Лекции по математике часть 3. Вторая версия.

Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Основные определения.
Свойства общего решения.
Теорема Коши.
Интегральные кривые.
Особое решение.
Дифференциальные уравнения первого порядка.
Уравнения вида у’ = f(х).
Уравнения с разделяющимися переменными.
Однородные уравнения.
Уравнения, приводящиеся к однородным.
Линейные уравнения.
Линейные однородные дифференциальные уравнения.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения.
Метод Бернулли.
Метод Лагранжа.
Уравнение Бернулли.
Уравнения в полных дифференциалах.
Условие тотальности.
Уравнения вида у = f(y’) и x = f(y’).
Уравнения Лагранжа и Клеро.
Геометрическая интерпретация решений дифференциального
уравнения первого порядка.
Поле направлений.
Изоклины.
Численные методы решения дифференциальных уравнений.
Метод Эйлера.
Ломаная Эйлера.
Уточненный метод Эйлера.
Метод Рунге – Кутта.
Дифференциальные уравнения высших порядков.
Уравнения, допускающие понижение порядка.
Уравнения вида y(n) = f(x).
Уравнения, не содержащие явно искомой функции и ее
производных до порядка n-1 включительно.
Уравнения, не содержащие явно независимой переменной.
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
Линейные однородные дифференциальные уравнения
с произвольными коэффициентами.
Структура общего решения.
Фундаментальна система решений.
Определитель Вронского.
Общее решение линейного однородного дифференциального
уравнения второго порядка.
Линейные однородные дифференциальные уравнения с
постоянными коэффициентами.
Характеристический многочлен и характеристическое уравнение.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с
произвольными коэффициентами.
Метод вариации произвольных постоянных.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с
постоянными коэффициентами.
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Уравнения с правой частью специального вида.
Нормальные системы обыкновенных дифференциальных
уравнений.
Нормальные системы линейных однородных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Элементы теории устойчивости.
Устойчивость по Ляпунову.
Точка покоя.
Теорема Ляпунова.
Классификация точек покоя.
Уравнения математической физики.
Уравнения в частных производных.
Линейные однородные дифференциальные уравнения в
частных производных первого порядка.
Классификация основных типов уравнений математической физики.
Уравнение колебаний струны.
Граничные, начальные и краевые условия.
Решение задачи Коши методом разделения переменных. (Метод Фурье).
Решение задачи Коши методом Даламбера.
Уравнение теплопроводности.
Уравнение Лапласа.
Задача Дирихле.
Решение задачи Дирихле для круга.
Ряды.
Основные определения.
Свойства рядов.
Критерий Коши.
Ряды с неотрицательными членами.
Признак сравнения.
Признак Даламбера.
Предельный признак Даламбера.
Признак Коши.
Интегральный признак Коши.
Знакопеременные ряды.
Знакочередующиеся ряды.
Признак Лейбница.
Абсолютная и условная сходимость рядов.
Признак Даламбера и Коши для знакопеременных рядов.
Свойства абсолютно сходящихся рядов.
Функциональные последовательности.
Область сходимости.
Функциональные ряды.
Критерий Коши равномерной сходимости.
Признак Вейерштрасса.
Свойства равномерно сходящихся рядов.
Степенные ряды.
Теоремы Абеля.
Радиус сходимости.
Действия со степенными рядами.
Разложение функций в степенные ряды.
Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.
Ряды Фурье.
2
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Тригонометрический ряд.
Коэффициенты Фурье.
Достаточные признаки разложимости в ряд Фурье.
Разложение в ряд Фурье непериодической функции.
Ряд Фурье для четных и нечетных функций.
Ряд Фурье для функций любого периода.
Ряд Фурье по ортогональной системе функций.
Интеграл Фурье.
Преобразование Фурье.
Элементы теории функций комплексной переменной.
Свойства функций комплексной переменной.
Основные трансцендентные функции.
Производная функций комплексной переменной.
Условия Коши – Римана.
Интегрирование функций комплексного переменного.
Теорема Коши.
Интегральная формула Коши.
Ряды Тейлора и Лорана.
Изолированные особые точки.
Теорема о вычетах.
Вычисление интегралов с помощью вычетов.
Операционное исчисление.
Преобразование Лапласа.
Свойства изображений.
Таблица изображений некотрых функций.
Теорема свертки и запаздывания.
Интеграл Дюамеля.
Решение дифференциальных уравнений с помощью операционного
исчисления.
Криволинейные интегралы.
Криволинейные интегралы первого рода.
Свойства криволинейных интегралов первого рода.
Криволинейные интегралы второго рода.
Свойства криволинейных интегралов второго рода.
Формула Остроградского – Грина.
Поверхностные интегралы первого рода.
Свойства поверхностных интегралов первого рода.
Поверхностные интегралы второго рода.
Связь поверхностных интегралов первого и второго рода.
Формула Гаусса – Остроградского.
Элементы теории поля.
Поток векторного поля.
Потенциал.
Формула Стокса.
Ротор.
Оператор Гамильтона.
Циркуляция.
Дивиргенция.
Соленоидальное поле.
3
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Решение различных геометрических, физических и инженерных задач часто
приводят к уравнениям, которые
связывают независимые переменные,
характеризующие ту ил иную задачу, с какой – либо функцией этих переменных и
производными этой функции различных порядков.
В качестве примера можно рассмотреть простейший случай равноускоренного
движения материальной точки.
Известно, что перемещение материальной точки при равноускоренном
движении является функцией времени и выражается по формуле:
at 2
S = V0 t +
2
В свою очередь ускорение a является производной по времени t от скорости V,
которая также является производной по времени t от перемещения S. Т.е.
dS
dV d 2 S
V =
;
a=
= 2 ;
dt
dt
dt
f ′′(t ) ⋅ t
- уравнение связывает функцию f(t) с
2
независимой переменной t и производной второго порядка функции f(t).
Тогда получаем: S = f (t ) = V0 t +
Определение. Дифференциальным уравнением
связывающее независимые переменные, их функции
дифференциалы) этой функции.
называется уравнение,
и производные (или
Определение. Если дифференциальное уравнение имеет одну независимую
переменную, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением,
если же независимых переменных две или более, то такое дифференциальное
уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.
Определение. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение,
называется порядком дифференциального уравнения.
Пример.
x 3 y ′ + 8 y − x + 5 = 0 - обыкновенное дифференциальное уравнение 1 – го порядка. В
общем виде записывается F ( x, y, y ′) = 0 .
d2y
dy
+ xy + x 2 = y - обыкновенное дифференциальное уравнение 2 – го порядка. В
2
dx
dx
общем виде записывается F ( x, y, y ′, y ′′) = 0
x
∂z
∂z
+ xy
= 0 - дифференциальное уравнение в частных производных первого
∂x
∂y
порядка.
Определение. Общим решением дифференциального уравнения называется
такая дифференцируемая функция y = ϕ(x, C), которая при подстановке в исходное
уравнение вместо неизвестной функции обращает уравнение в тождество.
y2
4
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Свойства общего решения.
1) Т.к. постоянная С – произвольная величина, то вообще
дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений.
говоря
2) При каких- либо начальных условиях х = х0, у(х0) = у0 существует такое
значение С = С0, при котором решением дифференциального уравнения является
функция у = ϕ(х, С0).
Определение. Решение вида у = ϕ(х, С0) называется частным решением
дифференциального уравнения.
Определение. Задачей Коши (Огюстен Луи Коши (1789-1857)- французский
математик) называется нахождение любого частного решения дифференциального
уравнения вида у = ϕ(х, С0), удовлетворяющего начальным условиям у(х0) = у0.
Теорема Коши. (теорема о существовании и единственности решения
дифференциального уравнения 1- го порядка)
Если функция f(x, y) непрерывна в некоторой области D в плоскости XOY и
имеет в этой области непрерывную частную производную y ′ = f ( x, y ) , то какова бы
не была точка (х0, у0) в области D, существует единственное решение y = ϕ(x)
уравнения y ′ = f ( x, y ) , определенное в некотором интервале, содержащем точку х0,
принимающее при х = х0 значение ϕ(х0) = у0, т.е. существует единственное решение
дифференциального уравнения.
Определение. Интегралом дифференциального уравнения называется любое
уравнение, не содержащее производных, для которого данное дифференциальное
уравнение является следствием.
Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения xy ′ + y = 0 .
Общее решение дифференциального уравнения ищется с помощью
интегрирования
левой и правой частей уравнения, которое предварительно
преобразовано следующим образом:
dy
x +y=0
dx
xdy = − ydx
dy
dx
=−
y
x
dy
dx
Теперь интегрируем:
∫ y = −∫ x
ln y = − ln x + C 0
ln y + ln x = C 0
ln xy = C 0
xy = e C0 = C
5
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
y=
C
x
-
это
общее
решение
исходного
дифференциального уравнения.
Допустим, заданы некоторые начальные условия: x0 = 1; y0 = 2, тогда имеем
С
2 = ; C = 2;
1
При подстановке полученного значения постоянной в общее решение получаем
частное решение при заданных начальных условиях (решение задачи Коши).
2
y=
x
Определение. Интегральной кривой называется график y = ϕ(x) решения
дифференциального уравнения на плоскости ХОY.
Определение. Особым решением дифференциального уравнения называется
такое решение, во всех точках которого условие единственности Коши (см. Теорема
Коши. ) не выполняется, т.е. в окрестности некоторой точки (х, у) существует не менее
двух интегральных кривых.
Особые решения не зависят от постоянной С.
Особые решения нельзя получить из общего решения ни при каких значениях
постоянной С. Если построить семейство интегральных кривых дифференциального
уравнения, то особое решение будет изображаться линией, которая в каждой своей
точке касается по крайней мере одной интегральной кривой.
Отметим, что не каждое дифференциальное уравнение имеет особые решения.
Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения: y ′ + y = 0.
Найти особое решение, если оно существует.
dy
= −y
dx
dy
= −dx
y
dy
∫ y = −∫ dx
ln y = − x + C
y = e −x ⋅ eC
y = C1 ⋅ e − x
Данное дифференциальное уравнение имеет также особое решение у = 0. Это
решение невозможно получить из общего, однако при подстановке в исходное
уравнение получаем тождество. Мнение, что решение y = 0 можно получить из общего
решения при С1 = 0 ошибочно, ведь C1 = eC ≠ 0.
Далее рассмотрим подробнее приемы и методы, которые используются при
решении дифференциальных уравнений различных типов.
Дифференциальные уравнения первого порядка.
6
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Определение. Дифференциальным уравнением первого порядка называется
соотношение, связывающее функцию, ее первую производную и независимую
переменную, т.е. соотношение вида:
F ( x, y, y ′) = 0
Если такое соотношение преобразовать к виду y ′ = f ( x, y ) то это
дифференциальное уравнение первого порядка будет называться уравнением,
разрешенным относительно производной.
Преобразуем такое выражение далее:
dy
= f ( x, y ); dy = f ( x, y )dx;
dx
Функцию f(x,y) представим в виде:
f ( x, y )dx − dy = 0;
f ( x, y ) = −
P ( x, y )
, Q( x, y ) ≠ 0; тогда при
Q ( x, y )
подстановке в полученное выше уравнение имеем:
-
P ( x, y )dx + Q( x, y )dy = 0
это так называемая дифференциальная форма уравнения первого порядка.
Далее рассмотрим подробнее типы уравнений первого порядка и методы их
решения.
Уравнения вида y’ = f(x).
Пусть функция f(x) – определена и непрерывна на некотором интервале
a < x < b. В таком случае все решения данного дифференциального уравнения
находятся как y = ∫ f ( x)dx + C . Если заданы начальные условия х0 и у0, то можно
определить постоянную С.
Уравнения с разделяющимися переменными
Определение.
Дифференциальное
уравнение
y ′ = f ( x, y ) называется
уравнением с разделяющимися переменными, если его можно записать в виде
y ′ = α( x)β( y ) .
Такое уравнение можно представить также в виде:
dy
− α( x)dx = 0 при β( y ) ≠ 0;
β( y )
1
Перейдем к новым обозначениям α( x) = − X ( x);
= Y ( y );
β( y )
y ′ − α( x)β( y ) = 0; dy − α( x)β( y )dx = 0;
Получаем:
X ( x)dx + Y ( y )dy = 0;
7
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
∫ X ( x)dx + ∫ Y ( y)dy = C
После нахождения соответствующих интегралов получается общее решение
дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.
Если заданы начальные условия, то при их подстановке в общее решение
находится постоянная величина С, а, соответственно, и частное решение.
Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения: yy′ =
− 2x
cos y
dy
= −2 x
dx
y cos ydy = −2 xdx
y cos y ⋅
∫ y cos ydy = −2∫ xdx
Интеграл, стоящий в левой части, берется по частям (см. Интегрирование по частям.):
⎧u = y; dv = cos ydy;⎫
=
cos
y
ydy
⎨
⎬ = y sin y − ∫ sin ydy = y sin y + cos y
∫
⎩du = dy; v = sin y ⎭
-
y sin y + cos y = − x 2 + C
y sin y + cos y + x 2 + C = 0
это есть общий интеграл исходного дифференциального уравнения, т.к. искомая
функция и не выражена через независимую переменную. В этом и заключается
отличие общего (частного) интеграла от общего (частного) решения.
Чтобы проверить правильность полученного ответа продифференцируем его по
переменной х.
y ′ sin y + yy ′ cos y − y ′ sin y + 2 x = 0
2x
yy ′ = −
- верно
cos y
Пример. Найти решение дифференциального уравнения
у(2) = 1.
ydx
= ln y
dy
ln ydy
dx =
y
ln ydy
∫ dx = ∫ y
x + C = ∫ ln yd (ln y )
8
y
= ln y при условии
y′
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
x+C =
ln 2 y
2
ln 2 1
; ⇒ 2 + C = 0; ⇒ C = −2;
2
Итого: 2( x − 2) = ln 2 y; или y = e ± 2 x − 4 - частное решение;
при у(2) = 1 получаем 2 + C =
Проверка: y ′ = e ±
2 x−4
±
y e
=
y′
⋅
2
, итого
± 2 2x − 4
2 x−4
e
(± 2 x − 4)
± 2 x−4
= ± 2 x − 4 = ln y - верно.
2
Пример. Решить уравнение y ′ = y 3 .
2
dy
=y 3
dx
y
∫y
−2
−2
3
dy = dx
3
dy = ∫ dx
1
3y 3 = x + C
27 y = ( x + C ) 3 - общий интеграл
1
( x + C ) 3 - общее решение
y=
27
Пример. Решить уравнение y ′ = x( y 2 + 1).
dy
= dx;
y +1
∫y
2
arctgy =
dy
= dx;
+1 ∫
2
⎞
⎛ x2
y = tg ⎜⎜ + C ⎟⎟;
⎠
⎝ 2
x2
+ C;
2
yy ′
+ e y = 0 при условии у(1) = 0.
x
ydy
+ xe y = 0
dx
y
ydy + xe y dx = 0;
dy = − xdx;
ey
y
∫ e y dy = − ∫ xdx;
Интеграл, стоящий в левой части будем брать по частям (см. Интегрирование
по частям. ).
⎧⎪u = y; e − y dy = dv;⎫⎪
−y
y
y
−y
−y
−y
∫ ye dy = ⎨⎪du = dy; v = −e y ; ⎬⎪ = −e y − ∫ − e dy = −e y − e = −e ( y + 1);
⎭
⎩
Пример. Решить уравнение
9
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
x2
+ C0 ;
2
2e − y ( y + 1) = x 2 + C
e − y ( y + 1) =
Если у(1) = 0, то 2e 0 (0 + 1) = 1 + C ; ⇒ 2 = 1 + C ; ⇒ C = 1;
Итого, частный интеграл: 2e − y ( y + 1) = x 2 +1 .
Пример. Решить уравнение y ′ + sin( x + y ) = sin( x − y ) .
y ′ + sin( x + y ) − sin( x − y ) = 0
x− y−x− y
x− y+x+ y
cos
=0
2
2
y ′ − 2 sin( − y ) cos x = 0
y ′ + 2 sin y cos x = 0
dy
dy
= −2 cos xdx;
= −2 ∫ cos xdx;
∫
sin y
sin y
y ′ − 2 sin
Для нахождения интеграла, стоящего в левой части уравнения см. Таблица основных
интегралов. п.16. Получаем общий интеграл:
y
ln tg = −2 sin x + C
2
2
Пример. Решить уравнение 2 xe − x +
y′
=0
y
Преобразуем заданное уравнение:
dy
=0
ydx
2
dy
2 xe − x dx +
=0
y
dy
−x2
∫ 2 xe dx + ∫ y = C
2
2 xe − x +
2
− e − x + ln y = C
Получили общий интеграл данного дифференциального уравнения. Если из
этого соотношения выразить искомую функцию у, то получим общее решение.
Пример. Решить уравнение y ′ = x( y 2 + 1) .
dy
= x( y 2 + 1)
dx
10
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
dy
= xdx
y +1
2
∫
dy
= xdx ;
2
y +1 ∫
arctgy =
x2
+C ;
2
⎛ x2
⎞
y = tg ⎜⎜ + C ⎟⎟
⎝ 2
⎠
Допустим, заданы некоторые начальные условия х0 и у0. Тогда:
x2
x2
arctgy 0 = 0 + C 0 ; ⇒ C 0 = arctgy 0 − 0 ;
2
2
⎛ x2
x2 ⎞
Получаем частное решение y = tg ⎜⎜ + arctgy 0 − 0 ⎟⎟.
2 ⎠
⎝ 2
Однородные уравнения.
Определение. Функция f(x, y) называется однородной n – го измерения
относительно своих аргументов х и у, если для любого значения параметра t (кроме
нуля) выполняется тождество:
f (tx, ty ) = t n f ( x, y ).
Пример. Является ли однородной функция f ( x, y ) = x 3 + 3x 2 y ?
f (tx, ty ) = (tx) 3 + 3(tx) 2 ty = t 3 x 3 + 3t 3 x 2 y = t 3 ( x 3 + 3 x 2 y ) = t 3 f ( x, y )
Таким образом, функция f(x, y) является однородной 3- го порядка.
Определение. Дифференциальное уравнение вида y ′ = f ( x, y ) называется
однородным, если его правая часть f(x, y) есть однородная функция нулевого
измерения относительно своих аргументов.
Любое уравнение вида P ( x, y )dx + Q( x, y )dy = 0 является однородным, если
функции P(x, y) и Q(x, y) – однородные функции одинакового измерения.
Решение любого однородного уравнения основано на приведении этого
уравнения к уравнению с разделяющимися переменными.
Рассмотрим однородное уравнение y ′ = f ( x, y ).
Т.к. функция f(x, y) – однородная нулевого измерения, то можно записать:
f (tx, ty ) = f ( x, y ).
Т.к. параметр t вообще говоря произвольный, предположим, что t =
⎛ y⎞
f ( x, y ) = f ⎜1, ⎟
⎝ x⎠
11
1
. Получаем:
x
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Правая часть полученного равенства зависит фактически только от одного
y
аргумента u = , т.е.
x
⎛ y⎞
f ( x, y ) = ϕ⎜ ⎟ = ϕ(u );
⎝x⎠
Исходное дифференциальное уравнение таким образом можно записать в виде:
y ′ = ϕ(u )
Далее заменяем y = ux, y ′ = u ′x + ux ′ .
ϕ(u ) − u
;
x
таким образом, получили уравнение с разделяющимися переменными относительно
неизвестной функции u.
du
dx
du
dx
= ; ∫
= ∫ + C;
ϕ(u ) − u
x
ϕ(u ) − u
x
u ′x + ux ′ = ϕ(u ); u ′x + u = ϕ(u ); u ′ =
Далее, заменив вспомогательную функцию u на ее выражение через х и у и
найдя интегралы, получим общее решение однородного дифференциального
уравнения.
Пример. Решить уравнение y ′ =
y⎛ y ⎞
⎜ ln + 1⎟ .
x⎝ x ⎠
Введем вспомогательную функцию u.
y
u = ; y = ux; y ′ = u ′x + u .
x
Отметим, что введенная нами функция u всегда положительна, т.к. в противном
y
случае теряет смысл исходное дифференциальное уравнение, содержащее ln u = ln .
x
Подставляем в исходное уравнение:
u ′x + u = u (ln u + 1); u ′x + u = u ln u + u; u ′x = u ln u;
Разделяем переменные:
du
dx
= ;
u ln u
x
du
∫ u ln u = ∫
dx
;
x
Интегрируя, получаем: ln ln u = ln x + C ; ln u = Cx; u = e Cx ;
Переходя от вспомогательной функции обратно к функции у, получаем общее решение:
y = xe Cx .
12
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Уравнения, приводящиеся к однородным.
Кроме уравнений, описанных выше, существует класс уравнений, которые с
помощью определенных подстановок могут приведены к однородным.
⎛ ax + by + c ⎞
⎟⎟ .
Это уравнения вида y ′ = f ⎜⎜
a
x
b
y
c
+
+
1
1 ⎠
⎝ 1
a b
Если определитель
≠ 0, то переменные могут быть разделены подстановкой
a1 b1
x = u + α;
y = v + β;
⎧ax + by + c = 0
где α и β - решения системы уравнений ⎨
⎩a1 x + b1 y + c1 = 0
Пример. Решить уравнение ( x − 2 y + 3)dy + (2 x + y − 1)dx = 0.
dy − 2 x − y + 1
dy
Получаем ( x − 2 y + 3)
= −2 x − y + 1;
=
;
dx
x − 2y + 3
dx
− 2 −1
= 4 +1 = 5 ≠ 0 .
1 −2
⎧− 2 x − y + 1 = 0 ⎧ y = 1 − 2 x
⎧ x = −1 / 5
;
Решаем систему уравнений ⎨
; ⎨
; ⎨
⎩x − 2 y + 3 = 0
⎩x − 2 + 4x + 3 = 0 ⎩ y = 7 / 5
Находим значение определителя
Применяем подстановку x = u − 1 / 5;
y = v + 7 / 5; в исходное уравнение:
(u − 1 / 5 − 2v − 14 / 5 + 3)dv + (2u − 2 / 5 + v + 7 / 5 − 1)du = 0;
(u − 2v)dv + (2u + v)du = 0;
dv 2u + v 2 + v / u
=
=
;
du 2v − u 2v / u − 1
v
Заменяем переменную
= t ; v = ut ; v ′ = t ′u + t ; при подстановке в выражение,
u
записанное выше, имеем:
2+t
t ′u + t =
2t − 1
Разделяем переменные:
2+t
2 + t − 2t 2 + t 2(1 + t − t 2 )
dt
;
=
−t =
u=
2t − 1
2t − 1
2t − 1
du
du
1 1 − 2t
=− ⋅
dt ;
u
2 1+ t − t2
∫
du
1 (1 − 2t )dt
=− ∫
;
u
2 1+ t − t 2
1
− ln 1 + t − t 2 = ln u + ln C1
2
ln 1 + t − t 2 = −2 ln C1u
13
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
C2
C
; 1 + t − t 2 = 22 ;
2
u
u
Переходим теперь к первоначальной функции у и переменной х.
v y − 7 / 5 5y − 7
=
; u = x + 1 / 5;
t= =
u x + 1 / 5 5x + 1
ln 1 + t − t 2 = ln
2
25C 2
5y − 7 ⎛ 5y − 7 ⎞
−⎜
1+
;
⎟ =
5x + 1 ⎝ 5x + 1 ⎠
(5 x + 1) 2
(5 x + 1) 2 + (5 y − 7)(5 x + 1) − (5 y − 7) 2 = 25C 2
25 x 2 + 10 x + 1 + 25 xy + 5 y − 35 x − 7 − 25 y 2 + 70 y − 49 = 25C 2
25 x 2 − 25 x + 25 xy + 75 y − 25 y 2 = 25C 2 + 49 − 1 + 7
55
x 2 − x + xy + 3 y − y 2 = C 2 +
= C;
25
Итого, выражение x 2 − x + xy + 3 y − y 2 = C является общим интегралом исходного
дифференциального уравнения.
⎛ ax + by + c ⎞
⎟⎟ определитель
В случае если в исходном уравнении вида y ′ = f ⎜⎜
⎝ a1 x + b1 y + c1 ⎠
a
b
a1
b1
= 0, то переменные могут быть разделены подстановкой
ax + by = t.
Пример. Решить уравнение 2( x + y )dy + (3 x + 3 y − 1)dx = 0.
dy
3x + 3 y − 1
dy − 3 x − 3 y + 1
= −3x − 3 y + 1;
=
=−
;
2x + 2 y
2x + 2 y
dx
dx
−3 −3
Находим значение определителя
= −6 + 6 = 0;
2
2
Применяем подстановку 3x + 3 y = t.
dy t ′
= − 1;
dx 3
Подставляем это выражение в исходное уравнение:
3(t − 1)
t′
−1 = −
; 2t (t ′ − 3) = −9t + 9; 2tt ′ = 6t − 9t + 9; 2tt ′ = −3t + 9;
3
2t
Получаем 2( x + y )
2t
3
t
dt = − dx;
dt = dx;
2
t −3
− 3t + 9
3
3
⎛
⎞
∫ ⎜⎝1 + t − 3 ⎟⎠dt = − 2 ∫ dx;
3
t + 3 ln t − 3 = − x + C1
2
Далее возвращаемся к первоначальной функции у и переменной х.
Разделяем переменные:
14
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
2 x + 2 y + 2 ln 3( x + y − 1) = − x + C 2 ;
3 x + 2 y + 2 ln 3 + 2 ln x + y − 1 = C 2 ;
3 x + 2 y + 2 ln x + y − 1 = C ;
таким образом, мы получили общий интеграл исходного дифференциального
уравнения.
Линейные уравнения.
Определение.
Дифференциальное
уравнение
называется
линейным
относительно неизвестной функции и ее производной, если оно может быть записано в
виде:
y ′ + P( x) y = Q( x),
при этом, если правая часть Q(x) равна нулю, то такое уравнение называется
линейным однородным дифференциальным уравнением, если правая часть Q(x) не
равна нулю, то такое уравнение называется линейным неоднородным
дифференциальным уравнением.
P(x) и Q(x)- функции непрерывные на некотором промежутке a < x < b.
Линейные однородные дифференциальные уравнения.
Рассмотрим методы нахождения общего решения линейного однородного
дифференциального уравнения первого порядка вида
y ′ + P( x) y = 0 .
Для этого типа дифференциальных уравнений разделение переменных не
представляет сложностей.
dy
= − P( x)dx
y
ln y = − ∫ P( x)dx + ln C ;
ln
Общее решение:
y
= − ∫ P ( x)dx;
C
− P ( x ) dx
y = Ce ∫
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения.
Для интегрирования линейных неоднородных уравнений (Q(x)≠0) применяются
в основном два метода: метод Бернулли и метод Лагранжа.
15
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Метод Бернулли.
(Якоб Бернулли (1654-1705) – швейцарский математик.)
Суть метода заключается в том, что искомая функция представляется в виде
произведения двух функций y = uv .
dv
du
При этом очевидно, что y ′ = u ⋅ + v ⋅
- дифференцирование по частям.
dx
dx
Подставляя в исходное уравнение, получаем:
dv
du
u +v
+ P( x)uv = Q( x)
dx
dx
dv ⎛ du
⎞
u + v⎜
+ P( x)u ⎟ = Q( x)
dx ⎝ dx
⎠
Далее следует важное замечание – т.к. первоначальная функция была
представлена нами в виде произведения, то каждый из сомножителей, входящих в это
произведение, может быть произвольным, выбранным по нашему усмотрению.
Например, функция y = 2 x 2 может быть представлена как y = 1 ⋅ 2 x 2 ; y = 2 ⋅ x 2 ;
y = 2 x ⋅ x; и т.п.
Таким образом, можно одну из составляющих произведение функций выбрать
du
+ P( x)u = 0 .
так, что выражение
dx
Таким образом, возможно получить функцию u, проинтегрировав, полученное
соотношение как однородное дифференциальное уравнение по описанной выше схеме:
du
= − P( x)dx;
u
∫
du
= − ∫ P( x)dx;
u
ln u = − ∫ P ( x)dx;
− P ( x ) dx
u = Ce ∫
; C = 1 / C1 ;
ln C1 + ln u = − ∫ P ( x)dx;
Для нахождения второй неизвестной функции v подставим поученное
dv ⎛ du
⎞
выражение для функции u в исходное уравнение u + v⎜
+ P( x)u ⎟ = Q( x) с учетом
dx ⎝ dx
⎠
того, что выражение, стоящее в скобках, равно нулю.
− P ( x ) dx dv
P ( x ) dx
= Q( x);
Сe ∫
Cdv = Q( x)e ∫
dx;
dx
Интегрируя, можем найти функцию v:
P ( x ) dx
P ( x ) dx
1
v = ∫ Q ( x )e ∫
Cv = ∫ Q( x)e ∫
dx + C1 ;
dx + C 2 ;
C
Т.е. была получена вторая составляющая произведения y = uv , которое и
определяет искомую функцию.
Подставляя полученные значения, получаем:
− P ( x ) dx
P ( x ) dx
1
y = uv = Ce ∫
⋅ ⎛⎜ ∫ Q( x)e ∫
dx + C 2 ⎞⎟
C⎝
⎠
Окончательно получаем формулу:
16
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
− P ( x ) dx ⎛
P ( x ) dx
y=e ∫
dx + C 2 ⎞⎟ , С2 - произвольный коэффициент.
⋅ ⎜ ∫ Q ( x )e ∫
⎠
⎝
Это соотношение может считаться решением неоднородного линейного
дифференциального уравнения в общем виде по способу Бернулли.
Метод Лагранжа.
( Ларганж Жозеф Луи (1736-1813) - французский математик, през. Берлинской АН,
поч. чл. Пет. АН (1776)).
Метод Лагранжа
решения неоднородных линейных дифференциальных
уравнений еще называют методом вариации произвольной постоянной.
Вернемся к поставленной задаче:
y ′ + P ( x) y = Q ( x )
Первый шаг данного метода состоит в отбрасывании правой части уравнения и
замене ее нулем.
y ′ + P( x) y = 0
Далее находится решение получившегося однородного дифференциального
уравнения:
− P ( x ) dx
y=Ce ∫
.
1
Для того, чтобы найти соответствующее решение неоднородного
дифференциального уравнения, будем считать постоянную С1 некоторой функцией от
х.
Тогда по правилам дифференцирования произведения функций получаем:
− P ( x ) dx
dy dC1 ( x) − ∫ P ( x ) dx
y′ =
=
e
+ C1 ( x)e ∫
⋅ (− P( x));
dx
dx
Подставляем полученное соотношение в исходное уравнение
− P ( x ) dx
− P ( x ) dx
dC1 ( x) − ∫ P ( x ) dx
e
−C1 ( x) P ( x)e ∫
+ P ( x)C1 ( x)e ∫
= Q( x)
dx
dC1 ( x) − ∫ P ( x ) dx
e
= Q ( x);
dx
Из этого уравнения определим переменную функцию С1(х):
P ( x ) dx
dC ( x) = Q( x)e ∫
dx;
1
Интегрируя, получаем:
C1 = ∫ Q ( x)e ∫
P ( x ) dx
dx + C ;
Подставляя это значение в исходное уравнение, получаем:
− P ( x ) dx ⎛
∫ P ( x ) dx dx + C ⎞ .
y=e ∫
⎜ ∫ Q ( x )e
⎟
⎝
⎠
17
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Таким образом, мы получили результат, полностью совпадающий с результатом
расчета по методу Бернулли.
При выборе метода решения линейных дифференциальных уравнений следует
руководствоваться
простотой интегрирования функций, входящих в исходный
интеграл.
Далее рассмотрим примеры решения различных дифференциальных уравнений
различными методами и сравним результаты.
1
Пример. Решить уравнение x 2 y ′ + y = ax 2 e x .
Сначала приведем данное уравнение к стандартному виду: y ′ +
1
1
y = ae x .
2
x
1
1
Применим полученную выше формулу: P = 2 ; Q = ae x ;
x
1
1
1
− ∫ 2 dx ⎛
dx
⎞
x
x ∫ x2
⎜
⎟
y=e
ae
e
dx
C
+
⎜∫
⎟
⎝
⎠
1
1
1
1
−
⎛
⎞
y = e x ⎜⎜ ∫ ae x e x dx + C ⎟⎟ = e x ∫ adx + C
⎝
⎠
(
)
1
x
y = e (ax + C ).
Уравнение Бернулли.
Определение. Уравнением Бернулли называется уравнение вида
y ′ + Py = Q ⋅ y n ,
где P и Q – функции от х или постоянные числа, а n – постоянное число, не равное 1.
Для решения уравнения Бернулли применяют подстановку z =
1
y n −1
которой, уравнение Бернулли приводится к линейному.
Для этого разделим исходное уравнение на yn.
1
y′
+ P n −1 = Q;
n
y
y
Применим подстановку, учтя, что z ′ = −
(n − 1) y n − 2
(n − 1) y ′
⋅ y′ = −
.
2 n−2
y
yn
z′
+ Pz = Q
n −1
z ′ − (n − 1) Pz = −(n − 1)Q
Т.е. получилось линейное уравнение относительно неизвестной функции z.
Решение этого уравнения будем искать в виде:
−
18
, с помощью
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
− Pdx
P1dx
z = e ∫ ⎛⎜ ∫ Q1e ∫ dx + C ⎞⎟
⎠
⎝
Q1 = −(n − 1)Q;
P1 = −(n − 1) P.
Пример. Решить уравнение xy ′ + y = xy 2 ln x.
y′ 1 1
+ ⋅ = ln x.
y2 x y
Разделим уравнение на xy2:
Полагаем z =
1
y′
; z′ = − 2 .
y
y
− z′ +
1
z = ln x;
x
z′ −
1
z = − ln x .
x
1
Полагаем P = − , Q = − ln x.
x
dx
dx
−∫
⎞
∫ x ⎛⎜
z = e ⎜ ∫ − ln xe x dx + C ⎟⎟;
z = e ln x ∫ − ln xe −ln x dx + C ;
⎝
⎠
dx
⎛
⎞
z = x⎜ ∫ − ln x ⋅ + C ⎟;
z = x − ∫ ln xd (ln x) + C ;
x
⎝
⎠
⎛ ln 2 x
⎞
+ C ⎟⎟
z = x⎜⎜ −
2
⎝
⎠
Произведя обратную подстановку, получаем:
⎛ ln 2 x
⎞
1
= x⎜⎜ −
+ C ⎟⎟.
2
y
⎝
⎠
(
(
)
)
Пример. Решить уравнение xy ′ − 4 y = x 2 y .
Разделим обе части уравнения на x y .
1 dy 4
−
y = x.
y dx x
y ; z′ =
1
y ′; y ′ = 2 y z ′;
2 y
1
4
dz 2 z x
2 y z ′ − z = x;
−
= ;
x
dx x
2
y
Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение.
соответствующее ему линейное однородное уравнение:
dz 2 z
dz 2 z dz 2dx
−
= 0;
=
;
=
;
dx x
dx
x
z
x
Полагаем z =
Рассмотрим
dz
dx
= 2∫ + C1 ; ln z = 2 ln x + ln C ; z = Cx 2 ;
z
x
Полагаем C = C(x) и подставляем полученный результат в линейное неоднородное
уравнение, с учетом того, что:
∫
19
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
dz
dC ( x)
;
= 2 xC ( x) + x 2
dx
dx
2 x 2 C ( x) x
2 dC ( x )
2 xC ( x) + x
−
= ;
2
dx
x
1
dC ( x) 1
;
C ( x) = ln x + C 2 ;
=
2x
2
dx
1
⎛
⎞
Получаем: z = x 2 ⎜ C 2 + ln x ⎟;
2
⎝
⎠
Применяя обратную подстановку, получаем окончательный ответ:
2
1
⎛
⎞
y = x ⎜ C 2 + ln x ⎟ ;
2
⎝
⎠
4
Уравнения в полных дифференциалах (тотальные).
Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка вида:
M ( x, y )dx + N ( x, y )dy = 0
называется уравнением в полных дифференциалах, если левая часть этого уравнения
представляет собой полный дифференциал некоторой функции u = F ( x, y ).
Интегрирование такого уравнения сводится к нахождению функции u, после
чего решение легко находится в виде: du = 0; u = C.
Таким образом, для решения надо определить:
1) в каком случае левая часть уравнения представляет собой полный дифференциал
функции u;
2) как найти эту функцию.
M ( x, y )dx + N ( x, y )dy является
полным
Если
дифференциальная
форма
дифференциалом некоторой функции u, то можно записать:
∂u
∂u
du = M ( x, y )dx + N ( x, y )dy =
dx +
dy.
∂x
∂y
⎧ ∂u
⎪⎪ ∂x = M ( x, y )
Т.е. ⎨
.
⎪ ∂u = N ( x, y )
⎪⎩ ∂y
Найдем смешанные производные второго порядка, продифференцировав первое
уравнение по у, а второе – по х:
⎧ ∂ 2 u ∂M ( x, y )
=
⎪
∂y
⎪ ∂x∂y
⎨ 2
⎪ ∂ u = ∂N ( x, y )
⎪⎩ ∂x∂y
∂x
Приравнивая левые части уравнений, получаем необходимое и достаточное
условие того, что левая часть дифференциального уравнения является полным
дифференциалом. Это условие также называется условием тотальности.
20
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
∂M ( x, y ) ∂N ( x, y )
=
∂y
∂x
Теперь рассмотрим вопрос о нахождении собственно функции u.
∂u
= M ( x, y ) :
Проинтегрируем равенство
∂x
u = ∫ M ( x, y )dx + C ( y ).
Вследствие интегрирования получаем не постоянную величину С, а некоторую
функцию С(у), т.к. при интегрировании переменная у полагается постоянным
параметром.
Определим функцию С(у).
Продифференцируем полученное равенство по у.
∂u
∂
= N ( x, y ) =
M ( x, y )dx + C ′( y ).
∂y
∂y ∫
∂
Откуда получаем: C ′( y ) = N ( x, y ) − ∫ M ( x, y )dx.
∂y
Для нахождения функции С(у) необходимо проинтегрировать приведенное выше
равенство. Однако, перед интегрированием надо доказать, что функция С(у) не зависит
от х. Это условие будет выполнено, если производная этой функции по х равна нулю.
[С ′( y )]x ′ = ∂N ( x, y ) − ∂ ∂ ∫ M ( x, y )dx = ∂N ( x, y ) − ∂ ⎛⎜ ∂ ∫ M ( x, y )dx ⎞⎟ =
∂x
∂x ∂y
∂x
∂y ⎝ ∂x
⎠
∂N ( x, y ) ∂M ( x, y )
=
−
= 0.
∂x
∂y
Теперь определяем функцию С(у):
⎡
⎤
∂
C ( y ) = ∫ ⎢ N ( x, y ) − ∫ M ( x, y )dx ⎥ dy + C
∂y
⎣
⎦
Подставляя этот результат в выражение для функции u, получаем:
⎡
⎤
∂
u = ∫ M ( x, y )dx + ∫ ⎢ N ( x, y ) − M ( x, y )dx ⎥ dy + C.
∂y
⎣
⎦
Тогда общий интеграл исходного дифференциального уравнения будет иметь вид:
⎡
∂
⎤
∫ M ( x, y)dx + ∫ ⎢⎣ N ( x, y) − ∂y M ( x, y)dx⎥⎦ dy = C.
Следует отметить, что при решении уравнений в полных дифференциалах не
обязательно использовать полученную формулу. Решение может получиться более
компактным, если просто следовать методу, которым формула была получена.
Пример. Решить уравнение (3x 2 + 10 xy )dx + (5 x 2 − 1)dy = 0
Проверим условие тотальности:
∂M ( x, y ) ∂ (3 x 2 +10 xy )
=
= 10 x;
∂y
∂y
∂N ( x, y ) ∂ (5 x 2 − 1)
=
= 10 x.
∂x
∂x
Условие тотальности выполняется, следовательно, исходное дифференциальное
уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
21
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Определим функцию u.
u = ∫ M ( x, y )dx + C ( y ) = ∫ (3x 2 + 10 xy )dx + C ( y ) = x 3 + 5 x 2 y + C ( y );
∂u
= 5 x 2 + C ′( y ) = N ( x, y ) = 5 x 2 − 1;
∂y
C ′( y ) = −1; C ( y ) = ∫ (−1)dy = − y + C1 ;
Итого, u = x 3 + 5 x 2 y − y + C1 .
Находим общий интеграл исходного дифференциального уравнения:
u = x 3 + 5 x 2 y − y + C1 = С 2 ;.
x 3 + 5 x 2 y − y = C.
Уравнения вида y = f(y’) и x = f(y’).
Решение уравнений, не содержащих в одном случае аргумента х, а в другом –
функции у, ищем в параметрической форме, принимая за параметр производную
неизвестной функции.
y ′ = p.
dp
Для уравнения первого типа получаем: y = f ( p );
y ′ = f ′( p ) .
dx
dp
Делая замену, получаем: p = f ′( p ) ;
dx
В результате этих преобразований имеем дифференциальное уравнение с
разделяющимися переменными.
f ′( p)
f ′( p)
dx =
dp;
x=∫
dp + C.
p
p
Общий интеграл в параметрической форме представляется системой уравнений:
f ′( p)
⎧
dp + C
⎪x = ∫
p
⎨
⎪ y = f ( p)
⎩
Исключив из этой системы параметр р, получим общий интеграл и не в
параметрической форме.
Для дифференциального уравнения вида x = f(y’) с помощью той же самой
подстановки и аналогичных рассуждений получаем результат:
⎧⎪ y = pf ′( p )dp + C
∫
⎨
⎪⎩ x = f ( p )
22
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Уравнения Лагранжа и Клеро.
( Алекси Клод Клеро (1713 – 1765) французский математик
ин. поч. член Петерб. АН )
Определение. Уравнением Лагранжа называется дифференциальное
уравнение, линейное относительно х и у, коэффициенты которого являются функциями
от y’.
P ( y ′) x + Q ( y ′) y + R ( y ′) = 0
Для нахождения общего решение применяется подстановка p = y’.
P( y ′)
R( y ′)
y = xf ( p) + ϕ( p ), f ( p ) = −
, ϕ( p ) = −
.
Q( y ′)
Q( y ′)
Дифференцируя это уравнение,c учетом того, что dy = pdx , получаем:
pdx = f ( p )dx + xf ′( p )dp + ϕ′( p)dp.
Если решение этого (линейного относительно х) уравнения есть x = F ( p, C ), то общее
решение уравнения Лагранжа может быть записано в виде:
⎧ x = F ( p, C )
⎨
⎩ y = xf ( p) + ϕ( p ) = F ( p, C ) f ( p) + ϕ( p )
Определение. Уравнением Клеро называется уравнение первой степени (т.е.
линейное) относительно функции и аргумента вида:
y = xy ′ + ϕ( y ′).
Вообще говоря, уравнение Клеро является частным случаем уравнения
Лагранжа.
С учетом замены y ′ = p , уравнение принимает вид:
y = xp + ϕ( p).
dp
dp
dp
dp
y′ = p + x
+ ϕ′( p) ;
p= p+x
+ ϕ′( p) ;
dx
dx
dx
dx
dp
[x + ϕ′( p)] = 0;
dx
Это уравнение имеет два возможных решения:
dp = 0 или x + ϕ′( p ) = 0.
В первом случае: p = c;
y = cx + ϕ(c)
Видно, что общий интеграл уравнения Клеро представляет собой семейство прямых
линий.
Во втором случае решение в параметрической форме выражается системой уравнений:
⎧ y = xp + ϕ( p )
⎨
⎩ x + ϕ′( p ) = 0
Исключая параметр р, получаем второе решение F(x, y) = 0. Это решение не
содержит произвольной постоянной и не получено из общего решения, следовательно,
не является частным решением.
Это решение будет являться особым интегралом. ( См. Особое решение. )
23
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Далее рассмотрим примеры решения различных типов дифференциальных
уравнений первого порядка.
Пример. Решить уравнение с заданными начальными условиями.
y
y ′ − = x + 1; y (1) = 0.
x
Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка.
Решим соответствующее ему однородное уравнение.
y
y
dy y
dy dx
y ′ − = 0;
y′ = ;
= ;
= ;
x
x
dx x
y
x
dy
dx
∫ y = ∫ x ; ln y = ln x + ln C;
y = Cx;
Для неоднородного уравнения общее решение имеет вид:
y = C ( x) x;
Дифференцируя, получаем: y ′ = C ′( x) x + C ( x);
Для нахождения функции С(х) подставляем полученное значение в исходное
дифференциальное уравнение:
C ′( x) x + C ( x) − C ( x) = x + 1
xC ′( x) = x + 1
1
⎛ 1⎞
C ′( x) = 1 + ;
C ( x) = ∫ ⎜1 + ⎟dx + C ;
x
x⎠
⎝
C ( x) = x + ln x + C ;
Итого, общее решение: y = x( x + ln x + C ).
C учетом начального условия y (1) = 0 определяем постоянный коэффициент C.
0 = 1 + ln 1 + C ;
C = −1.
Окончательно получаем: y = x 2 + x ln x − x.
Для проверки подставим полученный результат в исходное дифференциальное
1
уравнение:
2 x + ln x + x ⋅ − 1 − x − ln x + 1 = x + 1; верно
x
Ниже показан график интегральной кривой уравнения.
1.5
1
0.5
0.5
1
-0.5
24
1.5
2
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Пример. Найти общий интеграл уравнения x( y 2 − 1)dx + y ( x 2 − 1)dy = 0 .
Это уравнение с разделяющимися переменными.
xdx
ydy
xdx
ydy
+ 2
= 0;
= −∫ 2 ;
2
2
∫
x −1 y −1
x −1
y −1
ln x 2 − 1 + ln y 2 − 1 = ln C ;
Общий интеграл имеет вид: ( x 2 − 1)( y 2 − 1) = C.
Построим интегральные кривые дифференциального уравнения при различных
значениях С.
С = - 0,5
С = -0,02
С = -1
С = -2
2
1.5
1
0.5
-2
-1
1
2
-0.5
-1
-1.5
-2
С = 0,02
С = 0,5
С=1
С=2
Пример. Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее
заданным начальным условиям.
y (0) = 0.
y ′ cos x = ( y + 1) sin x;
Это уравнение с разделяющимися переменными.
y′
dy
sin x
=
;
= tgxdx;
y + 1 cos x
y +1
dy
∫ y + 1 = ∫ tgxdx; ln y + 1 = − ln cos x + ln C;
ln ( y + 1) cos x = ln C ;
( y + 1) cos x = C ;
25
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Общее решение имеет вид: y =
C
− 1.
cos x
Найдем частное решение при заданном начальном условии у(0) = 0.
С
0 = − 1;
C = 1.
1
Окончательно получаем: y =
1
− 1.
cos x
Пример. Решить предыдущий пример другим способом.
Действительно, уравнение y ′ cos x = ( y + 1) sin x может быть рассмотрено как
линейное неоднородное дифференциальное уравнение.
y ′ cos x − y sin x = sin x.
Решим соответствующее ему линейное однородное уравнение.
dy
y ′ cos x − y sin x = 0;
y ′ cos x = y sin x;
= tgxdx;
y
dy
∫ y = ∫ tgxdx + ln C; ln y = − ln cos x + ln C; y cos x = C;
C
.
y=
cos x
Решение неоднородного уравнения будет иметь вид: y =
C ′( x) cos x + C ( x) sin x
.
cos 2 x
Подставляя в исходное уравнение, получаем:
C ( x)
.
cos x
Тогда y ′ =
[C ′( x) cos x + C ( x) sin x]⋅ cos x − C ( x) sin x = sin x;
C ′( x) cos x
= sin x;
cos x
Итого y =
− cos x + C
;
cos x
cos 2 x
cos x
C ′x) = sin x;
y=
C ( x) = ∫ sin xdx = − cos x + C ;
C
− 1;
cos x
С учетом начального условия у(0) = 0 получаем y =
1
− 1;
cos x
Как видно результаты, полученные при решении данного дифференциального
уравнения различными способами, совпадают.
При решении дифференциальных уравнений бывает возможно выбирать метод
решения, исходя из сложности преобразований.
26
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Пример. Решить уравнение y ′ + y cos x =
1
sin 2 x с начальным условием у(0) = 0.
2
Это линейное неоднородное уравнение. Решим соответствующее ему однородное
уравнение.
dy
y ′ + y cos x = 0;
= − cos xdx;
ln y = − sin x + C1 ;
y
y = e − sin x ⋅ e C1 ;
y = Ce − sin x ;
Для линейного неоднородного уравнения общее решение будет иметь вид:
y = C ( x)e − sin x ;
Для определения функции С(х) найдем производную функции у и подставим ее
в исходное дифференциальное уравнение.
y ′ = C ′( x)e − sin x − C ( x)e − sin x cos x;
C ′( x)e − sin x − C ( x)e − sin x cos x + C ( x)e − sin x cos x = sin x cos x;
C ′( x)e − sin x = sin x cos x;
C ′( x) = e sin x sin x cos x;
⎧⎪V = e sin x ;
dU = cos xdx; ⎫⎪
sin x
sin x
С ( x) = ∫ e sin x sin x cos xdx = ⎨
⎬ = e sin x − ∫ e cos xdx =
sin x
⎪⎩dV = e cos xdx; U = sin x;⎪⎭
=e sin x sin x − e sin x + C.
Итого y = e − sin x (e sin x sin x − e sin x + C );
y = sin x − 1 + Ce − sin x ;
Проверим полученное общее решение подстановкой в исходное
дифференциальное уравнение.
cos x + Ce − sin x (− cos x) + sin x cos x − cos x + Ce − sin x cos x = sin x cos x; (верно)
Найдем частное решение при у(0) = 0.
0 = sin 0 − 1 + Ce 0 ;
C = 1.
Окончательно y = sin x + e − sin x − 1.
Пример. Найти решение дифференциального уравнения
20 xdx − 3 ydy = 3 x 2 ydy − 5 xy 2 dx
с начальным условием у(1) = 1.
Это уравнение может быть преобразовано и представлено как уравнение с
разделенными переменными.
20 x − 3 yy ′ = 3x 2 yy ′ − 5 xy 2 ;
3 yy ′( x 2 + 1) = 5 x( y 2 + 4);
3y
5x
3y
5x
y′ 2
= 2
;
dy = 2
dx;
2
y + 4 x +1
y +4
x +1
3y
5x
∫ y 2 + 4 dy = ∫ x 2 + 1 dx;
27
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
3
5
ln( y 2 + 4) = ln( x 2 + 1) + ln C1
2
2
( y 2 + 4) 3 = C ⋅ ( x 2 + 1) 5 ;
y 2 + 4 = C ⋅ 3 ( x 2 + 1) 2 ;
5
y 2 = C ( x 2 + 1) 3 − 4;
5
y = C ( x 2 + 1) 3 − 4 ;
С учетом начального условия:
5
3
1 = С ⋅ 2 − 4 = С 3 32 − 4 ;
1 = 2C 3 4 − 4;
5
C=
23 4
5 = 2C 3 4 ;
125 = 8C 3 ⋅ 4; C 3 =
125
;
32
.
5
⎛ x2 +1⎞3
⎟⎟ − 4.
Окончательно y = 5⎜⎜
⎝ 2 ⎠
Пример. Решить дифференциальное уравнение xy ′ + y = x + 1 с начальным
условием у(1) = 0.
Это линейное неоднородное уравнение.
Решим соответствующее ему однородное уравнение.
xdy
dy
dx
xy ′ + y = 0;
= − y;
=− ;
dx
y
x
C
xy = C ;
y= ;
x
ln y = − ln x + ln C ;
Решение неоднородного уравнения будет иметь вид:
C ( x)
y=
;
x
Подставим в исходное уравнение:
C ′( x) x
C ′( x) x − C ( x) C ( x)
+
= x + 1;
= x + 1;
x
2
x
x
x
x2
C ( x) =
+ x + C;
2
Общее решение будет иметь вид: y =
x
C
+1+ ;
x
2
C учетом начального условия у(1) = 0: 0 =
Частное решение: y =
C ′( x) = x + 1;
1
+ 1 + C;
2
x 3
−
+ 1;
2 2x
28
3
C=− ;
2
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Пример. Найти решение дифференциального уравнения
⎛ y⎞
xy ′ = y ln⎜ ⎟
⎝ x⎠
с
начальным условием у(1) = е.
Это уравнение может быть приведено к виду уравнения с разделяющимися
переменными с помощью замены переменных.
y
⎛ y⎞
Обозначим: ln⎜ ⎟ = u;
= eu ;
y = xe u ;
y ′ = xu ′e u + e u ;
x
x
⎝ ⎠
Уравнение принимает вид:
xu ′e u + e u = e u u;
xu ′ + 1 = u;
xu ′ = u − 1;
Получили уравнение с разделяющимися переменными.
du
du
dx
x
= u − 1;
= ;
dx
u −1 x
du
dx
∫ u − 1 = ∫ x ; ln u − 1 = ln x + ln C;
⎛ y⎞
Сделаем обратную замену: Cx = ln⎜ ⎟ − 1;
⎝x⎠
u − 1 = Cx;
⎛ y⎞
ln⎜ ⎟ = Cx + 1;
⎝x⎠
y
= e Cx +1 ;
x
Общее решение: y = xe Cx +1 ;
C учетом начального условия у(1) = е: e = e C +1 ;
Частное решение: y = ex;
C = 0;
Второй способ решения.
y
xy ′ = y ln ;
x
xy ′ = y ln y − y ln x;
y
y
ln y = − ln x;
x
x
неоднородное
дифференциальное
y′ −
Получили
линейное
Соответствующее однородное:
y
y ′ − ln y = 0;
x
y
dy
dx
y ′ = ln y;
= ;
x
y ln y
x
ln ln y = ln x + ln C ;
∫
ln y = Cx;
d (ln y )
dx
=∫ ;
x
ln y
y = e Cx ;
Решение исходного уравнения ищем в виде: y = e C ( x ) x ;
Тогда y ′ = e C ( x ) x (C ′( x) x + C ( x) );
Подставим полученные результаты в исходное уравнение:
e C ( x) x
xe C ( x ) x (C ′( x) x + C ( x) ) = e C ( x ) x ln
;
x
29
уравнение.
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
x 2 C ′( x) + xC ( x) = C ( x) x − ln x;
ln x
x 2 C ′( x) = − ln x;
C ′( x) = − 2 ;
x
dx ⎫
⎧
u = ln x; dv = 2 ;⎪
⎪
ln x
− dx ⎤ ln x 1
⎪
⎡ ln x
x ⎪
C ( x) = − ∫ 2 dx = ⎨
+ + C;
−∫ 2 ⎥ =
⎬ = − ⎢−
x
x
x ⎦
x
⎣ x
⎪du = dx ; v = − 1 ;⎪
⎪
⎪⎩
x
x ⎭
C ( x) x
ln x +1+ Cx
y=e
=e
= xe Cx +1 ;
Получаем общее решение: y = xe Cx +1 ;
y
Пример. Решить дифференциальное уравнение y ′ + e x −
y
= 0 с начальным
x
условием у(1)=0.
В этом уравнении также удобно применить замену переменных.
y
xu ′
y
x
;
= ln u;
y = x ln u;
y ′ = ln u +
e = u;
u
x
xu ′
+ u − ln u = 0;
xu ′ + u 2 = 0;
Уравнение принимает вид: ln u +
u
du
dx
du
dx
=− ;
= −∫ ;
xu ′ = −u 2 ;
2
2
∫
x
x
u
u
1
1
= ln x + ln C ;
= ln Cx;
u
u
y
−
y
x
− = ln(ln Cx);
Делаем обратную подстановку: e = ln Cx;
x
Общее решение: y = − x ln(ln Cx);
C учетом начального условия у(1) = 0: 0 = − ln(ln C );
Частное решение: y = − x ln(ln ex);
Второй способ решения.
y
x
y′ + e −
Замена переменной: u =
y
=0
x
y
; y = ux; y ′ = u ′x + u;
x
u ′x + u + e u − u = 0
u ′x + e u = 0
du
x = −e u
dx
dx
− e −u du =
x
30
C = e;
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
− ∫ e −u du = ∫
e −u = ln x + ln C ;
− u = ln(ln Cx );
dx
;
x
e −u = ln Cx ;
u = − ln(ln Cx );
Общее решение: y = − x ln(lnCx);
Геометрическая интерпретация решений дифференциальных
уравнений первого порядка.
у
a
b
A
S
x
Как уже говорилось выше (см. Интегральные кривые. ), линия S, которая
задается функцией, являющейся каким- либо решением дифференциального уравнения,
называется интегральной кривой уравнения y ′ = f ( x, y ).
Производная y’ является угловым коэффициентом касательной к
интегральной кривой.
В любой точке А(х, у) интегральной кривой этот угловой коэффициент
касательной может быть найден еще до решения дифференциального уравнения.
Т.к. касательная указывает направление интегральной кривой еще до ее
непосредственного построения, то при условии непрерывности функции f(x, y) и
непрерывного перемещения точки А можно наглядно изобразить поле направлений
кривых, которые получаются в результате интегрирования дифференциального
уравнения, т.е. представляют собой его общее решение.
Определение. Множество касательных в каждой точке рассматриваемой
области называется полем направлений.
С учетом сказанного выше можно привести следующее геометрическое
истолкование дифференциального уравнения:
1) Задать дифференциальное уравнение первого порядка – это значит задать
поле направлений.
2) Решить или проинтегрировать дифференциальное уравнение – это значит
найти всевозможные кривые, у которых направление касательных в каждой точке
совпадает с полем направлений.
31
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Определение. Линии равного наклона в поле направлений называются
изоклинами.
Численные методы решения дифференциальных уравнений.
Известные методы точного интегрирования дифференциальных уравнений
позволяют найти решение в виде аналитической функции, однако эти методы
применимы для очень ограниченного класса уравнений. Большинство уравнений,
встречающихся при решении практических задач нельзя проинтегрировать с помощью
этих методов.
В таких случаях используются численные методы решения, которые
представляют решение дифференциального уравнения не в виде аналитической
функции, а в виде таблиц значений искомой функции в зависимости от значения
переменной.
Существует несколько методов численного интегрирования дифференциальных
уравнений, которые отличаются друг от друга по сложности вычислений и точности
результата.
Рассмотрим некоторые из них.
Метод Эйлера.
(Леонард Эйлер (1707 – 1783) швейцарский математик )
Известно, что уравнение y ′ = f ( x, y ) задает в некоторой области поле
направлений. Решение этого уравнения с некоторыми начальными условиями дает
кривую, которая касается поля направлений в любой точке.
Если взять последовательность точек х0, х1, х2, …. и заменить на получившихся
отрезках интегральную кривую на отрезки касательных к ней, то получим ломаную
линию.
y
y0
M0
M1
M2
M3
M4
0 x0 x1 x2
x3
x4
x
При подстановке заданных начальных условий (х0, у0) в дифференциальное
уравнение y ′ = f ( x, y ) получаем угловой коэффициент касательной к интегральной
кривой в начальной точке
tgα 0 = y ′ = f ( x0 , y 0 ).
Заменив на отрезке [x0, x1] интегральную кривую на касательную к ней,
получаем значение
y1 = y 0 + f ( x 0 , y 0 )( x1 − x 0 ).
Производя аналогичную операцию для отрезка [x1, x2], получаем:
y 2 = y1 + f ( x1 , y1 )( x 2 − x1 ).
Продолжая подобные действия далее, получаем ломаную кривую, которая
называется ломаной Эйлера.
Можно записать общую формулу вычислений:
32
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
y n = y n −1 + f ( x n −1 , y n −1 )( x n − x n −1 ).
Если последовательность точек хi выбрать так, чтобы они отстояли друг от друга
на одинаковое расстояние h, называемое шагом вычисления, то получаем формулу:
y n = y n −1 + f ( x n −1 , y n −1 )h
Следует отметить, что точность метода Эйлера относительно невысока.
Увеличить точность можно, конечно, уменьшив шаг вычислений, однако, это приведет
к усложнению расчетов. Поэтому на практике применяется так называемый
уточненный метод Эйлера или формула пересчета.
Суть метода состоит в том, что в формуле y1 = y 0 + f ( x0 , y 0 )h вместо значения
y 0′ = f ( x 0 , y 0 ) берется среднее арифметическое значений f(x0, y0) и f(x1, y1). Тогда
уточненное значение:
f ( x 0 , y 0 ) + f ( x1 , y1 )
y1(1) = y 0 +
h;
2
Затем находится значение производной в точке ( x1 , y1(1) ) . Заменяя f(x0, y0)
средним арифметическим значений f(x0, y0) и f ( x1 , y1(1) ) , находят второе уточненное
значение у1.
f ( x0 , y 0 ) + f ( x1 , y1(1) )
( 2)
y1 = y 0 +
h;
2
Затем третье:
f ( x0 , y 0 ) + f ( x1 , y1( 2 ) )
y1( 3) = y 0 +
h;
2
и т.д. пока два последовательных уточненных значения не совпадут в пределах
заданной степени точности. Тогда это значение принимается за ординату точки М1
ломаной Эйлера.
Аналогичная операция производится для остальных значений у.
Подобное уточнение позволяет существенно повысить точность результата.
При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики”
возможно запустить программу, которая решает любое дифференциальное уравнение
первого порядка методом Эйлера и уточненным методом Эйлера. На каждом шаге
вычислений подробно выводятся все указанные выше значения.
Для запуска программы дважды щелкните на значке
Примечание: Для запуска программы необходимо чтобы на компьютере была
установлена программа Maple (© Waterloo Maple Inc.) любой версии, начиная с MapleV
Release 4.
33
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Метод Рунге – Кутта.
Метод Рунге – Кутта является более точным по сравнению с методом Эйлера.
Суть уточнения состоит в том, что искомое решение представляется в виде разложения
в ряд Тейлора. (См. Формула Тейлора. )
4
h2
h3
IV h
′
′
′
′
′
′
+ yi
+ yi
+ ...
y i +1 = y i + y i h + y i
2!
3!
4!
Если в этой формуле ограничиться двумя первыми слагаемыми, то получим
формулу метода Эйлера. Метод Рунге – Кутта учитывает четыре первых члена
разложения.
h2
h3
y i +1 = y i + y i′h + y i′′ + y i′′′ = y i + Δy i .
2!
3!
В методе Рунге – Кутта приращения Δyi предлагается вычислять по формуле:
1
Δy i = k1(i ) + 2k 2(i ) + 2k 3(i ) + k 4( i )
6
где коэффициенты ki вычисляются по формулам:
k1(i ) = hf ( xi , y i );
(
)
⎛
k1( i ) ⎞
h
⎟;
k = hf ⎜⎜ xi + ; y i +
2
2 ⎟⎠
⎝
⎛
k (i ) ⎞
h
k 3( i ) = hf ⎜⎜ xi + ; y i + 2 ⎟⎟;
2
2 ⎠
⎝
(i )
(i )
k 4 = hf xi + h; y i + k 3 ;
(i )
2
(
)
Пример. Решить методом Рунге – Кутта дифференциальное уравнение y ′ = x + y
при начальном условии у(0) = 1 на отрезке [0; 0,5] с шагом 0,1.
Для i = 0 вычислим коэффициенты ki.
k1( 0) = hf ( x 0 , y 0 ) = 0,1( x0 + y 0 ) = 0,1(0 + 1) = 0,1;
⎛
k (0) ⎞
h
k 2( 0) = hf ⎜⎜ x0 + ; y 0 + 1 ⎟⎟ = 0,1(0,05 + 1,05) = 0,11;
2
2 ⎠
⎝
⎛
k 2( 0) ⎞
h
( 0)
⎜
⎟⎟ = 0,1(0,05 + 1,055) = 0,1105;
k 3 = hf ⎜ x0 + ; y 0 +
2
2
⎝
⎠
( 0)
( 0)
k 4 = hf x0 + h; y 0 + k 3 = 0,1(0,1 + 1,1105) = 0,1211;
(
)
1 ( 0)
1
(k1 + 2k 2( 0 ) + 2k 3( 0) + k 4( 0 ) ) = (0,1 + 0,22 + 0,221 + 0,1211) = 0,1104;
6
6
x1 = x0 + h = 0,1;
Δy 0 =
y1 = y 0 + Δy 0 = 1 + 0,1104 = 1,1104;
Последующие вычисления приводить не будем, а результаты представим в виде
таблицы.
34
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
i
xi
0
0
1
0,1
2
0,2
3
0.3
4
0,4
5
0,5
k
0,1000
0,1100
0,1105
0,1155
0,1210
0,1321
0,1326
0,1443
0,1443
0,1565
0,1571
0,1700
0,1700
0,1835
0,1842
0,1984
0,1984
0,2133
0,2140
0,2298
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
Δyi
yi
0,1104
1
0,1325
1,1104
0,1569
1,2429
0,1840
1,3998
0,2138
1,5838
1,7976
Решим этот же пример методом Эйлера.
Применяем формулу y n = y n −1 + hf ( x n −1 , y n −1 ).
x0 = 0,
y 0 = 1,
x1 = 0,1 y 0 = 1,1
f ( x0 , y 0 ) = x0 + y 0 = 1;
hf ( x0 , y 0 ) = h( x 0 + y 0 ) = 0,1;
y1 = y 0 + hf ( x0 , y 0 ) = 1 + 0,1 = 1,1.
f ( x1 , y1 ) = x1 + y1 = 1,2;
hf ( x1 , y1 ) = h( x1 + y1 ) = 0,12;
y 2 = y1 + hf ( x1 , y1 ) = 1,1 + 0,12 = 1,22.
Производя аналогичные вычисления далее, получаем таблицу значений:
i
xi
yi
0
0,0
1
1
0,1
1,1
2
0,2
1,22
3
0,3
1,362
4
0,4
1,528
5
0,5
1,721
3
0,3
1,400
4
0,4
1,585
5
0,5
1,799
Применим теперь уточненный метод Эйлера.
i
xi
yi
0
0,0
1
1
0,1
1,1
2
0,2
1,243
35
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Для сравнения точности приведенных методов численного решение данного
уравнения решим его аналитически и найдем точные значения функции у на заданном
отрезке.
Уравнение y ′ − y = x является линейным неоднородным дифференциальным
уравнением первого порядка. Решим соответствующее ему однородное уравнение.
dy
dy
dy
y ′ − y = 0;
y ′ = y;
= y;
= dx;
= dx;
∫
dx
y
y ∫
y
ln y = x + ln C ;
ln = x;
y = Ce x ;
C
Решение неоднородного уравнения имеет вид y = C ( x)e x .
y ′ = C ′( x)e x + C ( x)e x ;
C ′( x)e x + C ( x)e x = x + C ( x)e x ;
C ′( x)e x = x;
C ′( x) = xe − x ;
⎧⎪u = x;
dv = e − x dx;⎫⎪
−x
−x
−x
−x
С ( x) = ∫ xe − x dx = ⎨
⎬ = − xe + ∫ e dx = − xe − e + C ;
−x
⎪⎩du = dx; v = −e ; ⎪⎭
Общее решение: y = Ce x − x − 1;
C учетом начального условия: 1 = C − 0 − 1;
Частное решение: y = 2e x − x − 1;
C = 2;
Для сравнения полученных результатов составим таблицу.
i
0
1
2
3
4
5
xi
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
yi
Метод Эйлера
Уточненный
метод Эйлера
Метод Рунге Кутта
Точное
значение
1
1,1
1,22
1,362
1,528
1,721
1
1,1
1,243
1,4
1,585
1,799
1
1,1104
1,2429
1,3998
1,5838
1,7976
1
1,1103
1,2428
1,3997
1,5837
1,7975
Как видно из полученных результатов метод Рунге – Кутта дает наиболее
точный ответ. Точность достигает 0,0001. Кроме того, следует обратить внимание на
то, ошибка (расхождение между точным и приближенным значениями) увеличивается с
каждым шагом вычислений. Это обусловлено тем, что во – первых полученное
приближенное значение округляется на каждом шаге, а во – вторых – тем, что в
качестве основы вычисления принимается значение, полученное на предыдущем шаге,
т.е. приближенное значение. Таким образом происходит накопление ошибки.
Это хорошо видно из таблицы. С каждым новым шагом приближенное значение
все более отличается от точного.
При использовании кмпьютерной версии “Курса высшей математики”
возможно запустить программу, которая решает любое дифференциальное уравнение
первого порядка рассмотренным выше методом Рунге- Кутта. Программа подробно
выводит результаты вычислений на каждом шаге.
36
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Для запуска программы дважды щелкните на значке
Примечание: Для запуска программы необходимо чтобы на компьютере была
установлена программа Maple (© Waterloo Maple Inc.) любой версии, начиная с MapleV
Release 4.
Дифференциальные уравнения высших порядков.
Определение. Дифференциальным уравнением порядка n называется
уравнение вида:
F ( x, y, y ′,..., y ( n ) ) = 0
В некоторых случаях это уравнение можно разрешить относительно y(n):
y ( n ) = f ( x, y, y ′,..., y ( n −1) ).
Так же как и уравнение первого порядка, уравнения высших порядков имеют
бесконечное количество решений.
Определение.
Решение
( n −1)
x0 , y 0 , y 0′ ,..., y 0 , если ϕ( x0 ) = y 0 ,
y = ϕ(x) удовлетворяет
начальным
( n −1)
ϕ′( x0 ) = y 0′ , .... , ϕ
( x0 ) = y 0( n −1) .
условиям
Определение.
Нахождение
решения
уравнения
F ( x, y, y ′,..., y ( n ) ) = 0 ,
удовлетворяющего начальным условиям x0 , y 0 , y 0′ ,..., y 0( n −1) , называется решением
задачи Коши.
Теорема Коши. (Теорема о необходимых и достаточных условиях
существования решения задачи Коши).
Если функция (n-1) –й переменных вида f ( x, y, y ′,..., y ( n −1) ) в некоторой области
D (n-1)- мерного пространства непрерывна и имеет непрерывные частные
производные по y, y ′,..., y ( n −1) , то какова бы не была точка ( x0 , y 0 , y 0′ ,..., y 0( n −1) ) в этой
y = ϕ(x)
уравнения
области,
существует
единственное
решение
(n)
( n −1)
) , определенного в некотором интервале, содержащем точку
y = f ( x, y, y ′,..., y
х0, удовлетворяющее начальным условиям x0 , y 0 , y 0′ ,..., y 0( n −1) .
Дифференциальные уравнения высших порядков, решение которых может быть
найдено аналитически, можно разделить на несколько основных типов.
Рассмотрим подробнее методы нахождения решений этих уравнений.
Уравнения, допускающие понижение порядка.
Понижение порядка дифференциального уравнения – основной метод решения
уравнений высших порядков. Этот метод дает возможность сравнительно легко
находить решение, однако, он применим далеко не ко всем уравнениям. Рассмотрим
случаи, когда возможно понижение порядка.
37
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Уравнения вида y(n) = f(x).
Если f(x) – функция непрерывная на некотором промежутке a < x < b, то
решение может быть найдено последовательным интегрированием.
y ( n −1) = ∫ f ( x)dx + C1 ;
y ( n −2) = ∫
(∫ f ( x)dx + C )dx + C = ∫ dx∫ f ( x)dx + C x + C ;
1
2
1
2
…………………………………………………………….
x n −1
x n−2
y = ∫ dx ∫ dx....∫ f ( x)dx + C1
+ C2
+ ... + C n ;
(n − 1)!
(n − 2)!
Пример. Решить уравнение y ′′′ = e 2 x с начальными условиями x0 = 0; y0 = 1;
y 0′ = −1; y 0′′ = 0.
1 2x
e + C1 ;
2
1
⎛1
⎞
y ′ = ∫ ⎜ e 2 x + C1 ⎟dx = e 2 x + C1 x + C 2 ;
4
⎝2
⎠
1
⎛1
⎞ 1
y = ∫ ⎜ e 2 x + C1 x + C 2 ⎟ = e 2 x + C1 x 2 + C 2 x + C 3 ;
2
⎝4
⎠ 8
y ′′ = ∫ e 2 x dx + C1 =
Подставим начальные условия:
1
1
1
1 = + С 3 ; − 1 = + C 2 ; 0 = + C1 ;
2
8
4
1
5
7
C1 = − ; C 2 = − ; C 3 = ;
4
8
2
1
1
5
7
Получаем частное решение (решение задачи Коши): y = e 2 x − x 2 − x + .
8
4
4
8
Ниже показана интегральная кривая данного дифференциального уравнения.
10
7.5
5
2.5
-10
-8
-6
-4
-2
2
-2.5
-5
-7.5
38
4
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Уравнения, не содержащие явно искомой функции
и ее производных до порядка k – 1 включительно.
Это уравнения вида: F ( x, y ( k ) , y ( k +1) ,..., y ( n ) ) = 0.
В уравнениях такого типа возможно понижение порядка на k единиц. Для этого
производят замену переменной:
y ( k ) = z; y ( k +1) = z ′; ... y ( n ) = z ( n − k ) .
Тогда получаем: F ( x, z , z ′,..., z ( n −k ) ) = 0.
Теперь
допустим,
что
полученное
дифференциальное
уравнение
проинтегрировано и совокупность его решений выражается соотношением:
z = ψ ( x, C1 , C 2 ,..., C n − k ).
Делая обратную подстановку, имеем:
y ( k ) = ψ ( x, C1 , C 2 ,..., C n − k )
Интегрируя полученное соотношение последовательно k раз, получаем
окончательный ответ:
y = ϕ( x, C1 , C 2 ,..., C n ).
Пример. Найти общее решение уравнения y ′′′ =
y ′′
.
x
Применяем подстановку z = y ′′; z ′ = y ′′′;
z
dz z
dz dx
dz
dx
z′ = ;
= ;
= ;
=∫ ;
∫
x
dx x
z
x
z
x
ln z = ln x + ln C1 ;
z = C1 x;
Произведя обратную замену, получаем:
y ′′ = C1 x;
y ′ = ∫ C1 xdx =
C1 2
x + C2 ;
2
C
⎛C
⎞
y = ∫ ⎜ 1 x 2 + C 2 ⎟dx = 1 x 3 + C 2 x + C 3 ;
6
⎝ 2
⎠
Общее решение исходного дифференциального уравнения:
y = Cx 3 + C 2 x + C 3 ;
Отметим, что это соотношение является решением для всех значений
переменной х кроме значения х =0.
Уравнения, не содержащие явно независимой переменной.
Это уравнения вида F ( y, y ′,..., y ( n ) ) = 0.
Порядок таких уравнений может быть понижен на единицу с помощью замены
переменных y ′ = p.
dy ′ dy ′ dy dp
y ′′ =
=
⋅
=
p;
dx
dy dx dy
39
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
⎛ dp
d ⎜⎜
dy
dy ′′ dy ′′ dy dy ′′
y ′′′ =
=
⋅
=
p= ⎝
dx
dy dx dy
dy
⎞
p ⎟⎟
2
2
⎠ p = d p p 2 + ⎛⎜ dp ⎞⎟ p; и т.д.
⎜ dy ⎟
dy 2
⎝ ⎠
Подставляя эти значения в исходное дифференциальное уравнение, получаем:
⎛
dp
d n −1 p ⎞
⎜
F1 ⎜ y, p, ,..., n −1 ⎟⎟ = 0
dy
dy ⎠
⎝
Ф( y, p, C1 , C 2 ,..., C n −1 ) = 0 Если это уравнение проинтегрировать, и
совокупность его решений, то для решения данного дифференциального уравнения
остается решить уравнение первого порядка:
Ф( y, y ′, C1 , C 2 ,..., C n −1 ) = 0.
Пример. Найти общее решение уравнения yy ′′ − ( y ′) 2 − 4 yy ′ = 0.
dp
p;
dy
⎛ dp
⎞
dp
yp
− p 2 − 4 yp = 0;
p⎜⎜ y
− p − 4 y ⎟⎟ = 0;
dy
⎝ dy
⎠
Замена переменной: p = y ′;
y ′′ =
dp
dp
p
− p − 4 y = 0;
= 4+ ;
dy
dy
y
Для решения полученного дифференциального уравнения произведем замену
p
переменной: u = .
y
du
dy
u+
y = 4 + u;
du = 4 ;
dy
y
dy
∫ du = 4∫ y ; u = 4 ln y + 4 ln C1 ; u = 4 ln C1 y ;
p = 4 y ln C1 y ;
1) y
С учетом того, что p =
dy
, получаем:
dx
dy
= 4 y ln C1 y ;
dx
x=
dy
∫ 4 y ln C y = ∫ dx;
1
1 d (ln C1 y ) 1
= ln ln C1 y + C 2 ;
4 ∫ ln C1 y
4
Общий интеграл имеет вид: ln ln C1 y = 4 x + C ;
2) p = 0;
y ′ = 0;
y = C;
Таким образом, получили два общих решения.
40
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
Определение. Линейным дифференциальным уравнением n – го порядка
называется любое уравнение первой степени относительно функции у и ее
производных y ′, y ′′,..., y ( n ) вида:
p 0 y ( n ) + p1 y ( n −1) + p 2 y ( n − 2) + ... + p n −1 y ′ + p n y = f ( x);
где p0, p1, …,pn – функции от х или постоянные величины, причем p0 ≠ 0.
Левую часть этого уравнения обозначим L(y).
p 0 y ( n ) + p1 y ( n −1) + p 2 y ( n − 2) + ... + p n −1 y ′ + p n y = L( y );
Определение. Если f(x) = 0, то уравнение L(y) = 0 называется линейным
однородным уравнением, если f(x) ≠ 0, то уравнение L(y) = f(x) называется линейным
неоднородным уравнением, если все коэффициенты p0, p1, p2, … pn – постоянные
числа, то уравнение L(y) = f(x) называется линейным дифференциальным
уравнением высшего порядка с постоянными коэффициентами.
Отметим одно важное свойство линейных уравнений высших порядков, которое
отличает их от нелинейных. Для нелинейных уравнений частный интеграл находится
из общего, а для линейных – наоборот, общий интеграл составляется из частных.
Линейные
уравнения
представляют
собой
наиболее
изученный
класс
дифференциальных уравнений высших порядков. Это объясняется сравнительной
простотой нахождения решения. Если при решении каких – либо практических задач
требуется решить нелинейное дифференциальное уравнение, то часто применяются
приближенные методы, позволяющие заменить такое уравнение “близким” к нему
линейным.
Рассмотрим
способы
интегрирования
некоторых
типов
линейных
дифференциальных уравнений высших порядков.
Линейные однородные дифференциальные уравнения с
произвольными коэффициентами.
Рассмотрим уравнение вида p 0 y ( n ) + p1 y ( n −1) + p 2 y ( n −2 ) + ... + p n −1 y ′ + p n y = 0
Определение. Выражение p 0 y ( n ) + p1 y ( n −1) + p 2 y ( n − 2 ) + ... + p n −1 y ′ + p n y = L( y )
называется линейным дифференциальным оператором.
Линейный дифференциальный оператор обладает следующими свойствами:
1) L(Cy ) = CL( y );
2) L( y1 + y 2 ) = L( y1 ) + L( y 2 );
Решения линейного однородного уравнения обладают следующими свойствами:
1) Если функция у1 является решением уравнения, то функция Су1, где С –
постоянное число, также является его решением.
2) Если функции у1 и у2 являются решениями уравнения, то у1 +у2 также
является его решением.
41
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Структура общего решения.
Определение. Фундаментальной системой решений линейного однородного
дифференциального уравнения n –го порядка на интервале (a, b) называется всякая
система n линейно независимых на этом интервале решений уравнения.
Определение. Если из функций yi составить определитель n – го порядка
y1
y2
...
yn
y1′
y ′2
...
y n′
,
W =
...
...
...
...
y1( n −1) y 2( n −1) ... y n( n −1)
то этот определитель называется определителем Вронского.
( Юзеф Вроньский (1776 – 1853) – польский математик и философ - мистик)
Теорема. Если функции y1 , y 2 ,..., y n линейно зависимы, то составленный для них
определитель Вронского равен нулю.
Теорема. Если функции y1 , y 2 ,..., y n линейно независимы, то составленный для
них определитель Вронского не равен нулю ни в одной точке рассматриваемого
интервала.
Теорема. Для того, чтобы система решений линейного однородного
дифференциального уравнения y1 , y 2 ,..., y n была фундаментальной необходимо и
достаточно, чтобы составленный для них определитель Вронского был не равен нулю.
Теорема. Если y1 , y 2 ,..., y n - фундаментальная система решений на интервале
(a, b), то общее решение линейного однородного дифференциального уравнения
является линейной комбинацией этих решений.
y = C1 y1 + C 2 y 2 + ... + C n y n ,
где Ci –постоянные коэффициенты.
Применение приведенных выше свойств и теорем рассмотрим на примере
линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка.
Общее решение линейного однородного дифференциального
уравнения второго порядка.
Из вышеизложенного видно, что отыскание общего решения линейного
однородного дифференциального уравнения сводится к нахождению его
фундаментальной системы решений.
Однако, даже для уравнения второго порядка, если коэффициенты р зависят от
х, эта задача не может быть решена в общем виде.
Тем не менее, если известно одно ненулевое частное решение, то задача может
быть решена.
Теорема. Если задано уравнение вида y ′′ + p1 ( x) y ′ + p 2 ( x) y = 0 и известно одно
ненулевое решение у = у1, то общее решение может быть найдено по формуле:
42
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
y = C 2 y1 ∫
1 − ∫ p1 ( x ) dx
e
dx + C1 y1 .
y12
Таким образом, для получения общего решения надо подобрать какое – либо
частное решение дифференциального уравнения, хотя это бывает часто довольно
сложно.
Линейные однородные дифференциальные уравнения с
постоянными коэффициентами.
Решение дифференциального уравнения вида y ( n ) + a1 y ( n −1) + ... + a n y = 0 или,
короче, L( y ) = 0 будем искать в виде y = e kx , где k = const.
Т.к. y ′ = ke kx ;
y ′′ = k 2 e kx ; ... y ( n ) = k n e kx , то
L(e kx ) = e kx (k n + a1 k n −1 + ... + a n ).
F (k ) = k n + a1 k n −1 + ... + a n
При
этом
многочлен
называется
характеристическим многочленом дифференциального уравнения.
Для того, чтобы функция
являлась решением исходного
y = e kx
дифференциального уравнения, необходимо и достаточно, чтобы
L(e kx ) = 0; т.е. e kx F (k ) = 0.
Т.к. ekx ≠ 0, то F (k ) = 0 - это уравнение называется характеристическим
уравнением.
Как и любое алгебраическое уравнение степени n, характеристическое
уравнение
имеет
n
корней.
Каждому
корню
k n + a1 k n −1 + ... + a n = 0
характеристического уравнения ki соответствует решение дифференциального
уравнения.
В зависимости от коэффициентов k характеристическое уравнение может иметь
либо n различных действительных корней, либо среди действительных корней могут
быть кратные корни, могут быть комплексно – сопряженные корни, как различные, так
и кратные.
Не будем подробно рассматривать каждый случай, а сформулируем общее
правило нахождения решения линейного однородного дифференциального уравнения с
постоянными коэффициентами.
1) Составляем характеристическое уравнение и находим его корни.
2) Находим частные решения дифференциального уравнения, причем:
a) каждому действительному корню соответствует решение ekx;
б) каждому действительному корню кратности m ставится в соответствие
m решений:
e kx ; xe kx ; ... x m −1e kx .
в) каждой паре комплексно – сопряженных корней α ± iβ
характеристического уравнение ставится в соответствие два решения:
e αx cos βx и e αx sin βx .
г) каждой паре m – кратных комплексно – сопряженных корней α ± iβ
характеристического уравнения ставится в соответствие 2m решений:
43
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
e αx cos βx, xe αx cos β x, ... x m −1e αx cos βx,
e αx sin βx, xe αx sin βx, ...x m −1e αx sin β x.
3) Составляем линейную комбинацию найденных решений.
Эта линейная комбинация и будет являться общим решением исходного линейного
однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
Пример. Решить уравнение y ′′′ − y = 0 .
Составим характеристическое уравнение: k 3 − 1 = 0;
(k − 1)(k 2 + k + 1) = 0;
k1 = 1;
D = 1 − 4 = −3;
1
3
k2 = − +
i;
2 2
Общее решение имеет вид: y = C1e x + e
−
x
2
k 2 + k + 1 = 0;
1
3
k3 = − −
i;
2 2
⎡
3
3 ⎤
x + C 3 sin
x ⎥.
⎢C 2 cos
2
2 ⎦
⎣
Пример. Решить уравнение (1 − x 2 ) y ′′ − 2 xy ′ + 2 y = 0.
Это линейное однородное дифференциальное уравнение с переменными
коэффициентами второго порядка. Для нахождения общего решения необходимо
отыскать какое - либо частное решение.
Таким частным решением будет являться функция y1 = x.
y1′ = 1; y1′′ = 0;
0 − 2 x + 2 x = 0;
Исходное дифференциальное уравнение можно преобразовать:
2x
2y
y ′′ −
y′ +
= 0.
2
1− x
1− x2
2x
1 ∫ 1− x 2 dx
e
dx + C 2 x;
x2
2
e − ln(1− x )
y = C1 x ∫
dx + C 2 x;
x2
⎡1
dx
1
1 ⎤
y = C1 x ∫ 2
+ C 2 x;
+
y = C 2 x + C1 x ∫ ⎢ 2 +
dx;
2
2(1 − x) 2(1 + x) ⎥⎦
x (1 − x )
⎣x
Общее решение имеет вид: y = C1 x ∫
⎡ 1 1 1+ x ⎤
y = C 2 x + C1 x ⎢− + ln
⎥;
⎣ x 2 1− x ⎦
Окончательно: y = C 2 x + C 3 x ln
1+ x
+ C4 ;
1− x
44
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Пример. Решить уравнение y IV − y = 0.
Составим характеристическое уравнение: k 4 − 1 = 0.
k1 = 1; k 2 = −1; k 3 = i; k 4 = −i.
( k 2 − 1)(k 2 + 1) = 0;
Общее решение: y = C1e x + C 2 e − x + C 3 cos x + C 4 sin x.
Пример. Решить уравнение y ′′ − 4 y ′ + 4 y = 0.
Характеристическое уравнение: k 2 − 4k + 4 = 0;
k1 = k 2 = 2.
Общее решение: y = C1e 2 x + C 2 xe 2 x .
Пример. Решить уравнение y ′′ + 2 y ′ + 5 y = 0.
Характеристическое уравнение: k 2 + 2k + 5 = 0;
D = −16;
k1 = −1 + 2i;
k 2 = −1 − 2i.
Общее решение: y = e − x (C1 cos 2 x + C 2 sin 2 x).
Пример. Решить уравнение y ′′′ − 7 y ′′ + 6 y ′ = 0.
k (k 2 − 7 k + 6) = 0;
Характеристическое уравнение: k 3 − 7 k 2 + 6k = 0;
k1 = 0; k 2 = 1; k 3 = 6;
Общее решение: y = C1 + C 2 e x + C 3 e 6 x ;
Пример. Решить уравнение y ′′ − y ′ − 2 y = 0.
Характеристическое уравнение: k 2 − k − 2 = 0;
k1 = −1; k 2 = 2;
Общее решение: y = C1e − x + C 2 e 2 x .
Пример. Решить уравнение y V − 9 y ′′′ = 0.
k 3 (k 2 − 9) = 0;
Характеристическое уравнение: k 5 − 9k 3 = 0;
k1 = k 2 = k 3 = 0;
k 4 = 3;
k 5 = −3;
Общее решение: y = C1 + C 2 x + C 3 x 2 + C 4 e 3 x + C 5 e −3 x ;
Пример. Решить уравнение yy ′′ − y ′ 2 = 0.
45
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Это уравнение не является линейным, следовательно, приведенный выше метод
решения к нему неприменим.
Понизим порядок уравнения с помощью подстановки y ′ = p.
dp
dp
y′ =
p.
Тогда y ′′ =
dy
dy
dp
y
p − p 2 = 0; p1 = 0; y1 = C1 ;
dy
ydp
dp dy
dp
dy
= p;
= ;
=∫ ;
ln p = ln y + ln C ;
∫
dy
p
y
p
y
dy
dy
p = Cy;
y ′ = Cy;
= dx;
= dx;
∫
Сy
Сy ∫
1
ln Cy = x + ln C 2 ;
Cy = e Cx e C ln C2 = C 3 e Cx ;
C
Окончательно получаем: y = C1e Cx ;
Это выражение будет общим решением исходного дифференциального уравнения.
Полученное выше решение у1 = С1 получается из общего решения при С = 0.
Пример. Решить уравнение 3 yy ′′ + y ′ 2 = 0.
Производим замену переменной: y ′ = p;
y ′′ =
dp
dp
y′ = p ;
dy
dy
dp
+ p 2 = 0; p1 = 0; y1 = C ;
dy
dp
dp
dy
dp
1 dy
3y
= − p;
=− ;
=− ∫ ;
∫
dy
p
3y
p
3 y
3 yp
1
ln p = − ln y + ln C ;
3
1
3
∫y
y dy = C1 dx;
1
3
C
p = ;
y
3
dy = C1 ∫ dx;
4
y 3 = C3 x + C 4 ;
3
4
Общее решение: y = (C 3 x + C 4 ) .
46
−
1
3
y ′ = C1 y ;
4
3 3
y = C1 x + C 2 ;
4
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
с произвольными коэффициентами.
Рассмотрим уравнение вида y ( n ) + p1 ( x) y ( n −1) + ... + p n ( x) y = f ( x).
С учетом обозначения y ( n ) + p1 ( x) y ( n −1) + ... + p n ( x) y = L( x) можно записать:
L( x) = f ( x).
При этом будем полагать, что коэффициенты и правая часть этого уравнения
непрерывны на некотором интервале ( конечном или бесконечном).
Теорема. Общее решение линейного неоднородного дифференциального
уравнения y ( n ) + p1 ( x) y ( n −1) + ... + p n ( x) y = f ( x) в некоторой области есть сумма
любого его решения и общего решения соответствующего линейного однородного
дифференциального уравнения.
Доказательство. Пусть Y – некоторое решение неоднородного уравнения.
Тогда при подстановке этого решения в исходное уравнение получаем тождество:
L(Y ) ≡ f ( x).
Пусть y1 , y 2 ,..., y n - фундаментальная система решений линейного однородного
уравнения L( y ) = 0 . Тогда общее решение однородного уравнения можно записать в
виде:
y = C1 y1 + C 2 y 2 + ... + C n y n ; C i = const.
Далее покажем, что сумма Y + C1 y1 + C 2 y 2 + ... + C n y n является общим решением
неоднородного уравнения.
L(Y + C1 y1 + C 2 y 2 + ... + C n y n ) = L(Y ) + L(C1 y1 ) + L(C 2 y 2 ) + ... + L(C n y n ) = L(Y ) = f ( x)
Вообще говоря, решение Y может быть получено из общего решения, т.к.
является частным решением.
Таким образом, в соответствии с доказанной теоремой, для решения линейного
неоднородного дифференциального уравнения необходимо найти общее решение
соответствующего однородного уравнения и каким- то образом отыскать одно частное
решение неоднородного уравнения. Обычно оно находится подбором.
На практике удобно применять метод вариации произвольных постоянных.
Для этого сначала находят общее решение соответствующего однородного уравнения в
виде:
n
y = C1 y1 + C 2 y 2 + ... + C n y n = ∑ C i y i ;
i =1
Затем, полагая коэффициенты Ci функциями от х, ищется решение неоднородного
уравнения:
n
y = ∑ C i ( x) y i ;
i =1
Можно доказать, что для нахождения функций Ci(x) надо решить систему
уравнений:
47
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
⎧n
⎪∑ C i′ ( x) y i = 0
⎪ i =1
⎪n
⎪∑ C i′ ( x) y i′ = 0
⎨ i =1
⎪..........................
⎪
⎪n
( n −1)
= f ( x)
⎪∑ C i′ ( x) y i
⎩ i =1
Пример. Решить уравнение y ′′ + y = x − sin 2 x.
Решаем линейное однородное уравнение y ′′ + y = 0.
k 2 + 1 = 0; k1 = i; k 2 = −i.
y = e αx ( A cos βx + B sin β x); α = 0; β = 1;
y = A cos x + B sin x;
Решение неоднородного уравнения будет иметь вид:
y = A( x) cos x + B( x) sin x;
Составляем систему уравнений:
⎧ A′( x) cos x + B ′( x) sin x = 0
⎨
⎩− A′( x) sin x + B ′( x) cos x = x − sin 2 x
Решим эту систему:
cos x
⎧
⎧ − A′( x)
⎪⎪ B ′( x) = − A′( x) sin x
= x − sin 2 x
⎪
⎨
⎨ sin x
2
⎪− A′( x) sin x − A′( x) cos x = x − sin 2 x
⎪⎩ B ′( x) = cos x( x − sin 2 x)
⎪⎩
sin x
Из соотношения A′( x) = 2 sin 2 x cos x − x sin x найдем функцию А(х).
2
A( x) = ∫ 2 sin 2 x cos x − x sin x dx = 2∫ sin 2 x cos xdx − ∫ x sin xdx = sin 3 x − ∫ x sin xdx =
3
⎧u = x; dv = sin xdx; ⎫ 2 3
2 3
=⎨
⎬ = sin x + x cos x − ∫ cos xdx = sin x + x cos x − sin x + C1 .
3
⎩du = dx; v = − cos x ⎭ 3
(
)
Теперь находим В(х).
⎧u = x; dv = cos xdx;⎫
2
3
B ( x) = ∫ x cos xdx − 2 ∫ cos 2 x sin xdx = ⎨
⎬ = x sin x − ∫ sin xdx + cos x =
du
=
dx
;
v
=
sin
x
;
3
⎩
⎭
2
= cos 3 x + x sin x + cos x + C 2 .
3
Подставляем полученные значения в формулу общего решения неоднородного
уравнения:
2
2
y = sin 3 x cos x + x cos 2 x − sin x cos x + C1 cos x + sin x cos 3 x + x sin 2 x + sin x cos x + C 2 sin x =
3
3
2
= sin x cos x(sin 2 x + cos 2 x) + x(sin 2 x + cos 2 x) + C1 cos x + C 2 sin x.
3
1
Окончательный ответ: y = sin 2 x + x + C1 cos x + C 2 sin x;
3
48
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Таким образом, удалось избежать нахождения частного решения неоднородного
уравнения методом подбора.
Вообще говоря, метод вариации произвольных постоянных пригоден для
нахождения решений любого линейного неоднородного уравнения. Но т.к. нахождение
фундаментальной системы решений соответствующего однородного уравнения может
быть достаточно сложной задачей, этот метод в основном применяется для
неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными
коэффициентами.
Уравнения с правой частью специального вида.
Представляется возможным представить вид частного решения в зависимости от
вида правой части неоднородного уравнения.
Различают следующие случаи:
I. Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:
f ( x ) = P ( x ) e αx ,
где P ( x) = A0 x m + A1 x m −1 + ... + Am - многочлен степени m.
Тогда частное решение ищется в виде:
y = x r e αx Q(x)
Здесь Q(x)- многочлен той же степени, что и P(x), но с неопределенными
коэффициентами, а r – число, показывающее сколько раз число α является корнем
характеристического уравнения для соответствующего линейного однородного
дифференциального уравнения.
Пример. Решить уравнение y ′′′ − 4 y ′ = x .
Решим соответствующее однородное уравнение: y ′′′ − 4 y ′ = 0.
k 3 − 4k = 0; k (k 2 − 4) = 0; k1 = 0; k 2 = 2; k 3 = −2;
y = C1 + C 2 e 2 x + C 3 e −2 x ;
Теперь найдем частное решение исходного неоднородного уравнения.
Сопоставим правую часть уравнения с видом правой части, рассмотренным выше.
P( x) = x; α = 0.
Частное решение ищем в виде: y = x r e αx Q(x) , где r = 1; α = 0; Q( x) = Ax + B.
Т.е. y = Ax 2 + Bx.
Теперь определим неизвестные коэффициенты А и В.
Подставим частное решение в общем виде в исходное неоднородное
дифференциальное уравнение.
y ′ = 2 Ax + B; y ′′ = 2 A; y ′′′ = 0;
1
0 − 8 Ax − 4 B = x; − 8 A = 1; A = − ; B = 0;
8
2
x
Итого, частное решение: y = − .
8
49
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Тогда общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения:
x2
y=−
+ C1 + C 2 e 2 x + C 3 e − 2 x .
8
II. Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:
f ( x) = e αx [P1 ( x) cos β x + P2 ( x) sin β x ]
Здесь Р1(х) и Р2(х) – многочлены степени m1 и m2 соответственно.
Тогда частное решение неоднородного уравнения будет иметь вид:
y = x r e αx [Q1 ( x) cos β x + Q2 ( x) sin βx ]
где число r показывает сколько раз число α + iβ является корнем характеристического
уравнения для соответствующего однородного уравнения, а Q1(x) и Q2(x) – многочлены
степени не выше m, где m- большая из степеней m1 и m2.
Заметим, что если правая часть уравнения является комбинацией выражений
рассмотренного выше вида, то решение находится как комбинация решений
вспомогательных уравнений, каждое из которых имеет правую часть,
соответствующую выражению, входящему в комбинацию.
Т.е. если уравнение имеет вид: L( y ) = f 1 ( x) + f 2 ( x) , то частное решение этого
уравнения будет y = y1 + y 2 , где у1 и у2 – частные решения вспомогательных уравнений
L( y ) = f 1 ( x) и L( y ) = f 2 ( x)
Для иллюстрации решим рассмотренный выше пример другим способом.
Пример. Решить уравнение y ′′ + y = x − sin 2 x.
Правую часть дифференциального уравнения представим в виде суммы двух
функций f1(x) + f2(x) = x + (-sinx).
k1, 2 = ± i;
Составим и решим характеристическое уравнение: k 2 + 1 = 0;
1. Для функции f1(x) решение ищем в виде y1 = x r e αx Q( x) .
Получаем: α = 0, r = 0, Q( x) = Ax + B; Т.е. y1 = Ax + B;
′
″
y1 = A;
y1 = 0;
Ax + B = x;
A = 1; B = 0;
Итого: y1 = x;
2. Для функции f2(x) решение ищем в виде: y 2 = x r e αx (Q1 ( x) cos β x + Q2 ( x) sin β x) .
Анализируя функцию f2(x), получаем: P1 ( x) = 0; P2 ( x) = −1; α = 0; β = 2; r = 0;
Таким образом, y 2 = C cos 2 x + D sin 2 x;
50
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
′
y 2 = −2C sin 2 x + 2 D cos 2 x;
″
y 2 = −4C 2 cos x − 4 D sin 2 x;
− 4C cos 2 x − 4 D sin 2 x + C cos 2 x + D sin 2 x = − sin 2 x;
− 3C cos 2 x − 3D sin 2 x = − sin 2 x
1
A = 0; B = ;
3
1
Итого: y 2 = sin 2 x;
3
1
Т.е. искомое частное решение имеет вид: y = y1 + y 2 = sin 2 x + x;
3
Общее решение неоднородного дифференциального уравнения:
1
y = sin 2 x + x + C1 cos x + C 2 sin x;
3
Рассмотрим примеры применения описанных методов.
Пример. Решить уравнение y ′′ − 2 y ′ + y = 3e x .
Составим характеристическое уравнение для соответствующего
однородного дифференциального уравнения:
k 2 − 2k + 1 − 0;
k1 = k 2 = 1;
линейного
Общее решение однородного уравнения: y = C1e x + C 2 xe x .
Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения в виде:
y = x r e αx Q(x)
α = 1; r = 2; Q( x) = C ;
y = Cx 2 e x .
Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов.
y ′ = 2Cxe x + Cx 2 e x ;
y ′′ = 2Ce x + 2Cxe x + 2Cxe x + Cx 2 e x .
Подставляя в исходное уравнение, получаем:
2Ce x + 4Cxe x + Cx 2 e x − 4Cxe x − 2Cx 2 e x + Cx 2 e x = 3e x .
3
2C = 3;
C= .
2
3 2 x
Частное решение имеет вид: y = x e .
2
Общее решение линейного неоднородного уравнения: y = C1e x + C 2 xe x +
3 2 x
x e .
2
Пример. Решить уравнение y ′′′ − y ′ = x 2 − 1.
Характеристическое уравнение: k 3 − k = 0; k (k 2 − 1) = 0; k1 = 0; k 2 = 1; k 3 = −1;
51
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Общее решение однородного уравнения: y = C1 + C 2 e x + C 3 e − x .
Частное решение неоднородного уравнения: y = x r e αx Q(x) .
α = 0; r = 1; Q( x) = Ax 2 + Bx + C.
y = Ax 3 + Bx 2 + Cx
Находим производные и подставляем их в исходное неоднородное уравнение:
y ′ = 3 Ax 2 + 2 Bx + C ; y ′′ = 6 Ax + 2 B; y ′′′ = 6 A;
6 A − 3 Ax 2 − 2 Bx − C = x 2 − 1;
− 3 A = 1; − 2 B = 0; 6 A − C = −1;
1
A = − ; B = 0; C = −1;
3
Получаем общее решение неоднородного дифференциального уравнения:
1
y = C1 + C 2 e x + C 3 e − x − x 3 − x.
3
Нормальные системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Определение. Совокупность соотношений вида:
⎧ F1 ( x, y1 , y 2 ,..., y n , y1′ , y 2′ ,..., y n′ ) = 0
⎪ F ( x, y , y ,..., y , y ′ , y ′ ,..., y ′ ) = 0
⎪ 2
1
2
1
2
n
n
⎨
⎪......................................................
⎪⎩ Fn ( x, y1 , y 2 ,..., y n , y1′ , y ′2 ,..., y n′ ) = 0
где х- независимая переменная, у1, у2,…,уn – искомые функции, называется системой
дифференциальных уравнений первого порядка.
Определение. Система дифференциальных уравнений первого порядка,
разрешенных относительно производных от неизвестных функций называется
нормальной системой дифференциальных уравнений.
Такая система имеет вид:
⎧ dy1
⎪ dx = f1 ( x, y1 , y 2 ,..., y n )
⎪
⎪ dy 2 = f ( x, y , y ,..., y )
⎪
2
1
2
n
(1)
⎨ dx
⎪........................................
⎪
⎪ dy n = f ( x, y , y ,..., y )
n
1
2
n
⎪⎩ dx
Для примера можно сказать, что график решения системы двух
дифференциальных уравнений представляет собой интегральную кривую в трехмерном
пространстве.
Теорема. (Теорема Коши). Если в некоторой области (n-1) –мерного
пространства функции f1 ( x, y1 , y 2 ,..., y n ), f 2 ( x, y1 , y 2 ,..., y n ), … f n ( x, y1 , y 2 ,..., y n )
52
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
непрерывны и имеют непрерывные частные производные по y1 , y 2 ,..., y n , то для любой
точки ( x0 . y10 , y 20 ,..., y n 0 ) этой области существует единственное решение
y1 = ϕ1 ( x), y 2 = ϕ 2 ( x), ... y n = ϕ n (x)
системы дифференциальных уравнений вида (1), определенное в некоторой
окрестности точки х0 и удовлетворяющее начальным условиям x0 . y10 , y 20 ,..., y n 0 .
Определение. Общим решением системы дифференциальных уравнений вида
(1) будет совокупность функций y1 = ϕ1 ( x, C1 , C 2 ,..., C n ) , y 2 = ϕ 2 ( x, C1 , C 2 ,..., C n ) , …
y n = ϕ n ( x, C1 , C 2 ,..., C n ) , которые при подстановке в систему (1) обращают ее в
тождество.
Нормальные системы линейных однородных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами.
При рассмотрении систем дифференциальных уравнений ограничимся случаем
системы трех уравнений (n = 3). Все нижесказанное справедливо для систем
произвольного порядка.
Определение. Нормальная система дифференциальных уравнений c
постоянными коэффициентами называется линейной однородной, если ее можно
записать в виде:
⎧ dy
⎪ dx = a11 y + a12 z + a13 u
⎪
⎪ dz
(2)
⎨ = a 21 y + a 22 z + a 23 u
⎪ dx
⎪ du
⎪ dx = a31 y + a32 z + a33 u
⎩
Решения системы (2) обладают следующими свойствами:
1) Если y, z, u – решения системы, то Cy, Cz, Cu , где C = const – тоже являются
решениями этой системы.
2) Если y1, z1, u1 и y2, z2, u2 – решения системы, то y1 + y2, z1 + z2, u1 + u2 – тоже
являются решениями системы.
Решения системы ищутся в виде: y = αe kx ; z = β e kx ; u = γe kx , α, β, γ, k = const
Подставляя эти значения в систему (2) и перенеся все члены в одну сторону и сократив
на ekx, получаем:
⎧(a11 − k )α + a12 β + a13 γ = 0
⎪
⎨a 21α + (a 22 − k )β + a 23 γ = 0
⎪a α + a β + ( a − k ) γ = 0
32
33
⎩ 31
Для того, чтобы полученная система имела ненулевое решение необходимо и
достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю, т.е.:
53
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
a11 − k
a12
a 21
a31
a 22 − k
a32
a13
a 23 = 0
a33 − k
В результате вычисления определителя получаем уравнение третьей степени
относительно k. Это уравнение называется характеристическим уравнением и имеет
три корня k1, k2, k3. Каждому из этих корней соответствует ненулевое решение системы
(2):
y1 = α1e k1x ,
z1 = β1e k1 x ,
u1 = γ 1e k1x ,
y 2 = α 2 e k2 x ,
z 2 = β 2 e k2 x ,
u 2 = γ 2 e k2 x ,
y 3 = α 3 e k3 x ,
z 3 = β 3 e k3 x ,
u 3 = γ 3 e k3 x .
Линейная комбинация этих решений с произвольными коэффициентами будет
решением системы (2):
y = C1α 1e k1x + C 2 α 2 e k2 x + C 3 α 3 e k3 x ;
z = C1β1e k1 x + C 2 β 2 e k 2 x + C 3β 3 e k3 x ;
u = C1 γ 1e k1x + C 2 γ 2 e k 2 x + C 3 γ 3 e k3 x .
Пример. Найти общее решение системы уравнений:
⎧ x′ = 5x + 2 y
⎨
⎩ y′ = 2x + 2 y
Составим характеристическое уравнение:
5−k
2
= 0;
(5 − k )(2 − k ) − 4 = 0;
10 − 5k − 2k + k 2 − 4 = 0;
2
2−k
k 2 − 7 k + 6 = 0;
k1 = 1;
k 2 = 6;
Решим систему уравнений:
⎧(a11 − k )α + a12 β = 0
⎨
⎩a 21α + (a 22 − k )β = 0
⎧(5 − 1)α1 + 2β1 = 0
Для k1: ⎨
⎩2α 1 + (2 − 1)β1 = 0
⎧4α1 + 2β1 = 0
⎨
⎩ 2 α 1 + β1 = 0
Полагая α1 = 1 (принимается любое значение), получаем: β1 = −2.
⎧(5 − 6)α 2 + 2β 2 = 0
Для k2: ⎨
⎩2α 2 + (2 − 6)β 2 = 0
⎧− 1α 2 + 2β 2 = 0
⎨
⎩2α 2 − 4β 2 = 0
Полагая α 2 = 2 (принимается любое значение), получаем: β 2 = 1.
⎧⎪ x = C1e t + 2C 2 e 6t
Общее решение системы: ⎨
⎪⎩ y = −2C1e t + C 2 e 6t
Этот пример может быть решен другим способом:
Продифференцируем первое уравнение: x ′′ = 5 x ′ + 2 y ′;
Подставим в это выражение производную у′ =2x + 2y из второго уравнения.
x ′′ = 5 x ′ + 4 x + 4 y;
Подставим сюда у, выраженное из первого уравнения:
54
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
x ′′ = 5 x ′ + 4 x + 2 x ′ − 10 x
x ′′ − 7 x ′ + 6 x = 0
k1 = 6;
k2 = 1
x ′ = Ae t + 6 Be 6t ;
x = Ae + Be ;
t
6t
2 y = x ′ − 5 x = Ae t + 6 Be 6t − 5 Ae t − 5 Be 6t ;
1
y = −2 Ae t + Be 6t ;
2
Обозначив A = C1 ;
1
B = C 2 , получаем решение системы:
2
⎧⎪ x = C1e t + 2C 2 e 6t
⎨
⎪⎩ y = −2C1e t + C 2 e 6t
Пример. Найти решение системы уравнений
⎧ y′ = y + z
⎨
⎩z′ = y + z + x
Эта система дифференциальных уравнений не относится к рассмотренному выше типу,
т.к. не является однородным (в уравнение входит независимая переменная х).
Для решения продифференцируем первое уравнение по х. Получаем:
y ′′ = y ′ + z ′.
Заменяя значение z’ из второго уравнения получаем: y ′′ = y ′ + y + z + x .
С учетом первого уравнения, получаем: y ′′ = 2 y ′ + x.
Решаем полученное дифференциальное уравнение второго порядка.
y ′′ − 2 y ′ = x;
y ′′ − 2 y ′ = 0;
k 2 − 2k = 0; k1 = 0; k 2 = 2.
Общее решение однородного уравнения: y = C1 + C 2 e 2 x .
Теперь находим частное решение неоднородного дифференциального уравнения по
формуле y = x r e αx Q( x); α = 0; r = 1; Q( x) = Ax + B;
y = Ax 2 + Bx; y ′ = 2 Ax + B; y ′′ = 2 A;
1
1
2 A − 4 Ax − 2 B = x;
A=− ; B=− ;
4
4
Общее решение неоднородного уравнения:
1
x( x + 1).
4
Подставив полученное значение в первое уравнение системы, получаем:
1
z = −C1 + C 2 e 2 x + ( x 2 − x − 1).
4
y = C1 + C 2 e 2 x −
Пример. Найти решение системы уравнений:
⎧ y′ = z + w
⎪
⎨z′ = 3 y + w
⎪ w′ = 3 y + z
⎩
55
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Составим характеристическое уравнение:
−k 1
1
−k
3 − k 1 = 0;
−k
1
3
1 −k
− k (k 2 − 1) + 3k + 3 + 3 + 3k = 0;
1
−k
−
3
1
3 −k
k 3 − 7 k − 6 = 0;
+
3 −k
3
1
= 0;
k1 = −1; k 2 = −2; k 3 = 3;
1) k = -1.
⎧α + β + γ = 0
⎪
⎨3α + β + γ = 0;
⎪3α + β + γ = 0
⎩
α = 0; β = − γ;
Если принять γ = 1, то решения в этом случае получаем:
y1 = 0; z1 = −e − x ; w1 = e − x ;
2) k2 = -2.
⎧ 2α + β + γ = 0
⎪
α = − γ ; β = γ;
⎨3α + 2β + γ = 0;
⎪3α + β + 2 γ = 0
⎩
Если принять γ = 1, то получаем:
y 2 = −e −2 x ; z 2 = e −2 x ; w2 = e −2 x ;
3) k3 = 3.
⎧− 3α + β + γ = 0
2
⎪
⎨3α − 3β + γ = 0 ; α = γ; β = γ;
3
⎪3α + β − 3γ = 0
⎩
Если принять γ = 3, то получаем:
y 3 = 2e 3 x ; z 3 = 3e 3 x ; w3 = 3e 3 x ;
Общее решение имеет вид:
⎧ y = −C 2 e −2 x + 2C 3 e 3 x
⎪
−x
−2 x
3x
⎨ z = −C1e + C 2 e + 3C 3 e
⎪
−x
−2 x
3x
⎩w = C1e + C 2 e + 3C 3 e
Элементы теории устойчивости.
Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений является одним из
разделов качественной теории дифференциальных уравнений, которая посвящена
не нахождению какого – либо решения уравнения, а изучению характера поведения
этого решения при изменении начальных условий или аргумента.
56
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Этот метод особенно важен, т.к. позволяет делать вывод о характере решения
без непосредственного нахождения этого решения. Т.е. даже в тех случаях, когда
решение дифференциального уравнения вообще не может быть найдено аналитически.
Пусть имеется некоторое явление, описанное системой дифференциальных
уравнений:
dy i
= f i (t , y1 , y 2 ,..., y n );
(i = 1,2,..., n)
(1)
dt
и начальные условия: y i (t 0 ) = y i 0 .
Для конкретного явления начальные условия определяются опытным путем и
поэтому неточны.
Теорема. (о непрерывной зависимости решения от начальных условий)
dy
= f (t , y ) непрерывна и по
Если правая часть дифференциального уравнения
dt
переменной у имеет ограниченную частную производную f y′ ≤ N на области
(
)
прямоугольника, ограниченного D = {t 0 − a ≤ t ≤ t 0 + a, y 0 − b ≤ y ≤ y 0 + b} , то решение
y (t ) = y (t , t 0 , y 0 ) , удовлетворяющее начальным условиям y (t 0 ) = y 0 , непрерывно
зависит от начальных данных, т.е. для любого ∀ε > 0 ∃Δ > 0 , при котором если
y 0 − y 0 < 0, то y (t , t 0 , y 0 ) − y (t , t 0 y 0 ) < ε при условии, что
t 0 − t < T ; T < T0 , где
⎧ 1 b⎫
T0 = min ⎨a, , ⎬,
M = max f (t , y ) .
( t , y )∈D
⎩ N M⎭
Эта теорема справедлива как для одного дифференциального уравнения, так и
для системы уравнений.
Определение. Если
ϕ(t ) = {ϕ1 (t ), ϕ 2 (t ),..., ϕ n (t )}
- решение системы
дифференциальных уравнений, то это решение называется устойчивым по Ляпунову,
ε > 0 ∃Δ > 0 ,
такое,
что
для
любого
решения
если
для
любого
y (t ) = {y1 (t ), y 2 (t ),..., y n (t )} той же системы, начальные условия которого
удовлетворяют неравенствам
y i (t 0 ) − ϕ i (t 0 ) < Δ
i = (1, n)
справедливы неравенства
y i (t ) − ϕ i (t ) < ε
∀t ∈ [t 0 , ∞ )
(Ляпунов Александр Михайлович (1857 – 1918) академик Петерб. АН)
Т.е. можно сказать, что решение ϕ(t) устойчиво по Ляпунову, если близкие к
нему по начальным условиям решения остаются близкими и при t ≥ t0.
lim y i (t ) − ϕ i (t ) = 0, i = (1, n) ,
то
решение
ϕ(t)
называется
Если
t →∞
асимптотически устойчивым.
Исследование на устойчивость
по Ляпунову произвольного решения
dy i
ϕ(t ) = {ϕ1 (t ), ϕ 2 (t ),..., ϕ n (t )} системы
= f i (t , y1 , y 2 ,..., y n );
(i = 1,2,..., n) можно
dt
свести к исследованию на устойчивость равного нулю решения некоторой другой
системы, которая получена из данной заменой неизвестных функций:
57
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
xi (t ) = y i (t ) − ϕ i (t ),
i = 1,..., n.
Тогда:
dy i dxi dϕ i
=
+
dt
dt
dt
dxi
= f i [t , x1 + ϕ1 (t ),..., x n + ϕ n (t )] − f i [t , ϕ1 (t ),..., ϕ n (t )],
dt
i = 1,..., n.
(2)
Система (2) имеет тривиальное (равное нулю) решение xi (t ) = 0.
Теорема. Решение ϕ(t ) = {ϕ1 (t ), ϕ 2 (t ),..., ϕ n (t )} системы (1) устойчиво по
Ляпунову тогда и только тогда, когда устойчиво по Ляпунову тривиальное решение
системы (2).
Это тривиальное решение называется положением равновесия или точкой
покоя.
Определение. Точка покоя xi (t ) = 0 системы (2) устойчива по Ляпунову, если
для любого ∀ε > 0 ∃Δ(ε) > 0 такое, что из неравенства
xi (t 0 ) < Δ (ε)
(i = 1,..., n)
следует
xi (t ) < ε (i = 1,..., n) ∀t ≥ t 0 .
Теорема. (Теорема Ляпунова). Пусть задана система
dy i
= f i (t , y1 , y 2 ,..., y n );
(i = 1,2,..., n)
dt
имеющая тривиальное решение y i (t ) = 0 .
Пусть существует дифференцируемая функция v( y1 ,..., y n ) , удовлетворяющая
условиям:
1) v( y1 ,..., y n ) ≥0 и v = 0 только при у1 = у2 = … = уn =0, т.е. функция v имеет
минимум в начале координат.
2) Полная производная функции v вдоль фазовой траектории (т.е. вдоль
решения yi(t) системы (1)) удовлетворяет условию:
n
n
∂v ∂y i
dv
∂v
=∑
=∑
f i (t , y i ,..., y n ) ≤ 0 при t ≥ t 0
dt i =1 ∂y i ∂t
i =1 ∂y i
Тогда точка покоя y i ≡ 0, i = 1,..., n устойчива по Ляпунову.
Если ввести дополнительное требование, чтобы вне сколь угодно малой
окрестности начала координат y12 + ... + y n2 ≥ Δ выполнялось условие
∂v
≤ −β < 0, (t ≥ t 0 ),
∂t
где β - постоянная величина, то точка покоя y i ≡ 0, i = 1,..., n асимптотически
устойчива.
Функция v называется функцией Ляпунова.
(
)
58
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Классификация точек покоя.
Рассмотрим систему двух
постоянными коэффициентами
линейных
дифференциальных
уравнений
с
⎧ dx
⎪⎪ dt = a11 x + a12 y
⎨
⎪ dy = a x + a y
21
22
⎪⎩ dt
Характеристическое уравнение этой системы имеет вид:
a11 − λ
a12
=0
a 21
a 22 − λ
Рассмотрим следующие возможные случаи:
1) Корни характеристического уравнения действительные, отрицательные и различные.
λ 1 < 0, λ 2 < 0, λ 1 ≠ λ 2 .
Точка покоя x = y ≡ 0 будет устойчива. Такая точка покоя называется устойчивым
узлом.
2) Корни характеристического уравнения действительны и
λ 1 = 0, λ 2 < 0 или λ 1 = λ 2 < 0 .
В этом случае точка покоя также будет устойчива.
3) Хотя бы один из корней λ 1 , λ 2 положителен.
В этом случае точка покоя x = y ≡ 0 неустойчива, и такую точку называют
неустойчивым седлом.
4) Оба корня характеристического уравнения положительны λ 1 > 0, λ 2 > 0 .
В этом случае точка покоя x = y ≡ 0 неустойчива, и такую точку называют
неустойчивым узлом.
⎧⎪ x = C1α 1e λ1t + C 2 β1e λ 2t
Если полученного решения ⎨
системы исключить параметр t, то
⎪⎩ y = C1α 2 e λ1t + C 2 β 2 e λ 2t
полученная функция y = ϕ(t ) дает траекторию движения в системе координат XOY.
Возможны следующие случаи:
β
β
α
α
Устойчивый узел.
Неустойчивый узел.
Седло.
5) Корни характеристического уравнения комплексные λ 1 = p + iq, λ 2 = p − iq .
Если р = 0, т.е. корни чисто мнимые, то точка покоя (0, 0) устойчива по Ляпунову.
59
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Такая точка покоя называется центром.
Если p< 0, то точка покоя устойчива и называется устойчивым фокусом.
Если p > 0, то точка покоя неустойчива и называется неустойчивым фокусом.
Уравнения математической физики.
Уравнения в частных производных.
Определение. Дифференциальным уравнением в частных производных
называется уравнение относительно неизвестной функции нескольких переменных, ее
аргументов и ее частных производных различных порядков.
⎛
∂u ∂u
∂u
∂ku ⎞
⎜
⎟=0
,
,...,
,..., k
F ⎜ x1 , x 2 ,..., x n ,
kn ⎟
1
∂
∂
∂
x
x
x
∂
∂
...
x
x
1
2
n
n ⎠
1
⎝
Порядком дифференциального уравнения в частных производных называется
порядок старшей производной, входящей в это уравнение. Решением уравнения будет
некоторая функция u = u ( x1 , x 2 ,..., x n ) , которая обращает уравнение в тождество.
Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных
производных первого порядка.
Дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка от
функции u = u ( x1 , x 2 ,..., x n ) можно в общем виде записать как
⎛
∂u ∂u
∂u ⎞
⎟⎟ = 0
F ⎜⎜ x1 , x 2 ,..., x n ,
,
,...,
∂
∂
∂
x
x
x
1
2
n ⎠
⎝
Линейное уравнение в частных производных имеет вид:
∂u
∂u
∂u
X 1 ( x1 , x 2 ,..., x n )
+ X 2 ( x1 , x 2 ,..., x n )
+ ... + X n ( x1 , x 2 ,..., x n )
= 0,
∂x1
∂x 2
∂x n
где Xi – некоторые заданные функции.
(1)
Очевидно, что одним из решений такого уравнения будет функция u = C.
Рассмотрим систему уравнений:
dx
dx1 dx 2
(2)
=
= ... = n ;
X1
X2
Xn
dx n −1 X n −1
dx
X
dx 2 X 2
или 1 = 1 ;
=
; ...
=
- такая система называется нормальной.
dx n X n
dx n X n
dx n
Xn
Общее решение этой системы имеет вид:
⎧ x1 = f1 ( x n , C1 , C 2 ,..., C n −1 )
⎪ x = f ( x , C , C ,..., C )
⎪ 2
n
n −1
2
1
2
⎨
⎪..........................................
⎪⎩ x n −1 = f n −1 ( x n , C1 , C 2 ,..., C n −1 )
Если разрешить эти уравнения относительно постоянных С, получим:
60
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
⎧ϕ1 ( x1 , x 2 ,..., x n ) = C1
⎪ϕ ( x , x ,..., x ) = C
⎪ 2 1 2
n
2
⎨
⎪.................................
⎪⎩ϕ n −1 ( x1 , x 2 ,..., x n ) = C n −1
Каждая из функций ϕ является интегралом системы (2).
Теорема. Если ϕ( x1 , x 2 ,..., x n ) u = ϕ( x1 , x 2 ,..., x n ) - решение уравнения (1).
интеграл
системы
(2),
то
функция
Классификация основных типов уравнений математической
физики.
1) Волновое уравнение. (Уравнение колебаний струны, электроколебания, крутильные
колебания вала и др.) Это простейшее уравнение гиперболического типа.
2
∂ 2u
2 ∂ u
=a
∂t 2
∂x 2
2) Уравнение теплопроводности. (Уравнение Фурье) Это простейшее уравнение
параболического типа. Описывает процессы теплопроводности, фильтрации жидкости
и газа, некоторые вопросы теории вероятностей.
∂u
∂ 2u
= a2 2
∂t
∂x
3) Уравнение Лапласа. Это простейшее уравнение эллиптического типа. Описывает
магнитные и электрические поля, гидродинамику, диффузию и др.
∂ 2u ∂ 2u
+
=0
∂x 2 ∂y 2
В этих уравнениях функция u зависит от двух переменных, однако, задача может быть
расширена для случая трех переменных:
1) Волновое уравнение:
2
2
∂ 2u
2 ∂ u
2 ∂ u
=
a
+
a
;
∂t 2
∂x 2
∂y 2
2) Уравнение теплопроводности:
∂u
∂ 2u
∂ 2u
= a2 2 + a2 2 ;
∂t
∂x
∂y
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u
+
+
=0
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
Рассмотрим подробнее каждое из этих уравнений.
3) Уравнение Лапласа:
Уравнение колебаний струны.
Определение. В математической физике струной называется тонкая нить, в
которой возможно возникновение напряжений только в продольном, но не в
поперечном направлении.
61
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Пусть концы натянутой струны закреплены в точках х = а и x = b, возникающие
в ней напряжения обозначим Т. Будем также считать, что плотность струны постоянна
на всем ее протяжении.
Допустим, что в момент t0 = 0 струна выведена из состояния равновесия и
совершает малые колебания.
Отклонение струны в каждой точке с координатой х в момент времени t
обозначим как
u = u ( x, t )
a ≤ x ≤ b, t ≥ 0
u
C
B
α
A
D
0
a x
x+Δx
b
x
На произвольный элемент длины нити (х, х + Δх) действуют две силы натяжения
AD и BC . При этом:
∂u ( x + Δx, t )
AD = BC = T ;
tgα =
;
∂x
Если считать колебания малыми, то можно принять:
tgα ≈ sin α
Тогда проекция силы BC на ось u:
T sin α ≈ T
Проекция силы AD на ось u:
−T
∂u ( x + Δx, t )
∂x
∂u ( x, t )
∂x
Находим сумму этих проекций:
∂u ( x + Δx, t )
∂u ( x, t )
∂ 2 u ( x, t )
T
−T
=T
Δx.
∂x
∂x
∂x 2
Выражение, стоящее в правой части равенства получено в результате
применения теоремы Лагранжа ( см. Теорема Лагранжа ) к выражению, стоящему
слева.
Произведение массы на ускорение рассматриваемого элемента струны равно:
∂ 2 u ( x, t )
,
ρΔx
∂t 2
где ρ - плотность струны.
Приравнивая полученное выражение к значению проекции силы, получим:
∂ 2u
∂ 2u
ρΔx 2 = T 2 Δx
∂t
∂x
Или
2
∂ 2u
2 ∂ u
=
a
,
∂t 2
∂x 2
a2 =
T
;
ρ
62
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Для полного определения движения струны полученного уравнения
недостаточно. Функция u(x, t) должна еще удовлетворять граничным условиям,
описывающим состояние струны на концах (в точках x = a и x = b) и начальным
условиям, описывающим состояние струны в момент времени t = 0.
Совокупность граничных и начальных условий называется краевыми
условиями.
Таким образом, задача Коши состоит в нахождении решения линейного
дифференциального уравнения с частными производными второго порядка при
начальных условиях
∂u ( x,0)
u ( x,0) = f ( x),
= F ( x),
∂t
и краевых условиях
u (0, t ) = u (l , t ) = 0 .
Начальные условия показывают, в каком положении находится струна в
начальный момент времени и скорость каждой ее точки в начальный момент времени.
Функции f(x) и F(x) заданы.
Краевые условия показывают, что концы струны закреплены в точках a = 0, b = l
Решение задачи Коши методом разделения переменных.
(Метод Фурье.)
Решение уравнения
2
∂ 2u
2 ∂ u
=
a
∂t 2
∂x 2
будем искать в виде u ( x, t ) = X ( x)T (t ) при граничных условиях:
⎧ X (0)T (t ) = 0
;
t>0
⎨
⎩ X (l )T (t ) = 0
Тогда X(0) = X(l) = 0.
Подставим решение в исходное уравнение:
XT ′′ = a 2 X ′′T ;
1 T ′′ X ′′
=
;
X
a2 T
Можно показать, что функции Х и Т имеют вид:
kxπ
X k ( x) = sin
; k = 1,2,...
l
aktπ
aktπ
+ Bk sin
; k = 1,2,...
Tk (t ) = Ak cos
l
l
Все решения исходного дифференциального уравнения, удовлетворяющие граничным
условиям, можно записать в виде:
aktπ
aktπ ⎞
kxπ
⎛
u k ( x, t ) = ⎜ Ak cos
+ Bk sin
; k = 1,2,...
⎟ sin
l
l ⎠
l
⎝
Окончательно решение уравнения колебаний струны можно записать в виде:
∞
akπ
akπ ⎞
kπ
⎛
u ( x, t ) = ∑ ⎜ Ak cos
t + Bk sin
t ⎟ sin
x,
l
l ⎠
l
k =1 ⎝
63
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
l
где Ak =
2
kπ
xdx;
f ( x) sin
∫
l
l 0
l
2
kπ
xdx.
Bk =
F ( x) sin
∫
l
akπ 0
Решение задачи Коши методом Даламбера.
( Жан Лерон Д’Ламбер (1717 – 1783) – французский математик)
В случае если длина струны очень велика, то на колебания, возникающие в
середине струны, концы струны влияния практически не оказывают. Поэтому,
рассматривая колебания бесконечной струны, уравнение
2
∂ 2u
2 ∂ u
=a
∂t 2
∂x 2
решается только при начальных условиях:
u ( x,0) = f ( x)
u t′ ( x,0) = F ( x)
Для нахождения решения введем новые переменные:
α = x − at ;
β = x + at.
Тогда исходное уравнение принимает вид:
∂ 2u
= 0.
∂α∂β
Решением этого уравнения будет функция u = ϕ(α) + ψ(β) , где ϕ и ψ - некоторые
функции, которые будем считать дважды дифференцируемыми.
Получаем: u ( x, t ) = ϕ( x − at ) + ψ ( x + at ).
Если продифференцировать полученный ответ, получим:
u ′x = ϕ′( x − at ) + ψ ′( x + at )
u t′ = −aϕ′( x − at ) + aψ ′( x + at )
u ′xx′ = ϕ′′( x − at ) + ψ ′′( x + at )
u tt′′ = a 2 ϕ′′( x − at ) + a 2 ψ ′′( x + at )
Т.е. a 2 u ′xx′ = u tt′′ .
Далее с использованием начальных условий находим функции ϕ и ψ.
ϕ( x) + ψ ( x) = f ( x)
− aϕ′( x) + aψ ′( x) = F ( x)
Проинтегрировав последнее равенство на отрезке [0, x], получаем:
x
1
− ϕ( x) + ψ ( x) = ∫ F ( y )dy + C ; C = const.
a0
Тогда:
x
1
1
C
ϕ( x) = f ( x) −
F ( y )dy − ;
∫
2
2a 0
2
x
1
1
C
f ( x) +
F ( y )dy + .
∫
2
2a 0
2
Решение задачи Коши получаем в виде:
ψ( x) =
64
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
u ( x, t ) = ϕ( x − at ) + ψ ( x + at ) =
1
1
f ( x − at ) −
2a
2
x − at
∫ F ( y)dy +
0
1
1
f ( x + at ) +
2a
2
x + at
∫ F ( y)dy
0
x + at
f ( x − at ) + f ( x + at ) 1
+
F ( y )dy.
2
2a x −∫at
Эта формула называется формулой Даламбера.
u ( x, t ) =
Уравнение теплопроводности.
Температуру физического тела в произвольной точке с координатами (x, y, z) в
момент времени t можно представить в виде функции:
u = u ( x, y , z )
Составим дифференциальное уравнение:
⎛ ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ⎞
∂u
= a 2 ⎜⎜ 2 + 2 + 2 ⎟⎟
∂t
∂y
∂z ⎠
⎝ ∂x
⎛ ∂2
∂2
∂2 ⎞
Выражение Δ = ⎜⎜ 2 + 2 + 2 ⎟⎟ называется оператором Лапласа.
∂y
∂z ⎠
⎝ ∂x
Тогда составленное нами дифференциальное уравнение принимает вид:
∂u
= a 2 Δu
dt
и называется уравнением теплопроводности в пространстве.
В качестве частных случаев рассматривают:
2
∂u
2 ∂ u
=a
- уравнение теплопроводности в стержне,
∂t
∂x 2
∂u
∂ 2u
∂ 2u
= a 2 2 + a 2 2 - уравнение теплопроводности на плоскости.
∂t
∂x
∂y
В случае рассмотрения уравнения теплопроводности в стержне искомая
функция u(x, t) должна удовлетворять записанному выше дифференциальному
уравнению, начальному условию u ( x,0) = f ( x) 0 ≤ x ≤ π и граничным условиям
u (0, t ) = u (π, t ) = 0, t ≥ 0 .
В результате решения дифференциального уравнения методом Фурье получим:
∞
u ( x, t ) = ∑ bk e − a k t sin kx;
2 2
k =1
π
bk =
2
f (t ) sin ktdt.
π ∫0
Отметим, что распространение тепла в теле называется стационарным, если
функция u не зависит от времени t.
65
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Уравнение Лапласа.
Определение. Функция u ( x, y, z ) называется гармонической на области σ, если
она имеет непрерывные частные производные второго порядка на области σ и
удовлетворяет условию
Δu = 0 ,
где Δ - оператор Лапласа.
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u
Уравнение Δu = 2 + 2 + 2 = 0 называется уравнением Лапласа.
∂x
∂y
∂z
Если на некоторой границе Г тела поддерживать постоянную температуру
u Г = f ( x, y, z ) , где f – заданная функция, то внутри тела установится единственная
постоянная температура. С физической точки зрения это утверждение очевидно,
однако, данный факт может быть доказан математически.
Математическое доказательство этого факта называется задачей Дирихле.
(Петер Густав Дирихле (1805 – 1859) – немецкий математик)
Решение задачи Дирихле для круга.
Пусть в плоскости XOY имеется круг радиуса R с центром в начале координат и
на его окружности задана функция f(ϕ), где ϕ - полярный угол.
Требуется найти функцию u (r , ϕ) , которая удовлетворяет уравнению Лапласа
∂ 2u ∂ 2u
+
=0
∂x 2 ∂y 2
и при r = R u = f (ϕ).
Запишем уравнение Лапласа в полярных координатах:
∂ 2 u 1 ∂u 1 ∂ 2 u
+
+
=0
∂r 2 r ∂r r 2 ∂ϕ 2
∂ 2u
∂u ∂ 2 u
+
r
+
=0
∂r ∂ϕ 2
∂r 2
Полагаем u = Φ(ϕ) R(r ). Подставляя это соотношение в уравнение Лапласа, получаем:
r 2 Φ (ϕ) R ′′(r ) + rΦ (ϕ) R ′(r ) + Φ ′′(ϕ) R(r ) = 0
r2
r 2 R ′′(r ) + rR ′(r )
Φ ′′(ϕ)
=−
= −k 2
R(r )
Φ (ϕ)
Таким образом, имеем два уравнения:
Φ ′′(ϕ) + k 2 Φ (ϕ) = 0
r 2 R ′′(r ) + rR ′(r ) − k 2 R(r ) = 0
Общее решение первого уравнения имеет вид: Φ = A cos kϕ + B sin kϕ
Решение второго уравнения ищем в виде: R = r m . При подстановке получим:
r 2 m(m − 1)r m − 2 + rmr m −1 − k 2 r m = 0
m2 − k 2 = 0
Общее решение второго уравнения имеет вид: R = Cr k + Dr − k .
Подставляя полученные решения в уравнение u = Φ(ϕ) R(r ) , получим:
66
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
u k = ( Ak cos kϕ + Bk sin kϕ)(C k r k + Dk r − k )
Эта функция будет решением уравнения Лапласа при любом k ≠ 0.
Если k = 0, то Φ ′′ = 0; rR ′′ + R ′ = 0 следовательно u 0 = ( A0 + B0 ϕ)(C 0 + D0 ln r ) .
Решение должно быть периодическим, т.к. одно и то же значение будет повторяться
через 2π. (Тогда рассматривается одна и та же точка круга.) Поэтому В0 = 0.
Решение должно быть конечным и непрерывным, поэтому D0 = 0.
Окончательно получаем: u (r , ϕ) =
При этом: An =
1
πR n
A0 ∞
+ ∑ ( An cos nϕ + Bn sin nϕ)r n
2 n =1
π
∫ f (t ) cos ntdt
−π
π
1
f (t ) sin ntdt
πR n −∫π
Если подставить эти коэффициенты в полученную выше формулу и произвести
упрощение, получаем окончательный результат решения задачи Дирихле, который
называется интегралом Пуассона.
(Симеон Дени Пуассон (1781 – 1840) – французский математик)
Bn =
π
u (r , ϕ) =
R2 − r 2
1
f
t
dt
(
)
2π −∫π
R 2 − 2rR cos(t − ϕ) + r 2
67
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Ряды.
Основные определения.
Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности
u1 , u 2 ,..., u n ,... называется числовым рядом.
∞
u1 + u2 + ... + un + ... = ∑ un
n =1
При этом числа u1 , u 2 ,... будем называть членами ряда, а un – общим членом ряда.
n
Определение. Суммы S n = u1 + u 2 + ... + u n = ∑ u k ,
n = 1, 2, … называются
k =1
частными (частичными) суммами ряда.
Таким образом, возможно рассматривать последовательности частичных сумм
ряда S1, S2, …,Sn, …
∞
Определение. Ряд u1 + u2 + ... + un + ... = ∑ un называется сходящимся, если
n =1
сходится последовательность его частных сумм. Сумма сходящегося ряда – предел
последовательности его частных сумм.
∞
S = ∑ un .
lim S n = S ,
n =1
Определение. Если последовательность частных сумм ряда расходится, т.е. не
имеет предела, или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся и ему
не ставят в соответствие никакой суммы.
Свойства рядов.
1) Сходимость или расходимость ряда не нарушится если изменить, отбросить
или добавить конечное число членов ряда.
2) Рассмотрим два ряда ∑ u n и ∑ Cu n , где С – постоянное число.
Теорема. Если ряд
∑u
n
сходится и его сумма равна S, то ряд
сходится, и его сумма равна СS. (C ≠ 0)
3) Рассмотрим два ряда
называться ряд
∑ (u
n
∑u
n
и
∑v
n
∑ Cu
n
тоже
. Суммой или разностью этих рядов будет
± v n ) , где элементы получены в результате сложения (вычитания)
исходных элементов с одинаковыми номерами.
Теорема. Если ряды ∑ u n и ∑ v n сходятся и их суммы равны соответственно S
и σ, то ряд
∑ (u
n
± v n ) тоже сходится и его сумма равна S + σ.
∑ (u
n
+ vn ) = ∑ u n + ∑ vn = S + σ
Разность двух сходящихся рядов также будет сходящимся рядом.
Сумма сходящегося и расходящегося рядов будет расходящимся рядом.
О сумме двух расходящихся рядов общего утверждения сделать нельзя.
68
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
При изучении рядов решают в основном две задачи: исследование на
сходимость и нахождение суммы ряда.
Критерий Коши.
(необходимые и достаточные условия сходимости ряда)
Для того, чтобы последовательность a1 , a 2 ,..., a n ,... была сходящейся,
необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовал такой номер N, что
при n > N и любом p > 0, где р – целое число, выполнялось бы неравенство:
an+ p − an < ε .
Доказательство. (необходимость)
Пусть a n → a , тогда для любого числа ε > 0 найдется номер N такой, что неравенство
ε
a − an <
выполняется при n>N. При n>N и любом целом p>0 выполняется также
2
ε
неравенство a − a n + p < . Учитывая оба неравенства, получаем:
2
ε ε
a n + p − a n = (a n + p − a) + (a − a n ) ≤ a n + p − a + a − a n < + = ε
2 2
Необходимость доказана. Доказательство достаточности рассматривать не будем.
Сформулируем критерий Коши для ряда.
∞
Для того, чтобы ряд u1 + u 2 + ... + un + ... = ∑ un был сходящимся необходимо и
n =1
достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовал номер N такой, что при n>N и
любом p>0 выполнялось бы неравенство
u n +1 + u n + 2 + ... + u n + p < ε .
Однако, на практике использовать непосредственно критерий Коши не очень
удобно. Поэтому как правило используются более простые признаки сходимости:
1) Если ряд
∑u
n
сходится, то необходимо, чтобы общий член un стремился к
нулю. Однако, это условие не является достаточным. Можно говорить только о том,
что если общий член не стремится к нулю, то ряд точно расходится. Например, так
∞
1
называемый гармонический ряд ∑ является расходящимся, хотя его общий член и
n =1 n
стремится к нулю.
Пример. Исследовать сходимость ряда
n
= lim
3n − 1 n→∞
1
= ≠0
1 3
3−
n
выполняется, значит ряд расходится.
Найдем
lim
n→∞
1
-
1 2 3
n
+ + + ... +
+ ...
2 5 8
3n − 1
необходимый
признак
сходимости
2) Если ряд сходится, то последовательность его частных сумм ограничена.
Однако, этот признак также не является достаточным.
69
не
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Например, ряд 1-1+1-1+1-1+ … +(-1)n+1+… расходится, т.к. расходится
последовательность его частных сумм в силу того, что
⎧0, при четных n
Sn = ⎨
⎩1, при нечетных n
Однако, при этом последовательность частных сумм ограничена, т.к. S n < 2
при любом n.
Ряды с неотрицательными членами.
При изучении знакопостоянных рядов ограничимся рассмотрением рядов с
неотрицательными членами, т.к. при простом умножении на –1 из этих рядов можно
получить ряды с отрицательными членами.
Теорема. Для сходимости ряда
∑u
n
с неотрицательными членами необходимо
и достаточно, чтобы частные суммы ряда были ограничены.
Признак сравнения рядов с неотрицательными членами.
Пусть даны два ряда
∑u
n
и
∑v
при un, vn ≥ 0.
n
Теорема. Если un ≤ vn при любом n, то из сходимости ряда
сходимость ряда
∑u
n
, а из расходимости ряда
∑u
n
∑v
n
n
следует
следует расходимость ряда
Доказательство. Обозначим через Sn и σn частные суммы рядов
Т.к. по условию теоремы ряд
∑v
∑u
n
и
∑v
n
∑v
n
.
.
сходится, то его частные суммы ограничены, т.е.
при всех n σn < M, где М – некоторое число. Но т.к. un ≤ vn, то Sn ≤ σn то частные суммы
ряда ∑ u n тоже ограничены, а этого достаточно для сходимости.
Пример. Исследовать на сходимость ряд
Т.к.
1
1
> , а гармонический ряд
ln n n
1
∑n
1
1
1
+
+ ... +
+ ...
ln 2 ln 3
ln n
расходится, то расходится и ряд
Пример. Исследовать на сходимость ряд
∞
1
∑ n2
n =1
n
1
∑ ln n .
.
1
1
1
< n , а ряд ∑ n сходится ( как убывающая геометрическая прогрессия), то
n
n2
2
2
∞
1
ряд ∑ n тоже сходится.
n =1 n 2
Т.к.
Также используется следующий признак сходимости:
un
= h , где h – число,
n→∞ v
n
Теорема. Если u n > 0, v n > 0 и существует предел lim
отличное от нуля, то ряды
∑u
n
и
∑v
n
ведут одинаково в смысле сходимости.
70
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Признак Даламбера.
(Жан Лерон Даламбер (1717 – 1783) – французский математик)
Если для ряда
∑u
с положительными членами существует такое число q<1,
n
что для всех достаточно больших n выполняется неравенство
u n +1
≤ q,
un
то ряд
то ряд
∑u
∑u
n
сходится, если же для всех достаточно больших n выполняется условие
u n +1
≥ 1,
un
n
расходится.
Предельный признак Даламбера.
Предельный признак Даламбера является следствием из приведенного выше
признака Даламбера.
u
Если существует предел lim n +1 = ρ , то при ρ < 1 ряд сходится, а при ρ > 1 –
n →∞ u
n
расходится. Если ρ = 1, то на вопрос о сходимости ответить нельзя.
∞
Пример. Определить сходимость ряда
n =1
un =
n
n +1
; u n +1 = n +1 ;
n
2
2
n
∑2
n
.
u n +1
n +1
(n + 1)2
= lim n +1
=
=
n →∞ u
n →∞
2n
2 n
n
Вывод: ряд сходится.
n
lim
1
n = 1 <1
2
2
1+
1 1
1
+ + ... + + ...
1! 2!
n!
u
1
1
n!
; lim n +1 = lim
=
= lim
= 0 <1
n →∞ ( n + 1)!
n →∞ n + 1
(n + 1)! n→∞ u n
Вывод: ряд сходится.
Пример. Определить сходимость ряда 1 +
un =
1
; u n +1
n!
Признак Коши. (радикальный признак)
Если для ряда
∑u
n
с неотрицательными членами существует такое число
q<1, что для всех достаточно больших n выполняется неравенство
n u ≤ q,
n
то ряд
∑u
n
сходится, если же для всех достаточно больших n выполняется
неравенство
n
u n ≥ 1,
71
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
то ряд
∑u
n
расходится.
Следствие. Если существует предел lim n u n = ρ , то при ρ<1 ряд сходится, а при
n →∞
ρ>1 ряд расходится.
n
⎛ 2n 2 + 1 ⎞
⎟⎟ .
Пример. Определить сходимость ряда ∑ ⎜⎜ 2
n =1 ⎝ 3n + 5 ⎠
1
2+ 2
2
2
1
n
+
n = 2 <1
lim n u n = lim 2
= lim
n→∞
n →∞ 3n + 5
n →∞
5
3
3+ 2
n
Вывод: ряд сходится.
∞
n
∞
⎛ 1⎞
⎜1 + ⎟ .
∑
n⎠
n =1 ⎝
⎛ 1⎞
lim n u n = lim⎜1 + ⎟ = 1.
n→∞
n →∞
⎝ n⎠
Т.е. признак Коши не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. Проверим выполнение
необходимых условий сходимости. Как было сказано выше, если ряд сходится, то
общий член ряда стремится к нулю.
Пример. Определить сходимость ряда
n
⎛ 1⎞
lim u n = lim⎜1 + ⎟ = e ≠ 0 ,
n →∞
n →∞
⎝ n⎠
таким образом, необходимое условие сходимости не выполняется, значит, ряд
расходится.
Интегральный признак Коши.
Если ϕ(х) – непрерывная положительная функция, убывающая на промежутке
[1;∞), то ряд ϕ(1) + ϕ(2) + …+ ϕ(n) + … =
∞
∑ ϕ(n)
n =1
∞
и несобственный интеграл ∫ ϕ( x)dx
1
одинаковы в смысле сходимости.
1
1
1
+ α + ... + α + ... сходится при α>1 и расходится α≤1 т.к.
α
2
3
n
∞
dx
соответствующий несобственный интеграл ∫ α сходится при α>1 и расходится α≤1.
1 x
∞
1
Ряд ∑ α называется общегармоническим рядом.
n =1 n
Пример. Ряд 1 +
Следствие. Если f(x) и ϕ(х) – непрерывные функции на интервале (a, b] и
b
b
f ( x)
lim
= h, h ≠ 0, то интегралы ∫ f ( x)dx и ∫ ϕ( x)dx ведут себя одинаково в смысле
x → a + 0 ϕ( x )
a
a
сходимости.
72
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики”
возможно запустить программу, исследующую на сходимость числовые ряды по всем
рассмотренным выше признакам. Достаточно ввести общий член ряда и нажать Enter.
Все признаки будут проверяться по очереди.
Для запуска программы дважды щелкните на значке:
Примечание: Для запуска программы необходимо чтобы на компьютере была
установлена программа Maple (© Waterloo Maple Inc.) любой версии, начиная с Maple
V Release 4.
Знакопеременные ряды.
Знакочередующиеся ряды.
Знакочередующийся ряд можно записать в виде:
u1 − u 2 + u 3 − u 4 + ... + (−1) n +1 u n + ...
где u n > 0, n = 1,2,3,...
Признак Лейбница.
Если у знакочередующегося ряда u1 − u 2 + u 3 − u 4 + ... + (−1) n +1 u n + ... абсолютные
величины ui убывают u1 > u 2 > u 3 > ... и общий член стремится к нулю u n → 0 , то ряд
сходится.
Абсолютная и условная сходимость рядов.
Рассмотрим некоторый знакопеременный ряд (с членами произвольных знаков).
∞
u1 + u 2 + ... + u n + ... = ∑ u n
(1)
n =1
и ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (1):
∞
u1 + u 2 + ... + u n + ... = ∑ u n
(2)
n =1
Теорема. Из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1).
Доказательство. Ряд (2) является рядом с неотрицательными членами. Если ряд
(2) сходится, то по критерию Коши для любого ε>0 существует число N, такое, что при
n>N и любом целом p>0 верно неравенство:
u n +1 + u n + 2 + ... + u n + p < ε
По свойству абсолютных величин:
u n +1 + u n + 2 + ... + u n + p ≤ u n +1 + u n + 2 + ... + u n + p < ε
u n +1 + u n + 2 + ... + u n + p < ε
То есть по критерию Коши из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1).
73
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Определение. Ряд
∑u
n
∑u
n
называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд
.
Очевидно, что для знакопостоянных рядов понятия сходимости и абсолютной
сходимости совпадают.
Определение. Ряд
ряд
∑u
n
∑u
n
называется условно сходящимся, если он сходится, а
расходится.
Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов.
Пусть
∑u
n
- знакопеременный ряд.
u n +1
= ρ , то при ρ<1 ряд
n→∞ u
n
Признак Даламбера. Если существует предел lim
∑u
n
будет абсолютно сходящимся, а при ρ>1 ряд будет расходящимся. При ρ=1
признак не дает ответа о сходимости ряда.
Признак Коши. Если существует предел lim n u n = ρ , то при ρ<1 ряд
n →∞
∑u
n
будет абсолютно сходящимся, а при ρ>1 ряд будет расходящимся. При ρ=1 признак не
дает ответа о сходимости ряда.
Свойства абсолютно сходящихся рядов.
1) Теорема. Для абсолютной сходимости ряда
∑u
n
необходимо и достаточно,
чтобы его можно было представить в виде разности двух сходящихся рядов с
неотрицательными членами.
Следствие. Условно сходящийся ряд является разностью двух расходящихся
рядов с неотрицательными стремящимися к нулю членами.
2) В сходящемся ряде любая группировка членов ряда, не изменяющая их
порядка, сохраняет сходимость и величину ряда.
3) Если ряд сходится абсолютно, то ряд, полученный из него любой
перестановкой членов, также абсолютно сходится и имеет ту же сумму.
Перестановкой членов условно сходящегося ряда можно получить условно
сходящийся ряд, имеющий любую наперед заданную сумму, и даже расходящийся ряд.
4) Теорема. При любой группировке членов абсолютно сходящегося ряда (при
этом число групп может быть как конечным, так и бесконечным и число членов в
группе может быть как конечным, так и бесконечным) получается сходящийся ряд,
сумма которого равна сумме исходного ряда.
74
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
5) Если ряды
∞
∑u
n =1
n
и
∞
∑v
n =1
n
сходятся абсолютно и их суммы равны
соответственно S и σ, то ряд, составленный из всех произведений вида
u i v k , i, k = 1,2,... взятых в каком угодно порядке, также сходится абсолютно и его
сумма равна S⋅σ - произведению сумм перемножаемых рядов.
Если же производить перемножение условно сходящихся рядов, то в результате
можно получить расходящийся ряд.
Функциональные последовательности.
Определение. Если членами ряда будут не числа, а функции от х, то ряд
называется функциональным.
Исследование на сходимость функциональных рядов сложнее исследования
числовых рядов. Один и тот же функциональный ряд может при одних значениях
переменной х сходиться, а при других – расходиться. Поэтому вопрос сходимости
функциональных рядов сводится к определению тех значений переменной х, при
которых ряд сходится.
Совокупность таких значений называется областью сходимости.
Так как пределом каждой функции, входящей в область сходимости ряда, является
некоторое число, то пределом функциональной последовательности будет являться
некоторая функция:
f ( x) = lim f n ( x)
n →∞
Определение. Последовательность {fn(x)} сходится к функции f(x) на отрезке
[a,b], если для любого числа ε>0 и любой точки х из рассматриваемого отрезка
существует номер N = N(ε, x), такой, что неравенство
f ( x) − f n ( x) < ε
выполняется при n>N.
При выбранном значении ε>0 каждой точке отрезка [a,b] соответствует свой
номер и, следовательно, номеров, соответствующих всем точкам отрезка [a,b], будет
бесчисленное множество. Если выбрать из всех этих номеров наибольший, то этот
номер будет годиться для всех точек отрезка [a,b], т.е. будет общим для всех точек.
Определение. Последовательность {fn(x)} равномерно сходится к функции f(x)
на отрезке [a,b], если для любого числа ε>0 существует номер N = N(ε), такой, что
неравенство
f ( x) − f n ( x) < ε
выполняется при n>N для всех точек отрезка [a,b].
sin x sin 2 x
sin nx
,
,...,
,...
2
1
n
Данная последовательность сходится на всей числовой оси к функции f(x)=0, т.к.
sin nx
lim
= 0, − ∞ < x < ∞
n →0
n
Построим графики этой последовательности:
Пример. Рассмотрим последовательность
75
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
sin 5 x
5
sinx
1
0.5
-4
-2
2
4
-0.5
sin 2 x
2
-1
Как видно, при увеличении числа n график последовательности приближается к
оси х.
При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики”
возможно запустить программу, которая исследует на сходимость знакочередующиеся
ряды и определяет характер сходимости. Достаточно ввести общий член ряда и
множитель, определяющий знак и нажать Enter. Все рассмотренные выше признаки
будут проверены по очереди.
Для запуска программы дважды щелкните на значке:
Примечание: Для запуска программы необходимо чтобы на компьютере была
установлена программа Maple (© Waterloo Maple Inc.) любой версии, начиная с Maple
V Release 4.
Функциональные ряды.
Определение. Частными (частичными) суммами функционального ряда
∞
n
n =1
k =1
∑ u n ( x) называются функции S n ( x) = ∑ u k ( x), n = 1,2,...
Определение. Функциональный ряд
∞
∑u
n =1
n
( x) называется сходящимся в точке
(х=х0), если в этой точке сходится последовательность его частных сумм. Предел
последовательности {S n ( x0 )} называется суммой ряда
76
∞
∑u
n =1
n
( x) в точке х0.
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Определение. Совокупность всех значений х, для которых сходится ряд
∞
∑u
n =1
n
( x) называется областью сходимости ряда.
Определение. Ряд
∞
∑u
n =1
n
( x) называется равномерно сходящимся на отрезке
[a,b], если равномерно сходится на этом отрезке последовательность частных сумм
этого ряда.
Теорема. (Критерий Коши равномерной сходимости ряда)
∞
∑u
Для равномерной сходимости ряда
n =1
n
( x) необходимо и достаточно, чтобы
для любого числа ε>0 существовал такой номер N(ε), что при n>N и любом целом p>0
неравенство
u n +1 ( x) + u n + 2 ( x) + ... + u n + p ( x) < ε
выполнялось бы для всех х на отрезке [a,b].
Теорема. (Признак равномерной сходимости Вейерштрасса)
(Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815 – 1897) – немецкий математик)
Ряд
∞
∑u
n =1
n
( x) сходится равномерно и притом абсолютно на отрезке [a,b], если
модули его членов на том же отрезке не превосходят соответствующих членов
сходящегося числового ряда с положительными членами :
M 1 + M 2 + ... + M n + ...
т.е. имеет место неравенство:
u n ( x) ≤ M n .
Еще говорят, что в этом случае функциональный ряд
∞
∑u
n =1
числовым рядом
∞
∑Μ
n =1
n
n
( x) мажорируется
.
∞
cos nx
.
n3
n =1
cos nx
1
≤ 3 .
Так как cos nx ≤ 1 всегда, то очевидно, что
3
n
n
∞
1
При этом известно, что общегармонический ряд ∑ α при α=3>1 сходится, то в
n =1 n
соответствии с признаком Вейерштрасса исследуемый ряд равномерно сходится и
притом в любом интервале.
Пример. Исследовать на сходимость ряд
Пример. Исследовать на сходимость ряд
77
∑
∞
xn
.
∑
3
n =1 n
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
На отрезке [-1,1] выполняется неравенство
xn
1
≤ 3 т.е. по признаку Вейерштрасса на
3
n
n
этом отрезке исследуемый ряд сходится, а на интервалах (-∝, -1) ∪ (1, ∝) расходится.
Свойства равномерно сходящихся рядов.
1) Теорема о непрерывности суммы ряда.
Если члены ряда
∞
∑u
n =1
n
( x) - непрерывные на отрезке [a,b] функции и ряд
сходится равномерно, то и его сумма S(x) есть непрерывная функция на отрезке [a,b].
2) Теорема о почленном интегрировании ряда.
Равномерно сходящийся на отрезке [a,b] ряд с непрерывными членами можно
почленно интегрировать на этом отрезке, т.е. ряд, составленный из интегралов от
его членов по отрезку [a,b] , сходится к интегралу от суммы ряда по этому отрезку.
β ∞
∫ ∑u
α n =1
∞ β
n
( x)dx = ∑ ∫ u n ( x)dx; α, β ∈ [a, b]
n =1 α
3) Теорема о почленном дифференцировании ряда.
Если члены ряда
∞
∑u
n =1
n
( x) сходящегося на отрезке [a,b] представляют собой
непрерывные функции, имеющие непрерывные производные, и ряд, составленный из
этих производных
∞
∑ u ′ (x) сходится на этом отрезке равномерно, то и данный ряд
n =1
n
сходится равномерно и его можно дифференцировать почленно.
∞
du ( x)
d ∞
u n ( x) = ∑ n
∑
dx n =1
dx
n =1
На основе того, что сумма ряда является некоторой функцией от переменной х,
можно производить операцию представления какой – либо функции в виде ряда
(разложения функции в ряд), что имеет широкое применение при интегрировании,
дифференцировании и других действиях с функциями.
На практике часто применяется разложение функций в степенной ряд.
При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики”
возможно запустить программу, которая определяет интервал сходимости для
произвольного функционального ряда.
Для запуска программы дважды щелкните на значке
Примечание: Для запуска программы необходимо чтобы на компьютере была
установлена программа Maple (© Waterloo Maple Inc.) любой версии, начиная с MapleV
Release 4.
78
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Степенные ряды.
Определение. Степенным рядом называется ряд вида
∞
a 0 + a1 x + a 2 x 2 + ... + a n x n + ... = ∑ a n x n .
n =0
Для исследования на сходимость степенных рядов удобно использовать признак
Даламбера.
Пример. Исследовать на сходимость ряд x +
x2 x3
xn
+
+ ... +
+ ...
2
3
n
Применяем признак Даламбера:
x n +1
u
xn
x
= lim
= x.
lim n +1 = lim n +n 1 = lim
n→∞ u
n →∞ x
n →∞ n + 1
n →∞
1
n
1+
n
n
Получаем, что этот ряд сходится при x < 1 и расходится при x > 1 .
Теперь определим сходимость в граничных точках 1 и –1.
1 1 1
При х = -1: − 1 + − + − ... ряд сходится по признаку Лейбница (см. Признак
2 3 4
Лейбница.).
1 1
1
При х = 1: 1 + + + ... + + ... ряд расходится (гармонический ряд).
2 3
n
Теоремы Абеля.
(Нильс Хенрик Абель (1802 – 1829) – норвежский математик)
∞
Теорема. Если степенной ряд a 0 + a1 x + a 2 x 2 + ... + a n x n + ... = ∑ a n x n сходится
n =0
при x = x1 , то он сходится и притом абсолютно для всех x < x1 .
Доказательство. По условию теоремы, так как члены ряда ограничены, то
a n x1n ≤ k ,
где k- некоторое постоянное число. Справедливо следующее неравенство:
n
n
x
x
an x = a x
≤k
x1
x1
Из этого неравенства видно, что при x<x1 численные величины членов нашего
ряда будут меньше ( во всяком случае не больше ) соответствующих членов ряда
правой части записанного выше неравенства, которые образуют геометрическую
x
по условию теоремы меньше единицы,
прогрессию. Знаменатель этой прогрессии
x1
следовательно, эта прогрессия представляет собой сходящийся ряд.
Поэтому на основании признака сравнения делаем вывод, что ряд ∑ a n x n
n
сходится, а значит ряд
∑a
n
n
n 1
x n сходится абсолютно.
79
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
∑a
Таким образом, если степенной ряд
n
x n сходится в точке х1, то он абсолютно
сходится в любой точке интервала длины 2 х1 с центром в точке х = 0.
Следствие. Если при х = х1 ряд расходится, то он расходится для всех x > x1 .
Таким образом, для каждого степенного ряда существует такое положительное
число R, что при всех х таких, что x < R ряд абсолютно сходится, а при всех x > R ряд
расходится. При этом число R называется радиусом сходимости. Интервал (-R, R)
называется интервалом сходимости.
Отметим, что этот интервал может быть как замкнутым с одной или двух
сторон, так и не замкнутым.
Радиус сходимости может быть найден по формуле:
a
R = lim n −1
n →∞ a
n
Пример. Найти область сходимости ряда x +
x2 x3
xn
+
+ ... +
+ ...
2! 3!
n!
1
a
n!
(n − 1)!
Находим радиус сходимости R = lim n −1 = lim
= lim
= lim n = ∞ .
n →∞ a
n →∞
n →∞ ( n − 1)!
n →∞
1
n
n!
Следовательно, данный ряд сходится при любом значении х. Общий член этого ряда
стремится к нулю.
xn
lim
= 0.
n → ∞ n!
Теорема. Если степенной ряд
∑a
n
x n сходится для положительного значения
х=х1 , то он сходится равномерно в любом промежутке внутри (− x1 ; x1 ) .
Действия со степенными рядами.
1) Интегрирование степенных рядов.
Если некоторая функция f(x) определяется степенным рядом:
∞
f ( x) = ∑ a n x n , то
n =0
интеграл от этой функции можно записать в виде ряда:
∫
∞
∞
n =0
n =0
∞
a n n +1
x +C
n =0 n + 1
f ( x)dx = ∫ ∑ a n x n dx = ∑ ∫ a n x n dx = ∑
2) Дифференцирование степенных рядов.
Производная функции, которая определяется степенным рядом, находится по формуле:
f ′( x) =
∞
∞
d ∞
d
n
n
(
)
a
x
=
a
x
=
na n x n −1
∑
∑
∑
n
n
dx n =0
n = 0 dx
n =0
80
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
3) Сложение, вычитание, умножение и деление степенных рядов.
Сложение и вычитание степенных рядов сводится к соответствующим операциям с их
членами:
∞
∞
∞
n =0
n =0
n =0
∑ an x n ± ∑ bn x n = ∑ (an ± bn ) x n
Произведение двух степенных рядов выражается формулой:
∞
∞
∞
n =0
n =0
n =0
∑ an x n ⋅ ∑ bn x n = ∑ сn x n
Коэффициенты сi находятся по формуле:
c n = a 0 bn + a1bn −1 + ... + a n −1b1 + a n b0
Деление двух степенных рядов выражается формулой:
∞
∑a
n =0
∞
n
xn
∑b x
n =0
Для
определения
∞
∑q
n =0
n
∞
∞
n =0
n =0
n
∞
= ∑ qn x n
n =0
n
коэффициентов
qn
рассматриваем
произведение
x n ⋅ ∑ bn x n = ∑ a n x n , полученное из записанного выше равенства и решаем
систему уравнений:
⎧a 0 = q 0 b0
⎪a = q b + q b
0 1
1 0
⎪⎪ 1
⎨a 2 = q0 b2 + q1b1 + q 2 b0
⎪....................................
⎪
⎪⎩a n = q0 bn + q1bn −1 + ... + q n b0
Разложение функций в степенные ряды.
Разложение функций в степенной ряд имеет большое значение для решения
различных задач исследования функций, дифференцирования, интегрирования,
решения дифференциальных уравнений, вычисления пределов, вычисления
приближенных значений функции.
Возможны различные способы разложения функции в степенной ряд. Такие
способы как разложение при помощи рядов Тейлора и Маклорена были рассмотрены
ранее. (См. Формула Тейлора. )
Существует также способ разложения в степенной ряд при помощи
алгебраического деления. Это – самый простой способ разложения, однако, пригоден
он только для разложения в ряд алгебраических дробей.
1
.
1− x
Суть метода алгебраического деления состоит в применении общего правила
деления многочленов:
Пример. Разложить в ряд функцию
81
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
1
1-x
1 + x + x2 + x3 + …
1–x
x
x – x2
x2
x2 – x3
x3
……….
Если применить к той же функции формулу Маклорена
f ′(0)
f ′′(0) 2
f ( n ) (0) n
f ( x) = f (0) +
x+
x + ... +
x + Rn ( x ) ,
1!
2!
n!
1
то получаем: f ′( x) =
; f ′(0) = 1;
(1 − x) 2
2
f ′′( x) =
; f ′′(0) = 2;
(1 − x) 3
2⋅3
f ′′′( x) =
; f ′′′(0) = 3!;
(1 − x) 4
……………………………….
n!
f ( n ) ( x) =
; f ( n ) (0) = n!;
n +1
(1 − x)
Итого, получаем: f ( x) = 1 + x + x 2 + ... + x n + ...
Рассмотрим способ разложения функции в ряд при помощи интегрирования.
С помощью интегрирования можно разлагать в ряд такую функцию, для которой
известно или может быть легко найдено разложение в ряд ее производной.
Находим дифференциал функции df ( x) = f ′( x)dx и интегрируем его в пределах
от 0 до х.
x
x
0
0
∫ df ( x) = ∫ f ′( x)dx;
x
x
0
0
f ( x) = ∫ f ′( x)dx;
x
f ( x) = f (0) + ∫ f ′( x)dx;
0
Пример. Разложить в ряд функцию f ( x) = ln(1 + x).
Разложение в ряд этой функции по формуле Маклорена было рассмотрено выше.
(См. Функция y = ln(1 + x).) Теперь решим эту задачу при помощи интегрирования.
При f (0) = 0,
f ′( x) =
1
получаем по приведенной выше формуле:
1+ x
x
1
ln(1 + x) = ∫
dx
1+ x
0
1
может быть легко найдено способом алгебраического
1+ x
деления аналогично рассмотренному выше примеру.
Разложение в ряд функции
82
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
1
= 1 − x + x 2 − x 3 + x 4 − ... + (−1) n x n + ...
1+ x
x
x ∞
∞
∞ x
1
x n +1
n n
Тогда получаем: ln(1 + x) = ∫
dx = ∫ ∑ (−1) x dx = ∑ ∫ (−1) n x n dx = ∑ (−1) n
1+ x
n +1
n =0 0
n =0
0
0 n =0
n +1
x2 x3 x4
n x
+
−
+ ... + (−1)
+ ...
Окончательно получим: ln(1 + x) = x −
2
3
4
n +1
Пример. Разложить в степенной ряд функцию arctgx .
Применим разложение в ряд с помощью интегрирования.
1
f ( x) = arctgx; f (0) = 0; f ′( x) =
;
1+ x2
x
1
arctgx = ∫
dx
2
x
1
+
0
Подинтегральная функция может быть разложена в ряд методом алгебраического
деления:
1
1 + x2
2
1+x
1 – x2 + x4- …
2
-x
- x2 – x4
x4
x4 + x6
………….
1
= 1 − x 2 + x 4 − ... + (−1) n x 2 n + ...
2
1+ x
x
x
x
2 n +1
∞
∞
∞
1
n 2n
n 2n
n x
dx
=
(
−
1
)
x
dx
=
(
−
1
)
x
dx
=
(
−
1
)
∑
∑
2
∫0 ∑
∫
2n + 1
n =0
n =0 0
n =0
0 1+ x
Тогда arctgx = ∫
2 n +1
x3 x5
n x
Окончательно получаем: arctgx = x −
+
− ... + (−1)
+ ...
3
5
2n + 1
Решение дифференциальных уравнений с помощью
степенных рядов.
С помощью степенных рядов возможно интегрировать дифференциальные
уравнения.
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида:
y ( n ) + p1 ( x) y ( n −1) + p 2 ( x) y ( n − 2 ) + ... + p n ( x) y = f ( x)
Если все коэффициенты и правая часть этого уравнения разлагаются в
сходящиеся в некотором интервале степенные ряды, то существует решение этого
уравнения в некоторой малой окрестности нулевой точки, удовлетворяющее
начальным условиям.
Это решение можно представить степенным рядом:
83
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
y = c0 + c1 x + c 2 x 2 + c3 x 3 + ...
Для нахождения решения остается определить неизвестные постоянные ci.
Эта задача решается методом сравнения неопределенных коэффициентов.
Записанное выражение для искомой функции подставляем в исходное
дифференциальное уравнение, выполняя при этом все необходимые действия со
степенными рядами (дифференцирование, сложение, вычитание, умножение и пр.)
Затем приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и
правой частях уравнения. В результате с учетом начальных условий получим систему
уравнений, из которой последовательно определяем коэффициенты ci.
Отметим, что этот метод применим и к нелинейным дифференциальным
уравнениям.
Пример. Найти решение уравнения y ′′ − xy = 0 c начальными условиями y(0)=1,
y’(0)=0.
Решение уравнения будем искать в виде y = c0 + c1 x + c 2 x 2 + ...
y ′ = c1 + 2c 2 x + 3c3 x 2 + 4c 4 x 3 + ...
y ′′ = 2c 2 + 6c3 x + 12c 4 x 2 + 20c5 x 3 + ...
Подставляем полученные выражения в исходное уравнение:
(2c 2 + 6c3 x + 12c 4 x 2 + 20c5 x 3 + ...) − (c0 x + c1 x 2 + c 2 x 3 + c3 x 4 + ...) = 0
2c 2 + x(6c3 − c0 ) + x 2 (12c 4 − c1 ) + x 3 (20c5 − c 2 ) + x 4 (30c6 − c3 ) + ... = 0
Отсюда получаем: 2c 2 = 0
6c3 − c0 = 0
12c 4 − c1 = 0
20c5 − c 2 = 0
30c 6 − c3 = 0
………………
Получаем, подставив начальные условия в выражения для искомой функции и ее
первой производной:
c0 = 1
c1 = 0
1
1
Окончательно получим: c0 = 1; c1 = 0; c 2 = 0; c3 = ; c 4 = 0; c5 = 0; c6 =
; ...
6
180
x3 x6
+
+ ...
Итого: y = 1 +
6 180
Существует и другой метод решения дифференциальных уравнений с помощью
рядов. Он носит название метод последовательного дифференцирования.
Рассмотрим тот же пример. Решение дифференциального уравнения будем
искать в виде разложения неизвестной функции в ряд Маклорена.
y ′(0)
y ′′(0) 2 y ′′′(0) 3
y = y (0) +
x+
x +
x + ...
1!
2!
3!
84
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Если заданные начальные условия y(0)=1, y’(0)=0 подставить в исходное
дифференциальное уравнение, получим, что y ′′(0) = 0.
Далее запишем дифференциальное уравнение в виде y ′′ = xy и будем
последовательно дифференцировать его по х.
y ′′′ = y + xy ′;
y ′′′(0) = y (0) = 1;
y IV = y ′ + y ′ + xy ′′;
y V = 2 y ′′ + y ′′ + xy ′′′;
y IV (0) = 0;
y V (0) = 0;
y VI = 3 y ′′′ + y ′′′ + xy IV ; y VI (0) = 4;
..........................................................
После подстановки полученных значений получаем:
y = 1+
x3 x6
+
+ ...
6 180
Ряды Фурье.
( Жан Батист Жозеф Фурье (1768 – 1830) – французский математик)
Тригонометрический ряд.
Определение. Тригонометрическим рядом называется ряд вида:
a0
+ (a1 cos x + b1 sin x) + (a 2 cos 2 x + b2 sin 2 x) + ... + (a n cos nx + bn sin nx) + ...
2
∞
a
или, короче, 0 + ∑ (a n cos nx + bn sin nx).
2 n =1
Действительные числа ai, bi называются коэффициентами тригонометрического
ряда.
Если ряд представленного выше типа сходится, то его сумма представляет собой
периодическую функцию с периодом 2π, т.к. функции sinnx и cosnx также
периодические функции с периодом 2π.
Пусть тригонометрический ряд равномерно сходится на отрезке [-π; π], а
следовательно, и на любом отрезке в силу периодичности, и его сумма равна f(x).
Определим коэффициенты этого ряда.
Для решения этой задачи воспользуемся следующими равенствами:
π
⎧0, m ≠ n, m = 0,1,2,..
∫−πcos mx cos nxdx = ⎨⎩π, m = n, m, n = 1,2,...
π
⎧0, m ≠ n,
m = n, m, n = 1,2,...
∫ sin mx sin nxdx = ⎨⎩π,
−π
π
∫ cos mx sin nxdx =0,
m = 0,1,2,..., n = 1,2,...
−π
85
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Справедливость этих равенств вытекает из применения к подынтегральному
выражению тригонометрических формул. Подробнее см. Интегрирование
тригонометрических функций.
Т.к. функция f(x) непрерывна на отрезке [-π; π], то существует интеграл
π ∞
π
a0 π
f
(
x
)
dx
=
dx
+
∫
∫ ∑ (a n cos nx + bn sin nx)dx = πa0
2 −∫π
− π n =1
−π
Такой результат получается в результате того, что
π ∞
∫ ∑ (a
− π n =1
Получаем: a 0 =
1
π
n
cos nx + bn sin nx)dx = 0 .
π
∫ f ( x)dx
−π
Далее умножаем выражение разложения функции в ряд на cosnx и интегрируем в
пределах от -π до π.
π
π ∞
a0 π
f
(
x
)
cos
nxdx
=
cos
nxdx
+
(a n cos 2 nx + bn cos nx sin nx)dx = πa n
∑
∫−π
∫
∫
2 −π
− π n =1
π
1
f ( x) cos nxdx; n = 1,2,...
π −∫π
Аналогично умножаем выражение разложения функции в ряд на sinnx и интегрируем в
пределах от -π до π.
Отсюда получаем: a n =
Получаем: bn =
1
π
π
∫π f ( x) sin nxdx,
n = 1,2,...
−
Выражение для коэффициента а0 является частным случаем для выражения
коэффициентов an.
Таким образом, если функция f(x) – любая периодическая функция периода 2π,
непрерывная на отрезке [-π; π] или имеющая на этом отрезке конечное число точек
разрыва первого рода, то коэффициенты
π
1
a n = ∫ f ( x) cos nxdx; n = 0,1,2,...
π −π
π
1
bn = ∫ f ( x) sin nxdx, n = 1,2,...
π −π
существуют и называются коэффициентами Фурье для функции f(x).
Определение. Рядом Фурье для функции f(x) называется тригонометрический
ряд, коэффициенты которого являются коэффициентами Фурье. Если ряд Фурье
функции f(x) сходится к ней во всех ее точках непрерывности, то говорят, что функция
f(x) разлагается в ряд Фурье.
86
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Достаточные признаки разложимости в ряд Фурье.
Теорема. (Теорема Дирихле) Если функция f(x) имеет период 2π и на отрезке
[-π;π] непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, и отрезок
[-π;π] можно разбить на конечное число отрезков так, что внутри каждого из них
функция f(x) монотонна, то ряд Фурье для функции f(x) сходится при всех значениях х,
причем в точках непрерывности функции f(x) его сумма равна f(x), а в точках разрыва
f ( x − 0) + f ( x + 0)
его сумма равна
, т.е. среднему арифметическому предельных
2
значений слева и справа. При этом ряд Фурье функции f(x) сходится равномерно на
любом отрезке, который принадлежит интервалу непрерывности функции f(x).
Функция f(x), для которой выполняются условия теоремы Дирихле называется
кусочно – монотонной на отрезке [-π;π].
Теорема. Если функция f(x) имеет период 2π, кроме того, f(x) и ее производная
f’(x) – непрерывные функции на отрезке [-π;π] или имеют конечное число точек
разрыва первого рода на этом отрезке, то ряд Фурье функции f(x) сходится при всех
значениях х, причем в точках непрерывности его сумма равна f(x), а в точках разрыва
f ( x − 0) + f ( x + 0)
она равна
. При этом ряд Фурье функции f(x) сходится равномерно
2
на любом отрезке, который принадлежит интервалу непрерывности функции f(x).
Функция, удовлетворяющая условиям этой теоремы, называется кусочно –
гладкой на отрезке [-π;π].
Разложение в ряд Фурье непериодической функции.
Задача разложения непериодической функции в ряд Фурье в принципе не
отличается от разложения в ряд Фурье периодической функции.
Допустим, функция f(x) задана на отрезке [a, b] и является на этом отрезке
кусочно – монотонной. Рассмотрим произвольную периодическую кусочно –
монотонную функцию f1(x) c периодом 2Т ≥ ⎪b-a⎪, совпадающую с функцией f(x) на
отрезке [a, b].
y
f(x)
α - 2T
α a
87
b α+2T
α + 4T
x
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Таким образом, функция f(x) была дополнена. Теперь функция f1(x) разлагается в
ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках отрезка [a, b] совпадает с функцией f(x),
т.е. можно считать, что функция f(x) разложена в ряд Фурье на отрезке [a, b].
Таким образом, если функция f(x) задана на отрезке, равном 2π ничем не
отличается от разложения в ряд периодической функции. Если же отрезок, на котором
задана функция, меньше, чем 2π, то функция продолжается на интервал (b, a + 2π) так,
что условия разложимости в ряд Фурье сохранялись.
Вообще говоря, в этом случае продолжение заданной функции на отрезок
(интервал) длиной 2π может быть произведено бесконечным количеством способов,
поэтому суммы получившихся рядов будут различны, но они будут совпадать с
заданной функцией f(x) на отрезке [a,b].
Ряд Фурье для четных и нечетных функций.
Отметим следующие свойства четных и нечетных функций:
⎧0, f ( x) − нечетная
a
⎪
1) ∫ f ( x)dx = ⎨ a
−a
⎪2 ∫ f ( x)dx, f ( x) − четная
⎩ 0
2) Произведение двух четных и нечетных функций является четной функцией.
3) Произведение четной и нечетной функций – нечетная функция.
Справедливость этих свойств может быть легко доказана исходя из определения
четности и нечетности функций.
Если f(x) – четная периодическая функция с периодом 2π, удовлетворяющая
условиям разложимости в ряд Фурье, то можно записать:
π
π
1
2
a n = ∫ f ( x) cos nxdx = ∫ f ( x) cos nxdx
(n = 0,1,2,...)
π −π
π0
π
1
bn = ∫ f ( x) sin nxdx = 0;
π −π
(n = 1,2,...)
Таким образом, для четной функции ряд Фурье записывается:
∞
a
f ( x) = 0 + ∑ a n cos nx
2 n =1
π
2
a n = ∫ f ( x) cos nxdx
π0
(n = 0,1,2,...)
Аналогично получаем разложение в ряд Фурье для нечетной функции:
∞
f ( x) = ∑ bn sin nx;
n =1
π
bn =
2
f ( x) sin nxdx;
π ∫0
88
(n = 1,2,...)
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Пример. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f ( x) = x 3 с периодом
T = 2π на отрезке [-π;π].
Заданная функция является нечетной, следовательно, коэффициенты Фурье
ищем в виде:
π
2
bn = ∫ f ( x) sin nxdx;
(n = 1,2,...)
π0
⎫
⎧u = x 3 ; dv = sin nxdx;
π
π
3
⎞
2 3
⎪ 2 ⎛⎜ x cos nx π 3 2
⎪
bn = ∫ x sin nxdx = ⎨
x cos nxdx ⎟⎟ =
=
−
+
⎬
cos nx
∫
2
⎜
n
n0
π0
;⎪ π ⎝
0
⎠
⎪du = 3 x dx; v = −
n ⎭
⎩
⎧u = x 2 ; dv = cos nxdx; ⎫
π
3
2
2 x sin nx ⎤ ⎞⎟
⎪ 2 ⎛⎜ π cos πn 3 ⎡ x sin nx π
⎪
dx ⎥ =
=
−
+
−
=⎨
⎢
sin nx ⎬
∫
⎜
⎟
n
n
n
n
π
du
2
xdx
;
v
;
=
=
0
0
⎦⎠
⎣
⎪
⎪
⎝
n ⎭
⎩
⎧u = x; dv = sin nxdx; ⎫
π
⎞ ⎪
2 ⎛ π 3 cos πn 6
⎪
= ⎜⎜ −
− 2 ∫ x sin nxdx ⎟⎟ = ⎨
cos nx ⎬ =
n
π⎝
n 0
⎠ ⎪du = dx; v = − n ;⎪
⎩
⎭
=
2 ⎛⎜ π 3 cos πn 6
−
− 2
n
π ⎜⎝
n
⎛ x cos nx π π cos nx ⎞ ⎞
⎜−
dx ⎟⎟ ⎟ =
+∫
⎜
⎟
n
n
0
0
⎠⎠
⎝
2 ⎛ π 3 cos πn 6π cos π 6 ⎛ sin nx π ⎞ ⎞
2π 2 cos πn 12 cos πn
2π 2 ⎞
n ⎛ 12
⎜
⎟
⎜
⎟⎟
(
1
)
= ⎜−
+
− 3⎜
+
= − ⎜ 3−
⎟ =−
π⎝
n
n
n
n3
n ⎝ n 0 ⎠ ⎟⎠
n3
n
⎝
⎠
Получаем:
∞
∞
⎛ 12 2π 2 ⎞
⎟ sin nx .
x 3 = ∑ bn sin nx = ∑ (−1) n ⎜⎜ 3 −
n ⎟⎠
n =1
n =1
⎝n
Построим графики заданной функции и ее разложения в ряд Фурье,
ограничившись первыми четырьмя членами ряда.
30
20
10
-3
-2
-1
1
-10
-20
-30
89
2
3
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Ряды Фурье для функций любого периода.
Ряд Фурье для функции f(x) периода Т = 2l, непрерывной или имеющей
конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [-l, l] имеет вид:
f ( x) =
a0 ∞ ⎛
πn
πn ⎞
x + bn sin
x⎟
+ ∑ ⎜ a n cos
2 n =1 ⎝
l
l ⎠
l
1
a 0 = ∫ f ( x)dx;
l −l
l
an =
1
πn
xdx, n = 1,2,...
f ( x) cos
∫
l
l −l
bn =
1
πn
f ( x) sin
xdx, n = 1,2,...
∫
l −l
l
l
Для четной функции произвольного периода разложение в ряд Фурье имеет вид:
f ( x) =
a0 ∞
πn
+ ∑ a n cos
x;
2 n =1
l
l
2
a 0 = ∫ f ( x)dx;
l 0
l
an =
2
πn
f ( x) cos
xdx; n = 1,2,...
∫
l 0
l
Для нечетной функции:
∞
f ( x) = ∑ bn sin
n =1
πn
x;
l
l
bn =
2
πn
xdx; n = 1,2,...
f ( x) sin
∫
l
l 0
Ряд Фурье по ортогональной системе функций.
Определение. Функции ϕ(х) и ψ(х), определенные на отрезке [a, b], называются
ортогональными на этом отрезке, если
b
∫ ϕ( x)ψ( x)dx = 0
a
Определение. Последовательность функций ϕ1(x), ϕ2(x), …, ϕn(x), непрерывных
на отрезке [a, b], называется ортогональной системой функций на этом отрезке, если
все функции попарно ортогональны.
b
∫ ϕ ( x )ϕ
i
j
( x)dx = 0;
a
90
i≠ j
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Отметим, что ортогональность функций не подразумевает перпендикулярности
графиков этих функций.
Определение. Система функций называется ортогональной и нормированной
(ортонормированной), если
b
⎧0, i ≠ j
∫a ϕi ( x)ϕ j ( x)dx = ⎨⎩1, i = j
Определение. Рядом Фурье по ортогональной системе функций ϕ1(x), ϕ2(x),
…,ϕn(x) называется ряд вида:
∞
∑a ϕ
n =1
n
n
( x)
коэффициенты которого определяются по формуле:
b
an =
∫ f ( x )ϕ
n
( x)dx
a
b
∫ [ϕ
( x)] dx
,
2
n
a
∞
где f(x) =
∑a ϕ
n =1
n
n
( x) - сумма равномерно сходящегося на отрезке [a, b] ряда по
ортогональной системе функций. f(x) – любая функция, непрерывная или имеющая
конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [a, b].
В случае ортонормированной системы функций коэффициенты определяются:
b
a n = ∫ f ( x)ϕ n ( x)dx
a
При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики”
возможно запустить программу, которая разлагает в ряд Фурье произвольную
функцию.
Для запуска программы дважды щелкните на значке
Примечание: Для запуска программы необходимо чтобы на компьютере была
установлена программа Maple (© Waterloo Maple Inc.) любой версии, начиная с MapleV
Release 4.
91
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Интеграл Фурье.
Пусть функция f(x) на каждом отрезке [-l,l], где l – любое число, кусочно –
гладкая или кусочно – монотонная, кроме того, f(x) – абсолютно интегрируемая
функция, т.е. сходится несобственный интеграл
∞
∫
f ( x) dx
−∞
Тогда функция f(x) разлагается в ряд Фурье:
∞
a
πn
πn ⎞
⎛
f ( x) = 0 + ∑ ⎜ a n cos
x + bn sin
x⎟
2 n =1 ⎝
l
l ⎠
l
an =
1
πn
f (t ) cos tdt , n = 0,1,2,...
∫
l −l
l
bn =
πn
1
f (t ) sin tdt , n = 1,2,...
∫
l
l −l
l
Если подставить коэффициенты в формулу для f(x), получим:
f ( x) =
l
l
l
1
1 ∞ ⎛
πn
πn
πn
πn ⎞
⎜
f
(
t
)
dt
f
(
t
)
cos
tdt
cos
x
f (t ) sin tdt sin
x⎟ =
+
+
∑
∫
∫
∫
⎜
2l −l
l
l
l ⎟⎠
l n =1 ⎝ −l
l
−l
l
=
l
1
1 ∞
πn
f
(
t
)
dt
+
f (t ) cos (t − x)dt
∑
∫
∫
2l −l
l n =1 −l
l
l
1
f (t )dt = 0 и
l →∞ 2l ∫
−l
Переходя к пределу при l→∞, можно доказать, что lim
l
1 ∞
πn
f ( x) = lim ∑ ∫ f (t ) cos (t − x)dt
l →∞ l
l
n =1 −l
πn
π
1 Δu n
; Δu n = u n +1 − u n = ;
=
;
l
l
l
π
При l→∞ Δun →0.
l
∞
1
f ( x) = lim ∑ Δu n ∫ f (t ) cos u n (t − x)dt
π l →∞ n =1
−l
Обозначим u n =
Можно доказать, что предел суммы, стоящий в правой части равенства равен интегралу
∞
∞
0
−∞
∫ du ∫ f (t ) cos u(t − x)dt
∞
Тогда f (x) =
∞
1
du f (t ) cos u (t − x)dt - двойной интеграл Фурье.
π ∫0 −∫∞
92
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Окончательно получаем:
∞
f ( x) = ∫ [a(u ) cos ux + b(u ) sin ux ]du
0
∞
a(u ) =
1
f (t ) cos utdt
π −∫∞
∞
1
b(u ) = ∫ f (t ) sin utdt
π −∞
- представление функции f(x) интегралом Фурье.
Двойной интеграл Фурье для функции f(x) можно представить в комплексной
форме:
∞
∞
1
f ( x) =
du ∫ f (t )e iu ( x −t ) dt
∫
2π − ∞ − ∞
Преобразование Фурье.
Определение. Если f(x) – любая абсолютно интегрируемая на всей числовой оси
функция, непрерывная или имеющая конечное число точек разрыва первого рода на
каждом отрезке, то функция
∞
F (u ) =
∫ f ( x )e
−iux
dx
−∞
называется преобразованием Фурье функции f(x).
Функция F(u) называется также спектральной характеристикой функции f(x).
Если f(x) – функция, представимая интегралом Фурье, то можно записать:
∞
1
f ( x) =
F (u )e iux du
2π −∫∞
Это равенство называется обратным преобразованием Фурье
∞
∞
2
2
и F (u ) =
f ( x) cos uxdx
f ( x) sin uxdx называются
∫
π0
π ∫0
соответственно косинус - преобразование Фурье и синус – преобразование Фурье.
Интегралы
F (u ) =
Косинус – преобразование Фурье будет преобразованием Фурье для четных
функций, синус – преобразование – для нечетных.
Преобразование Фурье применяется в функциональном анализе, гармоническом
анализе, операционном исчислении, теории линейных систем и др.
93
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Элементы теории функций комплексного переменного.
Определение. Если каждому комплексному числу z из некоторого множества D
по некоторому закону поставлено в соответствие определенное комплексное число w из
множества G, то на этой области задана однозначная функция комплексного
переменного, отображающая множество D на множество G.
w = f(z)
Множество D называется областью определения, множество G – областью
значений функции.
Комплексную функцию можно записать в виде:
w = f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y )
u ( x, y ) = Re f ( z )
v( x, y ) = Im f ( z )
u, v – действительные функции от переменных х и у.
Если каждому z∈ D соответствует несколько различных значений w, то функция
w=f(z) называется многозначной.
Определение. Функция w = f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) имеет предел в точке z0,
равный числу А = a + ib, если lim f ( z ) − A = 0
z − z0 →0
lim f ( z ) = A.
z → z0
Свойства функций комплексного переменного.
Для функций комплексного переменного f(z) и g(z) справедливы следующие
свойства:
1) lim [ f ( z ) ± g ( z )] = lim f ( z ) ± lim g ( z )
z → z0
z → z0
z → z0
2) lim [ f ( z ) ⋅ g ( z )] = lim f ( z ) ⋅ lim g ( z )
z → z0
z → z0
3) lim
lim f ( z )
f ( z ) z → z0
=
;
g ( z ) lim g ( z )
z → z0
z → z0
z → z0
lim g ( z ) ≠ 0.
z → z0
Определение. Функция w = f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) называется непрерывной в
точке z0, если выполняется равенство
lim f ( z ) = f ( z 0 )
z → z0
Основные трансцендентные функции.
Определение. Трансцендентными
которые не являются алгебраическими.
называются
аналитические
функции,
Если аргументом показательной или тригонометрических функций является
комплексное число, то определение этих функций, вводимое в элементарной алгебре
теряет смысл.
94
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Рассмотрим разложение в степенной ряд следующих функций:
z z2
zn
+
+ ... +
+ ...
1! 2!
n!
z z3 z5
z 2 n +1
n
sin z = −
+
− ... + (−1)
+ ...
1! 3! 5!
(2n + 1)!
ez = 1+
z2 z4
z 2n
+
− ... + (−1) n
+ ...
2! 4!
(2n)!
См. Представление функций по формуле Тейлора.
cos z = 1 −
Функции ez, cosz, sinz связаны между собой формулой Эйлера (см. Уравнение
Эйлера.) Эта формула может быть очень легко получена сложением соотвествующих
рядов.
e −iz = cos z + i sin z
Также справедливы равенства:
e iz + e − iz
cos z =
2
iz
e − e −iz
sin z =
2i
z
x + iy
x iy
= e e = e x (cos y + i sin y )
e =e
(e )
z m
e z1 + z2 = e z1 e z2 ;
tgz =
= e zm ;
e z + 2 πi = e z ;
sin z
e iz − e −iz
;
= iz
cos z i (e + e −iz )
ctgz =
cos z i (e iz + e −iz )
;
= iz
sin z
e − e −iz
Для тригонометрических функций комплексного аргумента справедливы
основные тригонометрические тождества (синус и косинус суммы, разности и т.д.),
которые справедливы для функций действительного аргумента.
Определение. Гиперболическим синусом,
котангенсом называются соответственно функции:
sh z =
косинусом,
тангенсом
и
ch z e z + e − z
sh z e z − e − z
e z − e−z
e z + e−z
; ch z =
; th z =
;
;
cth
z
=
=
= z
sh z e z − e − z
2
2
ch z e + e − z
Гиперболические функции могут быть выражены через тригонометрические:
sh z = −i sin iz;
ch z = cos iz;
th z = −itg iz;
cth z = ictg iz;
Гиперболические функции sh z и ch z имеют период 2πi, а функции th z и cth z –
период πi.
95
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Пример. Найти sin(1+2i).
sin(1 + 2i ) =
e i − 2 − e 2−i e −2 e i − e 2 e −i e −2 (cos1 + i sin 1) − e 2 (cos1 − i sin 1)
=
=
=
2i
2i
2i
e 2 − e −2
cos1(e −2 − e 2 ) + i sin 1(e 2 + e −2 ) e 2 + e −2
=
=
sin 1 + i
cos1 = ch2 sin 1 + sh 2 cos1.
2i
2
2
комплексного
Определение. Логарифмическая функция
определяется как функция, обратная показательной.
e w = z;
w = Lnz.
аргумента
Если w = u + iv, то e w = e u и Arg ew = arg z + 2πk = v.
Тогда eu = z ;
u = ln z .
Итого: w = Lnz = ln z + i arg z + 2πik ; k = 0,±1,±2,...
Для комплексного числа z = a + ib
b
arg z = arctg ;
a
Определение. Выражение ln z = ln z + i arg z называется главным значением
логарифма.
Логарифмическая функция комплексного аргумента обладает следующими
свойствами:
1) ln( z1 z 2 ) = ln z1 + ln z 2 ;
z
2) ln 1 = ln z1 − ln z 2 ;
z2
3) ln( z ) n = n ln z;
1
4) ln n z = ln z;
n
Обратные тригонометрические функции комплексного переменного имеют
вид:
[
[
]
]
(
(
1
Arc cos z = −i ⎡ln z ± z 2 − 1 + i arg( z ± z 2 − 1) + 2πk ⎤ = Ln z + z 2 − 1
⎢⎣
⎥⎦ i
1
Arc sin z = −i ⎡ln iz ± 1 − z 2 + i arg(iz ± 1 − z 2 ) + 2πk ⎤ = Ln iz + 1 − z 2
⎢⎣
⎥⎦ i
⎡ 1 + zi ⎛ 1 + zi
i−z
⎞⎤ 1
Arctgz = −i ⎢ln
+ 2πk ⎟⎥ = Ln
+ i⎜ arg
i+z
1 − zi
⎠⎦ 2i
⎣ 1 − zi ⎝
[
− 1 + i [arg( z ±
] (
− 1) + 2πk ] = Ln (z ±
)
− 1)
Arshz = ln z ± z 2 + 1 + i arg( z ± z 2 + 1) + 2πk = Ln z ± z 2 + 1
Archz = ln z ± z 2
Arcthz =
z2
1 1+ z
Ln
2 1− z
96
z2
)
)
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Производная функций комплексного переменного.
Определение. Производной от однозначной функции w = f(z) в точке z
называется предел:
f ( z + Δz ) − f ( z )
dw
Δw
lim
= lim
= f ′( z ) =
Δz →0 Δz
Δz → 0
dz
Δz
Определение. Функция f(z), имеющая непрерывную производную в любой
точке области D называется аналитической функцией на этой области.
Правила дифференцирования функций комплексного аргумента не отличаются
от правил дифференцирования функций действительной переменной.
Аналогично определяются производные основных функций таких как синус,
косинус, тангенс и котангенс, степенная функция и т.д.
Производные гиперболических функций определяются по формулам:
( shz )′ = chz;
(chz )′ = shz;
1
(thz )′ = 2 ;
ch z
Вывод правил интегрирования, значений производных основных функций
ничем не отличается от аналогичных операций с функциями действительного
аргумента, поэтому подробно рассматривать их не будем.
Условия Коши – Римана.
(Бернхард Риман (1826 – 1866) – немецкий математик)
Рассмотрим функцию комплексной переменной w = f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) ,
определенную на некоторой области и имеющую в какой – либо точке этой области
производную
Δw
f ′( z ) = lim
Δz →0 Δz
Стремление к нулю Δz→0 может осуществляться в следующих случаях:
1) Δz = Δx + i 0 = Δx;
Δx → 0;
2) Δz = 0 + iΔy;
Δy → 0;
В первом случае:
v( x + Δx, y ) − v( x, y ) ⎤
Δw
⎡ u ( x + Δx, y ) − u ( x, y )
f ′( z ) = lim
= lim ⎢
+i
⎥⎦ =
Δz → 0 Δz
Δx →0
Δx
Δx
⎣
v( x + Δx, y ) − v( x, y ) ∂u
∂v
u ( x + Δx, y ) − u ( x, y )
+i .
+ i lim
=
Δx →0
Δx → 0
∂x
∂x
Δx
Δx
= lim
Во втором случае:
97
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
⎡ u ( x, y + Δy ) − u ( x, y )
v( x, y + Δy ) − v( x, y ) ⎤
Δw
= lim ⎢
+i
⎥=
Δz →0 Δz
Δy →0
iΔy
Δy
⎣
⎦
f ′( z ) = lim
u ( x, y + Δy ) − u ( x, y )
v( x, y + Δy ) − v( x, y )
∂u ∂v
= −i
+ .
+ lim
Δy →0
Δy →0
Δy
∂y ∂y
Δy
= −i lim
Тогда должны выполняться равенства:
∂u ∂v
= ;
∂x ∂y
∂u
∂v
=− ;
∂y
∂x
Эти равенства называются условиями Коши – Римана, хотя еще раньше они
были получены Эйлером и Даламбером.
Теорема. Если функция w = f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) имеет производную в точке
z = x + iy, то ее действительные компоненты u и v имеют в точке (х, у) частные
производные первого порядка, удовлетворяющие условию Коши – Римана.
Также справедлива и обратная теорема.
На основании этих теорем можно сделать вывод, что из существования
производной следует непрерывность функции.
Теорема. Для того, чтобы функция w = f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) была
аналитической на некоторой области необходимо и достаточно, чтобы частные
производные первого прядка функций u и v были непрерывны на этой области и
выполнялись условия Коши – Римана.
Интегрирование функций комплексной переменной.
Пусть w = f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) - непрерывная функция комплексного
переменного z, определенная в некоторой области и L – кривая, лежащая в этой
области.
у
В
L
А
х
Кривая L задана уравнением z = z (t ) = x(t ) + iy (t );
α≤t ≤β
Определение. Интеграл от функции f(z) вдоль кривой L определяется
следующим образом:
∫ f ( z )dz = ∫ (u + iv)(dx + idy) = ∫ (udx − vdy) + i ∫ (vdx + udy) =
L
L
L
L
β
β
α
α
= ∫ [u ( x(t ), y (t )) x ′(t ) − v( x(t ), y (t )) y ′(t )]dt + i ∫ [v( x(t ), y (t )) x ′(t ) + u ( x(t ), y (t )) y ′(t )]dt
98
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Если учесть, что z ′(t ) = x ′(t ) + iy ′(t );
u ( x(t ), y (t )) = u ( z (t )) , то
β
∫ f ( z )dz = ∫ f [ z (t )]z ′(t )dt
α
L
Теорема. (Теорема Коши) Если f(z) - аналитическая функция на некоторой
области, то интеграл от f(z) по любому кусочно – гладкому контуру, принадлежащему
этой области равен нулю.
∫ f ( z )dz = 0
L
Интегральная формула Коши.
Если функция f(z) – аналитическая в односвязной замкнутой области с кусочно –
гладкой границей L.
D
ρ
z0
Тогда справедлива формула Коши:
f (z0 ) =
1
f ( z)
dz
∫
2πi L z − z 0
где z0 – любая точка внутри контура L, интегрирование по контуру производится в
положительном направлении (против часовой стрелки).
Эта формула также называется интегралом Коши.
Ряды Тейлора и Лорана.
(Пьер Альфонс Лоран (1813 – 1854) – французский математик)
Функция f(z), аналитическая в круге z − z 0 < R , разлагается в сходящийся к ней
степенной ряд по степеням (z – z0).
Коэффициенты ряда вычисляются по формулам:
f (k ) ( z0 )
1
f ( z )dz
ck =
=
;
∫
k!
2πi L ( z − z 0 ) k +1
k = 0,1,2,...
Степенной ряд с коэффициентами такого вида называется рядом Тейлора.
99
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Рассмотрим теперь функцию f(z), аналитическую в кольце r < z − z 0 < R . Эта
функция может быть представлена в виде сходящегося ряда:
f ( z) =
∞
∑c
n = −∞
cn =
∞
∞
n
c−n
n
n =1 ( z − z 0 )
( z − z 0 ) n = ∑ cn ( z − z 0 ) n + ∑
n =0
1
f (t )dt
;
∫
2πi γ (t − z 0 ) n +1
n = 0,±1,±2,...
Ряд такого вида называется рядом Лорана. При этом функция f(z) может быть
представлена в виде суммы:
∞
∞
c−n
;
f ( z ) = f 1 ( z ) + f 2 ( z );
f1 ( z ) = ∑ c n ( z − z 0 ) n ; f 2 ( z ) = ∑
n
n =0
n =1 ( z − z 0 )
Ряд, определяющий функцию f1(x), называется правильной частью ряда
Лорана, а ряд, определяющий функцию f2(x), называется главной частью ряда Лорана.
Если предположить, что r = 0, то можно считать, что функция аналитична в
открытом круге 0 < z − z 0 < R за исключением центральной точки z0. Как правило, в
этой точке функция бывает не определена.
Тогда точка z0 называется изолированной особой точкой функции f.
Рассмотрим следующие частные случаи:
1)
∞
Функция f(x) имеет вид: f ( z ) = f1 ( z ) = ∑ c k ( z − z 0 ) k . Т.к. степенной ряд
k =0
сходится во всех точках внутри круга, то его сумма f1(x) определена и непрерывно
дифференцируема во всех точках круга, а, следовательно, и в центре круга z0.
В этом случае говорят, что особенность функции f в точке z0 устранима. Для
устранения особой точки достаточно доопределить функцию в центре круга (f(z0) = c0)
и функция будет аналитической не только в окрестности центра круга, но и в самом
центре.
В этом случае ∫ f ( z )dz = 0 для любого контура L, содержащего точку z0 и
L
принадлежащего к кругу z − z 0 < R .
∞
c−k
=
ck ( z − z0 ) k .
∑
k
k =1 ( z − z 0 )
k =− m
В этом случае точка z0 называется полюсом функции f(z) порядка (кратности)
m. При m = 1 точку z0 называют еще простым полюсом.
Порядок полюса может быть определен по формуле:
lim ( z − z 0 ) m f ( z ) = c ≠ 0
m
2) Функция f(x) имеет вид: f ( z ) = f 1 ( z ) + ∑
z → z0
z0 – полюс порядка т.
100
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
∞
c−k
= f1 ( z ) + f 2 ( z ) , где в
k
k =1 ( z − z 0 )
m
3) Функция f(z) имеет вид f ( z ) = ∑ c k ( z − z 0 ) k + ∑
k =0
∞
c−k
не равно нулю бесконечное количество коэффициентов с-k.
ряду f 2 ( z ) = ∑
k
k =1 ( z − z 0 )
В этом случае говорят, что функция f(z) имеет в точке z0 существенно особую
точку.
Определение. Пусть z0 – изолированная особая точка функция f(z), т.е. пусть
функция f(z) – аналитическая в некотором круге z − z 0 < R из которого исключена
точка z0. Тогда интеграл
1
f ( z )dz = Выч f ( z )
z = z0
2πi ∫L
называется вычетом функции f(z) в точке z0, где L – контур в круге z − z 0 < R ,
ориентированный против часовой стрелки и содержащей в себе точку z0.
Вычет также обозначают иногда Re s f ( z ) .
z0
Если f ( z ) =
∞
∑c
k = −∞
k
(z − z0 ) k ;
0 < z − z 0 < R; есть ряд Лорана функции f в
точке z0, то Выч f ( z ) = c −1 .
z = z0
Таким образом, если известно разложение функции в ряд Лорана, то вычет легко
может быть найден в случае любой особой точки.
В частных случаях вычет может быть найден и без разложения в ряд Лорана.
ϕ( z )
, ϕ( z 0 ) ≠ 0 , а ψ(z ) имеет простой нуль
ψ( z )
при z = z0 (ψ( z 0 ) = 0, ψ ′( z 0 ) ≠ 0) , то z = z0 является простым полюсом функции f(z).
Например, если функция f ( z ) =
Тогда можно показать, что вычет находится по формуле
Выч = c −1 =
z = z0
ϕ( z 0 )
ψ ′( z 0 )
Если z = z0 – полюс порядка m ≥ 1, то вычет может быть найден по формуле:
d m −1 [( z − z 0 ) m f ( z )]
1
lim
Выч f ( z ) = c −1 =
z = z0
(m − 1)! z → z0
dz m −1
Пример. Найти вычет функции f ( z ) =
1
относительно точки z = 2.
( z − 2) 2 ( z − 3)
Эта точка является полюсом второго порядка. Получаем:
101
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Выч = lim
z →2
z =2
d
d 1
1
[( z − 2) 2 f ( z )] = lim
= lim
= −1.
2
2
z
→
z
→
dz
dz z − 3
( z − 3) 2
Теорема о вычетах.
Теорема. Пусть функция f(z) – аналитическая на всей плоскости z, за
исключением конечного числа точек z1, z2, …, zN. Тогда верно равенство:
N
∑ Выч f ( z ) + Выч f ( z) = 0
k =1
z = zk
z =∞
А интеграл от функции по контуру L, содержащему внутри себя эти точки, равен
∫
N
f ( z )dz = 2πi ∑ Выч f ( z )
j =1
L
z=z j
Эти свойства применяются для вычисления интегралов. Если функция f(z)
аналитическая в верхней полуплоскости, включая действительную ось, за исключением
N точек, то справедлива формула
∞
∫
−∞
N
f ( x) dx = 2πi ∑ Выч f ( z )
j =1
z=z j
∞
Пример. Вычислить определенный интеграл
∫ (x
2
−∞
dx
.
+ 4) 2
Подынтегральная функция является аналитической в верхней полуплоскости за
исключением точки 2i. Эта точка является полюсом второго порядка.
1
d ⎛ ( z − 2i ) 2 ⎞
d
1
⎟ = lim
Найдем вычет функции Выч 2
= lim ⎜⎜ 2
=
z → 2 i dz ( z + 4) 2 ⎟
z → 2 i dz ( z + 2i ) 2
z = 2 i ( z + 4) 2
⎝
⎠
−2
2
1
= lim
=−
=
;
3
3
z → 2 i ( z + 2i )
32i
(4i )
∞
Получаем
∫ (x
−∞
2
1
π
dx
= 2πi ⋅
= .
2
32i 16
+ 4)
∞
Пример. Вычислить определенный интеграл
∫ (x
−∞
2
dx
.
+ 1) 3
Подынтегральная функция является аналитической в верхней полуплоскости за
исключением точки i. Эта точка является полюсом второго порядка.
Найдем вычет функции
1
1
1
1
3 ⎞ 1
12
d 2 ⎛ ( z − i) 3 ⎞ 1
d2
d ⎛
⎜
⎟
⎟⎟ = lim
lim
lim
Выч 2
=
=
= lim ⎜⎜ −
=
3
2
2
3
2
3
4
⎜
⎟
z =i ( z + 1)
2 z →i dz ⎝ ( z + 1) ⎠ 2 z →i dz ( z + i )
2 z →i dz ⎝ ( z + i ) ⎠ 2 z →i ( z + i ) 5
= 6⋅
1
6
3
=
=
.
5
32i 16i
(2i )
102
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
∞
Получаем
∫ (x
−∞
dx
3
3π
= 2πi ⋅
=
3
16i 8
+ 1)
2
При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики”
возможно запустить программу, которая находит вычеты задаваемой функции.
Для запуска программы дважды щелкните на значке
Примечание: Для запуска программы необходимо чтобы на компьютере была
установлена программа Maple (© Waterloo Maple Inc.) любой версии, начиная с MapleV
Release 4.
Операционное исчисление.
Преобразование Лапласа.
(Пьер Симон Лаплас (1749 – 1825) – французский математик)
Рассмотрим функцию действительного переменного t, определенную при t ≥ 0.
Будем также считать, что функция f(t)- кусочно - непрерывная, т.е. в любом конечном
интервале она имеет конечное число точек разрыва первого рода, и определена на
бесконечном интервале (-∞, ∞), но f(t) = 0 при t < 0.
Будем считать, что функция ограничена условием:
f (t ) < Me st
Рассмотрим функцию
∞
F ( p ) = ∫ e − pt f (t )dt
0
где p = a + ib – комплексное число.
Определение. Функция F(p) называется изображением Лапласа функции f(t).
Также функцию F(p) называют L – изображением или преобразованием Лапласа.
Обозначается F ( p) = L{ f (t )};
•
F ( p) → f (t );
•
•
F ( p ) = f (t );
•
При этом функция f(t) называется начальной функцией или оригиналом, а процесс
нахождения оригинала по известному изображению называется операционным
исчислением.
Теорема. (Теорема единственности) Если две непрерывнные функции f(x) и g(x)
имеют одно и то же L – изображение F(p), то они тождественно равны.
103
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Определение. Функцией Хевисайда (Оливер Хевисайд (1850 – 1925) –
английский физик) называется функция
⎧1, t ≥ 0
σ 0 (t ) = ⎨
⎩0, t < 0
Свойства изображений.
•
Если F ( p) = f (t ) , то справедливы следующие свойства:
•
1) Свойство подобия.
•
f ( αt ) =
•
1 ⎛ p⎞
F ⎜ ⎟;
α ⎝α⎠
α > 0;
2) Свойство линейности.
L[ Af (t ) + Bg (t )] = AL[ f (t )] + BL[ g (t )].
3) Смещение изображения.
•
f (t )e −αt = F ( p + α)
•
4) Дифференцирование изображения.
n
•
n d
(−1)
F
(
p
)
=
t n f (t )
n
•
dp
5) Дифференцирование оригинала.
•
pF ( p ) − f (0) = f ′(t )
•
6) Интегрирование изображения.
∞
f (t ) •
= F (q)dq
t • ∫p
(Справедливо при условии, что интеграл сходится)
7) Интегрирование оригинала.
t
∫
0
•
f ( τ ) dτ =
•
F ( p)
p
Таблица изображений некоторых функций.
Для большинства
интегрированием.
функций
изображение
Пример. Найти изображение функции f(t) = sint.
104
находится
непосредственным
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
∞
∞ ∞
⎧⎪u = e − pt ; dv = sin tdt ;
⎫⎪
− pt
F ( p) = ∫ e − pt sin tdt = ⎨
=
−
e
cos
t
− ∫ pe − pt cos tdt =
⎬
− pt
⎪⎩du = − pe dt ; v = − cos t ;⎪⎭
0
0
0
∞
= 1 − p∫ e
− pt
0
∞
∞
⎧⎪u = e − pt ; dv = cos tdt ; ⎫⎪
− pt
− pt
2
cos tdt = ⎨
⎬ = 1 − pe sin t − p ∫ e sin tdt.
⎪⎩du = − pe − pt dt ; v = sin t ;⎪⎭
0
0
∞
(1 + p 2 ) ∫ e − pt sin tdt = 1
0
∞
− pt
∫ e sin tdt =
0
1
;
1+ p2
•
sin t =
•
1
;
1+ p2
Для многих функций изображения посчитаны и приведены в соответствующих
таблицах.
№
1
f(t)
1
2
sinαt
3
cosαt
4
e-αt
5
shαt
6
7
8
№
9
f(t)
tn
10
t sin at
11
t cos at
1
p+α
α
2
p − α2
12
te − αt
13
1
(sin at −
2a 3
− at cos at )
chαt
p
2
p − α2
14
t n f (t )
e − αt sin at
a
( p + α) 2 + a 2
15
p+α
( p + α) 2 + a 2
16
e − αt cos at
F(p)
1
p
α
2
p + α2
p
2
p + α2
F(p)
n!
p n +1
2 pa
2
( p + a2 )2
a2 − p2
( p2 + a2 )2
1
( p + α) 2
1
2
( p + a2 )2
−
(−1) n
dn
F ( p)
dp n
t
∫ f ( τ) f
1
2
(t − τ)dτ
0
f ( n ) (t )
F1 ( p ) F2 ( p )
p n F ( p) *
* - при условии, что f (0) = f ′(0) = ... = f ( n −1) (0) = 0
Теоремы свертки и запаздывания.
Теорема. (теорема запаздывания) Если f(t) = 0 при t < 0, то справедлива
формула
L[ f (t − t 0 )] = e − pt0 L[ f (t )]
где t0 – некоторая точка.
105
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
t
Определение. Выражение
∫ f ( τ) f
1
2
(t − τ)dτ называется сверткой функций f1(t)
0
и f2(t) и обозначается f1∗ f2.
Теорема. (теорема свертки) Преобразование Лапласа от свертки равно
произведению преобразований Лапласа от функций f1(t) и f2(t) .
• t
F1 ( p ) F2 ( p ) = ∫ f1 (τ) f 2 (t − τ)dτ
•
0
Теорема. (Интеграл Дюамеля (Дюамель (1797 – 1872) – французский
•
•
•
•
математик)). Если F ( p) = f (t ); G ( p ) = g (t ) , то верно равенство
t
•
pF ( p )G ( p ) = f (t ) g (0) + ∫ f (τ) g ′(t − τ)dτ
•
0
Для нахождения изображений различных функций наряду с непосредственным
интегрированием применяются приведенные выще теоремы и свойства.
sin t
.
t
•
1
Из таблицы изображений получаем: sin t = 2
.
• p +1
Пример. Найти изображение функции
∞
По свойству интегрирования изображения получаем:
f (t ) •
= F (q)dq
t • ∫p
∞
∞
π
sin t •
1
=∫ 2
dq = arctgq = − arctgp;
t • p q +1
2
p
Пример. Найти изображение функции sin 2 t .
Из тригонометрии известна формула sin 2 t =
1 − cos 2t
.
2
Тогда
• 1
1
1
1
p
p2 + 4 − p2
2
sin 2 t = L[1 − cos 2t ] = L[1] − L[cos 2t ] =
−
=
=
.
2
2
• 2
2
2
2 p 2( p + 4) 2 p( p + 4) p( p 2 + 4)
Операционное исчисление используется как для нахождения
интегралов, так и для решение дифференциальных уравнений.
Пусть дано
коэффициентами.
линейное
дифференциальное
уравнение
a n x ( n ) (t ) + ... + a1 x ′(t ) + a 0 x(t ) = f (t )
106
с
значений
постоянными
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Требуется
найти
решение
этого
дифференциального
удовлетворяющее начальным условиям:
x(0) = x0 ; x ′(0) = x 0′ ; ... x ( n −1) (0) = x0( n −1) .
уравнения,
Если функция x(t) является решением этого дифференциального уравнения, то
оно обращает исходное уравнение в тождество, значит функция, стоящая в левой части
уравнения и функция f(t) имеет (по теореме единственности) одно и то же изображение
Лапласа.
⎡ n
d k x⎤
L ⎢∑ a k k ⎥ = L[ f (t )]
⎣ k =0 dt ⎦
.
Из теоремы о дифференцировании оригинала { pF ( p ) − f (0) = f ′(t ) } можно
.
⎡d x⎤
сделать вывод, что L ⎢ k ⎥ = p k L[ x] − p k −1 x(0) − ... − px ( k − 2) (0) − x ( k −1) (0).
⎣ dt ⎦
k
⎡d nx⎤
Тогда a n L ⎢ n ⎥ + ... + a 0 L[ x] = L[ f ].
⎣ dt ⎦
Обозначим L[ x] = x ( p ), L[ f ] = F ( p).
Получаем: x ( p)[a n p n + a n −1 p n −1 + ... + a1 p + a0 ] = a n [ p n −1 x0 + p n − 2 x0′ + ... + x0( n −1) ] +
+ a n −1 [ p n − 2 x0 + p n −3 x0′ + ... + x0( n − 2 ) ] + .... + a 2 [ px0 + x0′ ] + a1 x 0 + F ( p ).
Это уравнение называется вспомогательным (изображающим) или операторным
уравнением.
Отсюда получаем изображение x ( p) , а по нему и искомую функцию x(t).
Изображение получаем в виде: x ( p ) =
F ( p ) Ψn −1 ( p )
+
Rn ( p )
Rn ( p )
Где Rn ( p) = a n p n + a n −1 p n −1 + ... + a1 p + a 0 ;
′
Ψn −1 ( p ) = a1 x0 + a 2 ( px 0 + x0′ ) + a3 ( p 2 x0 + px0′ + x0′′ ) + ... + a n ( p n −1 x0 + p n − 2 x 0 + ... + px0( n − 2) + x0( n −1) )
Этот многочлен зависит от начальных условий. Если эти условия нулевые, то
многочлен равен нулю, и формула принимает вид:
F ( p)
x ( p) =
Rn ( p )
Рассмотрим применение этого метода на примерах.
Пример. Решить уравнение y ′′ + 4 y = 2;
y (0) = y ′(0) = 0.
Изображение искомой функции будем искать в виде:
F ( p)
y=
Rn ( p )
107
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
F ( p) = L[ f ] = L[2] =
2
;
p
R n ( p) = 1⋅ p 2 + 0 ⋅ p + 4 = p 2 + 4.
1 ⎡1
p ⎤
⎢ − 2
⎥
p ( p + 4) 2 ⎣ p p + 4 ⎦
•
1
Находим оригинал, т.е. искомую функцию: y = y = (1 − cos 2 x)
•
2
y=
2
=
2
Пример. Решить уравнение y ′ − 2 y = 0;
y (0) = 1.
F ( p) = L[ f ] = L[0] = 0; Rn ( p) = p − 2; Ψn −1 = a1 y 0 = 1;
1
y=
;
p−2
•
y = y = e2x ;
•
Пример. Решить уравнение:
y ′′′ − 6 y ′′ + 11y ′ − 6 y = 0;
y (0) = 0;
y ′(0) = 1;
y ′′(0) = 0;
F ( p) = L[ f ] = L[0] = 0; Rn ( p) = p 3 − 6 p 2 + 11 p − 6;
Ψn −1 ( p) = a1 y 0 + a 2 ( py 0 + y 0′ ) + a3 ( p 2 y 0 + py 0′ + y 0′′ ) = −6 + p.
−6+ p
p − 6 p 2 + 11 p − 6
Для нахождения оригинала необходимо разложить полученную дробь на
элементарные дроби. Воспользуемся делением многочленов (знаменатель делится без
остатка на p – 1):
p-1
p3 – 6p2 + 11p – 6
3
2
p2 – 5p + 6
p –p
2
-5p + 11p
-5p2 + 5p
6p - 6
6p - 6
0
Изображение искомой функции y =
3
В свою очередь p 2 − 5 p + 6 = ( p − 2)( p − 3)
Получаем: p 3 − 6 p 2 + 11 p − 6 = ( p − 1)( p − 2)( p − 3).
−6+ p
A
B
C
=
+
+
;
2
p − 6 p + 11 p − 6 p − 1 p − 2 p − 3
Определим коэффициенты А, В и С.
Тогда: y =
3
A( p − 2)( p − 3) + B( p − 1)( p − 3) + C ( p − 1)( p − 2) = −6 + p
Ap 2 − 5 Ap + 6 A + Bp 2 − 4 Bp + 3B + Cp 2 − 3Cp + 2C = −6 + p
p 2 ( A + B + C ) − p(5 A + 4 B + 3C ) + 6 A + 3B + 2C = −6 + p
108
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
⎧A + B + C = 0
⎪
⎨5 A + 4 B + 3C = −1
⎪6 A + 3B + 2C = −6
⎩
⎧C = − A − B
⎪
⎨2 A + B = −1
⎪4 A + B = −6
⎩
⎧C = − A − B
⎪
⎨ B = −1 − 2 A
⎪2 A − 1 = −6
⎩
5
⎧
⎪A = − 2
⎪
⎨B = 4
⎪
3
⎪C = −
2
⎩
5
3
−
−
11 − 6 p
4
Тогда y = 3
+ 2 ;
= 2 +
2
p − 6 p + 11 p − 6 p − 1 p − 2 p − 3
•
5
3
y = y = − e x + 4e 2 x − e 3 x ;
•
2
2
Приемы операционного исчисления можно также использовать для решения систем
дифференциальных уравнений.
Пример. Решить систему уравнений:
⎧ x ′ = 3x + 4 y
;
⎨
⎩ y′ = 4x − 3 y
x(0) = y (0) = 1
Обозначим x ( p ), y ( p) - изображения искомых функций
вспомогательные уравнения:
⎧ L[ x ′] = 3L[ x] + 4 L[ y ] ⎧ px ( p) − x(0) = 3x ( p ) + 4 y ( p)
; ⎨
⎨
⎩ L[ y ′] = 4 L[ x] − 3L[ y ] ⎩ py ( p) − y (0) = 4 x ( p) − 3 y ( p )
Решим полученную систему алгебраических уравнений.
p +1
⎧
4 y ( p) + 1
⎧
⎪ y ( p) = p 2 − 25
⎪ x ( p) = p − 3
⎪
⎪
; ⎨
;
⎨
2
⎪ py ( p) − 1 = 4 4 y ( p) + 1 − 3 y ( p) ⎪ x ( p ) = p + 4 p − 21
⎪⎩
⎪⎩
p−3
( p 2 − 25)( p − 3)
x ( p) =
p+7
p
( p + 7)( p − 3)
7
= 2
+ 2
= 2
;
2
( p − 25)( p − 3) p − 25 p − 25 p − 25
•
x ( p) = x(t ) = ch5t +
•
y ( p) =
7
sh5t ;
5
p
1
+ 2
;
p − 25 p − 25
2
•
1
y ( p ) = y (t ) = ch5t + sh5t ;
•
5
Если применить к полученным результатам формулы
109
и
решим
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
e z + e−z
e z − e−z
; shz =
;
2
2
то ответ можно представить в виде:
6 5t 1 − 5t
⎧
⎪⎪ x = 5 e − 5 e
;
⎨
3
2
5
t
−
5
t
⎪y = e + e
⎪⎩
5
5
chz =
Как видно, гиперболические функции в ответе могут быть легко заменены на
показательные.
Пример. Решить систему уравнений
⎧ x′ = 5x + 2 y
при x(0) = y(0) = 1
⎨
⎩ y′ = 2x + 2 y
Составим систему вспомогательных уравнений:
⎧ L[ x ′] = 5L[ x] + 2 L[ y ] ⎧ px ( p) − x(0) = 5 x ( p) + 2 y ( p)
; ⎨
;
⎨
⎩ L[ y ′] = 2 L[ x] + 2 L[ y ] ⎩ py ( p) − y (0) = 2 x ( p) + 2 y ( p )
2 y ( p) + 1
⎧
⎪ x ( p) = p − 5
⎪
;
⎨
4
y
(
p
)
+
2
⎪ py ( p) =
+ 2 y ( p) + 1
⎪⎩
p−5
p−3
⎧
⎪ y ( p ) = ( p − 1)( p − 6)
⎪
;
⎨
p
⎪ x ( p) =
⎪⎩
( p − 1)( p − 6)
y ( p) =
A
B
2 1
3 1 • 2 t 3 6t
+
=
+
= e + e ;
p −1 p − 6 5 p −1 5 p − 6 • 5
5
x ( p) =
C
D
1 1
6 1 • 1 t 6 6t
+
=−
+
=− e + e ;
p −1 p − 6
5 p −1 5 p − 6 • 5
5
1
3
Если обозначить C1 = − ; C 2 = ; то из полученного частного решения
5
5
системы можно записать и общее решение:
⎧⎪ x = C1e t + 2C 2 e 6t
⎨
⎪⎩ y = −2C1e t + C 2 e 6t
При рассмотрении нормальных систем дифференциальных уравнений этот
пример был решен традиционным способом (См. Другой способ решения.). Как видно,
результаты совпадают.
Отметим, что операторный способ решения систем дифференциальных
уравнений применим к системам порядка выше первого, что очень важно, т.к. в этом
случае применение других способов крайне затруднительно.
110
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Криволинейные интегралы.
G
G
G
G
Определение. Кривая r (t ) = ϕ(t )i + ψ(t ) j + γ (t )k
( a ≤ t ≤ b ) называется
непрерывной кусочно – гладкой, если функции ϕ, ψ и γ непрерывны на отрезке [a,b] и
отрезок [a,b] можно разбить на конечное число частичных отрезков так, что на каждом
из них функции ϕ, ψ и γ имеют непрерывные производные, не равные нулю
одновременно.
Если определено не только разбиение кривой на частичные отрезки точками, но
порядок этих точек, то кривая называется ориентированнной кривой.
Ориетированная кривая называется замкнутой, если значения уравнения кривой в
начальной и конечной точках совпадают.
G
G
r (a) = r (b)
Рассмотрим в пространсве XYZ кривую АВ, в каждой точке которой определена
произвольная функция f ( x, y, z ) .
Разобьем кривую на конечное число отрезков и рассмотрим произведение
значения функции в каждой точке разбиения на длину соответствующего отрезка.
f ( xi , y i , z i )Δsi
Сложив все полученные таким образом произведения, получим так называемую
интегральнуюсумму функции f(x, y, z).
n
∑ f ( x , y , z )Δs
i
i =1
i
i
i
Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения кривой на
частичные отрезки существует предел интегральных сумм, то этот предел называется
криволинейным интегралом от функции f(x, y, z) по длине дуги АВ или
криволинейным интегралом первого рода.
∫ f ( x, y, z )ds
AB
Свойства криволинейного интеграла первого рода.
1) Значение криволинейного интеграла по длине дуги не зависит от направления
кривой АВ.
2) Постоянный множитель можно выносить за знак криволинейного интеграла.
3) Криволинейный интерал от суммы функций равен сумме криволинейных
интегралов от этих функций.
4) Если кривая АВ разбита на дуга АС и СВ, то
∫ f ( x, y, z)ds = ∫ f ( x, y, z )ds + ∫ f ( x, y, z )ds
AB
AC
CB
5) Если в точках кривой АВ
f 1 ( x, y , z ) ≤ f 2 ( x , y , z )
то
111
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
∫ f ( x, y, z )ds ≤ ∫ f
1
AB
2
( x, y, z )ds
AB
6) Справедливо неравенство:
∫ f ( x, y, z )ds ≤ ∫
AB
f ( x, y, z ds
AB
7) Если f(x, y, z) = 1, то
n
∫ ds = lim ∑ Δsi = S ;
AB
λ →0
i =1
S – длина дуги кривой, λ - наибольшая из всех частичных дуг, на которые
разбивается дуга АВ.
8) Теорема о среднем.
Если функция f(x, y, z) непрерывна на кривой АВ, то на этой кривой существует
точка (x1, y1, z1) такая, что
∫ f ( x, y, z )ds = f ( x1 , y1 , z1 ) ⋅ S
AB
Для вычисления криволинейного интеграла по длине дуги надо определить его
связь с обыкновенным определенным интегралом.
Пусть кривая АВ задана параметрически уравнениями x = x(t), y = y(t), z = z(t),
α ≤ t ≤ β, где функции х, у, z – непрерывно дифференцируемые функции параметра t,
причем точке А соответствует t = α, а точке В соответствует t = β. Функция f(x, y, z) –
непрерывна на всей кривой АВ.
Для любой точки М(х, у, z) кривой длина дуги АМ вычисляется по формуле
(См. Вычисление длины дуги кривой.):
t
s = s (t ) = ∫ x ′ 2 (t ) + y ′ 2 (t ) + z ′ 2 (t ) dt
α
Длина всей кривой АВ равна:
β
S = ∫ x ′ 2 (t ) + y ′ 2 (t ) + z ′ 2 (t ) dt
α
Криволинейный интеграл по длине дуги АВ будет находиться по формуле:
β
∫ f ( x, y, z )ds = ∫ f ( x(t ), y(t ), z (t ))
AB
x ′ 2 (t ) + y ′ 2 (t ) + z ′ 2 (t ) dt
α
Таким образом, для вычисления криволинейного интеграла первого рода (по
длине дуги АВ) надо, используя параметрическое уравнение кривой выразить
подынтегральную функцию через параметр t, заменить ds дифференциалом дуги в
зависимости от параметра t и проинтегрировать полученное выражение по t.
Пример. Вычислить интеграл
линии x = cos t ;
∫ (x
2
+ y 2 + z 2 )ds по одному витку винтовой
AB
y = sin t ; z = t ; 0 ≤ t ≤ 2π.
112
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
2π
2π
0
0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
∫ ( x + y + z )ds = ∫ (cos t + sin t + t ) (− sin t ) + cos t + 1dt = 2 ∫ (1 + t )dt =
AB
⎛ 4π
= 2 2π⎜⎜1 +
3
⎝
2
⎞
⎟⎟.
⎠
Если интегрирование производится по длине плоской кривой, заданной уравнением
y = ϕ( x), a ≤ x ≤ b, то получаем:
b
∫ f ( x, y)ds = ∫ f ( x, ϕ( x))
AB
1 + ϕ′ 2 ( x) dx
a
Криволинейные интегралы второго рода.
Пусть АВ – непрерывная кривая в пространстве XYZ (или на плоскости ХОY), а
точка P(x, y, z) – произвольная функция, определенная на этой кривой. Разобьем
кривую точками M ( xi , y i , z i ) на конечное число частичных дуг. И рассмотрим сумму
произведений значений функции в каждой точке на длину соответствующей частичной
дуги.
n
∑ P(α, β, γ)Δx
i =1
i
; M (α, β, γ ) ∈ Δxi
Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения кривой АВ
интегральные суммы имеют конечный предел, то этот предел называется
криволинейным интегралом по переменной х от функции P(x, y, z) по кривой АВ в
направлении от А к В.
n
∫ P( x, y, z )dx = lim ∑ P(α, β, γ)Δxi
AB
λ →0
i =1
Криволинейный интеграл второго рода, т.е. интеграл по координатам отличается
от криволинейного интеграла первого рода, т.е. по длине дуги тем, что значение
функции при составлении интегральной суммы умножается не на длину частичной
дуги, а на ее проекцию на соответствующюю ось. (В рассмотренном выше случае – на
ось ОХ).
Вообще говоря, криволинейные интегралы могут считаться также и по
переменным у и z.
n
∫ Q( x, y, z )dx = lim ∑ Q(α, β, γ)Δyi
AB
λ →0
i =1
n
∫ R( x, y, z )dx = lim ∑ R(α, β, γ )Δz i
AB
λ →0
i =1
Сумму криволинейных интегралов также называют криволинейным интегралом
второго рода.
∫ P( x, y, z )dx + Q( x, y, z )dy + R( x, y, z )dz
AB
113
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Свойства криволинейного интеграла второго рода.
1) Криволинейный интеграл при перемене направления кривой меняет знак.
∫ P( x, y, z )dx = − ∫ P( x, y, z )dx
AB
2)
∫ kP( x, y, z )dx = k ∫ P( x, y, z )dx;
AB
3)
BA
AB
∫ ( P ( x, y, z ) + P ( x, y, z ))dx = ∫ P ( x, y, z )dx + ∫ P ( x, y, z )dz
1
2
1
AB
4)
2
AB
AB
∫ P( x, y, z )dx = ∫ P( x, y, z)dx + ∫ P( x, y, z )dx
AB
AC
CA
5) Криволинейный интеграл по замкнутой кривой L не зависит от выбора
начальной точки, а зависит только от направления обхода кривой.
∫ P( x, y, z )dx + Q( x, y, z )dy + R( x, y, z )dz
L
Направление обхода контура L задается дополнительно. Если L – замкнутая
кривая без точек самопересечения, то направление обхода контура против часовой
стрелки называется положительным.
6) Если АВ – кривая, лежащая в плоскости, перпендикулярной оси ОХ, то
∫ P( x, y, z )dx = 0.
AB
Аналогичные соотношения справедливы при интегрировании по переменным у
и z.
Теорема. Если кривая АВ – кусочно- гладкая, а функции P(x, y, z), Q(x, y, z) и
R(x, y, z) – непрерывны на кривой АВ, то криволинейные интегралы
∫ P( x, y, z )dx; ∫ Q( x, y, z )dy; ∫ R( x, y, z )dz;
AB
AB
AB
∫ P( x, y, z )dx + Q( x, y, z )dy + R( x, y, z )dz
AB
существуют.
Вычисление криволинейных интегралов второго рода производится путем
преобразования их к определенным интегралам по формулам:
β
∫ P( x, y, z )dx = ∫ P( x(t ), y(t ), z (t )) x′(t )dt
AB
α
β
∫ Q( x, y, z )dy = ∫ Q( x(t ), y(t ), z (t )) y ′(t )dt
AB
α
β
∫ R( x, y, z )dx = ∫ R( x(t ), y(t ), z (t )) z ′(t )dt
AB
α
β
∫ Pdx + Qdy + Rdz = ∫ [Px′(t ) + Qy ′(t ) + Rz ′(t )]dt
AB
α
114
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
В случае, если АВ – плоская кривая, заданная уравнением y = f(x), то
xB
∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy = ∫ [P( x, f ( x) + Q( x, f ( x)) f ′( x)]dx
AB
xA
∫x
Пример. Вычислить криволинейный интеграл
2
ydx + x 3 dy . L – контур,
L
y = x; x = y .
2
ограниченный
параболами
положительное.
2
Направление
обхода
контура
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Представим замкнутый контур L как сумму двух дуг L1 = x2 и L2 = x
∫x
1
2
L
0
+∫
1
1
0
ydx + x dy = ∫ x ydx + ∫ x dy + ∫ x ydx + ∫ x dy = ∫ x dx + ∫ x ⋅ 2 xdx + ∫ x 2 x dx +
3
2
L1
x3
2 x
dx =
3
2
L1
x5 1 2x5 1 2x
+
+
5 0
5 0
7
3
L2
3
2 0
1
+
L2
3
2 0
x
7
1
=
4
0
3 3 6
− = ;
5 7 35
115
3
0
1
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Формула Остроградского – Грина.
(Остроградский Михаил Васильевич (1861-1862) – русский математик,
академик Петерб. А.Н.)
(Джордж Грин (1793 – 1841) – английский математик)
Иногда эту формулу называют формулой Грина, однако, Дж. Грин предложил в
1828 году только частный случай формулы.
Формула Остроградского – Грина устанавливает связь между криволинейным
интегралом и двойным интегралом, т.е. дает выражение интеграла по замкнутому
контуру через двойной интеграл по области, ограниченной этим контуром.
Будем считать, что рассматриваемая область односвязная, т.е. в ней нет
исключенных участков.
y
y = y2(x)
D
A
C
B
y= y1(x)
0
x2
x1
x
Если замкнутый контур имеет вид, показанный на рисунке, то криволинейный
интеграл по контуру L можно записать в виде:
∫ P( x, y)dx = ∫ + ∫ + ∫ + ∫
L
AB
∫
=
AB
x2
1
x1
x2
∫
DA
=0
2
x2
x2
x1
x1
( x))dx = ∫ P( x, y1 ( x))dx − ∫ P( x, y 2 ( x))dx
x2
∫ P( x, y)dx = − ∫ ( P( x, y
L
CD
CD
x1
∫ P( x, y)dx = ∫ P( x, y ( x))dx + ∫ P( x, y
L
BC
2
( x)) − P( x, y1 ( x)))dx
x1
P ( x, y 2 ( x)) − P ( x, y1 ( x)) = P( x, y )
y2 ( x )
=
y1 ( x )
x2 y 2
∂P
y2
∂P
∫ ∂y dy
y1
∂P
∫ P( x, y)dx = − ∫ ∫ ∂y dydx = −∫∫ ∂y dydx
L
Δ
x1 y1
Если участки АВ и CD контура принять за произвольные кривые, то, проведя
аналогичные преобразования, получим формулу для контура произвольной формы:
⎛ ∂Q
∂P ⎞
∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy = ∫∫ ⎜⎜⎝ ∂x − ∂y ⎟⎟⎠dydx
Δ
L
Эта формула называется формулой Остроградского – Грина.
Формула Остроградского – Грина справедлива и в случае многосвязной области,
т.е. области, внутри которой есть исключенные участки. В этом случае правая часть
формулы будет представлять собой сумму интегралов по внешнему контуру области и
интегралов по контурам всех исключенных участков, причем каждый из этих контуров
116
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
интегрируется в таком направлении, чтобы область Δ все время оставалась по левую
сторону линии обхода.
Пример. Решим пример, рассмотренный выше, воспользовавшись формулой
Остроградского – Грина.
∫x
L
1
2
ydx + x dy = ∫∫ (3x − x )dydx = ∫∫ 2 x dydx = ∫ 2 x y
3
2
2
Δ
2
Δ
2
0
x
x2
1
5
2
dx = ∫ 2( x − x 4 )dx =
0
⎛2
x ⎞
⎛2 1⎞ 6
= 2⎜⎜ x − ⎟⎟ = 2⎜ − ⎟ = .
5 ⎠0
⎝ 7 5 ⎠ 35
⎝7
Формула Остроградского – Грина позволяет значительно упростить вычисление
криволинейного интеграла.
7
2
5
1
Криволинейный интеграл не зависит от формы пути, если он вдоль всех путей,
соединяющих начальную и конечную точку, имеет одну и ту же величину.
Условием независимости криволинейного интеграла от формы пути
равносильно равенству нулю этого интеграла по любому замкнутому контуру,
содержащему начальную и конечную точки.
Это условие будет выполняться, если подынтегральное выражение является
полным дифференциалом некоторой функции, т.е. выполняется условие тотальности.
∂P ∂Q
=
∂y ∂x
Поверхностные интегралы первого рода.
z
ΔSi
0
y
Δ
x
Поверхностный интеграл является таким же обобщением двойного интеграла,
каким криволинейный интеграл является по отношению к определенному интегралу.
Рассмотрим поверхность в пространстве, которая произвольно разбита на n
частей.
Рассмотрим произведение значения некоторой функции F в произвольной точке
с координатами (α, β, γ) на площадь частичного участка ΔSi, содержащего эту точку.
F (α, β, γ )ΔS i
Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения λ поверхности
существует конечный предел интегральных сумм, то этот предел называется
поверхностным интегралом первого рода или интегралом по площади
поверхности.
n
∫∫ F ( x, y, z )dS = lim ∑ F (α i , βi , γ i )ΔS i
S
λ →0
i =1
117
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Свойства поверхностного интеграла первого рода.
Поверхностные интегралы первого рода обладают следующими свойствами:
1)
∫∫ dS = S
S – площадь поверхности.
S
2)
∫∫ kF ( x, y, z )dS = k ∫∫ F ( x, y, z )dS ;
S
3)
k = const
S
∫∫ [F ( x, y, z ) + F ( x, y, z)]dS = ∫∫ F ( x, y, z)dS + ∫∫ F ( x, y, z )dS
1
2
1
S
2
S
S
4) Если поверхность разделена на части S1 и S2, то
∫∫ F ( x, y, z )dS = ∫∫ F ( x, y, z )dS + ∫∫ F ( x, y, z )dS
S
S1
S2
5) Если F1 ( x, y, z ) ≤ F2 ( x, y, z ) , то
∫∫ F ( x, y, z )dS ≤ ∫∫ F ( x, y, z )dS
1
2
S
6)
S
∫∫ F ( x, y, z )dS ≤ ∫∫ F ( x, y, z ) dS
S
S
7) Теорема о среднем.
Если функция F(x, y, z) непрерывна в любой точке поверхности S, то
существует точка (α, β, γ) такая, что
∫∫ F ( x, y, z )dS = F (α, β, γ) ⋅ S
S
S – площадь поверхности.
Проведя рассуждения, аналогичные тем, которые использовались при
нахождении криволинейного интеграла, получим формулу для вычисления
поверхностного интеграла первого рода через двойной интеграл по по площади
проекции поверхности на плоскость XOY.
∫∫ F ( x, y, z )dS = ∫∫ F ( x, y, f ( x, y))
S
1 + f x′ 2 ( x, y ) + f y′ 2 ( x, y ) dxdy
Δ
Поверхностные интегралы второго рода.
Если на поверхности S есть хотя бы одна точка и хотя бы один не пересекающий
границу поверхности контур, при обходе по которому направление нормали в точке
меняется на противоположное, то такая поверхность называется односторонней.
Если при этих условиях направление нормали не меняется, то поверхность
называется двухсторонней.
Будем считать положительным направлением обхода контура L, принадлежащего
поверхности, такое направление, при движении по которому по выбранной стороне
поверхности сама поверхность остается слева.
118
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Двухсторонняя поверхность с установленным положительным направлением
обхода называется ориентированной поверхностью.
Рассмотрим в пространстве XYZ ограниченную двухстороннюю поверхность S,
состоящую из конечного числа кусков, каждый из которых задан либо уравнением вида
z = f(x, y), либо является цилиндрической поверхностью с образующими,
параллельными оси OZ.
Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения поверхности S
интегральные суммы, составленные как суммы произведений значений некоторой
функции на площадь частичной поверхности, имеют конечный предел, то этот предел
называется поверхностным интегралом второго рода.
n
∫∫ R( x, y, z )dxdy = lim ∑ R(α i , β i , γ i )(ΔS i ) xy
λ →0
S
i =1
n
∫∫ P( x, y, z)dydz = lim ∑ P(α i , β i , γ i )(ΔS i ) yz
λ →0
S
i =1
n
∫∫ Q( x, y, z )dzdx = lim ∑ Q(α i , β i , γ i )(ΔS i ) zx
λ →0
S
i =1
∫∫ P( x, y, z )dydz + Q( x, y, z )dzdx + R( x, y, z )dxdy
S
- поверхностный интеграл второго рода.
Свойства поверхностного интеграла второго рода аналогичны уже
рассмотренным нами свойствам поверхностного интеграла первого рода.
Т.е. любой поверхностный интеграл второго рода меняет знак при перемене
стороны поверхности, постоянный множитель можно выносить за знак интеграла,
поверхностный интеграл от суммы двух и более функций равен сумме поверхностных
интегралов от этих функций, если поверхность разбита на конечное число частичных
поверхностей, интеграл по всей поверхности равен сумме интегралов по частичным
поверхностям.
Если S- цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными оси OZ,
то ∫∫ R( x, y, z ) dxdy = 0 . В случае, если образующие поверхности параллельны осям OX
S
и OY, то равны нулю соответствующие составляющие поверхностного интеграла
второго рода.
Вычисление поверхностного интеграла второго рода сводится к вычислению
соответствующих двойных интегралов. Рассмотрим это на примере.
Пример. Вычислить интеграл
∫∫ ( z − R)
2
dxdy по верхней стороне полусферы
S
x 2 + y 2 + z 2 = 2 Rz, R ≤ z ≤ 2 R.
Преобразуем уравнение поверхности к виду: x 2 + y 2 + ( z − R) 2 − R 2 = 0
z = R + R2 − x2 − y2
119
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
10
8
4
6
2
0
-4
-2
-2
0
2
-4
4
Заданная поверхность проецируется на плоскость XOY в круг, уравнение
которого:
x2 + y2 ≤ R2
∫∫ ( z − R)
S
2
dxdy = ∫∫ ( R 2 − x 2 − y 2 )dxdy
Δ
Для вычисления двойного интеграла перейдем к полярным координатам:
(См. Двойной интеграл в полярных координатах.)
∫∫ ( R
Δ
2
− x 2 − y 2 )dxdy = ∫∫ f (ρ, ϕ)ρdρdϕ , ρ = x 2 + y 2
τ
2π
2π
⎛ R 2ρ2 ρ4 ⎞ R
R4
∫∫S ( z − R) dxdy = ∫0 dϕ∫0 ( R − ρ )ρdρ = ∫0 ⎜⎜⎝ 2 − 4 ⎟⎟⎠ 0 dϕ = 4
2
R
2
2
2π
πR 4
∫0 dϕ = 2
Связь поверхностных интегралов первого и второго рода.
Поверхностные интегралы первого и второго рода связаны друг с другом
соотношением:
∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ∫∫ ( P cos α + Q cos β + R cos γ)dS
S
S
В этой формуле cosα, cosβ, cosγ - направляющие косинусы нормали к
поверхности S в выбранную сторону поверхности.
Формула Гаусса – Остроградского.
Формула Гаусса – Остроградского является аналогом формулы Грина –
Остроградского. Эта формула связывает поверхностный интеграл второго рода по
замкнутой поверхности с тройным интегралом по пространственной области,
ограниченной этой поверхностью.
120
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Для вывода формулы Гаусса – Остроградского надо воспользоваться
рассуждениями, подобными тем, которые использовались при нахождении формулы
Грина – Остроградского.
Рассматривается сначала поверхность, ограниченная сверху и снизу некоторыми
поверхностями, заданными известными уравнениями, а сбоку ограниченную
цилиндрической поверхностью. Затем рассматривается вариант когда поверхность
ограничена цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными дум
доугим координатным осям.
После этого полученные результаты обобщаются, приводя к формуле Гаусса –
Остроградского:
⎛ ∂P( x, y, z ) ∂Q( x, y, z ) ∂R( x, y, z ) ⎞
⎟⎟dxdydz
+
+
∂x
∂y
∂z
⎠
∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ∫∫∫ ⎜⎜⎝
S
V
Отметим, что эта формула применима для вычисления поверхностных
интегралов по замкнутой поверхности.
На практике формулу Гаусса – Остроградского можно применять для
вычисления объема тел, если известна поверхность, ограничивающая это тело.
Тиеют место формулы:
V = ∫∫ xdydz = ∫∫ ydxdz = ∫∫ zdxdy = ∫∫∫ dxdydz
S
S
S
V
Пример. Найти формулу вычисления объема шара.
В поперечных сечениях шара (сечения параллельны плоскости XOY)
получаются окружности.
Уравнение шара имеет вид: x 2 + y 2 + z 2 = R 2 .
Найти объем шара можно по формуле:
R
V =
R2 − x2
∫ ∫
R2 − x2 − y2
R2 − x2
R
∫ dzdydx = 8∫ dx ∫
− R− R 2 − x 2 − R 2 − x 2 − y 2
0
R 2 − x 2 − y 2 dy =
− R2 − x2
⎡ y R2 − x2 − y2 R2 − x2
y
arcsin
= 8∫ ⎢
+
2
2
R2 − x2
0 ⎢
⎣
4πR 3
.
=
3
R
R
⎤ R2 − x2
⎡
R2 − x2 π
x3 ⎤ R
⎥ dx = 8∫
⋅ dx = 2π⎢ R 2 x − ⎥ =
2
2
3⎦0
⎥⎦ 0
⎣
0
Для решения этой же задачи можно воспользоваться преобразованием интеграла
к сферическим координатам. (См. Сферическая система координат.) Это значительно
упростит интегрирование.
π
π
R
π
π
0
0
0
0
0
V = ∫ dθ2 ∫ dϕ∫ ρ 2 sin ϕdρ = 2 ∫ dθ∫
π
2
4πR 3
R3
sin ϕdϕ = ∫ 2 R 3 dθ =
.
3
30
3
121
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Элементы теории поля.
Определение. Если каждой точке пространства М ставится в соответствие
некоторая скалярная величина U, то таким образом задается скалярное поле U(M).
G
Если каждой пространства М ставится в соотвтствие вектор F , то задается векторное
G
поле F (М).
Пусть в пространстве М задана поверхность Δ. Будем считать, что в каждой
G
точке Р определяется положительное направление нормали единичным вектором n (P) .
В пространстве М зададим векторное поле, постовив в соответствие каждой
точке точке пространства вектор, определенный координатами:
G
G
G
G
F = P ( x , y , z ) i + Q ( x , y , z ) j + R ( x, y , z ) k
Если разбить каким – либо образом поверхность на частичные участки Δi и
G
GG
G
составить сумму ∑ ( F ( Pi )n ( Pi ))Δ i , где Fn - скалярное произведение, то предел этой
i
суммы при стремлении к нулю площадей частичных участков разбиения (если этот
предел существует) будет поверхностным интегралом.
GG
F
∫∫ ndΔ
Δ
Определение.
Поверхностный
GG
∫∫ FndΔ
интеграл
называется
потоком
Δ
G
векторного поля F через поверхность Δ.
Если поверхность разбита на конечное число частичных поверхностей, то поток
векторного поля через всю поверхность будет равен сумме потоков через частичные
поверхности.
Если преобразовать скалярное произведение в координатную форму, то
получаем соотношение:
GG
F
∫∫ ndΔ = ∫∫ [ P cos α + Q cos β + R cos γ ]dΔ = ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy
Δ
Δ
Δ
Если на области Δ существует функция f(x, y, z), имеющая непрерывные
частные производные, для которых выполняются свойства:
∂f
∂f
∂f
= P;
= Q;
= R;
∂x
∂y
∂z
G
то такую функцию называют потенциальной функцией или потенциалом вектора F .
G
Тогда вектор F является градиентом функции f.
G
∂f G ∂f G ∂f G
j+ k
i+
F = gradf =
∂z
∂x
∂y
Потенциал может быть найден по формуле:
x
y
z
x0
y0
z0
f ( x, y, z ) = ∫ P( x, y 0 , z 0 )dx + ∫ Q( x, y, z 0 )dy + ∫ R( x, y, z )dz
122
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
В этой формуле x0, y0, z0 – координаты некоторой начальной точки. В качестве
такой точки удобно брать начало координат.
G
Теорема. Для того, чтобы поле вектора F , заданного в некоторой области,
имело потенциал, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из двух условий:
G
1) Интеграл от вектора F по любому кусочно – гладкому контуру,
принадлежащему области, равен нулю.
2) Интеграл по любому кусочно – гладкому пути, соединяющему две любые
точки поля не зависит, от пути интегрирования.
Формула Стокса.
(Джордж Габриель Стокс (1819 – 1903) – английский математик)
Формула Стокса связывает криволинейные интегралы второго рода с
поверхностными интегралами второго рода.
Пусть в пространстве задана некоторая поверхность S. L – непрерывный
кусочно – гладкий контур поверхности S.
z
S
L
y
Δ
l
x
Предположим, что функции P,Q и R непрерывны на поверхности S вместе со
своими частными производными первого порядка. Применим формулу, выражающую
криволинейный интеграл через определенный.
β
∫ P( x, y, z)dx + Q( x, y, z )dy + R( x, y, z )dz = ∫ [ P( x(t ), y(t ), z(t )) x′(t ) + Q( x(t ), y(t ), z (t )) y ′(t ) +
α
L
β
⎛ ∂z
⎞
∂z
y ′(t ) ⎟⎟]dt =
+ R( x(t ), y (t ), z (t )) z ′(t )]dt = ∫ [ Px ′(t ) + Qy ′(t ) + R⎜⎜ x ′(t ) +
∂y
⎝ ∂x
⎠
α
β
⎫
⎧⎡
⎡
⎡
∂z ⎤
∂z ⎤
∂z ⎤
∂z ⎤
⎡
= ∫ ⎨⎢ P + R ⎥ x ′(t ) + ⎢Q + R ⎥ y ′(t )⎬dt = ∫ ⎢ P + R ⎥ dx + ⎢Q + R ⎥ dy
∂x ⎦
∂y ⎦
∂x ⎦
∂y ⎦
⎣
⎣
α ⎩⎣
L⎣
⎭
Введем обозначения: p =
∂z
∂z
; q= ;
∂x
∂y
123
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Применив формулу Грина – Остроградского, можно заменить криволинейный
интеграл равным ему двойным интегралом. После преобразований устанавливается
следуюшее соответствие между криволинейным и поверхностным интегралом:
⎛ ∂R
∂Q ⎞
⎛ ∂P
∂R ⎞
⎛ ∂Q
∂P ⎞
∫ Pdx + Qdy + Rdz = ∫∫ ⎜⎜⎝ ∂y − ∂z ⎟⎟⎠dydz + ⎜⎝ ∂z − ∂x ⎟⎠dzdx + ⎜⎜⎝ ∂x − ∂y ⎟⎟⎠dxdy
L
S
эта формула и называется формула Стокса.
G
Определение. Вектор B , компоненты которого равны соответственно равны
∂R ∂Q
∂P ∂R
∂Q ∂P
−
Bx =
; By =
−
; Bz =
−
;
∂y ∂z
∂z ∂x
∂x ∂y
G
G
G
G
называется вихрем или ротором вектора F = Pi + Qj + Rk и обозначается:
G
rotF
G ⎧∂ ∂ ∂⎫ G ∂
∇=⎨ , , ⎬=i
+
∂x
⎩ ∂x ∂y ∂z ⎭
называется оператором Гамильтона. ( Уильям Роуан Гамильтон (1805
ирландский математик) Символ ∇ - “набла”.
Определение.
Символический
вектор
G ∂ G ∂
j
+k
∂y
∂z
– 1865) –
G
С учетом этого обозначения можно представить себе понятие ротора вектора F
G
как векторного произведения оператора Гамильтона на вектор F .
G
i
G G G
∂
rotF = ∇ × F =
∂x
P
G
j
∂
∂y
Q
G
k
∂
∂z
R
Определение. Криволинейный интеграл, представляющий собой работу
векторного поля вдоль некоторой кривой L называется линейным интегралом от
G
вектора F по ориентированной кривой L.
G G
∫ Fds = ∫ Pdx + Qdy + Rdz
L
L
Если кривая L представляет собой замкнутый контур, то линейный интеграл по
G
такому контуру называется циркуляцией вектроного поля F вдоль контура L.
G G
Ц = ∫ Fds = ∫ Pdx + Qdy + Rdz
L
L
В векторной форме теорему Стокса можно сформулировать так:
Циркуляция вектора вдоль контура некоторой поверхности равна потоку вихря
(ротора) через эту поверхность.
124
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
G G
G
G
∫ Fds = ∫∫ nrotFdΔ
λ
Δ
Отметим, что рассмотренная выше формула Грина – Остроградского является
частным случаем формулы Стокса.
Также при условии равенства нулю всех компонент ротора вектора, получаем,
что криволинейный интеграл по любой пространственной кривой равен нулю, т.е.
криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования.
∂P ∂Q ∂R
+
+
называется дивергенцией вектора
∂x ∂y ∂z
G
G
G
G
(дивергенцией векторной функции) F = Pi + Qj + Rk и обозначается
Определение. Выражение
G ∂P ∂Q ∂R
divF =
+
+
∂x ∂y ∂z
Таким образом, формулу Гаусса – Остроградского может быть записана в виде:
⎛ ∂P
∂Q
∂R ⎞
∫∫ ( P cos α + Q cos β + R cos γ )dS =∫∫∫ ⎜⎜⎝ ∂x + ∂y + ∂z ⎟⎟⎠dxdydz
S
или
V
G
GG
div
F
dv
=
F
∫∫∫
∫∫ ndS
V
S
G
т.е. интеграл от дивергенции векторного поля F по объему равен потоку вектора
через поверхность, ограниченную этим объемом.
G
Определение. Векторное поле F называется соленоидальным (трубчатым),
G
если div F =0 .
C помощью описанного выше оператора Гамильтона можно представить
определенные нами понятия следующим образом:
G
G GG
G G G
gradf = ∇f ; divF = ∇F ; rotF = ∇ × F ;
Как было сказано выше (См. Уравнение Лапласа.), выражение
∂2
∂2
∂2
Δ= 2 + 2 + 2
∂z
∂y
∂x
называется оператором Лапласа.
Справедливы следующие соотношения:
div( gradf ) = Δf ;
G G
∇ ⋅ ∇f = Δf
Справедливость этих равенств легко проверить непосредственной подстановкой.
Теперь рассмотрим примеры применения рассмотренных выше понятий.
125
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
G G G G G
G G
G G G
G
Пример. Найти rot (r ⋅ a ) ⋅ r , если r = xi + yj + zk ; a = i + j + k .
G G
Найдем скалярное произведение: r ⋅ a = x + y + z;
Найдем скалярное произведение:
G G G
(r ⋅ a ) ⋅ r = {P, Q, R} = {x 2 + xy + xz, yx + y 2 + yx, xz + yz + z 2 }
G
i
G G G
∂
rot (r ⋅ a ) ⋅ r =
∂x
P
G
j
∂
∂y
Q
G
k
G⎛ ∂R ∂Q ⎞
∂
⎟⎟ −
−
= i ⎜⎜
∂z
⎝ ∂y ∂z ⎠
R
G⎛ ∂R ∂P ⎞ G⎛ ∂Q ∂P ⎞
⎟⎟ =
−
−
j⎜
⎟ + k ⎜⎜
⎝ ∂x ∂z ⎠
⎝ ∂x ∂y ⎠
G
G
G
= i ( z − y ) − j ( z − x) + k ( y − x)
G
G
G
G
Пример. Найти поток векторного поля F = ( y − x)i + ( x + y ) j + yk через сторону
треугольника S, вырезанного из плоскости x + y + z − 1 = 0 координатными
плоскостями.
z
x=1–z
z=1-y
x
y=1-x
y
1
1− y
0
0
G G
П = ∫∫ F ⋅ n ds = ∫∫ ( y − x)dydz + ( x + y )dxdz + ydxdy = ∫ dy ∫ ( y + y + z − 1)dz +
S
S
1
1− z
1
1− x
1
1
1− z
⎡
⎤ 1− y 1
z2
y 2 1− x
+ ∫ dz ∫ ( x + 1 − z − x)dx + ∫ dx ∫ ydy = ∫ ⎢2 yz +
− z ⎥ + ∫ [x − zx ] + ∫
=
2
2
0
0
0
⎣
⎦
0
0
0
0
0
0
0
1
⎡
1
y2
= ∫ ⎢2 y − 2 y 2 + − y +
−1+
2
2
0 ⎣
1
1
⎤
⎡1
x2 ⎤
y ⎥dy + ∫ 1 − z − z + z 2 dz + ∫ ⎢ − x + ⎥ dx =
2
2⎦
⎦
0
0 ⎣
[
]
1
⎡ 3y 2
⎡
1⎤
1
z 3 ⎤ 1 ⎡ x x2 x3 ⎤ 1 ⎡ y3
y⎤ 1
= ∫ ⎢−
+ 2 y − ⎥ dy + ⎢ z − z 2 + ⎥ + ⎢ −
+ ⎥ = ⎢−
+ y2 − ⎥ +1−1+ +
2
2⎦
3 ⎦ 0 ⎣2 2
6⎦0 ⎣ 2
2⎦ 0
3
⎣
0 ⎣
126
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
+
1 1 1
1
1 3 1
− + = − +1− + = .
2 2 6
2
2 6 2
Пример. Найти div(grad u), если u = e x + y + z .
gradu =
[
G H G
∂u G ∂u G ∂u G
i+
j+
k = e x+ y+ z i + j + k
∂x
∂y
∂z
P = Q = R = e x+ y+ z ;
div( gradu ) = 3e x + y + z = 3u.
]
Пример. Определить является ли векторное поле
G
F = (5 x + 6 yz; 5 y + 6 xz; 5 z + 6 xy )
и найти его потенциал.
⎧ ∂u ∂u ∂u ⎫
gradu = ⎨ , , ⎬
⎩ ∂x ∂y ∂z ⎭
∂u
∂u
∂u
P=
= 5 x + 6 yz; Q =
= 5 y + 6 xz; R =
= 5 z + 6 xy;
∂x
∂y
∂z
Если поле потенциально, то должны выполняться следующие условия:
∂P ∂Q
; 6 z = 6 z;
=
∂y ∂x
∂Q ∂R
=
2)
; 6 x = 6 x;
∂z ∂y
∂P ∂R
=
3)
; 6 y = 6 y;
∂z ∂x
Эти условия эквивалентны условию равенства нулю ротора векторного
поля.справедливость этого утверждения видна из формулы ротора.
1)
Таким образом, поле потенциальное. Потенциал находится по формуле:
x
y
z
0
0
0
u = ∫ 5 xdx + ∫ 5 ydy + ∫ (5 z + 6 xy )dz =
127
5 2 5 2 5 2
x + y + z + 6 xyz;
2
2
2