БАЗИСЫ В ПРОСТРАНСТВЕ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ

БАЗИСЫ В ПРОСТРАНСТВЕ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ
УРАВНЕНИЙ МЕЛЛИНА
АЛИСА ДИКЕНШТЕЙН AND ТИМУР САДЫКОВ
Рассмотрим класс алгебраических функций, удовлетворяющих алгебраическим
уравнениям с символьными коэффициентами, то есть уравнениям вида
a0 z m + a1 z m1 + a2 z m2 + . . . + an z mn + an+1 = 0.
(1)
Здесь m > m1 > . . . > mn > 0, m, mi ∈ N, z = z(a0 , . . . , an+1 ) – функция комплексных переменных a0 , . . . , an+1 . Любое решение уравнения (1) удовлетворяет A-гипергеометрической системе Гельфанда-Капранова-Зелевинского [1],[3],
определяемой матрицей
1 1 ... 1 1
A=
m m1 . . . m n 0
и показателями однородности (0, −1). Отсюда в частности следует, что решение уравнения (1) является дважды однородной функцией и потому может
быть задано функцией от n переменных. Поэтому значения любых двух ненулевых коэффициентов в (1) могут быть зафиксированы без потери информации об общем решении этого алгебраического уравнения. Оказывается удобным разделить уравнение (1) на −an+1 и затем сделать замену переменных
y = (−a0 /an+1 )1/m z, сведя (1) к уравнению
y m + x1 y m1 + . . . + xn y mn − 1 = 0.
(2)
Согласно классическому результату Меллина [2] решения данного уравнения
удовлетворяют некоторой системе дифференциальных уравнений в частных
производных гипергеометрического типа. А именно, решение y(x) = y(x1 , . . . , xn )
уравнения (2), удовлетворяет следующей системе из n дифференциальных уравнений в частных производных:
0
mj −1
mj −1
Y
Y
(m1 θ1 + . . . + mn θn + mk + 1)
k=0
0
0
(m1 θ1 + . . . + mn θn + mk − 1)y(x) =
k=0
(−1)mj mm
(3)
∂ m y(x)
,
∂xm
j
j = 1, . . . , n,
0
где θj = xj ∂x∂ j и mj = m − mj . Мы будем называть систему (3) системой
Меллина, соответствующей алгебраическому уравнению (2).
Алиса Дикенштейн была частично поддержана грантами UBACYT X042 и CONICET PIP
5617, Аргентина.
Тимур Садыков был частично поддержан Российским Фондом Фундаментальных Исследований, грант 05-01-00517 + ГРАНТ ПРЕЗИДЕНТА.
1
2
АЛИСА ДИКЕНШТЕЙН AND ТИМУР САДЫКОВ
Для мультииндекса I = (i1 , . . . , in ) и комплексного вектора x = (x1 , . . . , xn ) ∈
i
C мы через xI будем обозначать моном x11 . . . xinn . Обозначим через B множество
n
B = {(i1 , . . . , in ) ∈ Zn : 0 ≤ ij ≤ m − 1,
j = 1, . . . , n}.
Обозначим ε = e2πi/m , зафиксируем мультииндекс I = (i1 , . . . , in ) ∈ Nn и
рассмотрим алгебраическое уравнение
y m +εi1 x1 y m1 +. . .+εin xn y mn −1 = 0.
(I)
Все решения уравнений вида (I) лежат в пространстве решений системы Меллина (3). Среди уравнений вида (I) имеется mn различных уравнений, которые
могут быть параметризованы мультииндексом I ∈ B. Обозначим через Y комплексное линейное пространство, порожденное всеми корнями всех уравнений
вида (I).
Решения уравнения (I), соответствующего индексу Ij = (jm1 , . . . , jmn ) для
любого j = 1, . . . , m − 1 лишь постоянным множителем отличаются от корней
исходного уравнения (2) (которое соответствует j = 0). Более того, существует
n−1
mn−1 множеств G(1) , . . . , G(m ) алгебраических уравнений вида (I), каждое из
которых состоит из m уравнений, таких, что для любых двух уравнений (I), (J)
из одного множества G(k) решения этих уравнений отличаются лишь постоянn−1
ными множителями. Обозначим Γ = {I (1) , . . . , I (m ) }, где I (k) ∈ B – мультииндекс, соответствующий алгебраическому уравнению из множества G(k) . Обо(k)
(k)
значим через y1 , . . . , ym решения алгебраического уравнения (I (k) ), заданные
в некоторой достаточно малой окрестности нуля.
n−1
n−1
Пусть задан комплексный вектор c = (c(1) , . . . , c(m ) ) ∈ Cm . Обозначим
через χc функцию
(4)
χc =
n−1
m
X
(k)
(k)
(k)
(k)
c(k) (y1 log(y1 ) + · · · + ym
log(ym
)),
k=1
при любом выборе голоморфных ветвей логарифмов.
Основным результатом работы является следующая теорема.
Теорема 1. Обозначим через d наибольший общий делитель чисел m, m1 , . . . , mn .
a) Голономный ранг системы Меллина (3) (то есть число ее линейно независимых решений в окрестности точки общего положения) равен mn . Существует базис {fI }I∈B в пространстве решений системы Меллина в окрестности
нуля, такой, что
fI (x) = xI f˜I (xm , . . . , xm ),
1
n
где f˜I голоморфна в нуле и f˜I (0) 6= 0 для любого I ∈ B.
b) Линейное пространство Y совпадает с пространством алгебраических
решений системы Меллина.
c) При d > 1 все решения системы Меллина являются алгебраическими
функциями, то есть dim Y = mn .
БАЗИСЫ В ПРОСТРАНСТВЕ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МЕЛЛИНА
3
d) Пусть d = 1. Тогда dim Y = mn − mn−1 + 1 при m1 = m − 1 и dim Y =
m − mn−1 во всех остальных случаях. Линейное пространство соотношений
n
R := {c ∈ C
mn−1
/
n−1
m
X
(k)
(k)
c(k) (y1 + · · · + ym
) = 0}
k=1
n−1
имеет размерность dim R = m
− 1 при m1 = m − 1 и dim R = mn−1 во
всех остальных случаях. Более того, для любого ненулевого c ∈ R функция χc ,
заданная равенством (4), есть неалгебраическое решение системы Меллина,
линейное пространство
S := {χc / c ∈ R}
имеет размерность dim S = dim R, сумма S ⊕Y является прямой и совпадает
с линейным пространством решений системы Меллина.
e) Представление монодромии системы Меллина (3) всегда приводимо.
Список литературы
[1] И. М. Гельфанд, М. М. Капранов, и А. В. Зелевинский. Гипергеометрические функции и торические многообразия, Функциональный анализ и приложения. 23(2) (1989), 12–26.
[2] Hj. Mellin, Résolution de l’équation algébrique générale à l’aide de la fonction Γ,
C.R. Acad. Sc. 172 (1921), 658-661.
[3] B. Sturmfels, Solving algebraic equations in terms of A-hypergeometric series, Discrete
Math. 210, no. 1-3 (2000), 171-181.
Математический факультет, Университет Буэнос-Айреса,
(1428) Буэнос-Айрес, Аргентина.
E-mail address: [email protected]
Факультет математики и информатики,
Красноярский государственный университет,
660041, Красноярск, Россия.
E-mail address: [email protected]