1-11 В.А. Бударин Метод расчета движения идеальной жидкости

УДК 539.3.01+ 532.12
МЕТОД РАСЧЕТА ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
В.А.Бударин
Одесский национальный политехнический университет
Метод предназначен для нахождения уравнений движения сплошных и разрывных
течений с помощью дифференциальных уравнений движения теории упругости.
Переход от уравнений движения твердого тела без касательных напряжений к
уравнениям движения идеальной жидкости осуществляется путем использования двух
видов условий, отражающих характерные свойства сплошных и разрывных течений.
Метод содержит два пути расчета для каждого вида течения. Описано предложение
по использованию метода в одной из возможных областей для решения конкретной
задачи.
Ключевые слова
Сплошная среда, разрывная среда, уравнение движения Навье, уравнения движения
идеальной жидкости, теория упругости.
Условные обозначения
R, , Z -удельная массовая сила, м/с2; p - давление, Па; u – скорость, м/с;
– напряжение, Па.
Введение
В систему уравнений конвективного теплообмена входит уравнение движения,
которое требует, чтобы такие функции как давление p , скорость u и плотность r, были
гладкие, в то время как существуют течения, не укладывающиеся в такую модель.
Наиболее известными из них являются кипящий поток, кавитационная каверна в
жидкости, а также ударная волна в газе. Такие потоки имеют сложную макроструктуру
с внутренними границами, на которых возникают разрывы первого рода для одной или
нескольких функций.
1.Постановка задачи
В основу рассматриваемого метода положены известные уравнения движения
линейной теории упругости (уравнения Навье), которые позволяют расcчитывать
напряженное состояние твердых тел произвольной макрострукты.
Возможность использования уравнений теории упругости для расчета движения
жидкости основана на общем законе сохранения количества движения, из которого
были получены уравнения движения для различных разделов механики
с учетом
отличительных свойств нормальных напряжений в твердом теле и жидкости.
Различие между уравнениями движения в этих разделах механики видно на
примере трактовки понятия сплошной среды. В механике потоков под сплошностью
понимается такое состояние среды, которая полностью заполняет пространство с
координатами x, y, z, а такие функции как скорость u(x, y, z, t), давление p(x, y, z, t) и
плотность r(x, y, z, t)
непрерывны. Таким образом сплошная среда в
гидродинамическом смысле не может иметь какие-либо полости или ту же среду со
скачками этих функций
2
В теории упругости под сплошностью понимается только отсутствие трещин при
нагружении тела, не ограничивая при этом его макроструктуру и, таким образом,
понятие сплошности в теории упругости является более общим, чем в механике
потоков [1, 2]. Оба понятия сплошности могут быть согласованы, если устремить
размер полости в твердом теле к нулю. Тогда твердое тело, так же как и жидкость,
будут представлять собой однородную среду с непрерывным распределением ее
функций.
Одновременно, как твердая, так и жидкая среды подчиняются закону Гука, т.е.
имеют линейную зависимость между нормальными напряжениями и деформациями,
что создает предпосылку для разработки метода решения задач идеальной жидкости.
Сущность этого метода заключается в формулировке и использовании условий,
накладываемых на уравнение движения твердого тела, с целью выделения частного
решения для расчета сплошного и разрывного течения идеальной жидкости. Причем
эти условия можно применять как для дифференциальных уравнений, так и для их
интегралов. Контрольным результатом этого метода для сплошного течения должно
быть известное уравнение Эйлера, а также его решения.
2.Уравнения движения
В теории упругости обычно предполагается, что тело находится в
медленного движения, в связи с чем в правую часть уравнений теории
входит ускорение, зависящее только от времени (локальная производная).
часть уравнений движения жидкости входит полное ускорение,
du
dt
u
t
u
r
ur
uθ u
r θ
uz
состоянии
упругости
В правую
например,
ur
, которое учитывает также неравномерность
z
движения в пространстве (конвективная производная), что более точно. В результате,
локальную производную без ущерба для смысла можно заменить на полную.
Таким образом, после замены правой части, уравнения теории упругости в
цилиндрических координатах приобретут вид:
σ
r θ
r
R
1 σ
r θ
σ
z
dur
dt
r
ρθ
Z
ρ
du
dt
(1)
du
dt
Формальный переход от уравнений (1) к уравнениям Эйлера осуществляется, если
принять
r= q= z=-p,
(2)
что, одновременно, является математическим выражением принципа независимости
нормальных напряжений от ориентации элементарной площадки в идеальной жидкости
и учитывает правило знаков для давления и напряжения. Применение этого условия к
3
системе (1) показывает, что система она содержит, как частный случай, уравнения
Эйлера.
3.Условия для разрывных течений
Большая общность системы (1) предполагает существование решений не входящих
в уравнение Эйлера, что требует для их нахождения формулировки других условий,
отличных от (2) и не противоречащих свойствам жидкости. В зависимости от
конкретной задачи такие условия могут быть различными, но их целью является
выделение из трех напряжений одного - сжимающего, а остальные два, которые
должны быть положительны, будут использоваться только для нахождения области
параметров, при которых существует трехмерный разрыв. Поскольку напряжения по
всем направлениям в общем случае равноценны, существуют три варианта таких
условий, которые можно записать в виде матрицы:
sr < 0
r>
r
0
>0
sq < 0
>0
>0
r
z
>0
(3)
> 0 sz < 0
Учитывая, что s = - p, главную диагональ матрицы (3) можно представить в форме
давлений.
Тогда условия ( 3 ) примут вид:
p
> 0
r
>0
r
> 0
p
z
> 0
>0
> 0
(4)
p
При расчете движения только разрывных потоков отсутствует необходимость в
определении области параметров при которых существует разрыв и условия (4)
приводятся к виду
p
0
0
0
p
0
0
0
p
(5)
,
которые, как и условия (2), должны применяться к системе (1).
4.Связи между уравнениями движения
Уравнение Навье без касательных напряжений может интегрироваться методом
повышения порядка, что приводит к появлению нескольких произвольных постоянных,
а применение к полученным решениям различных условий, например (2) и (3), может
привести к потере единственности решения конкретной задачи. Такая негативная
4
возможность требует наличия способа, позволяющего выделить из нескольких
решений одно, удовлетворяющее условиям течения идеальной жидкости. Для
сплошного течения эту задачу решает уравнение Эйлера, превращаясь в тождество при
подстановке в него истинного решения.
По аналогии со схемой расчета сплошного течения, в тождество должны
превратиться уравнения, полученные из системы (1) с помощью условий (5), при
подстановке в них решения для только разрывного течения.
Взаимосвязь различный уравнений метода между собой можно иллюстрировать
следующей схемой, в которой показаны варианты расчета и место каждого из
рассмотренных уравнений.
Схема связей между уравнениями движения
Из схемы следует, что для каждого вида течения существует два пути решения
задачи, отличающиеся общностью используемых допущений. Наиболее полным и
информативным является путь решения, требующий интегрирования уравнения Навье,
который позволяет определить возможность существования течения в сплошной или
разрывной форме, а также найти условия перехода одного течения в другое.
5.Пример расчета
Пример использования данного метода, в части наложения условий (2) и (3) на
интеграл частного случая системы (1), показан в работе [3], где рассмотрена задача
Ламе в присутствии центробежных сил. В результате выделено два решения, одно из
которых получено ранее путем интегрирования уравнения Эйлера и автоматически
превращает его в тождество. Второе решение описывает вращение вихря с полостью и
превращает в тождество дифференциальное уравнение движения для разрывного
потока *.
5
Последнее течение было получено экспериментально и характеризуется
возможностью его существования вдали от радиальной стенки или без нее Это
свойство делает его перспективным для использования в процессах сжатия облаков
газа (пара) и аэрозоля в безграничной среде, а также в процессах теплообмена,
требующих температур, превышающих современные возможности материаловедения.
Одним из таких процессов может быть создание плазменного вихревого течения
электропроводного газа в магнитогазодинамическом генераторе вдали от
ограничивающих стенок. Использование этого процесса позволит разрешить известное
противоречие между необходимой температурой рабочего тела, при которой газ
обладает достаточной электропроводностью, и термостойкостью стенки. Этот же
процесс положительно влияет на уменьшение потерь теплоты и заряда. Ускорение
течения в этом случае будет осуществляться за счет сжатия потока после его начальной
закрутки путем изменения расхода и давления газа. В настоящее время ускорение
осуществляется за счет геометрического воздествия на поток с помощью
профилированного канала. Один из вариантов схемы такого генератора приведен в
работе [4], где показана связь различных устройств, приводящих к формированию
вихревого потока с полостью, его нагреву, отводу электрической энергии и
охлаждению продуктов сгорания топлива.
Выводы
Рассмотренный метод позволяет находить уравнения движения сплошного и
разрывного потока несколькими путями, которые отличаются общностью
используемых допущений. Один из вариантов применения метода не требует
интегрирования уравнения Эйлера, а использует их для выполнения экспертизы
решений, найденных с помощью уравнения Навье.
Возможности расчета могут быть расширены при добавлении в системы уравнений
первой строки схемы связей известных слагаемых, учитывающих влияние вязкого
трения.
Литература
1.Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1988. 744 с.
2.Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988. 711 с.
3.Бударин В.А. Метод нахождения уравнений движения разрывного поока. //
Тепломассобмен – ММФ. Минск: ИТМО АНБ, 2000. Т. 1. С. 238-241.
4..Малогабаритный МГД генератор.
http://www.sciteclibrary.ru/rus/catalog/pages/5112.html