Лекция 3. О ох, оу, oz

Лекция 3.
3. Аналитическая геометрия в пространстве.
Опр.1 Прямоугольные декартовы координаты в пространстве вводятся следующим
образом: выбирается точка О (начало координат); проходящие через нее взаимно
перпендикулярные направленные прямые ох, оу, oz (ось абсцисс – ох, ось ординат – оу, ось
аппликат -oz ); выбирается единица масштаба.
Опр.2 Точка М в пространстве определяется тремя числами: абсциссой х, ординатой у,
аппликат z и записываем М(х; у; z).
Опр.3 Оси координат ох, оу, oz разбивают координатное пространство на 8 частей
называемых октанты.
Опр.4 Уравнением поверхности в пространстве называется уравнение f ( x, y, z ) 0 с
переменными x , y , z, которому удовлетворяют координаты любой точки на данной
поверхности и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на данной
поверхности.
Опр.5
Общим уравнением плоскости называется уравнение первой степени
относительно текущих координат x , y , z вида Ах Ву Сz D 0 , где А, В, C коэффициенты одновременно неравные нулю.
Опр.6 Уравнением плоскости, проходящим через точку М0(х0;у0;z0) перпендикулярно
вектору n( A, B, C ) называется уравнение вида А( х x0 ) В( у y0 ) С ( z z0 ) 0 .
Опр.7 Уравнение плоскости Ах Ву Сz D 0 называется полным, если А, В, C , D
отличны от нуля, в противном случае уравнение плоскости называется неполным.
Частные случаи неполного уравнения плоскости.
1. D 0 , то уравнение плоскости имеет вид Ах Ву Сz 0 , плоскость проходит через
начало координат.
2. А 0 , то уравнение плоскости - Ву Сz D 0 , плоскость параллельна оси ох; В 0 ,
то уравнение плоскости - Ах Сz D 0 , плоскость параллельна оси оу, С 0 , то
уравнение плоскости - Ах Ву D 0 , плоскость параллельна оси oz.
3. А В 0 , то уравнение плоскости - Сz D 0 , плоскость параллельна плоскости хоу;
В С 0 , то уравнение плоскости - Ах D 0 , плоскость параллельна плоскости zоу,
А С 0 , то уравнение плоскости - Ву D 0 , плоскость параллельна плоскости хоz.
4. А В D 0 , то уравнение Сz 0 - уравнение плоскости хоу; В С D 0 , то
уравнение Ах 0 - уравнение плоскости zоу, А С D 0 , то уравнение Ву 0 уравнение плоскости хоz.
Опр.8 Уравнением плоскости в отрезках на осях является уравнение плоскости не
параллельной осям координат и не проходящей через точку О и имеющее вид
х у z
1 , где А(а;0;0) , В(0; b;0) , - точки пересечения с осями координат.
а b c
Опр.9 Общее уравнение прямой в пространстве определяется пересечением плоскостей и
задается следующей системой:
A1 x B1 y C1 z D1 0,
A
B1 C1
, если 1
.
A2 B2 C2
A2 x B2 y C2 z D2 0
Опр.10 Каноническим уравнением прямой, проходящей через точку М0(х0;у0;z0)
x x0 y y0 z z0
параллельно вектору s (m, n, p) , называется уравнение
.
m
n
p
Опр.11 Уравнением прямой проходящим через точки М1(х1;у1;z1), М2(х2;у2;z2) называется
x x1
y y1 z z1
уравнение вида
.
x2 x1 y2 y1 z 2 z1
Основные виды поверхностей второго порядка: сфера, эллипсоид, гиперболоид,
параболоид, цилиндр, конус.
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2 R 2 - сфера с центром в точке ( x0 , y0 , z0 ) и радиусом R ,
x2
a2
z
x2
a2
y2
b2
z2
c2
x2 y 2 z 2
1 - эллипсоид, 2
1 - гиперболоид,
a
b2 c2
x2 y2
x2 y2
1 - цилиндр,
параболоид,
a 2 b2
a 2 b2
y2 z2
0 - конус.
b2 c2