11 Дискретные случайные величины

Лекция 11. Дискретные случайные величины
Случайной величиной Х называется величина, которая в результате опыта может принять
то или иное значение хi. Выпадение некоторого значения случайной величины Х - есть
случайное событие: Х = хi .
Среди случайных величин выделяют прерывные (дискретные) и непрерывные
случайные величины. Например, номер повстречавшегося автомобиля, рост случайного
попутчика.
Дискретной называют случайную величину, которая может принимать отдельные,
изолированные значения с определенными вероятностями.
ПРИМЕР 1. Число появлений герба при трех бросаниях монеты. Возможные значения: 0,
1, 2, 3, их вероятности равны соответственно:
1 1
=
3
8
2
Р(0) =
3
3
1
; Р(1) = 8 ; Р(2) = 8 ; Р(3) = 8 .
ПРИМЕР 2. Число отказавших элементов в приборе, состоящем из пяти элементов.
Возможные значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5; их вероятности зависят от надежности каждого из
элементов.
Дискретная случайная величина Х может быть задана рядом распределения или функцией
распределения (интегральным законом распределения).
Рядом распределения называется совокупность всех возможных значений хi и
соответствующих им вероятностей рi = Р ( Х = хi ), он может быть задан в виде таблицы:
хi
х1
х2
...
хn
рi
р1
р2
...
рn
При этом вероятности рi удовлетворяют условию
n
∑
i= 1
рi = 1,
где число возможных значений n может быть конечным или бесконечным.
Графическое изображение ряда распределения называется многоугольником
распределения. Для его построения возможные значения случайной величины (хi)
откладываются по оси абсцисс, а вероятности рi - по оси ординат; точки Аi c координатами
( хi ,рi ) соединяются ломаными линиями.
ПРИМЕР 3. Из партии, содержащей 100 изделий, среди которых имеется 10 дефектных,
выбраны случайным образом пять изделий для проверки их качества. Построить ряд
распределений случайного числа Х дефектных изделий, содержащихся в выборке.
Решение. Так как в выборке число дефектных изделий может быть любым целым числом
в пределах от 0 до 5 включительно, то возможные значения хi случайной величины Х
равны:
х1 = 0, х2 = 1, х3 = 2, х4 = 3, х5 = 4, х6 = 5.
Вероятность Р(Х = k) того, что в выборке окажется ровно k (k= 0, 1, 2, 3, 4, 5) дефектных
изделий, равна
Р (Х = k) =
C10k ⋅ C905− k
.
5
C100
В результате расчетов по данной формуле с точностью 0,001 получим:
р1 = Р(Х = 0) ≅ 0,583; р2 = Р(Х = 1) ≅ 0,340; р3 = Р(Х = 2) ≅ 0,070;
р4 = Р(Х = 3) ≅ 0,007; р5 = Р(Х = 4) ≅ 0; р6 = Р(Х = 5) ≅ 0.
6
Используя для проверки равенство
∑
рk =1, убеждаемся, что расчеты и округление
k= 1
произведены правильно (см. табл.).
хi
0
1
рi
0,583
0,340
2
3
4
5
0,070
0,007
0
0
Свойства случайной величины могут характеризоваться различными параметрами.
Важнейшие из них - математическое ожидание случайной величины, которое
обозначается через М(Х), и дисперсия D(Х) = σ2(Х), корень квадратный из которой σ (Х)
называют среднеквадратическим отклонением или стандартом .
Математическим ожиданием М(Х) (средним по распределению) дискретной
(прерывной) случайной величины Х называют сумму произведений всех возможных
значений случайной величины на соответствующие им вероятности.
n
М(Х) = х1р1 + х2р2 + . . . + хn рn =
∑
i= 1
хi рi .
(1)
Если математическое ожидание случайной величины дает нам «ее среднее значение» или
точку на координатной прямой, «вокруг которой разбросаны» значения рассматриваемой
случайной величины, то дисперсия характеризует «степень разброса» значений
случайной величины около ее среднего.
Дисперсией D(X) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата
отклонения значения случайной величины от ее математического ожидания, т.е.
D(Х) = М {[Х - М(Х)] 2}.
Дисперсию удобно вычислять по формуле
D(Х) = М(Х2) - [М(Х)]2 .
(2)
Для дискретной случайной величины Х формула (2) дает:
n
D(Х) =
∑
i= 1
(хi)2 рi – {М(Х)}2
(3)
Положительный корень из дисперсии называется среднеквадратичным
отклонением.
ПРИМЕР 4. Найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(Х) и среднее
квадратическое отклонение σ(Х) дискретной случайной величины Х, заданной законом
распределения
Х
-5
2
3
4
р
0,4
0,3
0,1
0,2
Решение. Найдем математическое ожидание Х по формуле (1):
М(Х) = - 5⋅ 0,4 + 2⋅ 0,3 + 3⋅ 0,1 + 4⋅ 0,2 = - 0,3.
Дисперсию можно вычислить исходя, из ее определения, однако мы воспользуемся
формулой (2):
D(Х) = М(Х2) - [М(Х)]2,
которая быстрее ведет к цели.
Напишем закон распределения Х2:
Х2
25
4
9
16
р
0,4
0,3
0,1
0,2
Найдем математическое ожидание Х2:
М(Х2) = 25⋅0,4 + 4⋅0,3 + 9⋅ 0,1 + 16⋅0,2 = 15,3.
Найдем искомую дисперсию по формуле (2):
D(Х) = М(Х2) - [М(Х)]2 = 15,3 -(-0,3)2 = 15,21.
Тогда искомое среднее квадратическое отклонение будет:
σ(Х) = 3,9.
X
P
X
P
X
P
X
P
X
P
Примерные тесты
1. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения вероятностей:
-1
2
0,3 0,7
Тогда математическое ожидание M(X) этой случайной величины равно …
-1
- 1,7
- 1,1
- 0,4
2. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения вероятностей:
-1
4
0,3 0,6
Тогда математическое ожидание M(X) этой случайной величины равно …
- 2,1
-2
-1
- 2,7
3. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения вероятностей:
-5
6
0,3 0,5
Тогда математическое ожидание M(X) этой случайной величины равно …
- 0,8
-2
- 1,5
-1
4. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения вероятностей:
-3
2
0,3 0,8
Тогда математическое ожидание M(X) этой случайной величины равно …
- 1,1
- 2,5
-1
- 0,7
5. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения вероятностей:
-1
2
0,3 0,7
Тогда математическое ожидание M(X) этой случайной величины равно …
- 0,4
X
P
X
P
X
P
X
P
X
P
X
P
- 1,1
-2
- 1,7
6. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения вероятностей:
-2
3
0,4 0,7
Тогда математическое ожидание M(X) этой случайной величины равно …
-1
- 2,9
- 1,3
- 1,1
7. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения вероятностей:
1
4
0,4 0,6
Тогда математическое ожидание M(X) этой случайной величины равно …
-1
-5
- 2,2
- 2,8
8. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения вероятностей:
2
3
0,4 0,6
Математическое ожидание M(X) этой случайной величины равно …
- 2,6
-5
- 2,4
-1
9. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения вероятностей:
2
5
0,4 0,6
Математическое ожидание M(X) этой случайной величины равно …
-7
- 3,2
-1
- 3,8
10. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения вероятностей:
2
5
0,6 0,4
Математическое ожидание M(X) этой случайной величины равно …
-1
- 3,8
-7
- 3,2
11. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения вероятностей:
2
3
0,3 0,7
Математическое ожидание M(X) этой случайной величины равно …
-1
-5
- 2,3
- 2,7
12. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения вероятностей:
X 2
3
P 0,2 0,8
Математическое ожидание M(X) этой случайной величины равно …
- 2,8
-5
-1
- 2,2
13. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения вероятностей:
X 1
2
P 0,7 0,3
Математическое ожидание M(X) этой случайной величины равно …
-3
-1
- 1,3
- 1,7
14. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения вероятностей:
X 2
4
P 0,2 0,8
Математическое ожидание M(X) этой случайной величины равно …
- 2,4
-6
-1
- 3,6
15. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения вероятностей:
4
X 1
P 0,3 0,7
Математическое ожидание M(X) этой случайной величины равно …
-1
-5
- 3,1
- 1,3
16. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения вероятностей:
4
X 3
P 0,2 0,8
Математическое ожидание M(X) этой случайной величины равно …
-1
-7
- 3,2
- 3,8
17. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения вероятностей:
X 2
5
P 0,3 0,7
Математическое ожидание M(X) этой случайной величины равно …
- 2,9
-1
- 4,1
-7
18. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения вероятностей:
X 3
4
P 0,5 0,5
Математическое ожидание M(X) этой случайной величины равно …
- 3,5
X
P
X
P
-1
-7
-6
19. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения вероятностей:
1
6
0,6 0,4
Математическое ожидание M(X) этой случайной величины равно …
-1
-7
-4
-3
20. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения вероятностей:
2
6
0,9 0,1
Математическое ожидание M(X) этой случайной величины равно …
-8
- 5,6
-1
- 2,4