209 (v`%,l)>c(l,l), c>0.

209
В МОСКОВСКОМ МАТЕМАТИЧЕСКОМ ОБЩЕСТВЕ
НЕУСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ В ПОТЕНЦИАЛЬНОМ ПОЛЕ
В. В.
Козлов
1. Рассмотрим систему уравнений Лагранжа
d dL
0L
di д'х
дх~
с аналитическим лагранжианом L(x, x): U X Rn -> R, U — область в Rn. Для механи­
ческих систем L = К(х, х) ~ И{х), причем при фиксированных х 6 U функция К — поло­
жительно определенная квадратичная форма по скоростям х 6 Rn, В механике область U
называется пространством положений (п = dim.ll — число степеней свободы), а функ­
ции К и П называются соответственно кинетической и потенциальной энергией. Аналити­
ческие решения x(t): R -»- U уравнений Лагранжа называются движениями. Критичес­
кие точки потенциальной энергии и только они являются равновесиями (x(t) == const).
Если в положении равновесия потенциальная энергия имеет строгий локальный мини­
мум, то это равновесие устойчиво (теорема Лагранжа). Этот факт справедлив, конечно, не
только для аналитических систем. До сих пор неизвестно, является ли условие теоремы
Лагранжа необходимым для устойчивости равновесия. Задача обращения теоремы Лагран­
жа об устойчивости восходит к А. М. Ляпунову [1]. Давно известна следующая
Гипотеза о неустойчивости: Если положение равновесия изолировано и потенциаль­
ная энергия в этом положении не имеет локального минимума, то равновесие неустойчиво.
Опубликованное Н. Г. Четаевым [2] доказательство этого утверждения ошибочно.
До недавнего времени оно было доказано только в некоторых частных случаях: например,
когда равновесие — невырожденная критическая точка потенциальной энергии (А. М. Ля­
пунов [1]), или когда П — однородная форма (Н. Г. Четаев [3]). Лишь недавно В. П. Паламодов доказал гипотезу о неустойчивости для двумерных систем (п = 2) с «евклидовой» кинетической энергией К = (х, х)/2, где (, ) — обычное скалярное произведение в R2.
Я доказываю этот результат для систем с произвольной кинетической энергией.
2. Рассмотрим аналитическую функцию и(х) (| х\ < г, и(0) = 0), для которой
х = 0 является изолированной критической точкой. Если и(х) не имеет локального мини­
мума, то область U~ = {и{х) < 0} не пуста и ее замыкание содержит точку х = 0.
Л е м м а (В. П. Паламодов [4]). При некотором р > 0 б области Up = U~ f)
П {1^1 < р} существует непрерывное векторное поле v(x), обладающее следующими свой­
ствами:
1) {v, м £ > < 0 ;
2) v имеет непрерывные частные производные первого порядка всюду в С/"р, кроме
точек, лежащих на конечном множестве Г гладких кривых',
3) матрица Якоби v' удовлетворяет неравенству
(v'%,l)>c(l,l),
c>0.
Идея построения такого векторного поля содержится в работе Н. Г. Четаева [3].
Следуя работе [4], введем еще одно векторное поле w = v — GU'X, a > 0. При малых о
(w't, E > = (i/g, 5>-cr<a"g, Ъ)>а(Ъ,
Б>,
«>0.
2
Кроме того, (w, и') ^. — о{и', и') = — ои' .
Теорема.
Почти все решения x(t) системы х = — и^, расположенные на нулевом
уровне энергии х2/2 + и(х) = 0, либо
А) за конечное время покидают область Up, либо
Б) стремятся к точке х = 0 по некоторой последовательности {t^}, th ->• оо при
к ->• оо.
Используя свойство обратимости (одновременное существование решений x(t)
и x(—t)), получим неустойчивость равновесия х = 0. В. П. Паламодов доказал, что все
14 Успехи матем. наук, т. 36. вып. 1
210
В МОСКОВСКОМ МАТЕМАТИЧЕСКОМ ОБЩЕСТВЕ
решения уравнения х = — и'х с отрицательной энергией покидают за конечное время
область Up [4].
Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы . Почти все движения x(t) обладают следую­
щим свойством: множество значений t £ R, при которых x(t) £ Г, имеет нулевую меру.
Исключительных движений на самом деле не более чем счетно.
Рассмотрим непрерывную функцию l(t) = {w(x (t)), x(t)). Для почти всех t
I = {w'x, х) — (w, и') ^ ах2 -|~
(1)
GU'2.
Следовательно, почти всюду I > 0 и l(t) монотонно возрастает. Существуют две возмож­
ности: либо l(t) ->- оо при t ->• оо, либо функция l(t) ограничена. В первом случае реали­
зуется заключение А, поскольку
Z2 ^ {w, w) {х, х) <; 2 max w2 (x) max | и |.
x£U~
М<Р
Во втором случае lim l(t) = 0. Из оценки (1) (с учетом изолированности положения равt->°o
новесия) вытекает заключение Б).
З а м е ч а н и е . На самом деле в случае Б) движение x(t) асимптотическое: x(t) ->- О
при t -> оо.
3. Из геометрии известно, что всякая аналитическая риманова метрика на плоско­
сти (в частности, кинетическая энергия К(х, х)) подходящим аналитическим обратимым
преобразованием у = у(х) (z/(0) = 0) приводится к виду Цу) {у, у)/2, где X — некоторая
положительная аналитическая функция [5]. Следовательно, в новых переменных лагран­
жиан рассматриваемой задачи равен
Ь = Ц(у\ y)/2-W(y)},
W = Wk.
В канонических переменных у, р уравнения Лагранжа записываются в канонической
форме с гамильтонианом
Я = {(р, р >/2 + V(у) }1Цу),
V = m.
Поскольку функция V аналитична и У(0) = 0, V'(0) = 0, то ее критические точки в обла­
сти | у 1 ^ р при малых р могут лежать только на уровне {V = 0}. Но при этом V =
— %л' _|_ Х'П = 0 и П = 0. Следовательно, V = 0 только при у = 0. Согласно пред­
положениям функция V(y) принимает отрицательные значения сколь угодно близко
от нуля.
Неустойчивость равновесия у = 0 вытекает теперь из теоремы п. 2 и следующего
замечания: траектории двух канонических систем с гамильтонианами F и Я = FIX (X >> 0),
расположенные на нулевых уровнях {F = 0} и {Н = 0}, совпадают.
ЛИТЕРАТУРА
[1] А. М. Л я п у н о в. Общая задача об устойчивости движения. —М.; Л.: ОНТИ, 1935.
[2] Н. Г. Ч е т а е в. О неустойчивости равновесия, когда силовая функция не есть
максимум.— Уч. зап. Казанск. ун-та, 1938, 98 : 3, с. 43—58.
[3] Н. Г. Ч е т а е в. О неустойчивости равновесия в некоторых случаях, когда функция
сил не есть максимум.— ПММ, 1952, 16 : 1, с. 89—93.
[4] В. П. Па л а м о д о в. Об устойчивости равновесия в потенциальном поле.— Функц.
анализ, 1977, 11 : 4, с. 42—55.
[5] Б. А. Д у б р о в и н , С. П. Н о в и к о в , А. Т. Ф о м е н к о . Современная гео­
метрия.— М.: «Наука», 1979.
Московский Государственный
университет
Поступило в Правление общества
1 сентября 1980 г.