1. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике

Вычислительная гидроаэромеханика (годовой)
Составитель:
Рецензент:
д.ф.-м.н., проф. С.К. Матвеев.
д.т.н., проф. В.Н.Усков
Основная задача курса – изучение основ теории и принципов построения разностных схем и
ознакомление с наиболее распространенными методами численного решения задач механики жидкости и
газа.
Целью курса является ознакомление студентов с численными методами решения уравнений в частных
производных и применением этих методов в задачах гидроаэромеханики.
Слушатели курса должны :
- знать содержание курса "Вычислительная гидроаэродинамика" и основные принципы построения
разностных схем для задач механики жидкости и газа;
- уметь самостоятельно ознакомиться по литературе с конкретным численным методом и представить
его в виде четкого алгоритма;
- уметь реализовать в виде программы на одном из алгоритмических языков простейшие разностные
схемы для стандартных задач гидроаэромеханики: одномерное нестационарное движение идеального газа,
течение вязкой несжимаемой жидкости в пограничном слое или в прямоугольной каверне.
Построение курса. Дисциплина "Вычислительная гидроаэродинамика" является одной из основных в
подготовке выпускников факультета по специальности "механика жидкостей, газов и плазмы" и по
специальности "прикладная математика".
Содержание курса
1. ВВЕДЕНИЕ
Предмет курса. Роль ЭВМ в научных исследованиях. Основные этапы численного
решения задач механики.
2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
Модельные уравнения. Основные понятия теории разностных схем (сетка, сеточные функции, ошибка
аппроксимации). Построение аппроксимирующих схем почленной аппроксимацией, оценка ошибки
аппроксимации. Примеры простейших схем. Явные и неявные схемы, многошаговые схемы. Интегральный
метод построения аппроксимирующих схем. Консервативность разностных схем, возможность расчета
разрывных решений.Сходимость и корректность разностных схем. Пример аппроксимирующей, но не
сходящейся схемы. Исследование устойчивости разностных схем методом малых возмущений.
Исследование разностных схем с помощью первого дифференциального приближения. Схемная и
искусственная вязкость. Оценка погрешности численного решения методом Рунге.
3. ПРОСТЕЙШИЕ СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ГИДРОАЭРОМЕХАНИКИ
Схемы для задач нестационарной газодинамики (на примере одномерного течения). Схемы ЛаксаВендроффа и Мак-Кормака. Метод характеристик для одномерных нестационарных задач газовой
динамики. Выделение разрывов. Сеточно-характеристические методы.
Метод прогонки для решения сеточных уравнений (скалярная и векторная прогонка). Устойчивость
скалярной прогонки. Неявная шеститочечная схема для уравнений пограничного слоя. Итерации при
решении нелинейных уравнений с использованием прогонки.
Разностные схемы для уравнения Пуассона и решение получающихся сеточных уравнений. Простые
итерации и метод Зейделя. Переход к нестационарному уравнению теплопроводности с использованием
метода переменных направлений. Запись уравнений Навье-Стокса через вихрь и функцию тока, схема
Фромма для интегрирования уравнений Навье - Стокса. Постановка граничных условий для вихря и
функции тока при численном решении задач динамики вязкой жидкости. Схема Патанкара-Сполдинга для
стационарных задач тепло-массообмена.
4. СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ
Метод прямых (на примере уравнений пограничного слоя). Схемы первого и второго порядка
аппроксимации. Метод интегральных соотношений А.А.Дородницина - О.М.Белоцерковского, примеры
задач, решенных этим методом. Методы взвешенных невязок и метод конечных элементов (общие
принципы).
5. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
Метод частиц в ячейках (PIC-method) и метод крупных частиц. Метод С.К.Годунова, его связь с методом
характеристик. Использование подвижных и криволинейных сеток. Модификация В.М.Колгана для
повышения порядка аппроксимации. Стационарный аналог метода С.К.Годунова (метод М.Я.Иванова А.Н.Крайко). Метод характеристик для стационарных задач газодинамики, его применение для течений с
химическими реакциями и двухфазных течений. TVD-методы (принцип на примере модельного уравнения).
Схема Хартена.
6. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В P-V ПЕРЕМЕННЫХ
Схемы с проектированием скорости на пространство соленоидальных функций.
Итерационно - маршевый по пространству метод решения уравнений Навье-Стокса с использованием
глобальных итераций по давлению.
7. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В ДИНАМИКЕ РАЗРЕЖЕННОГО ГАЗА
Уравнение Больцмана и особенности решения задач динамики разреженного газа. Понятие о методах
Монте-Карло, история развития, основные области применения в физике и механике.
Основные понятия теории вероятностей. Функция распределения случайной величины и ее свойства.
Дискретные и непрерывные случайные величины, плотность распределения и ее свойства, нормальное
распределение. Математическое ожидание и дисперсия случайных величин. Закон больших чисел,
центральная предельная теорема, интеграл вероятности. Уровень доверия. Вероятная оценка погрешности.
Метод Монте-Карло для оценки величины определенного интеграла, трудоемкость и погрешность
простейшего метода. Моделирование случайных величин и векторов с заданным законом распределения.
Моделирование на компьютере случайных величин. Датчики псевдослучайных чисел. Основные методы
моделирования дискретных и непрерывных случайных величин. Некоторые вероятностные задачи
кинетической теории разреженного газа: розыгрыш случайного числа молекул в заданном объеме,
розыгрыш компонент векторов скорости молекул в состоянии статистического равновесия, розыгрыш
случайного столкновения молекул - твердых сфер.
Моделирование граничных условий, модели зеркального, диффузного и зеркально-диффузного
отражения молекулы газа от твердой поверхности. Розыгрыш компонент вектора скорости молекулы после
отражения от поверхности.
Общая схема метода прямого статистического моделирования на примере задачи о теплопроводности
между двумя параллельными пластинами. Кинетическая постановка задачи, число Кнудсена.
Пространственная и временная дискретизация. Способ задания количества моделирующих частиц в плоском
течении. Расщепление по физическим процессам на шаге по времени.
Расчет макропараметров разреженного газа в стационарном течении. Рекомендации по выбору
параметров метода (величины шагов по времени и по пространству, числа моделирующих частиц).
Замечания об эффективности метода. Схемы мажорантной частоты Иванова-Рогазинского и NTC-схема
Берда как примеры более эффективных схем.
Лабораторно-вычислительный практикум
На первом этапе предлагается освоить существующие учебные программы, реализующие на языке
"Паскаль" излагаемые в лекционном курсе разностные схемы для модельных уравнений, убедиться на
практике в свойствах устойчивости и сходимости запрограммированных схем, а затем модифицировать эти
программы, видоизменив разностные схемы.
На втором этапе предлагается составить и отладить программу для одной из стандартных задач
гидроаэромеханики (распространение ударной волны в идеальном газе и отражение ее от стенки, распад
произвольного разрыва в газе, течение вязкой несжимаемой жидкости в пограничном слое, канале
переменного сечения или в прямоугольной каверне).
Литература
Основная
1. Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена.
М., 1983.
2. Пирумов У.Г., Росляков Г.С. Численные методы газовой динамики. М., 1987.
1. Годунов С.К. и др. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М., 1976.
2. Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Метод крупных частиц в газовой динамике. М., 1981.
3. Берд Г. Молекулярная газовая динамика. М., 1981.
Дополнительная
1. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. М., 1994.
2. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. М., 1991.
3. Белов И.А., Емельянов В.Н. Разностное моделирование течений газа и жидкости. Л., 1982.
4. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М., 1968.