Эллипс, гипербола и парабола. Канонические уравнения.

Занятие 12
Эллипс, гипербола и
парабола. Канонические
уравнения.
Эллипсом называется геометрическое место точек M на плоскости, для которых сумма расстояний от двух фиксированных
точек F1 и F2 , называемых фокусами, есть величина постоянная
и обозначаемая 2a.
r1 + r2 = 2a
95
(1)
r1 = F1 M и r2 = F2 M называются фокальными радиусами точки M . Расстояние между фокусами обозначается 2c , F 1 F2 = 2c.
Из 4F1 F2 M следует, что F1 M + F2 M > F1 F2 , т.е. 2a > 2c. Следовательно, для того, чтобы г.м.т. было не пусто, необходимо,
чтобы a > c.
В частном случае, если F1 = F2 = O, то r1 = r2 = a и эллипс
превращается в окружность радиуса a с центром в точке O.
Выберем прямоугольную систему координат Oxy так, чтобы
ось Ox проходила через фокусы, и начало координат O делило
расстояние между фокусами на две равные части. Тогда фокусы имеют координаты F1 (−c, 0), F2 (c, 0). Пусть M (x, y) — произвольная точка на плоскости.
p Тогда уравнение
p (1) в координатах переписывается в виде (x + c)2 + y 2 + (x − c)2 + y 2 = 2a.
Это уравнение можно преобразовать в каноническое уравнение
эллипса
x2 y 2
+ 2 = 1,
(1k )
a2
b
где b2 = a2 − c2 . В уравнение (1k ) переменные x и y входят в
квадрате. Откуда следует что, эллипс симметричен относительно осей координат и относительно начала координат. В первой
четверти эллипс является графиком функции
y=
bp 2
a − x2 ,
a
0 ≤ x ≤ a.
Очевидно, что при возрастании x от 0 до a, y убывает от
b до 0. Отсюда получаем форму эллипса изображенную на
рисунке выше. Оси координат пересекают эллипс в точках
(−a, 0), (a, 0), (0, −b), (0, b), которые называются вершинами эллипса. Числа a и b называются полуосями, a — большой полуосью, а b — малой полуосью.
Гиперболой называется геометрическое место точек M , для
которых модуль разности расстояний от двух фиксированных
точек F1 и F2 , называемых фокусами, есть величина постоянная
и обозначаемая 2a.
96
r1 − r2 = ±2a
(2)
r1 = F1 M и r2 = F2 M называются фокальными радиусами точки M . Расстояние между фокусами обозначается 2c , F 1 F2 = 2c.
Из 4F1 F2 M следует, что |F1 M − F2 M | < F1 F2 , т.е. 2a < 2c. Следовательно, для того, чтобы г.м.т. было не пусто, необходимо,
чтобы a < c.
Выбирая прямоугольную систему координат Oxy как и в случае эллипса, получим каноническое уравнение гиперболы
x2 y 2
− 2 = 1,
a2
b
(2k )
где b2 = c2 − a2 .
Как и в случае эллипса получаем, что гипербола симметрична относительно и осей, и начала координат. В
√первой четверти
b
гипербола является графиком функции y = a x2 − a2 , x ≥ a.
Очевидно, что если x возрастает от a до ∞, то y возрастает
от 0 до ∞, причем прямая y = ab x является асимптотой, т.е.
прямой к которой график функции приближается на бесконечности. Таким образом, гипербола имеет две асимптоты y = ab x
97
и y = − ab x. Мы получаем форму гиперболы изображенную на
рисунке выше. Ось Ox пересекает гиперболу в точках (−a, 0),
(a, 0), которые называются ее вершинами. Числа a и b называются полуосями, причем a называется действительной полуосью, а b — мнимой. Гипербола состоит из двух изолированных
кусков, которые называются ее ветвями.
Практически гиперболу строят так. Сначала строят так называемый основной прямоугольник со сторонами x = ±a и y = ±b.
Затем проводят прямые, являющиеся продолжениями диагоналей основного прямоугольника. Это — асимптоты гиперболы. А
затем уже рисуют саму гиперболу.
2
2
Отметим, что уравнение xa2 − yb2 = −1 также определяет гиперболу, которая называется двойственной к гиперболе (2 k ). Она
имеет такие же асимптоты, как и гипербола (2 k ), и изображена
на рисунке пунктиром.
Параболой называется геометрическое место точек M , для которых расстояние r до фиксированной точки F , называемой фокусом, равно расстоянию d до фиксированной прямой l, называемой директрисой.
Расстояние от фокуса до директрисы обозначается p и называется параметром параболы.
Выберем прямоугольную систему координат Oxy так, чтобы
ось Ox проходила через фокус перпендикулярно директрисе и
98
начало координат O находилось на одинаковом расстоянии от
фокуса и от директрисы. Тогда фокус имеет координаты F ( p2 , 0),
а уравнение директрисы l : x = − p2 . Парабола в такой системе
координат имеет каноническое уравнение
y 2 = 2px .
(3k )
Рассматривая y как независимую переменную, а x как функцию
от y, мы видим, что парабола является графиком квадратичной
1 2
функции x = 2p
y (’лежачая’ парабола).
Задача 12.1. Привести уравнение эллипса к каноническому виду. Найти его полуоси и координаты фокусов. Построить эллипс.
a) 16x2 + 25y 2 = 400;
b) 169x2 + 25y 2 = 4225.
2
2
♥ a) Разделим уравнение на 400. Получим: x25 + y16 = 1. Это
- каноническое уравнение эллипса. Найдем его полуоси. Имеем:
a = 5,
a2 = 25, b2 = 16, где a и b — полуоси эллипса. Находим
√
b√= 4. Находим полуфокусное расстояние c: c = a2 − b2 , c =
25 − 16 = 3. Отсюда координаты фокусов эллипса F 1 (−3; 0),
F2 (3; 0). ♠
Ответ: a) Полуоси: a = 5, b = 4; фокусы: F 1 (−3; 0), F2 (3; 0);
b) a = 13, b = 5; F1 (0; −12), F2 (0; 12).
Задача 12.2. Составить каноническое уравнение эллипса, у которого:
a) полуось a = 10, а фокусы находятся в точках F 1 (−6; 7) и
F2 (10; 7);
b) полуось b = 1, а фокусы находятся в точках F 1 (1; 1) и
F2 (−1; 2).
♥ a) Находим полуфокусное расстояние c. Расстояние |F 1 F2 | =
p
(10 + 6)2 + (7 − 7)2 = 16. Отсюда c = |F12F2 | = 8. Поулось
√
a = 10 известна из условия. Находим полуось b: b = a2 − c2 =
√
100 − 64 = 6. По найденным a и b составляем каноническое
2
x2
уравнение: 100
+ y36 = 1. ♠
99
Ответ: a)
x2
100
+
y2
36
= 1; b)
x2
( 94 )
+
y2
1
= 1.
Задача 12.3. Дано уравнение гиперболы. Найти полуоси гиперболы, координаты ее фокусов, составить уравнения асимптот. Построить гиперболу.
a)
x2 y 2
−
= 1;
16
9
b) − x2 + y 2 = 1.
♥ a) Имеем: a2 = 16, b2 = 9, где a и b — полуоси гиперболы.
Находим
= 3. Находим полуфокусное расстояние c:
√ a = 4, b √
2
2
c = a + b , c = 16 + 9 = 5. Отсюда координаты фокусов
гиперболы: F1 (−5; 0), F2 (5; 0). Уравнения асимптот: xa = yb и
y
y
y
x
x
x
3
3
a = − b . Находим: 4 = 3 и 4 = − 3 , или y = 4 x и y = − 4 x. ♠
Ответ: a) полуоси: a = 4 (действительная - по оси Ox), b = 3
(мнимая — по оси Oy), фокусы: F1 (−5; 0), F2 (5; 0), асимптоты:
y = 34 x и y = − 34 x; b) полуоси: a = 1 (действительная - по оси
√
√
Oy), b = 1 (мнимая — по оси Ox), фокусы: F 1 (0; − 2), F2 (0; 2),
асимптоты: y = x и y = −x.
Задача 12.4. Составить каноническое уравнение гиперболы, у
которой:
a) расстояние между вершинами равно 2, а фокусы находятся
в точках F1 (3; 1) и F2 (5; −1);
b) расстояние между вершинами равно 8, а фокусы находятся
в точках F1 (0; 0) и F2 (6; 8).
♥ a) Находим полуфокусное расстояние c. Расстояние |F 1 F2 | =
p
√
√
(5 − 3)2 + (−1 − 1)2 = 2 2. Отсюда c = |F12F2 | = 2. Полуось
a = 1 известна из условия, она равна половине расстояния
меж√
2
2
ду
√ вершинами гиперболы. Находим полуось b: b = c − a =
2 − 1 = 1. По найденным параметрам a и b составляем кано2
2
ническое уравнение: x1 − y1 = 1. ♠
2
2
Ответ: a) x2 − y 2 = 1; b) x16 − y9 = 1.
Задача 12.5. Доказать, что длина перпендикуляра, опущенного из фокуса на одну из асимптот гиперболы, равна мнимой
полуоси.
100
Задача 12.6. Дано уравнение параболы. Найти параметр параболы p, координаты ее фокуса F , составить уравнение директрисы l. Построить параболу и ее директрису.
a) y 2 = 12x;
b) y = x2 .
♥ a) Каноническое уравнение параболы y 2 = 2px. В нашем
случае 2p = 12, p = 6. Отсюда находим координаты фокуса
F (3; 0). Уравнение директрисы: x = − p2 , т.е. x = −3. ♠
Ответ: a) p = 6, F (3; 0), l : x = −3; b) p = 12 , F (0; 14 ),
l : y = − 14 .
Задача 12.7. Найти уравнение кривой, точки которой одинаково удалены:
a) от точки O(0; 0) и от прямой x + 4 = 0; b) от точки O(0; 0)
и от прямой y − 1 = 0.
♥ a) Пусть M (x, y) — точка искомой кривой. Расстояние от
M до прямой x + 4 = 0 равно |x + 4| (формула:
расстояние от
p
точки до прямой). Расстояние |Mp
O| = x2 + y 2 . Таким образом, уравнение кривой |x + 4| = x2 + y 2 . Возводя в квадрат
левую и правую часть, получим: x2 + 8x + 16 = x2 + y 2 , или
y 2 − 8x − 16 = 0. ♠
Ответ: a) y 2 − 8x − 16 = 0; b) x2 + 2y − 1 = 0.
Контрольные вопросы
1. Дайте геометрические определения эллипса, гиперболы и
параболы.
2. Напишите канонические уравнения эллипса, гиперболы и
параболы, и постройте эти кривые.
Дополнительные вопросы и задачи
2
2
D1. Найти координаты точек эллипса x16 + y4 = 1, в которых
фокальные q
радиусы
q перпендикулярны.
q q
q
q
q
q
4
32
4
32
4
32
4
Ответ: ( 32
;
),
(−
;
),
(−
;
−
),
(
;
−
3
3
3
3
3
3
3
3 ).
D2. Составить уравнение эллипса, имеющего: a) данные фоa = 4; b) данные фокусы
кусы F1 (−1; −1), F2 (1; 1) и полуось
√
2
F1 (1; 2), F2 (2; 1) и полуось b = 2 .
101
♥ a) Сумма расстояний от любой точки M (x; y) эллипса до фокусов есть величина постоянная и равна удвоенной
полуоси a.
p
2
Отсюда
в нашем случае |M F1 |+|M F2 | = 8, (x + 1) + (y + 1)2 +
p
2
2
(x
p
p − 1) + (y − 1) = 8. Преобразуем:
(x + 1)2 + (y + 1)2 = 8p
− (x − 1)2 + (y − 1)2 ,
2 +(y+1)2 = 64−16 (x − 1)2 + (y − 1)2 +(x−1)2 +(y−1)2 ,
(x+1)
p
4 (x − 1)2 + (y − 1)2 = 16 − x − y,
16((x − 1)2 + (y − 1)2 ) = 256 − 32x − 32y + x2 + 2xy + y 2 ,
15x2 − 2xy + 15y 2 − 224 = 0.
♠
Ответ: a) 15x2 − 2xy + 15y 2 − 224 = 0; b) 3x2 + 2xy + 3y 2 −
12x − 12y + 16 = 0.
D3. Найти г.м.т. M , которые находятся вдвое ближе к точке
A(−1; 0), чем к прямой x − 8 = 0.
Ответ: 3x2 + 4y 2 + 24x − 60 = 0.
D4. Сколько касательных можно провести к эллипсу 4x 2 +
2
5y − 80 = 0 из точки M1 (0; 4), M2 (1; 2), M3 (5; 3)?
D5∗ . Эллипс, симметричный относительно
осей координат, ка√
сается двух прямых l1 : x + 2y − 39 = 0 и l2 : x − 3y + 7 = 0.
Найти его уравнение.
Указание. Рассмотреть пучок, определенный прямыми l 1 и l2 .
Воспользоваться тем, что прямая касается эллипса, если она пересекает его двукратно.
2
2
Ответ: x31 + y2 = 1.
√
D6. Какая кривая определяется уравнением y = −2 x2 + 1?
Ответ: Гипербола.
√
D7. Выведите уравнение асимптоты кривой y = ab x2 − a2 , x ≥
a.
Ответ: y = ab x.
Эксцентриситетом эллипса и гиперболы называется число
² = ac . Для эллипса ² < 1, а для гиперболы ² > 1.
D8. Выведите формулы для фокальных радиусов эллипса и
гиперболы:
r1 = a + εx, r1 = a − εx.
102
Директрисами эллипса и гиперболы называются прямые x =
± aε .
D9. Докажите, что отношение расстояния любой точки M эллипса и гиперболы до фокуса к расстоянию до односторонней с
ним директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету:
r2
r1
= ε,
= ε.
d1
d2
Принимая во внимание определение параболы и полагая для
нее ε = 1, мы получаем, что эллипсы, гиперболы и параболы
выделяются среди всех кривых C общим характеристическим
свойством:
C = г.м.т. M , для которых отношение расстояния r M точки
M от некоторой фиксированной точки F (фокуса кривой C) к
расстоянию dM точки M до некоторой фиксированной прямой
(директрисы кривой C) есть постоянная величина drM
= ε =
M
const, называемая эксцентриситетом кривой C, причем кривая
C есть эллипс, если 0 < ε < 1, парабола, если ε = 1, и гипербола,
если ε > 1.
D10∗ . Докажите, что эллипсы, гиперболы и параболы обладают следующим оптическим свойством: углы между фокальными
радиусами любой их точки M0 и касательной к ним в точке M0
равны (для параболы — углы между фокальными радиусами и
фокальной осью).
103
Занятие 13
Параллельный перенос
осей координат.
Приведение общего
(пятичленного) уравнения
кривой второго порядка к
каноническому виду
Кривые второго порядка — это кривые определяемые алгебраическим уравнением второй степени. Общее такое уравнение имеет вид
a11 x2 + 2a12 xy + a22 y 2 + 2a1 x + 2a2 y + a0 = 0 .
(1)
Эллипс, гипербола и парабола — кривые второго порядка. Задача состоит в том, чтобы выбрать новую систему координат Ōx̄ȳ,
в которой уравнение (1) преобразовывается к наиболее простому
виду. Общий переход к новой системе координат можно осуществить в два шага: 1) сначала сделать поворот осей координат на
104
некоторый угол α; 2) затем сделать параллельный перенос осей
координат. Поворот осей координат можно сделать так, что в
новых координатах в уравнении коэффициент при xy будет равен нулю. При этом получается уравнение вида
a11 x2 + a22 y 2 + 2a1 x + 2a2 y + a0 = 0 ,
(2)
которое называется пятичленным. Мы займемся упрощением
уравнения (2) с помощью параллельного переноса осей координат.
Изменение координат при параллельном переносе осей
координат. Пусть имеется некоторая прямоугольная система
координат Oxy, которую мы будем называть старой. Рассмотрим новую систему координат Ōx̄ȳ, которая получается из старой параллельным переносом осей координат в точку Ō. Обозначим
(x0 , y0 )
координаты нового начала координат Ō в старой системе.
Таким образом, каждая точка M на плоскости имеет две пары
координат: (x, y) — старые и (x̄, ȳ) — новые. Легко видеть, что
старые и новые координаты связаны соотношениями
½
½
x̄ = x − x0 ,
x = x0 + x̄,
или
(3)
y = y0 + ȳ,
ȳ = y − y0 .
105
Упрощение пятичленного уравнения. Если в уравнении
(2) коэффициент a11 6= 0, то мы можем избавиться от первой
степени x, т.е. сделать коэффициент a 1 равным нулю. Технически это осуществляется с помощью операции выделения полного
квадрата,
¶
µ
µ
¶
a1
a2
a1 2
a11 x2 + 2a1 x = a11 x2 + 2
x = a11 x +
− 1 .
a11
a11
a11
Если теперь обозначить x̄ = x + aa111 = x − x0 , то после такой
замены в новое уравнение x̄ не войдет.
Если в уравнении (2) коэффициент a22 также не равен нулю,
то аналогичным способом заменой ȳ = y − y 0 , мы "избавимся"в
уравнении от y. Если же в уравнении (2) коэффициент a 22 = 0,
то заменой ȳ = y − y0 , мы "избавимся"в уравнении от свободного члена. Мы не будем проводить эти преобразования в общем
виде, хотя это и не трудно. Рассмотрим эти преобразования в
конкретных задачах.
Задача 13.1. Привести следующие уравнения к каноническому
виду и построить кривую, заданную уравнением
a) 9x2 + 16y 2 − 54x + 64y + 1 = 0;
b) x2 + 4y 2 + 2x − 3 = 0.
♥ a) Выделяем полный квадрат отдельно для членов уравнения,
содержащих x и для членов, содержащих y: 9x 2 − 54x = 9(x2 −
6x) = 9((x − 3)2 − 9) = 9(x − 3)2 − 81, 16y 2 + 64y = 16(y 2 + 4y) =
16((y+2)2 −4) = 16(y+2)2 −64. Подставляем в уравнение кривой
полученные выражения: 9(x − 3)2 − 81 + 16(y + 2)2 − 64 + 1 = 0.
Постоянные переносим в правую часть: 9(x − 3) 2 + 16(y + 2)2 =
2
144. Делим почленно левую и правую часть на 144: 9(x−3)
+
144
16(y+2)2
144
2
2
= 1, (x−3)
+ (y+2)
= 1.
16
9
Пусть теперь x̄ = x − 3, ȳ = y + 2 — новые координаты точки.
Тогда уравнение кривой в новой системе координат принимает
2
2
вид: x̄16 − ȳ9 = 1. Это — каноническое уравнение эллипса с полуосями a = 4, b = 3. Новое начало координат определяется из
106
условия x̄ = 0, ȳ = 0, откуда x − 3 = 0, y + 2 = 0, и x = 3, y = −2.
Таким образом, Ō(3; −2) — новое начало координат.
Построим новое начало координат, проведем новые оси координат параллельно старым. Построим кривую в новой системе
координат по каноническому уравнению.
♠
2
2
2
2
Ответ: a) x̄16 + ȳ9 = 1, где x̄ = x − 3, ȳ = y + 2; b) x̄4 + ȳ1 = 1,
где x̄ = x + 1, ȳ = y.
Задача 13.2. Привести следующие уравнения к каноническому
виду и построить кривую, заданную уравнением
a) 16x2 − 9y 2 − 64x − 54y − 161 = 0;
b) − x 2 + y 2 + 2x − 4y = 0.
♥ a) Сгруппируем члены, содержащие x, соответственно y, и
выделим полные квадраты,
16(x2 − 4x) − 9(y 2 + 6y) − 161 = 0, 16(x − 2)2 − 64 − 9(y + 3)2 +
81 − 161 = 0.
Сделаем замену
½
x̄ = x − 2,
Ō(2, −3)
ȳ = y + 3,
Получим уравнение 16x̄2 − 9ȳ 2 = 144. Деля на 144, получаем
2
2
уравнение x̄9 − ȳ16 = 1. Это каноническое уранение гиперболы с
полуосями a = 3, b = 4.
107
Формулы замены мы можем рассматривать как формулы (3)
, выражающие новые координаты через старые при параллельном переносе осей координат в новое начало Ō(2, −3). Поэтому
мы сначала строим новую систему координат Ōx̄ȳ и уже в ней
строим гиперболу по каноническому уравнению.
♠
2
2
2
2
Ответ: a) x̄9 − ȳ16 = 1, где x̄ = x−2, ȳ = y+3. b) − x̄3 + ȳ3 = 1,
где x̄ = x − 1, ȳ = y − 2.
Задача 13.3. Привести следующие уравнения к каноническому
виду и построить кривую, заданную уравнением:
a) y 2 − 6x + 2y + 7 = 0; b) x2 − 6x + 2y + 5 = 0;
√
√
c) x = 2 − 3 − 4y;
d) x = −2 ± 4y + 6.
♥ a) Уравнение содержит квадрат только одной из двух переменных — y. Выделим полный квадрат из членов, содержащих
y: y 2 +2y = (y+1)2 −1. Подставим полученное выражение в уравнение кривой: (y + 1)2 − 1 − 6x + 7 = 0. Переносим постоянные и
108
члены, содержащие x, в правую часть: (y+1) 2 = 6x−6. В правой
части вынесем за скобки коэффициент при x: (y + 1) 2 = 6(x − 1).
Пусть теперь x̄ = x − 1, ȳ = y + 1 — новые координаты. Тогда
уравнение кривой в новой системе координат принимает вид:
ȳ2 = 6x̄. Это — каноническое уравнение параболы. Находим параметр p параболы: 2p = 6, p = 3. Новое начало координат определяется из условия x̄ = 0, ȳ = 0, откуда x − 1 = 0, y + 1 = 0, и
x = 1, y = −1. Таким образом, Ō(1; −1) — новое начало координат.
Строим новое начало координат, проводим новые оси координат параллельно старым. Строим кривую в новой системе координат по каноническому уравнению.
c) Уединяя корень и возводя в квадрат, получаем (x − 2) 2 =
3−4y, или (x−2)2 = −4(y− 34 ). Делая замену координат x̄ = x−2,
ȳ = y− 43 , при которой оси координат переносятся в новое начало
координат Ō(2; 34 ), получаем каноническое уравнение параболы
x̄2 = −4ȳ с параметром p = 2 и ветвями направленными вниз.
Поскольку в исходном уравнении перед корнем стоит знак минус, то x ≤ 2 и уравнение задает одну из двух ветвей (левую)
параболы. ♠
Ответ: a) ȳ 2 = 6x̄, где x̄ = x − 1, ȳ = y + 1; b) x̄2 = −2ȳ, где
x̄ = x − 3, ȳ = y − 2; c) x̄2 = −4ȳ, x̄ ≤ 0, где x̄ = x − 2, ȳ = y − 34 .
d) x̄2 = 4ȳ, где x̄ = x + 2, ȳ = y + 32 .
Контрольные вопросы
1. Как связаны старые и новые координаты при параллельном
переносе осей координат?
2. Как в пятичленном уравнении избавляются от членов первой степени?
Дополнительные вопросы и задачи
Классификация кривых второго порядка
Любое уравнение второго порядка (1) в подходящей системе
прямоугольных координат может быть приведено к одному из
следующих девяти видов:
109
D1. Привести следующие уравнения к каноническому виду и
построить кривую, заданную уравнением:
a) 4x2 + y 2 − 8x + 4y + 7 = 0; b) 4x2 + y 2 − 8x + 4y + 9 = 0;
c) 4x2 + y 2 − 8x + 4y + 8 = 0; d) x2 − y 2 + 6x − 8y − 8 = 0;
e) x2 − y 2 + 6x − 8y − 7 = 0; f ) x2 + 6x − 8y = 0;
g) y 2 − 6y + 8 = 0; h) y 2 − 6y + 10 = 0; i) y 2 − 6y + 9 = 0.
2
2
Ответ: a) (x−1)
+ (y + 2)2 = 1, эллипс; b) (x−1)
+ (y +
1
1
4
2)2 = −1, эллипс; c)
(x−1)2
1
4
4
+ (y + 2)2 = 0, точка (пара мнимых
пресекающихся прямых; d)(x+3)2 −(y+4)2 = 1, гипербола; e)(x+
3)2 − (y + 4)2 = 0, пара пересекающихся прямых; f ) (x + 3) 2 =
110
8(y + 98 ), парабола; g) (y − 3)− 1 = 0, пара параллельных прямых;
h) (y − 3)+ 1 = 0, ∅ (пара мнимых параллельных прямых); i) (y −
3)2 = 0, пара совпадающих прямых.
D2. Выведите формулы формулы, связывающие старые и новые координаты, при повороте осей координат на угол α:
½
x = cos α · x̄ − sin α · ȳ,
y = sin α · x̄ + cos α · ȳ.
D3. Найдите угол α, на который надо повернуть оси координат, чтобы в уравнении исчезло смешанное произведение.
111