость типа
симметрии волновых функций системы тождественных частиц (их
симметричность или антисимметричность) от спина частиц: системы тождественных частиц с нулевыми и целыми спинами (например, я-мезоны,
фотоны) описываются симметричными волновыми функциями, системы с
полуцелыми спинами (например, электроны, протоны, нейтроны) —
антисимметричными волновыми функциями. Соответственно все частицы
(системы частиц) делятся на два класса: частицы, описываемые
симметричными
волновыми
функциями,
называют
бозонами,
антисимметричными — фермионами (в честь С. Бозе и Э. Ферми, изучавших
свойства этих частиц). Критерием, по которому различаются классы частиц,
является их спин.
Принадлежность сложных частиц, например атомов или ядер, к тому или
иному классу определяется числом и классом элементарных частиц, из
которых они «составлены». Сложные частицы, составленные из нечетного
числа фермионов, являются фермионами (суммарный спин — полуцелый), а
из четного — бозонами (суммарный спин — целый).
3.6. Принцип Паули. Периодическая система элементов Менделеева
Как уже рассматривалось ранее, состояние электрона в атоме можно
однозначно описать, если воспользоваться любым набором четырех
независимых квантовых чисел, например числами n, l, ml и ms. Эти числа
могут принимать следующие значения:
главное n=1, 2, 3, ...
орбитальное l=0, 1, 2, ..., n-1
магнитное ml =0, ±1, ..., ±l
магнитное спиновое ms = ±l/2.
Согласно классической теории, электроны в основном (невозбужденном)
состоянии атома должны занимать самый нижний, т.е. основной,
энергетический уровень. Однако, как оказалось впоследствии, заполнение
52
электронных оболочек атома подчиняется принципу, сформулированному
Паули на основе обобщения опытных данных.
Принцип Паули в простейшей формулировке: в одном и том же атоме не
может быть более одного электрона с одинаковым набором четырех
квантовых чисел n, l, ml и ms, т.е. Z (n, l, ml , ms ) = 0 или 1,
где Z (n, l, ml, ms) — число электронов, находящихся в квантовом
состоянии, описываемом набором четырех квантовых чисел: n, l, ml , ms.
Таким образом, принцип Паули утверждает, что два электрона, связанные в
одном и том же атоме, различаются значениями по крайней мере одного
квантового числа.
Согласно формуле (2.17),
данному n соответствует n2 различных
состояний, отличающихся значениями l и ml. Квантовое число ms, может
принимать лишь два значения (±l/2). Поэтому Z (n) — максимальное число
электронов, находящихся в состояниях, определяемых данным главным
квантовым числом n,— равно 2n2, так как
n −1
Z ( n) = ∑ 2( 2l + 1) = 2n 2 .
l =0
Совокупность электронов в многоэлектронном атоме, имеющих одно и то
же главное квантовое число n, называют электронной оболочкой. В каждой
из оболочек электроны подразделяются по подоболочкам, соответствующим
данному значению l. Поскольку орбитальное квантовое число принимает
значения от 0 до n-1, число подоболочек равно порядковому номеру n оболочки. Количество электронов в подоболочке определяется магнитным и
магнитным спиновым квантовыми числами: максимальное число электронов
в подоболочке с данным l равно 2 (2l+1). Обозначения оболочек, а также
распределение электронов по оболочкам и подоболочкам представлены в
табл. 1.
Квантово-механическая формулировка принципа Паули определяется
тождественностью частиц. В самом деле, если тождественные частицы
имеют одинаковые квантовые числа, то их волновая функция симметрична
относительно перестановки частиц. Для фермионов (а именно ими являются
электроны) волновая функция должна быть антисимметричной, поэтому два
одинаковых фермиона, входящих в одну и ту же систему, не могут
находиться в одинаковых состояниях. Отсюда и вытекает, что системы
фермионов встречаются в природе только в состояниях, описываемых
антисимметричными волновыми функциями (квантово-механическая
формулировка принципа Паули).
Так как принцип Паули лежит в основе систематики заполнения
электронных состояний в атомах, то он позволяет объяснить периодическую
систему элементов Д. И. Менделеева (1869) — фундаментальный закон
53
природы — основу современной химии, атомной и ядерной физики.
Учитывая, как это делается в современной теории, что порядковый номер Z
химического элемента равен общему числу электронов в атоме данного
элемента, каждый последующий элемент можно «образовать» из предыдущего прибавлением к ядру одного протона (соответственно прибавлением
одного электрона в электронной оболочке атома),
Таблица 1
Символ
Число электронов в
Максимальное
оболочки
подоболочке
число электронов
в оболочке
l=0 l =1 l=2 l=3 l=4
S
p
D
f
g
K
2
2
L
2
6
8
M
2
6
10
18
N
2
6
10
14
32
O
2
6
10
14
18
50
Период
I
II
Ш
Z
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
14
15
16
17
Элемент
Н
Не
Li
Be
В
С
N
0
F
Ne
Na
Mn
Al
Si
P
S
Cl
К
1s
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
L
Таблица 2
N
M
2s
2p
3s
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
3
4
5
6
6
6
6
6
6
6
6
1
2
2
2
2
2
2
Зр
1
2
3
4
5
54
3d
4s
4p
4d
4f
Период
Ш
IV
Z
Элемент
К
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
К
Са
Sc
Ti
V
Cr
Mn
Fe
Co
Ni
1s
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
29
30
31
32
33
34
35
36
Cu
Zn
Ga
Ge
As
Se
Br
Kr
2
2
2
2
2
2
2
2
M
L
N
2s
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2p
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
3s
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Зр
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
3d
1
2
3
5
5
6
7
8
4s
1
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
6
6
6
6
6
6
6
6
2
2
2
2
2
2
2
2
6
6
6
6
6
6
6
6
10
10
10
10
10
10
10
10
1
2
2
2
2
2
2
2
4p
4d
4f
1
2
3
4
5
6
с возрастанием числа электронов каждый следующий электрон занимает
возможное энергетическое состояние с наименьшей энергией, заполнение
электронами энергетических состояний происходит в соответствии с
принципом Паули. Совершим «небольшую экскурсию» по периодической
системе, рассмотрев элемент за элементом.
Единственный электрон атома водорода находится в состоянии 1s,
характеризуемом квантовыми числами n=1, l=0, ml=0 и ms = ±1/2 (ориентация
его спина произвольна). Оба электрона атома Не находятся в состоянии 1s, но
с антипараллельной ориентацией спина. Электронная конфигурация для
атома Не записывается как 1s2 (два 1s-электрона). На атоме Не заканчивается
заполнение K-оболочки, что соответствует завершению I периода
периодической системы элементов Менделеева (табл. 2).
Третий электрон атома Li (Z=3), согласно принципу Паули, уже не может
разместиться в целиком заполненной K-оболочке и занимает наинизшее
энергетическое состояние с n = 2 (L-оболочка), т. е. 2s-состояние.
55
Электронная конфигурация для атома Li 1s22s. Атомом Li начинается II
период периодической системы элементов. Четвертым электроном Be (Z=4)
заканчивается заполнение подоболочки 1s. У следующих шести элементов от
В (Z = 5) до Ne (Z = 10) идет заполнение подоболочки 2р (табл. 2). II период
периодической системы заканчивается неоном — инертным газом, для
которого подоболочка 2р целиком заполнена.
Одиннадцатый электрон Na (Z = 11) размещается в M-оболочке (n=3),
занимая наинизшее состояние 3s. Электронная конфигурация имеет вид
1s22s22p63s. 3s-электрон (как и 2s-электрон Li) является валентным
электроном, поэтому оптические свойства Na подобны свойствам Li. С Z=12
идет последовательное заполнение М-оболочки. Аг (Z=18) оказывается
подобным Не и Ne: в его наружной оболочке все s- и p-состояния заполнены.
Аr является химически инертным и завершает III период периодической
системы.
Девятнадцатый электрон К (Z= 19) должен был бы занять 3d-состояние в
M-оболочке. Однако и в оптическом, и в химическом отношениях атом К
схож с атомами Li и Na, которые имеют внешний валентный электрон в
s-состоянии. Поэтому 19-й валентный электрон К должен также находиться в
s-состоянии, но это может быть только s-состояниe новой оболочки
(N-оболочки), т. е. заполнение N-оболочки для К начинается при незаполненной М-оболочке. Это означает, что в результате взаимодействия
электронов состояние n = 4, l = 0 имеет меньшую энергию, чем состояние n =
3, l = 2. Спектроскопические и химические свойства Са (Z=20) показывают,
что его 20-й электрон также находится в 4s-состоянии N-оболочки. В
последующих элементах происходит заполнение М-оболочки [от Sc (Z=21)
до Zn (Z=30)]. Далее N-оболочка заполняется до Кr (Z=36), у которого опятьтаки, как и в случае Ne и Аr, s- и p-состояния наружной оболочки заполнены
целиком. Криптоном заканчивается IV период периодической системы.
Подобные рассуждения применимы и к остальным элементам таблицы
Менделеева, однако эти данные можно найти в справочниках. Отметим
лишь, что и начальные элементы последующих периодов (Rb, Cs, Fr)
являются щелочными металлами, а их последний электрон находится в sсостоянии. Кроме того, атомы инертных газов (Не, Ne, Аr, Кr, Хе, Rn)
занимают в таблице особое положение — в каждом из них s- и p-состояния
наружной оболочки целиком заполнены, и ими завершаются очередные
периоды периодической системы.
Каждую из двух групп элементов — лантаниды [от лантана (Z = 57) до
лютеция (Z = 71)] и актиниды [от актиния (Z = 89) до лоуренсия (Z = 103)] —
приходится помещать в одну клетку таблицы, так как химические свойства
элементов в пределах этих групп очень близки. Это объясняется тем, что для
лантанидов заполнение подоболочки 4f, которая может содержать 14 элект
56
ронов, начинается лишь после того, как полностью заполнятся подоболочки
5s, 5p и 6s. Поэтому для этих элементов внешняя Р-оболочка (6s2)
оказывается одинаковой. Аналогично, одинаковой для актинидов является
Q-оболочка (7s2).
Таким образом, открытая Менделеевым периодичность в химических
свойствах элементов объясняется повторяемостью в структуре внешних
оболочек у атомов родственных элементов. Так, инертные газы имеют
одинаковые внешние оболочки из 8 электронов (заполненные s- и
p-состояния); во внешней оболочке щелочных металлов (Li, Na, К, Rb, Cs, Fr)
имеется лишь один s-электрон; во внешней оболочке щелочно-земельных
металлов (Be, Mg, Ca, Sr, Ba, Ra) имеется два s-электрона; галоиды (F, C1, Вr,
I, At) имеют внешние оболочки, в которых недостает одного электрона до
оболочки инертного газа, и т. д.
3.7. Рентгеновские спектры
Рентгеновские спектры — спектры испускания и поглощения
рентгеновского излучения (электромагнитного излучения с длиной волны в
пределах от 10-12 до 10-9 м). Самым распространенным источником
рентгеновского излучения является рентгеновская трубка. Спектр излучения
рентгеновской трубки представляет собой наложение тормозного и
характеристического рентгеновских спектров.
При торможении бомбардирующих анод рентгеновской трубки
электронов, энергия которых не превышает определенной характерной для
вещества анода величины, возникает сплошной рентгеновский спектр, не
зависящий от материала анода, а определяемый только энергией
бомбардирующих анод электронов и называемый тормозным спектром.
Типичное распределение энергии в сплошном рентгеновском спектре
представлено на рис. 3.4 (разные спектры соответствуют различным
напряжениям на электродах трубки). Отметим, что существование сплошного рентгеновского спектра не противоречит классической теории
излучения, так как при торможении движущихся зарядов должно
действительно возникать излучение со сплошным спектром.
Рис. 3.4
Рис. 3.5
Экспериментальное исследование тормозного спектра показало:
1) существование максимума интенсивности, смещающегося с повышением
57
напряжения в сторону коротких волн; 2) существование минимальной длины
волны λmin — границы сплошного спектра, не зависящей от вещества анода,
а определяемой только кинетической энергией электронов, вызывающих
тормозное рентгеновское излучение (чем больше энергия, тем меньше λmin).
Существование коротковолновой границы сплошного спектра не
согласуется с выводами классической электродинамики, но вытекает из
квантовых представлений: энергия рентгеновских фотонов hv, возникающих
при торможении электронов, не может превышать кинетическую энергию eU
этих электронов, т. е.
hv = eU.
Следовательно, частота излучения не может быть больше vmax=eU/h, а
длина волны — меньше значения
λ min =
c
v max
=
ch
,
eU
что полностью соответствует экспериментальным данным (рис. 3.4). Так как
λmin может быть точно определена (резкая граница), то по рентгеновскому
спектру можно вычислить постоянную Планка h (это один из наиболее
точных методов ее определения).
Когда энергия бомбардирующих анод электронов оказывается
достаточной для выбивания электронов с внутренних оболочек атомов
вещества, то на фоне сплошного спектра появляются отдельные резкие линии
(рис. 3.5) — линейчатый спектр, определяемый материалом анода и
называемый поэтому характеристическим рентгеновским спектром
(излучением).
Возбуждение характеристических рентгеновских спектров обязано
процессам, происходящим во внутренних, застроенных оболочках атомов,
имеющих сходное строение. Схема их возникновения представлена на рис.
3.6. Пусть под влиянием внешнего электрона или высокоэнергетического
фотона вырывается один из внутренних К-электронов металла анода. Тогда
на его место может перейти электрон с более удаленных от ядра оболочек L,
М, N, .... Такие переходы сопровождаются испусканием рентгеновских
квантов и возникновением спектральных линий К-серии: Кα (L→K), Кβ
(М→К), Кγ (N→K) и т. д. Самой длинноволновой линией К-серии является
линия Кα. Частоты линий возрастают в ряду Кα→ Кβ → Кγ, поскольку
энергия, высвобождаемая при переходе электрона на К-оболочку с более
удаленных оболочек, увеличивается. Наоборот, интенсивности линий в ряду
Кα→ Кβ → Кγ убывают, так как вероятность переходов электронов с Lоболочки на К-оболочку больше, чем с более удаленных оболочек М и N.
58
Рис. 3.6
К-серия сопровождается обязательно другими сериями, так как при
испускании ее линий появляются вакансии в оболочках L, М, ..., которые
будут заполняться электронами, находящимися на более высоких уровнях.
Возникновение дальнейших серий L, М, ... объясняется аналогичным
образом; впрочем, они наблюдаются только для тяжелых элементов.
Отметим, что линии характеристического рентгеновского излучения могут
иметь тонкую структуру, т. е. энергетические уровни (а они, как известно,
определяются главным квантовым числом) расщепляются согласно
значениям орбитального и магнитного квантовых чисел.
Частоты v линий характеристического рентгеновского излучения
подчиняются закону Мозли
1 ⎞
⎛ 1
− 2 ⎟,
2
n ⎠
⎝m
ν = R( Z − σ ) 2 ⎜
(3.20)
который, как следует из записи, подобен обобщенной формуле Бальмера
(см. 2.1). В формуле (3.20) R — постоянная Ридберга, Z — порядковый номер
в периодической системе элементов, σ — постоянная экранирования, в
пределах каждой серии одинаковая для всех элементов (например, для
К-серии (σ = 1, L-серии σ = 7,5 и т. д.), m = 1, 2, 3, ... (определяет рентгеновскую серию), n = m+1, m+2,... (определяет линию соответствующей
серии). Смысл постоянной экранирования заключается в том, что на
электрон, совершающий переход, действует не весь заряд ядра Ze, а заряд
(Z—σ)e, ослабленный экранирующим действием других электронов.
Закон Мозли записывают также в виде
ν = a ( Z − σ ),
59
(3.21)
где а — постоянная, имеющая определенное значение для каждой линии. Из
формулы (3.20) следует, что корень квадратный из частоты есть линейная
функция атомного номера Z. На рис. 3.7 представлены кривые, на которых
укладываются частоты линий Kα и Lα различных элементов, откуда следует,
что закон Мозли точно выполняется. Кроме того, в каждой серии при
переходе от Z к Z+1 значение ν возрастает на одну и ту же величину, т. е.
элементы можно расположить в ряд в соответствии с возрастанием Z.
Поэтому закон Мозли сыграл важную роль при подтверждении правильности
размещения элементов в периодической системе.
Рис. 3.7
Рис. 3.8
Рентгеновские спектры поглощения отличаются от рентгеновских
спектров излучения: они состоят из нескольких полос с резким
длинноволновым краем (рис. 3.8). В результате поглощения рентгеновского
фотона атомом может произойти вырывание электрона с одной из
внутренних оболочек атома (процесс фотоионизации), причем каждая из
полос поглощения соответствует вырыванию электрона из определенной
оболочки атома (K-полоса соответствует выбиванию электрона из самой
внутренней оболочки и т.д.). Резкий длинноволновый край полос
соответствует началу процесса фотоионизации. Из рисунка также следует,
что полосы поглощения обладают тонкой структурой: в K-полосе — один
максимум, в L-полосе — 3 максимума, в M-полосе — 5 максимумов.
Отметим, что структура рентгеновских спектров поглощения тяжелых
атомов аналогична, что говорит об идентичности строения внутренних
оболочек атомов тяжелых элементов.
3.8. Молекулы, энергия и спектры
Практический интерес представляют не отдельные атомы, а их
устойчивые соединения, образующие молекулы или твердые тела. Молекула
— это наименьшая частица вещества, состоящая из одинаковых или
различных атомов, соединенных химическими связями, и являющаяся
носителем
его
основных
химических
и
физических
свойств.
Преимущественно можно говорить о двух типах химической связи: ионной
(гетерополярной) и ковалентной (гомеополярной). Ионная связь
60
осуществляется благодаря кулоновскому притяжению между разноименно
заряженными ионами (например, молекулы NaCl, КВr), а ковалентная — в
результате обменного взаимодействия, носящего чисто квантовый характер и
не имеющего аналога в классической физике (например, молекулы H2СО).
Число атомов, составляющих молекулы, может быть от двух —
двухатомные молекулы (Н2, СО, КС1) — до сотен и тысяч — многоатомные
молекулы (белки, ...). Простейшая молекула с ковалентной связью —
молекула водорода — состоит из двух протонов (ядер атома водорода) и двух
электронов. Ковалентная связь объясняется принципом неразличимости
тождественных частиц. Между двумя электронами (а они являются
тождественными частицами) наблюдается обменное взаимодействие,
возникающее как бы за счет обмена валентными электронами между двумя
атомами. При сближении двух водородных атомов до расстояний порядка
боровского радиуса (при обязательном условии антипараллельности спинов
валентных электронов) возникает их взаимное притяжение и образуется
устойчивая молекула водорода.
Состояние молекулы как квантовой системы описывается уравнением
Шредингера, учитывающим взаимодействие электронов с ядрами,
электронов – друг с другом, а также кинетическую энергию электронов и
ядер. Для приближенного решения этой задачи (довольно сложной)
используют адиабатное приближение, согласно которому квантовомеханическая система разделяется на тяжелые и легкие частицы — ядра и
электроны. Так как массы и скорости этих частиц сильно различаются, то
считается, что движение электронов происходит в поле неподвижных ядер, а
медленно движущиеся ядра находятся в усредненном поле электронов.
Следовательно, в адиабатном приближении уравнение Шредингера для
молекулы распадается на два уравнения — для электронов и ядер.
Из решения уравнения Шредингера для молекулы водорода при
указанных выше предположениях (это сделано в 1927 г. Гайтлером и
Лондоном) получается зависимость собственных значений энергии от
расстояния R между ядрами, т. е. Е=Е (R). Полная энергия молекулы без
учета энергии поступательного движения (она не квантуется, поэтому ее
изменения не приводят к возникновению дискретного спектра) и энергии
ядер (она обусловливает только сверхтонкую структуру спектральных линий)
Е = Еэл + Екол + Евр ,
(3.22)
где Еэл — энергия, обусловленная движением электронов относительно
ядер, Екол— энергия, обусловленная колебанием ядер (учитывает
периодически изменяющееся относительное положение ядер), Евр— энергия,
обусловленная вращением ядер (учитывает периодически изменяющуюся
ориентацию молекулы в пространстве).
Каждая из входящих в выражение (3.22) энергий квантуется (ей
соответствует набор дискретных уровней энергии) и определяется
61
квантовыми числами. Отношения
Е эл : Е кол : Е вр = 1 : m / M : m / M ,
(3.23)
где m — масса электрона, М имеет порядок массы ядер;
m/М ≈ 10–5 ч10–3, поэтому Еэл » Екол » Евр. Различие в энергии между
основным и первым возбужденным состояниями составляет 1—10 эВ для
«электронных» энергий, 10–2 – 10–1 эВ для «колебательных» энергий и
примерно 10–5 – 10–3 эВ для «вращательных» энергий.
На рис. 4.9 приведена зависимость полной энергии двухатомной
молекулы от расстояния R между атомами. В области R> R0 преобладает
притяжение, в области R<R0 — отталкивание. При R = R0 притяжение и отталкивание уравновешиваются и «электронная» энергия имеет минимум, т. е.
R0 соответствует равновесному расстоянию между атомами в основном
состоянии молекулы (кривая 1). Кривая 2 определяет электронную энергию
возбужденного электронного состояния (электронных состояний может быть
не одно, а больше). Приближенная квантовая модель молекулы — это
совокупность далеко отстоящих друг от друга электронных уровней
(различные Еэл при Екол = Евр = 0), довольно близко расположенных друг к
другу колебательных уровней (заданное Еэл при различных Екол и Евр = 0) и
еще более близких друг к другу вращательных уровней (заданные Еэл и Екол
при различных Евр).
Рис. 3.9
Молекулярные спектры — спектры излучения (поглощения),
возникающие при квантовых переходах между уровнями энергии молекул.
Спектр излучения (поглощения) молекулы определяется: 1) структурой ее
энергетических уровней; 2) правилами отбора (например, изменение
квантовых чисел, отвечающих как колебательному, так и вращательному
движению, равно ± 1).
62
Спектр молекул довольно сложный. Различают электронные спектры
(соответствуют переходам с одного электронного уровня на другой),
колебательные спектры (соответствуют переходам с одного колебательного
уровня на другой), вращательные спектры (соответствуют переходам с
одного вращательного уровня на другой); кроме того, возможны еще
электронно-колебательные и колебательно-вращательные спектры.
Итак, при разных типах переходов между уровнями (при обязательном
соблюдении правил отбора) возникают различные типы молекулярных
спектров. Молекулярные спектры за их характерный вид называют
полосатыми. Это совокупность более или менее узких полос в
ультрафиолетовой, видимой и инфракрасной областях. Полосы имеют
различную интенсивность в зависимости от относительных вероятностей
переходов. С помощью спектральных приборов высокой разрешающей
способности обнаружено, что полосы представляют собой тесно
расположенные (с трудом различимые) линии. Структура молекулярных
спектров для разных молекул различна; с увеличением числа атомов в
молекуле она усложняется (наблюдаются только сплошные широкие
полосы). Молекулярные спектры позволяют изучать строение и свойства
молекул, проводить молекулярный спектральный анализ и т. д.
3.9. Вынужденное излучение. Элементы физики лазеров
При взаимодействии излучения с веществом возможны три типа
переходов атомов из одного энергетического состояния в другое (рис. 3.10;
для простоты рассматриваются только два энергетических состояния:
основное с энергией Е1 и возбужденное с энергией Е2):
Рис. 3.10
1. Атом, находясь в основном состоянии, может осуществить
вынужденный переход в возбужденное состояние путем поглощения
фотона, когда (и только когда) энергия фотона совпадает с разностью
энергий между возбужденным и основным уровнями (hv= Е2—E1). Подобные
переходы приводят к поглощению излучения (рис. 3.10, а).
2. Атом, находясь в возбужденном состоянии, может осуществить
63
спонтанные переходы в основное состояние без каких-либо внешних
воздействий, испуская при этом фотон с энергией hv=Е2—E1 (рис. 3.10, б).
Излучение, сопровождающее спонтанный переход, называют спонтанным
(или самопроизвольным). Так как спонтанные акты излучения взаимно не
связаны между собой, то спонтанное излучение некогерентно.
3. Атом, находясь в возбужденном состоянии, может осуществить
вынужденный (индуцированный) переход в основное состояние под
действием внешнего излучения с частотой, удовлетворяющей условию
hv=Е2—E1, с излучением фотона той же энергии hv=Е2—E1 (рис. 3.10, в).
При данном переходе происходит излучение атомом фотона дополнительно к
тому фотону, под действием которого произошел переход. Излучение,
сопровождающее такие переходы, называют вынужденным (индуцированным).
Важнейшим свойством вынужденного излучения, как показал Эйнштейн,
является то, что вторичный фотон, испускаемый атомом, неотличим от
первичного фотона, стимулирующего переход. Следовательно, вынужденное
излучение (вторичные фотоны) тождественно вынуждающему излучению
(первичным фотонам): оно имеет такую же частоту, фазу, поляризацию и
направление распространения, как и вынуждающее излучение. Отсюда
следует, что вынужденное излучение строго когерентно с вынуждающим
излучением.
Оба фотона (вторичный и первичный), двигаясь в направлении
первичного фотона и встречая на своем пути другие возбужденные атомы,
стимулируют дальнейшие индуцированные переходы, в результате чего
должна возникнуть лавина фотонов. Однако наряду с вынужденным
излучением идет и конкурирующий процесс — поглощение. Для усиления
вынужденного излучения необходимо, чтобы число актов индуцированного
излучения фотонов (оно пропорционально заселенности возбужденных
состояний) превышало число актов поглощения фотонов (оно
пропорционально заселенности основных состояний). В системе атомов,
находящейся в термодинамическом равновесии, поглощение преобладает над
излучением и падающее излучение при прохождении через вещество
ослабляется.
Чтобы среда усиливала падающее на нее излучение, необходимо создать
неравновесное состояние системы атомов, так как только в данном случае
число атомов в возбужденном состоянии может быть больше, чем их число в
основном состоянии (иными словами, нужно обратить заселенность
энергетических уровней). Такие состояния называют состояниями с
инверсией заселенностей (инверсными состояниями). Для создания инверсии
заселенностей необходимо внешнее воздействие, т. е. надо затратить
энергию, которая расходовалась бы на преодоление процессов,
64
восстанавливающих равновесное распределение системы. Процесс перевода
системы в инверсное состояние называют накачкой. Накачку осуществляют
оптическими, электрическими и другими способами.
В среде с инверсией заселенностей вынужденное излучение может
превышать поглощение света атомами и падающий пучок света при
прохождении через вещество будет усиливаться. Среда с инверсной
заселенностью уровней является активной. Таким образом, если через
активную среду проходит электромагнитная волна, то по мере ее
распространения в среде интенсивность волны будет возрастать за счет актов
вынужденного излучения. Впервые на возможность получения активных
сред за счет вынужденного излучения указал в 1939 г. В. А. Фабрикант.
Для излучения, распространяющегося в активной среде в направлении х,
поглощение света подчиняется закону Бугера— Ламберта—Фабриканта:
I = I 0e
α x
,
где I0—интенсивность света, входящего в среду (при x=0);
I — интенсивность света, прошедшего слой толщиной х; |α| —
положительный коэффициент, соответствующий усилению света при
прохождении его через вещество. Активные среды поэтому можно
рассматривать в качестве сред с отрицательным коэффициентом
поглощения.
Для практического получения когерентного излучения в результате
вынужденного испускания необходимо: 1) наличие инверсии заселенностей
(число атомов в более высоком состоянии должно превышать число атомов в
более низком состоянии), в результате чего излучение фотонов будет
преобладать над поглощением; 2) наличие метастабильного состояния —
возбужденного энергетического состояния атомной системы, в котором она
может существовать длительное время, в результате чего переход в более
низкое состояние происходит благодаря вынужденному, а не спонтанному
излучению.
Эти два условия реализуются в принципиально новых источниках
излучения — оптических квантовых генераторах, или лазерах (от первых
букв английского названия Light Amplification by Stimulated Emission of
Radiation — усиление света с помощью вынужденного излучения). Лазеры
генерируют в оптическом диапазоне (ближняя ультрафиолетовая, видимая и
инфракрасная области). Появление лазеров обязано классическим работам
русских физиков А. М. Прохорова и Н. Г. Басова, а также американского
ученого Ч. Таунса.
Важнейшими из существующих типов лазеров являются твердотельные,
газовые, полупроводниковые и жидкостные (в основу такого деления
положен тип активной среды). Более точная классификация учитывает также
65
и
методы
накачки
—
оптические,
тепловые,
химические,
электроионизационные и др. Кроме того, необходимо принимать во
внимание и режим генерации — непрерывный или импульсный.
Лазер обязательно имеет три основных компонента: 1) активную среду, в
которой создаются состояния с инверсией заселенностей; 2) систему накачки
(устройство для создания инверсии в активной среде); 3) оптический
резонатор (устройство, выделяющее в пространстве избирательное
направление пучка фотонов и формирующее выходящий световой пучок).
Рассмотрим принцип действия первого твердотельного лазера (Т.
Мейман, 1960). В качестве активной среды используется кристалл рубина
(оксид алюминия Аl2О3), а инверсная заселенность осуществляется по
трехуровневой схеме (Н. Г. Басов и А. М. Прохоров, 1955). В
кристаллической решетке оксида алюминия часть атомов А1 заменена
ионами Сr3+, которые и участвуют в генерации лазерного излучения (на рис.
3.12 приведена схема энергетических уровней иона Сr3+).
При интенсивном облучении рубина светом мощной импульсной лампы
атомы хрома переходят с нижнего уровня 1 на уровни широкой полосы 3
(рис. 3.11). Этот процесс называют оптической накачкой. Из состояния 3
атомы либо возвращаются в состояние 1 (спонтанные переходы 3>1; они
незначительны), либо переходят в метастабильное состояние 2
(безызлучательные переходы 3>2). При безызлучательном переходе 3>2
избыток энергии передается непосредственно кристаллической решетке, в
результате чего кристалл рубина нагревается. Переход 2>1 запрещен
правилами отбора, поэтому время жизни метастабильного состояния 10–3с
(для обычных состояний оно ~10–8 – 10–7 с).
Рис. 3.11
При мощной накачке в состоянии 2 может оказаться больше атомов, чем в
состоянии 1, т. е. создается инверсная заселенность уровней, необходимая
для генерации лазерного излучения. Каждый фотон, случайно родившийся
при спонтанных переходах 2>1, может инициировать множество
вынужденных переходов 2>1, в результате чего зарождается лазерная
генерация (лазерное излучение на длине волны 0,6943 мкм). Так как
спонтанные переходы носят случайный характер, то спонтанно рождающиеся
66
фотоны испускаются в разных направлениях. Поэтому в разных
направлениях
распространяются
и лавины
вторичных
фотонов.
Следовательно, излучение, состоящее из подобных лавин, не может обладать
высокими когерентными свойствами.
Для выделения направления лазерной генерации используется
принципиально важный элемент лазера — оптический резонатор. В
простейшем случае им служит пара обращенных друг к другу параллельных
зеркал на общей оптической оси, между которыми помещается активная
среда (кристалл или кювета с газом). Как правило, зеркала изготовляются
так, что от одного из них излучение полностью отражается, а второе —
полупрозрачно. Фотоны, движущиеся под углами к оси кристалла или
кюветы, выходят из активной среды через ее боковую поверхность. Те же из
фотонов, которые движутся вдоль оси, многократно отразятся от
противоположных торцов, каждый раз вызывая вынужденное испускание
вторичных фотонов, которые, в свою очередь, вызовут вынужденное
излучение, и т. д. Так как фотоны, возникшие при вынужденном излучении,
движутся в том же направлении, что и первичные, то поток фотонов,
параллельный оси кристалла или кюветы, лавинообразно нарастает.
Рис. 3.12
Многократно усиленный поток фотонов выходит через полупрозрачное
зеркало, создавая строго направленный световой пучок огромной яркости.
Таким образом, оптический резонатор выделяет направление (вдоль оси)
усиливаемого фотонного потока, формируя лазерное излучение с высокими
когерентными свойствами.
Первый газовый лазер (лазер с газообразной активной средой)
непрерывного действия (Джаван А., 1961) — лазер на смеси гелия (~ 15%) и
неона (~85%). В He-Ne-лазере инверсия заселенностсй уровней
осуществляется электрическим разрядом в газе. В процессе разряда часть
атомов гелия возбуждается и переходит в возбужденное состояние 3
(рис. 3.12). При столкновениях возбужденных атомов Не с атомами Ne
происходит возбуждение последних и они переходят на один из верхних
уровней Ne, близко расположенных к соответствующему уровню Не.
Переход атомов неона на один из нижних уровней 2 приводит к лазерному
излучению с λ =0,6328 мкм.
67
Свойства лазерного излучения:
1) временная и пространственная когерентность (из-за пространственной когерентности излучение может быть сфокусировано в объеме
~λ3);
2) строгая монохроматичность (∆λ < 10 – 11 м);
3) большая плотность потока энергии;
4) очень малое угловое расхождение в пучке.
К.п.д. для большинства лазеров составляет от 0,1 до 1%, хотя, например,
к.п.д. СО2-лазера непрерывного действия, генерирующего в инфракрасной
области, ~30%, лазера на стекле с неодимом ~75%.
Применение лазеров ввиду уникальности их свойств многообразно: в
измерительной технике, волоконной оптике, голографии, лазерном
термоядерном синтезе; технологических процессах (сварка, резка, плавка
металлов), медицине и т. д. С появлением лазеров, кроме того, связано
рождение новой области физики — нелинейной оптики, изучающей
распространение мощных световых пучков в твердых телах, жидкостях и
газах и их взаимодействие с веществом.
68
1.
AТOМ ВОДОРОДА
2.1. Спектральные серии атома водорода
Атом — это наименьшая часть химического элемента, являющаяся
носителем его свойств. Атом состоит из тяжелого ядра, обладающего
положительным зарядом, и окружающих его легких частиц — электронов,
обладающих отрицательным зарядом. Атом — нейтральное образование,
поэтому заряд ядра равен суммарному заряду электронов.
Спектры излучения атомов — важнейшие характеристики их оптических
свойств — состоят из отдельных спектральных линий или групп близко
расположенных линий; их называют линейчатыми спектрами. Каждому
элементу присущ свой, характерный только для него спектр излучения,
служащий своего рода «отпечатком пальцев», позволяющим определить
элемент, которому он принадлежит. Вид линейчатого спектра не зависит от
способа возбуждения атома.
Наиболее изученным спектром излучения является спектр излучения
атома водорода — простейшего атома, состоящего из массивного ядра
(протона) и электрона, движущегося в кулоновском поле ядра.
Из экспериментальных данных установлено, что спектр излучения атома
водорода состоит из серий линий, частоты которых описываются
следующими формулами:
в ультрафиолетовой области спектра:
⎛1 1 ⎞
v = R⎜ 2 − 2 ⎟ [n= 2, 3, 4, …(серия Лаймана)];
⎝1 n ⎠
в видимой области спектра:
1 ⎞
⎛ 1
v = R⎜ 2 − 2 ⎟ [n =3, 4, 5, …(серия Бальмера)];
n ⎠
⎝2
в инфракрасной области спектра:
⎛1 1 ⎞
v = R⎜ 2 − 2 ⎟ [n=4, 5, 6, …(серия Пашена)];
⎝3 n ⎠
1 ⎞
⎛ 1
v = R⎜ 2 − 2 ⎟ [n=5, 6, 7, …(серия Брэкета)];
⎝4 n ⎠
⎛1 1 ⎞
v = R⎜ 2 − 2 ⎟ [n=6, 7, 8, …(серия Пфунда)];
⎝5 n ⎠
1 ⎞
⎛ 1
v = R⎜ 2 − 2 ⎟ [n=7, 8, 9, …(серия Хэмфри)],
n ⎠
⎝6
22
где R= 3,2808419499(39) • 1015 Гц — постоянная Ридберга.
Все приведенные выше серии в спектре атома водорода могут быть
описаны обобщенной формулой Бальмера
1 ⎞
⎛ 1
v = R⎜ 2 − 2 ⎟ ,
n ⎠
⎝m
(2.1)
где т имеет в каждой данной серии постоянное значение, т= 1, 2, 3, 4, 5,
6 (определяет серию), п принимает целочисленные значения начиная с числа
т+1 (определяет отдельные линии данной серии).
Обобщенная формула Бальмера (2.1) может быть переписана в виде
1 ⎞
⎛ 1
= R′⎜ 2 − 2 ⎟,
n ⎠
λ
⎝m
1
(2.2)
где 1/λ — волновое число, R’ = R/с = 1,097373534(13) • 108 м-1 также
постоянная Ридберга. Спектральную линию с наибольшей длиной волны из
всех линий данной серии называют головной линией серии. Линия,
соответствующая n=∞, — коротковолновая граница, к ней примыкает
непрерывный спектр.
Ридберг, исследуя линейчатые спектры атомов, пришел к выводу, что
частоты всех линий данной серии удовлетворяют соотношению
ν=T(m)-T(n),
(2.3)
где т — фиксированное число, определяющее серию [например, для
серии Лаймана т=1, а п «пробегает» все целые значения, большие этого
фиксированного целого числа (n=2, 3, 4, ...) для серии Лаймана]. T(m) и Т(n)
— спектральные термы. Из сопоставления серий атома водорода следует,
что спектральные термы соответственно равны
T(m)=R/m2 и T(n)=R/n2,
(2.4)
где выбор m и n определен выше.
В 1908 г. В. Ритц сформулировал комбинационный принцип, согласно
которому все линии в спектре излучения атома могут быть представлены
как комбинации спектральных термов типа (2.3).
Применяя комбинационный принцип, можно отметить, что разность
частот (волновых чисел) двух спектральных линий какой-то определенной
серии атома даст частоту (волновое число) спектральной линии другой серии
того же атома. Например, рассмотрим две спектральные линии серии Пашена
(т=3):ν35=Т(3)-Т(5) и ν34=Т(3)-Т(4). Вычитая из первого равенства второе,
получаем, что ν=ν35-ν34=Т(4)-Т(5). Используя выражение (2.4) для термов,
1⎞
⎛1
− 2 ⎟ , a это есть головная линия серии
2
5 ⎠
⎝4
можем записать, что v = R⎜
Брэкета. Однако не всякая комбинация термов отвечает фактически
существующей линии в спектре, так как комбинации термов подчиняются
23
правилам отбора.
2.2. Элементарная боровская теория атома водорода
В начале XX в. среди других моделей атома выделялась предложенная в
1911 г. Резерфордом ядерная (планетарная) модель атома, явившаяся важным
шагом на пути к современным представлениям о строении атома. Согласно
этой модели, вокруг положительного ядра с зарядом Ze (Z — порядковый
номер элемента в системе Менделеева, е — элементарный заряд) по круговой
(или эллиптической) орбите под действием сил электростатического
притяжения движутся электроны (подобно тому как планеты обращаются
вокруг Солнца под действием сил гравитационного притяжения). Заряд ядра
равен суммарному заряду электронов, поскольку атомы нейтральны.
Модель Резерфорда, однако, не может существовать в рамках
классической физики. По законам классической электродинамики
вращающийся вокруг ядра электрон должен непрерывно излучать
электромагнитные волны, а поэтому терять свою энергию. В результате
электроны будут приближаться к ядру и в конце концов упадут на него. Эти
выводы противоречат наблюдаемой стабильности атомов. Кроме того,
наблюдаемые на опыте оптические спектры атомов не непрерывны, а состоят
из узких спектральных линий, т.е. атомы излучают и поглощают
электромагнитные волны лишь определенных частот, характерных для
данного химического элемента.
Для разрешения указанных противоречий необходимы были новые
представления. Н. Бор (1913) раньше всех осознал, что планетарную модель
атома надо связать с делавшей тогда первые шаги квантовой теорией. Таким
образом, Бору принадлежит первая попытка создания квантовой теории
атома. Эта теория хотя и устарела, но, являясь достаточно простой, позволяет
наглядно интерпретировать многие явления, а поэтому используется и в
настоящее время, в частности при введении понятия стационарных
состояний.
В основу своей теории Бор положил два постулата.
Первый постулат Бора (постулат стационарных состояний): в атоме
существуют стационарные (не изменяющиеся со временем) состояния,
характеризующиеся определенными дискретными значениями энергии, в
которых он не излучает энергии. Стационарным состояниям атома
соответствуют стационарные орбиты, по которым движутся электроны.
Движение электронов по стационарным орбитам не сопровождается
излучением электромагнитных волн.
В стационарном состоянии атома электрон, двигаясь по круговой орбите,
должен иметь дискретные квантованные значения момента импульса,
удовлетворяющие условию
(2.5)
mevnrn=nћ (n=1, 2, 3, …),
24
где тe — масса электрона, vn — его скорость на n-й орбите радиуса rn;
ћ=h/(2π).
Второй постулат Бора (правило частот): при переходе атома из одного
стационарного состояния в другое излучается (поглощается) фотон с
энергией
(2.6)
hν=En-Em,
равной разности энергий соответствующих стационарных состояний (Еn и Еm
— соответственно энергии стационарных состояний атома до и после
излучения (поглощения)). При Еm<Еn происходит излучение фотона, при
Еm>Еn - его поглощение. Набор возможных дискретных частот v=(En-Em)/h
квантовых переходов и определяет линейчатый спектр атома.
Следуя Бору, рассмотрим движение электрона в атоме водорода,
ограничиваясь для простоты круговыми стационарными орбитами. На
основании второго закона Ньютона для электрона, движущегося по
окружности под действием кулоновской силы,
e2
4πε 0 rn2
=
me v n2
,
rn
(2.7)
где me и vn — масса и скорость электрона на орбите радиуса rn, ε0 —
электрическая постоянная. Решив это предложенное Резерфордом равенство
относительно rn, и подставив скорость vn, из условия квантования (2.5) [vn =
hћ/(mern)], получим выражение для радиуса n-й стационарной орбиты:
rn = n 2
h 2 4πε 0
(n=1, 2, 3, …).
me e 2
(2.8)
Выражение (2.8) задает радиусы разрешенных орбит в боровской модели
атома водорода. Ближайшей к ядру орбите соответствует n=1, поэтому
первый боровский радиус (а)
r1 = a =
h 2 4πε 0
= 52,8 пм
me e 2
(2.9)
и зависит лишь от фундаментальных постоянных. Из соотношения (2.8)
следует, что rn=n2r1, т. е. радиусы орбит для стационарных состояний
квантованы и равны соответственно r1, 4r1, 9r1, … .
Каждый из этих радиусов пропорционален квадрату целого числа n,
называемому квантовым числом.
25
Полная энергия электрона в атоме водорода складывается из его
⎡ mev 2 1 e 2 ⎤
=
⎢
⎥ (см. (2.5)) и потенциальной
2 4πε 0 r ⎦
⎣ 2
⎛
e2 ⎞
⎜
⎟⎟ :
энергии в электростатическом поле ядра ⎜ −
r
4
πε
0 ⎠
⎝
кинетической энергии
En = −
1 e2
.
2 4πε 0 r
Учитывая квантованные для радиусов стационарных орбит значения
(2.8), получаем
1 me e 4
En = − 2 2 2 (n = 1, 2, 3, …),
n 8h ε 0
(2.10)
где знак минус означает, что электрон находится в связанном состоянии. Из
выражения (2.8) следует, что энергия электрона в атоме водорода может
принимать только дискретные значения, т. е. энергия атома квантуется.
Подставив в (2.10) фундаментальные постоянные и выразив энергию в
электрон-вольтах, получим, что
(2.11)
En = -13,6/n2 эВ (п= 1, 2, 3, …),
т.е. энергетические состояния атома водорода образуют последовательность энергетических уровней, изменяющихся в зависимости от п.
Состояние с минимальной энергией, или основное состояние, соответствует
n=1, а его энергия E1 = -13,6 эВ. Состояния с п> 1 являются возбужденными.
Придавая п различные целочисленные значения, получаем для атома
водорода, согласно формуле (2.11), возможные уровни энергии
стационарных состояний электрона, схематически представленные на рис.
2.1 в виде горизонтальных прямых. С увеличением квантового числа п
энергетические уровни все больше и больше сближаются и при п→∞ Е→∞.
Таким образом, электрон в атоме водорода обладает минимальной
энергией ( Е1= -13,6 эВ) при п = 1 и максимальной (Е∞ = 0) при п = ∞.
Отметим, что выше уровня Е=0 электрон может иметь любую энергию,
так как в данном случае он является свободным (поэтому на рис. 2.1 выше
Е=0 представлен непрерывный спектр).
26
Рис. 2.1
Электронам, связанным в атоме, отвечает Е<0. Для удаления электрона
из атома, находящегося в основном состоянии, требуется затратить энергию,
называемую энергией ионизации Еi. Как следует из рис. 3.1, Еi=13,6 эВ. Для
удаления электрона из атома, находящегося в данном возбужденном
состоянии, надо затратить энергию, называемую энергией связи Есв данного
состояния. Так, например, энергия связи первого возбужденного состояния
(n = 2) равна 3,4 эВ (рис. 2.1). Кроме того, вводится понятие энергии
возбуждения Евозб — энергии, которую необходимо сообщить атому, чтобы
электрон из основного состояния перешел в возбужденное. Так, энергия
возбуждения для состояния, соответствующего n=2 (первое возбужденное
состояние), Евозб=-3,4 эВ -(-13,6 эВ) = 10,2 эВ; для n=3 (второе возбужденное
состояние) Евозб=-1,5 эВ-(-13,6 эВ)=12,1 эВ.
Согласно второму постулату Бора (2.6), при переходе атома водорода из
стационарного состояния п в стационарное состояние m с меньшей энергией
испускается фотон, энергия которого [с учетом (2.10)]
hv = En − Em = −
me e 4 ⎛ 1
1 ⎞
− 2 ⎟,
2 2 ⎜ 2
m ⎠
8h ε 0 ⎝ n
27
откуда частота излучения
me e 4 ⎛ 1
1 ⎞
1 ⎞
⎛ 1
− 2 ⎟ = R⎜ 2 − 2 ⎟,
3 2 ⎜
2
8h ε 0 ⎝ m n ⎠
⎝m n ⎠
4
3 2
где R = me e / (8h ε 0 ) — величина, совпадающая с постоянной
v=
Ридберга в эмпирических формулах для атома водорода.
На рис. 2.1 стрелками показаны переходы, приводящие к излучению
линий, принадлежащих различным сериям спектра излучения атома
водорода. Например, переход электронов с возбужденных уровней
(n=2, 3, 4, ...) на основной (n=1) приводит к серии Лаймана, переход с
возбужденных уровней (n=3,4,5, ...) на уровень m=2 — к серии Бальмера,
переход с возбужденных уровней (n = 4, 5, 6, ...) на уровень m=3 — к серии
Пашена и т. д.
Спектр поглощения атома водорода также является линейчатым, однако
при нормальных условиях он содержит только одну серию — серию
Лаймана. Это объясняется тем, что при относительно небольшой
температуре и давлении атомы водорода не возбуждены и поглощение будет
происходить только с первого энергетического уровня, при этом
наблюдаются лишь переходы из основного состояния в возбужденные, т. е.
возникает серия Лаймана.
Теория Бора, однако, обладает внутренними противоречиями: с одной
стороны, применяет законы классической физики, а с другой —
основывается на квантовых постулатах. Блестяще объяснив спектр и
предсказав правильные значения частот спектральных линий атома водорода,
она не смогла объяснить их интенсивности и ответить на вопрос, почему
совершаются те или иные переходы. Теория Бора не рассматривала вопросы
поляризации, когерентности и т. д. Попытка построить в рамках теории Бора
теорию атома гелия — одного из простейших атомов, непосредственно
следующего за атомом водорода,— также оказалась неудачной.
2.3. Опыты Франка и Герца
Экспериментальным подтверждением квантования энергетических
уровней атома, т. е. существования дискретных стационарных состояний,
явились опыты Франка и Герца. Примененная Франком и Герцем установка
схематически представлена на рис. 2.2. Вакуумная трубка, заполненная
парами ртути (p ≈ 13 Па), содержит катод К, две сетки С1 и С2 (сначала
применялась одна сетка; две сетки позволяют повысить разрешающую
способность прибора) и анод А. Электроны, эмиттируемые катодом,
ускоряются разностью потенциалов φ, приложенной между катодом и сеткой
С1. Между сеткой
28
Рис. 2.2
Рис. 2.3
С2 и анодом прикладывается небольшой (≈0,5 В) задерживающий
потенциал. Электроны, ускоренные в области 1, попадают в область 2 между
сетками, где испытывают соударения с атомами паров ртути. Электроны,
которые после соударения обладают достаточной энергией для преодоления
задерживающего потенциала в области 3, достигают анода.
На опыте исследовалась вольт-амперная характеристика (рис. 2.3).
Оказалось, что при увеличении ускоряющего потенциала вплоть до 4,86 В
сила анодного тока возрастает монотонно, проходит через максимум (4,86 В),
затем резко падает и возрастает вновь. Дальнейшие максимумы наблюдаются
при 2·4,86 и 3·4,86 В.
Для возможной интерпретации опытов заметим, что ближайшим к
основному, невозбужденному состоянию атома ртути является возбужденное
состояние, отстоящее от основного по шкале энергий на ∆Е=4,86 эВ .
Pис. 2.4
Энергия, необходимая, таким образом, для перехода электрона из
основного состояния в первое возбужденное (переход 1), равна 4,86 эВ.
Время жизни атома ртути в возбужденном состоянии τ≈10-8 с, поэтому электрон спустя время τ возвратится в основное состояние (переход 2), излучая
при этом фотон с энергией ∆Е=4,86 эВ и длиной волны λ=hс/∆Е=253,6 нм.
Поэтому если в атомах действительно существуют стационарные состояния,
то электроны, сталкиваясь с атомами ртути, должны терять энергию
дискретно, определенными порциями, равными разности энергий
соответствующих стационарных состояний атома.
29
Электроны вплоть до энергии 4,86 эВ, сталкиваясь с атомами ртути,
испытывают только упругие столкновения и передают атомам малую часть
своей энергии (пропорциональную отношению массы электрона m к массе
атома М; так как m « М, то потеря кинетической энергии ничтожна). При
eφ=4,86 эВ энергия электрона достаточна для неупругого столкновения, при
котором электрон отдает атому ртути всю кинетическую энергию, а атом
переходит в первое возбужденное состояние. Электроны же, теряя скачком
энергию, равную E2–E1=4,86 эВ, не смогут преодолеть тормозящего поля и
достигнуть анода. Этим и объясняется первое резкое падение анодного тока
при eφ=4,86 эВ.
При дальнейшем увеличении разности потенциалов электроны после
неупругого столкновения приобретают энергию, достаточную для
преодоления задерживающего потенциала, в результате сила тока вновь
начинает расти. При ускоряющем потенциале 2 • 4,86 В электроны могут
испытать еще одно неупругое столкновение, полностью потеряв свою
энергию, что и объясняет второе резкое падение анодного тока. Третий спад
(при φ= 3·4,86 В) соответствует электронам, испытавшим три неупругих
столкновения.
Каждый раз, когда происходит неупругое столкновение, атом ртути
переходит в возбужденное состояние, а затем, возвращаясь в основное,
излучает фотон. Спектральный анализ действительно показал, что длина
волны излучения, испускаемого ртутными парами, в самом деле равна 253,6
нм, т. е. соответствует переходам атома ртути из первого возбужденного
состояния в основное (опытное подтверждение второго постулата Бора).
Этот результат, а также тот факт, что электроны при столкновениях с
атомами ртути передают им только определенные порции энергии (причем
4,86 эВ — наименьшая возможная такая порция (наименьший квант энергии),
которая может быть поглощена атомом ртути в основном энергетическом
состоянии), убедительно доказывают существование у атомов ртути
дискретных энергетических уровней (опытное подтверждение первого постулата Бора).
Аналогичные опыты были проведены и с другими атомами, которые
также экспериментально подтверждают существование в атомах
стационарных состояний. Отметим, что это свойство характерно не только
для атомов. Так, спектроскопические измерения доказывают, что
квантование энергетических уровней имеет место в молекулах и в более
сложных системах частиц.
2.4. Квантово-механическое описание атома водорода
1. Уравнение Шредингера. Теория Бора, сделав значительный шаг вперед
для описания атома водорода и его спектров, не смогла ответить на ряд
важных вопросов, например: почему осуществляются переходы между
30
одними энергетическими уровнями, а не осуществляются между другими;
почему электроны на стационарных орбитах не излучают электромагнитную
энергию; какова природа излучения более сложных атомов, например гелия и
лития, и т. д. Следующий и завершающий шаг в создании теории атома —
это квантово-механическая теория атома водорода.
В квантовой механике задача об атоме водорода (помимо его простой
структуры) является одной из основных еще и потому, что задача о движении
электрона в поле центральных сил может быть распространена (естественно,
с разной степенью приближения) на водородоподобные системы — системы,
состоящие из ядра с зарядом Ze и одного электрона (например, ионы Не+,
Li2+), а также на более сложные атомы, например на атомы щелочных
металлов, в которых внешний электрон, слабо связанный с ядром, движется в
поле ядра и так называемого атомного остатка.
Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром, обладающим
зарядом Ze (для атома водорода Z= 1),
U (r ) = −
Ze 2
,
4πε 0 r
(2.12)
где r — расстояние между электроном и ядром. Графически функция U
(r) изображена на рис. 2.5 жирной кривой; U (r) с уменьшением r (при
приближении электрона к ядру) неограниченно убывает.
Рис. 2.5
Состояние электрона в атоме водорода описывается волновой функцией
ψ, удовлетворяющей стационарному уравнению Шредингера, учитывающему
значение (2.12):
e2 ⎞
2m ⎛
⎟ψ = 0,
⎜
∆ψ + 2 ⎜ E +
4πε 0 r ⎟⎠
h ⎝
(2.13)
где m — масса электрона, Е — полная энергия электрона в атоме.
Кулоновское поле ядра, в котором движется электрон, является
31
центрально-симметричным, поэтому уравнение (2.13) целесообразно решать
в сферических координатах r, υ, φ, считая, что ψ=ψ (r, υ, φ).
Оператор Лапласа в сферических координатах задается известной
формулой
1 ∂ ⎛ 2 ∂ ⎞ ∆ϑ , ϕ
⎜r
⎟+ 2 ,
r 2 ∂r ⎝ ∂r ⎠
r
1 ∂
∂
1
∂2
где ∆ϑ , ϕ =
(sin ϑ
)+
sin ϑ ∂ϑ
∂ϑ sin 2 ϑ ∂ϕ 2
∆=
- угловая часть лапласиана. Тогда уравнение Шредингера для стационарных
состояний
e2
1 ∂ 2 ∂ψ
1
∂
∂ψ
1
∂ 2ψ 2m
(2.14)
r
E
(
)
+
(sin
ϑ
)
+
+
(
+
)ψ = 0.
r 2 ∂r
r 2 sin ϑ ∂ϑ
r 2 sin 2 ϑ ∂ϕ 2 h 2
∂r
∂ϑ
4πε 0 r
Уравнение (2.14) решается методом разделения переменных при
предположении, что
(2.15)
ψ ( r , ϑ , ϕ ) = R ( r )θ (ϑ )Ф (ϕ ),
т. е. искомая ψ-функция представляется в виде произведения радиальной
части (функция, зависящая только от r) и угловых частей (функции,
зависящие только от ϑ и ϕ ).
Таким образом, задача сводится к решению уравнения (2.14) (приведено в
конце параграфа в качестве примера решения задачи). Мы же здесь,
рассмотрев лишь качественные подходы, сосредоточим внимание на
результатах решения. Итак, подставив (2.15) в уравнение (2.14) и группируя,
можно выделить левую и правую части равенства: радиальную (зависит
только от r) и угловую (зависит только от ϑ и ϕ ). Подобное равенство
выполняется, если обе его части по отдельности равны одной и той же
постоянной λ. Аналогично в угловой части выделяют две: зависящую только
от полярного угла ϑ и зависящую только от азимутального угла ϕ . Каждая
2
часть опять-таки приравнивается к одной и той же постоянной m l .
Анализ угловой части уравнения приводит к выводу, что его
однозначные, конечные и непрерывные решения во всей области изменения
и ϕ
имеют место при значениях параметра
переменных ϑ
λ = l (l + 1) (l=0, 1, 2, ...), а также при условии ml ≤ l .
2. Энергия. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что
решения уравнения (2.14) являются непрерывными, однозначными и
конечными в следующих случаях: 1) при любых положительных
непрерывных значениях энергии; 2) при дискретных отрицательных
32
значениях энергии. Первый случай соответствует свободному электрону
(заштрихованная область на рис. 2.5), второй — получаемым из уравнения
Шредингера собственным значениям энергии
1 me 4
En = − 2 2 2 (n = 1,2,3...),
n 8h ε 0
(2.16)
в точности совпадающим с уровнями энергии в модели атома Бора.
Следовательно, решение уравнения Шредингера для атома водорода
приводит к появлению дискретных энергетических уровней E1, E2, …, En,
показанных на рис. 2.5 в виде горизонтальных прямых. Самый нижний
уровень E1 отвечающий минимально возможной энергии, — основной, все
остальные (En> E1 n=2,3, ...) — возбужденные. При Е<0 движение электрона
является связанным. Электрон находится внутри гиперболической
«потенциальной ямы». Из рисунка следует, что по мере роста главного
квантового числа n энергетические уровни располагаются теснее и при n=8
E∞=0. При Е>0 движение электрона является свободным; область
непрерывного спектра Е>0 (заштрихована на рис. 2.5) соответствует
ионизированному атому. Энергия ионизации атома водорода равна
E i = − E1 = me 4 (8h 2 ε 02 ) = 13,6 эВ.
Выражение (2.16) совпадает с формулой, полученной Бором для энергии
атома водорода. Однако если Бору пришлось вводить дополнительные
постулаты, то в квантовой механике дискретные значения энергии, являясь
следствием самой теории, вытекают непосредственно из решения уравнения
Шредингера.
3. Квантовые числа. Общее решение уравнения Шредингера (2.14)
записывается в виде
ψ (r ,ϑ , ϕ ) = Rn ,l (r )θ l ,m l (ϑ )Фm (ϕ ),
l
где R n ,l ( r ) — радиальная волновая функция, зависящая только от r (n и l
— целые числа), функция θ (ϑ ) имеет два целочисленных индекса: l и ml,
функция Ф ( ϕ ) — один целочисленный индекс ml.
Целое число n, называемое главным квантовым числом, совпадает с
номером уровня энергии, определяя энергию электрона в атоме, оно может
принимать только целые положительные значения:
n= 1, 2, 3,....
Целые числа l и ml. представляют собой орбитальное и магнитное
квантовые числа. Согласно формулам (1.29), (1.32),
Li = h l (l + 1)
33
(определяет модуль момента импульса электрона) и
Llz = hml
(определяет проекцию момента импульса электрона на направление z
внешнего магнитного поля).
Оказывается, что решения удовлетворяют стандартным условиям для
значений l, не превышающих n – 1. Следовательно, l при заданном n может
принимать значения
l=0, 1, 2,..., n-1,
т. е. всего n значений.
Так как проекция вектора не может быть больше модуля этого вектора, то
≤ l (l + 1)h , т. е. максимально возможное значение | ml | = l.
Следовательно, при заданном l магнитное квантовое число m l может
| ml h |
принимать 2l+1 различных значений:
ml =0, ±1, ±2, ±3,…, ±l.
Состояния, соответствующие возможным значениям орбитального
квантового числа l, обозначают буквами: для l= 0, 1, 2, 3, ... используют
буквы s, р, d, f, ... и далее по алфавиту. Например, состояние,
характеризующееся l=0, называют s-состоянием, а электрон в этом состоянии
— s-электроном. Значение главного квантового числа указывают перед
условным обозначением орбитального квантового числа. Например,
электроны в состоянии с n = 2 и l = 0 и 1 обозначают соответственно
символами 2s и 2р.
Рис. 2.6
Физический смысл магнитного квантового числа можно понять,
учитывая, что момент импульса (механический орбитальный момент)
электрона L есть вектор; тогда (рис. 2.6) величина Llz=ћml определяет
проекцию этого вектора на ось z (на рисунке рассмотрено d-состояние).
Хотя энергия электрона (2.16) и зависит только от главного квантового
числа n, но каждому собственному значению Еn (кроме Е1) соответствует
несколько собственных функций ψ nlml отличающихся значениями l и ml.
34
Следовательно, атом водорода может иметь одно и то же значение энергии,
находясь в нескольких различных состояниях. Состояния с одинаковой
энергией называют вырожденными, а число состояний с одинаковой энергией — кратностью вырождения.
Так как при данном n орбитальное квантовое число l может принимать
значения от 0 до n - 1, а каждому значению l соответствуют 2l+1 различных
значений ml, то кратность вырождения уровней водорода
n −1
∑ (2l + 1) = n
2
.
(2.17)
l =0
Так как при движении электрона в атоме существенны волновые свойства
электрона, квантовая механика вообще отказывается от классического
представления об электронных орбитах. Согласно квантовой механике,
каждому энергетическому состоянию соответствует волновая функция,
квадрат модуля которой определяет плотность вероятности обнаружения
электрона в окрестности данной точки пространства.
Вероятность обнаружения электрона в различных частях атома различна.
Электрон при своем движении как бы «размазан» по всему объему, образуя
электронное облако, плотность (густота) которого характеризует вероятность
нахождения электрона в различных точках объема атома. Квантовые числа n
и l характеризуют размер и форму электронного облака, а квантовое число
ml – ориентацию электронного облака в пространстве.
4. Энергетический спектр. Квантовые числа n, l и ml позволяют более
полно описать спектр испускания (поглощения) атома водорода, чем это
делает теория Бора.
В квантовой механике появляются правила отбора, ограничивающие
число возможных переходов электронов в атоме, связанных с испусканием и
поглощением света. Теоретически доказано и экспериментально
подтверждено, что для дипольного излучения электрона, движущегося в
центрально-симметричном поле ядра, могут осуществляться только такие
переходы, для которых:
1) изменение орбитального квантового числа ∆l удовлетворяет условию
∆l=±1,
(2.18)
2) изменение магнитного квантового числа ml удовлетворяет условию
ml =0, ±1.
В оптических спектрах указанные правила отбора в основном
выполняются. Однако в принципе могут наблюдаться и слабые
«запрещенные» линии, например возникающие при переходах с ∆l=2.
Появление этих линий объясняется тем, что строгая теория, запрещая
дипольные переходы, разрешает переходы, соответствующие излучению
35
более сложных систем зарядов, например квадру полей. Вероятность же
квадрупольных переходов (переходы с ∆l=2) во много раз меньше вероятности дипольных переходов, поэтому «запрещенные» линии и являются
слабыми.
Учитывая число возможных состояний, соответствующих данному n, и
правило отбора (2.18), рассмотрим спектральные линии атома водорода (рис.
2.7): серии Лаймана соответствуют переходы
np→1s (n=2,3,…),
серии Бальмера —
np→2s,ns→2p,nd→2p (n= 3,4, ...);
и т. д.
Рис. 2.7
Переход электрона из основного состояния в возбужденное связан с
увеличением энергии атома и может происходить только при сообщении
атому энергии извне, например за счет поглощения атомом фотона. Так как
поглощающий атом при нормальных условиях находится в основном
состоянии, то спектр атома водорода должен состоять из линий,
соответствующих переходам 1s→np (n =2, 3, ...), что находится в полном
согласии с опытом.
2.5. 1s-состояние электрона в атоме водорода
ls-состояние электрона в атоме водорода
36
является
сферически-
ϑ
ϕ . Волновая функция
электрона в этом состоянии определяется только расстоянием r электрона от
ядра: ψ = ψ 100 ( r ) , где цифры 100 соответственно указывают, что n = 1, l = 0
симметричным, т. е. не зависит от углов
и
и ml = 0. Тогда стационарное уравнение Шредингера
для атома водорода
e ⎞
1 ∂ ⎛ 2 ∂ψ ⎞ 2m ⎛
⎟ψ = 0
⎜r
⎟ + 2 ⎜⎜ E +
2
4πε 0 r ⎟⎠
∂r ⎠ h ⎝
r ∂r ⎝
2
или
∂ 2ψ 2 ∂ψ 2m ⎛
e2 ⎞
⎟ψ = 0.
⎜
+
+
E+
4πε 0 r ⎟⎠
∂r 2 r ∂r h 2 ⎜⎝
(2.19)
Волновую функцию, описывающую 1s-состояние электрона в атоме
водорода, будем искать в виде
ψ = Ce − r / a ,
(2.20)
где а — постоянная, имеющая размерность длины, а С — некоторая
постоянная, определяемая из условия нормировки. После подстановки ψ ,
∂ψ
∂ 2ψ
−r / a
и
в уравнение (2.19), сокращения на Ce
и перегруппировки
2
∂r
∂r
членов получим
2
1⎞
⎛ 1 2mE ⎞ 2 ⎛⎜ me
− ⎟⎟ = 0.
⎜ 2 + 2 ⎟+ ⎜
2
a⎠
h ⎠ r ⎝ 4πε 0 h
⎝a
Это уравнение должно тождественно удовлетворяться для любых
значений r; поэтому
1 2mE
+ 2 = 0,
a2
h
2
me
1
− = 0.
2
a
4πε 0 h
(2.21)
(2.22)
Из выражения (2.22) следует, что,
a=
h 2 ⋅ 4πε 0
,
me 2
(2.23)
т. е. величина (2.23) совпадает с первым боровским радиусом для атома
водорода. Подставив (2.23) в (2.21), найдем
37
E=−
me 4
,
8h 2 ε 02
(2.24)
т. е. это выражение совпадает со значением энергии основного состояния
(n = 1) атома водорода.
Благодаря сферической симметрии ψ-функции вероятность обнаружения
электрона на расстоянии r одинакова по всем направлениям. Поэтому
элемент объема dV, отвечающий одинаковой плотности вероятности, можно
представить в виде объема сферического слоя радиусом r и толщиной dr:
dV=4πr2dr. Тогда, согласно условию нормировки вероятностей, с учетом
(2.20)
∞
∞
1 = ∫ ψ dV = ∫ C 2 e − 2 r / a 4πr 2 dr.
2
0
0
После интегрирования получаем, что
C = 1 / πa 3 .
(2.25)
Подставив выражение (2.25) в формулу (2.20), определим нормированную волновую функцию, отвечающую 1s-состоянию электрона в атоме
водорода:
ψ 100 (r ) =
1
πa
3
e −r / a .
(2.26)
Вероятность того, что электрон находится в элементе объема dV, как
известно, равна
dW=⏐ψ(r) ⏐2dV=⏐ψ⏐2 4πr2dr.
(2.27)
Подставив в формулу (2.27) волновую функцию (2.26), найдем
dW =
1 −2r / a
e
4πr dr.
πa 3
Чтобы найти расстояния от ядра, на которых электрон может быть
обнаружен с наибольшей вероятностью, необходимо исследовать выражение
dW/dr на максимум [dW/dr=w (r) — плотность вероятности]. В результате
получается, что rmах = а, т. е. наиболее вероятным расстоянием электрона от
ядра является расстояние, равное боровскому радиусу.
38
Рис. 2.8
Из выражения (2.27) следует, что w=dW/dr=4πr2⏐ψ⏐2, т. е. плотность вероятности найти электрон в шаровом слое на расстоянии r от ядра при n=1
2
−2 r / a
определяется функцией r e
. График этой функции приведен на рис. 2.8.
Из рисунка видно, что эта функция обращается в нуль вместе с r 2 в начале
координат, затем, возрастая, проходит через максимум при r = а и
экспоненциально убывает при больших r. На рис. 2.8 пунктиром
представлена также плотность вероятности обнаружения электрона по
теории Бора (классической теории), откуда следует, что плотность вероятности обнаружить электрон в 1s-состоянии отлична от нуля только для r = a.
Согласно квантовой механике, плотность вероятности лишь при r = а
достигает максимума, оставаясь отличной от нуля во всем пространстве.
Таким образом, в основном состоянии атома водорода наиболее
вероятным расстоянием электрона до ядра является расстояние, равное
боровскому радиусу. В этом заключается квантово-механический смысл
боровского радиуса.
39
1.
ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА ЧАСТИЦ
1.1. Корпускулярно-волновая двойственность свойств электромагнитного излучения
Такие явления, как излучение черного тела, фотоэффект, эффект
Комптона,
служат
доказательством
квантовых
(корпускулярных)
представлений о свете как о потоке фотонов. С другой стороны, такие
явления, как интерференция, дифракция и поляризация света, подтверждают
волновую (электромагнитную) природу света. Наконец, давление света и
преломление света объясняются как волновой, так и квантовой теориями.
Таким образом, электромагнитное излучение обнаруживает удивительное
единство, казалось бы, взаимоисключающих свойств — непрерывных
(волны) и дискретных (фотоны), которые взаимно дополняют друг друга.
Основные
уравнения,
связывающие
корпускулярные
свойства
электромагнитного излучения (энергия и импульс фотона) с волновыми
свойствами [частота (длина волны)]:
Å=hν, pγ = hν/с = h/λ.
Свет, обладая одновременно корпускулярно-волновыми свойствами,
обнаруживает определенные закономерности в их проявлении. Так, волновые
свойства света проявляются в закономерностях его распространения,
интерференции, дифракции, поляризации, а корпускулярные — в процессах
взаимодействия света с веществом. Чем больше длина волны, тем меньше
энергия и импульс фотона и тем труднее обнаруживаются квантовые
свойства света (с этим связано, например, существование «красной
границы» фотоэффекта). Наоборот, чем меньше длина волны, тем больше
энергия и импульс фотона и тем труднее обнаруживаются волновые
свойства света (например, дифракция рентгеновских лучей обнаружена
лишь после применения в качестве дифракционной решетки кристаллов).
Взаимосвязь
между
двойственными
корпускулярно-волновыми
свойствами света можно объяснить, если использовать, как это делает
квантовая оптика, статистический подход к рассмотрению закономерностей
распространения света. Например, дифракция света на щели состоит в том,
что при прохождении света через щель происходит перераспределение
фотонов в пространстве. Так как вероятность попадания фотонов в
различные точки экрана не одинакова, то и возникает дифракционная
картина. Облученность экрана пропорциональна вероятности попадания
фотонов на единицу площади экрана. С другой стороны, по волновой теории,
облученность пропорциональна квадрату амплитуды световой волны в той
же точке экрана. Следовательно, квадрат амплитуды световой волны в
данной точке пространства является мерой вероятности попадания
фотонов в данную точку.
5
1.2. Гипотеза де Бройля
Луи де Бройль в 1924 г. постулировал, что корпускулярно-волновой
дуализм имеет универсальный характер и распространяется не только на
световые корпускулы (фотоны), но и на все частицы материи: частицы
вещества (в частности, электроны) наряду с корпускулярными обладают
также и волновыми свойствами. Количественные соотношения, связывающие
корпускулярные (энергия и импульс) и волновые [частота (длина волны)]
характеристики микрочастиц, такие же, как для фотона:
Е = hν = hω, p = h/λ = hk,
где k = 2π/λ - волновое число, а h=h/(2π) - постоянная Планка.
Длина волны, связанная с частицей,
λ=h/p,
(1.1)
где р — импульс частицы, λ называется длиной волны де Бройля.
Для нерелятивистской частицы длина волны де Бройля
λ=h/(m0v),
где т0 — масса покоя частицы. Если Т — кинетическая энергия частицы
[Т=р2/(2т)], то
λ = h / 2m0T .
(1.2)
Для релятивистской частицы длина волны де Бройля
λ=
h 1− v2 / c2
m0 c
v/c
(в данном случае p = m0 v / 1 − v / c ). Выразив с помощью соот2
2
2
ношения Е2=р2с2+ m0 с4 импульс частицы р через ее полную энергию Е,
найдем
λ=
hc
E −m c
2
2 4
0
=
hc / E
1 − m0 c 2 / E 2
.
Если Т — кинетическая энергия частицы, то
Е=Т+т0с2.
Тогда
λ=
(
hc
T T + 2m 0 c 2
)
=
h
2m 0 T
=
1
(
1 + T / 2m 0 c 2
)
.
В предельном случае нерелятивистской частицы, когда отношение
Т/(т0с2)«1, получается формула (1.2).
Гипотеза де Бройля получила экспериментальное подтверждение в
опытах по рассеянию электронов (а также других частиц) на кристаллах и по
6
прохождению частиц сквозь вещества. Во всех этих опытах наблюдается
дифракция электронов (а также других частиц), что является безусловным
признаком волнового процесса.
Экспериментальное доказательство
наличия
волновых свойств
микрочастиц привело к выводу о том, что мы имеем дело с универсальным
явлением — общим свойством материи. Волновые свойства у
макроскопических тел не проявляются потому, что длины волн де Бройля для
них настолько малы, что обнаружение волновых свойств оказывается
невозможным.
Итак, по де Бройлю, частицы (в частности, электроны) обладают
волновыми свойствами. Простейшей волной с частотой ω и волновым
вектором k является плоская монохроматическая волна
Ψ (r , t ) = Ae − i (ωt − kr ) ,
(1.3)
где А — постоянная амплитуда волны, k — волновой вектор (его
направление совпадает с направлением распространения волны, а модуль
равен 2π/λ).
Пусть частица обладает определенной энергией Е и импульсом р
(следовательно, она распространяется в свободном от сил пространстве).
Согласно корпускулярно-волновому дуализму материи, ω=Е/h и р=hk.
Учитывая эти соотношения и выражение (1.3), видим, что с движением
частицы, имеющей определенные энергию и импульс, связывается волна
вида
Ψ (r , t ) = Ae − ( i / h )( Et − pr ) ,
(1.4)
называемая плоской волной де Бройля. Физический смысл этих волн будет
рассмотрен в следующей главе.
1.3. Свойства волн де Бройля
Согласно идее де Бройля, со свободно движущейся частицей,
обладающей энергией Е и импульсом р, связывается плоская волна де Бройля
(см. 1.4). Предполагая, что она распространяется вдоль оси Ох, можем
записать
Ψ (r , t ) = Ae
−
i
( Et − px )
h
.
Зафиксировав определенное значение фазы, т. е.
Еt-рх=const,
и продифференцировав это выражение, получим фазовую скорость волны:
VΦ =
dx E
= .
dt p
С другой стороны, известно, что
7
Vф=ω/k,
где ω=Е/ h - круговая частота, k - волновое число. Принимая во
внимание, что k=р/ h , можно записать
VΦ =
ω
=
k
hω E mc 2 c 2
= =
= .
hk
p mv
v
(1.5)
Так как всегда V«С, то фазовая скорость волн де Бройля больше скорости
света в вакууме (на величину фазовой скорости не накладываются
релятивистские ограничения).
Согласно волновой теории, частице сопоставляется волновой пакет,
образуемый непрерывной совокупностью монохроматических плоских волн
де Бройля с импульсами, заключенными в интервале 2∆р (∆р«р). Из оптики
известно, что скорость движения центра волнового пакета равна групповой
скорости:
u=
dω d (hω ) dE
=
=
.
dk d (hk ) dp
Групповая скорость:
для нерелятивистских частиц
u=
для релятивистских
u=
dE d
=
dp dp
( mc
2 4
0
[
]
)
pc 2
dE d p 2 / (2m ) p mv
=
= =
= v,
dp
dp
m m
+ p 2c 2 =
m02 c 4 + p 2 c 2
=
(1.6)
pc 2 mvc 2
=
= v. (1.7)
E
mc 2
Таким образом, формулы (1.6) и (1.7) выражают важный физический
результат: групповая скорость u волны де Бройля равна скорости частицы V,
или, иными словами, волны де Бройля перемещаются вместе с частицей.
Заменив в формуле (1.5) v на и, получим
uvф = c2.
Волны де Бройля испытывают дисперсию: их фазовая скорость зависит
от длины волны. В самом деле, подставив в формулу vф =Е/р выражение для
энергии (в нерелятивистском приближении Е=рг/(2т), в релятивистском -
E = m02c 4 + p 2c 2 ), видим, что фазовая скорость в обоих случаях зависит
от импульса (поскольку р= h * k, а k=2π/λ).
1.4. Соотношение неопределенностей
8
Во многих случаях классические представления (например, в каждый
момент времени частица занимает в пространстве строго определенное место
и обладает определенным импульсом) неприменимы для описания
микрообъектов. В. Гейзенберг (1927) выдвинул идею о принципиальной
невозможности измерения определенных пар связанных между собой
характеристик частицы так, чтобы они одновременно имели точные
значения.
Согласно соотношению неопределенностей Гейзенберга, микрочастица
(микрообъект) не может иметь одновременно точных значений координаты
(x, y, z) и компонентов импульса (рx, ру, рz), причем неопределенности этих
величин удовлетворяют условию
∆x∆p x ≥ h,
∆y∆p y ≥ h,
(1.8)
∆ z∆ p z ≥ h ,
т. е. произведение неопределенностей координаты и соответствующей ей
проекции импульса не может быть меньше величины порядка h .
Следовательно, чем меньше неопределенность одной из величин (x, y, z или
рx, ру, рz), тем больше неопределенность другой.
Соотношения неопределенностей связывают между собой пары
динамических переменных, канонически сопряженных между собой. В
частности, такими канонически сопряженными величинами являются х и рx, у
и ру, z и рz. Таким образом, соотношения Гейзенберга не накладывают
никаких ограничений на точность измерения, например, координаты х и
проекций импульса ру и рz, как не сопряженных с координатой х.
Следует оговориться, что соотношение неопределенностей нельзя
толковать так, что частица в каждый момент времени имеет определенные
значения координаты и импульса, но мы их не можем определить с большей
точностью, чем это допускается соотношением неопределенностей.
Физический смысл соотношения (1.8) заключается в том, что в природе
объективно не существует состояний частиц, которые бы одновременно
характеризовались определенными значениями канонически сопряженных
величин.
В квантовой теории важна еще одна пара канонически сопряженных
величин, для которой соотношение неопределенностей (соотношение
неопределенностей для энергии и времени) имеет вид
∆E∆t ≥ h ,
(1.9)
где ∆Е — неопределенность энергии некоторого состояния системы, ∆t
— промежуток времени, в течение которого оно существует.
Отметим, что смысл соотношений (1.8) и (1.9) различен. Физическая
9
сущность соотношения (1.8) состоит в невозможности одновременно точного
определения координаты и соответствующей ей проекции импульса.
Физический смысл соотношения (1.9) заключается в том, что из-за
конечности времени жизни атомов в возбужденном состоянии энергия
возбужденных состояний атомов не является точно определенной, а поэтому
соответствующий энергетический уровень характеризуется конечной
шириной. Из-за размытости возбужденных уровней энергия излучаемых
фотонов характеризуется некоторым разбросом.
Отметим еще раз, что невозможность одновременно точного определения
координаты и соответствующей составляющей импульса не связана с
несовершенством методов измерения или измерительных приборов, а
является следствием специфики микрообъектов, отражающей особенности их
объективных свойств, а именно двойственную корпускулярно-волновую
природу. Таким образом, соотношение неопределенностей является квантовым ограничением применимости классической механики к микрообъектам.
Подытоживая, можно сказать, что если мы можем точно определить
положение микрочастицы (∆х→0), то ничего не будем знать о ее импульсе
(∆px→∞), и, наоборот, если точно известен импульс микрочастицы, то ее
положение окажется полностью неопределенным. Повышение точности в
знании одной переменной, таким образом, ведет к понижению точности в
знании другой, и наоборот. Поэтому если в классической механике наличие
координат и импульсов (скоростей) системы точно задает ее поведение во
времени и пространстве, то предсказание поведения квантовой системы
должно носить вероятностный характер.
1.5. Волновая функция и ее статический смысл
C движением частицы, обладающей определенной энергией и импульсом,
связывается плоская волна де Бройля. Однако в общем случае (произвольное
движение частицы в произвольных силовых полях) состояние частицы в
квантовой механике задается более сложной, вообще говоря комплексной,
функцией Ψ(r, t), зависящей от координат и времени. Эту функцию называют
волновой функцией (или пси-функцией). В частном случае свободного
движения частицы волновая функция переходит в плоскую волну де Бройля.
Согласно М. Борну, волновые функции Ψ должны интерпретироваться
статистически. На основании статистической интерпретации вероятность
нахождения частицы в момент времени t с координатами х и х+dx, у и у+dy, z
и z+dz определяется интенсивностью волновой функции, т. е. квадратом псифункции. Поскольку в общем случае Ψ — комплексная функция, а вероятность должна быть всегда действительной и положительной величиной, то за
меру интенсивности принимается квадрат модуля волновой функции
10
2
Ψ = Ψ *Ψ,
где Ψ* — функция, комплексно сопряженная Ψ.
Вероятность dW нахождения частицы в элементе объема dV в момент
времени, согласно статистической интерпретации Ψ-функции,
2
dW = Ψ dV .
Величина
w = dW / dV = Ψ
2
имеет смысл плотности вероятности, т. е. определяет вероятность
нахождения частицы в момент времени t в окрестности данной точки
пространства. Плотность вероятности — величина, наблюдаемая на опыте, в
то время как сама волновая функция, являясь комплексной, наблюдению
недоступна. В этом заключается существенное отличие в описании состояний
частиц в квантовой и классической механике (в классической механике величины, описывающие состояние частиц, наблюдаемы).
Вероятность найти частицу в момент времени t в некотором объеме V,
согласно теореме сложения вероятностей,
W = ∫ dW = ∫ Ψ dV .
2
V
(1.10)
V
Проинтегрировав выражение (1.10) в бесконечных пределах, получим
вероятность того, что частица в момент времени t находится где-то в
пространстве. Это есть вероятность достоверного события, а ее в теории
вероятностей считают равной 1. Поэтому принимают, что
+∞
∫ Ψ ( x, y , z , t )
2
dV = 1.
(1.11)
−∞
Условие (1.11) называют условием нормировки, а функции Ψ —
нормированной волновой функцией.
Следует отметить, что в случае пространственно не ограниченного
движения нормировочный интеграл (1.11) расходится. Однако если
ограничить движение областью очень больших, но конечных размеров (а это
всегда имеет место в условиях реального эксперимента), то Ψ-функция,
описывающая состояние частицы, оказывается интегрируемой.
Так как волновая функция — объективная характеристика состояния
микрочастиц, то она должна удовлетворять ряду ограничений. Она должна
быть конечной (вероятность не может быть больше единицы), однозначной
(вероятность не может быть неоднозначной величиной) и непрерывной
(вероятность не может изменяться скачком).
11
Волновая функция Ψ, являясь основной характеристикой состояния
микрообъектов, позволяет вычислять средние значения физических величин,
характеризующих данный микрообъект. Среднее значение зависящей от
координат физической величины L(х, у, z), характеризующей микрообъект,
находящийся в состоянии, описываемом волновой функцией Ψ,
+∞
L =
∫LΨ
−∞
2
+∞
dV = ∫ Ψ * LΨdV ,
(1.12)
−∞
где интегрирование производится, как и в случае (1.11).
В квантовой механике для волновых функций выполняется принцип
суперпозиции состояний: если какая-либо система (частица или их
совокупность) может находиться в различных состояниях, описываемых
волновыми функциями Ψ1, Ψ2, …, Ψn, …, то она может находиться в
состоянии Ψ, описываемом линейной комбинацией этих функций:
Ψ = ∑ Cn Ψn ,
n
где Сn (n=1, 2, ...) – произвольные (в общем случае комплексные) числа,
при этом квадрат модуля коэффициента Сn, т. е. |Сn|2, равен вероятности
обнаружить, что система, представленная состоянием Ψ, может оказаться в
состоянии Ψn.
1.6. Временное и стационарное уравнения Шредингера
Э. Шредингер (1926) постулировал фундаментальное соотношение —
основное уравнение нерелятивистской квантовой механики, справедливость
которого (как и всяких постулатов) подтверждается согласием с опытом
получаемых с его помощью результатов. Уравнение Шредингера —
нерелятивистское уравнение относительно основной характеристики
состояния микрообъектов — волновой функции Ψ (r, t) — и имеет вид
−
где
(∆ =
h2
∂Ψ
∆Ψ + U (r , t )Ψ = ih
,
2m
∂t
h = h/2π, т - масса
частицы,
∆
-
(1.13)
оператор
Лапласа
∂2
∂2
∂2
+
+
), i - мнимая единица, U(r, t)—потенциальная
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
функция частицы в силовом поле, в котором частица движется. Это
уравнение называют временным уравнением Шредингера. В квантовой
механике оно играет такую же роль, как уравнение Ньютона в классической.
Если силовое поле, в котором частица движется, стационарно, т. е.
функция U=U(r) не зависит от времени и имеет смысл потенциальной
энергии, то решение уравнения (1.13) можно искать в виде произведения
12
двух функций, одна из которых есть функция только координат, другая —
только времени:
Ψ(r, t)=ψ(r)ϕ(t).
(1.14)
Подставив функцию (1.14) в уравнение Шредингера (1.13) и разделив
левую и правую части на произведение ψ(r)ϕ(t), получим
⎤
1 ⎡ h2
1 dϕ (t )
∆ψ (r ) + U (r )ψ (r )⎥ = ih
.
⎢−
Ψ (r ) ⎣ 2m
ϕ (t ) dt
⎦
(1.15)
Так как левая часть уравнения (1.15) зависит только от r, а правая —
только от t, то их можно приравнять одной и той же постоянной разделения,
в качестве которой, можно выбрать Е — полную энергию частицы. Таким
образом,
−
h2
∆ψ (r ) + U (r )ψ (r ) = Eψ (r ),
2m
dϕ (t )
ih
= Eϕ (t ).
dt
(1.16)
(1.17)
Уравнение (1.16) называют стационарным уравнением Шредингера. Его
обычно записывают в более удобном виде:
∆ψ +
2m
(E − U )ψ = 0.
h2
Явный вид стационарного уравнения
конкретной зависимостью U(r).
Решая уравнение (1.17), получаем, что
Шредингера
(1.18)
определяется
ϕ (t ) = Ce − (i / h )Et ,
(1.19)
где С — произвольная постоянная. Подставляя (1.19) в (1.14), видим, что
в случае стационарного силового поля состояние частицы описывается
волновой функцией
Ψ (r , t ) = ψ (r )e (− i / h )Et
[постоянная С включена в функцию ψ(r)], откуда следует, что
стационарность состояния не исключает зависимости волновой функции от
(i / h )Et
времени, а только ограничивает ее гармоническим законом e
= e − iωt . В
стационарном состоянии плотность вероятности
w = Ψ (r , t ) = ψ (r )
2
2
выражается только через ψ(r) и не зависит от времени. Общепринято ψ(r)
также называть волновой функцией, хотя она является только координатной
(амплитудной) частью волновой функции Ψ(r, t) стационарного состояния.
13
В стационарное уравнение Шредингера (1.18) в качестве параметра
входит полная энергия Е частицы. Такие уравнения имеют бесчисленное
множество решений. Из них посредством наложения граничных условий
отбирают решения, имеющие физический смысл. Для уравнения Шредингера
такими условиями являются условия регулярности волновых функций;
волновые функции вместе со своими первыми производными должны быть
конечными, однозначными и непрерывными. Следовательно, реальный физический смысл имеют только решения, выражаемые регулярными функциями
ψ. Однако регулярные решения имеют место не при любых значениях
параметра Е, а лишь при определенном их наборе, характерном для данной
задачи. Эти значения энергии называют собственными. Решения, которые
соответствуют собственным значениям энергии, называют собственными
функциями. Собственные значения Е могут в принципе иметь как непрерывный, так и дискретный спектр значений.
1.7. Операторы в квантовой механике и их свойства
Исходя из соотношений неопределенностей в квантовой области не
существует таких состояний, в которых координата частицы и
соответствующая ей проекция импульса имели бы одновременно точные
значения. Это находит свое отражение и в формальной стороне теории —
математический аппарат квантовой механики резко отличается от
математического аппарата классической механики. Кроме того, он должен
соответствовать физической постановке задач квантовой механики, например
учитывать волновые свойства микрочастиц.
В квантовой механике используют представление физических величин
(например, таких, как координата, импульс, момент импульса, полная
энергия) с помощью математических операторов. Оператор — правило, с
помощью которого какой-то функции ϕ(х) некоторой переменной
сопоставляется другая функция f(х) той же переменной. Символически это
∧
записывается в виде умножения L на ϕ(х):
∧
f(х)= L ϕ(х),
т. е. операторы обозначаются буквами со «шляпкой» над ними.
Свойства операторов. Если для любой функции ϕ
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧⎛ ∧
⎞
C ϕ = A ϕ + B ϕ , D ϕ = A ϕ − B ϕ , F ∧ ϕ = A⎜ B ϕ ⎟, ,
⎝
⎠
∧
∧
∧
то C , D, F
называют соответственно суммой, разностью и произ
∧
∧
ведением операторов A и B . Сложение, вычитание и умножение
операторов производятся по обычным алгебраическим правилам сложения,
вычитания и умножения чисел. Однако при умножении операторов не всегда
14
∧ ∧
∧
∧
можно переставлять порядок сомножителей, т. е. не всегда A B = B A .
∧ ∧
∧
∧
Если A B = B A , то такие операторы называют коммутирующими, если же
∧ ∧
∧
∧
A B ≠ B A , то некоммутирующими.
∧
Оператор L называют линейным, если для любых двух функций ϕ1 и ϕ2,
и любых постоянных С1 и С2 выполняется условие
∧
∧
∧
L (С1ϕ1 + С2ϕ2) = С1 L ϕ1 + С2 L ϕ2.
∧
Примерами линейных операторов могут служить единичный оператор
∧
( L =1), оператор умножения на число, например 2 ( L =2), операторы
∧
∧
дифференцирования ( L = d/dx и | L = d2/dхг).
В квантовой механике применяются только линейные операторы, т. е.
соблюдается требование, чтобы применение операторов не нарушало
принципа суперпозиции состояний.
В квантовой механике применяются лишь линейные самосопряженные
(эрмитовы) операторы — операторы, подчиняющиеся условию
∧
∧
*
*
∫ψ 1 Lψ 2 dV = ∫ψ 2 Lψ 1 dV ,
где ψ1 и ψ2 — произвольные функции (звездочка означает операцию
комплексного
сопряжения
над
соответствующей
величиной),
а
интегрирование производится по всей области изменения независимых
переменных, совокупность дифференциалов которых обозначена dV.
∧
Примерами эрмитовых операторов могут служить L =
h∂ ∧
; L =∆.
i∂x
Основные свойства собственных значений и собственных функций
∧
линейных операторов. Если в результате применения оператора L к
функции ψ получается та же функция ψ, умноженная на некоторое число L,
то
∧
L ψ=Lψ .
(1.20)
Если функция ψ удовлетворяет стандартным условиям (определена по
всей области независимых переменных, непрерывна, конечна и однозначна) и
условию квадратичной интегрируемости (интеграл
∧
∫ψ
2
dV сходится), а
также оператор L воспроизводит функцию ψ с точностью до множителя L,
∧
то она называется собственной функцией оператора L . Множитель L
называют собственным значением оператора. Обычно оператор и его собственное значение обозначаются одной и той же буквой. При выполнении
уравнения (1.20) с вышеупомянутыми условиями оно определяет как
15
собственные функции, так и собственные значения оператора
∧
∧
L .
Отметим, что в уравнении (1.20) L — оператор, отвечающий данной
физической величине.
В квантовой механике используются эрмитовы операторы. Это
обусловлено тем, что собственные значения эрмитовых операторов —
действительные числа.
Постулат, посредством которого устанавливается связь между
изображением физических величин операторами и опытом: совокупность
∧
собственных значений оператора L (L1, L2, …, Ln, …) тождественна с
совокупностью всех возможных результатов измерений механической
∧
величины L, изображаемой оператором L. Иными словами, на опыте
наблюдаются только те значения величины L, которые совпадают с одним из
∧
собственных значений оператора L, соответствующего рассматриваемой
величине.
∧
Совокупность собственных значений оператора L называют спектром
оператора (или спектром величины L). Спектр может быть дискретным
(возможны только дискретные значения L1, L2, …, Ln, …) или непрерывным
(возможна непрерывная последовательность собственных значений). Если
возможные значения физической величины являются дискретными, то
говорят, что величина имеет квантованные значения.
Собственные функции ψт и ψn линейного эрмитова оператора L̂ ,
отвечающие различным собственным значениям Lт и Lп, взаимно
ортогональны, если выполняется условие
∫ψ
ψ n dV =0, если т≠ п.
*
m
Это равенство можно объединить с равенством (1.11) § 1.5 в одно:
∫ψ
⎧1, m = n,
⎩0, m ≠ n.
ψ n dV = δ mn = ⎨
*
m
(1.21)
Системы функций, удовлетворяющие (1.21), называют ортогональными и
нормированными системами функций.
Любая функция ψ(х), определенная в той же области переменных и
подчиненная тому же классу граничных условий, что и собственные функции
ψп(х), может быть разложена в ряд (в обобщенный ряд Фурье):
ψ ( x ) = ∑ Cnψ n ,
(1.22)
n
где ψn(х) — ортогональные собственные функции оператора L̂ ,
отвечающего данной физической величине. Оказывается, что квадраты
модулей коэффициентов разложения в ряд (1.22) играют роль вероятностей
16
получить при измерениях физической величины одно из чисел L1, L2, …, Ln,
∧
…, являющихся собственными значениями оператора L. Иными словами,
вероятность того, что при измерении физической величины L будет
получено числовое значение Ln, равна |Сn|2.
Средние значения физических величин. Среднее значение физической
величины L в состоянии ψ определяется формулой
L = ∫ψ * LˆψdV ,
∧
(1.23)
где L — соответствующий оператор, ψ — нормированная волновая
функция, dV — элемент объема в пространстве независимых переменных, а
интеграл берется по всей области изменения этих переменных.
Условие возможности одновременного измерения различных физических величин. Согласно соотношению неопределенностей, в квантовой
области не существует таких состояний частиц, в которых координата и
соответствующая ей проекция импульса имели бы одновременно точные
значения. Чтобы существовали состояния, в которых две физические
величины, L и М, могли иметь одновременно точные значения, необходимо,
чтобы волновая функция такого состояния являлась собственной функцией
∧
∧
обоих операторов: L и M . Это возможно только тогда, когда операторы
∧
∧
L и M являются коммутирующими.
Таким образом, если двум физическим величинам отвечают
коммутирующие операторы, то эти величины могут иметь одновременно
определенные значения (поэтому в принципе могут быть измерены
одновременно).
Если
двум
физическим
величинам
отвечают
некоммутирующие операторы, то они не могут одновременно иметь
определенных значений.
1.8. Операторы важнейших физических величин
В квантовой механике каждой физической величине (динамической
переменной) сопоставляется определенный эрмитов оператор.
Оператор координаты. Поскольку волновая функция рассматривается
как функция координат частицы, оператор координаты частицы x̂ есть само
число х.
Оператор импульса. Операторы проекции импульса соответственно на
оси х, у, z:
17
p∧
x
p∧
y
∧
P
z
∂ h ∂
,
=
∂x i ∂x
∂ h ∂
,
= −ih
=
∂y i ∂y
∂ h ∂
.
= −ih =
∂z i ∂z
= −ih
Оператор вектора импульса
p∧ = jp∧
где
j,
+ kp∧
x
k,
1
y
+ lp∧
—
z
⎛∂
h
∂ ⎞
∂
j + k + l ⎟⎟ = −ih∇ = ∇,
= −ih⎜⎜
i
∂z ⎠
∂y
⎝ ∂x
единичные
∂
∂
∂
j + k + l = ∇ - набла-оператор.
∂x
∂y
∂z
векторы
координатных
осей,
Таким образом, оператор вектора импульса
p∧ = −ih∇ =
h
∇.
i
(1.24)
Оператор момента импульса. В квантовой механике оператор вектора
момента импульса
∧
∧
(1.25)
L = r , p∧ ,
т.е. в выражении (1.25) классические величины r и p заменены
[
соответствующими операторами
p∧ = −ih∇ =
r∧
и
]
p∧ . Учитывая, что r∧ =r, а
h
∇ [см. (1.24)], получаем
i
∧
[
L = r , p∧
] = [r , (− ih∇ )] = −ih[r , ∇] = hi [r , ∇],
т. е. оператор вектора момента импульса
L = −ih[r , ∇] =
∧
h
[r , ∇] .
i
(1.26)
Операторы проекций момента импульса на оси координат соответствуют
векторному произведению (1.26):
18
∧
L
∧
L
x
y
⎛ ∂
∂ ⎞ h⎛ ∂
∂ ⎞
= −ih⎜⎜ y − z ⎟⎟ = ⎜⎜ y − z ⎟⎟,
∂y ⎠ i ⎝ ∂z
∂y ⎠
⎝ ∂z
∂ ⎞ h⎛ ∂
∂⎞
⎛ ∂
= −ih⎜ z − x ⎟ = ⎜ z − x ⎟,
∂z ⎠ i ⎝ ∂x
∂z ⎠
⎝ ∂x
(1.27)
⎛ ∂
∂ ⎞ h⎛ ∂
∂⎞
= −ih⎜⎜ x − y ⎟⎟ = ⎜⎜ x − y ⎟⎟.
∂x ⎠ i ⎝ ∂y
∂x ⎠
⎝ ∂y
∧ 2
Оператор квадрата момента импульса L . Уравнение для опре∧
деления собственных значений оператора L 2, согласно (1.20), следующее:
∧
(1.28)
L 2 ψ = L2ψ .
∧
L
z
Оказывается, что решения уравнения (1.28), удовлетворяющие условиям
непрерывности, конечности и однозначности, существуют лишь при
следующих собственных значениях квадрата момента импульса:
L2=l(l+1)ћ2 (l=0,1.2,...),
где l — целое положительное число. Следовательно, модуль момента
импульса
L = l (l + 1)h (l=0,1.2,...).
(1.29)
Оператор проекции момента импульса на полярную ось z, от которой
отсчитывается полярный угол ν, имеет вид:
∧
L
z
= −ih
∂
h ∂
=
.
∂ϕ i ∂ϕ
Запишем уравнение для собственных значений и собственных функций
[см. (1.20)] в виде
∧
или
L zψ=Lzψ
h ∂ψ
= Lzψ .
i ∂ϕ
(1.30)
Решения этого уравнения имеют вид
ψ (ϕ ) = Ae(i / h )L ϕ .
(1.31)
Чтобы функция (1.31) была однозначной, необходимо выполнение
условия ψ(φ+2π)=ψ(φ) или
z
e (i / h )Lzϕ = e (i / h )Lz (ϕ + 2π ).
Тогда
1 = e (i / h )Lz 2π ,
19
но это может быть только тогда, когда
Lz
= m,
h
где m — либо целое положительное или отрицательное число, либо нуль.
∧
Таким образом, оператор L z обладает дискретным спектром, а именно:
проекция момента импульса на произвольную ось z
∧
L z =mћ (m=0, ±1, ±2,...).
(1.32)
Полученные результаты [см. (1.29) и (1.32)] приводят к выводу, что
∧2
∧
собственные значения операторов L
и L z образуют дискретный ряд
значений, т.е. момент импульса и проекция момента импульса на
произвольную ось z квантуются.
Оператор кинетической энергии. Из опыта известно, что кинетическая
энергия микрочастиц связана с импульсом так же, как и для макротел:
T=
(
)
1
p x2 + p y2 + p z2 . Следовательно, оператор кинетической энергии
2m
можно записать в виде
∧
T =
∧ 2
x
∧ 2
y
p +p
∧2
+ pz
2m
.
(1.33)
∧
∧
∧
Подставляя в эту формулу значения операторов px , p y , p z
тывая, например, что
p xψ = p x ( p xψ ) = −ih
∧2
∧
∧
и учи-
2
∂ψ ⎞
∂ ⎛
2 ∂ ψ
,
⎟ = −h
⎜ − ih
∂x ⎠
∂x ⎝
∂x 2
находим
∧
T =−
где
∆=
h2 ⎛ ∂2
h2
∂2
∂2 ⎞
⎜⎜ 2 + 2 + 2 ⎟⎟ = −
∆,
2m ⎝ ∂x
2m
∂y
∂z ⎠
(1.34)
∂2
∂2
∂2
+
+
- оператор Лапласа.
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
Оператор потенциальной энергии. Так как потенциальная энергия U (х,
у, z) есть функция только координат частицы, то оператор потенциальной
энергии есть сама потенциальная энергия:
Û (x,y,z)=U(x,y,z).
20
Оператор полной энергии. Оператор полной энергии в квантовой
механике есть сумма операторов кинетической и потенциальной энергии
∧
(H
∧
∧
= T + U ):
∧
H =−
h2
∆ + U ( x, y , z )
2m
(1.35)
Здесь, однако, следует сделать одно замечание. В квантовой механике
нельзя утверждать, что полная энергия есть сумма кинетической и
потенциальной. Дело в том, что кинетическая энергия является функцией
импульсов, а потенциальная — функцией координат, а согласно
соотношению неопределенностей, не существует таких состояний, в которых
частицы имели бы одновременно определенные импульсы и координаты.
Полная энергия микрочастицы измеряется непосредственно как одно целое,
т.е. нельзя измерить полную энергию частицы, измерив сначала кинетическую, а потом потенциальную, или наоборот.
В классической механике полную энергию, выраженную через импульсы
и координаты, называют функцией Гамильтона Н. Если силы не зависят от
времени, то функция Гамильтона совпадает с полной энергией системы:
Н=Е. Понятие функции Гамильтона может быть распространено также и на
неконсервативные системы. Поэтому оно является более общим, нежели
понятие полной механической энергии. В формуле (1.34) оператор
кинетической энергии представлен посредством операторов проекций
импульса [см. (1.33)], а оператор потенциальной, энергии — посредством
функции координат. Поэтому оператор Ĥ называют оператором функции
Гамильтона (гамильтонианом).
21
ВВЕДЕНИЕ
В прошлом столетии физика, а вместе с нею все наше понимание
окружающего мира претерпели глубочайшие изменения.
К концу ХIХ столетия физика, в основе которой лежали механика
Ньютона и электродинамика Максвелла - Герца, считалась практически
завершенной. Однако в начале ХХ столетия ситуация несколько ухудшилась
из-за двух небольших аспектов: отрицательный результат опыта
Майкельсона по проблеме увлекаемого или неувлекаемого эфира омрачил
блестящие результаты электродинамики Максвелла - Герца; законы
излучения абсолютно черного тела свидетельствовали об ограниченности
статистической механики, основанной на классической механике Ньютона.
Из этих двух аспектов и выросла современная физика, которая не отвергла
предыдущие достижения "классической физики", вопреки первоначальным
опасениям, а показала лишь ее ограниченность.
Известно, что затруднения, возникшие в электродинамике
движущихся систем, привели к установлению специальной теории
относительности Эйнштейна, которая расширила классическую механику и
включила в нее законы движения со скоростями, сравнимыми со скоростью
света в пустоте. Проблема излучения абсолютно черного тела привела к
открытию квантов: кванта действия и постоянной Планка h в 1900 г., а затем
– кванта энергии hv в работе Эйнштейна 1905 г., представления о которых
доминируют во всей современной физике, в том числе и в физике атома и
ядра, основы которой излагаются ниже.
Вершиной курса общей физики является раздел "Физика атома и
ядра". В рамках образовательного стандарта для физических специальностей
классических университетов этот раздел разбит на два курса: “Физика атома
и атомных явлений” и “ Физика ядра и элементарных частиц”. Эти разделы
излагаются в учебных пособиях, перечень которых представлен в конце
нашего пособия. Следует отметить, что существующие учебные пособия
рассчитаны на большой лекционный курс по рассматриваемым разделам,
поэтому ими трудно будет пользоваться студентам инженерно-физических
специальностей, для которых читается единый курс “Атомная и ядерная
физика” в объеме 54 часов. Кроме этого, большинство из существующих
учебных пособий в последние годы не переиздавались, поэтому
библиотечные фонды резко уменьшили наличие такого рода учебников. Эти
обстоятельства обусловили необходимость написания данного учебного
пособия. Учитывая, что учебное пособие предназначается для студентов
заочной и вечерней формы обучения физических и инженерно-физических
специальностей, авторам важно было в нем рассмотреть решение типичных
задач и подготовить необходимое количество задач для самостоятельного
решения в виде контрольных заданий. Такая структура учебного пособия
3
была обусловлена необходимостью создания единого учебного пособия как
по теоретическому, так и по практическому материалу курса “Атомная и
ядерная физика”, которое будет использовано студентами инженернофизических специальностей вечерней и заочной формы обучения. Отметим,
что при написании этого пособия авторы не ставили себе цель наиболее
полно изложить данный курс, поскольку этот раздел общей физики
настолько обширен, что этого невозможно было достичь в рамках
предложенного объема учебного пособия.
В силу последнего, мы рекомендуем студентам при изучении этого
курса обращаться к
фундаментальным источникам, список которых
приводится в конце нашего пособия.
Данное учебное пособие состоит из шести разделов: в первых трех
изложен теоретический материал по физике атома и атомных явлений; в
четвертом разделе изложены основы физики атомного ядра; в пятом разделе
приводится подробный разбор решений задач по всем рассматриваемым
разделам курса; в завершающем разделе пособия представлены двадцать
вариантов контрольных работ, каждый из которых состоит из 15 задач по
всем разделам курса. Такая структура учебного пособия, по мнению авторов,
позволит успешнее освоить рассматриваемый раздел общей физики в рамках
заочной и вечерней форм образования. Кроме этого, содержание курса,
уровень рассматриваемых задач вполне соответствует предъявляемым
требованиям к курсу “Атомная и ядерная физика” для инженернофизических специальностей дневной формы обучения, поэтому это пособие
рекомендуется студентам этих специальностей при изучении данного курса.
4
ББК В34 я 73
Р83
УДК 539.12/.19
Преображенский М. Н., Рудь Н. А., Сергеев А. Н.
Атомная и ядерная физика: Учеб. пособие; Яросл. гос. ун-т. Ярославль, 2001. 135 с.
ISBN 5-8397-0168-8
В данном пособии рассмотрены основы современного курса "Атомная и
ядерная физика", предлагаемого для инженерно-физических специальностей
классических и технических университетов. Отличительной чертой пособия является
наличие подробных решений важнейших типов задач и 20 вариантов подобранных
задач из основных разделов курса "Атомная и ядерная физика" для самостоятельного
решения.
Пособие предназначено для студентов физических и инженерно-физических
специальностей университетов вечерней и заочной формы обучения. Оно будет
полезно также и для студентов дневной формы обучения.
Ил. 29. Библиогр.: 6
Рецензенты: кафедра физики Ярославского государственного технического
университета; В. П. Глушаков, канд. физ.-мат. наук.
ISBN 5-8397-0168-8
© Ярославский государственный университет, 2001
© М. Н. Преображенский, Н. А. Рудь, А. Н.Сергеев, 2001