Аменова Ф.С
advertisement
АННОТАЦИЯ диссертации на соискание ученой степени доктора философии (PhD) по специальности 6D060100 – Математика Аменовой Фариды Сейткумаровны на тему «Численное решение сеточных уравнений Навье-Стокса для несжимаемой жидкости в переменных «завихренность, векторный потенциал» Диссертационная работа посвящена построению и исследованию разностных схем для уравнений, описывающих движение несжимаемой жидкости в переменных «функция тока-вихрь скорости». Основное внимание уделено вопросам устойчивости и сходимости решений разностных схем, а также краевым условиям для функции вихря. Актуальность исследования. Математические проблемы, возникающие при изучении движения несжимаемой жидкости, имеют актуальное значение как в теоретическом плане, так и при исследовании конкретных моделей, используемых в механике, физике и других естественных науках для описания реальных процессов. Для изучения задач гидродинамики несжимаемой жидкости в двумерном случае при численном исследовании используются уравнения Навье-Стокса, записанные как относительно переменных «скоростьдавление», так и в переменных «функция тока-вихрь скорости». В большей мере, для изучения двумерных задач гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости используются уравнения Навье-Стокса, записанные в переменных ( , ) . Привлекательность рассмотрения уравнений Навье-Стокса в переменных «функция тока-вихрь скорости» заключается в том, что удается сократить число уравнений по сравнению с записью в физических переменных «вектор скорости-давление» и тождественно удовлетворить закону сохранения массы. Наибольшее затруднение в рассмотрении уравнений несжимаемой жидкости в переменных ( , ) вызывает отсутствие краевых условий для вихря в физической постановке дифференциальной задачи, соответствующих условиям прилипания и непротекания на твердых границах. Это обстоятельство преодолевается выбором граничных условий для вихря скорости в виде формул Тома, Вудса, Кусковой, Пирсона и др., что в свою очередь снижает эффективность алгоритмов. Первоначально методы решения уравнений Навье-Стокса для несжимаемой жидкости в переменных ( , ) основывались на использовании явных схем, таких как схема с разностями против потока, схема «вперед по времени - центральная по пространству». Эти схемы первого и второго порядка аппроксимации по пространственному шагу конечно-разностной сетки обладают тем преимуществом, что при переходе с одного временного слоя на следующий требуется простой пересчет. Однако, практические условия устойчивости данных схем, установленные экспериментально, являются весьма ограниченными, и для ряда задач приходится использовать слишком неоправданно малый шаг по времени. Неявные схемы обладают большим запасом устойчивости, но сложны при реализации, так как требуют обращения матриц или требуют использования итерации на каждом временном счете, что снижает их эффективность при решении нестационарных краевых задач. При этом технологические трудности связаны с тем, что формулы для вихря скорости на границе зависят от значения функции тока, что сильно влияет на устойчивость методов. В литературе предпринята попытка преодоления этих трудностей в случае решения стационарных уравнений Навье-Стокса для несжимаемой жидкости. Для нахождения разностных решений стационарных уравнений несжимаемой жидкости построены эффективные итерационные схемы, основанные на том, что вводится новая зависимая переменная вихря скорости, граничные значения которой не зависят от значений функции тока. В силу нелинейности уравнений Навье-Стокса для несжимаемой жидкости, системы алгебраических уравнений, полученные на основе конечно-разностных методов, являются нелинейными. Вопросы устойчивости и сходимости этих схем рассмотрены для решения только лишь стационарных задач, а для рассмотрения численного моделирования нестационарных задач математически не обоснованы. С другой стороны, основные сведения о зависимости сходимости вычислительной процедуры от способа вычисления вихря на границе, даже в случае линейных модельных задач, выяснились путем численных экспериментов. А сходимость большинства разностных схем, используемых для расчета течений несжимаемой жидкости в переменных ( , ) , остается не доказанной. Все вышеизложенное подтверждает актуальность исследования математических вопросов разностных схем для нестационарных дифференциальных уравнений несжимаемой жидкости и построения новых эффективных алгоритмов. Объектом исследования являются разностные схемы, получаемые при аппроксимации краевых задач несжимаемой жидкости в переменных «функция тока, вихрь скорости». Методы исследования: численные методы, методы функционального анализа, метод априорных оценок, методы математического моделирования и вычислительного эксперимента. Целью работы является разработка, обоснование и дальнейшее развитие теории разностных схем для численного решения уравнений НавьеСтокса для несжимаемой жидкости в переменных «функция тока, вихрь скорости» с учетом краевых условий для функции вихря. Научная новизна и основные результаты работы: разработаны и обоснованы сходящиеся разностные схемы для одномерных и двумерных стационарных уравнений несжимаемой жидкости в переменных «функция тока, вихрь скорости» и получены оценки скорости сходимости итерационных алгоритмов в случаях использования формул Вудса и Тома; разработана методика решения стационарных задач несжимаемой жидкости, основанная на введении вспомогательной функции вихря скорости с однородными краевыми условиями на границах расчетной области; построены эффективные итерационные алгоритмы для численной реализации решения сеточных уравнений задачи тепловой конвекции в переменных «функция тока, вихрь скорости», для которых, при выполнении условий, эквивалентных условию единственности, получены оценки скорости сходимости; разработана методика модифицированного метода минимальных поправок вариационного типа на примере вспомогательных уравнений с несамосопряженными операторами для решения задачи тепловой конвекции. Теоретическая и практическая значимость исследования. Полученные результаты работы могут быть использованы для дальнейших теоретических исследований по данной проблеме, а предложенные итерационные схемы могут быть использованы для расчетов течения жидкостей. Практическая значимость работы состоит в строго математическом определении условий устойчивости и сходимости различных разностных схем, которые относятся к проблемам вычислительной гидродинамики. Выполненные исследования позволяют существенно продвинуться в изучении вопросов сходимости разностных схем для задач гидродинамики. Материалы диссертации могут быть использованы в учебном процессе при чтении спецкурсов по вычислительной гидродинамике. Основные результаты и выводы диссертационной работы опубликованы в 14 работах. Из них 4 в изданиях, рекомендованных Комитетом по контролю в сфере образования и науки МОН РК, 1 в международном научном издании, входящем в базу данных научных журналов Scopus, 6 в материалах международных конференций Казахстана и зарубежья. Работа состоит из введения, трех разделов, заключения и списка использованной литературы. Общий объем диссертации 104 страниц.
