Уравнение состояния. Первое начало термодинамики

http://lectoriy.mipt.ru
1 из 5
ЛЕКЦИЯ 2
Уравнение состояния. Первое начало термодинамики
2.1. Внутренняя энергия
Внутренняя энергия U (T, V ) — кинетическая энергия молекул и энергия взаимодействия (которой в идеальном газе нет).
Рис. 2.1.
При повышении температуры молекулы меняются: теряются электроны, растет
количество молей газа. Следовательно, внутреннюю энергию определяем как термодинамический потенциал:
3
U = νRT + U0 — одноатомный газ; для удобства U0 ≈ 0.
2
Внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры:
i
U = νRT,
2
где i — число степеней свободы

 3 — одноатомный газ,
5 — двухатомный,
i=

6 — многоатомный.
Закон Джоуля для идеального газа:
∂U
= 0.
∂V T =const
Изменяем состояние идеального газа двумя способами:
1. работа δA = P dV (только для системы 2.1);
2. теплообмен.
⇒
dU = −δA + δQ,
δQ = dU + P dV — для бесконечно малых количеств.
Q = ∆U + A
2.2. Теплоемкость
Определение теплоемкости:
Cx =
δQ
dT
,
x
http://lectoriy.mipt.ru
2 из 5
Лекция 2. Уравнение состояния. Первое начало термодинамики
где x — некий параметр, который остается постоянным во время этого процесса
(x = V, T, P, V 2 , . . . ).
CV — теплоемкость при постоянном объеме:
dU + P dV
∂U
Cv =
=
.
dT
∂T V
V
Cp — теплоемкость при постоянном давлении:
∂U
∂U
dTP +
dVP + P dVP =
δQP = dU (T, V ) + P dVP =
∂T V
∂V T
∂U
= CV dTP + P +
dVP ,
∂V T
δQP
∂U
∂V
⇒ CP =
= CV + P +
,
dTP
∂V T
∂T P
Что приводит нас к cоотношению Майера:
∂U
∂V
CP − CV = P +
,
∂V T
∂T P
∂U
= 0, поэтому
Для идеального газа ∂V
T
R
∂V
R
P V = RT, V = T,
= ,
P
∂T P
P
∂V
⇒ CP − CV = P
= R,
⇒
CP − CV = R
∂T P
2.3. Энтальпия
Еще один термодинамический потенциал — энтальпия I (теплосодержание):
I ≡ H = U + PV
δQ
dU + P dV + V dP
dU + d(P V )
∂(U + P V )
∂I
Cp =
=
=
=
=
.
∂T P
dT
dT
∂T
∂T P
P
P
P
Здесь добавили в числителе V dP = 0.
Пример 2.1. Рассмотрим температурную зависимость CV для водорода H2 .
i
∂U
= R.
CV (T ) =
∂T V
2
2.4. Политропические процессы
Политропический процесс — это процесс, протекающий при постоянной теплоемкости: C = const.
C − CP
P V n = const,
где n =
.
C − CV
Изохора, изобара, изотерма — политропические процессы. К этим процессам также
относится адиабата Пуассона:
CP
C = 0, P V γ = const, γ =
.
CV
http://lectoriy.mipt.ru
3 из 5
Лекция 2. Уравнение состояния. Первое начало термодинамики
а)
б)
в)
Рис. 2.2.
2.5. Скорость звука в газовой среде
p
Из механики: vзв = E/ρ
∆l
∆V
= −E
,
l
V
где E — модуль Юнга, ε — относительное удлинение.
Рассмотрим трубу, в которой газ содержится под давлением (только в этом случае
звук может распространяться по этой среде).
∂P
∂P
−∆Vx
∆Px =
· ∆Vx = −
V ·
∂V x
∂V x
V
P = −Eε = −E
Здесь мы умножили и разделили на −V .
dρ
dV
+
= 0, (масса под поршнем не меняется)
M = V ρ,
V
ρ
dV
dρ
⇒
=−
V
ρ
∂P
∂P
⇒ E = −V
=ρ
— модуль Юнга.
∂V x
∂ρ x
s
s
E
∂P
vзв =
=
ρ
∂ρ x
— общее соотношение, справедливое для любого изотропного вещества. x — адиабатический процесс. Теплообмен не успевает происходить при распространении звука.
∂P
P
P V γ = const ⇒ P = ργ · const,
= γ · ργ−1 const = γ .
∂ρ
ρ
s
s
P
RT
vзв = γ = γ
ρ
µ
Для идеального газа P µ = ρRT , где µ — молярная масса газа.
λ = vзв /ν — длина звуковой волны (определяется длиной связок для человека).
Частота звукового тона ν ∼ 10кГц=104 Гц.
λзв ∼
3, 4 · 104 см/c
= 3, 4 см,
104 Гц
T = 10−4 c
За время T теплота не успевает выйти за пределы λ3 ∼ 30см3 , поэтому этот процесс
можно считать адиабатическим.
http://lectoriy.mipt.ru
4 из 5
Лекция 2. Уравнение состояния. Первое начало термодинамики
2.6. Истечение газов через отверстие (сопло)
Газ вырывается в виде сплошной струи.
Рис. 2.3.
ε+
P
= const — уравнение Бернулли
ρ
m = 1кг (все относим к ед. массы), где ε = v 2 /2 + 1 · gh + Uуд , (1 · gh не меняется, а
Uуд надо учитывать, так как процесс не изотермический).
P
= P · Vуд ,
ρ
где Vуд — объем единицы массы.
Uуд + P Vуд = i — удельная энтальпия истекающего газа.
i+
i1 +
v12
v2
= i2 + 2
2
2
v2
= const
2
v2 =
CP =
∂I
∂T
p
уд
,
v12 /2 ≈ 0
2(i1 − i2 ),
CP =
P
∂i
∂T
P
Газ идеальный, поэтому i = i(T ):
i=
1
CP · T, где Cp — молярная теплоемкость.
µ
Подставляем в (2.1):
r
v2 = v =
2
Cp (T1 − T2 ).
µ
Если газ истекает в вакуум:
r
v=
2
Cp T1
µ
CV
CP
γR
· CP + R = R +
⇒ CP =
.
CP
γ
γ−1
s
r
r
2
2 γRT
2
v=
Cp T1 =
·
=
· vзв > vзв
µ
µ γ−1
γ−1
CP = CV + R =
(2.1)
http://lectoriy.mipt.ru
5 из 5
Лекция 2. Уравнение состояния. Первое начало термодинамики
Рис. 2.4.
Пример 2.2. Рассмотрим внутреннюю энергию истекающего газа в расчете на один
моль:
µv 2
CP
ε=
= CP · T1 = CV · T2 ⇒ T2 =
T1 = γT1 > T1
2
CV
Из выкладок следует, что температура увеличится. Если газ неидеальный, то температура упадет.
Рис. 2.5.
2.7. Циклы
Цикл — это процесс, в котором начальные и конечные параметры, определяющие
состояние рабочего тела, совпадают. Контур, по которому ведется интегрирование,
обходится по часовой стрелке.
I
I
I
I
I
dU = 0,
δQ − δA = 0,
δQ = δA
1a2б1
Если A > 0, то устройство, для цикла работы которого справедливо данное неравенство, называется тепловой машиной.
Если процесс запустить против часовой стрелки, то будет справедливо обратное
(A < 0), и это будет пустая трата усилий: энергия уйдет в тепло.